73

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

SADRŽAJ

IZLAZI TIJEKOMŠKOLSKE GODINEU ČETIRI BROJA

časopis za mlade matematičare Zagreb, Bijenička 30

Izdaje/osnivateljHRVATSKO

MATEMATIČKODRUŠTVO

ČlanciJosip Antoliš, Od kruga do pravokutnika ..................................................... 74Helena Car, Malene i velike mjerne veličine ................................................... 76Nikol Radović, Matematički vrtuljak slova ................................................. 79Vladimir Devidé, Konveksni likovi (2) ........................................................... 86Petar Mladinić, Rebusi (2) ............................................................................ 90

MatemagičarFranka Miriam Brückler, Trik s dominama ............................................... 94

IntervjuLucija Gusić, Scott Steketee .......................................................................... 96

Kutak za kreativni trenutakMozgalica BLACK & WHITE ...................................................................... 99

PovijestTanja Soucie, Seki Kowa Takakazu ............................................................ 100Željko Medvešek, Kopernikova predodžba o svijetu ................................. 102

Križaljke za atkače ............................................................................................. 104

Enigmatka .............................................................................................................. 108

NatjecanjaNatjecanje Klokan bez granica ...................................................................... 110

Zadatci za atkače početnike ............................................................................. 124

Odabrani zadatci ................................................................................................. 128

RačunalaIvana Kokić, Microsoft Excel i matematika (2) ............................................. 130

Rješenja zadataka ................................................................................................ 136

Kutak za najmlađe .............................................................................................. 144

74

OD KRUGA DO PRAVOKUTNIKAJosip Antoliš, Zagreb

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Opseg kruga: 2rπ, površina kruga: r2π. Ako se do sada već niste susreli s tim formulama, uskoro hoćete. To su poprilično korisne formule, ponajprije zato što je bez njih teško izračunati bilo što povezano s krugom i kružnicom. Dobra je stvar što su relativno jednostavne i lako ih je zapamtiti, pa ipak, mora se priznati da su malo neobične. Opseg se još može izmjeriti omota li se oko kruga uže ili nešto slično, ali kako se dolazi do formule za površinu? Pokušajmo to zajedno otkriti.

Uzmimo za početak krug i podi-jelimo ga na, recimo, osam jednakih dijelova, kao tortu. Sada te dijelove posložimo kao na slici. Dakle, imamo četiri dijela jedan do drugog, okrenuta prema dolje, te četiri dijela okrenuta prema gore, naslagana poput puzzla.

Pogledajmo malo tako dobiveni lik. Kao prvo, on ima jednaku površinu kao i krug budući da smo dijelove samo drugačije posložili i nismo izbacili niti jedan. Vidi se i da je visina lika ista kao i polumjer početne kružnice jer je visina svakog od dijelova upravo poveznica nekadašnjeg središta kružnice i same kružnice, dakle polumjer r. No, što je s “vijugavim stranicama” koje lik omeđuju s gornje i donje strane? One se sastoje od osam jednakih lukova koji su na početku tvorili kružnicu. Dakle, zajedno im je duljina jednaka opsegu kruga, to jest 2rπ. Prema tome, svaka od “vijugavih stranica” ima duljinu od pola opsega, odnosno rπ.

Stvari postaju zanimljive kada pogledamo čemu sliči dobiveni lik. Kada bismo umjesto lukova imali ravnu crtu, lik bi bio paralelogram, a njegovu površinu nije tako teško izračunati. Postavlja se pitanje: možemo li nekako

“poravnati” lukove a da površina ostane nepromijenjena? To baš ne bi bilo jednostavno napraviti. Pa ipak, možemo pokušati smanjiti “vijugavost”. Kako to napraviti? Početni krug razrežimo na više dijelova, recimo 16. Pogledajmo kako posloženi lik izgleda u tom slučaju.

75

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Što smo ovime postigli? Kao prvo, “vijugave stranice” sada izgledaju ravni-je. Ako se pak pogledaju bočne stranice, one su sada okomitije u odnosu na ove horizontalne. Ono što je ostalo nepromijenjeno su površina lika, njegova visina i duljine stranica.

