5.1 Rijit Cisimde Denge 103

5.2 Düzlem Kuvvetlerde Denge Hali 103

5.3 Düzlemde Serbestlik Derecesi 105

5.4 Bağ Çeşitleri 106

5.5 Pandül Ayak 107

5.6 Düzlem Taşıyıcı Sistemler 109

5.7 Düzlem Taşıyıcı Sistemlerde Yükleme Durumları 112

5.8 Düzlem Taşıyıcı Sistemlerin Mesnetlenmesi 115

Örnekler 119

5.9 Çok Parçalı Sistemlere Giriş 123 Örnekler 125 PROBLEMLER 129

İsviçreli matematikçi önce tıp eğitimi gördü sonra matematiğe merak sardı. Diferan-siyel denklemler kuramına, yelkenlerle ilgili matematik bilgilerine ve optik bilimine katkıları oldu. Bugün L’Hospital kuralı olarak bilinen yöntemi de Paris’te L’Hospital’e ileten kişidir. İlk kez Galilei’nin ortaya attığı yalnız kütle çekiminin etkidiği bir parça-cığın bir noktadan öbürüne en kısa zamanda aldığı yolun denklemini, kendisi gibi çok ünlü bir matematikçi olan abisi Jakob Bernoulli ile birbirlerinden ayrı olarak ve farklı yöntemlerle çözme çalışmaları sırasında yeni bir disiplin olan değişimler hesabının temellerini attılar. Hayatının son yıllarını mekaniğin ilkeleri üzerindeki çalışmalara ayırdı.

Johan BERNOULLI (1667-1748)

5.1 RİJİT CİSİMDE DENGE

Rijit cisim ve denge kavramının, statiğin ana felsefesini oluşturduğunu geçtiğimiz bölümlerde gördük. Bu bölümde, rijit cismin düzlemde denge-sini incelenecek. Eğer bir rijit cisme etkiyen bütün dış kuvvetler sonuçta sıfıra eşdeğer bir kuvvet kuvvet çifti sistemi oluşturuyorsa, ya da dış kuvvetler sıfır kuvvet kuvvet çiftine indirgenebiliyorsa, denge oluşur. Şu halde; 1 2, ,..., nF F F tane kuvvetin etkisinde ve denge halindeki bir cisim-

de, her zaman,

( )

i

i i i

ü= ïïýï= ´ = ïþ

F 0

M r F 0 , ( )1,2,...,i n= (5.1)

denklemleri sağlanır. Bunlar:

i =F 0 : İzdüşüm denge denklemi olup, rijit cismin hiç bir doğrul-tuda ötelenmediğini ifade eder.

i =M 0 : Bu koşul moment denge denklemi olup, incelenen rijit

cismin hiç bir keyfi doğrultu etrafında dönmediğini ifade eder.

5.2 DÜZLEM KUVVETLERDE DENGE HALİ

Düzlem halde denge durumu incelenecek bir rijit cismin üstünde üç skaler denge denklemi yazılabilir. Eğer Şekil (5.1a) daki rijit cisim den-gede ise; cisim keyfi eksenler doğrultusunda öteleme yapmaz ve düzle-mine dik doğrultuda bir nokta etrafında dönmez. Düzlemde bunu destek-leyen denge denklemleri,

104 STATİK

0xF = , 0yF = , 0AM = (5.2)

olabilir. Burada A tamamen keyfi bir noktadır. Fakat (5.2) yazılabilecek tek denklem sınıfı değildir. Örneğin, (5.2) de 0yF = yerine Şekil (5.1b)

deki gibi gene keyfi seçilmiş bir B noktasında da moment denge denk-lemi yazılabilir. O zaman denklem takımı,

0xF = , 0AM = , 0BM = (5.3)

olur. Yalnız bu durumda AB hattı y ekseninden farklı bir doğrultuda olmalıdır (Şekil 5.1b). Ya da istersek, Şekil (5.1c) de görüldüğü gibi A ve B noktalarına ek olarak bir başka keyfi nokta olan C seçilip, daha sonra bu üç noktada moment denge denklemleri yazılabilir. O zaman denklem takımı,

0AM = , 0BM = , 0CM = (5.4)

olur. Eğer (5.4) den yararlanılarak cismin dengesi araştırılacaksa, dikkat edilmesi gereken husus; A, B, C noktaları aynı doğru üzerinde olmama-lıdır (Şekil 5.1c).

