SDK_SK

STABILNOST I DINAMIKA KONSTRUKCIJA STABILNOST KONSTRUKCIJA

VEBE web sajt: www.gradjevinans.net

Novi Sad 2010

1. TEORIJA DRUGOG REDA VEBE

web sajt: www.gradjevinans.net

Novi Sad 2010

Stabilnost i dinamika konstrukcija Departman za graevinarstvo FTN Novi Sad TIIR UVOD

strana 3 od 81

1.1 UVOD

Osnovne jednaine: 1. Veza izmeu deformacija i pomeranja (nelinearne jednaine) 2. Veza izmeu unutranjih i spoljanjih sila ili uslovi ravnotee (nelinearne jednaine) 3. Veza izmeu unutranjih sila i deformacija ili konstitutivne jednaine (nelinearne jednaine)

Prve dve grupe jednaina ine geometrijsku nelinearnost, a trea grupa jednaina ini materijalnu (konstitutivnu) ili fiziku nelinearnost.

Teorija treeg reda Ukoliko odbacimo materijalnu nelinearnost tada jednaine iz tree grupe postaju linearne algebarske dok preostale dve grupe jadnaina ostaju i dalje nelinearne.

(1 )cos 1

(1 )sin

( )T

teorija konanih odnosnovelikih deformacija

ddsdds

dds

+ = +

+ = +

=

,

,

1( ) (1 ) 0

1( ) (1 ) 0

(1 ) 0

t

n

dN T pdsdT N pdsdM Tds

+ + =

+ + + =

+ =

o

t

o

t

T

Nt

EFM tKEI h

TkGF

= +

= +

=

Teorija drugog reda Ukoliko odbacimo materijalnu nelinearnost i uvedemo pretpostavku o malim deformacijama ili pretpostavku o geometrijskoj linearnosti (sin cos 1i = = ) tada jednaine iz prve grupe postaju linearne, jednaine iz druge grupe i dalje ostaju nelinearne (zbog postojanja proizvoda i kolinika statikih i deformacijskih veliina) i jednaine tree grupe ostaju linearne algebarske.

( )T

teorija malih deformacijadds

dds

dds

=

= +

=

,

,

1( ) (1 ) 0

1( ) (1 ) 0

(1 ) 0

t

n


+ + =

+ + + =

+ =

o

t

o

t

T

Nt

EFM tKEI h

TkGF

= +

= +

=

Teorija prvog reda Ukoliko odbacimo materijalnu nelinearnost i uvedemo pretpostavku o malim deformacijama ili pretpostavku o geometrijskoj linearnosti ( sin cos 1i = = ) i uvedemo pretpostavku o malim pomeranjima ili pretpostavku o statikoj linearnosti (uslove ravnotee piemo na nedeformisanom

Stabilnost i dinamika konstrukcija Departman za graevinarstvo FTN Novi Sad TIIR UVOD

strana 4 od 81

tapu odnosno pomeranja napadnih taaka unutranjih i spoljanjih sila u uslovima ravnotee mogu da se zanemare) tada jednaine iz druge grupe postaju linearne, jednaine iz prve grupe ostaju linearne i jednaine tree grupe ostaju linearne algebarske.

( )T

dds

dds

dds

=

= +

=

1 0

0

0

t

n


+ =

+ + =

=

o

t

o

t

T

Nt

EFM tKEI h

TkGF

= +

= +

=

Elastina stabilnost

Linearna stabilnost

Zasniva se na pretpostavci o meusobnoj nezavisnosti aksijalnih i transverzalnih deformacija. Raspodela aksijalnih sila je poznata tj. odreuje se metodama linearne analize, a nepoznat je njihov intezitet, koji moe da se menja proprcionalno intezitetu spoljanjeg dejstva.

Nelinearna stabilnost

Zasniva se na pretpostavci o meusobnoj zavisnosti aksijalnih i transverzalnih deformacija. Koriste se jednaine stroge teorije drugog reda. Sistem gubi stabilnost kada nelinearna kriva optereenje-pomeranje dostigne graninu taku u kojoj je tangentna matrica krutosti singularna. Za reavanje problema primenjuju se inkrementalno-iterativni postupci.

