Scattering in Meccanica Classica - Welcome to Bugianens'...
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Scattering in Meccanica Classica
Sommario • Scattering
• Diffusione Thomson e Rayleigh
• Sezione d’urto in meccanica classica
• Attenuazione
• Scattering da una sfera rigida
• Sezione d’urto di Rutherford
F. Bianchi 2
Scattering (1) • Mezzo sperimentale per eccellenza per ottenere
informazioni sulla struttura del sistemi fisici. – Usato ampiamente anche dalla natura.
• Archetipo di tutti gli esperimenti di scattering: Visione
– Sorgente di luce – Oggetto – Rivelatore di luce
• La luce visibile, generata dalla sorgente (Sole, lampada,
LED, laser,..), viene diffusa dall’oggetto e raccolta dal rivelatore (Occhio, lastra fotografica, CCD, fotomoltiplicatore,..).
3 F. Bianchi
Scattering (2) • Elemento fondamentale di ogni processo di scattering, sia
corpuscolare sia ondulatorio: Collisione – Es: Scattering di Onde elettromagnetiche/Fotoni
• Effetti della collisione dipendenti da forma, dimensione e struttura interna del bersaglio.
• Descrizione della collisione fortemente dipendente dal tipo di bersaglio e dal rapporto fra lunghezza d’onda e dimensioni del bersaglio.
• Diffrazione: Forma/Dimensioni di uno schermo/apertura – Trattazione classica
• Scattering: Forma/Dimensioni/Struttura di un bersaglio – Trattazione classica sufficiente in qualche caso (Es Antenne) – Trattazione quantistica necessaria a livello microscopico
4 F. Bianchi
Scattering di Onde Elettromagnetiche
• Collisione con oggetti macroscopici, risposta coerente: – d/λ >> 1 ottica geometrica – d/λ ~ 1 ottica fisica
• Collisione con oggetti microscopici, risposta incoerente: – d ~ 0 scattering Thompson (su elettroni liberi) – d/λ << 1 scattering Rayleigh (su elettroni legati) – d/λ ~ 1 scattering Mie
5 F. Bianchi
Scattering Thomson (1) • Diffusione di un onda elettromagnetica su un elettrone libero
• Onda elettromagnetica incidente lungo la direzione dell’asse z: onda piana, polarizzata linearmente lungo l’asse x.
• L’elettrone oscilla sotto l’azione di E e B. – Si puo’ trascurare B se ve << c
• Risultato: moto armonico -> dipolo oscillante -> emissione di radiazione sotto forma di onde sferiche
6 F. Bianchi
Scattering Thomson (2)
7 F. Bianchi
Scattering Thomson (3) • Potenza media incidente per unita’ di
superficie:
• Forza agente sull’elettrone:
• Accelerazione media dell’elettrone:
• Potenza mediata temporalmente irraggiata per unita’ di angolo solido da una particella accelerata non relativistica:
• Potenza media diffusa per unita’ d’angolo solido
2002
1 cEI ε=⟩⟨
EeamF
==
2
20
2
2
222
2mEe
mEea =
⟩⟨=⟩⟨
Θ⟩⟨
=Ω
23
0
22
sin16 c
aeddP
πε
Θ
=
Ω2
200
2
20
2
sin24cE
mce
ddP ε
πε8 F. Bianchi
Scattering Thomson (4)
• Sezione d’urto (m2/sr)
• Sezione d’urto totale (m2)
• Raggio classico dell’elettrone
• σT indipendente da frequenza ed ampiezza della radiazione incidente
( )θϕθπεπε
επεε
σ
2222
20
22
2
20
2
2200
2
20
2
200
cossinsin4
sin4
sin24
21
+
=Θ
=
=Θ
=
Ω⟩⟨=
Ω
mce
mce
cEmc
ecEd
dPId
d
( ) 22
20
2222
4
2
20
2
38
438sincossinsin
4 eT rmc
eddmc
e ππε
πϕθθθϕθπε
σπ
=
=+
= ∫
20
2
4 mcere πε
=
9 F. Bianchi
Scattering Rayleigh (1) • Scattering su atomi e molecole: Elettroni legati
– Nuclei pesanti, non risentono del campo elettrico dell’onda
• Modello supersemplificato della forza di legame: – Termine elastico + Termine di smorzamento
– Equivale a:
• L’equazione del moto dell’elettrone:
• Con:
• Una possibile soluzione e’:
10 F. Bianchi
Scattering Rayleigh (2) • Sostituendo x(t) e
le sue derivate nell’equazione del moto dell’elettrone:
• L’accelerazione quadratica media dell’elettrone e’:
• Potenza irraggiata dall’elettrone
Θ
+−
=Ω
2200
2
20
2
22220
2
4
sin24)(cE
mce
ddP ε
πεωγωωω
11 F. Bianchi
Scattering Rayleigh (3)
• La sezione d’urto (m2/sr):
( )
Thomson
Ω+−=
=+
+−
=
=Θ
+−
=
=Θ
+−
=Ω⟩⟨
=Ω
dd
mce
mce
cEmc
ecEd
dPId
d
σωγωω
ω
θϕθπεωγωω
ω
πεωγωωω
επεωγωω
ωε
σ
22220
2
4
2222
20
2
22220
2
4
22
20
2
22220
2
4
2200
2
20
2
22220
2
4
200
)(
cossinsin4)(
sin4)(
sin24)(
21
12 F. Bianchi
Scattering Rayleigh (4) • L a sezione d’urto totale (m2) dipende fortemente dalla
frequenza dell’onda incidente.