Bir rijit cisimde denge durumunu incelerken yazılacak denklem sınıfları (5.2), (5.3) ve (5.4) den herhangi birini kullanmaya başlamadan önce bu rijit cisme ait bir serbest cisim diyagramı (SCD) nın çizilmiş olması gerekir. Bu eserde kullanılması gerektiğinde hep "SCD" kısaltması yazı-lacaktır. Aşağıda SCD nın anlamını ve nasıl çizileceğini açıklayalım.

Serbest Cisim Diyagramı (SCD): Rijit cismin dengesi incelenirken, cis-me etkiyen tüm kuvvetleri gösteren ölçeksiz şekle verilen isimdir.

SCD çizerken izlenecek yol

1. Ayrıklaştırma: İncelenecek cisim, onu dengede tutan bağlarından ve diğer cisimlerden ayrıklaştırılır.

2. Kuvvetler: SCD da üstünde cisme etkiyen tüm kuvvetler gösterilir. Bu kuvvetler iki sınıfa ayrılırlar:

Yönleri ve şiddetleri bilinenler: Cismin ağırlığı, cisme doğrudan etkiyen servis yükleri gibi yönü ve şiddeti bilinen kuvvetler çizi-lirken bunların yönleri bir ok ucu ile gösterilirken, şiddetleri de okların üstüne yazılır

Başlangıçta yönleri ve şiddetleri bilinmeyenler: Başlangıçta vek-törel özellikleri bilinmeyen bağ kuvvetleri keyfi yönlerde çizilir-ler ve sonra hesap sonuçlarına bakılarak bunlar belirlenir.

3. Cismin Boyutları: moment denge denklemlerinde kullanılacağından SCD da yer alır. Boyutlandırma, iki nokta arasında uçlarında okları olan bir doğru çizilerek ve bu çizginin üstünde bu iki nokta arasın-

110 STATİK

ÇİZELGE (5.1): Çeşitli bağ tanımları.

BAĞ ÇEŞİTLERİ BAĞ KUVVETLERİ SERBESTLİK

DERECESİ

Kayıcı Mafsal ve

Cilalı Yüzey

Bu

ku

vvet

leri

n t

esir

çiz

gile

rin

in d

oğ

rult

ula

rı b

ellid

ir

1

Kablo

1

Cilalı Yarık

1

Pandül Ayak

1

Sabit Mafsal ve

Mafsal

2

Sürtünmeli Yüzey

2

Ankastre Mesnet

3

5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ 111

ÇİZELGE (5.2) Taşıyıcı eleman olarak çeşitli çubuk geometrileri.

Konik helisel merdiven kirişi

Parabolik helisel yay

ÇİZELGE (5.3) Yüzeysel taşıyıcılar ve çok parçalı sistemler.

Yüzeysel Taşıyıcılar Çok Parçalı Sistemler

5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ 115

Bağ kuvvetlerine örnek teşkil etmek üzere, Şekil (5.12a) da tekil P kuv-vetiyle yüklü kirişe ait SCD Şekil (5.12b) de sunulmuştur. Burada A mes-nedi düşey ve yatay öteleme hareketlerine kapalı olurken, B mesnedi sadece düşey doğrultuda öteleme hareketlerine kapalıdır. O nedenle bilin-meyen ya da hesaplanması gereken mesnet tepkileri

xA , yA ve yB

dir. Bazı taşıyıcı sistemler ise iki ya da ihtiyaca göre daha fazla parçanın birleştirilmesi sonucu üretilebilir. Bu durumda parçaları birbirlerine yeteri sayıda mafsal ile bağlamak mümkündür. Şekil (5.13a) daki AGB siste-minde A ve B mesnetleri sabit mafsallı olarak verildiğinden bunlar birbi-rine dik keyfi iki doğrultuda (örneğin x ve y eksenleri doğrultularında) ötelemeye izin vermezler. O halde sistemin SCD Şekil (5.13b) de görül-düğü gibi çizilir ve bağ kuvvetleri de,

xA , yA , xB ve yB

olur. Öte yandan G noktasındaki mafsal, bu noktada birleşen taşıyıcı par-çalarının ötelemelerini eşit kılarken, dönmeye karşı tam bir serbestlik tanır ve 0GM = olur. AG ve GB parçalarını bağlayan G mafsalındaki