Stabilnost i dinamika konstrukcija Departman za graevinarstvo FTN Novi Sad TIIR MPP

strana 5 od 81

1.2 TEORIJA DRUGOG REDA PRAVOG TAPA SA KONSTANTNIM MOMENTOM INERCIJE I KONSTANTNOM AKSIJALNOM SILOM

Veze izmeu deformacijskih veliina i pomeranja: (1 ) cos(1 ) sin

dx dx dudx dv

+ = +

+ = (1)

U skladu sa pretpostavkom o malim deformacijama: cos 1sin

0

=

=

=

dudxdvdx

=

=

(2)

Uslovi ravnotee:

0 00 00 ( ) 0

x

y

X dH p dxY dV p dxM dM V dx du Hdv

= + = = + = = + + =

(3)

Posle uvrtavanja 2 u 3 dobija se:

(1 ) 0

x

y

dH pdxdV pdxdM V Hdx

=

=

+ + =

(4)


strana 6 od 81

Pretpostavlja se da je spoljanje optereenje konzervativno. Javljaju se tri statike veliine (H, V, M), dve deformacijske veliine ( i ) kao i dve komponente spoljanjeg optereenja px i py. Veza izmeu sila N i T i H i V:

cos sinsin cos

N H V H VT H V H V

= + = +

= + = + (5)

Uslovi ravnotee su nelinearni zbog proizvoda statikih I deformacijskih veliina. Broj nepoznatih veliina u uslovima ravnotee je vei od broja jednaina. Unutranje sile ne mogu da se odrede nezavisno od deformacija. Za reenje su potrebne jo dve jednaine. Veze izmeu deformacija i sila u preseku:

2

1 ( )t

t

du Nt H V

dx EF EFd d v M tdx dx EI h

= = + = +

= = = + (6)

Jednaine 2, 4 i 6 i konturni uslovi definiu naponsko-deformacijsko stanje ravnog tapa u okviru teorije drugog reda. Sedam jednaina sa sedam nepoznatih (H, V, M, u, v, i ).Ako zanemarimo uticaj normalnih sila na deformaciju tapa kao i ako zanemarimo u treem uslovu ravnotee tada pomeranja u i v postaju nezavisna.

0

1 ( ) 0t

poduna deformacija ose tapadudx

du Nt H V

dx EF EF

=

= = + = + =

(7)

0

x

y

t

poprena deformacija ose tapadvdx

dH pdxdV pdxdM V Hdx

d M tdx EI h

=

=

=

+ =

= +

(8)

U optem sluaju nije mogue odrediti silu H nezavisno od sila i momenata u ostalim tapovima sistema, odnosno nezavisno od pomeranja i obrtanja. U praktinim proraunima dovoljno je tano da se normalne sile (sile H) odrede po teoriji prvog reda i onda kao poznate unesu u izraze 8 pri emu oni tada postaju linearni pa se ovaj pojednostavljeni oblik naziva Linearizovana teorija drugog reda. Bez obzira na to to je problem linearizovan on ostaje nelinearan zbog proizvoda H pa vai ogranien princip superpozicije kod koge se mogu samo superponirati uticaji razliitih poprenih optereenja pri istim aksijalnim silama. Trei uslov ravnotee po teoriji prvog reda gde na tap deluju jo i raspodeljeni momenti m:


strana 7 od 81

0dM Vdx mdx + = (9)

Ako izraz 9 uporedimo sa etvrtom jednainom u izrazu 8 dobijamo: dv

mdx Hdv m H m Hdx

= = = (10)

Zakljuujemo da su uticaji u jednom tapu ili nosau po teoriji drugog reda jednaki uticajima u tom tapu ili nosau po teoriji prvog reda kada na taj tap ili nosa pored zadatog optereenja deluju jo i raspodeljeni momenti m H= .


strana 8 od 81

1.3 DIFERENCIJALNA JEDNAINA I NJENO REENJE Iz etvrte jednaine sistema 8 sledi:

2

2 0d M dV d dvHdx dx dx dx

+ =

(11)

Uvrtavanjem tree i pete (izrazimo M) jednaine iz sistema 8 u jednainu 11 dobijamo linearnu diferencijalnu jednainu etvrtog reda:

2 2 2

2 2 2y td d v d dv d tEI H p EIdx dx dx dx dx h

=

(12)

Ako iz druge jednaine sistema 8 odredimo H i uvrstimo u jednainu 12 tada se reavanjem jednaine 12 dobija v(x) i (x)=dv(x)/dx. Tada su sile u presecima tapa:

2

2

t

t

d v tM EIdx h

dM d d v t dvV H EI Hdx dx dx h dx

N H VT H V

= +

= + = + +

= +

= +

(13)

U sluaju prizmatinog tapa (EI=const.), optereenog transverzalnim optereenjem p(x) i aksijalnom silom na kraju H=S=const. diferencijalna jednaina 12 postaje:

