Secciones conicas

723723723

SECCIONES CNICAS 11.1 Parbolas

11.2 Elipses

11.3 Hiprbolas

11.4 Cnicas desplazadas

11.5 Rotacin de ejes

11.6 Ecuaciones polares de cnicas

ENFOQUE SOBRE MODELADO

Cnicas en arquitectura

Las secciones cnicas son las curvas que obtenemos cuando hacemos un corte recto en un cono, como se ve en la gura. Por ejemplo, si un cono se corta hori-zontalmente, la seccin transversal es una circunferencia. Entonces, una circun-ferencia es una seccin cnica. Otras formas de cortar un cono producen par-bolas, elipses e hiprbolas.

Elipse Parbola HiprbolaCircunferencia

Nuestro objetivo en este captulo es hallar ecuaciones cuyas gr cas son las secciones cnicas. Ya sabemos de la Seccin 1.8 que la gr ca de la ecuacin x2 y2 r2 es una circunferencia. Encontraremos ecuaciones para cada una de las otras secciones al analizar sus propiedades geomtricas.

Las secciones cnicas tienen propiedades interesantes que las hacen tiles para numerosas aplicaciones prcticas. Por ejemplo, una super cie re ectora con secciones transversales parablicas concentra luz en un solo punto. Esta propie-dad de una parbola se utiliza en la construccin de plantas solares para genera-cin de electricidad, como la de California que se ve en la foto de esta pgina.

SCE/

Sand

ia N

atio

nal L

abor

ator

y

CA

PT

UL

O

11

11_Ch11_STEWART.indd 723 1/3/12 13:01:42

724 C A P T U L O 1 1 | Secciones cnicas

W Definicin geomtrica de una parbolaVimos en la Seccin 3.1 que la gr ca de la ecuacin

y ax2 bx c

es una curva en forma de U llamada parbola que abre ya sea hacia arriba o hacia abajo, dependiendo de si el signo de a es positivo o negativo.

En esta seccin estudiamos parbolas desde un punto de vista geomtrico ms que alge-braico. Empezamos con la de nicin geomtrica de una parbola y mostramos cmo esto nos lleva a la frmula algebraica con la que ya estamos familiarizados.

DEFINICIN GEOMTRICA DE UNA PARBOLA

Una parbola es el conjunto de puntos del plano que son equidistantes con un punto fijo F (llamado foco) y una recta fija l (llamada directriz).

Esta de nicin est ilustrada en la Figura 1. El vrtice V de la parbola se encuentra a la mitad entre el foco y la directriz, y el eje de simetra es la recta que corre por el foco perpendicular a la directriz.

F I G U R A 1

Parbola

l

Eje

Foco

Vrtice Directriz

F

V

En esta seccin restringimos nuestra atencin a parbolas que estn situadas con el vr-tice en el origen y que tienen un eje de simetra vertical u horizontal. (Parbolas en posicio-nes ms generales se estudian en las Secciones 11.4 y 11.5.) Si el foco de dicha parbola es el punto F10, p2, entonces el eje de simetra debe ser vertical y la directriz tiene la ecuacin y p. La Figura 2 ilustra el caso p > 0.

Si P1x, y2 es cualquier punto en la parbola, entonces la distancia de P al foco F(usando la Frmula de la Distancia) es

2x 2 1y p 2 2

La distancia de P a la directriz es

0 y 1 p 2 0 0 y p 0

11.1 PARBOLASDefinicin geomtrica de una parbola Ecuaciones y grficas de parbolas Aplicaciones

y=_p

F(0, p)

P(x, y)

y

x

y

0 p

p

F I G U R A 2

11_Ch11_STEWART.indd 724 1/3/12 13:01:42

S E C C I N 11.1 | Parbolas 725

Por la de nicin de una parbola estas dos distancias deben ser iguales:

Eleve al cuadrado ambos ladosExpanda

Simplifique

x 2 4py

x 2 2py 2py

x 2 y 2 2py p 2 y 2 2py p 2

x 2 1y p 2 2 0 y p 0 2 1y p 2 2 2x 2 1y p 2 2 0 y p 0

Si p > 0, entonces la parbola abre hacia arriba; pero si p < 0, abre hacia abajo. Cuando x es sustituida por x la ecuacin permanece sin cambio, de modo que la gr ca es simtrica respecto al eje y.

W Ecuaciones y grficas de parbolasEl recuadro siguiente resume lo que acabamos de demostrar acerca de la ecuacin y carac-tersticas de una parbola con eje vertical.

PARBOLA CON EJE VERTICAL

La grfica de la ecuacin

es una parbola con las siguientes propiedades.

vrtice

foco

directriz

La parbola abre hacia arriba si p 0 o hacia abajo si p 0.

y=_p

F(0, p)

x

y

0

=4py con p>0 =4py con p 0, la parbola abre hacia arriba. Vea Figura 3.

AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 29 Y 41 Q

y=_2

F(0, 2)

=8y

x

y

3_3

_3

3

0

F I G U R A 3

11_Ch11_STEWART.indd 725 1/3/12 13:01:43


E J E M P L O 2 Hallar el foco y directriz de una parbola a partir de su ecuacin

Encuentre el foco y directriz de la parbola y x2 y trace la gr ca.

S O L U C I N Para hallar el foco y directriz, ponemos la ecuacin dada en la forma nor-mal x2 y. Comparando esto con la ecuacin general x2 4py, vemos que 4p 1, de modo que .p 14 Entonces el foco es F A0, 14B y la directriz es y 14. La gr ca de la parbola, junto con el foco y la directriz, se muestra en la Figura 4(a). Tambin podemos trazar la gr ca usando una calculadora gra cadora como se muestra en la Figura 4(b).

x

y

2_2

1

_2y=_

F!0, _ @14

14y=

(a) (b)

1

2_2

_4

AHORA INTENTE HACER EL EJERCICIO 11 Q

Re ejar la gr ca de la Figura 2 respecto de la recta diagonal y x tiene el efecto de intercambiar las funciones de x y y. Esto resulta en una parbola con eje horizontal. Por el mismo mtodo que antes, podemos demostrar las siguientes propiedades.

PARBOLA CON EJE HORIZONTAL


es una parbola con las siguientes propiedades.

vrtice

foco

directriz

La parbola abre a la derecha si p 0 o a la izquierda si p 0.

x=_p

F( p, 0)x

y

0

x=_p

F( p, 0)x

y

0

=4px con p>0 =4px con p


E J E M P L O 3 Una parbola con eje horizontal

Una parbola tiene la ecuacin 6x y2 0.(a) Encuentre el foco y directriz de la parbola y trace la gr ca.(b) Use calculadora gra cadora para trazar la gr ca.S O L U C I N

(a) Para hallar el foco y directriz, ponemos la ecuacin dada en la forma normal y2 6x. Comparando esto con la ecuacin general y2 4px, vemos que 4p 6, de modo que p 32. Entonces el foco F A 32, 0B y la directriz es .x

32 Como p < 0, la par-

bola abre a la izquierda. La gr ca de la parbola, junto con el foco y la directriz, se muestra en la Figura 5(a) a continuacin.

(b) Para trazar la gr ca usando una calculadora gra cadora, necesitamos despejar y

Reste 6x

Tome races cuadradas y ;1 6x

y 2 6x

6x y 2 0

Para obtener la gr ca de la parbola, gra camos ambas funciones

y 1 6x y y 1 6x

como se ve en la Figura 5(b).

(a)

32x=

32_F ! , 0@

1

16x+=0

x

y

0 2_6

_6

6

y = 6x

(b)

y = 6x


La ecuacin y2 4px, no de ne y como funcin de x (vea pgina 158). Por lo tanto, para usar calculadora gra cadora para gra car una parbola con eje horizontal, primero debemos despejar y. Esto lleva a dos funciones: y .y 14pxy 14px Necesitamos gra car ambas funciones para obtener la gr ca completa de la parbola. Por ejemplo, en la Figura 5(b) tenamos que gra car y y 1 6xy 1 6x para gra car la parbola y2 6x.

Podemos usar las coordenadas del foco para estimar el ancho de una parbola cuando tracemos su gr ca. El segmento de recta que pasa por el foco y es perpendicular al eje, con puntos extremos en la parbola, se llama lado recto, y su longitud es el dimetro focal de la parbola. De la Figura 6 podemos ver que la distancia de un punto extremo Q del lado recto a la directriz tambin es 0 2p 0. En consecuencia, la distancia de Q al foco tambin debe ser 0 2p 0 (por la de nicin de una parbola), de modo que el dimetro focal es 0 4p 0. En el siguiente ejemplo usamos el dimetro focal para determinar el ancho de una parbola cuando la gra quemos.

Ladorecto

x=_p

F( p, 0)

2p

ppQ

x

y

0

F I G U R A 6

F I G U R A 5

11_Ch11_STEWART.indd 727 1/3/12 13:01:43


E J E M P L O 4 El dimetro focal de una parbola

Encuentre el foco, directriz y dimetro focal de la parbola ,y 12 x 2 y trace su gr ca.

S O L U C I N Primero ponemos la ecuacin en la forma x2 4py.

Multiplique por 2, cambie lados x 2 2y

y 12 x 2

De esta ecuacin vemos que 4p 2, de modo que el dimetro focal es 2. Al despejar p resulta ,p 12 de modo que el foco es A0, 12B y la directriz es . y 12 Como el dimetro focal es 2, el lado recto se prolonga 1 unidad a la izquierda y 1 unidad a la derecha del foco. La gr ca est trazada en la Figura 7.


En el siguiente ejemplo gra camos una familia de parbolas, para mostrar la forma en que cambiar la distancia entre los focos y el vrtice afecta el ancho de la parbola.

E J E M P L O 5 Una familia de parbolas

(a) Encuentre ecuaciones para las parbolas con vrtice en el origen y focos , y F410, 4 2F1A0, 18B, F2A0, 12B, F3A0, 1B .

(b) Trace las gr cas de las parbolas del inciso (a). Qu concluye usted?S O L U C I N

(a) Como los focos estn en el eje y positivo, las parbolas abren hacia arriba y tienen ecuaciones de la forma x2 4py. Esto lleva a las siguientes ecuaciones

Ecuacin Foco 2 4

22

2 2 0.52

2 4 0.252

2 16 0.06252 440, 4 130, 1

1220, 12

2 12

1810, 18

Forma de la ecuacin para calculadora

graficadora

(b) Las gr cas estn trazadas en la Figura 8. Vemos que cuanto ms cercano est el foco del vrtice, ms angosta es la parbola.

F I G U R A 8 Familia de parbolas

5

_0.5_5 5

5

_0.5_5 5

5

_0.5_5 5

5

_0.5_5 5

y=2 y=0.5 y=0.25 y=0.0625


F I G U R A 7

x

y

2

1 1

12y=_

12y= x

12F !0, @

12!_1, @

12!1, @

11_Ch11_STEWART.indd 728 1/3/12 13:01:43


W AplicacionesLas parbolas tienen una importante propiedad que las hace tiles como re ectores para lmparas y telescopios. La luz de una fuente colocada en el foco de una super cie con sec-cin transversal parablica se re ejar de modo tal que viaja paralela al eje de la parbola (vea Figura 9). Entonces, un espejo parablico re eja la luz en un haz de rayos paralelos. Recprocamente, la luz que se aproxima al re ector en rayos paralelos a este eje de simetra se concentra en el foco. Esta propiedad de re exin, que se puede demostrar con uso de clculo, se utiliza en la construccin de telescopios re ectores.

F

E J E M P L O 6 Hallar el punto focal de un reflector buscador

Un proyector tiene un re ector parablico que forma un tazn, que mide 12 pulgadas de ancho de borde a borde y 8 pulgadas de profundidad, como se ve en la Figura 10. Si el la-mento de la bombilla elctrica est situado en el foco, a qu distancia est del vrtice del re ector?

