Sebenta Física Global1

FÍSICA Ano Lectivo 2010/2011

IPCA - Escola Superior de Gestão 1

Apontamentos de Fundamentos de Física

Ano Lectivo: 2010/2011

Cursos: Eng.ª Eléctrica e Eng.ª Sistemas Informáticos (L e PL)

Unidade Curricular: Fundamentos de Física (1º Ano-1º Semestre)

Docente: Síria Barros

Instituto Politécnico do Cávado e do Ave - IPCA



ÍNDICE

ÍNDICE ___________________________________________________________________________ 1

INTRODUÇÃO ____________________________________________________________________ 5

1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES ______________________________ 5

1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas ______________________________ 5

1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)? _______________________________ 5

1.3 Sistemas de Unidades ________________________________________________________ 6

1.4 Análise Dimensional __________________________________________________________ 7

2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA ___________________________________________ 9

2.1 Trigonometria ________________________________________________________________ 9

2.2 Cálculo vectorial ___________________________________________________________ 10

2.3 Cálculo diferencial _________________________________________________________ 12

2.3.1 Derivada de uma função __________________________________________________12

2.3.2 Regras básicas de derivação _______________________________________________13

2.3.3 Derivadas imediatas ______________________________________________________13

2.4 Cálculo integral ____________________________________________________________ 14

2.4.1 Algumas regras da primitivação ___________________________________________15

3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL _____________________________________ 15

3.1 Introdução _________________________________________________________________ 15

3.2 Movimento Unidimensional ________________________________________________ 16

3.2.1 Vector posição; Deslocamento _____________________________________________17

3.2.2 Velocidade média _________________________________________________________17

3.2.3 Velocidade instantânea ___________________________________________________18

3.2.4 Aceleração média é instantânea ___________________________________________18

3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional ________________________________________________________________19

3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado _____________________________20

3.2.7 Corpos em queda livre ____________________________________________________20



3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional _________________________________ 21

3.3.1 Coordenadas cartesianas _________________________________________________21

3.3.1.1 Posição e deslocamento________________________________________________21

3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea _____________________________21

3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea _____________________________23

3.3.2 Movimento de um Projéctil ________________________________________________24

3.3.3 Coordenadas intrínsecas __________________________________________________26

3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento curvilíneo _______28

3.3.3.2 Movimento circular ____________________________________________________30

3.4 Movimento relativo ________________________________________________________ 33

3.4.1 Velocidade relativa ________________________________________________________34

3.4.2 Aceleração relativa ________________________________________________________35

3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme _______________________________35

4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL _________________________________ 36

4.1 Momento linear ou quantidade de movimento _____________________________ 36

4.2 Leis de Newton _____________________________________________________________ 37

4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento ____________________ 39

4.4 Forças fundamentais e forças derivadas ____________________________________ 40

4.4.1 Conceito de força _________________________________________________________40

4.4.2 Tipos de forças ___________________________________________________________41

4.4.2.1 Forças fundamentais __________________________________________________41

4.4.2.2 Forças de contacto ____________________________________________________43

4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre ______________ 46

4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo ________________ 50

5. ESTÁTICA ___________________________________________________________________ 61

5.1 Condições de equilíbrio de uma partícula __________________________________ 61

5.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido ________________________________ 61

5.3 Momento de uma força _____________________________________________________ 62



6. TRABALHO E ENERGIA ______________________________________________________ 66

6.1 Trabalho de uma força _____________________________________________________ 66

6.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética _________________ 68

6.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e elástica _____________________________________________________________ 69

6.4 Forças não conservativas___________________________________________________ 74

6.5 Lei da conservação da Energia Mecânica ___________________________________ 75

6.6 Potência ____________________________________________________________________ 77

7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO _________________________________________________ 78

7.1 Movimento Harmónico Simples ____________________________________________ 79

7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples __________________________________ 85



INTRODUÇÃO

O que é a física?

A física é uma ciência fundamental que procura entender os fenómenos naturais

que ocorrem no nosso Universo. É uma ciência que se baseia em observações

experimentais e em medições quantitativas. Procura estudar as propriedades

básicas do Universo usando um conjunto limitado de objectos – Sistema Físico –

que pode ir desde o menor sistema físico, designadamente o estudo de partículas

elementares ao maior sistema físico, nomeadamente o Universo.

Objectivos da física

Distinguir as várias interacções da matéria (gravitacionais, electromagnéticas,

nucleares)

Exprimi-las quantitativamente com o auxílio da matemática

A partir das interacções fundamentais formular regras gerais sobre o

comportamento macroscópico da matéria

1. GRANDEZAS FÍSICAS, UNIDADES E DIMENSÕES

1.1 Grandezas fundamentais e grandezas derivadas

A observação de um fenómeno é incompleta quando dela não resultar uma

informação quantitativa. As leis de física exprimem-se em termos de grandezas

fundamentais. Por exemplo grandezas como a força, velocidade e volume são

grandezas derivadas, pois podem ser descritas em função de grandezas

fundamentais, que em si mesmas se definem em função de medidas ou de

comparação com padrões bem definidos. Na mecânica as três grandezas

fundamentais são o comprimento (L), o tempo (T) e a massa (M). Todas as outras

grandezas derivadas exprimem-se em função das grandezas fundamentais por

fórmulas matemáticas.

1.2 Como medir uma dada quantidade (grandeza)?

Medir é um processo que nos permite atribuir um número a uma grandeza física

como resultado da comparação entre grandezas do mesmo tipo. Compara-se com

um padrão o qual é considerado como unidade dessa quantidade (dimensão).



Para medir o comprimento de um objecto compara-se com o metro padrão.

Como curiosidade, este foi definido como a distância percorrida pela luz,

no vácuo, no intervalo de tempo 1/299.792.458 segundos.

Para medir a massa de um objecto compara-se com o quilograma. Define-

se como a massa de 1 litro de água pura a 4ºC.

Para medir o intervalo de tempo compara-se com o segundo. Define-se

como o tempo necessário para o átomo de césio 133 efectuar

9.192.631.770 vibrações.

Tabela 1.1 – Prefixos de potências de 10

Prefixo Abreviatura Factor Prefixo Abreviatura Factor

Deca- da 101 Deci- d 10-1

Hecto- H 102 Centi- c 10-2

Quilo- K 103 Mili- m 10-3

Mega- M 106 Micro- μ 10-6

Giga- G 109 Nano- n 10-9

Tera- T 1012 Pico- P 10-12

1.3 Sistemas de Unidades

Em 1960, um comité internacional estabeleceu as regras para decidir sobre os

padrões destas grandezas fundamentais. O sistema que foi estabelecido é

denominado Sistema Internacional (SI) de Unidades. Neste sistema, as

unidades de massa, de comprimento e de tempo são, respectivamente o

quilograma, o metro e o segundo. Outras unidades estabelecidas pelo comité

foram as de temperatura (kelvim), a de corrente eléctrica (ampère) e de

intensidade luminosa (a candela) e a de quantidade de substância.

Um sistema de unidades deve ser “coerente”, o que significa que uma unidade

derivada se deve obter à custa das fundamentais por simples produto ou

quociente.



Tabela 1.2 Algumas unidades SI derivadas com nomes especiais

Grandeza Unidade Expressão em

termos de outras unidades

Expressão em termos

das unidades fundamentais

Frequência

Força

Pressão

Trabalho

Potência

Hertz(Hz)

Newton (N)

Pascal (Pa)

Joule (J)

Watt (kW)

N/m2

N.m

J/s

s-1

m.Kg.s-2

m-1.Kg.s-2

m2.Kg.s-2

m2.Kg.s-3

1.4 Análise Dimensional

O conceito de dimensão tem significado especial na física. Em geral denota a

natureza física de uma grandeza. Uma distância, por exemplo, quer seja medida

em metros ou em quilómetros, é sempre uma distância. Dizemos então que a sua

dimensão é comprimento.

Por exemplo para representar as dimensões da velocidade indicamos: v

No Sistema Internacional de Unidades os símbolos adoptados para cada uma das

grandezas fundamentais são:

Tabela 1.3 Dimensões de grandezas fundamentais

Grandeza fundamental dimensão

Comprimento L

Massa M

Tempo T

Corrente eléctrica I

Temperatura ө

Quantidade de matéria N

Intensidade luminosa J

A dimensão de uma grandeza G, no SI, vem em geral dada por:

JNTMLGG dim



onde ,...,, , são chamados expoentes dimensionais. Note-se que uma

grandeza sem dimensão (adimensional) é uma grandeza em que todos os

expoentes dimensionais são iguais a zero.

Na tabela seguinte estão listadas as dimensões de algumas grandezas,

juntamente com as unidades nos dois sistemas de unidades mais conhecidos.

Tabela 1.4 – Principais unidades SI utilizadas em Mecânica.

Grandeza Dimensão Unidade(si) Unidades (cgs)

Velocidade LT-1 m s-1 cm s-1

Área L2 m2 cm2

Volume de sólidos L3 m3 cm3

Aceleração LT-2 M s-2 cm s-2

Força MLT-2 Kg m s-2=Newton g cm s-2=dine

Energia ML2T2 Kg m2 s-2=Joule g cm2 s-2=erg

Uma equação física correcta terá de ser dimensionalmente homogénea, devendo

para tal obedecer às seguintes regras:

As dimensões das quantidades em ambos os lados de uma equação devem

de ser as mesmas (a não ser que a equação expresse um conversão entre

sistemas de unidades diferentes), e este é o princípio da homogeneidade

dimensional.

Apenas quantidades com as mesmas dimensões devem de ser somadas ou

subtraídas.

Quaisquer quantidades podem ser multiplicadas ou divididas, mas as

dimensões do resultado são o produto ou a divisão das dimensões

individuais das parcelas.

Exemplo 1.1

kgm 33 (errado)

kgg 3103 3 (correcto, corresponde a uma conversão)

1 polegada = 2,54 cm (correcto, corresponde a uma conversão)



Exemplo. 1.2

Analisemos dimensionalmente a seguinte equação, que traduz a equação de

movimento.

tvatx0

22/1

Lx

LLLTLTTTLLTvTaX 2/1.2/12/1 1222

(dimensionalmente correcto)

2. COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA

2.1 Trigonometria

2.1.1 Funções trigonométricas

c

acotg

a

ctg

2.1.2 Triângulos trigonométricos

Triângulos rectângulos

222 ach

Outros triângulos

h – comprimento da hipotenusa c – comprimento do lado oposto ao ângulo a - comprimento do lado adjacente ao ângulo

c

a

c

hsec

h

csen

hcosec

h

acos

acotg

a

ctg

Funções inversas

h

carcsen

h

a

a

carctg

arccos



Lei dos senos: sen

c

sen

b

sen

a

Lei dos co-senos:

cos2

cos2

222

222

abbac

abbac

2.2 Cálculo vectorial

As grandezas físicas podem ser escalares ou vectoriais. Grandezas escalares

são grandezas definidas apenas pela sua magnitude (número mais dimensão),

como o tempo, área, volume,…Grandezas vectoriais são definidas pela sua

magnitude e têm uma direcção associada (vector mais dimensão), tais como, a

velocidade, aceleração, força,…

Os vectores normalmente designam-se por letras minúsculas com uma seta por

cima ( ,...,,,, wvuba ).

O vector u definido pelo segmento orientado BA, representa-se por AB e

escreve-se ABu

O vector nulo representa-se por 0 , tem direcção e sentido indeterminados e

comprimento zero.

Referencial Ortonormado

A

B

u

Define três direcções ortogonais

no espaço tridimensional

Os vectores k e j,i

têm valor

unitário sendo ortogonais entre si

Estes vectores constituem uma

base ortonormada com a qual é

possível representara qualquer

vector



),,( zyxzyxzyx AAAkAjAiAAAAA

A medida do comprimento de um vector chama-se a norma do vector:

222

zyxAAAA

Em matemática, dados dois vectores quaisquer, obtém-se o vector soma da

seguinte forma:

Conhecidas as representações

geométricas

),,(

)()()(

)()(

zzyyxx

zzyyxx

zyxzyx

vuvuvu

kvujvuivu

kvjvivkujuiuvu

Produto de um vector por um escalar:

Dado o vector u , tem-se:

u v

u

v

vu

u v

vu

u u2

u3



1,5,3 u

2,10,62222 kujuiuuzyx

3,15,93 u

Produto escalar de dois vectores (produto interno):

)cos()).((. uvzzyyxxzyxzyx vuvuvuvukvjvivkujuiuvu

Em que uv

é o ângulo entre os dois vectores. Assim se os dois vectores forem

perpendiculares o seu produto escalar (ou interno) é nulo.

Produto Vectorial de dois vectores (produto externo):

)()()()( uvxyyxxyxzyzzy

zyx

zyx senvukvuvujvuvuivuvu

vvv

uuu

kji

vuvu

Se dois vectores forem paralelos o seu produto externo é o vector nulo. A direcção

do vector vu é perpendicular a ambos os vectores. Utilizando a mão direita e

colocando o dedo indicador no vector u e o médio no vector v , o polegar numa

posição perpendicular aos outros dois dedos indica o sentido do vector resultante

do produto vectorial (ou externo).