4 22

4 2( )

( )( )

d v d v p xkdx dx EI

Sk

EIpritisakzatezanje

=

=

+

(14)

Reenje:

h pv v v= + (15)


strana 9 od 81

1.4 AKSIJALNA SILA PRITISKA

etiri nezavisne funkcije zadovoljavaju pojedinano jednainu 14: 1; x; sinx; cosx pa je reenje homogene diferencijalne jednaine:

1 2 3 4sin( ) cos( )hv C C kx C kx C kx= + + + (16)

Integracione konstante nemaju fiziko znaenje i odreuju se iz konturnih uslova. Partikularno reenje zavisi od optereenja du tapa i usvajamo ga u sledeem obliku.

0

( ) sin( ( )) ( )x

pk x k x

v p dkS

= (17)

Da bi dokazali da usvojeno partikularno reenje zadovoljava diferencijalnu jednainu potrebno je da potraimo njegove izvode primenom Leibnic-ovog pravila diferenciranja integrala po parametru za sluaj da su granice integrala funkcije tog parametra. Na osnovu ovoga se dobija:

,

0

,,

0

2,,,

0

3 2

0

1 cos( ( )) ( )

sin( ( )) ( )

cos( ( )) ( )

sin( ( )) ( ) ( )

p

p

p

p

x

x

x

x

IV

k xv p d

S

k k xv p d

S

k k xv p d

S

k k x kv p d p x

S S

=

=

=

= +

(18)

Uvrtavanjem jednaina 18 u diferencijalnu jednainu vidimo da je ona zadovoljena. Integracione konstante homogenog reenja odreujemo iz konturnih uslova za x=0:

1 4

, ,

2 3

( 0) (0) (0)( 0) (0) (0)

p

pv x v C C v

v x C C k v= = = + +

= = = + + (19)

Prema prvoj jednaini sistema 13: ,,

,, 24( 0) (0) ( 0)pEIv x M C k EI EIv x = = = = (20)

Prema drugoj jednaini sistema 13: ,,, ,

,,, ,

2( 0) ( 0) (0) ( 0) ( 0)p pEIv x Sv x V C Sk EIv x Sv x = = = = = = (21)

S obzirom na to da je prema 18:


strana 10 od 81

,

,,

,,, ,

(0) 0(0) 0

(0) 0(0) (0) 0

p

p

p p

pv

v

EIv

EIv Sv

=

=

=

=

(22)

Dobijamo:

1

2

3

4

(0)(0)(0)

(0) (0)

(0)

MC vS

VCSk

VCk Sk

MCSk

=

=

= +

=

(23)

Opte reenje imka oblik:

0

sin( ) 1 cos( ) sin( ) ( ) sin( ( ))( ) (0) (0) (0) (0) ( )xkx kx kx kx k x k x

v x v M V p dk S kS kS

= + + (24)

v(0) i (0) ugib i obrtanje oslonakog preseka na poetku tapa M(0) i V(0) moment i poprena sila oslonakog preseka na poetku tapa Veliine v(0) i (0) M(0) i V(0) se zovu poetni parametri tapa, a metod za reavanje naziva se METODA POETNIH PARAMETARA:

,

0

sin( ) 1 cos( ) 1 cos( ( ))( ) ( ) (0)cos( ) (0) (0) ( )xk kx kx k x

x v x kx M V p dS S S

= = + (25)

,,

0

sin( ) sin( ( ))( ) ( ) (0) sin( ) (0) cos( ) (0) ( )xkx k xM x EIv x EIk kx M kx V p d

k k = = + + (26)

,,, ,

0

( ) ( ) ( ) (0) ( )x

V x EIv x Sv x V p d = = (27)


strana 11 od 81

Uvodimo obeleavanje:

1

2

3

4

( ) 1sin( )( )

1 cos( )( )sin( )( )

F xkxF x

kkxF x

Skx kxF x

kS

=

=

=

=

(28)

Dobijamo:

2 3 4 40

,

3 30

2 20

0

( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

sin( )( ) ( ) (0)cos( ) (0) (0) ( ) ( ) ( )

( ) (0) sin( ) (0) cos( ) (0) ( ) ( ) ( )

( ) (0) ( )

x

x

x

x

v x v F x M F x V F x F x p d

k kxx v x kx M V F x F x p d

S

M x EIk kx M kx V F x F x p d

V x V p d

= + + +

= = + +

= + + +

=

(29)