8 pulg.

12 pulg.

F I G U R A 9 Re ector parablico

F I G U R A 1 0 Un re ector parablico

ARQUMEDES(287-212 a.C.) fue el ms gran -de matemtico de la Anti-gedad. Naci en Siracusa, colonia griega de Sicilia, una generacin despus de Euclides (vea pgina 497). Uno de sus muchos descu-brimientos es la Ley de la Palanca (vea pgina 71). Es famoso por haber dicho: Dadme una palanca y un fulcro y mover al mundo.

Renombrado como genio mecnico por sus numerosos inven-tos de ingeniera, dise poleas para levantar barcos pesados y el tornillo espiral para transportar agua a niveles ms altos. Se dice que us espejos parablicos para concentrar rayos del Sol para en-cender fuego a los barcos romanos que atacaban Siracusa.

El rey Hern II de Siracusa una vez sospech que un orfebre se guard parte del oro destinado para la corona del Rey y que lo ha-ba sustituido con una cantidad igual de plata. El Rey pidi consejo a Arqumedes. Cuando Arqumedes se encontraba profundamente inmerso en sus pensamientos en un bao pblico, descubri la so-lucin al problema del Rey cuando observ que el volumen de su cuerpo era el mismo que el volumen de agua desplazado de la tina de bao. Usando esta idea, pudo medir el volumen de cada corona y as determinar cul era la corona ms densa, toda de oro. La histo-ria nos dice que sali desnudo, corriendo hacia su casa, gritando: Eureka, Eureka (Lo he encontrado, lo he encontrado! Este inci-dente atestigua el enorme poder de concentracin de Arqumedes.

A pesar de su proeza en ingeniera, Arqumedes se enorgulleca de sus descubrimientos matemticos entre los que se incluyen las frmulas para el volumen de una esfera AV 43 pr

3B y el rea super -cial de una esfera 1S 4pr22 y un cuidadoso anlisis de las propie-dades de las parbolas y otras cnicas.

11_Ch11_STEWART.indd 729 1/3/12 13:01:43


S O L U C I N Introducimos un sistema de coordenadas y colocamos una seccin trans-versal parablica del re ector de modo que su vrtice se encuentre en el origen y su eje sea vertical (vea Figura 11). Entonces la ecuacin de esta parbola tiene la forma x2 4py. De la Figura 11 vemos que el punto 16, 82 est en la parbola. Usamos esto para ha-llar p.

El punto (6, 8) satisface la ecuacin x2 = 4py

p 98

63 32p

62 4p18 2

El foco es F A0, 98B, de modo que la distancia entre el vrtice y el foco es 98 1 18. Como el lamento est colocado en el foco, est situado a 1 18 pulgadas del vrtice del re ector.


1 1 . 1 E J E R C I C I O S

CO N C E P TO S 1. Una parbola es el conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes con un punto jo llamado _______y de una recta ja llamada ________de la parbola. 2. La gr ca de la ecuacin x2 4py es una parbola con

foco F1_, _2 y directriz y ___. Por lo tanto, la gr ca de x2 12y es una parbola con foco F1__, __2 y directriz y ____.

3. La gr ca de la ecuacin y2 4px es una parbola con

foco F1_, _2 y directriz x ___. Por lo tanto, la gr ca de y2 12x es una parbola con foco F1__, __2 y directriz x ____. 4. Asigne coordenadas al foco, ecuacin de la directriz y coorde-

nadas del vrtice en las gr cas dadas para las parbolas de los Ejercicios 2 y 3.

)b()a( y2 12xx2 12y

y

x0 1

1

y

x0 1

3

H A B I L I D A D E S5-10 Q Relacione la ecuacin con las gr cas marcadas I-IV. D razones para sus respuestas.

5. y2 2x 6.

7. x2 6y 8. 2x2 y

y2 14 x

9. y2 8x 0 10. 12y x2 0

I II

x101

y

III IV

x11

y

x101

y

x2

2

y

V VI

x101

y

x11

y

0

11-22 Q Encuentre el foco, directriz y dimetro focal de la par-bola y trace su gr ca.11. x2 9y 12. x2 y

13. y2 4x 14. y2 3x

15. y 5x2 16. y 2x2

17. x 8y2 18.

19. x2 6y 0 20. x 7y2 0

21. 5x 3y2 0 22. 8x2 12y 0

x 12 y2

F I G U R A 1 1

(6, 8)

8

12

1 18

x

y

0_6 6

11_Ch11_STEWART.indd 730 1/3/12 13:01:44


23-28 Q Use calculadora gra cadora para gra car la parbola.23. x2 16y 24. x2 8y

.62.52 8y2 x

27. 4x y2 0 28. x 2y2 0

y2 13 x

29-40 Q Encuentre una ecuacin para la parbola que tiene su vr-tice en el origen y satisface la(s) condicin(es) dada(s).29. Foco: F10, 22 30. Foco: F A0, 12B31. Foco: F18, 02 32. Foco: F15, 0233. Directriz: x 2 34. Directriz: y 6

35. Directriz: y 10 36. Directriz: x 1837. El foco en el eje x positivo, a 2 unidades de distancia de la di-

rectriz

38. La directriz tiene punto de interseccin 6 en el eje y39. Abre hacia arriba con el foco a 5 unidades del vrtice

40. Dimetro focal 8 y foco en el eje y negativo41-50 Q Encuentre una ecuacin de la parbola cuya gr ca se muestra.

41.

0

y

x

2Foco

42.

x=_2

0

y

x

Directriz

43.

x=4

0

y

x

Directriz 44.

0

y

x_3

Foco

45.

3232

0

y

xFoco

46.

Foco

y

0 x5

47.

(4, _2)

0

y

x

48.

Directriz

El cuadro tiene rea 16

y

0 x

49.

Foco La reginsombreada tiene rea 8

0

y

x

50.

Foco

y

0 x2

12Pendiente=

51. (a) Encuentre ecuaciones para la familia de parbolas con vrtice en el origen y con directrices y, y 4, y y1, 8.y 12

(b) Trace las gr cas. Qu concluye usted?52. (a) Encuentre ecuaciones para la familia de parbolas con vr-

tice en el origen, foco en el eje y positivo, y con dimetros focales 1, 2, 4 y 8.

(b) Trace las gr cas. Qu concluye usted?

A P L I C A C I O N E S53. Re ector parablico En la gura se muestra una lmpara

con un re ector parablico. La bombilla elctrica est colocada en el foco y el dimetro focal es 12 centmetros.

(a) Encuentre una ecuacin de la parbola. (b) Encuentre el dimetro d1C, D2 de la abertura, 20 cm del

vrtice.

A

B

6 cm

6 cm20 cmO

D

C

F

54. Disco satelital Un re ector para disco satelital es parab-lico en seccin transversal, con receptor en el foco F. El re ec-tor mide 1 pie de profundidad y 20 pies de ancho de borde a borde (vea la gura). A qu distancia est el receptor del vr-tice del re ector parablico?

F

1 pie20 pies

?

11_Ch11_STEWART.indd 731 1/3/12 13:01:44


55. Puente colgante En un puente colgante, la forma de los cables de suspensin es parablica. El puente que se muestra en la gura tiene torres que estn a 600 m una de la otra, y el punto ms bajo de los cables de suspensin est a 150 m debajo de la cspide de las torres. Encuentre la ecuacin de la parte parab-lica de los cables, colocando el origen del sistema de coordena-das en el vrtice. [Nota: Esta ecuacin se emplea para hallar la longitud del cable necesario en la construccin del puente.]

600 m

150 m

56. Telescopio re ector El telescopio Hale del Observatorio de Monte Palomar tiene un espejo de 200 pulgadas, como se ve en la gura. El espejo est construido en forma parablica que recolecta luz de las estrellas y la enfoca en el foco primo, es decir, el foco de la parbola. El espejo mide 3.79 pulgadas de profundidad en su centro. Encuentre la longitud focal de este espejo parablico, es decir, la distancia del vrtice al foco.

Foco primo

200 pulg.3.79 pulg.

DESCUBRIMIENTO Q DISCUSIN Q REDACCIN57. Parbolas en el mundo real En el texto se dan varios

ejemplos de los usos de parbolas. Encuentre otras situaciones de la vida real en las que se presentan parbolas. Consulte una enciclopedia cient ca en la seccin de bibliografa de su biblio-teca, o busque en la Internet.

58. Cono de luz de una linterna Una linterna se sostiene para formar una super cie iluminada en el suelo, como se ve en la gura. Es posible poner en ngulo la linterna, de modo tal que el lmite de la super cie iluminada sea una parbola? Ex-plique su respuesta.

Rodando hacia debajo de una rampa

En este proyecto investigamos el proceso de modelar el movi-miento de cuerpos en cada, usando para ello un detector de mo-vimiento basado en calculadora. Se puede hallar el proyecto en el sitio web acompaante de este libro: www.stewartmath.com

P PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO

11.2 ELIPSESDefinicin geomtrica de una elipse Ecuaciones y grficas de elipses Excentricidad de una elipse

W Definicin geomtrica de una elipseUna elipse es una curva ovalada que se asemeja a una circunferencia alargada. Ms preci-samente, tenemos la siguiente de nicin.

DEFINICIN GEOMTRICA DE UNA ELIPSE

Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano cuya suma de distancias desde dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. (Vea Figura 1.) Estos dos puntos fijos son los focos de la elipse.

F

P

F

F I G U R A 1

11_Ch11_STEWART.indd 732 1/3/12 13:01:44

S E C C I N 11.2 | Elipses 733

La de nicin geomtrica sugiere un mtodo sencillo para trazar una elipse. Coloque una hoja de papel en un tablero de dibujo e inserte tachuelas en los dos puntos que han de ser los focos de la elipse. Sujete los extremos de una cuerda a las tachuelas, como se muestra en la Figura 2(a). Con la punta de un lpiz, mantenga tensa la cuerda. A continuacin mueva el lpiz con todo cuidado alrededor de los focos, manteniendo la cuerda tensa en todo mo-mento. El lpiz trazar una elipse, porque la suma de las distancias desde la punta del lpiz a los focos siempre ser igual a la longitud de la cuerda, que es una constante.

Si la cuerda es slo ligeramente ms larga que la distancia entre los focos, entonces la elipse que sea trazada ser de forma alargada, como en la Figura 2(a), pero si los focos estn cerca uno del otro con respecto a la longitud de la cuerda, la elipse ser casi una circunfe-rencia como se ve en la Figura 2(b).

F I G U R A 2

(b)(a)

Para obtener la ecuacin ms sencilla para una elipse, colocamos los focos sobre el eje x en F11c, 02 y F21c, 02 de modo que el origen est a la mitad entre ellos (vea Figura 3).