2.3 Cálculo diferencial

2.3.1 Derivada de uma função

A derivada de um função )(xf para ax é definida como:

h

afhafaf

h

)()(lim)('

0



2.3.2 Regras básicas de derivação

Derivada da soma de funções: )(')('')()( xgxfxgxf

Derivada do produto de funções: )(').()().(')().( xgxfxgxfxgxf

Derivada do quociente de funções: )(

)(').()().(''

)(

)(2 xg

xgxfxgxf

xg

xf

Derivada da função composta: )('))((')()'( xgxgfxfog

Derivada da função inversa: ))(('

1')(

1

1

xffxf

2.3.3 Derivadas imediatas

1.)'( aa xax

)cos(')( xxsen

)(')cos( xsenx

)(cos

1')(

2 xxtg

xxxx eeaaa )()ln(.)'(

)()(' tgaf - a derivada é igual ao declive

da tangente à curva para ax



2.4 Cálculo integral

Considere-se o gráfico da função y

Seja t , a variação, que se considera constante, da variável t . Se esta variação

for suficientemente pequena para que a função y se possa considerar constante

em cada intervalo tt , tem-se:

ttytttytttyttyA fiii )(....)2()()(

Tomando o limite 0t , o cálculo da área é exacto, pois num intervalo de

tempo infinitesimal a variável y matem-se constante:

dttydtttydtttydttyA fiii )(....)2()()(

Esta soma tem infinitos termos e é representada através de um intervalo

definido:

f

i

t

tdttyA )(

O teorema fundamental do cálculo integral, permite calcular o integral definido

através da primitiva Y , da função y :

)()()( fi

t

t

t

ttYtYYdttyA f

i

f

i

A primitiva é a função Y , cuja derivada é )(ty e, sendo assim, pode obter-se de

uma maneira inversa à da derivação.

b

aaFbFdxxf )()()( em que )(

)(xf

dx

xdF ou seja ))(()( xfprimitivaxF

A área representada na figura pode ser

obtida dividindo-a em várias fatias e

calculando a sua soma:

nAAAAA ...321



Na tabela seguinte representam-se algumas primitivas usuais.

Tabela 2.1 Primitivas de algumas funções usuais

f(x) k )1( nkxn

x

k

)(. axsenk )cos(. axk

Primitiva kx

1

1

n

xk

n

xk ln

)cos(axa

k )(axsen

a

k

2.4.1 Algumas regras da primitivação

Primitiva da soma de funções:

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

Primitiva de uma constante vezes uma função

dxxfcdxxfc )()(.

Integração de uma função vectorial

f

i

f

i

f

i

f

i

t

t

t

t

t

t

t

tkdttzjdttryidttrxdtrktzjtyitxr

)()()()()()(

Pois os vectores ji

. e k

são invariantes no tempo.

3. CINEMÁTICA DE UM PONTO MATERIAL

3.1 Introdução

A dinâmica estuda o movimento dos corpos e a relação entre esse movimento e

grandezas físicas, como a força e a massa. A cinemática representa a parte da

mecânica que descreve o movimento com os conceitos de espaço e de tempo,

independentemente das causas que o produzem.

O repouso e o movimento de um corpo são conceitos relativos:

Corpo está em movimento se a sua posição relativa a outro objecto varia

com o tempo;



Um corpo está em repouso se a sua posição relativa a outro objecto não

varia com o tempo.

Para descrever o movimento torna-se necessário definir um sistema de referência

ou um referencial. A trajectória do movimento depende também do referencial

adoptado para o estudar:

O lugar geométrico dos pontos do espaço que vão sendo sucessivamente

ocupados pela partícula designa-se trajectória.

Com base na trajectória podemos classificar os movimentos possíveis da

partícula como:

onalTridimensi

nalBidimensio

onalUnidimensi

- espaço no

- plano nosCurvilíneo

- Rectilíneo

Movimentos

3.2 Movimento Unidimensional

Neste capítulo, consideremos o movimento sobre uma recta, isto é, o movimento

unidimensional.



3.2.1 Vector posição; Deslocamento

O vector deslocamento traduz a mudança de posição de um objecto. É

caracterizado por:

Direcção – da recta suporte do vector

Sentido - aponta da posição inicial para a posição final

Módulo – menor distância entre a posição inicial e a posição final

3.2.2 Velocidade média

A velocidade média da partícula define-se, no intervalo de tempo fi

tt , , como o

quociente do espaço percorrido pelo intervalo de tempo que o levou a percorrer:

itt

xx

t

rv

if

if

média

mediav - velocidade média

fi xx , - posição inicial e final

fi tt , - tempo inicial e final

x - deslocamento

t - intervalo de tempo

Se )()(0ifmed

txtxv - o movimento tem o sentido positivo do eixo Ox.

Se )()(0ifmed

txtxv - o movimento tem o sentido negativo do eixo Ox.

A posição da partícula é, em cada

instante, caracterizada pelo vector

posição:

itxtr

)()(

Vector deslocamento - )(0

rrr



3.2.3 Velocidade instantânea

A velocidade instantânea, v

, indica a velocidade, a direcção e sentido do

movimento de um objecto em cada instante. É igual ao valor limite da velocidade

média, quando o intervalo de tempo se torna muito pequeno, isto é:

idt

dxi

t

xv

t

lim

0

3.2.4 Aceleração média é instantânea

A aceleração representa a taxa de variação da velocidade instantânea.

if

if

medtt

vv

t

va

meda

- aceleração média num intervalo de tempo

fi vv , - velocidade inicial e final

fi tt , - tempo inicial e final

v - deslocamento

t - intervalo de tempo

A aceleração instantânea é o valor limite da velocidade média, quando o intervalo

de tempo tende para zero.

idt

xdi

dt

dx

dt

d

dt

vd

t

va

t

2

2

0lim

Se )()(0if

tvtva :

Se )(f

tv e )(i

tv são positivos, significa que a velocidade aumenta,

isto é, o movimento é acelerado.

Se )(f

tv e )(i

tv são negativos, )()(if

tvtv significa que o valor

absoluto da velocidade em f

t é menor do que em i

t e o movimento

é retardado.



Se )()(0if

tvtva :

Se )(f

tv e )(i

tv são positivos, significa que a velocidade diminui,

isto é, o movimento é retardado.

Se )(f

tv e )(i

tv são negativos, )()(if

tvtv significa que o valor

absoluto da velocidade em f

t é maior do que em i

t e o movimento é

acelerado.

Um movimento em que existe aceleração diz-se variado.

Se a aceleração é constante diz-se uniformemente variado.

Se a aceleração for nula, a velocidade é constante e o movimento

diz-se uniforme.

3.2.5 Dedução das equações de velocidade e movimento no movimento unidimensional

Podemos assim escrever:

dtadv .

Esta relação pode ser integrada. Para isso é necessário o conhecimento de um

valor da velocidade (0

v por exemplo) para um dado instante, 0

t . Temos então:

t

t

v

v

adtdv00

t

t

adtvv0

0

Do mesmo modo a equação do movimento pode ser obtida por integração uma

vez conhecida a lei das velocidades. Tem-se:

dt

dxv dtvdx .

t

t

x

x

xdtdx00

t

t

vdtxx0

0

Temos então a equação do movimento da partícula, num dado instante t, é dada

por:



t

t

vdtxx0

0

Note-se que deslocamento e espaço percorrido podem ser bastante diferentes. O

deslocamento é dado pela diferença de posição entre dois instantes:

itxtxr if

)()(

Para determinar o espaço percorrido temos de determinar os instantes em que a

velocidade se anula, ,...,,321

ttt , e fazer:

n

iii

xtxs1

1)()(

3.2.6 Movimento rectilíneo e uniformemente variado

Sendo a aceleração constante, a equação da velocidade em função do tempo fica:

)tt(avvdtavvadtvv

t

t

t

t

0000

00

Por raciocínio análogo, a equação da posição ao longo do tempo fica:

2

00000000)(

2

1)()(

0

0

ttattvxxdtttavxxdtvxxt

t

t

t

Particularmente, no movimento uniforme na qual a velocidade é constante:

)(0000

00

ttvxdtvxdtvxxt

t

t

t

3.2.7 Corpos em queda livre

É bem sabido, que todos os corpos quando são largados no espaço caem para a

superfície da Terra com uma aceleração constante, devido à aceleração da

gravidade ga . Deste modo as equações de movimento acima apresentadas

passam a ter a seguinte forma (considerando 00t ).



3.3 Movimento Dimensional e Tridimensional

3.3.1 Coordenadas cartesianas

3.3.1.1 Posição e deslocamento

De maneira geral, a localização de uma partícula é dada através do vector

posição - r . Usando a notação de vectores unitários, representa-se por:

ktzjtyitxr

)()()(

)()( trtrr if

3.3.1.2 Velocidade média e velocidade instantânea

kt

tzj

t

tyi

t

tx

t

trvmed

)()()()(

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxktvjtvitv

dt

rd

t

trttrv zyx

t

)()()(

)()(lim

0

Equação da velocidade

gtvv 0

Equação da posição

2

002

1gttvyy

Velocidade em função da posição

)(2 0

2

0

2 xxgvv



Exemplos 3.1

a) No caso do deslocamento se dar no sentido positivo.

b) No caso do deslocamento se dar no sentido negativo

A velocidade pode variar em módulo e em direcção. A variação da velocidade com

o tempo é traduzida pela aceleração.



3.3.1.3 Aceleração média e aceleração instantânea

kt

vj

t

vi

t

v

t

va zyx

med

2

2

00limlim

dt

rd

dt

vd

t

vaa

tmed

t

A aceleração é sempre dirigida para a concavidade da curva pois a velocidade varia

na direcção da curvatura da trajectória.

kajaiakdt

dvj

dt

dvi

dt

dv

dt

vda zyx

zyx

222

zyxaaaa

Conhecendo a aceleração, é possível determinar por integração a velocidade e a

posição em qualquer instante t:

t

tv

t

tdtavvdtavdvdtavd

dt

vda

00 00

t

t

t

t

r

r

t

tdtdtavrrdtvrddtvdrd

dt

rdv

0 00 000

Velocidade em função do tempo Posição em função do tempo

dtavvt

t xxx 0

0 dtdtavxdtvxx

t

t

t

t xx

t

t x 0 00

000

dtavvt

t yyy 0

0 dtdtavydtvyy

t

t

t

t yy

t

t y 0 00

000

dtavvt

t zzz 0

0 dtdtavzdtvzz

t

t

t

t zz

t

t z 0 00

000



A caracterização do movimento pode ser efectuada independentemente em cada

uma das direcções do sistema de referência (Oxyz).

Exemplo 3.2

3.3.2 Movimento de um Projéctil

O movimento de projécteis constitui um bom exemplo de um movimento num

plano. Normalmente é conhecida a sua velocidade inicial, de grandeza 0

v e

fazendo um ângulo com a horizontal, para além da aceleração, g .



00

r e 0

0t

ga

a

y

x0

dtgdtadv

dtadv

tt

y

v

v

y

t

x

v

v

x

y

y

x

x

00

0

)(

0

0

0

jdtgtsenvidtcosvjdtvyidtvxjyixr

jgtjsenvicosvjgtjviv)tt(avv

jgga

jsenvicosvjvivv

ttt

ty

t

tx

yx

yx

00

0000

000000

00000

00

2

0

0

2

1)(

)cos(

gttsenvy

tvx

Equação da trajectória de um projéctil:

)cos(2)(

2

0

2

v

gxxtgy A trajectória de um projéctil é uma parábola

No ponto mais alto (ponto A), tem-se 0y

v (velocidade horizontal):

g

)(senvt 0gtsen(αev AA0

0



A altura máxima atingida pelo projéctil é então:

g

senvh

máx2

)(22

0

O tempo necessário para o projéctil atingir o solo é calculado considerando

0y :

ABBBt

g

senvtgttsenv 2

)(2

2

1)(0 0

2

0

O alcance do projéctil corresponde ao valor de B

x :

g

)(sen)cos(vx

g

)(senv)cos(vt)cos(v)tt(x

máx

BB

0

0

00

2

2

Os resultados anteriores para o movimento do projéctil são válidas se:

1. O alcance é suficientemente pequeno para se poder desprezar a

curvatura da superfície terrestre.

2. A altitude é suficientemente pequena para que a variação da aceleração

da gravidade com a altura seja insignificante.

3. A velocidade inicial é suficientemente pequena para que a resistência não

seja importante.

3.3.3 Coordenadas intrínsecas

As coordenadas cartesianas são um modo útil de estudar movimentos planos

mas fisicamente pouco informativas no que diz respeito aos vectores velocidade e

aceleração.



Se multiplicarmos e dividirmos por s no cálculo da velocidade, podemos

escrever:

t

s

s

r

t

s

s

r

t

rv

tttt 0000lim.lim.limlim

Por outro lado sabe-se que:

Versor da tangente à curva: t

su

s

r

ds

rd

0lim

Módulo da velocidade: t

s

dt

dsv

t

0lim

Logo, t

uvv

.

A partir do módulo da velocidade podemos obter a lei horária do movimento,

)(tss :

Velocidade média

t

rv

med

Velocidade instantânea

dt

rd

t

rv

t

0lim

Quando 0t , o módulo do deslocamento tende para s

sr



vdts s vdtds v.dtdst

0

t

0

s

s0

0

3.3.3.1 Aceleração tangencial e aceleração radial no movimento

curvilíneo

Consideremos o movimento de uma partícula sobre uma trajectória curva, na

qual a velocidade muda de módulo e de direcção.

jdt

di

dt

dsenjseni

dt

d

dt

ud

jisenjseniu

jseniu

t

n

t

)cos()()()cos(

)cos()(22

cos

)()cos(

n

t udt

d

dt

ud

Conclui-se que

dt

udt

é normal à trajectória

Introduzindo o deslocamento na trajectória, ds , obtém-se

Aceleração média

t

va

med

Aceleração instantânea

dt

udvu

dt

dv

dt

uvd

dt

vda t

t

t

)(

)(tuutt



ds

dv

dt

ds

ds

d

dt

d

Se R for o raio da curvatura da trajectória, sabemos que Rdds , e podemos

fazer

vRdt

d.

1

Como a aceleração está dirigida para a concavidade da trajectória pode-se

decompô-la em duas componentes, uma tangencial (t

a

) e outra normal (n

a

) à

trajectória.

ntntaau

R

vu

dt

dva

2

~

Considerando o versor da tangente à trajectória (t

u

) tem-se:

2

42

22

R

v

dt

dvaaa

nt

A aceleração tangencial contabiliza a variação do módulo da velocidade e permite

calcular a distância percorrida ao longo da trajectória curvilínea.

t

t

t

t tt

vdtssdt

dsv

tdavvdt

dva

0

0

0

0

A aceleração normal caracteriza a variação da direcção da velocidade:

n

t

n uR

v

dt

udva

2

dt

vda

t

- descreve a variação do módulo de velocidade

dt

uda t

n

- descreve a variação da direcção da velocidade



se se conhecer na

e o módulo de velocidade, v

jdt)t(g

)t(gidt

)t(g

)t(f)t(u)t(uj

)t(v

)t(gi

)t(v

)t(f

dt

ud

dt

ud)t(vj)t(gi)t(fa

t

t

t

ttt

t

t

n

00

0

3.3.3.2 Movimento circular

Um caso em que este tipo de coordenadas é particularmente útil é o do

movimento circular. O movimento circular é o movimento no qual a trajectória é

uma circunferência. O estudo deste movimento torna-se mais simples se

tomarmos como origem do sistema de eixos o centro da circunferência. O arco s ,

percorrido pela partícula, está relacionado com o ângulo por:

A velocidade é perpendicular ao raio, pois a velocidade é tangente à

circunferência.