Drugi nain za odreivanje partikularnog reenja je mehanikim tumaenjem Fi(x) uz poetni parametar V(0) u sluaju transverzalnog optereenja tapa. Razmatramo elementarnu silu ( )p d na rastojanju x od dejstva elementarne sile da bi odredili partikularni integral za ugib. Poto je smer

( )p d suprotan od V(0) sumiranje dejstva celokupnog transverzalnog optereenja dobijamo partikularni integral za ugib:

0

( ) sin( ( )) ( )x

pk x k x

v p dkS

= (30)


strana 12 od 81

U skladu sa ovim ostali partikularni integrali imaju oblik:

0

0

0

1 cos( ( ))( ) ( )

sin( ( ))( ) ( )

( ) ( )

x

p

x

p

x

p

k xx p d

S

k xM x p dk

V x p d

=

=

=

(31)


strana 13 od 81

1.5 PRIMERI


strana 14 od 81


strana 15 od 81


strana 16 od 81


strana 17 od 81


strana 18 od 81


strana 19 od 81


strana 20 od 81


strana 21 od 81


strana 22 od 81


strana 23 od 81


strana 24 od 81


strana 25 od 81


strana 26 od 81


strana 27 od 81


strana 28 od 81

ZADATAK 11

Za nosa prikazan na skici koji je optereen samo koncentrisanim momentom Mb=1kNm i silom S koja ima vrednost Euler-ove kritine sile sraunati i nacrtati dijagrame ugiba, obrtanja, momenta savijanja i poprene sile po teoriji prvog reda i linearizovanoj teoriji drugog reda.

PRORAUN OJLEROVE KRITINE SILE

ULAZNI PODACI ZA PRORAUN

Tip stapa: Prosto oslonjen stap Moment inercije preseka: I = 171 [cm4] Povrsina preseka: A = 10.6 [cm2] Modul elasticnosti: E = 210 [GPa] Raspon: L = 10 [m] Koeficijent duzine izvijanja: beta = 1 Duzina izvijanja: Lo = 10 [m] Koeficijent za proracun napona na granici proporcionalnosti: 0.8 Napon na granici razvlacenja: SigmaV = 240 [MPa]

REZULTATI PRORAUNA

Vrednost kriticne sile: Pkr = 35.4 [kN] Kriticni napon: SigmaK = 33.4 [MPa] Poluprecnik inercije: i = 4.016 [cm] Vitkost: lambda = 249.0 Napon na granici proporcionalnosti: SigmaP = 192.0 [MPa] Vitkost na granici proporcionalnosti: lambdaP = 103.9

PRORAUN DIJAGRAMA MOMENATA SAVIJANJA


I = 171 [cm4] L = 10 [m] E = 210 [GPa] Ma = 0 [kNm] Mb = 1 [kNm] p = 0 [kN/m] S = 0.01/17.7 [kN]


strana 29 od 81

S = 0.01 [kN] (S


strana 30 od 81

S = 17.7 [kN] (S = 1/2 Seuler) TEORIJA DRUGOG REDA


strana 31 od 81

ZADATAK 12

Za nosa prikazan na skici koji je optereen koncentrisanim momentima Ma=-21kNm i Mb=-21kNm, jednakopodeljenim optereenjem p=6kN/m i silom S koja ima vrednost Euler-ove kritine sile sraunati i nacrtati dijagrame ugiba, obrtanja, momenta savijanja i poprene sile po teoriji prvog reda i linearizovanoj teoriji drugog reda.

PRORAUN OJLEROVE KRITINE SILE


Tip stapa: Prosto oslonjen stap Moment inercije preseka: I = 9042 [cm4] Povrsina preseka: A = 275 [cm2] Modul elasticnosti: E = 30 [GPa] Raspon: L = 6 [m] Koeficijent duzine izvijanja: beta = 1 Duzina izvijanja: Lo = 6 [m] Koeficijent za proracun napona na granici proporcionalnosti: 0.8 Napon na granici razvlacenja: SigmaV = 360 [MPa]

REZULTATI PRORAUNA

Vrednost kriticne sile: Pkr = 743.7 [kN] Kriticni napon: SigmaK = 27.0 [MPa] Poluprecnik inercije: i = 5.734 [cm] Vitkost: lambda = 104.6 Napon na granici proporcionalnosti: SigmaP = 288.0 [MPa] Vitkost na granici proporcionalnosti: lambdaP = 32.1