Para ms facilidad hacemos que la suma de las distancias desde un punto en la elipse a los focos sea 2a. Entonces si P1x, y2 es cualquier punto en la elipse, tenemos

d1P, F1 2 d1P, F2 2 2aEntonces, de la Frmula de la Distancia, tenemos

o 21x c 2 2 y 2 2a 21x c 2 2 y 221x c 2 2 y 2 21x c 2 2 y 2 2a

Elevando al cuadrado cada lado y expandiendo, obtenemos

x 2 2cx c 2 y 2 4a 2 4a21x c 2 2 y 2 1x 2 2cx c 2 y 2 2que se simpli ca a

4a21x c 2 2 y 2 4a 2 4cx

Dividiendo cada lado entre 4 y elevando al cuadrado otra vez, resulta

1a 2 c 2 2x 2 a 2y 2 a 21a 2 c 2 2

a 2x 2 2a 2cx a 2c 2 a 2y 2 a 4 2a 2cx c 2x 2 a 2 3 1x c 2 2 y 2 4 1a 2 cx 2 2

Como la suma de las distancias de P a los focos debe ser mayor que la distancia entre los focos, tenemos que 2a > 2c, o a > c. En consecuencia, a2 c2 > 0 y podemos dividir cada lado de la ecuacin precedente entre a21a2 c22 para obtener

x 2

a 2y 2

a 2 c 21

Por facilidad, sea b2 a2 c2 1con b > 02. Como b2 < a2, se deduce que b < a. La ecuacin precedente se convierte entonces en

x 2

a 2y 2

b 21 con a b

F I G U R A 3

P(x, y)

F(c, 0)F(_c, 0) 0

y

x

11_Ch11_STEWART.indd 733 1/3/12 13:01:44


sta es la ecuacin de la elipse. Para gra carla, necesitamos saber los puntos de interseccin en los ejes x y y. Haciendo y 0, obtenemos

x 2

a 21

de modo que x2 a2 o x a. As, la elipse cruza el eje z en 1a, 02 y 1a, 02, como en la Figura 4. Estos puntos se llaman vrtices de la elipse, y el segmento que los une se deno-mina eje mayor. Su longitud es 2a.

F I G U R A 4

x2

a2y2

b21 con a b

(0, b)

(a, 0)(_a, 0)

(0, _b)

(_c, 0) (c, 0)

b

c

a

0

y

x

Anlogamente, si hacemos x 0, obtenemos y b, de modo que la elipse cruza el eje y en 10, b2 y 10, b2. El segmento que une estos puntos recibe el nombre de eje menor y tiene longitud 2b. Observe que 2a > 2b, por lo cual el eje mayor es ms largo que el eje menor. El origen es el centro de la elipse.

Si los focos de la elipse se colocan sobre el eje y en 10, c2 en lugar del eje x, entonces las funciones de x y de y se invierten en la discusin precedente y obtenemos una elipse vertical.

W Ecuaciones y grficas de elipsesEl cuadro siguiente resume lo que acabamos de demostrar acerca de la ecuacin y caracte-rsticas de una elipse con centro en el origen.

ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN

La grfica de cada una de las siguientes ecuaciones es una elipse con centro en el origen y que tiene las propiedades dadas.

ecuacin

a b 0 a b 0vrtices

eje mayor Horizontal, longitud 2a Vertical, longitud 2aeje menor Vertical, longitud 2b Horizontal, longitud 2bfocos ,,

grfica

b

a

_a

_b

F(0, _c)

F(0, c)y

x0

b

a_a

_b

F(_c, 0) F(c, 0)

y

x0

c 2 a 2 b 210, c 2c 2 a 2 b 21 c, 0 2

10, a 21 a, 0 2

x 2

b 2y 2

a 21

x 2

a 2y 2

b 21

En la ecuacin normal de una elipse, a2 es el denominador mayor y b2 es el menor. Para hallar c2, restamos: denominador mayor me-nos denominador menor.

11_Ch11_STEWART.indd 734 1/3/12 13:01:45

F I G U R A 5

x 2

9y 2

41

Observe que la ecuacin de una elipse no de ne y como funcin de x (vea p-gina 158). Es por esto que necesitamos gra car dos funciones para gra car una elipse.

Las rbitas de los planetas son elip-ses, con el Sol en un foco.

E J E M P L O 1 Trazado de una elipse

Una elipse tiene la ecuacinx 2

9y 2

41

(a) Encuentre los focos, los vrtices y las longitudes de los ejes mayor y menor, y trace la gr ca.

(b) Trace la gr ca usando calculadora gra cadora.S O L U C I N

(a) Como el denominador de x2 es mayor, la elipse tiene un eje horizontal mayor. Esto da a2 9 y b2 4, de modo que c2 a2 b2 9 4 5. Entonces a 3, b 2 y c 15.

FOCOS

VRTICES

LONGITUD DE EJE MAYOR 6

LONGITUD DE EJE MENOR 4

1 3, 0 2

1 15, 0 2

La gr ca se muestra en la Figura 5(a).(b) Para trazar la gr ca usando calculadora gra cadora, necesitamos despejar y.

Reste

Multiplique por 4

Tome races cuadradas y 2 B

1x 2

9

y 2 4 a1x 2

9b

x 2

9

y 2

41

x 2

9

x 2

9y 2

41

Para obtener la gr ca de la elipse, gra camos ambas funciones:

y 221 x 2/9 y y 221 x 2/9

como se muestra en la Figura 5(b).

(b)(a)

3

40 x

y

F!_5, 0@

F !5, 0@

4.7_4.7

_3.1

3.1

y = 2 1 x2/9

y = 2 1 x2/9



11_Ch11_STEWART.indd 735 1/3/12 13:01:45


E J E M P L O 2 Hallar los focos de una elipse

Encuentre los focos de la elipse 16x2 9y2 144, y trace su gr ca.

S O L U C I N Primero ponemos la ecuacin en forma normal. Dividiendo entre 144, ob-tenemos

x 2

9y 2

161

Como 16 > 9, sta es una elipse con sus focos en el eje y y con a 4 y b 3. Tenemos

c 17

c 2 a 2 b 2 16 9 7

Entonces, los focos son 10, 17 2. La gr ca se ilustra en la Figura 6(a).Tambin podemos trazar la gr ca usando calculadora gra cadora como se ve en la Fi-

gura 6(b).

0 x

y

4

F!0, 7@5

F!0, _ 7@

9_9

_5

5

5

y = 4 1 x2/9

y = 4 1 x2/9

(a) (b)


E J E M P L O 3 Encontrar la ecuacin de una elipse

Los vrtices de una elipse son 14, 02 y los focos son 12, 02. Encuentre su ecuacin y trace la gr ca.

S O L U C I N Como los vrtices son 14, 02, tenemos a 4 y el eje mayor es horizon-tal. Los focos son 12, 02, de modo que c 2. Para escribir la ecuacin, necesitamos ha-llar b. Como c2 a2 b2, tenemos

2 16 4 12

22 42 2

Entonces la ecuacin de la elipse es

x 2

16y 2

121

La gr ca se muestra en la Figura 7.


W Excentricidad de una elipseVimos ya antes en esta seccin (Figura 2) que si 2a es slo ligeramente mayor que 2c, la elipse es larga y delgada, mientras que si 2a es mucho mayor que 2c, la elipse es casi una circunferencia. Medimos la desviacin de una elipse de ser casi una circunferencia por la relacin entre a y c.

F I G U R A 6 16x 2 9y 2 144

F I G U R A 7

x2

16y2

121

4

0 x

y

5

F(_2, 0)

F(2, 0)

11_Ch11_STEWART.indd 736 1/3/12 13:01:45


DEFINICIN DE EXCENTRICIDAD

Para la elipse o 1con a b 02, la excentricidad ees el nmero

donde . La excentricidad de toda elipse satisface 0 e 1.c 2a 2 b 2

ec

a

x2

b2y2

a21

x 2

a 2y 2

b 21

Por lo tanto, si e es cercana a 1, entonces c es casi igual a a y la elipse tiene forma alargada, pero si e es cercana a 0 entonces la elipse tiene forma casi como una circunferencia. La excentricidad es una medida de qu tan alargada es la elipse.

En la Figura 8 mostramos varias elipses para demostrar el efecto de variar la excentrici-dad e.

e=0.86e=0.1 e=0.5 e=0.68

F I G U R A 8 Elipses con varias excentricidades

E J E M P L O 4 Hallar la ecuacin de una elipse a partir de su excentricidad y focos

Encuentre la ecuacin de la elipse con focos 10, 82 y excentricidad ,e 45 y trace su gr- ca.

S O L U C I N Nos dan y c 8e 45 . Por lo tanto,

Excentricidad

Multiplique en cruz

a 10

4a 40

ec

a

45

8a

Para hallar b, usamos el hecho de que c2 a2 b2.

b 6

b 2 102 82 36

82 102 b 2

Entonces la ecuacin de la elipse es

x 2

36y 2

1001

Debido a que los focos estn sobre el eje y, la elipse est orientada verticalmente. Para trazar la elipse, hallamos los puntos de interseccin: los puntos de interseccin en el eje x son 6; en el eje y, son 10. La gr ca est trazada en la Figura 9.


0 x

y

6

10

_6

_10

F(0, 8)

F(0, _8)

F I G U R A 9 x2

36y2

1001

11_Ch11_STEWART.indd 737 1/3/12 13:01:45


La atraccin gravitacional hace que los planetas se muevan en rbitas elpticas alrededor del Sol con ste en un foco. Esta sorprendente propiedad fue observada primero por Johan-nes Kepler, y posteriormente deducida por Isaac Newton a partir de su Ley de Gravitacin Universal usando clculo. Las rbitas de los planetas tienen excentricidades diferentes, pero la mayor parte de ellas son casi circulares (vea al margen).

Las elipses, como las parbolas, tienen una interesante propiedad de re exin que lleva a varias aplicaciones prcticas. Si una fuente de luz se coloca en un foco de una super cie re ectora con secciones transversales elpticas, entonces toda la luz ser re ejada de la su-per cie al otro foco, como se ve en la Figura 10. Este principio, que funciona para ondas sonoras as como para luz, se usa en litotricia, que es un tratamiento para eliminar piedras de los riones. El paciente es colocado en una tina de agua con secciones transversales elpticas, en forma tal que la piedra del rin queda localizada de una manera precisa en un foco. Ondas de sonido de alta intensidad generadas en el otro foco son re ejadas a la piedra y sta queda destruida con dao mnimo al tejido circundante. El paciente se salva del trauma de una ciruga y se recupera en das en lugar de semanas.

La propiedad de re exin de elipses se usa tambin en la construccin de galeras susu-rrantes. El sonido proveniente de un foco rebota en las paredes y cielo de una sala elptica y pasa por el otro foco. En esas salas hasta los susurros ms dbiles pronunciados en un foco se pueden or claramente en el otro. Galeras susurrantes famosas incluyen el National Sta-tuary Hall del capitolio de Estados Unidos en Washington, D.C. (vea pgina 776), y el Ta-bernculo Mormn en Salt Lake City, Utah.

F F

F I G U R A 1 0

Excentricidades de las rbitas de los planetasLas rbitas de los planetas son elipses con el Sol en un foco. Para casi todos los planetas, estas elipses tienen excentricidad muy pequea, de modo que son casi circulares. Mercurio y Plutn, los planetas conocidos ms cercano y ms alejado del Sol, tienen rbitas visiblemente elpticas.

Planeta Excentricidad

Mercurio

Venus

Tierra

Marte

Jpiter

Saturno

Urano

Neptuno

Plutn

0.206

0.007

0.017

0.093

0.048

0.056

0.046

0.010

0.248

1 1 . 2 E J E R C I C I O S

CO N C E P TO S 1. Una elipse es el conjunto de todos los puntos del plano para el que las ______de las distancias desde dos puntos jos F1 y F2 es constante. Los puntos F1 y F2 se llaman _______de la elipse.

2. La gr ca de la ecuacin x2

a2y2

b21 con a > b > 0 es una

elipse con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 1c, 02, donde c ____. Entonces la gr ca de x

2

52y2

421 es una

elipse con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 1___, ___2 y 1___, ___2. 3. La gr ca de la ecuacin

x2

b2y2

a21

con a > b > 0; es una

elipse con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 10, c2, donde c ____. Por lo tanto, la gr ca de x

2

42y2

521 es una

elipse con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 1___, ___2 y 1___, ___2. 4. Asigne coordenadas a los vrtices y focos en las gr cas dadas

para las elipses de los Ejercicios 2 y 3.

)b()a( x2

42y2

521

x2

52y2

421

y

x0 11

y

x0 11

11_Ch11_STEWART.indd 738 1/3/12 13:01:45


H A B I L I D A D E S5-8 Q Relacione la ecuacin con las gr cas marcadas I-IV. D ra-zones para sus respuestas.