Što bi se dogodilo da još povećamo broj dijelova na koji režemo početni krug? Lukovi bi bivali sve manji i manji, bočne stranice bile bi gotovo okomite na njih, a površina bi i dalje bila identična površini početnog kruga. Što bismo dobili kada bismo krug izrezali na beskonačno dijelova? “Vijugava stranica” pretvorila bi se u ravnu, a bočne bi stranice postale okomite na tu ravnu crtu. Jednom riječju, dobili bismo pravokutnik kao na slici, a njegovu površinu lako je izračunati. Dulja stranica, nastala od lukova, ima duljinu rπ, a kraća duljinu r. Prema tome, površina dobivenoga lika, a time i početnog kruga, iznosi up-ravo r2π!

76

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

MALENE I VELIKE MJERNE VELIČINEHelena Car, Zagreb

Jeste li se ikada zapitali koliki “teret’’ kose nosite na glavi? Što mislite: nosite li više ili manje od kilograma? Koliko je vremena potrebno da nam kosa naraste 1 cm? A nokti? Čime je moguće izmjeriti debljinu ljudske vlasi? Je li moguće mjeriti debljinu niti paučine?

Koristimo li odgovarajuće instrumente (npr. mikrometarski vijak) i prikladne mjerne jedinice, moguće je mjeriti i tako malene veličine. Milimetar je, naravno, prevelika mjerna jedinica. I vlas kose, a

posebno nit paučine, puno su tanje od milimetra. Te veličine izražavamo mjernom jedinicom koju nazivamo mikrometar (μm),

a 1 mm = 1000 μm. Debljina (promjer) niti paučine je približno 10 μm, dok je debljina ljudske vlasi oko 70 μm.

Broj vlasi kose na ljudskoj glavi ovisi o njezinoj boji. U tablici je prikazan prosječan broj vlasi ovisno o (prirodnoj) boji kose:

Boja kose Broj vlasi koseplava oko 150 000

smeđa oko 110 000crna oko 100 000

crvena oko 90 000

Zadatak 1. Mikrometarskim vijkom odredili smo da je debljina nečije vlasi kose 0.12 mm. Kolika je ta debljina izražena u metrima?

Zadatak 2. Kolika bi bila ukupna debljina kose kada bismo sve vlasi položili jednu do druge?

Zadatak 3. Masa jedne duge vlasi kose je približno 1 mg. Kolika je masa sve kose neke dugokose osobe (u ovisnosti o njezinoj prirodnoj boji)?

Kosa i nokti rastu svakodnevno, ali rastu vrlo sporo. Ošišamo li kosu,

vjerojatno ćemo tek za tjedan dana primijetiti da je ponovno narasla. Nokti rastu još sporije: da bi postigli određenu duljinu, trebaju četiri puta više vremena nego kosa!

77

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Zadatak 4. Ljudska kosa dnevno naraste oko 300 μm. Koliku će duljinu kosa postići nakon 10, a koliku nakon 100 dana? Koliko joj treba vremena da naraste 10 cm? Kolika je brzina rasta ljudske kose u mjesec dana ako mjesec traje 30 dana?

Zadatak 5. Nokti na rukama dnevno narastu samo oko 80 μm. Koliko bi narasli za 14 dana? Koliko im treba vremena da bi narasli 4 mm? Kolika je brzina rasta noktiju na rukama u mjesec dana ako mjesec traje 30 dana?

S druge strane, neke veličine mogu biti jako velike. Primjerice, vremenski razmaci mogu biti tako veliki da ih je teško moguće zamisliti. Iako nam se čini da je jedna godina dugi vremenski period, u usporedbi sa starošću Zemlje godina je tek – treptaj oka.