RsR

s (sendo radianos)

tttuwRu

dt

dRu

dt

dsv

Velocidade

escalar (ms-1)

dt

dw

Velocidade angular (rad s-1)

rwv

wrsenwRv

kdt

dw

rsenR

)(

)(



w

é perpendicular ao plano em que a rotação ocorre. O sentido de w

, é

determinado pelo sentido do movimento de rotação através da regra da mão

direita ou do saca-rolhas.

Neste caso as duas componentes da aceleração são dadas por:

dt

dwR

dt

dva

t

2

222

RwR

wR

R

va

n

A quantidade dt

dw designa-se por aceleração angular da partícula. Temos

então para aceleração total:

ntuRwuRa 2

Movimento circular e uniforme ( w = constante)

)(00

0 0

ttwdtwdwdtddt

dw

t

t

Neste caso tem-se um movimento periódico, pois após uma rotação de 2 volta-

se ao ângulo inicial de 0

.

Tempo que demora a efectuar uma volta completa designa-se por período do

movimento, T , e corresponde a uma rotação de 2 rad.

)(st

tT n

A sua relação com w determina-se facilmente já que

dt

dw

2 Tt

t

wdtd W

TTw

2

.2

Número de voltas por unidade de tempo designa-se por frequência do

movimento, f , é o inverso do período:

Tempo que demora a efectuar n voltas



Hz)(s T

1

t

tf -1

n

fw 2

Podemos neste caso obter também a variação temporal do ângulo

ttt

t

t

t

wtwdtwdtdwdtddt

dtw

0

00 0

0)(

Obtemos assim: )(00

ttw

Em coordenadas cartesianas, a posição da partícula é:

Movimento circular não uniforme

Existe uma aceleração angular )( . No movimento circular a direcção de w não

varia

2

2

dt

d

dt

dw

Quando é constante obtém-se o movimento circular e uniformemente

variado.

2

00000000

0000

)(2

)()(

)(

00

00

ttttwdtttwwdt

ttwdtwdtww

t

t

t

t

t

t

t

t

)cos(.)( 0 wtRtx

)(.)(0

wtsenRty

R

va

2

ou Rwa 2

A aceleração é radial e aponta

para o centro da trajectória



Componente normal e tangencial da aceleração no movimento circular

3.4 Movimento relativo

O movimento é um conceito relativo cuja descrição depende de um referencial

específico escolhido pelo observador. Na realidade, diferentes observadores

usando sistemas referenciais diferentes obtêm diferentes descrições de um

mesmo movimento. O movimento relativo procura deste modo, relacionar os

resultados distintos de um mesmo fenómeno descrito por diferentes

observadores. Um referencial é escolhido de modo a facilitar a descrição do

movimento do objecto que se pretende estudar.

Exemplos

Movimento da Terra: referenciais ligados à Terra

Astronomia: referenciais em estrelas que se podem considerarem imóveis

(“estrelas fixas”)

Física atómica: referencial no núcleo atómico (os electrões são muito mais

leves que o núcleo podendo-se considerar que a posição nuclear é fixa

relativamente aos electrões)

nt

nt

nt

nt

uRwuR

uR

)wR(u

dt

)wR(d

uR

vu

dt

dv

aaa

2

2

2



3.4.1 Velocidade relativa

Vector posição de B relativamente a A

ABBArrBAr

Vector posição de A relativamente a B

BAABrrBAr

BAAB

rr

Velocidade de B em ralação a A: dt

rdv BA

BA

Velocidade de A em ralação a B: dt

rdv AB

AB

ABAOBOBA

ABBA vvvvvdt

rd

dt

rd

dt

rd

BABOAOAB

BAAB vvvvvdt

rd

dt

rd

dt

rd

Velocidade de A e B medidos

pelo observador O

dt

rdv A

A

dt

rdv B

B

ABBAvv



3.4.2 Aceleração relativa

Aceleração de B em ralação a A: dt

vda BA

BA

Aceleração de A em ralação a B: dt

vda AB

AB

ABAOBOBA

ABBA aaaaadt

vd

dt

vd

dt

vd

BABOAOAB

BAAB aaaaadt

vd

dt

vd

dt

vd

3.4.3 Movimento Relativo de Translação Uniforme

Seja O’ x’y´z´ um referencial móvel com velocidade t

v

em relação ao referencial

fixo Oxyz.

t't

y z'

y y'

vtxx́

tvr'r'rtvA'O'OOOAr

Transformações de

Galileu

ABBAaa

O sistema de referência O e O’ movem-se

um em relação ao outro com movimento uniforme de translação

( teconsvvTR

tan

)

Para simplificar escolheu-se sistemas de

eixos com i

e j

paralelos a v , j

paralelo

a j

e k

paralelo a 'k

Supondo que para 0t , O e O’ coincidem

temos:

tv'OO

com ivv



Admite-se que as medidas de tempo são independentes do observador.

AOvv

é a velocidade absoluta fixorefobj

v./

''

AOvv

é a velocidade relativamóvelrefobj

v./

'ooTRvv

é a velocidade de transportefixorefmóvelref

v./.

tem-se,

Trvvv

' ou Tr

vvv

'

Aceleração

Traaa

' ou Tr

aaa

' . Se a velocidade de transporte for constante 0Tr

a .

Os referenciais que se movem um em relação ao outro com um movimento

uniforme são chamado referenciais inerciais.

4. DINÂMICA DE UMA PARTÍCULA MATERIAL

O objectivo da Dinâmica é o estudo da relação entre um movimento, ou, mais

precisamente entre as alterações a um movimento, e as causas dessas

alterações. Por exemplo, um movimento rectilíneo e uniforme de uma partícula

não requer nenhuma interacção entre a partícula e o exterior para se manter.

Mas para o modificar, isto é, para lhe fazer variar a velocidade, seja em grandeza

ou direcção, a partícula tem que ser submetida à acção do que se designa por

uma força, que lhe provocará uma aceleração, isto é uma mudança no seu

estado de movimento.

4.1 Momento linear ou quantidade de movimento

A quantidade de movimento, p

, de uma partícula é definida como:

vmp

Esta é uma grandeza muito importante pois combina os dois elementos que

caracterizam o estado dinâmico da partícula: a sua massa e sua velocidade.



4.2 Leis de Newton

A cinemática descreve o movimento de uma partícula, enquanto que a dinâmica

estuda as relações entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento.

O que é visível numa força é o seu efeito: a alteração do seu movimento. Assim

para estudar as forças, é necessário observar o movimento resultante das acções

das forças.

Podemos assim definir a força como uma interacção entre corpos físicos que

provoca alterações na sua velocidade ou não. Deste modo, a dinâmica pode ser

considerada como a análise da relação entre o movimento e a força.

Primeira lei de Newton (ou lei da inércia)

Quando a resultante das forças que actuam num objecto for nula, esse

objecto permanece num estado de repouso ou num estado de movimento

rectilíneo e uniforme.

Da 1ª lei de Newton, podemos concluir que:

Repouso ou movimento são estados naturais de um corpo, isto é, estados

que somente se modificam se a resultante das forças que actuam no corpo

for não nula.

Os objectos têm tendência para permanecer em repouso ou em movimento

rectilíneo uniforme. Esta tendência é referida como inércia.

Do ponto de vista físico não existe diferença entre repouso e movimento

com velocidade constante.

Referenciais inerciais

A primeira lei de Newton, também chamada lei da inércia, define um conjunto

especial de sistemas de coordenadas denominado referenciais inerciais. Um

referencial inercial é um referencial em que é válida a primeira lei de Newton.

Definindo partícula livre, como uma partícula que não está sujeita a interacções

com outras (partícula isolada) podemos assim mostrar que o movimento é um

conceito relativo. Para descrever o movimento de uma partícula livre é necessário

que o observador também seja uma partícula livre (sem aceleração). Tal



observador é um observador inercial e o referencial por ele usado é um

referencial inercial.

A Terra não é um referencial inercial, pois tem movimento de rotação em torno

do Sol e movimento de rotação em torno do seu eixo, sendo por isso um

referencial acelerado. De facto a aceleração resultante dos seus movimentos de

rotação e translação é cerca de 0,01m/s2. Assim, um referencial ligado à

superfície da Terra pode, sem grande erro (em muitos casos), ser considerado um

referencial de inércia.

O Sol não é um referencial inercial, pois roda em torno do centro da Galáxia,

estando assim animado de um aceleração centrípeta. Contudo, o Sol é um

referencial inercial mais próximo que o da Terra, pois o seu movimento

aproxima-se mais do movimento rectilíneo e uniforme (raio da curvatura muito

maior que o da Terra).

Segunda lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica)

A segunda lei de Newton define assim a força, F

, como a causa da alteração

do movimento, de tal forma que, se uma força F

actuar sobre uma partícula,

a sua quantidade de movimento, vmp

, sofre uma alteração tal que

dt

pdF

unidade SI: kgms-2=newton (N)

Admite-se que todas as forças causam o mesmo efeito, quer actuem isoladas ou

em conjunto com outras forças – Princípio da independência das forças

Equação fundamental da dinâmica: i

idt

pdFR



ABF /

BAF /

A B

No caso geral temos:

dt

vdmv

dt

dm

dt

)vm(d

dt

pd

Sendo a massa, m constante

0

dt

dm, temos:

amdt

vdm

dt

pd

Obtemos assim a forma mis conhecida da 2ª lei de Newton:

amFRi

i

Terceira lei de Newton (ou lei fundamental da dinâmica)

Quando dois corpos interagem, a força que um corpo exerce no outro é igual

em módulo, e de sentido contrário, à força que o segundo corpo exerce no

primeiro.

A/BB/AFF

4.3 Princípio da conservação da quantidade de movimento

Considere o sistema de partículas isoladas A e B

No instante t: 2121

vmvmppp

No instante t’: 2121

'vm'vm'p'p'p

tetancons'pp

em qualquer

instante



Princípio da conservação da quantidade de movimento

Num sistema com n partículas isoladas a quantidade de movimento mantém-se

constante relativamente a um referencial inercial, isto é:

i

ipp

=constante

Considerando um sistema de n partícula em dois instantes diferentes i

t e f

t ,

tem-se:

...ppp...pppfffiii

321321

ou seja

0321

...ppp

i

ijpp

A variação de p

de uma dada partícula é igual ao

simétrico da variação de p

do resto do sistema.

Num sistema de duas partículas:

21pp

ou seja a interacção entre partículas leva a uma troca da

quantidade de movimento entre elas.

4.4 Forças fundamentais e forças derivadas

4.4.1 Conceito de força

As forças actuam sempre à distância (não existe contacto). Esta distância poderá

ser:

Muito grande (ex., interacção gravítica interplanetária)

Muito pequena (ex., interacções interatómicas, contacto aparente entre

dois objectos)

A transferência da quantidade de movimento entre partículas envolve um meio

de transmissão. A força representa a acção de corpo sobre outro e caracteriza-se

por: uma direcção, sentido, intensidade e ponto de aplicação.



deformável Corpo

fixas são

s relativaposições suas as que em materiais

pontos de número grandeum de Conjunto

rígidoCorpo

ivasignificat

ia influênctêm não estudo em corpos dos

forma a e tamanho o quando utilizado É

espaço no ponto umcupa o que considerar

pode se quematéria da porçãoPequena

material Ponto

a se-aplicam orçasF

4.4.2 Tipos de forças

4.4.2.1 Forças fundamentais

Forças fundamentais

forças gravíticas (relativamente fracas)

forças electromagnéticas (relativamente fortes)

forças nucleares fortes (mantêm a coesão do núcleo)

forças nucleares fracas (interacção a curta distância)

Força gravitacional

É força de atracção mútua entre todos os corpos. Exemplos mais comuns são a

força exercida pelo sol que mantém os planetas na sua órbita, assim como a

força exercida pela Terra sobre a Lua que mantém esta numa órbita quase

circular em torno desta.

Lei da gravitação de Newton – dois pontos materiais de massas M e m são

mutuamente atraídos com forças iguais e opostas, F, de intensidade:



No caso da atracção pela Terra de um ponto material para a sua superfície

mgP 2

289 ms,

R

GMg

Terra

Terra

em que P é força de atracção exercida pela Terra num ponto material de massa m

e é definido como o seu peso.

Força electromagnética

É a atracção, ou repulsão, entre partículas carregadas que estão em movimento

relativo. A força electromagnética inclui, deste modo, duas forças, a eléctrica e a

magnética.

Um exemplo típico de uma força eléctrica é a atracção entre pedaços de papel e

uma barra de plástico.

A força magnética entre um electroíman e limalha de ferro aparece quando as

cargas eléctricas se movem.

Força nuclear forte

A força nuclear forte é a responsável pela estabilidade dos núcleos. Esta força

constitui a “cola” que matem reunidos os constituintes do núcleo (os nucleões). É

a mais intensa das forças fundamentais. Com separações da ordem de 10-15 m

(dimensão nuclear típica), a força nuclear forte é uma a duas ordens de grandeza

maior que a força electromagnética. Porém diminui rapidamente com o aumento

da separação entre as partículas.

Força nuclear fraca

A força nuclear fraca é uma força de curto alcance, que tende a provocar a

instabilidade de certos núcleos. Maior parte das reacções de desintegração

radioactiva é provocada pela força nuclear fraca.