.6.5

.8.7 16x2 25y2 4004x2 y2 4

x 2y 2

91

x 2

16y 2

41

I II

III IV

y

x01

1

y

x0

1

1

x01

2

yy

x01

1

9-22 Q Encuentre los vrtices, focos y excentricidad de la elipse. Determine las longitudes de los ejes mayor y menor, y trace la gr- ca.

.01.9

.21.11

.41.31

.61.51

.81.71

.02.91

.22.12 20x2 4y2 5y2 1 2x2x2 4 2y212 x 2 18 y 2 14

9x2 4y2 1x2 4y2 1

5x2 6y2 302x2 y2 3

4x2 y2 16x2 4y2 16

4x2 25y2 1009x2 4y2 36

x 2

16y 2

25 1x 2

25y 2

91

21-28 Q Encuentre una ecuacin para la elipse cuya gr ca se muestra.

23. y

x0

4

5

24.

0

5y

x2

25. F(0, 2)

0

y

x2

26.

0

4 F(0, 3)y

x

27.

0

y

x16

(8, 6)

28.

(_1, 2)

y

x20

29-32 Q Use calculadora gra cadora para gra car la elipse.

.03.92

.23.13 x2 2y2 86x2 y2 36

x 2y 2

121

x 2

25y 2

201

33-34 Q Encuentre una ecuacin para la elipse que satisfaga las condiciones dadas.

33. Focos: 14, 02, vrtices: 15, 0234. Focos: 10, 32, vrtices: 10, 5235. Longitud de eje mayor: 4, longitud de eje menor: 2, focos en eje y36. Longitud de eje mayor: 6, longitud de eje menor: 4, focos en eje x37. Focos: 10, 22, longitud de eje menor: 638. Focos: 15, 02, longitud de eje mayor: 1239. Puntos extremos de eje mayor: 110, 02, distancia entre focos: 640. Puntos extremos de eje menor: 10, 32, distancia entre focos: 841. Longitud de eje mayor: 10, focos en eje x, elipse pasa por el

punto 115, 2 2

42. Excentricidad: 19, focos: 10, 2243. Excentricidad: 0.8, focos: 11.5, 0244. Excentricidad: 13/2, focos en eje y, longitud de eje mayor: 445-47 Q Encuentre los puntos de interseccin del par de elipses. Trace las gr cas de cada par de ecuaciones en los mismos ejes de coordenadas, y marque los puntos de interseccin.

.64.54

47. c100x 2 25y 2 100

x 2y 2

91

x 2

16y 2

91

x 2

9y 2

161

e4x 2 y 2 44x 2 9y 2 36

11_Ch11_STEWART.indd 739 1/3/12 13:01:46


48. La circunferencia auxiliar de una elipse es la circunferencia con radio igual a la mitad de la longitud del eje menor y centro igual que en la elipse (vea la gura). La circunferencia auxiliar es enton-ces la circunferencia mxima que puede caber dentro de una elipse.

(a) Encuentre una ecuacin para la circunferencia auxiliar de la elipse x2 4y2 16.

(b) Para la elipse y la circunferencia auxiliar del inciso (a), de-muestre que si 1s, t2 es un punto en la circunferencia auxiliar, entonces 12s, t2 es un punto en la elipse.

Circunferenciaauxiliar

Elipse

49. (a) Use calculadora gra cadora para trazar la mitad superior (la parte en los cuadrantes primero y segundo) de la familia de elipses x2 ky2 100 para k 4, 10, 25 y 50.

(b) Qu tienen en comn los miembros de esta familia de elip-ses? Cmo di eren?

50. Si k > 0, la ecuacin siguiente representa la elipse:

x 2

ky 2

4 k1

Demuestre que todas las elipses representadas por esta ecuacin tienen los mismos focos, no importa cul sea el valor de k.

A P L I C A C I O N E S51. Perihelio y afelio Los planetas se mueven alrededor del

Sol en rbitas elpticas con el Sol en un foco. El punto en la r-bita en el que el planeta est ms cercano al Sol se denomina perihelio, y el punto en el que est ms alejado se llama afelio. Estos puntos son los vrtices de la rbita. La distancia de la Tie-rra al Sol es de 147,000,000 km en el perihelio y 153,000,000 km en el afelio. Encuentre una ecuacin para la rbita de la Tie-rra. (Coloque el origen en el centro de la rbita con el Sol en el eje x.)

Afelio Perihelio

52. La rbita de Plutn Con una excentricidad de 0.25, la r-bita de Plutn es la ms excntrica del sistema solar. La longitud del eje menor de su rbita es aproximadamente 10,000,000,000 km. Encuentre la distancia entre Plutn y el Sol en el perihelio y en el afelio. (Vea Ejercicio 51.)

53. rbita lunar Para un cuerpo en rbita elptica alrededor de la Luna, los puntos en la rbita que estn ms cercanos y ms lejanos del centro de la Luna se llaman perilunio y apolunio, respectivamente. stos son los vrtices de la rbita. El centro de la Luna est en un foco de la rbita. La nave espacial Apollo 11 fue puesta en rbita lunar con perilunio a 68 millas y apolunio a 195 millas sobre la super cie de la Luna. Suponiendo que la Luna sea una esfera de radio 1075 millas, encuentre una ecua-cin para la rbita del Apollo 11. (Ponga los ejes de coordena-das de modo que el origen se encuentre en el centro de la rbita y los focos estn situados en el eje x.)

68 mi

195 mi PerilunioApolunio

54. Elipse de madera contrachapada Un carpintero desea construir una mesa elptica de una hoja de madera contracha-pada, de 4 pies por 8 pies. Trazar la elipse usando el mtodo de chincheta e hilo que se ilustra en las Figuras 2 y 3. Qu longitud del hilo debe usar y a qu distancia debe colocar las chinchetas, si la elipse ha de ser la ms grande posible a cortar de la hoja de madera contrachapada?

55. Ventana ojival Una ventana ojival sobre una puerta se construye en la forma de la mitad superior de una elipse, como se ve en la gura. La ventana mide 20 pulgadas de alto en su punto ms alto y 80 pulgadas en la parte inferior. Encuentre la altura de la ventana a 25 pulgadas del centro de la base.

80 pulg.25 pulg.

20 pulg.h

11_Ch11_STEWART.indd 740 1/3/12 13:01:46

S E C C I N 11.3 | Hiprbolas 741

DESCUBRIMIENTO Q DISCUSIN Q REDACCIN56. Trazar una elipse en un pizarrn Trate de dibujar una

elipse en un pizarrn en una forma tan precisa como sea posi-ble. En este proceso cmo ayudaran un hilo y dos amigos?

57. Cono de luz de una linterna Una linterna ilumina una pared como se ilustra en la gura. Cul es la forma de los lmi-tes del rea iluminada? Explique su respuesta.

58. Qu tan ancha es una elipse en sus focos? Un lado recto para una elipse es un segmento de recta perpendicular al eje mayor en un foco, con puntos extremos en la elipse, como se muestra en la gura en la parte superior de la columna si-

guiente. Demuestre que la longitud de un lado recto es 2b2

a para

la elipse

x2

a2y2

b21 con a b

Focos

Lado recto

y

59. Es una elipse? Un papel se envuelve alrededor de una bo-tella cilndrica, y luego se usa un comps para dibujar una cir-cunferencia en el papel, como se ve en la gura. Cuando el papel se pone plano, la forma trazada en el papel es una elipse? (No es necesario que demuestre su respuesta, pero podra hacer el experimento y ver lo que resulta.)

11.3 HIPRBOLASDefinicin geomtrica de una hiprbola Ecuaciones y grficas de hiprbolas

W Definicin geomtrica de una hiprbolaAun cuando elipses e hiprbolas tienen formas completamente diferentes, sus de niciones y ecuaciones son similares. En lugar de usar la suma de distancias entre dos focos jos, como en el caso de una elipse, usamos la diferencia para de nir una hiprbola.

DEFINICIN GEOMTRICA DE UNA HIPRBOLA

Una hiprbola es el conjunto de todos los puntos del plano, cuya diferencia de dis-tancias desde dos puntos fijos F1 y F2 es una constante. (Vea Figura 1.) Estos dos puntos fijos son los focos de la hiprbola.

Al igual que en el caso de la elipse, obtenemos la ecuacin ms sencilla para la hiprbola al colocar los focos sobre el eje x en 1c, 02, como se ve en la Figura 1. Por de nicin, si P1x, y2 est sobre la hiprbola, entonces d1P, F12 d1P, F22 o d1P, F22 d1P, F12 debe ser igual a alguna constante positiva, que llamamos 2a. Por lo tanto, tenemos

o 21x c 2 2 y 2 21x c 2 2 y 2 2a

d1P, F1 2 d1P, F2 2 2aF I G U R A 1 P es una hiprbola si 0 d, 1P, F12 d1P, F22 0 2a.

x

y

0 F(c, 0)

P(x, y)

F(_c, 0)

11_Ch11_STEWART.indd 741 1/3/12 13:01:46


Procediendo como hicimos en el caso de la elipse (Seccin 11.2), simpli camos esto a1c 2 a 2 2x 2 a 2y 2 a 21c 2 a 2 2

Del tringulo PF1F2 de la Figura 1 vemos que 0 d, 1P, F12 d1P, F22 0 2c. Se deduce que 2a < 2c, o a < c. Entonces c2 a2 > 0 por lo que podemos hacer b2 c2 a2. Entonces simpli camos la ltima ecuacin exhibida para obtener

x 2

a 2y 2

b 21

sta es la ecuacin de la hiprbola. Si sustituimos x por x o y por y en esta ecuacin, permanecer sin cambio, de modo que la hiprbola es simtrica alrededor de los ejes x y y y alrededor del origen. Los puntos de interseccin x son a, y los puntos 1a, 02 y 1a, 02 son los vrtices de la hiprbola. No hay punto de interseccin y porque hacer x 0 en la ecuacin de la hiprbola lleva a y2 b2, que no tiene solucin real. Adems, la ecuacin de la hiprbola implica que

x 2

a 2y 2

b 21 1

de modo que x2/a2 1; entonces x2 a2 y por lo tanto x a o x a. Esto signi ca que la hiprbola est formada por dos partes, llamadas ramas. El segmento que une los dos vrtices en las ramas separadas es el eje transverso de la hiprbola, y el origen recibe el nombre de centro.

Si ponemos los focos de la hiprbola en el eje y en lugar del eje x, esto tiene el efecto de invertir las funciones de x y de y en la derivacin de la ecuacin de la hiprbola. Esto con-duce a una hiprbola con eje transverso vertical.

W Ecuaciones y grficas de hiprbolasLas propiedades principales de hiprbolas se indican en el recuadro siguiente.

HIPRBOLA CON CENTRO EN EL ORIGEN

La grfica de cada una de las siguientes ecuaciones es una hiprbola con centro en el origen y que tiene las propiedades dadas.

ecuacin

VRTICES

EJE TRANSVERSO Horizontal, longitud 2a Vertical, longitud 2a

ASNTOTAS

FOCOS , c2 a2 b2 , c2 a2 b2

GRFICA

x

yy=_ xba y= xba

F(c, 0)

b

F(_c, 0)

_b

a_a x

y

b

F(0, c)

_b

F(0, _c)

a

_a

y=_ xab y= xab

10, c 21 c, 0 2y

a

b xy

ba

x

10, a 21 a, 0 2

y 2

a 2x 2

b 21 1a 0, b 0 2x 2

a 2y 2

b 21 1a 0, b 0 2

11_Ch11_STEWART.indd 742 1/3/12 13:01:47


Las asntotas mencionadas en este recuadro son rectas a las que la hiprbola se aproxima para valores grandes de x y de y. Para hallar las asntotas en el primer caso del cuadro, de la ecuacin despejamos y para obtener

ba

x B

1a 2

x 2

yba

2x 2 a 2

Cuando x se hace grande, a2/x2 se acerca a cero. En otras palabras, cuando x q, tenemos a2/x2 0. En consecuencia, para x grande, el valor de y puede aproximarse cuando y 1b/a2x. Esto demuestra que estas rectas son asntotas de la hiprbola.