Povijest ZemljeNastanak Zemlje prije 4 500 000 000 godinaPrvi oblici života prije 3 500 000 000 godinaPrve biljke i životinje prije 600 000 000 godinaPrva živa bića na kopnu prije 400 000 000 godinaDinosauri prije 220 000 000 godinaPračovjek prije 5 000 000 godina

Prikažemo li “prošlost’’ Zemlje u trajanju od jednog sata, to bi izgledalo ovako:

Nastanak Zemlje prije 60 minutaPrvi oblici života prije 47 minutaPrve biljke i životinje prije 8 minutaPrva živa bića na kopnu prije 5 minutaDinosauri prije 3 minutePračovjek prije 4 sekunde

78

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Zadatak 6. Koliko je vremena prošlo od nastanka Zemlje do nastanka prvih živih bića, a koliko do postanka prvih živih bića na kopnu? A do pojave pračovjeka?

Zadatak 7. Nacrtajte brojevni pravac na kojemu 1 mm prikazuje milijun godina, a početna točka je vrijeme nastanka Zemlje. Kolika je duljina dužine od te točke do točke koja označava “danas’’, tj. pojavu pračovjeka?

Zadatak 8. Prije nekih 2 milijuna godina pračovjek je naučio koristiti jednostavno oruđe, a tek prije 3000 000 godina vatru. Prikažite te vremenske točke na brojevnom pravcu koji počinje s pojavom pračovjeka, a 1 mm neka predstavlja 10 000 godina. Kolika je na tom brojevnom pravcu udaljenost od točke koja predstavlja nastanak Zemlje do točke koja označava “danas’’?

prvi oblici života

nastanak Zemlje

pračovjekdinosauri

prva živa bića na kopnu

prve biljke i životinje

Napomena: Nagradit ćemo i objaviti ime svakog atkača koji nam pošalje rješenja najmanje triju postavljenih zadataka.

79

MATEMATIČKI VRTULJAK SLOVA

Nikol Radović, Sisak

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Čitajući knjige i časopise, prelistavajući različite reklame, istražujući internet - nailazimo na grafičke figure u kojima ima i matematike. Pogledajmo iduće primjere.

Naslovnica knjige Angels & Demons

Logo grupe Nine Inch NailsLogo časopisa United Nations Association

Logo Wachowa Bank

Logo Geostationary Operational Enviromental Satellite - NASA

Logo De Lorean Motor Company

Logo poznate pop grupe

80

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Sve grafičke figure iz primjera sastavljene su od slova/riječi. “Okretanjem” odnosno “nakretanjem” neke od njih ne mijenjaju svoj smisao, dok neke ostaju iste i ako ih gledamo u ogledalu.

Ambigram ili matematički vrtuljak slova je grafička figura sastavljena od slova/riječi, čitljiva na više od jedan način. Matematičari će ovu “definiciju” ambigrama prikazati grafičkim zapisom, slika 1.

Može se reći da će djelovanje geometrijskih transformacija na slova/riječi rezultirati nastankom ambigrama. Ambigram iz grafičkog zapisa, slika 1., mogu zamijeniti ambigrami iz primjera kao i ambigrami na slikama 2. – 6.

Slika 1.

Slika 6.

Slika 5.

Slika 2. Slika 3.

Slika 4.

81

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Sedamdesetih godina prošlog stoljeća ambigrami su nastali u djelima Scotta Kima i Johna Lanhrema, zaljubljenika u matematiku, igre riječima, glazbu i čaroliju, a danas poznatih grafičkih dizajnera, autora računalnih igara i autora mnogih logotipa. U ovom članku upoznat ćemo se njihovim radom kroz različite ambigrame u svoj njihovoj matematičkoj zaigranosti i ljepoti.

Ljubitelji igara sa slovima/riječima davno su otkrili da kratke riječi skrivaju geometrijske simetrije. Tako

OHO OHO OHO

Slika 7.

UHU; OTO; AHA; AMA; BOO, HOO, DIOXIDE... skrivaju osnu simetriju s obzirom na horizontalne/vertikalne osi. Nazivi nekih časopisa skrivaju različite simetrije, npr. VISTA (časopis United Nations Association), ZOONOOZ (časopis San Diego Zoo), kao i imena tvornica NISSIN (Japanska tvornica bljeskalica).