bağ kuvvetleri xG ile yG Şekil (5.13c) de etkitepki kuralına göre çizil-

miştir. Bu bağ kuvvetlerini klasik dış kuvvetlerden biraz farklı değerlen-dirmek gerekir. Şöyle ki; eğer taşıyıcı sistem Şekil (5.13b) de görüldüğü gibi bir bütün olarak ele alınırsa o zaman ara mafsaldaki bağ kuvvetleri

xG ile yG birer iç kuvvet olur. Yok eğer; taşıyıcı sistemi oluşturan par-

çalar ayrı ayrı ele alınırsa, o zaman SCD ları Şekil (5.13c) de görüldüğü gibi çizilir ve bu durumda her bir parça için mafsal kuvvetleri xG ile yG

birer dış kuvvet olur. Şu halde kısaca özetlersek; eğer taşıyıcı sistem iki parça halinde çözülecekse;

xA , yA , xG , yG : AG parçası için bağ kuvvetleri

xB , yB , xG , yG : GB parçası için bağ kuvvetleri

xG , yG : AG ile GB parçaları arasındaki etkileşim kuv-

vetleri olup, AB çubuğu için iç kuvvetlerdir.

5.8 DÜZLEM TAŞIYICI SİSTEMLERİN MESNETLENMESİ

Düzlem halde bir taşıyıcı sistemin bilinmeyen bağ kuvvetlerini bulmak için sistem üstünde üç adet denge denklemi yazılabilir. O zaman buna göre de en fazla üç adet bilinmeyen mesnet tepkisi (bağ kuvveti) çözüle-bilir. Doğal olarak bir taşıyıcı sistem çeşitli biçimlerde bağlı olabilir ve o nedenle problemin çözümüne geçmeden önce sistemin mesnet koşulları-

5. RİJİT CİSMİN DÜZLEMDE DENGESİ 125

olur. Yukarıdaki ek mafsal koşulları gereği, taşıyıcı sistem statikçe belir-lidir. Bir sisteme Gerber kirişi denebilmesi için gerekli iki şart vardır:

Sürekli taşıyıcı sistem statikçe belirli olmalıdır Kirişin yatay hareketi sadece tek bir bağ koşulu ile engellenmeşidir.

Örneğin Şelil (5.22c) de A mesnedi bu işlevi yerine getiriyor.

Gerber kirişlerinde yük taşıma özelliği, kısaca, basit sistemlerin birbirleri üstüne bindirilmiş hali gibi düşünebilir. Örneğin Şekil (5.21c) deki Gerber kirişi A sabit mesnedinden başlanarak Şekil (5.22) deki görüldüğü gibi çizilebilir. Tabii bunu sadece yük taşıma özelliğini açıklamak için yaptık. Şu durumda 1P ve 2P yüklerinin etkisi sadece 1ABG kirişi üstün-

de hissedilir ve 1 2G CG ile 2G D parçaları bunlardan etkilenmez. 3P

yükü hem 1 2G CG de hem de 1ABG parçalarında hissedilirken, mevcut

yükleme durumunda, 2G D parçası hiç yük taşımamaktadır.

ÖRNEK 5.8: Şekil (P8.1) de yükleme durumu verilmiş olan Gerber kirişinde mesnet tepkilerini hesaplayınız. G noktası mafsaldır. Kiriş üzerindeki yayılı yüklemeler 1 3kN/mq = , 2 2kN/mq = ve kiriş boyutları 3ma = ,

2mb= dir.

ÇÖZÜM: Sistemin Şekil (P8.2) deki SCD da bilinmeyen bağ kuvvetleri

xA , yA , AM , yB dir. Bu dört bilinmeyen, eldeki üç denge denklemi ve

mafsaldan gelen ek koşul 0GM = kullanılarak çözülebilir. Bunun için

kiriş mafsal noktası G den ikiye ayrılırsa, G mafsalındaki etki tepki kuv-vetleri xG ile yG de problemin bilinmeyenleri arasına katılınca, toplam

bilinmeyen sayısı altıya yükselir. Yalnız kiriş iki parçaya ayrıldığından, AG ve GB parçalarının dengesi sırayla inceleneceğinden toplam üçerden altı denklem yazılır ve tüm bilinmeyenler elde edilir.

GB parçası: Şekil (P8.3) deki SCD dan yararlanılarak yazılacak denge denklemlerinden bulunacak bağ kuvvetleri:

0;xF = 0xG =

0;GM = 1 4 2 0yB´ - = 2 kNyB =