• Massimo sezione d’urto:
• Se • Sezione d’urto di Rayleigh
– Il cielo appare blu perche’ le molecole dell’aria diffondono preferibilemente le lunghezze d’onda piu’ corte.
– Al tramonto la luce del sole appare rossa perche’ attraversa un maggior spessore d’aria
Thomsonσωγωω
ωωγωω
ωπσ 22220
2
42
22220
2
4
)()(38
+−=
+−= eT r
Thomsonσωωσωω 4
00
=⇒<< T
Thomsonσγ
ωσωω 200
=⇒≅ T
13 F. Bianchi
Scattering Rayleigh (5)
14 F. Bianchi
Scattering in Meccanica Classica • Ogni singolo evento e’ definito in modo deterministico:
– Per ogni singolo urto, note le forze in gioco, gli angoli di deflessioni (θ,ϕ) sono determinati dal parametro d’urto e dalla velocita’ relativa.
• Caso macroscopico: conoscenza completa dei parametri che fissano le caratteristiche della collisione. – Es.: cometa e sole
• Caso microscopico: – Parametri dell’insieme dei proiettili e’ noto
• Fascio di particelle incidenti – Stato dell’insieme dei bersagli e’ noto – Parametro d’urto (ed altre caratteristiche) di ogni singola
collisione non sono in generale noti. • NB: in meccanica classica si tratta di una impossibilita’ pratica, in
meccanica quantistica e’ una impossibilita’ di principio (Principio di Indeterminazione).
– E’ necessario un approccio statistico. 15 F. Bianchi
Sezione d’Urto • Grandezze misurabili:
– Φ -> flusso di particelle incidenti, si misura in particelle m-2 s-1
– R -> flusso di particelle diffuse in un certo angolo solido dΩ , si misura in particelle sr-1 s-1
• Trascurando effetti cumulativi (particelle con >1 interazioni,..):
• dσ/dΩ e’ una costante di proporzionalita’ che ha le dimensioni di un’area e prende il nome di sezione d’urto differenziale.
• Sezione d’urto totale:
ΦΩ
=ddR σ
∫ =∆ΩΩ
Ω=
π
σσ4
ddd
16 F. Bianchi
Sezione d’Urto ed Attenuazione (1)
• Fascio di proiettili di flusso Φ che attraversa un volume contenente N particelle per unita’ di volume. – Consideriamo perduti i proiettili che interagiscono con un
bersaglio.
• Decremento del fascio dopo uno spessore dx (k costante):
• Introducendo ρ (densita’ di massa, g/cm3) ed A (massa molecolare, g):
• Naturale identificare k con σ. Integrando:
17 F. Bianchi
Sezione d’Urto ed Attenuazione (2)
• Quantita’ spesso usate:
• λ-> cammino libero medio • µ-> coefficiente di attenuazione lineare del
fascio
• Per un singolo proiettile (Φ0 =1): 18 F. Bianchi
Ancora sulla Sezione d’Urto (1) • In Meccanica Classica la sezione d’urto ci dice qual’e’ la probabilita’
statistica di osservare un’interazione se spariamo un proiettile contro un bersaglio.
– N.B.: non siamo in grado di dire cosa accade in ogni singolo evento per motivi pratici.
• La sezione d’urto totale σ e’ una misura della probabilita’ totale d’interazione tra proiettile e bersaglio integrata su tutti i valori del parametro d’urto b.
• La sezione d’urto differenziale dσ/dΩ e’ una misura della probabilita’ differenziale di avere un’interazione che causa una deflessione nell’elemento di angolo solido dΩ.
– Legata ad un particolare valore del parametro d’impatto b.