Jedan od prvih radova Kima je na slici 8. Preokretanjem slike 8., INVERIONS, nastaje slika 9. na kojoj se može pročitati ime i prezime autora.

Matematička konstatna π zaokružena na dvije decimale prikazana je na slici 10. Ništa neobično, zar ne? Pogledajte sliku u ogledalu. Sve samo ne obično, je l’ da?

Slika 10.

Slika 8.

Slika 9.

82

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Kada mu to nije bilo dovoljno, počeo je izrađivati božićne čestitke kao ambigrame, slike 12. – 14.

Slika 11.

Slika 12.

Kim je svoj talent za “preokretanje” i “nakretanje” slova/riječi otkrio vrlo rano. Svojim talentom uveseljavao je prijatelje i usputne znance. Jednostavno bi nestao na neko vrijeme i pojavio se s ambigramom novog imena. Na slici 11. je 26 različitih imena za svako od slova engleskog alfabeta. Potražite ih!

asdfgYXCqwertzuiopšasdfghj

83

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Za godišnjicu braka svojih roditelja dizajnirao je tortu. Glazura/ambigram, slika 15., od čokolade i vanilije nastala je kao spoj imena Kimovih roditelja, Pearl i Lester (slično Prikrivenim iluzijama atka 51.).

Slika 13.

Slika 15.

Sličnu tehniku primijenio je Kimov prijatelj D. R. Hofstadter pri ilustraciji knjige Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Brain, slika 16.

Kima nazivaju i Escherom od Slova. On je svoju viziju ambigrama s istim imenima prikazao na slikama 17. i 18., te se poigrao simetrijom slova u ambigramu na slici 19.

Slika 16.

Slika 14.

84

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

U svojim djelima Escher je često popločavao sferu. Kako je Kim ipak Escher od Slova, isti princip primijenio je na kocku, slika 20. Kao varijacija na temu nastao je ambigram na slici 21.

Slika 19.

Slika 17. Slika 18.

85

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Sve slike iz ovog članka mogu se naći na sljedećim internetskim adresama:

http://www.senile-felines.com/gallery/index.htm/26.09.2008./

http://en.wikipedia.org/wiki/ambigram/27.09.2008./

http://en.wikipedia.org/wiki/Scott_Kim/1.10.2008./

http://www.scottkim.com/inversions/gallery/1.10.2008./

http://www.sandlotscienece/EyeonIllusions/John_Langdon.htm/1.10.2008./

http://math.monash.edu.au/~bpolster/l.html/1.10.2008./

http://stetson.edu/~efriedma/ambigram/reflection/htm/29.09.2008./

http://www.efn.org/~bch/ambigrams.htm/1.10.2008./

Na internetskoj adresiwww.ambigram.com/old/names.aspx/26.09.2008./ možete naći različite

animacije ambigrama.

Slika 20.

Slika 21.

86

Vladimir Devidé, Zagreb

1 Nastavak iz atke broj 65

Poučak 5. (Hellyjeva tvrdnja) Ako je dano n (n ≥ 4) konveksnih likova tako da svaka tri od njih imaju zajedničku točku, tada postoji točka koja je zajednička za svih n likova.

Drugim riječima, ako nijedan presjek po tri konveksna lika nije prazan, onda ni presjek svih tih likova nije prazan.

Ako svi dani likovi nisu konveksni, stavak dakako ne mora vrijediti. Usporedimo, primjerice, sliku 8. Dana su tri kruga i jedan kružni vijenac. Bilo koja od ta četiri lika imaju zajedničku točku, ali ne postoji točka koja bi pripadala svim tim likovima.

KONVEKSNI LIKOVI (2)1

Dokaz: Uzmimo prvo da je n = 4 i označimo dane likove s Φ1, Φ2, Φ3 i Φ4. Prema pretpostavci postoji točka P1 zajednička likovima Φ2, Φ3 i Φ4, točka P2 zajednička likovima Φ1, Φ3 i Φ4, točka P3 zajednička likovima Φ1, Φ2 i Φ4 te točka P4 zajednička likovima Φ1, Φ2 i Φ3. Razlikujemo dvije mogućnosti:

Postojia) jedna od točaka Pi koja je unutar (ili na rubu) trokuta koji određuju ostale tri točke Pj.