PRORAUN DIJAGRAMA MOMENATA SAVIJANJA


I = 9042 [cm4] L = 6 [m] E = 30 [GPa] Ma = -21 [kNm] Mb = -21 [kNm] p = 6 [kN/m] S = 0.01/370 [kN]


strana 32 od 81

S = 0.01 [kN] (S


strana 33 od 81

S = 370 [kN] (1/2 Seuler) TEORIJA DRUGOG REDA


strana 34 od 81

1.6 AKSIJALNA SILA ZATEZANJA

Diferencijalna jednaina: 4 2

24 2

( )d v d v p xkdx dx EI

Sk

EI

=

=

(32)

Pri reavanju se pojaviljuju trigonometrijske funkcije imaginarnih argumenata pri emu postoji njihova veza sa hiperbolikim funkcijama sa realnim argumentima: cos( ) ( )sin( ) ( )

ikx ch kxi ikx sh kx

=

=

(33)

Pri emu je:

1

2

3

4

( ) 1sin( ) sin( ) s ( )( )

1 cos( ) 1 c ( )( )sin( ) sin( ) s ( )( )

F xikx i ikx h kxF x

ik k kikx h kxF x

S Sikx ikx kx i ikx kx h kxF x

ikS kS kS

=

= = =

= =

+ = = =

(34)

Pri emu je:

2 3 4 40

,

3 30

2 20

0

( ) (0) (0) ( ) (0) ( ) (0) ( ) ( ) ( )

s ( )( ) ( ) (0)c ( ) (0) (0) ( ) ( ) ( )

( ) (0) s ( ) (0) c ( ) (0) ( ) ( ) ( )

( ) (0) ( )

x

x

x

x

v x v F x M F x V F x F x p d

k h kxx v x h kx M V F x F x p d

S

M x EIk h kx M h kx V F x F x p d

V x V p d

= + + +

= = + +

= + + +

=

(35)


strana 35 od 81

1.7 PRIMERI


strana 36 od 81

strana 37 od 81

2. PRIBLINA METODA DEFORMACIJE VEBE

web sajt: www.gradjevinans.net

Stabilnost i dinamika konstrukcija Departman za graevinarstvo FTN Novi Sad TIIR PMD

strana 38 od 81

2.1 PRORAUN SISTEMA TAPOVA PO TEORIJI DRUGOG REDA PRIMENOM PRIBLINE METODE DEFORMACIJA Razlikujemo sledee tipove tapova:

1. tap tipa k - ukljeten na oba kraja 2. tap tipa g - ukljeten na jednom, a slobodno oslonjen na drugom kraju 3. tap tipa s konzolni tap 4. tap tipa p obostrano zglobno vezan tap

KONSTANTE TAPOVA TAP TIPA k

PRITISNUT ZATEGNUT

2_

2_

2 2_ _

sin cos2(1 cos ) sin

sin2(1 cos ) sin

cos( )2(1 cos ) sin

ik

ik

ik ik ik

EI EIa a

L LEI EIb bL L

EI EIc a b a b

L L

= =

= =

= + = + =

(1)

2_

2_

2 2_ _

2( 1)

2( 1)

( )2( 1)

ik

ik

ik ik ik

EI EI sh cha a

L L ch shEI EI shb bL L ch sh

EI EI chc a b a b

L L ch sh

= =

= =

= + = + =

(2)

TAP TIPA g 2

_ sinsin cosig

EI EId dL L

= =

2_

igEI EI shd dL L ch sh

= =

(3)

TAP TIPA s _

( )isEI EI

e e tgL L

= = _

isEI EI

e e thL L

= = (4)


strana 39 od 81

USLOVNE JEDNAINE

1

,

1 1

0 1...

0 1...ij

n

ii i ik k ij j iok j

n n

i jl j joi i

A A B A i m

B C C j n

=

= =

+ + + = =

+ + = =

0,

0

0AA BCB C

+ =

(5)

Koeficijenti uz nepoznate:

,

, ,

2

, , , , , ,( )

ii ik ig isk g s

ij ji ik ik j ig ig jk g

jl ik ki ik j ik l ig ig j ig l ab j ab lk g ab ab

A a d e

B B c d

C c c d EIL

= + +

= =

= + +

m

(6)

Slobodni lanovi:

2

0 , , , , ,( ) ( ) ( )

io ik ig isk g s

j ik ki ik j ig ig j ab t ab c ab j jk g ab ab

A

C EI R pL

= + +

= + +

m (7)

- (pritisak) + (zatezanje) ab svi tapovi koji rotiraju sem konzolnih Momenti na krajevima tapova:

,

1

,

1

n

ik ik i ik k ik j ik j ikj

n

ig ig i ig j ik j igj

M a b c

M d d

=

=

= + +

= +

(8)

Jednaina stabilnosti:

0, ,

0

00 det 0

0AA B A B parametar zaodreivanjeCB C B C kritinog optereenja

= + = =

= (9)


strana 40 od 81

2.2 Tablice


strana 41 od 81


strana 42 od 81


strana 43 od 81


strana 44 od 81


strana 45 od 81

2.3 PRIMERI


strana 46 od 81


strana 47 od 81


strana 48 od 81


strana 49 od 81


strana 50 od 81


strana 51 od 81


strana 52 od 81


strana 53 od 81


strana 54 od 81


strana 55 od 81


strana 56 od 81


strana 57 od 81


strana 58 od 81


strana 59 od 81


strana 60 od 81


strana 61 od 81

3. METODA KONANIH ELEMENATA


Stabilnost i dinamika konstrukcija Departman za graevinarstvo FTN Novi Sad TIIR MKE

strana 63 od 81

3.1 METODA KONANIH ELEMENATA

GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI TAPA ODREIVANJE STATIKIH UTICAJA

ODREIVANJE KRITINOG OPTEREENJA

MATRICA KRUTOSTI PO TEORIJI I REDA

KO = 3*

LIE

22

22

*4*60*2*60

*6120*6120

00*00**2*60*4*60

*6120*6120

00*00*

LLLL

LLI

LFI

LF

LLLL

LLI

LFI

LF

(3.1)

GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI

KG = LS*30

22

22

*4*30*30*3360*3360

000000*30*4*30

*3360*3360000000

LLLLLL

LLLLLL

(3.2)

2 5

3 61 4


strana 64 od 81

MATRICA KRUTOSTI PO TEORIJI I REDA (PROST TAP)

KO = L

FE *

0000010100000101

(3.3)

GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI (PROST TAP)

KG = LS

101000001010

0000

(3.4)

ORTOGONALNI OKVIR (ZANEMARENA AKSIJALNA DEFORMACIJA TAPOVA)

MATRICA KRUTOSTI PO TEORIJI I REDA

KO = 3*

LIE

22

22

*4*6*2*6*612*612

*2*6*4*6*612*612

LLLLLL

LLLLLL

(3.5)

GEOMETRIJSKA MATRICA KRUTOSTI

1 3

2 4


strana 65 od 81

KG = LS*30

22

22

*4*3*3*336*336

*3*4*3*336*336

LLLLLL

LLLLLL

(3.6)

VEZA GENERALISANIH SILA I GENERALISANIH POMERANJA

R = (KO + KG) * q Q (3.7)

Q linearizovana teorija drugog reda S > 0 predznak aksijalne sile + S < 0 predznak aksijalne sile -

PROBLEM STABILNOSTI

(KO + KG) * q = 0 det (KO + KG) = 0 (3.8)


strana 66 od 81

3.2 PRIMER 1

Primenom metode konanih elemenata odrediti kritinu silu izvijanja.

a) Jedan konani element

Nepoznata pomeranja: 1 i 2. 3 1 4 2

KO = 3*

LIE

22

22

*4*6*2*6*612*612

*2*6*4*6*612*612

LLLLLL

LLLLLL

2413


strana 67 od 81

Aksijalna sila u tapu iznosi: -P

3 1 4 2

KG = LP*30

22

22

*4*3*3*336*336

*3*4*3*336*336

LLLLLL

LLLLLL

2413

Uslov za odreivanje kritine sile

1 2 1 2

det ( 3*

LIE

22

22

*4*2*2*4

LLLL

21

-

LP*30

22

22

*4*4

LLLL

21 ) = 0

Pkr = 222 *

*8696.9**L

IEL

IEpi


strana 68 od 81

MATHACAD

funkcija E I, L, P,( ) E IL3

4 L2

2 L2

2 L2

4 L2

P30 L

4 L2

L2

L2

4 L2

:=

funkcija E I, L, P,( ) expand P, 12L2

E2 I265

E I P160

L2 P2+

funkcija E I, L, P,( ) 0 solve P,12 E

I

L2

60 EI

L2

12 pi2

pi2

21.6 %=

MATHEMATICA

f@P_D := DetA modulE momentInercijeraspon3

884 raspon2, 2 raspon2


strana 69 od 81

det = 65

modulE momentInercije P + 12 modulE2 momentInercije 2raspon 2

+P2 raspon 2

60= 0

resenje = 99P 12 modulE momentInercijeraspon 2

=, 9P 60 modulE momentInercijeraspon 2

==

Pkr = 12 modulE momentInercijeraspon 2

b) Dva konana elementa

Nepoznata pomeranja: 1, 2, 3 i 4.