Las asntotas son una ayuda esencial para gra car una hiprbola; nos ayudan a determi-nar su forma. Una manera til de hallar las asntotas, para una hiprbola con eje transverso horizontal, es primero localizar los puntos 1a, 02, 1a, 02, 10, b2 y 10, b2. Entonces trace segmentos horizontales y verticales que pasen por estos puntos para construir un rectngulo, como se ve en la Figura 2(a). A este rectngulo se le da el nombre de caja central de la hiprbola. Las pendientes de las diagonales de la caja central son b/a de modo que, al prolongarlas, obtenemos las asntotas y 1b/a2x, como estn trazadas en la Figura 2(b). Finalmente, determinamos los vrtices y usamos las asntotas como gua para trazar la hi-prbola que se ilustra en la Figura 2(c). (Un procedimiento similar aplica para gra car una hiprbola que tenga un eje transverso vertical.)

F I G U R A 2 Pasos para gra car la hiprbola x 2

a 2y 2

b 21

(a) Caja central (b) Asntotas (c) Hiprbola

x

y

b

_b

a_a x

y

b

_b

a_a0 x

y

b

_b

a_a

CMO TRAZAR UNA HIPRBOLA

1. Trazar la caja central. ste es el rectngulo con centro en el origen, con la-dos paralelos a los ejes, que cruza un eje en a y el otro en b.

2. Trazar las asntotas. stas son las rectas obtenidas al prolongar las diago-nales de la caja central.

3. Determinar los vrtices. stos son los dos puntos de interseccin en x o los dos puntos de interseccin en y.

4. Trazar la hiprbola. Empiece en un vrtice, y trace una rama de la hipr-bola, aproximando las asntotas. Trace la otra rama en la misma forma.

E J E M P L O 1 Una hiprbola con eje transverso horizontal

Una hiprbola tiene la ecuacin9x 2 16y 2 144

(a) Encuentre los vrtices, focos y asntotas, y trace la gr ca.(b) Trace la gr ca usando calculadora gra cadora.

Las asntotas de funciones raciona-les se estudian en la Seccin 3.7.

11_Ch11_STEWART.indd 743 1/3/12 13:01:47


S O L U C I N

(a) Primero dividimos ambos lados de la ecuacin entre 144 para ponerla en forma nor-mal:

x 2

16y 2

91

Como el trmino en x2 es positivo, la hiprbola tiene un eje transverso horizontal; sus vrtices y focos estn en el eje x. Como a2 16 y b2 9, obtenemos a 4, b 3 y c 116 9 5. Por lo tanto, tenemos

VRTICES 4, 0

FOCOS 5, 0

ASNTOTAS 34

Despus de trazar la caja central y asntotas, completamos el dibujo de la hiprbola como en la Figura 3(a).

(b) Para trazar la gr ca usando calculadora gra cadora, necesitamos despejar y.

Reste 9x 2

Divida entre 16 y factorice 9

Tome races cuadradas y 3 B

x 2

161

y 2 9 ax 2

161 b

16y 2 9x 2 144

9x 2 16y 2 144

Para obtener la gr ca de la hiprbola, gra camos las funciones

y 321x 2/16 2 1 y y 321x 2/16 2 1

como se ve en la Figura 3(b).

x

yy = 34

(5, 0)

3

(_5, 0)

_3

4_4

(a) (b)

10_10

x y = 34 x

_

6

_6y = 3 (x2/16) 1

(x2/16) 1y = 3


E J E M P L O 2 Una hiprbola con eje transverso vertical

Encuentre los vrtices, focos y asntotas de la hiprbola y trace su gr ca.x 2 9y 2 9 0

Observe que la ecuacin de una hiprbola no de ne a y como funcin de x (vea pgina 158). Esto es por lo que necesitamos gra car dos funciones para gra car una hiprbola.

F I G U R A 3

9x2 16y2 144

11_Ch11_STEWART.indd 744 1/3/12 13:01:47


S O L U C I N Empezamos por escribir la ecuacin en la forma estndar para una hiprbola

Divida entre 9 y 2x 2

91

x 2 9y 2 9

Como el trmino en y2 es positivo, la hiprbola tiene un eje transverso vertical; sus focos y vrtices estn en el eje y. Como a2 1 y b2 9, obtenemos a 1, b 3 y c 11 9 110. Entonces, tenemos

VRTICES 0, 1

FOCOS 0,

ASNTOTAS 13

110

Trazamos la caja central y asntotas y, a continuacin, completamos la gr ca como se muestra en la Figura 4(a).

Tambin podemos trazar la gr ca usando calculadora gra cadora, como se ve en la Figura 4(b).

(a) (b)

5_5x

y

3

1

F0, 10

F0, _ 10

2

_2y = 1 + x2/9

y = 1 + x2/9


E J E M P L O 3 Hallar la ecuacin de una hiprbola a partir de sus vrtices y focos

Encuentre la ecuacin de la hiprbola con vrtices 13, 02 y focos 14, 02. Trace la gr ca.

S O L U C I N Como los vrtices estn sobre el eje x, la hiprbola tiene un eje transverso horizontal. Su ecuacin es de la forma

x 2

32y 2

b 21

Tenemos a 3 y c 4. Para hallar b, usamos la relacin a2 b2 c2:

b 17

b 2 42 32 7

32 b 2 42

Entonces la ecuacin de la hiprbola es

x 2

9y 2

71

Trayectorias de cometasLa trayectoria de un cometa es una elipse, una parbola, o una hiprbola con el Sol en un foco. Este dato se puede comprobar con uso de clculo y las leyes de Newton del movimiento. Si la trayectoria es una parbola o una hiprbola, el cometa nunca regresar. Si su trayectoria es una elipse, puede determinarse de manera precisa cundo y dnde se ver de nuevo el cometa. El cometa Halley tiene una tra-yectoria elptica y regresa cada 75 aos; la ltima vez que se avist fue en 1987. Su rbita es una elipse muy excntrica; se espera que regrese al sistema solar interior hacia el ao 4377.

*James Stewart, Clculo, 7a ed. (Belmont, CA: Brooks/Cole, 2012), pp. 868 y 872.

F I G U R A 4 x2 9y2 9 0

11_Ch11_STEWART.indd 745 1/3/12 13:01:47


La gr ca se ilustra en la Figura 5.

F I G U R A 5

x 2

9y 2

71

0 x

y

3

_3

_3 3

7

_7


E J E M P L O 4 Hallar la ecuacin de una hiprbola a partir de sus vrtices y asntotas

Encuentre la ecuacin y focos de la hiprbola con vrtices 10, 22 y asntotas y 2x. Trace la gr ca.

S O L U C I N Como los vrtices estn en el eje y, la hiprbola tiene un eje transverso vertical con a 2. De la ecuacin de la asntota vemos que a/b 2. Como a 2 obtene-mos 2/b 2, de modo que b 1. Por lo tanto, la ecuacin de la hiprbola es

y2

4x2 1

Para hallar los focos, calculamos c2 a2 b2 22 12 5, de modo que c 15. En consecuencia, los focos son 10, 15 2. La gr ca se ilustra en la Figura 6.


Al igual que parbolas y elipses, las hiprbolas tienen una interesante propiedad re ec-tora. Una luz apuntada a un foco de un espejo hiperblico es re ejada hacia el otro foco, como se ve en la Figura 7. Esta propiedad se emplea en la construccin de telescopios del tipo Cassegrain. Un espejo hiperblico se coloca en el tubo del telescopio de modo que la luz re ejada del re ector parablico primario se apunta a un foco del espejo hiperblico. La luz se vuelve a enfocar entonces a un punto ms accesible abajo del re ector primario (Figura 8).

F I G U R A 7 Propiedad re ec-tora de hiprbolas

FF

F I G U R A 8 Telescopio tipo Cassegrain

F

F

Reflectorhiperblico

Reflector parablico

F I G U R A 6

y 2

4x 2 1

x

y

1

F

F

11_Ch11_STEWART.indd 746 1/3/12 13:01:47


El sistema LORAN (Long RAnge Navigation) se utiliz hasta principios de la dcada de 1990; ahora ha sido sustituido por el sistema GPS (vea pgina 700). En el sistema LORAN, se usan hiprbolas a bordo de un barco para determinar su posicin. En la Figura 9, estacio-nes de radio en A y B transmiten seales simultneamente para su recepcin por el barco en P. La computadora de a bordo convierte la diferencia de tiempo en la recepcin de estas seales en una diferencia de distancia d1P, A2 d1P, B2. Por la de nicin de hiprbola, esto localiza el barco en una rama de una hiprbola con focos en A y B (trazada en negro en la gura). El mismo procedimiento se realiza con otras dos estaciones de radio en C y D, y esto localiza el barco en una segunda hiprbola (mostrada en rojo en la gura). (En la prc-tica, slo son necesarias tres estaciones porque una estacin se puede usar como foco para ambas hiprbolas.) Las coordenadas del punto de interseccin de estas dos hiprbolas, que pueden ser calculadas de manera precisa por la computadora, dan la posicin de P.

B

AD

C

P

F I G U R A 9 Sistema LORAN para hallar la po-sicin de un barco

1 1 . 3 E J E R C I C I O S

CO N C E P TO S 1. Una hiprbola es el conjunto de todos los puntos del plano para el que la ______de las distancias desde dos puntos jos F1 y F2 es constante. Los puntos F1 y F2 se llaman _______ de la

hiprbola.

2. La gr ca de la ecuacin x2

a2y2

b21 con a > 0, b > 0 es

una hiprbola con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 1c, 02, donde c ________. Por tanto, la gr ca de

x2

42y2

321 es una hiprbola con vrtices 1___, ___2 y

1___, ___2 y focos 1___, ___2 y 1___, ___2. 3. La gr ca de la ecuacin

y2

a2x2

b21 con a > 0, b > 0 es

una hiprbola con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 10, c2, donde c ________. Por tanto, la gr ca de

y2

42x2

321

es una hiprbola con vrtices 1___, ___2 y 1___, ___2 y focos 1___, ___2 y 1___, ___2. 4. Asigne coordenada a los vrtices, focos y asntotas en las gr -

cas dadas por las hiprbolas de los Ejercicios 2 y 3.

)b()a( y2

42x2

321

x2

42y2

321

y

x0 11

y

x0 11

11_Ch11_STEWART.indd 747 1/3/12 13:01:48


H A B I L I D A D E S5-8 Q Relacione la ecuacin con las gr cas marcadas I-IV. D ra-zones para sus respuestas.

.6.5

.8.7 9x2 25y2 22516y2 x2 144

y 2x 2

91

x 2

4y 2 1

I II

III IV

x

y

21

41

x

y

x

y

1

1

y

x2

2

9-20 Q Encuentre los vrtices, focos y asntotas de la hiprbola, y trace su gr ca.

.01.9

.21.11

.41.31

.61.51

.81.71

.02.91 9x2 16y2 14y2 x2 1

x2 2y2 3x2 4y2 8 0

x2 y2 4 025y2 9x2 225

9x2 4y2 36x2 y2 1

x 2

2y 2 1y 2

x 2

25 1

y 2

9x 2

161

x 2

4y 2

161

21-26 Q Encuentre la ecuacin para la hiprbola cuya gr ca se muestra.

21.

0 x

y

1

F(4, 0)F(_4, 0)1

22.

0 x

y

_12

12 F(0, 13)

F(0, _13)

23.

0 x

y

_4

4

(3, _5)2

24.