2

ABr

mMGF G - constante de gravitação

ABr - distância entre os dois pontos materiais



4.4.2.2 Forças de contacto

Todas as outras forças de que vulgarmente se fala, tais como a força de atrito, a

força elástica de uma mola, a tensão numa corda, etc…, são manifestações

macroscópicas de forças incluídas numa das quatro categorias referidas.

Reacção normal

Força de reacção normal ou reacção normal, N

, é uma componente que a

superfície exerce sobre o objecto com o qual está em contacto, cuja direcção é

sempre perpendicular à direcção da superfície.

Força de atrito

Quando um objecto está em contacto com uma superfície, para além da força

normal, existe uma força com uma direcção paralela à superfície denominada

força de atrito.

O atrito resulta da interacção das moléculas das superfícies em contacto,

depende por isso, essencialmente de três factores:

natureza das superfícies de contacto

rugosidade das superfícies

velocidade relativa

O peso do bloco puxa-o para baixo, empurrando-o

contra as moléculas da superfície da mesa

A mesa resiste a esta compressão e exerce no bloco

uma força, dirigida para cima.



O atrito de escorregamento ocorre quando existe deslizamento entre duas

superfícies em contacto. Um dado objecto em movimento vai perdendo

quantidade de movimento devido à força de atrito )F( at

. Esta força de atrito de

escorregamento opõe-se sempre ao movimento, tendo por isso, a mesma direcção

da velocidade e sentido oposto.

O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par acção-

reacção, N

e 'N

, perpendicular ao plano de contacto.

Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é proporcional

à intensidade do força normal, N

, que resulta do contacto entre as duas

superfícies,

NFat

)( 0 - coeficiente de atrito

Quando existe movimento relativo e considerando o versor da direcção do

movimento v/vuv

, a força de atrito pode-se exprimir vectorialmente como:

vat uNF

O coeficiente de atrito mudo consoante o corpo está em movimento relativamente

ou não,



N

Fμ

N

Fμ 0FF

at

at

O valor máximo de F

para a qual a força de atrito consegue evitar o movimento

corresponde ao coeficiente de atrito estático, e . Nesse caso o corpo está na

iminência do movimento. Conclui-se portanto, que na ausência de movimento, a

força de atrito está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade:

max

aeae FF

O módulo da força de atrito estático, aeF , pode ter qualquer valor entre zero um

valor máximo, max

aeF , em que:

NF e

max

ae

Quando a força F

é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que o

coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade tomando o

valor de c . Este valor corresponde ao coeficiente de atrito cinético e é inferior

a e , sendo a força de atrito cinética, acF .

v/vNuNF cvcac

O atrito de rolamento ocorre quando um corpo rolo em cima de outro. Como a

superfície de contacto entre os corpos é menor, este atrito é geralmente menor

que o atrito de escorregamento.



Tabela 4.1 Valores aproximados de coeficientes de atrito

Material e c

aço/aço

vidro/vidro

teflon/aço

borracha/cimento molhado

borracha/cimento seco

0,7

0,9

0,04

1,0

1,0

0,6

0,4

0,04

0,8

0,8

Forças em molas

Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar a

mola ao seu comprimento de equilíbrio denominada força elástica, elF .

A elF é proporcional ao afastamento do equilíbrio da mola: xel u)xx(kF

0

4.5 Aplicação da 1ª e 2ª leis de Newton: diagramas de corpo livre

Exemplo 4.5.1

Mola em equilíbrio

Mola comprimida

Mola esticada



Exemplo 4.5.2

Considere-se o seguinte exemplo na qual temos um trenó assente numa

superfície gelada. O cão a corda atada ao trenó com uma força F. A corda sob

tensão puxa então o trenó.

Primeiro passo para resolver o problema é isolar o

sistema a ser analisado: neste caso o trenó.

Segunda fase, é esquematizar quais as forças que

actua no sistema considerado, ou seja desenhar o

diagrama do corpo livre.



Exemplo 4.5.3

Forças que actuam na TV:

Exemplo 4.5.4

Forças aplicadas no bloco são, mais uma vez:

Exemplo 4.5.5

Forças que actuam no livro:

Peso: gmP

Reacção normal: N

Como a TV está parada, temos:

00 NPamF

mgNPN

Peso: gmP

Reacção normal: N

Aplicando a 2ª lei de Newton:

amNPamF

cosmgN

sengm

senmga

amNP

amPx

yy

xx

0

Peso: gmP

Força exercida pela mão: F

Reacção normal: N

Como o livro está em repouso, temos:

00 NFPamF

FmgNFPN



Exemplo 4.5.6

Forças que actuam no cesto:

Exemplo 4.5.7

“O Amaral cai acidentalmente e fica pendurado na beira de um rochedo gelado.

Felizmente encontra-se preso por uma corda ao Eduardo. Antes do Eduardo

conseguir cravar o seu martelo no gelo, desliza mas continua atado ao Amaral”.

Qual a aceleração de cada um dos alpinistas?


Peso: gmP

Força exercida pela mão: F

Reacção normal: N

Como o cesto está em repouso, temos:

00 NFPamF

FmgNFPN

a

y

aaa

Y

a

Y

a

x

a

x

ee

Y

e

Y

e

x

ee

x

e

x

amgmTamF

amF :

gmNamF

amTamF :

2

1

0

0

Amaral

Eduardo



Uma vez que o Eduardo e o Amaral estão ligados pela corda (21

TT , se se

desprezar a massa da corda) os módulos das suas acelerações serão iguais,

então:

ae

a

aae

mm

gmaamgmam

4.6 Aplicação da terceira lei de Newton: movimento curvilíneo

Exemplo 4.6.1

Qual é a aceleração das caixas? Qual a intensidade da força exercida por uma

caixa sobre a outra?

Movimento circular

Exemplo 4.6.2

Considere-se uma partícula a descrever um movimento circula e uniforme. A

partícula percorre um círculo de raio R num determinado intervalo de tempo T.

Pela 3ª lei de Newton: 1221 //

FF

Aplicando o princípio da 2ª lei de Newton às duas caixas:

caixa 1: 1112

amFF/ caixa 2:

1121amF

/

uma vez que aaa 21

obtemos:

21mm

Fa

F

mm

mF

/

21

2

21



Este termo é sempre perpendicular à trajectória.

Movimento curvilíneo

O movimento curvilíneo ocorre quando a força não é colinear com a velocidade.

Existe portanto uma componente da aceleração perpendicular à velocidade. A

componente da aceleração perpendicular à velocidade é responsável pela

variação da direcção do movimento da partícula (através da variação da direcção

da velocidade).

Se a massa for constante então a aceleração é paralela à força:

A força tangencial, t

F é responsável pela variação do módulo da

velocidade e é tangente à trajectória. 0t

F - o movimento é uniforme

(velocidade constante)

R/vTT

W

T

R

t

sv

2

2

mas se o intervalo de tempo considerado é pequeno:

R

vw.v

t

.va

t

va

2

quando 0t

)aa(mamFnt

em que:

dt

dva

t

e

r

va

n

2

nt

ur

vmu

dt

dvmF

2

nttuFuFF



A força normal, n

F é responsável pela variação da direcção da velocidade

e aponta sempre para o centro da curvatura. 0n

F - o movimento é

rectilíneo.

No caso do movimento circular o raio da curvatura, r, é constante e igual ao raio

da circunferência, R e wRv . Logo a força normal ou força centrípeta, é:

RmwR

vmamFF

nnn

2

2

Quando o movimento é circular e uniforme, 0)(a FFtn

, ou seja,

pwvwmuwv(m)uRmwuamFnnnn

2

Exemplo 4.6.3

Um fio de comprimento L, ligado a um ponto fixo, tem na sua extremidade uma

massa m que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular constante

w . Este dispositivo chama-se pêndulo cónico. Determinar a aceleração angular,

.

Tomando as componentes das forças nas direcção vertical e normal, tem-se

)cos(/mgsenF

)cos(/mgT

F)(Tsen

P)cos(T

nn

0

como )(LsenmwRmwmaFnn

22, conclui-se que Lw/g)cos( 2

As forças que actuam na massa m são o peso, P

, e

a tensão, T

. A restante das forças é a força

centrípeta, n

F

, necessária ao movimento circular:

nFPT



5. DINÂMICA DE UM SISTEMA DE PARTÍCULAS

5.1 Momento linear e impulso

Até agora estudamos o movimento duma partícula ou de partículas. Vamos agora

estudar o movimento de um sistema de partículas.

O momento linear de uma partícula de massa m que se move com uma velocidade v é

definido como o produto da massa pela velocidade:

vmp

Momento de um sistema de partículas é a soma:

11vmp

22vmp

33vmp n

pppp ...21

...

nnvmp

Definimos o vector força, como a derivada do momento linear relativo ao tempo, que

constitui a expressão da segunda lei de Newton.

dt

pdF

A segunda lei de Newton no caso particular de massa constante é um caso particular

da definição de força.

amdt

vdm

dt

vmdF

)(

Explicitando pd na definição de força e integrando

dtFpd

f

i

t

t

ifdtFpp

À esquerda, temos a variação de momento linear, à direita, o integral que é

denominada impulso da força F no intervalo que vai de ti a tf.



Para o movimento em uma dimensão, quando uma

partícula se move sob a acção de uma força F , a

integral é a área sombreada sob a curva força-tempo.

Em muitas situações físicas empregamos a teoria do impulso. Nesta teoria, podemos

supor que uma das forças que actuam sobre a partícula é muito grande, porém, de

muito curta duração. Esta teoria é de grande utilidade quando estudamos os colisões,

por exemplo, de uma bola com uma raqueta ou com o pé. O tempo de colisão é muito

pequeno, da ordem de centésimos ou milésimos de segundo, e a força média que

exerce o pé ou a raqueta sobre a bola é de vários Newton (s). Esta força é muito maior

que a gravidade, por isto podemos utilizar a teoria do impulso. Quando utilizamos esta

teoria é importante recordar que os momentos lineares inicial e final se referem ao

instante antes e depois da colisão, respectivamente.

5.2 Dinâmica de um sistema de partículas

Seja um sistema de partículas. Sobre cada partícula actuam as forças externas ao

sistema e as forças de interacção mútua entre as partículas do sistema. Suponhamos

um sistema formado por duas partículas. Sobre a partícula 1 actua a força externa 1F

e a força que exerce a partícula 2, 12F . Sobre a partícula 2 actuam a força externa 2F

e a força que exerce a partícula 1, 21F .

Por exemplo, se o sistema de partículas fosse o formado pela Terra e Lua: as forças

externas seriam as que exerce o Sol (e o resto dos planetas) sobre a Terra e sobre a

Lua. As forças internas seriam a atracção mútua entre estes dois corpos celestes.

Para cada uma das partículas se cumpre que a razão da variação do momento linear

com o tempo é igual a resultante das forças que actuam sobre a partícula

considerada, logo, o movimento de cada partícula é determinado pelas forças internas

e externas que atuam sobre esta partícula.



Somando membro a membro e tendo em conta a

terceira Lei de Newton, 12F =- 21F , temos que

2121)(

FFdt

ppd

extFdt

pd

Onde p é o momento linear total do sistema e extF é a resultante das forças externas

que atuam sobre o sistema de partículas. O movimento do sistema de partículas é

determinado somente pelas forças externas.

5.3 Conservação do momento linear de um sistema de partículas

Considere duas partículas que podem interagir entre si se, porém estão isoladas dos

arredores. As partículas movem-se sob sua interacção mútua porém não há forças

externas ao sistema.

A partícula 1 move-se sob a acção da força 12F que

exerce a partícula 2. A partícula 2 move-se sob a acção

da força 21F que exerce a partícula 1. A terceira lei de

Newton ou Princípio de Acção e Reacção estabelece que

ambas forças tem que ser iguais e de sinal contrário.

02112 FF

Aplicando a segunda lei de Newton a cada uma das partículas

0)(

2121

dt

ppd

dt

pd

dt

pd



O princípio de conservação do momento linear afirma que o momento linear total do

sistema de partículas permanece constante, se o sistema é isolado, logo, se não atuam

forças externas sobre as partículas do sistema. O princípio de conservação do

momento linear é independente da natureza das forças de interacção entre as

partículas do sistema isolado:

2121 vmvmumum

Onde 1u e 2u são as velocidades iniciais das partículas 1 e 2, e 1v e 2v as velocidades

finais destas partículas.

5.4 Colisões

Empregamos o termo de colisão para representar a situação na qual duas ou mais

partículas interagem durante um tempo muito curto. Supomos que as forças

impulsivas devidas a colisão são muito maiores que qualquer outra força externa

presente.

O momento linear total é conservado nas colisões. No entanto, a energia cinética não

se conserva devido a que parte da energia cinética se transforma em energia térmica e

em energia potencial elástica interna quando os corpos se deformam durante a

colisão.

Definimos colisão inelástica como a colisão na qual não se conserva a energia

cinética. Quando dois objectos que chocam e ficam juntos depois do choque dizemos

que a colisão é perfeitamente inelástica. Por exemplo, um meteorito que choca

contra a Terra.

Numa colisão elástica a energia cinética conserva-se. Por exemplo, as colisões entre

bolas de bilhar são aproximadamente elásticas. A nível atómico as colisões podem ser

perfeitamente elásticas.

A grandeza Q é a diferença entre as energias cinéticas depois e antes da colisão. Q

toma o valor zero nas colisões perfeitamente elásticas, porém pode ser menor que zero

se no choque se perde energia cinética como resultado da deformação, ou pode ser

maior que zero, se a energia cinética das partículas depois da colisão é maior que a

inicial, por exemplo, na explosão de uma granada ou na desintegração radioactiva,

parte da energia química ou energia nuclear converte-se em energia cinética dos

produtos.



Coeficiente de restituição

Foi encontrado experimentalmente que numa colisão frontal de duas esferas sólidas

como as que experimentam as bolas de bilhar, as velocidades depois do choque estão

relacionadas com as velocidades antes do choque, pela expressão

onde e é o coeficiente de restituição e tem um valor entre 0 e 1, relação foi proposta

por Newton . O valor de um é para um choque perfeitamente elástico e o valor de zero

para um choque perfeitamente inelástico.