tap Prvi vor Drugi vor 1 1 2

2 2 3


strana 70 od 81

tap 1 5 1 2 3

KO1 = 3)2/(*

LIE

22

22

)2/(*4)2/(*6)2/(*2)2/(*6)2/(*612)2/(*612

)2/(*2)2/(*6)2/(*4)2/(*6)2/(*612)2/(*612

LLLLLL

LLLLLL

3215

Aksijalna sila u tapu 1 iznosi: -P 5 1 2 3

KG1 = )2/(*30 LP

22

22

)2/(*4)2/(*3)2/()2/(*3)2/(*336)2/(*336

)2/()2/(*3)2/(*4)2/(*3)2/(*336)2/(*336

LLLLLL

LLLLLL

3215

tap 2 2 3 6 4

KO2 = 3)2/(*

LIE

22

22

)2/(*4)2/(*6)2/(*2)2/(*6)2/(*612)2/(*612

)2/(*2)2/(*6)2/(*4)2/(*6)2/(*612)2/(*612

LLLLLL

LLLLLL

4632

Aksijalna sila u tapu 2 iznosi: -P

2 3 6 4

KG2 = )2/(*30 LP

22

22

)2/(*4)2/(*3)2/()2/(*3)2/(*336)2/(*336

)2/()2/(*3)2/(*4)2/(*3)2/(*336)2/(*336

LLLLLL

LLLLLL

4632


strana 71 od 81

Uslov za odreivanje kritine sile:

1 2 3 4

det ( 3)2/(*

LIE

++

++

22

2222

22

)2/(*4)2/(*2)2/(*60)2/(*2)2/(*4)2/(*4)2/(*6)2/(*6)2/(*2)2/(*6)2/(*6)2/(*61212)2/(*6

0)2/(*2)2/(*6)2/(*4

LLLLLLLLLLLLL

LLL

4321

-

1 2 3 4

- )2/(*30 LP

++

++

22

2222

22

)2/(*4)2/()2/(*30)2/()2/(*4)2/(*4)2/(*3)2/(*3)2/()2/(*3)2/(*3)2/(*33636)2/(*3

0)2/()2/(*3)2/(*4

LLLLLLLLLLLLL

LLL

4321

) = 0

MATHACAD


strana 72 od 81

funkcija E I, L, P,( ) E IL2

3

4L2

2

6L2

2L2

2

0

6L2

12 12+

6L2

6L2

+

6L2

2L2

2

6L2

6L2

+

4L2

2 4

L2

2+

2L2

2

0

6L2

2L2

2

4L2

2

P

30L2

4L2

2

3L2

L2

2

0

3L2

36 36+

3L2

3L2

+

3L2

L2

2

3L2

3L2

+

4L2

2 4

L2

2+

L2

2

0

3L2

L2

2

4L2

2

:=

funkcija E I, L, P,( ) expand P, 36864L6

E4 I424576

5 L4E3 I3 P

3296

25 L2E2 I2 P2

1615

E I P3+1

400L2 P4+

funkcija E I, L, P,( ) solve P,

48 EI

L2

240 EI

L2

16133

23

31+

IE

L2

16133

23

31

IE

L2

16133

23

31

9.9438=

16133

23

31

pi2

pi2

0.8 %=


strana 73 od 81

MATHEMATICA

f@P_D:= DetA modulEmomentInercijeI raspon

2M3

994 Jraspon2

N2, 6J raspon2

N,2J raspon2

N2,0=,

96J raspon2

N,12+12, 6Jraspon2

N +6Jraspon2

N, 6J raspon2

N=,

92Jraspon2

N2, 6Jraspon2

N+6Jraspon2

N, 4J raspon2

N2+4J raspon2

N2, 2J raspon2

N2=,

90,6J raspon2

N, 2Jraspon2

N2, 4Jraspon2

N2==

P

30I raspon2

M994J raspon

2N2, 3J raspon

2N, J raspon

2N2,0=,

93J raspon2

N,36+36, 3Jraspon2

N +3Jraspon2

N,3J raspon2

N=,

9J raspon2

N2, 3J raspon2

N +3J raspon2

N, 4J raspon2

N2+4 Jraspon2

N2, J raspon2

N2=,

90,3J raspon2

N, J raspon2

N2, 4J raspon2

N2==E;