(4, 4)

23

2x

y

25. y=_ x12 y= x

12

x

y

_5 5

26. y=3x

y=_3x

0 x

y

3

1

27-30 Q Use calculadora gra cadora para gra car la hiprbola..82.72

.03.92x 2

100y 2

641

y 2

2x 2

61

3y2 4x2 24x2 2y2 8

31-42 Q Encuentre una ecuacin para la hiprbola que satisfaga las condiciones dadas.31. Focos: 15, 02, vrtices: 13, 0232. Focos: 10, 102, vrtices: 10, 8233. Focos: 10, 22, vrtices: 10, 1234. Focos: 16, 02, vrtices: 12, 0235. Vrtices: 11, 02, asntotas: y 5x36. Vrtices: 10, 62, asntotas: y 13 x37. Focos: 10, 82, asntotas: y 12 x38. Vrtices: 10, 62, hiprbola pasa por 15, 9239. Asntotas: y x, hiprbola pasa por 15, 3240. Focos: 13, 02, hiprbola pasa por 14, 1241. Focos: 15, 02, longitud de eje transverso: 642. Focos: 13, 02, longitud de eje transverso: 143. (a) Demuestre que las asntotas de la hiprbola x2 y2 5 son

perpendiculares entre s. (b) Encuentre la ecuacin para la hiprbola con focos 1c, 02 y

con asntotas perpendiculares entre s.

44. Las hiprbolas x 2

a 2y 2

b 21 y

x 2

a 2y 2

b 21

se dice que son conjugadas entre s. (a) Demuestre que las hiprbolas

x 2 4y 2 16 0 y 4y 2 x 2 16 0 son conjugadas entre s y trace sus gr cas en los mismos

ejes de coordenadas. (b) Qu tienen en comn las hiprbolas del inciso (a)? (c) Demuestre que cualquier par de hiprbolas conjugadas tiene

la relacin que usted encontr en el inciso (b).45. En la deduccin de la ecuacin de la hiprbola al principio de

esta seccin, dijimos que la ecuacin21x c 2 2 y 2 21x c 2 2 y 2 2a

se simpli ca a

1c 2 a 2 2x 2 a 2y 2 a 21c 2 a 2 2

Indique los pasos necesarios para demostrar esto.

11_Ch11_STEWART.indd 748 1/3/12 13:01:48


46. (a) Para la hiprbolax 2

9y 2

161

determine los valores de a, b y c, y encuentre las coordena-das de los focos F1 y F2.

(b) Demuestre que el punto P15, 163 2 est sobre esta hiprbola. (c) Encuentre d1P, F12 y d1P, F22 (d) Veri que que la diferencia entre d1P, F12 y d1P, F22 es 2a.47. Las hiprbolas se llaman confocales si tienen los mismos focos. (a) Demuestre que las hiprbolas

y 2

kx 2

16 k1 con 0 k 16

son confocales.

(b) Use calculadora gra cadora para trazar las ramas superiores de la familia de hiprbolas del inciso (a) para k 1, 4, 8 y 12. Cmo cambia la forma de la gr ca cuando k au-menta?

A P L I C A C I O N E S48. Navegacin En la gura, las estaciones LORAN en A y B

estn a 500 millas entre s, y el barco en P recibe la seal de la estacin A 2640 microsegundos 1ms2 antes de recibir la seal de la estacin B.

(a) Suponiendo que las seales de radio viajan a 940 pies/ms, encuentre d1P, A2 d1P, B2.

(b) Encuentre una ecuacin para la rama de la hiprbola indi-cada en rojo en la gura. (Use millas como la unidad de distancia.)

(c) Si A est al norte de B y si P est al este de A, a qu dis-tancia est P de A?

x (mi)

y (mi)

PA

B

0

250

_250

49. Trayectorias de cometas Algunos cometas, como el Ha-lley, son una parte permanente del sistema solar, movindose en rbitas elpticas alrededor del Sol. Otros cometas pasan por el sistema solar slo una vez, siguiendo una trayectoria hiperb-lica con el Sol en un foco. La gura en la parte superior de la columna siguiente muestra la trayectoria de uno de estos come-tas. Encuentre una ecuacin para la trayectoria, suponiendo que lo ms que se acerca el cometa al Sol es 2 109 millas y que la trayectoria que el cometa estaba tomando, antes de acercarse al sistema solar, est en ngulo recto con respecto a la trayectoria con la que contina despus de salir del sistema solar.

x

y

2 10 mi

50. Olas en una piscina Dos piedras se dejan caer simult-neamente en una piscina con agua en calma. Las crestas de las ondas resultantes forman circunferencias concntricas igual-mente espaciadas, como se ve en las guras. Las olas interac-tan unas con otras para crear ciertos patrones de interferencia.

(a) Explique por qu los puntos rojos estn sobre una elipse. (b) Explique por qu los puntos azules estn sobre una hipr-

bola.

DESCUBRIMIENTO Q DISCUSIN Q REDACCIN51. Hiprbolas en el mundo real En el texto se dan varios

ejemplos de usos de hiprbolas. Encuentre otras situaciones en la vida real en las que aparecen hiprbolas. Consulte una enci-clopedia cient ca en la seccin de bibliografa de su biblioteca, o busque en la Internet.

52. Luces de una lmpara La luz de una lmpara forma una super cie iluminada en una pared, como se ve en la gura. Por qu es una hiprbola el lmite de esta super cie iluminada? Puede una persona sostener una linterna para que su haz forme una hiprbola en el suelo?

11_Ch11_STEWART.indd 749 1/3/12 13:01:48


En las secciones precedentes estudiamos parbolas con vrtices en el origen y elipses e hipr-bolas con centros en el origen. Nos restringimos a estos casos porque estas ecuaciones tienen la forma ms sencilla. En esta seccin consideramos cnicas cuyos vrtices y centros no estn necesariamente en el origen, y determinamos la forma en que esto afecta sus ecuaciones.

W Desplazamiento de grficas de ecuacionesEn la Seccin 2.5 estudiamos transformaciones de funciones que tienen el efecto de despla-zar sus gr cas. En general, para cualquier ecuacin en x y y, si sustituimos x con x h o con x h, la gr ca de la nueva ecuacin es simplemente la vieja gr ca desplazada hori-zontalmente; si y se sustituye con y k o con y k, la gr ca se desplaza verticalmente. El siguiente recuadro da los detalles.

DESPLAZAMIENTO DE GRFICAS DE ECUACIONES

Si y son nmeros reales positivos, entonces sustituir por o por o sustituir con

Cambio1. sustituida con A la derecha unidades2. sustituida con A la izquierda unidades3. sustituida con Hacia arriba unidades4. sustituida con Hacia abajo unidades

tiene el (los) siguiente(s) efecto(s) en la grfica o conde cualquier ecuacin en y .

Cmo es desplazada la grfica

W Elipses desplazadasApliquemos desplazamiento horizontal y vertical a la elipse con ecuacin

x 2

a 2y 2

b 21

cuya gr ca se muestra en la Figura 1. Si la desplazamos de modo que su centro se encuen-tre en el punto 1h, k2 en lugar de en el origen, entonces su ecuacin se convierte en

1x h 2 2

a 21y k 2 2

b 21

y

x

b

a(0, 0)

+ =1ybx

a

b

a

(h, k)

h

k

(x-h, y-k)

(x, y)

=1(y-k)b(x-h)

a +

11.4 CNICAS DESPLAZADASDesplazamiento de grficas de ecuaciones Elipses desplazadas Parbo-las desplazadas Hiprbolas desplazadas La ecuacin general de una cnica desplazada

F I G U R A 1 Elipse desplazada

11_Ch11_STEWART.indd 750 1/3/12 13:01:48

S E C C I N 11.4 | Cnicas desplazadas 751

E J E M P L O 1 Trazar la grfica de una elipse desplazada

Trace una gr ca de la elipse1x 1 2 2

41y 2 2 2

91

y determine las coordenadas de los focos.

S O L U C I N La elipse

Elipse desplazada1x 1 2 2

41y 2 2 2

91

est desplazada de modo que su centro est en 11, 22. Se obtiene de la elipseElipse con centro en el origen

x 2

4y 2

91

al desplazarla a la izquierda 1 unidad y hacia arriba 2 unidades. Los puntos extremos de los ejes menor y mayor de la elipse con centro en el origen son 12, 02, 12, 02, 10, 32, 10, 32. Aplicamos los desplazamientos requeridos a estos puntos para obtener los puntos corres-pondientes en la elipse desplazada:

10, 3 2 10 1, 3 2 2 1 1, 1 2

10, 3 2 10 1, 3 2 2 1 1, 5 2

1 2, 0 2 1 2 1, 0 2 2 1 3, 2 2

12, 0 2 12 1, 0 2 2 11, 2 2

Esto nos ayuda a trazar la gr ca de la Figura 2.Para hallar los focos de la elipse desplazada, primero hallamos los focos de la elipse con

centro en el origen. Como a2 9 y b2 4, tenemos c2 9 4 5, de modo que c 15. Por lo tanto, los focos son A0, 15B. Desplazando a la izquierda 1 unidad y hacia arriba 2 unidades, obtenemos

A0, 15B A0 1, 15 2B A 1, 2 15B

A0, 15B A0 1, 15 2B A 1, 2 15B

En consecuencia, los focos de la elipse desplazada sonA 1, 2 15B y A 1, 2 15B


W Parbolas desplazadasLa aplicacin de desplazamientos a parbolas lleva a las ecuaciones y gr cas que se ilus-tran en la Figura 3.

F I G U R A 3 Parbolas desplazadas

(a) (x-h)=4p(y-k)p>0

(b) (x-h)=4p(y-k)p0

(d) (y-k)=4p(x-h)p


E J E M P L O 2 Graficar una parbola desplazada

Determine el vrtice, foco y directriz y trace una gr ca de la parbola.x2 4x 8y 28

S O L U C I N Completamos el cuadrado en x para poner esta ecuacin en una de las formas de la Figura 3.

Sume 4 para completar el cuadrado

Parbola desplazada 1x 2 2 2 81y 3 2

1x 2 2 2 8y 24

x 2 4x 4 8y 28 4

Esta parbola abre hacia arriba con vrtice en 12, 32. Se obtiene de la parbolaParbola con vrtice en el origenx 2 8y

al desplazar a la derecha 2 unidades y hacia arriba 3 unidades. Como 4p 8, tenemos p 2 y el foco est 2 unidades arriba del vrtice y la directriz est 2 unidades abajo del vrtice. Entonces el foco es 12, 52 y la directriz es y 1. La gr ca se muestra en la Figura 4.


W Hiprbolas desplazadasLa aplicacin de desplazamientos a las hiprbolas lleva a las ecuaciones y gr cas que se muestran en la Figura 5.

x

y

0

(h, k)

x

y

0

(h, k)

=1(x-h)a(y-k)

b-(a) =1(x-h)

b(y-k)

a+-(b)

E J E M P L O 3 Graficar una hiprbola desplazada

Una cnica desplazada tiene la ecuacin9x 2 72x 16y 2 32y 16

(a) Complete el cuadrado en x y y para demostrar que la ecuacin representa una hiprbola.(b) Encuentre el centro, vrtices, focos y asntotas de la hiprbola, y trace su gr ca.(c) Trace la gr ca usando una calculadora gra cadora.S O L U C I N

(a) Completamos los cuadrados tanto de x como de y:Agrupe trminos y factorice

Complete los cuadrados

Divida esto entre 144

Hiprbola desplazada 1x 4 2 2

161y 1 2 2

91

91x 4 2 2 161y 1 2 2 144 9 1x 2 8x 16 2 161y 2 2y 1 2 16 9 # 16 16 # 1

91x 2 8x 2 161y 2 2y 2 16

Comparando esto con la Figura 5(a), vemos que sta es la ecuacin de una hiprbola desplazada.