O coeficiente de restituição é a razão entre a velocidade relativa de afastamento depois

do choque, e a velocidade relativa de aproximação antes do choque das partículas.

5.5 Centro de massa.

Até ao momento ignoramos as dimensões dos objectos. Veremos que para um corpo de

dimensão finita, o centro de massa comporta-se como uma partícula em termos da

sua dinâmica.

O Sistema de Referência do Centro de Massa (sistema-C) é especialmente útil para

descrever as colisões comparando com o Sistema de Referência do Laboratório

(sistema-L).

Movimento do Centro de Massas

Na figura, temos duas partículas de massas m1 e m2, como m1 é maior que m2, a

posição do centro de massas do sistema de duas partículas estará próxima da massa

maior.

http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/dinamica/con_mlineal/restitucion/restitucion.htm



Em geral, a posição CMr do centro de massa de um sistema de N partículas é a

posição média da massa do sistema.

M

rm

m

rm

r

N

ii

N

i

N

ii

CM

1

1

1

Em termos de componentes:

i

N

innCM xmM

xmxmxmM

x 1

2211

1)...(

1

i

N

innCM ymM

ymymymM

y 1

2211

1)...(

1

i

N

innCM zmM

zmzmzmM

z 1

2211

1)...(

1

Exemplo: Determine o Centro de massa de três partículas:

Centro de massa de corpos sólidos

Consideremos corpos com distribuição contínua de massa. Divide-se o corpo em

elementos de massa im com coordenadas iii zyx ,, .

M

mxx

ii

CM

Considerando o limite de elementos im tendente para :

dmxMM

mxx

ii

mCM

i

1lim

0



dmyM

yCM 1

dmzM

zCM 1

dmrM

r CM 1

Daqui se conclui que o centro de massa de corpos homogéneos e simétricos terá de

estar num eixo de simetria.

Se um objecto possui um ponto, linha ou plano de simetria, o centro de massa terá de

estar nesse ponto, linha ou plano.

Não é necessário que alguma partícula tenha de estar no centro de massa (ex, donut)

É frequentemente conveniente expressar a distribuição de massa em termos de

densidade local do elemento de volume.

dvdm

dmrM

r CM 1

dvxM

xCM 1

dvyM

yCM 1

dvzM

zCM 1

Se a densidade for constante, então o centro de massa é frequentemente obtido pela

simetria do volume do objecto.

A velocidade do centro de massas CMv é obtida derivando com relação ao tempo

M

p

m

vm

vN

i

N

ii

CM

1

1



No numerador figura o momento linear total e no denominador a massa total do

sistema de partículas.

Da dinâmica de um sistema de partículas temos que:

O centro de massas de um sistema de partículas move-se como se fosse uma

partícula de massa igual a massa total do sistema sob a acção da força externa

aplicada ao sistema.

Num sistema isolado 0extF o centro de massas move-se com velocidade

constante constvCM .

O Sistema de Referência do Centro de Massas

Para um sistema de duas partículas,

A velocidade da partícula 1 relativa ao centro de massas é,

A velocidade da partícula 2 relativa ao centro de massas é,

No sistema-C, as duas partículas movem-se em direcções opostas.

http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/dinamica/con_mlineal/dinamica/#Dinámica de un sistema de partículas

http://www.fisica.ufs.br/CorpoDocente/egsantana/dinamica/con_mlineal/dinamica/#Conservación del momento lineal de un sistema de partículas



6. ESTÁTICA

Como sabemos pelas leis de Newton, uma força aplicada a um corpo provoca

nesse corpo uma alteração da sua velocidade. Se tivermos mais que uma força, a

2ª lei de Newton permite escrever:

amFRi

i

Por outro lado, se o corpo estiver de alguma forma preso (como uma porta, por

exemplo) a força pode ter um outro efeito, que é o de provocar a rotação do corpo

em torno de um eixo que não intersecte a sua linha de acção e não lhe seja

paralelo. Esta tendência é chamada momento da força, em torno do eixo

considerado, sendo definido como:

mMMi

i

6.1 Condições de equilíbrio de uma partícula

Diz-se que uma partícula está em equilíbrio de translação se a soma de todas

as forças que actuam sobre ela for zero, isto é:

0F

0F

0F

0FR

z

y

x

ii

6.2 Condições de equilíbrio de um corpo rígido

Para que um corpo rígido esteja em equilíbrio é necessário que a soma vectorial

de todas as forças externas, assim como a soma vectorial dos respectivos

momentos, sejam nulos, isto é:

0

amFRi

i Equilíbrio de translação

0

mMMi

i Equilíbrio de rotação



Estas duas equações vectoriais são equivalentes, no caso geral, a seis equações

escalares.

i

xF 0

ix

M 0

i

yF 0

iy

M 0

i

zF 0

iz

M 0

6.3 Momento de uma força

De acordo com as propriedades de produto vectorial, o momento de uma força é

representado por um vector perpendicular tanto a r como a F e cujo sentido é

dado pela regra da mão direita.

zyx

zyxO

FFF

rrr

kji

FrM

Se tanto r como F estiverem no mesmo plano, por exemplo Oxy, então temos:

k)FrFr(

FF

rr

kji

FFF

rrr

kji

FrMxyyx

yx

yx

zyx

zyxO

0

0

O momento de uma força, F

, relativamente a um ponto O, é definido como:

FrMO

Em que o módulo é dado por:

F.dsen.F.rM

0



Logo M estará ao longo do eixo dos zz’ e perpendicular ao plano formado por r

e F (Oxy).

A partir da figura anterior verifica-se que o momento da força não varia quando

deslocamos a foca ao longo da sua linha de acção, dado que a distância d

permanece constante.

Binário

Um momento produzido por duas forçaS iguais e opostas e não colineares é

chamado binário.

As forças representadas na figura não podem ser combinadas numa única força,

porque a sua soma é nula, pelo que o seu efeito é o de produzir uma rotação.

O momento combinado das duas forças, relativamente a um eixo normal ao

plano que contém as duas forças, é:

d.Fd.F)da.(FM sendo independente de a.

O momento de um binário é representado por um vector livre M

, perpendicular

ao plano do binário. O resultado é o mesmo seja qual for a origem do referencial,

por exemplo O1:



Sistema de forças

Uma força F

que tende a fazer um corpo rodar em torno de um eixo que passe

por O e que não intersecte a linha de acção da força, é equivalente ao conjunto

de um força igual e paralela aplicada no eixo de rotação (momento nulo) e de um

binário (resultante nula) igual ao momento da força. Deste modo pode-se

efectuar a substituição de uma força por um sistema de forças equivalente de

uma força de um binário.

A força aplicada no ponto A, pode ser substituída pela força aplicada em O e pelo

binário d.FM .

Para um sistema de forças, n

F,...,F,F,F

321 no espaço, cada uma das forças pode

ser substituída do mesmo modo por um sistema força-binário.

Fr

F)rr(

)F(rFrM

BA

BA

Como d é a projecção de r

segundo a normal de F

então

d.FM



As força concorrentes podem ser adicionadas vectorialmente e todo o sistema de

forças pode ser substituído por uma resultante, R , e por um momento

resultante, M

:

kRjRiRFF...FFFRzy

ixin

321

)Fr(M...MMMMi

iin

3210

Na tabela seguinte estão apresentadas algumas das reacções mais comuns em

apoios de ligação a duas dimensões.

Tabela 6.1 – Reacções nos apoios de ligação



Exemplo 6.3.1

Ao içar a estaca na posição indicada a tracção T no cabo tem de suportar uma

momento em torno do ponto O 72Kn.m. Determine a intensidade de T.

7. TRABALHO E ENERGIA

O conceito de trabalho está associado ao conceito de energia: quando um

sistema realiza trabalho sobre outro, há uma transferência de energia de um

para outro sistema.

Em Física diz-se que uma partícula ou um sistema de partículas que tem a

capacidade de realizar trabalho possui energia. Esta grandeza física pode ter

várias formas.

Por exemplo, um homem ao puxar um objecto gasta energia química do seu

organismo que é transformada em movimento desse objecto (energia cinética) e

em energia térmica (consequência do atrito entre o objecto e o chão).

7.1 Trabalho de uma força

Existe trabalho produzido por uma força num dado corpo quando:

O ponto de aplicação da força se desloca

Existe uma componente da força ao longo da trajectória do movimento (apenas

esta efectua trabalho).



O trabalho realizado pela força F

quando o seu ponto de aplicação efectua um

deslocamento rd

é definido pelo produto escalar:

dsFcos.ds.Frd.FdWt

unidade SI: Nm = J (Joule)

O trabalho total realizado pela partícula no trajecto AB é a soma de todos os

trabalhos infinitesimais realizados durante os sucessivos deslocamentos

infinitesimais:

B

A

t

B

A

ABds.Fsd.FW

Se a força que actua no corpo é constante em direcção e sentido, o movimento do

corpo é rectilíneo.

scosFW)ss(cosFds.Fsd.FWABBA

B

A

t

B

A

AB

Quando várias forças (n

F,...,F,F

21actuam num corpo o trabalho total,

totalW , é

soma dos trabalhos produzidos por cada força, ou é o trabalho da força

resultante



B

A

tetanresul

B

A

B

A

B

A

ntotalsd.Fsd.F...sd.Fsd.FW

21

Exemplo 7.1.1

A força F

, é dada por:

)N(x,Fx

)N(Fx

521564

540

O trabalho é então

6

4

6

4

2

64

4

040

5251155215

200455

)J(x,xdx)x,(W

)J()(dxW )J(WW

total25

60

7.2 Trabalho e Energia cinética. Teorema da energia cinética

A figura mostra um objecto que se move sem atrito numa superfície horizontal,

sob a acção de uma força F . Se a força F actua no objecto, este vai adquirir

aceleração, de acordo com a 2ª lei de Newton (a sua velocidade é alterada):

0PN

maF

maF

maFamF

yy

xx

ii

Uma força x

F varia com a posição como se

mostra na figura. Calcule o trabalho realizado

pela força sobre uma partícula quando esta se

move desde 0x até 6x cm.



sabendo que: vdx

dv

dt

dx.

dx

dv

dx

dx.

dt

dv

dt

dva

Trabalho realizado entre 1

x e 2

x :

12

2

1

2

2

2

212

1

2

1

2

2

1

2

1

2

1

2

1

EcEcmvmvv

mvdvmadxmFdxW

v

v

v

v

x

x

x

x

Teorema da energia cinética:

O trabalho total exercido sobre uma partícula é igual à variação da sua

energia cinética:

cinética

A

cinética

B

total

BAEEEcW

Exemplo 7.2.1

7.3 Energia potencial associada a uma força conservativa: energia potencial gravítica e

elástica

Por vezes o trabalho realizado pelas forças sobre um sistema não aumenta a

energia cinética do sistema, mas a energia fornecida é armazenada na forma de

energia potencial. A energia potencial de um sistema representa a capacidade

de esse sistema realizar trabalho por causa da sua configuração.

Um esquimó puxa um trenó de massa 80 kg

com uma força de 180 N, numa direcção de

20º com a horizontal.

a) Qual o trabalho realizado pelo esquimó.

b) Qual a velocidade que o trenó terá ao fim

de se deslocar 5 m a partir do repouso.



Forças conservativas

Se o trabalho realizado por uma força para mover um corpo entre duas posições

é independente da trajectória do movimento, a força é chamada conservativa.

)(W)(WBABA

21

Exemplos de forças conservativas:

Força gravítica

Força elástica

O trabalho de uma força conservativa é igual ao negativo da variação da energia

potencial associado a esta força, p

E :

)B(E)A(EdErd.FWpp

)B(E

)A(E P

r

r

p

p

B

A

Então: P

dErd.F

mas dzFdyFdxFrd.Fzyx

Logo: pzyx

dEdzFdyFdxF

Concluímos assim que, para uma fora conservativa, temos:

dz

dEF

dy

dEF

dx

dEF

rd.FdE

p

z

p

y

p

x

p

1

2



Energia potencial gravítica

Considerando apenas as forças aplicadas no haltere:

Considerando o sistema Terra - haltere:

O homem realiza trabalho sobre o sistema, então o trabalho realizado pelo

homem tem que ser igual à variação da energia do sistema. Nesta caso o sistema

não ganha “energia cinética”, mas sim “energia potencial.

sFWEemhomexteriores forçassistema

Sabe-se que 000 emhomhalterehaltereFmgFa

mghEhs

mgFsistema

emhom

A energia potencial gravítica de uma partícula com massa m é a energia que a

partícula possui devido à posição em relação à Terra. A definição de energia

Consideremos o seguinte exemplo:

Um homem levanta um haltere, mantendo a

velocidade constante, durante o levantamento

O homem realiza trabalho, mas a energia

cinética do haltere não aumentou. Mas se

homem sair o haltere vai “ganhar” emergia

cinética.

Se 000

haltereemhomPFFaKv

Se 000cinéticatotal

EWF



potencial gravítica implica que se escolha uma posição de referência para a qual

a energia potencial é nula.

Exemplo 7.3.1

Podemos assim concluir que quando o corpo sobe.

A força gravítica realiza um trabalho negativo

O sistema “ganha” energia potencial

Para que o sistema ganhe energia, tem que haver uma força exterior a

realizar trabalho sobre o sistema

Energia potencial elástica

Como já foi dito atrás as molas obedecem à lei de Hooke:

Consideremos o movimento de uma bola de

massa m muito próxima da superfície terrestre,

onde a aceleração g é aproximadamente

constante. Quando o trabalho realizado pela força

gravítica quando a bola sobe?

ppesopeso

s

s

h

h

fpeso

EWhmgW

)hh(mgdy)mg(sdPWf f

0

0 0



xKFel

F

K

x

força que dá origem à deformação

constante da mola

desocamento da mola em relação à sua posição de equiíbrio

O trabalho realizado pela mola quando se desloca da posição de equilíbrio x0

para a posição x1 é dado por:

)(E)(EkxkxxkW

dx.x.kdx.FW

pepe

x

x

mola

x

x

x

x

molamola

102

1

2

1

2

1 2

1

2

0

2

1

0

1

0

1

0

A energia potencial elástica de uma mola é uma força conservativa, sendo igual

ao trabalho que essa mola realizaria quando regressa à sua posição de equilíbrio:

22

1kxE

pe

onde k é a constante da mola e x a sua deformação.