• Questi concetti si applicano anche al caso in cui il risultato dell’interazione non sia solo una deflessione del proiettile, ma anche:
– Ridristibuzione dell’energia cinetica tra proiettile e bersaglio. – Modifiche alla struttura interna di proiettile e bersaglio. – Produzione di nuove particelle (fenomeno quantistico e relativistico).
19 F. Bianchi
Interpretazione Classica della Sezione d’Urto
• Fascio di particelle incidenti di flusso Φ che urta un centro diffusore con distribuzione continua di parametri d’urto.
• Particelle deflesse in dΩ (con angolo polare fra θ e θ+dθ, angolo azimutale fra φ e φ+dφ): Sono quelle che incidono in ds ( con par.d’urto fra b e b+db, angolo azimutale fra φ e φ+dφ)
θθσ
φθθσφ
φ
φθθσ
ddb
senb
dd
ddsenddbdbd
bdbdI
ddsenddR
=Ω
→
Ω=→
Φ=Ω
Φ=
• Sezione d’urto: Superficie (totale o differenziale) trasversale alla velocita’ relativa fra proiettile e bersaglio. • Parametri d’urto inferiori al raggio della superficie -> Interazione
20 F. Bianchi
Scattering da Sfera Rigida • Barriera di potenziale
infinita per r<a. • Per il proiettile vale la
legge della riflessione.
2
2
42sin
22
cos2
sin22
cos
2sin
2sin2
cos
sin
2sin
2
2cos
2sinsin
2
a
aaaaa
ddbb
dd
addb
aaab
πσ
θθθ
θθ
θ
θ
θθσ
θθ
θθπψ
θπψ
=
====Ω
=
=−
==
−=
b ψ
θ
21 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (1) • Classico problema a due corpi con un potenziale
centrale repulsivo.
• Per ricavare la sezione d’urto:
• Occorre ricavare la relazione che c’e’ tra il parametro d’impatto b della particella incidente e l’angolo di scattering θ
• Prendiamola un po’ alla lontana…
θθσ
ddb
senb
dd
=Ω
22 F. Bianchi
La Lagrangiana di un sistema a due corpi di massa m1 ed m2 che interagiscono con un potenziale centrale:
e’:
Introducendo le coordinate:
Si puo’ riscrivere come:
Sezione d’Urto di Rutherford (2)
23 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (3)
• Introducendo:
• La Lagrangiana diventa:
• Non dipende dalle coordinate del baricentro (coordinate cicliche)
e quindi i loro momenti coniugati (le componenti dell’impulso del baricentro) si conservano. – Abbiamo ritrovato che il baricentro di un sistema in assenza di
forze esterne si muove di moto rettilineo uniforme
• La lagrangiana del moto relativo e’:
24 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (4)
• In coordinate polari:
• θ e’ una coordinata ciclica, il suo momento coniugato (il momento angolare) si conserva:
• Anche l’energia si conserva:
25 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (5)
• Da cui:
• Separando le variabili:
• Integrando con la condizione iniziale :
• Sostituendo r(t) con :
26 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (6)
• A questo punto sono note r(t) e θ(t). E’ possibile ricavare l’equazione della traettoria:
• Integrando:
• Consideriamo ora il caso:
27 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (7)
• L’equazione della trettoria diventa:
• Questo e’ un integrale del tipo:
• Con:
28 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (8)
• La soluzione e’:
• Ritornando ad r:
• Infine:
• Definendo:
29 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (9)
( )2
222
2
2
2
2
'21
)'(21
cos1'1
2
')(
+=+=
+−=
==
=−=
eZZEb
eZZmEl
lemZZ
r
mEbbmvlr
eZZr
rV
inc
ε
θε
α
m==
µθ 00
22sin
2cos1 χεχφ
εcosec=⇒==
φ/2
χ
30 F. Bianchi
Sezione d’Urto di Rutherford (10)
2sin
12
'41
2sin
1sin
22
'21
sin
2sin
12
'21
22'
'2
21
'21
2
112
2sin
2sin1
2sin
2cos
2
4
22
2
22
2
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
χ
χχ
χ
χχσ
χχχ
χχ
εχχ
χ
χ
χχ
=
=
=−=
Ω
−=⇒=
=⇒−
+=
−=−=−
==
EeZZ
ctg
EeZZ
ddbb
dd
EeZZ
ddbctg
EeZZb
eZZEbctg
eZZEbctg
ctg cosec
Sezione d’urto totale e’ divergente Conseguenza del range infinito di V(r)
31 F. Bianchi
Estensione a Processi Qualunque (1)
• Finora abbiamo discusso lo scattering elastico da potenziale:
32 F. Bianchi
Estensione a Processi Qualunque (2)
33 F. Bianchi