F I G U R A 5 Hiprbolas desplazadas

F I G U R A 4 x2 4x 8y 28

0 x

y

(2, 3)

F(2, 5)

y=1

11_Ch11_STEWART.indd 752 1/3/12 13:01:49


(b) La hiprbola desplazada tiene centro 14, 12 y un eje transverso horizontal.CENTRO 14, 1 2

Su gr ca tendr la misma forma que la hiprbola no desplazada

Hiprbola con centro en el origenx 2

16y 2

91

Como a2 16 y b2 9, tenemos a 4, b 3 y c 2a 2 b 2 116 9 5. Entonces los focos se encuentran 5 unidades a la izquierda y a la derecha del centro, y los vrtices estn 4 unidades a cada lado del centro.

1FOCOSVRTICES 10, 1 2 y 18, 1 2

1, 1 2 y 19, 1 2

Las asntotas de la hiprbola no desplazada son y 34 x, de modo que las asntotas de la hiprbola desplazada se encuentran como sigue.

ASNTOTAS

y 34 x 4 y y 34 x 2

y 1 34 x 3

y 1 34 1x 4 2

Para ayudarnos a trazar la hiprbola, trazamos la caja central; se prolonga 4 unidades a la izquierda y derecha del centro, y 3 unidades hacia arriba y hacia abajo del centro. A continuacin trazamos las asntotas y completamos la gr ca de la hiprbola despla-zada, como se muestra en la Figura 6(a).

(a) (b)

13_5

_7

5

0

y

(4, 2)

(4, _4)

(4, _1)F (9, _1)F(_1, _1)

(0, _1) (8, _1)

y=_ x+234y= x-434

y = 1 + 0.75 x2 8x

y = 1 0.75 x2 8x

x

F I G U R A 6 9x2 72x 16y2 32y 16

(c) Para trazar la gr ca usando una calculadora gra cadora, necesitamos despejar y. La ecuacin dada es una ecuacin cuadrtica en y, de modo que usamos la Frmula Cua-drtica para despejar y. Escribiendo la ecuacin en la forma

16y 2 32y 9x 2 72x 16 0 obtenemos

Frmula cuadrtica

Expanda

Simplifique 1 342 2 8

Factorice 576 debajo el radical

32 242 2 832

32 2576 2 460832

32 2322 416 9 2 72 16 216

Observe que la ecuacin de una hipr-bola no de ne a y como funcin de x (vea pgina 158). Es por ello que nece-sitamos gra car dos funciones para gra car una hiprbola.

11_Ch11_STEWART.indd 753 1/3/12 13:01:49


Para obtener la gr ca de la hiprbola, gra camos las funciones

y

y 1 0.75 2x 2 8x

y 1 0.75 2x 2 8x

como se ve en la Figura 6(b). AHORA INTENTE HACER LOS EJERCICIOS 13 Y 25 Q

W La ecuacin general de una cnica desplazadaSi expandimos y simpli camos las ecuaciones de cualesquiera de las cnicas desplazadas que se ilustran en las Figuras 1, 3 y 5, entonces siempre vamos a obtener una ecuacin de la forma

Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0

donde A y C son diferentes de cero ambas. A la inversa, si empezamos con una ecuacin de esta forma, entonces completamos el cuadrado en x y y para ver cul tipo de seccin cnica representa. En algunos casos la gr ca de la ecuacin resulta ser slo un par de rectas o un solo punto, o puede no haber gr ca en absoluto. Estos casos reciben el nombre de cnicas degeneradas. Si la ecuacin no es degenerada, entonces podemos saber si representa una parbola, una elipse o una hiprbola simplemente con examinar los signos de A y C, como se describe en el recuadro siguiente.

ECUACIN GENERAL DE UNA CNICA DESPLAZADA


donde A y C son diferentes de cero ambas, es una cnica o una cnica degenerada. En los casos no degenerados la grfica es

1. una parbola si A o C es 0,2. una elipse si A y C tienen el mismo signo (o una circunferencia si A C).3. una hiprbola si A y C tienen signos contrarios.

Ax 2 Cy 2 Dx Ey F 0

E J E M P L O 4 Una ecuacin que lleva a una cnica degenerada

Trace la gr ca de la ecuacin

9x 2 y 2 18x 6y 0

S O L U C I N Como los coe cientes de x2 y y2 son de signo contrario, esta ecuacin se ve como si debiera representar una hiprbola (como la ecuacin del Ejemplo 3). Para ver si ste es el caso, completamos los cuadrados:

Agrupe trminos y factorice 9

Complete los cuadrados

Factorice

Divida entre 9 1x 1 2 21y 3 2 2

90

9 1x 1 2 2 1y 3 2 2 0

9 1x 2 2x 1 2 1y 2 6y 9 2 0 9 # 1 9 9 1x 2 2x 2 1y 2 6y 2 0

JOHANNES KEPLER (1571-1630) fue el primero en dar una descripcin co-rrecta del movimiento de los planetas. La cosmologa de su tiempo postulaba complicados sistemas de circunferencias movindose en circunferencias para describir estos movimientos. Kepler buscaba una descripcin ms sencilla y armnica. Como astrnomo o cial de la corte imperial de Praga, estudi las observaciones astronmicas del astr-nomo dans Tycho Brahe, cuyos datos eran los ms precisos de que se dispo-na en aquel tiempo. Despus de nu-merosos intentos por hallar una teora, Kepler hizo el trascendental descubri-miento de que las rbitas de los plane-tas eran elpticas. Sus tres grandes leyes del movimiento planetario son

1. La rbita de cada planeta es una elipse con el Sol en un foco.

2. El segmento de recta que une al Sol y un planeta barre reas iguales en tiempos iguales (vea la gura).

3. El cuadrado del perodo de revolu-cin de un planeta es proporcional al cubo de la longitud del eje mayor de su rbita.

Su formulacin de estas leyes es quiz la deduccin ms impresionante hecha a partir de datos empricos en la histo-ria de la ciencia.

Copy

right

N

orth

Win

d/N

orth

Win

d Pi

ctur

e Ar

chiv

es

Todo

s lo

s de

rech

os re

serv

ados

.

11_Ch11_STEWART.indd 754 1/3/12 13:01:49


Para que esto se ajuste a la forma de la ecuacin de una hiprbola, necesitaramos una cons-tante diferente de cero a la derecha del signo igual. En realidad, un ulterior anlisis indica que sta es la ecuacin de un par de rectas que se cruzan:

Tome races cuadradas

3 6 3

3 1 3 o 3 1 3

3 3 1

3 2 9 1 2

Estas rectas estn gra cadas en la Figura 7.


Debido a que la ecuacin del Ejemplo 4 a primera vista se vea como la ecuacin de una hiprbola, pero, result que representaba simplemente un par de rectas, nos referimos a su gr ca como una hiprbola degenerada. Las elipses y parbolas degeneradas tambin pueden aparecer cuando completamos el (los) cuadrado(s) en una ecuacin que parece re-presentar una cnica. Por ejemplo, la ecuacin

4x 2 y 2 8x 2y 6 0

se ve como si debiera representar una elipse, porque los coe cientes de x2 y y2 tienen el mismo signo. Pero completar el cuadrado nos lleva a

1x 1 2 21y 1 2 2

4

14

que no tiene solucin en absoluto (porque la suma de los dos cuadrados no puede ser nega-tiva). Esta ecuacin es, por lo tanto, degenerada.

1 1 . 4 E J E R C I C I O S

CO N C E P TO S 1. Suponga que deseamos gra car una ecuacin en x y y.

(a) Si sustituimos x con x 3, la gr ca de la ecuacin se desplaza a la _______3 unidades. Si sustituimos x con x 3,

la gr ca de la ecuacin se desplaza a la ______3 unidades.

(b) Si sustituimos y con y 1, la gr ca de la ecuacin se desplaza _______ 1 unidad. Si sustituimos y con y 1,

la gr ca de la ecuacin se desplaza _________ 1 unidad.

2. Nos dan las gr cas de x2 12y y 1x 322 121y 12. Asigne coordenadas al foco, directriz y vrtice de cada parbola.

y

x0 11

y

x0 1

1

3. Nos dan las gr cas de y1x 3 2 2

521 y 1 2 2

421

x2

52y2

421 .

Asigne coordenadas a los vrtices y focos en cada elipse.

y

x0 11

y

x0 11

0 x

y

6

_2

F I G U R A 7 9x 2 y 2 18x 6y 0

11_Ch11_STEWART.indd 755 1/3/12 13:01:49


4. Nos dan las gr cas de y1x 3 2 2

421y 1 2 2

321

x2

42y2

321 .

Asigne coordenadas a vrtices, focos y asntotas en cada hipr-bola.

y

x0 11

y

x0 11

H A B I L I D A D E S5-8 Q Encuentre el centro, focos y vrtices de la elipse, y determine las longitudes de los ejes mayor y menor. A continuacin, trace la gr ca.

.6.5

.8.71x 2 2 2

4y 2 1

x 2

91y 5 2 2

25 1

1x 3 2 2

161y 3 2 2 1

1x 2 2 2

91y 1 2 2

41

9-12 Q Encuentre el vrtice, foco y directriz de la parbola. A con-tinuacin, trace la gr ca.

.01.9

.21.11 y2 16x 84Ax 12B2 y

1y 5 2 2 6x 121x 3 2 2 81y 1 2

13-16 Q Encuentre el centro, focos, vrtices y asntotas de la hipr-bola. A continuacin, trace la gr ca.

.41.31

.61.511y 1 2 2

25 1x 3 22 1y2

1x 1 2 2

41

1x 8 2 2 1y 6 2 2 11x 1 2 2

91y 3 2 2

161

17-22 Q Encuentre una ecuacin para la cnica cuya gr ca se muestra.

17.

_2 20 x

y

4

18.

0 x

y

_6

Directrizy=_12

5

19.

F(8, 0)4

0 x

y

10

20.

0 x

y

_3

2

21.

0 x

y

1

Asntotay=x+1

22.

0 x

y

4

2_4

6

23-34 Q Complete el cuadrado para determinar si la ecuacin repre-senta una elipse, una parbola, una hiprbola o una cnica degene-rada. Si la gr ca es una elipse, encuentre el centro, focos, vrtices y longitudes de los ejes mayor y menor. Si es una parbola, encuen-tre el vrtice, foco y directriz. Si es una hiprbola, encuentre el cen-tro, focos, vrtices y asntotas. A continuacin, trace la gr ca de la ecuacin. Si la ecuacin no tiene gr ca, explique por qu.23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34. x2 4y2 20x 40y 300 0

3x2 4y2 6x 24y 39 0

x 2 y 2 101x y 2 1

x 2 16 41y 2 2x 2

4x2 4x 8y 9 0

16x2 9y2 96x 288 0

2x2 y2 2y 1

4x2 25y2 24x 250y 561 0

x2 6x 12y 9 0

x2 4y2 2x 16y 20

9x2 36x 4y2 0

y 2 41x 2y 2

35-38 Q Use calculadora gra cadora para gra car la cnica.35.

36.

37.

38. x2 4y2 4x 8y 0

9x2 36 y2 36x 6y

4x2 9y2 36y 0

2x2 4x y 5 0

39. Determine cul debe ser el valor de F si la gr ca de la ecuacin

4x 2 y 2 41x 2y 2 F 0

es (a) una elipse, (b) un solo punto, o (c) el conjunto vaco.40. Encuentre una ecuacin para la elipse que comparte un vrtice y

un foco con la parbola x2 y 100 y tiene su otro foco en el origen.