Curvas de Energia Potencial (em movimento unidimensional)

Aplicando a relação anterior, entre força e a energia potencial associada:

kxdxdEdx

dEkx

dx

dEF

p

pp

x

Integrando entre a posição de equilíbrio, 0x , e uma posição x arbitrária,

obtemos

2

0

2

00 2

1

2

1kxxkEkxdxdE

x

p

xE

p

p

A figura representa um sistema constituído por

uma mola de constante k ligada a um bloco. Como

varia a energia potencial com a posição?



Podemos representar esta função graficamente:

7.4 Forças não conservativas

Uma força é não conservativa quando o trabalho realizado depende da trajectória

do movimento. Um exemplo típico de uma força não conservativa é a força de

atrito.

)xx(FWatFta 02

20

)xxx(FW

)xx(F)xx(FW

WWW

atF

atatF

FFF

at

at

atatat

120

20

1210

20

211020

2

Na posição de equilíbrio a força que actua na

partícula é nula, porque quando 0x (posição de

equilíbrio), a derivada da energia potencial é nula.

O equilíbrio é estável porque um ligeiro

afastamento da partícula da posição de equilíbrio

tem como resultado uma força que tende a

restabelecer o equilíbrio.

O equilíbrio é instável, pois qualquer pequeno

deslocamento tem como resultado uma força que

acelera a partícula para fora do equilíbrio.



O trabalho da força de atrito entre o ponto x0 e x2 depende do percurso logo a

força de atrito é uma força não conservativa

Suponhamos que actuam na partícula forças conservativas, c

n

cc F,...,F,F21

, e não

conservativas, nc

n

ncnc F,...,F,F21

. Pelo teorema da energia cinética sabemos que

)F(W...)F(W)F(W)F(W...)F(W)F(WWE nc

n

ncncc

n

cc

totalc

2121

Para cada força conservativa tem-se:

ip

c

iE)F(W

Conclui-se então que a variação da energia mecânica é igual ao trabalho das

forças não conservativas.

)W(F...)W(F)W(FΔE nc

n

nc

2

nc

1mec ân i c a

)F(W...)F(W)F(W)E...EEE(

)F(W...)F(W)F(WE...EEE

nc

n

ncnc

pppc

nc

n

ncnc

pppc

n

n

21

21

21

21

7.5 Lei da conservação da Energia Mecânica

Se num sistema, estiver uma partícula e sobre ela actuar só uma força

conservativa:

cp

cinéticaF

potencialF

EEEW

EW

aconsevativ

aconsevativ

Lei da conservação da Energia Mecânica

A energia total sobre um sistema permanece constante se a única força que

realiza trabalho sobre o sistema for uma força conservativa:

00 )EE(EEcpcp

constantemecânicamecânica

EE 0



Exemplo 7.5.1

O trabalho realizado será:

aaeg FfifiFFFtotalWkxkx)mghmgh(WWWW

22

2

1

2

1

Usando o teorema da energia cinética podemos escrever:

i

mecânica

f

mecânica

i

pe

i

pg

i

c

f

pe

f

pg

f

cF

Ffifiif

EE)EEE()EEE(W

W)xx(k)hh(mgmvmv

a

a

2222

2

1

2

1

2

1

Exemplo 7.5.2

O sistema da figura é utilizado para lançar

blocos ao longo de uma superfície com

atrito. Relacione o trabalho realizado pelo

atrito com a variação da energia mecânica.

Neste exemplo temos três tipos de forças:

elástica, atrito e gravítica.

Um motociclista salta um vale

descrevendo a trajectória

mostrada. Desprezando a

resistência do ar, calcule o

módulo da velocidade da moto

quando esta atinge o solo.



7.6 Potência

A potência traduz o trabalho que é realizado por unidade de tempo.

Se a quantidade de trabalho, W, é realizada no intervalo de tempo, t , a

potência média, P , é definida como:

t

WP

Se o trabalho, W, é expresso como função do tempo, a potência instantânea, P,

desenvolvida em qualquer instante é definida como:

dt

dWP Unidade SI: joule/s= watt (W)

Se o trabalho for realizado por uma força constante:

dt

rd.F

dt

dWPrd.FdW

ou seja, v.FP

Exemplo 7.6.1

Um automóvel acelera de o a 96 km/h em 6,5 s.

a) Qual a potência do automóvel

b) Quanto demorará a acelerar desde 80 km/h até 112 km/h

Exemplo 7.6.2

Calcule a potência desenvolvida pelo motor de automóvel ao subir uma rampa de

5º de inclinação, com uma velocidade constante de 36 km/h. Considere a massa

do automóvel igual a 1200 kg. Despreze os efeitos do atrito.

Se ctev , então 0R

F , logo

0total

W

FPtoatlWWW

FpgWE 0

)yy(mgEWpgF 0



W.sen.mgmgvdt

dymg

dt

dWP

y

F 4100331

Eficiência mecânica ou rendimento

Chama-se eficiência ou rendimento ( ) à razão entre o trabalho realizado por

uma máquina e a energia que é necessária fornecer à máquina para que ela

realize esse trabalho.

total

util

mecânicaP

P

E

W

máquina à fornecida Energia

máquina pela realizado Trabalho

Em qualquer máquina, a energia gerada geralmente não é toda utilizada para

produzir um dado trabalho, pois há sempre dissipação de energia ( 1 ). As

forças de atrito realizam trabalho que é dissipado sob a forma de calor, Q.

QWEmecânica

Exemplos

A energia química do combustível apenas é utilizada em 25 % (75 % é

dissipado como calor).

Os músculos que utilizam energia química também têm %25 .

7. MOVIMENTO OSCILATÓRIO

Um caso particular de movimento ocorre quando a força aplicada sobre um corpo

é proporcional ao deslocamento do corpo em relação à sua posição de equilíbrio.

Se essa força actuar sempre na direcção da posição de equilíbrio do corpo,

provocará um movimento repetitivo, de vai e vem em torno dessa posição. Este

tipo de movimento denomina-se periódico ou oscilatório. Uma oscilação ocorre

quando um sistema em equilíbrio estável é perturbado, de modo que este oscila

em torno da sua posição de equilíbrio.

Exemplos deste tipo de movimento são:

Oscilações de um barco nas ondas



Oscilações do pêndulo de um relógio

Vibrações de instrumento musical de cordas

Vibrações das moléculas do ar, quando o som se propaga

Movimentos das moléculas de um sólido em torno das suas posições de

equilíbrio

7.1 Movimento Harmónico Simples

No movimento harmónico simples, um corpo oscila entre duas posições

espaciais, durante um intervalo indefinido de tempo, sem perda de energia

mecânica. Contudo, nos sistemas mecânicos reais estão sempre presentes forças

retardadoras (ou de atrito). Estas forças reduzem a energia mecânica do sistema

à medida que o movimento avança e as oscilações são amortecidas.

O estudo de um movimento pode ser feito de duas perspectivas diferentes:

Estabelecer as “leis do movimento” partindo da observação e depois tentar

perceber porque as características do movimento.

Ver primeiro quais são as forças aplicadas ao sistema e a partir da

segunda lei de Newton estabelecer as lei do movimento

Características do Movimento Harmónico Simples

Seguindo a 1ª opção, vamos observar o movimento:



Equação do movimento

A variação da posição em função do tempo segue uma lei do tipo sinusoidal. Pode

ser escrita por:

ct.

TAsen)t(x

2

Observemos que A, a amplitude do movimento, é simplesmente o deslocamento

máximo da partícula na direcção de x positiva ou negativa, isto é, )t(x varia

entre A (quando sen = 1) e –A (quando sen =-1).

Verifique-se que fT

w

22

é a frequência angular.

O corpo oscila em torno

da posição de equilíbrio

( 0x )

O número de oscilações

por segundo é constante –

frequência.

O movimento é periódico –

período.

O corpo oscila entre duas

posições extremas,

igualmente espaçadas em

relação à posição de

equilíbrio –amplitude.



Se )c(Asen)t(xt 0 , 0c indica a posição em que o corpo inicia o

movimento. A grandeza )wt(0 é a fase do movimento. Repara-se que a unção

x(t) é uma função periódica, pois repete-se sempre w aumenta 2 radianos.

O período T, é o intervalo de tempo necessário para a partícula descrever um

ciclo completo do seu movimento. Isto é, as posições, x(t) nos instantes t=T , t=2T,

t=3T,…, são iguais.

Se no movimento periódico a posição da partícula é descrita por uma expressão

do tipo:

)wt(sen.A)t(x0

diz-se que o movimento é harmónico simples (MHS).

Velocidade e aceleração em função do tempo

Posição:

)wt(Asen)t(x0

Velocidade:

dt

dx)t(v

)wtcos(wA)t(v0

Aceleração

dt

dv)t(a

)wtcos(Aw)t(a0

2

)t(xw)t(a 2



Aplicação da 2ª lei de Newton

Vamos prever o movimento a partir das forças aplicadas:

Na posição de equilíbrio a mola não exerce nenhuma força sobre o corpo, 0

F .

Quando o corpo é deslocado, uma pequena distância em relação à posição de

equilíbrio, a mola exerce uma força que aumenta à medida que o seu

afastamento, x aumenta. Esta força é dada pela lei de Hooke:

xkF

E tem as seguintes características:

actua na direcção do eixo da mola

tem sempre o sentido contrário ao deslocamento

é proporcional ao deslocamento

Consideremos um corpo ligado a

uma mola, que oscila quando é

afastado da posição de equilíbrio

Forças aplicadas sobre o

corpo:

P –Peso

N – reacção normal da mesa

sobre o corpo

F – força que a mola exerce

sobre o corpo




yy’ 0y

a.mPN

xx’ xm

kaa.mx.kF

xx

Vemos assim que a aceleração não é constante:

tem sentido contrário ao deslocamento

é proporcional ao deslocamento

é nula na posição de equilíbrio

é máxima nos extremos (quando x é máximo)

Vamos agora descrever o movimento de maneira quantitativa. Recordemos que,

2

2

dt

xd

dt

dva , então:

02

2

2

2

xm

k

dt

xdx

m

k

dt

xd Equação diferencial do MHS

É necessário encontrar a solução da equação diferencial, isto é, uma função

x=f(t), que satisfaça a equação diferencial de 2ª ordem.

Se

xw)wt(sen.awdt

xd

)φwa.cos(wtdt

dx

)wt(sen.ax0

2

0

2

2

20

Substituindo na equação diferencial, vem.

xm

kxw 2

, verdadeira desde que m

kw



Então:

0t.

m

ksen.a)t(x é solução

Podemos assim concluir que a frequência angular depende das características do

oscilador, isto é:

m

k

Tw

2

Pêndulo Simples

O pêndulo simples é um outro sistema mecânico que exibe movimento periódico,

oscilatório. É constituído por uma massa m pendurada num fio de massa

desprezável, de comprimento L, que tem a extremidade fixa como mostra a

figura. O movimento ocorre num plano vertical e ocorre provocado pela força de

gravidade.

mas L.at

, então:

L.gsenL..mmgsen

Sabe-se que 2

2

dt

d , logo:

Forças que actuam sobre a massa: Tensão, Peso Aplicando a 2ª lei de Newton:

amPTamF

Na direcção tangente ao movimento:

ttmamgsenmaPsen



senL

g

dt

d

dt

dLgsen

2

2

2

2

Não se trata de uma equação diferencial de 2º grau logo o movimento não é um

movimento harmónico simples. Se admitirmos, que seja pequeno podemos

usar a aproximação sen , onde está em radianos. A equação do

movimento fica:

02

2

L

g

dt

d

Temos assim uma equação diferencial que tem a mesma forma que no caso

apresentado anteriormente, e então concluímos que o movimento é um

movimento harmónico simples. A solução da equação diferencial é do tipo:

)wt(sen)t(00

onde 0

, é o deslocamento angular máximo, e a frequência angular e o período

do movimento são dados por:

L

gw e

g

L

wT

2

2

Ou seja, a equação que traduz a posição do pêndulo em cada instante é:

)tL

g(sen)t(

00

7.2 Energia do Oscilador Harmónico Simples

Calculemos o trabalho realizado pela força exercida pela mola sobre o corpo, F,

quando o corpo se move entre as posições xA e xB.



)xx(kW

xk

xk

xkdx.kxidx.ikxrd.FW

BAAB

AB

x

x

x

x

x

x

x

x

AB

B

A

B

A

B

A

B

A

22

222

2

1

222

Energia potencial elástica

Se )xx(kWBAAB

22

2

1 o trabalho realizado pela força elástica não depende do

caminho percorrido, mas apenas das posições inicial e final, então a força

elástica é uma força conservativa. Podemos então definir Energia Potencial

elástica (EP) de uma partícula de massa m, colocada num ponto A de elongação x:

2

apx.k

2

1)A(E

Energia cinética

Sabe-se que 2

2

1mvE

cinética

Mas )wtcos(wA)t(v0

22

0

22222

0

222

0

222

2

1

2

1

2

1

12

1

2

1

xA.k)wt(senAmwAmwE

)wt(senAmwE

)wt(cosAmwE

c

c

c



Energia mecânica

Durante o movimento a energia mecânica é conservada:

tetanconsEEcinéticapotencial

tetanconsmvkx 22

2

1

2

1

Exemplo 7.2.1

Um corpo de massa 4 kg oscila sobre um plano horizontal, ligado a uma mola

elástica (k=40 N/m). O corpo foi deslocado 10 cm para a direita da posição de

equilíbrio e abandonado. Calcule:

a) a equação diferencial do movimento

b) a equação que define a posição do corpo em qualquer instante

c) a amplitude, a frequência e o período do movimento

d) a velocidade máxima e a aceleração máxima

e) a energia cinética e energia potencial quando o corpo está a 5 cm afastado da

posição de equilíbrio.