resenje:= Solve@f@PD 0,PD;Print@"det = ", f@PD," = 0"D;Print@"resenje = ", resenjeD;kriticnaSila := P. Part@resenje@@3DD,1D;Print@"Pkr = ", Simplify@kriticnaSilaDD;


strana 74 od 81

det = 1615

modulEmomentInercijeP3 + 36864modulE4 momentInercije4

raspon624576modulE3 momentInercije3P

5raspon4+3296modulE2momentInercije2 P2

25raspon2+P4 raspon2

400= 0

resenje = ::P 48modulEmomentInercijeraspon2

>, :P 240modulEmomentInercijeraspon2

>,

:P 16 I13modulEmomentInercije+ 2!!!!!!31 modulEmomentInercijeM

3raspon2>, :P

16I13modulEmomentInercije+ 2!!!! !!31 modulEmomentInercijeM3raspon2

>>

Pkr =16I13 2!!!!!!31M modulEmomentInercije

3raspon2


strana 75 od 81

MATLAB

Reenje za a) i b) varijantu

syms E I L P;

KO = (E*I/L^3)*[4*L^2 2*L^2; 2*L^2 4*L^2];

KG = (-P/(30*L))*[4*L^2 -L^2; -L^2 4*L^2];

determinanta = det(KO+KG);

disp('det =');

disp(expand(determinanta));

rezultat = solve(determinanta,P);

disp('rezultat det = 0');

disp(rezultat);

disp('Pkr = ');

disp(rezultat(1,1));

disp('');disp('');

KO = (E*I/(L/2)^3)*[4*(L/2)^2 -6*(L/2) 2*(L/2)^2 0;

-6*(L/2) 12+12 -6*(L/2)+6*(L/2) 6*(L/2);

2*(L/2)^2 -6*(L/2)+6*(L/2) 4*(L/2)^2+4*(L/2)^2 2*(L/2)^2;

0 6*(L/2) 2*(L/2)^2 4*(L/2)^2];

KG = (-P/(30*(L/2)))*[4*(L/2)^2 -3*(L/2) -(L/2)^2 0;

-3*(L/2) 36+36 -3*(L/2)+3*(L/2) 3*(L/2);

-3*(L/2)^2 -3*(L/2)+3*(L/2) 4*(L/2)^2+4*(L/2)^2 -(L/2)^2;

0 3*(L/2) -(L/2)^2 4*(L/2)^2];

determinanta = det(KO+KG);

disp('det =');

disp(expand(determinanta));

rezultat = solve(determinanta,P);

disp('rezultat det = 0');

disp(rezultat);

disp('Pkr = ');


strana 76 od 81

disp(rezultat(2,1));

>> MKE1

det =

12/L^2*E^2*I^2-6/5*E*I*P+1/60*L^2*P^2

rezultat det = 0

12*E*I/L^2

60*E*I/L^2

Pkr =

12*E*I/L^2

det =

36864/L^6*E^4*I^4-24832/5/L^4*E^3*I^3*P+10288/75/L^2*E^2*I^2*P^2-1219/1125*E*I*P^3+7/3000*L^2*P^4

rezultat det = 0

16*(13/3+2/3*31^(1/2))*I*E/L^2

16*(13/3-2/3*31^(1/2))*I*E/L^2

120*(19/14+1/14*193^(1/2))*I*E/L^2

120*(19/14-1/14*193^(1/2))*I*E/L^2

Pkr =

16*(13/3-2/3*31^(1/2))*I*E/L^2

>> 16*(13/3-2/3*31^(1/2))

ans =

9.9438


strana 77 od 81

3.3 PRIMER 2


strana 78 od 81


strana 79 od 81

3.4 PRIMER 3

strana 80 od 81

4. LITERATURA


strana 81 od 81

1. Metod konanih elemenata (Miodrag Sekulovi)

2. Stabilnost i dinamika konstrukcija (predavanja Milan uri) 3. Statika konstrukcija po teoriji drugog reda (Mehmed auevi) 4. Statika i stabilnost konstrukcija (Mehmed auevi) 5. Teorija konstrukcija (deo III) (I. P. Prokofjev, A. F. Smirnov) 6. Teorija linijskih nosaa (Miodrag Sekulovi) 7. Teorija stabilnosti elastinih tapova (Teodor Atanackovi)

SDK_SK

Documents

Transcript of SDK_SK