11_Ch11_STEWART.indd 756 1/3/12 13:01:50

S E C C I N 11.5 | Rotacin de ejes 757

41. Este ejercicio se re ere a parbolas confocales, es decir, fami-lias de parbolas que tienen el mismo foco.

(a) Trace gr cas de la familia de parbolas

. para p 2, 32, 1, 12, 12, 1, 32, 2

x 2 4p1y p 2

(b) Demuestre que cada parbola de esta familia tiene su foco en el origen.

(c) Describa el efecto en la gr ca de mover el vrtice ms cerca del origen.

A P L I C A C I O N E S 42. Trayectoria de una bala de can Un can dispara

una bala como se ve en la gura. La trayectoria de la bala es una parbola con vrtice en el punto ms alto de la trayectoria. Si la bala cae al suelo a 1600 pies del can y el punto ms alto que alcanza es 3200 pies sobre el suelo, encuentre una ecuacin para la trayectoria de la bala. Coloque el origen en el lugar donde est el can.

43. rbita de un satlite Un satlite est en rbita elptica alrededor de la Tierra con el centro de sta en un foco, como se muestra en la gura de la parte superior de la columna de la de-recha. La altura del satlite arriba de la Tierra vara entre 140 millas y 440 millas. Suponga que la Tierra es una esfera con ra-dio de 3960 mi. Encuentre una ecuacin para la trayectoria del satlite con el origen en el centro de la Tierra.

440 mi 140 mi

DESCUBRIMIENTO Q DISCUSIN Q REDACCIN44. Una familia de cnicas confocales Las cnicas que

comparten un foco se llaman confocales. Considere la familia de cnicas que tienen un foco en 10, 12 y un vrtice en el origen, como se ve en la gura.

(a) Encuentre ecuaciones de dos elipses diferentes que tengan estas propiedades.

(b) Encuentre ecuaciones de dos hiprbolas diferentes que ten-gan estas propiedades.

(c) Explique por qu slo una parbola satisface estas propie-dades. Encuentre su ecuacin.

(d) Trace las cnicas que encontr en los incisos (a), (b) y (c) en los mismos ejes de coordenadas (para las hiprbolas, trace slo las ramas superiores).

(e) Cmo estn relacionadas las elipses e hiprbolas con la parbola?

0 x

y

1

11.5 ROTACIN DE EJESRotacin de ejes Ecuacin general de una cnica El discriminante

En la Seccin 11.4 estudiamos cnicas con ecuaciones de la forma

Ax2 Cy2 Dx Ey F 0Vimos que la gr ca es siempre una elipse, parbola o hiprbola con ejes horizontales o verticales (excepto en los casos degenerados). En esta seccin estudiamos la ecuacin de segundo grado ms general

Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0

11_Ch11_STEWART.indd 757 1/3/12 13:01:50


Veremos que la gr ca de una ecuacin de esta forma tambin es una cnica. De hecho, al girar los ejes de las coordenadas un ngulo apropiado, podemos eliminar el trmino Bxy y luego usar nuestro conocimiento de secciones cnicas para analizar la gr ca.

W Rotacin de ejesEn la Figura 1, los ejes x y y han sido girados un ngulo agudo f alrededor del origen para producir un nuevo par de ejes, que llamamos ejes X y Y. Un punto P que tiene coordenadas 1x, y2 en sistema antiguo tiene coordenadas 1X, Y2 en el nuevo sistema. Si hacemos que r denote la distancia de P del origen y que u sea el ngulo que el segmento OP forma con el nuevo eje X, entonces podemos ver de la Figura 2 (al considerar los dos tringulos rectn-gulos de la gura) que

x r cos1u f 2 y r sen 1u f 2

X r cos u Y r sen u

Usando la Frmula de la Adicin para Coseno, vemos que

X cos f Y sen f

1r cos u 2 cos f 1r sen u 2 sen f

r 1cos u cos f sen u sen f 2

x r cos1u f 2

Anlogamente, podemos aplicar la Frmula de la Adicin para Seno a la expresin para y para obtener y X sen f Y cos f. Tratando estas ecuaciones para x y y como un sistema de ecuaciones lineales con las variables X y Y (vea Ejercicio 35), obtenemos expresiones para X y Y en trminos de x y y, como se detalla en el recuadro siguiente.

FRMULAS PARA ROTACIN DE EJES

Suponga que los ejes x y y de un plano de coordenadas se giran el ngulo agudo f para producir los ejes X y Y, como se muestra en la Figura 1. Entonces las coorde-nadas (x, y) y (X, Y) de un punto en los planos xy y XY estn relacionados como sigue:

y X sen f Y cos f Y x sen f y cos f

x X cos f Y sen f X x cos f y sen f

E J E M P L O 1 Rotacin de ejes

Si los ejes de coordenadas se giran 30, encuentre las coordenadas XY del punto con coor-denadas xy 12, 42.S O L U C I N Usando las Frmulas para Rotacin de Ejes con x 2, y 4 y f 30, obtenemos

Y 2 sen 30 1 4 2 cos 30 2 a12b 4 a

132b 1 213

X 2 cos 30 1 4 2 sen 30 2 a132b 4 a

12b 13 2

Las coordenadas XY son .1 2 13, 1 213 2


F I G U R A 1

0

P(x, y)P(X, Y)

y

x

Y

X

F I G U R A 2

y

0

P

x

Y

X

yr

X

Y

x

11_Ch11_STEWART.indd 758 1/3/12 13:01:50


E J E M P L O 2 Giro de una hiprbola

Gire los ejes de coordenadas un ngulo de 45 para demostrar que la gr ca de la ecuacin xy 2 es una hiprbola.

S O L U C I N Usamos las Frmulas para Rotacin de Ejes con f 45 para obtener

y X sen 45 Y cos 45 X12

Y12

x X cos 45 Y sen 45 X12

Y12

Sustituyendo estas expresiones en la ecuacin original da

X 2

4Y 2

41

X 2

2Y 2

22

aX12

Y12b a

X12

Y12b 2

Reconocemos esto como una hiprbola con vrtices 12, 02 en el sistema de coordenadas XY. Sus asntotas son Y X, que corresponden a los ejes de coordenadas del sistema xy (vea Figura 3).

y

x0

XY

45*

F I G U R A 3xy 2


W Ecuacin general de una cnicaEl mtodo del Ejemplo 2 se puede usar para transformar cualquier ecuacin de la forma


en una ecuacin con X y Y que no contiene un trmino XY al escoger un ngulo de rotacin apropiado. Para hallar el ngulo que funcione, giramos los ejes un ngulo f y sustituimos x y y usando las Frmulas para Rotacin de Ejes:

E1X sen f Y cos f 2 F 0

C1X sen f Y cos f 22 D 1X cos f Y sen f 2

A1X cos f Y sen f 2 2 B1X cos f Y sen f 2 1X sen f Y cos f 2

Imgenes del interior de nuestra cabezaCmo le gustara a usted ver el inte-rior de su cabeza? La idea no es particu-larmente atrayente para la mayora de nosotros, pero es frecuente que los m-dicos necesiten precisamente eso. Si pueden ver sin recurrir a ciruga inva-siva, es mejor. Una placa de rayos X en realidad no da una imagen del interior, sino simplemente una gr ca de la densidad del tejido por el que deben pasar los rayos X. En consecuencia, una placa de rayos X es una vista aplanada en una direccin. Suponga que usted obtiene una placa de rayos X de mu-chas direcciones diferentes. Se pueden usar estas gr cas para reconstruir la imagen interior en tres dimensiones? ste es un problema puramente mate-mtico y fue resuelto por matemticos hace mucho tiempo. Sin embargo, re-construir la vista interior requiere miles de tediosos clculos. Hoy en da, las matemticas y computadoras de alta velocidad hacen posible ver dentro mediante un proceso llamado tomo-grafa asistida por computadora (o es-cner CAT). Los matemticos siguen in-vestigando mejores formas de usar matemticas para reconstruir imge-nes. Una de las tcnicas ms recientes, llamada imgenes de resonancia mag-ntica (MRI), combina biologa molecu-lar y matemticas para una clara vista interior .

L A S M AT E M T I C A S E N E L M U N D O M O D E R N O

R

oger

Res

smey

er/C

ORBI

S

11_Ch11_STEWART.indd 759 1/3/12 13:01:51


Si expandimos esto y reunimos trminos semejantes, obtenemos una ecuacin de la formaAX 2 BXY CY 2 DX EY F 0

donde

F F

E D sen f E cos f

D D cos f E sen f

C A sen2f B sen f cos f C cos2f

B 21C A 2 sen f cos f B1cos2f sen2f 2

A A cos2f B sen f cos f C sen2f

Para eliminar los trminos XY, nos gustara escoger f de modo que B 0, es decir,

Frmulas de ngulo Doble para Seno y Coseno

Divida entre B sen 2f2 toc fA C

B

B cos 2f 1A C 2 sen 2f 1C A 2 sen 2f B cos 2f 0

2 1C A 2 sen f cos f B1cos2f sen2f 2 0

El clculo precedente demuestra el teorema siguiente.

SIMPLIFICACIN DE LA ECUACIN GENERAL DE CNICAS

Para eliminar el trmino xy en la ecuacin general de cnicas

gire los ejes el ngulo agudo f que satisfaga

cot 2fA C

B


E J E M P L O 3 Eliminar el trmino en xy

Use una rotacin de ejes para eliminar el trmino xy en la ecuacin613x2 6xy 413y2 2113

Identi que y trace la curva.

S O L U C I N Para eliminar el trmino en xy, giramos los ejes un ngulo f que satisfaga

cot 2fA C

B613 413

6133

Entonces 2f 60 y por lo tanto f 30. Con este valor de f obtenemos

Frmula para Rotacin de Ejes

cos f132

, sen f12

y X a12b Y a

132b

x X a132b Y a

12b

Frmulas de ngulo Doble

cos 2f cos2f sen2f

sen 2f 2 sen f cos f

11_Ch11_STEWART.indd 760 1/3/12 13:01:51


Sustituyendo estos valores por x y y en la ecuacin dada lleva a

613 aX13

2Y2b

2

6 aX13

2Y2b a

X2

Y132b 413 a

X2

Y132b

2

2113

Expandiendo y reuniendo trminos semejantes, obtenemos

Divida entre 2113 X 2

3Y 2

71

713X 2 313Y 2 2113

sta es la ecuacin de una elipse en el sistema de coordenadas XY. Los focos se encuentran sobre el eje Y. Como a2 7 y b2 3, la longitud del eje mayor es ,217 y la longitud del eje menor es 213. La elipse est trazada en la Figura 4.


En el ejemplo precedente pudimos determinar f sin di cultad, porque recordamos que cot 60 13/3. En general, hallar f no es tan fcil. El siguiente ejemplo ilustra la forma en que las siguientes Frmulas de Medio ngulo, que son vlidas para 0 < f


Expandiendo y reuniendo trminos semejantes, obtenemos

Simplifique

Divida entre 4 2 14 1

4 2 1

001 2 25 25 0

(b) Reconocemos esto como la ecuacin de una parbola que abre a lo largo del eje Y ne-gativo y tiene vrtice 10, 12 en coordenadas XY. Como tenemos p 1164p 14 , de modo que el foco es A0, 1516B y la directriz es Y 1716 . Usando

f cos 1 45 37

trazamos la gr ca en la Figura 6(a).

y

x

X

Y

37*

(0, 1)

(a)

2_2

(b)

_2

y = (24x 5 515x + 10)/18

2y = (24x 5 + 515x + 10)/18

(c) Para trazar la gr ca usando calculadora gra cadora, necesitamos despejar y. La ecua-cin dada es una ecuacin cuadrtica en y, de modo que podemos usar la Frmula Cuadrtica para despejar y. Escribiendo la ecuacin en la forma

36y2 196x 20 2y 164x2 15x 25 2 0

obtenemos

Expanda

Simplifique

Simplifique 24x 5 5215x 10

18

96x 20 20215x 1072

Secciones conicas

Documents

Transcript of Secciones conicas