8. MECÂNICA DOS FLUIDOS

O que determina o estado físico – sólido, líquido, gasoso – em que a matéria se

encontra, é a grandeza das forças internas, que os seus átomos ou moléculas exercem

uns sobre os outros.

Apesar destas diferenças entre líquidos e gases é possível encontrar um conjunto

apreciável de propriedades comuns a ambos. Designam-se vulgarmente por fluidos o

conjunto de líquidos e gases.

Um fluido é uma substância que não apresenta forma própria e estando em repouso

não resiste a esforços tangenciais por menores que estes se apresentem, o que

equivale a dizer que a mesma se deforma continuamente. Conformam-se com as

fronteiras de qualquer recipiente, dado que não conseguem suster qualquer força

tangencial à sua superfície. Contudo podem exercer uma força na direcção

perpendicular à sua superfície, como vamos ver.

O termo fluido inclui líquidos e gases, que diferem notavelmente nas suas

compressibilidades: um gás é facilmente comprimido, enquanto um líquido é

praticamente incompressível.

8.1 HIDROSTÁTICA

8.1.1 Massa volúmica

A massa volúmica de uma substância, , de um material homogéneo, é definida como

a sua massa por unidade de volume /m V . É uma grandeza escalar cuja unidade,

no sistema SI, é kg.m-3.



8.1.3 Pressão

Define-se pressão (sobre uma superfície), p , como sendo a força exercida,

perpendicularmente a essa superfície, por unidade de área.

dFp

dA

A pressão é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema Internacional, é o N/m2

que tem o nome de Pascal, Pa. É ainda utilizada, especialmente para fluidos o bar cuja

relação com o Pascal é de 51 10bar Pa .

Relações entre unidades de pressão:

, /5 2101 10 760 760 1N m mmHg Torr atm

Pressão num fluido – pressão hidrostática devida ao seu próprio peso.

Consideremos um elemento de fluido com a forma de um lâmina com espessura, y ,

e área, A .

A força exercida sobre esse elemento de fluido que o envolve é em qualquer ponto

normal à sua superfície. Por simetria a resultante nos bordos laterais é nula (anulam-

se as forças horizontais).

A força para baixo exercida sobre a sua face inferior é dada por:



. . . .( . ).downF p A m g p A A y g

A força para baixo, é dada por:

( ).upF p p A

Como o elemento de fluido está em equilíbrio, a força resultante que actua sobre ele é

nula:

( ). . .( . ). 0T up downF F F p p A p A A y g

O que equivale a:

.p

gy

lim .0y

p dpg

y dy

Integrando a equação anterior temos a pressão absoluta:

. .0p p g y

Esta equação traduz o Teorema de Stevin ou Lei Fundamental da Hidrostática.

Teorema de Stevin – A diferença de pressão entre dois pontos quaisquer de um

líquido em equilíbrio é numericamente igual ao valor do peso de uma coluna de líquido

com altura igual à diferença de nível entre os pontos e área unitária.



8.1.4 Consequência da Lei Fundamental da Hidrostática

Vasos comunicantes

De acordo com a lei fundamental da hidrostática os pontos A, B e C estão à mesma

pressão uma vez que se encontram ao mesmo nível.

A B Cp p p

Designando 0p , a pressão atmosférica,

. .0A B Cp p p p g h



Vasos comunicantes contendo líquidos imiscíveis

Consideremos um sistema de vasos comunicantes que contém líquidos imiscíveis, de

massas volúmicas, A e B . Sabendo que a maior densidade é a que fica no fundo,

A B . Como nos pontos A e B estão ao mesmo nível e pertencem ao mesmo líquido,

temos:

A Bp p

. . . .0 0A A B Bp g h p g h

. .A A B Bh h

Da análise permite-nos concluir o seguinte:

Se as massas volúmicas dos líquidos são diferentes, então a altura das colunas

de líquidos correspondentes são também diferentes;

A superfície do líquido de menor massa volúmica encontra-se a um nível

superior.



8.1.5 Medição da pressão

8.1.5.1 Barómetro de Mercúrio (Evangelista Torricelli, 1974)

Torricelli, no século XVII descobriu como determinar a pressão atmosférica. A

experiência consistiu em inverter um tubo de vidro cheio de mercúrio numa tina de

vidro com mercúrio. Torricelli observou que o nível do mercúrio desceu até uma altura

de 760h mm, relativamente à superfície livre do líquido na tina. Daí concluiu que a

pressão atmosférica actuante na superfície livre do líquido ( 2A Bp p p ) seria

equivalente a 760mm de Hg (mecúrio).

. . . . , ,

,

2 1

5

0 13600 9 8 0 760

1013 10

mercúrio mercúriop p g h g h

p Pa

Desta experiência podemos verificar que a altura do líquido varia na razão directa da

pressão atmosférica.

Repare que para uma determinada pressão, a altura da coluna de mercúrio é

independente do diâmetro do tubo.



8.1.5.2 Manómetro de Tubo Aberto

O tipo mais simples de medidor de pressão é p manómetro de tubo aberto. Este tipo

de manómetro mede pressão de um gás. Consiste num tubo em U contendo um

líquido de densidade conhecida (água corada, ou mercúrio), com uma das

extremidades desse tubo ligado ao tanque onde desejamos medir a pressão ( 2p ) do gás

e a outra extremidade aberta à pressão atmosférica ( 1 atmp p ). Quando a pressão no

tanque for igual à pressão atmosférica os níveis do líquido em ambos os lados do tubo

são iguais. Há medida que a pressão no tanque sobe acima da pressão atmosférica o

nível da pressão na parte esquerda do tubo é empurrado para baixo, subindo

correspondentemente do lado direito.

. .2 1 líquidop p g h

8.1.6 Lei de Pascal

A

B

h



Supondo que na superfície livre de um líquido se exerce um pressão, Ap , a pressão em

B é dada por:

. .B Ap p g h

Se com um êmbolo aumentarmos a pressão em A, uma quantidade p , como um

líquido é praticamente incompressível, não haverá variação da altura h . A pressão em

A passará a ser:

´A Ap p p

A nova pressão em B, 'Bp :

'B Bp p p

Lei de Pascal – Uma variação da pressão num ponto de um líquido transmite-se

integralmente a todos os pontos desse líquido.

1 2p p

Exemplos de aplicação da lei de Pascal:

Tubo de pasta de dentes;

Macaco hidráulico;

Braços pneumáticos em maquinaria;



Princípio de Pascal – Funcionamento da Prensa Hidráulica

Considerando o caso de um fluido incompressível, se uma força 1F actuar para baixo

na parte esquerda sobre um pistão de área 1A , dado que esta pressão externa se

propaga integralmente a todo o fluido e suas paredes, como consequência na parte

direita vai-se fazer sentir sobre o pistão de área 2A uma força de sentido contrário 2F .

A variação de pressão de um lado é idêntica à do outro.

Logo temos:

1 2 22 1

1 2 1

F F Ap F F

A A A

Dado que 2 1 2 1A A F F

Se o pistão da esquerda descer de uma altura 1d , o pistão da direita sobe, 2d , é-lhe

proporcional dado que o volume de fluido deslocado é constante:

. . 11 1 2 2 2 1

2

AV A d A d d d

A

Daí que o pistão da direita sobe menos do que o da esquerda desce.



8.1.7 Flutuação de corpos em fluidos – Princípio de Arquimedes

Alguns corpos ao serem introduzidos num líquido ficam em equilíbrio no interior do

líquido. Isto leva-nos a concluir que há uma força exercida pelo líquido sobre o corpo

que nestas condições anula a força do peso. Esta força designa-se por – impulsão do

líquido – I.

Consideremos um bloco de uma material de volume, .V Ah , e densidade ,

parcialmente imerso em água (densidade w ).

Nas bases do corpo, o líquido exerce forças de pressão com resultantes, upF e downF . As

forças laterais que se exercem nas paredes do corpo anulam-se aos pares.

A força para cima é devida à pressão:

. .0 wp p g y

Logo: . . . . .0up wF p A p A g y A

A



Logo, para flutuar:

. . . . . .wg h A g y A

Isto é:

w

h

y

h - altura do corpo

y - profundidade do corpo imerso

Força de Impulsão:

. . . . .w w II g y A g V

iV - volume do corpo imerso

O princípio de Arquimedes diz que todo o sólido imerso num líquido, sofre uma força

de impulsão, de baixo para cima, igual ao peso do fluido deslocado.

A força para baixo (downF ), tem duas

componentes, a pressão atmosférica e o peso

do bloco:

. . . .0downF p A g h A

A

Logo:

. . . . . .total down up wF F F g h A g y A

Uma vez que o bloco está em equilíbrio:

0totalF



Exemplo de aplicação

Uma tina rectangular, feita de cimento, tem um comprimento 1l m, uma largura

80w cm, uma altura 60d cm e uma massa 200M kg. A tina flutua num lago.

Quantas pessoas de massa 80m kg cada, podem entrar na tina sem que esta se

afunde?

.( . . ). ( . ).gI F l wd g M n m g

Logo,

. . .l w d Mn

m

.3 5 3n pessoas

8.2 HIDRODINÂMICA

8.2.1 Introdução

A hidrodinâmica é o estudo de fluidos em movimento.

É um dos capítulos mais difíceis da Física porque, embora cada partícula do fluido

siga leis simples, como as leis de Newton, o enorme número de partículas envolvido

torna impraticável esta via do estudo. Felizmente, muitas situações de importância

prática podem ser representados por modelos ideais que são suficientemente simples

para poderem ser entendidos.

Devemos começar por dividir os fluidos em ideais e reais. Um fluido ideal é

incompressível e não apresenta forças internas de atrito ou seja, forças de viscosidade.

Peso total:

( . ).gF M n m g

Impulsão máxima:

.( . . ).I l wd g



A hipótese de incompressibilidade é uma boa aproximação quando se trata de

líquidos, e, em algumas circunstâncias, por gases se o movimento não envolver

grandes diferenças de pressão.

Os fluidos compressíveis e que apresentam forças de viscosidade serão os fluidos

reais.

8.2.1 Fluidos ideais

Define-se uma linha de fluxo como sendo a trajectória percorrida por um elemento

dum fluido em movimento. Em geral a velocidade varia em direcção e módulo ao longo

dessa trajectória.

Se, considerando um dado um dado ponto dessa trajectória, todos os elementos

seguinte que por lá passa, tiverem a mesma velocidade, o fluxo do fluido diz-se

estacionário. Isto significa que a velocidade das partículas de fluido é sempre a mesma

num dado ponto do espaço embora possa variar de ponto para ponto.

Definimos linha de corrente como a linha que em cada ponto do espaço é tangente à

trajectória, isto é, à direcção das partículas que por aí passam.

Quando o movimento é estacionário as linhas de corrente coincidem com as linhas de

fluxo.

O conjunto de linhas de corrente que passam tangenciando um elemento de área,

denomina-se tubo de corrente.

O modo como um fluido se desloca muitas vezes referido como regime de escoamento

pode classificar-se de duas maneiras.



Regime laminar – é um regime de escoamento em que as camadas de fluido deslizam

umas sobre as outras. Este tipo de escoamento pode ser representado por um

conjunto regular de linhas de corrente que se mantém estável no tempo.

Regime turbulento – é caracterizado pela ausência de um mapa de linhas de corrente

estável e surge quando o fluido se desloca a altas velocidades ou quando no seu

percurso aparecem obstáculos que provocam variações de velocidade bruscas e o fluxo

se torna irregular.

Há duas equações básicas na Dinâmica dos fluidos, a equação da continuidade e o

teorema de Bernoulli.

8.2.3 Equação da continuidade

Num fluido ideal o volume de fluido que atravessa qualquer secção recta por unidade

de tempo (caudal) é constante. Isto significa simplesmente que há conservação de

massa do fluido, não se criando, nem se perdendo, fluido em nenhum ponto ao longo

do trajecto.

Para traduzir matematicamente esta constatação, imaginemos um fluido ideal que se

escoa ao longo do tubo representado na figura. Sejam A1 e A2 as áreas das secções

rectas em duas partes distintas do tubo. As velocidades de escoamento em A1 e A2, são

respectivamente, 1v e 2v .

Como o líquido é incompressível, o volume que entra no tubo no tempo t é o

existente nu cilindro de base 1A e altura 1 1x v t . Este volume é igual a aquele que,

no mesmo tempo, sai da parte da secção de área A2.



( ) ( )

1 2

1 2volume volume

V V

Se dividirmos o volume escoado V pelo tempo t , teremos uma grandeza chamada

caudal de fluido, Q .

3VQ L T

t

Podemos então afirmar que:

1 1

1 2

Q Q

V V

t t

1 1 2 2A x A x

t t

E finalmente obtemos a Equação da continuidade:

1 1 2 2A v A v

Esta equação mostra que a velocidade de um fluido num tubo com estrangulamento é

maior nesses pontos do que nas zonas mais largas.

8.2.4 Equação de Bernoulli

Quando um fluido incompressível escoa ao longo de um tubo de corrente de secção

transversal variável, a sua velocidade varia. Consequentemente, deve haver uma força

resultante aplicada (“ª lei de Newton) e isso significa que a pressão deve variar ao

longo do tubo, ainda que não haja diferença de altura.

Para dois pontos com diferentes alturas, a diferença de pressões depende não apenas

da diferença de nível mas também da diferença de velocidade entre aqueles dois

pontos.

Um vez que num fluido ideal só existem força conservativas, a expressão geral da

diferença de pressões obtém-se a partir da conservação de energia.



Para obter-se a Equação de Bernoulli, aplica-se o teorema de trabalho e energia ao

fluido contido numa secção de um tubo de corrente.

Consideremos um elemento

de fluido contido entre duas

secções de um tubo de

corrente, A1 e A2, tal como

mostra a figura seguinte.

A força na secção 1A é dada por:

. .1 1 1 1AF p dA p A

O trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a 1p , quando o fluido se desloca

de 1s é dado por:

1 1 1 1FW p A s

Do mesmo modo, o trabalho realizado pelas forças de pressão, devidas a 2p , quando o

fluido se desloca 2s é dado por:

2 2 2 2FW p A s

O trabalho efectivo realizado sobre o elemento de fluido, durante este deslocamento

será:

1 1 1 2 2 2W p A s p A s

Pela equação da continuidade:



1 1 2 2A v A v

1 1s v t e 2 2s v t 1 1 2 2A s A s V

Podemos então escrever esse trabalho como:

( )forças de pressão 1 2W p p V

Aplicando o teorema de Trabalho-Energia iguala-se este trabalho à variação total das

energias cinética e potencial do elemento durante t .

Durante t , um volume de fluido 1 1V A s , com massa, m V , entra no

tubo na secção 1A , trazendo uma energia cinética:

( )

2 2

1 1

1 1

2 2CE m v V v

Analogamente, durante esse intervalo, igual massa de fluido deixa o tubo pela secção,

2A , levando consigo uma energia cinética de:

( )

2 2

2 2 2

1 1

2 2CE m v V v

Seno a variação de energia cinética:

( )2 2

2 1

1

2cE V v v

A variação da energia potencial é dada por:

( ) ( )2 1 2 1pE m g h h V g h h

Usando o teorema de trabalho energia, podemos escrever:

( ) ( ) ( )

forças de pressão

2 1

2 1 1 2 2 1

1

2

c pW E E

V v v p p V V g h h



Dividindo por V , obtemos:

( ) ( )2 1

1 2 2 1 2 1

1

2p p v v g h h

Esta equação traduz o teorema de Bernoulli. Pode ainda ser utilizada da seguinte

forma, mais comum.

p g h v p g h v2 2

1 1 1 2 2 2

1 1

2 2

A diferença de pressões devido ao peso de fluido, (hidrostática) é a diferença de altura

entre os dois extremos do elemento de fluido e a pressão adicinal associada à variação

da velocidade do fluido. Esta equação também pode ser escrita da seguinte forma:

constante21

2p g h v

8.2.5 Implicações da Equação de Bernoulli

8.2.5.1 Velocidade de descarga

Consideremos o seguinte tanque de área transversal, 1A , cheio de um líquido de

densidade, , até à profundidade, h .

O espaço acima do líquido contém ar a uma pressão, p , e este escoa através de u

orifício de área, 2A .

Considerando toda a massa de líquido como um tubo de corrente, sendo 1v e 2v as

velocidades nos pontos 1 e 2, respectivamente. A quantidade 2v é chamada velocidade

de descarga e a pressão em 2 é a pressão atmosférica.

Aplicando a Equação de Bernoulli:

2 2

1 0 2

1 1

2 2p v g h p v

2 2 02 1 2 2

p pv v g h

(1)



Da equação da continuidade:

12 1

2

Av v

A

Devido à convergência das linhas de corrente à medida que se aproximam do orifício a

secção transversal da secção do líquido continua a diminuir até uma pequena

distância do tanque. A área a ser usada na menor secção é conhecida como vena

contracta (veia contraída). Para um orifício circular a área da veia contraída é cerca de

65 % do orifício.

Considerando alguns casos especiais, suponha-se que o tanque está aberto para a

atmosfera.

0p p

Suponha-se também que 1 2A A , então 2 2

1 2v v , podendo ser desprezado. Logo da

equação (1), tira-se:

2 2v g h

Desta equação concluímos que, a velocidade de descarga é a mesma que adquire um

corpo em queda livre, caindo a uma altura h - Teorema de Torrricelle. Este teorema

não se restringe a orifícios na base do tanque, sendo também aplicado para os que são

feitos nas paredes laterais a uma profundidade h da superfície.



8.2.5.2 Tubo de Venturi

O tubo de Venturi consiste num estrangulamento inserido num tubo, constituído por

peças suficientemente inclinadas, na entrada e saída, para evitar turbulência.

Aplicando a equação de Bernoulli às secções larga e estreita:

2 2

1 1 2 2

1 1

2 2p v p v

Da equação da continuidade, 1 1 2 2A v A v , 2v é maior que 1v e assim a pressão 2p ,

na garganta é menor que 1p .Assim, uma força para a direita, actua acelerando o fluido

quando entra na garganta e outra, para a esquerda o retarda. As pressões 1p e 2p

podem ser medidas por meio de tubos verticais, presos lateralmente. Conhecidas

essas pressões e as áreas 1A e 2A das secções transversais pode-se calcular as

velocidades e as taxas de escoamento de massa. Quando usado para este fim este

dispositivo chama-se Medidor de Venturi.

8.2.5.3 Sustentação de aviões

A figura seguinte mostra as linhas de corrente em torno da secção transversal de uma

asa de um avião.



A orientação da asa em relação às linhas de corrente provoca uma acumulação de

linhas de corrente acima da asa, correspondentes a uma maior velocidade da corrente

nesta região ( 1 2v v ), como na garganta de venturi ( 1 2A A ). Assim, a parte superior da

asa está numa região de grande corrente e pressão reduzida, enquanto que a parte

inferior é mais ou menos a pressão atmosférica (não tem correntes de ar). Nestas

condições, surge uma força de sustentação (devido à diferença de pressões) de baixo

para cima que permite o aparelho manter-se no ar sem cair.



8.2.6 Viscosidade – fluidos reais

Fluidos reais, como o ar, água, óleo, sangue, shampoo, não obedecem perfeitamente a

equação de Bernoulli. Situações reais, como o efeito da tensão superficial, e da

viscosidade, não podem ser descritos com a equação de Bernoulli.

É da experiência corrente que a água ou o álcool, por exemplo, se podem vazar de um

reservatório para outro (e se deformam portanto) com maior facilidade do que o óleo

ou mel. Traduz-se este facto dizendo-se vulgarmente que os últimos líquidos são mais

viscosos do que os primeiros.

A viscosidade pode ser encarada como uma forma de atrito entre as camadas

adjacentes de um líquido. É normalmente percebida como a "grossura", ou resistência

ao despejamento. Viscosidade descreve a resistência interna para fluir de um fluido e

deve ser pensada como a medida do atrito do fluido. Assim, a água é "fina", tendo uma

baixa viscosidade, enquanto óleo vegetal é "grosso", tendo uma alta viscosidade.

Por causa da viscosidade, é necessário exercer uma força para fazer uma camada de

fluido deslizar sobre outra.

Tanto os líquidos como os gases são viscoso, embora os primeiros sejam muito mais

que os gases.

Verifica-se que um fluido em contacto com uma superfície tem a mesma velocidade

que esta.

http://pt.wikipedia.org/wiki/%C3%93leo_vegetal



As velocidades das restantes camadas

distribuem-se regularmente ao longo da

direcção normal às superfícies (se o

regime for laminar), constituindo-se

assim um gradiente de velocidades ao

longo dessa direcção que se representa

por: dv

dy

No escoamento laminar, as camadas de fluido deslizam uma sobre as outras como

fazem as folhas de um livro colocado sobre uma mesa quando se aplica uma força à

sua capa superior.

Como consequência deste movimento, uma porção de líquido que, num dado instante,

tem a forma abcd, num instante posterior apresenta a forma abc’d’, deformando-se

cada vez mais, à medida que o movimento prossegue.



A fim de manter o movimento, é necessário exercer uma força continuamente para a

direita, sobre a placa superior móvel (placa inferior estacionária) e, assim,

indirectamente, sobre a superfície superior do líquido. Esta força é representada por F

na figura acima apresentada. Sendo A , a área do líquido sobre a qual estas forças

estão aplicadas, a relação /F A é a tensão tangencial exercida sobre o fluido.

A deformação produzida é definida como a razão entre este deslocamento e a

dimensão transversal y , ( '/deformação dd y ), e, dentro do limite da elasticidade, a

tensão e a deformação são proporcionais.

Por outro lado, no caso de um fluido, a deformação cresce sem limite, enquanto se

aplica a tensão, e verifica-se experimentalmente que esta depende não da deformação

de cisalhamento (tangencial), mas da sua taxa de deformação.

Taxa de variação da deformação tangencial = dv

dy

Define-se coeficiente de viscosidade, , ou simplesmente viscosidade de um fluido,

como a relação entre a tensão tangencial de um fluido e a taxa de deformação

correspondente.

/

/

F A

dv dy

dvF A

dy



O coeficiente de viscosidade é uma grandeza escalar cuja unidade, no Sistema

Internacional, é o Pa.s. Em muitas tabelas encontramos como unidade o Poise, que

pertence aos sistema C.G.S. sendo 1 Poise = 10-1 Pa.s.

Para os líquidos que escoam facilmente, como a água ou querosene, a tensão

tangencial é relativamente pequena para uma dada taxa de variação de deformação,

sendo também a viscosidade relativamente pequena. O contrário acontece com a

glicerina ou o óleo cuja viscosidade é correspondentemente maior.

O coeficiente de viscosidade depende significativamente da temperatura, crescendo

para os gases e diminuindo par os líquidos. A tabela seguinte apresenta alguns dos

coeficientes de viscosidade de materiais conhecidos

8.2.7 Lei de Stokes

Quando um corpo se desloca no seio de um fluido viscoso, exerce sobre ele, para além

das forças de impulsão, forças de atrito devidas à viscosidade.



Estas forças são da forma:

F v

Para uma esfera de raio r , que se desloca com uma velocidade v , essas forças podem

escrever-se:

6F r v

Esta expressão traduz a lei de Stokes.

Uma partícula esférica abandonada ( 0 0v ) num líquido viscoso, fica inicialmente

submetida a duas forças: a impulsão e o peso. Se o peso for maior que a impulsão, a

partícula começa a cair no interior do fluido, aumentando a sua velocidade a partir do

zero, ficando assim sujeita também a uma força de viscosidade, com sentido contrário

à velocidade, e que aumenta com esta.

Temos assim uma resultante:

6gR F I r v

Uma vez que as forças de viscosidade aumentam à medida que a velocidade aumenta,

atinge-se um situação de equilíbrio para uma velocidade T

v , velocidade terminal, tal

que:



6 0g TF I r v

Passando a partícula a deslocar-se com velocidade constante. Supondo uma

densidade , para a partícula e L para o fluido, temos:

gF g V

LI g V

34

3V r

Obtemos assim,

22

9T L

r gv

Este é o método usado para determinar a viscosidade de determinados fluidos.

Medindo a velocidade terminal de uma esfera de raio r e densidade conhecidas, pode-

se medir a viscosidade do fluido na qual ela cai. Esta equação foi deduzida por Milikan

para calcular para calcular o raio de gotas submicroscópicas de óleo electricamente

carregadas, por meio dos quais se determinou a carga de uma electrão individual.

8.2.8 Escoamento de um fluido: Lei de Pouseuille



É evidente que, pela natureza dos efeitos dos fluidos viscosos a velocidade de um

fluido que escoa através de um tubo não será constante em todos os pontos de uma

secção recta. A camada mais externa do fluido adere às paredes e a sua velocidade é

nula. As paredes do tubo exercem sobre as camadas mais externas uma força para

trás e esta, por sua vez, exerce na camada seguinte na mesma direcção e assim por

diante.

Se a velocidade não for muito elevada o escoamento será laminar e a velocidade será

máxima no centro do tubo, decrescendo a zero nas paredes do mesmo.

A figura seguinte mostra o perfil de velocidades de um fluido nestas condições.

A equação que governa o movimento de um fluido dentro de um tubo é conhecida

como equação de Poiseuille. Ela leva em consideração a viscosidade, sendo válida,

apenas para escoamento não-turbulento (escoamento laminar). O sangue fluindo

através dos canais sanguíneos não é exactamente um escoamento laminar. Mas

aplicando a equação de Poiseuille para essa situação é uma aproximação razoável em

primeira ordem, e leva a implicações interessantes.

A equação de Poiseuille, diz que, o caudal de líquido, Q , que se escoa num tubo de



raio R , e comprimento L é função da diferença de pressões, 1 2p p e do coeficiente de

viscosidade do líquido, através da expressão,

4

1 2

8

p pRQ

L

Que constitui a lei de Poiseuille

Para o sangue, o coeficiente de viscosidade é de cerca de 4 x 10-3 Pa s.

A coisa mais importante a ser observada é que a taxa de escoamento é fortemente

dependente no raio do tubo: R4. Logo, um decréscimo relativamente pequeno no raio

do tubo significa uma drástica diminuição na taxa de escoamento. Diminuindo o raio

por um factor 2, diminui o escoamento por um factor 16! Isto é uma boa razão para

nos preocuparmos com os níveis de colesterol no sangue, ou qualquer obstrução das

artérias. Uma pequena mudança no raio das artérias pode significar um enorme

esforço para o coração conseguir bombear a mesma quantidade de sangue pelo corpo.

8.2.8 Escoamento laminar ou turbulento: Número de Reynolds

Quando a velocidade de um fluido excede um valor crítico, que depende das

propriedades do fluido e do raio do tubo, o regime de escoamento torna-se mais

complicado. Na vizinhança das paredes do tubo o ainda é laminar mas no interior é

altamente irregular. Aparecem localmente correntes circulares, vórtices, como se

observa frequentemente no fundo do cigarro, aumentando geralmente a resistência do

fluido. Este regime é designado por turbulento.



Experimentalmente verifica-se que uma combinação de quatro factores determina se

um regime é laminar ou turbulento. Esta combinação é conhecida como número de

Reynolds, RN , definido como:

R

v DN

Em que,

- densidade do fluido

v - velocidade média para a frente

- viscosidade do fluido

D - DIÂMETRO DO TUBO

O número de Reynolds é uma grandeza adimensional e tem sempre o mesmo valor,

para um dado líquido e tubo, qualquer que seja o sistema de unidades utilizado para o

seu cálculo.

Experimentalmente verifica-se que:

2000RN o escoamento é laminar

3000RN o escoamento é turbulento



2000 3000RN o escoamento é instável, passando várias vezes de um para outro

tipo de regime.

Quando um objecto se desloca no seio de um fluido, mesmo que este flua em regime

laminar, a deformação produzida nas linhas de corrente mostra que se estabelecem

em torno do objecto grandes gradientes de velocidade e portanto aparecem nessa

região forças de viscosidade. Por essa razão os fluidos, mesmo de baixa viscosidade,

não podem ser tratados como ideais na vizinhança de objectos sólidos.

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