Takva točka b) Pi ne postoji.Slučaj a) Ako, primjerice, točka P4 pripada trokutu P1P2P3 čiji svi vrhovi

(po konstrukciji) pripadaju liku Φ4, onda će, prema Poučku 1., i točka P4 pripadati liku Φ4. No, prema konstrukciji točke P4 ta točka pripada likovima Φ1, Φ2 i Φ3, pa je ona zajednička za sve likove Φi.

Slučaj b) Ovdje su točke P1, P2, P3 i P4 vrhovi konveksnog četverokuta (nacrtajte sliku). Neka je točka P presjek dijagonala tog četverokuta. To znači da točka P pripada trokutima P2P3P4, P1P3P4, P1P2P4 i P1P2P3, pa prema poučku 1. ta točka pripada likovima Φ1, Φ2, Φ3 i Φ4, tj. P je tražena točka.

Slika 8.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

87

Prijeđimo sada na slučaj n > 4. Dokaz ćemo provesti potpunom indukcijom2. Pokazat ćemo, dakle, da vrijedi zaključak: Ako je tvrdnja istinita za n = k, ona vrijedi i za n = k + 1. Odatle, s obzirom na to da već znamo da je tvrdnja istinita za n = 4, slijedi da je ispravna i za n = 5, dakle i za n = 6, itd., tj. za svaki konačni broj n.

Pretpostavimo da su nam dani konveksni likovi Φ1, Φ2, …, Φk i Φk + 1 i da po tri od njih imaju zajedničku točku. Neka je Φ presjek likova Φk i Φk + 1. Tada su, prema poučku 2., Φ1, Φ2, …, Φk - 1 i Φ ukupno k konveksnih likova. Uočimo da po tri od njih uvijek imaju zajedničku točku. (Ako među ta tri lika nije lik Φ, to zaključujemo prema pretpostavci o danim likovima. Ako se među ta tri lika, uz likove Φi i Φj, nalazi i lik Φ, prema ranije dokazanoj tvrdnji za n = 4 slijedi da postoji zajednička točka likova Φi, Φj, Φk i Φk + 1, dakle i od Φi, Φj i Φ.) Iz pretpostavke da Hallyjeva tvrdnja vrijedi za n = k, možemo zaključiti da postoji točka zajednička likovima Φ1, Φ2, …, Φk - 1 i Φ. No, prema konstrukciji lika Φ, to je onda ujedno zajednička točka danih likova Φ1, Φ2, …, Φk i Φk + 1, što je i trebalo dokazati.

Ako danih konveksnih likova ima beskonačno mnogo, tvrdnja ne mora vrijediti. Promotrimo, primjerice, beskonačni niz usporedno pomaknutih kutova (sl. 9.). Po tri od tih likova uvijek imaju zajedničkih točaka, međutim ne postoji nijedna točka zajednička svim tim kutovima. Ipak, ako je bar jedan od danih likova omeđen, može se dokazati (u što ovdje nećemo ulaziti) da Hallyjeva tvrdnja vrijedi i za slučaj da je n beskonačan.

2 Proučite članke Matematička indukcija (1) i (2) objavljene u atki broj 60 i 61.

Slika 9.

Poučak 6. U ravnini je dano n (n ≥ 4) točaka. Ako se krugom polumjera a mogu odjednom prekriti bilo koje tri od njih, tim se krugom najednom može prekriti i svih n točaka.

Dokaz: Uočimo bilo koje tri točke A, B i C između n danih točaka i oko njih nacrtajmo krugove ΩA, ΩB i ΩC polumjera a (nacrtajte sliku). Budući da po pretpostavci postoji krug Ω polumjera a koji prekriva točke A, B i C, to znači da je središte S kruga Ω od točaka A, B i C udaljeno najviše za a. Dakle, točka S pripada krugovima ΩA, ΩB i ΩC, što znači da presjek tih krugova nije prazan. Opišemo li, dakle, oko n danih točaka krugove polumjera a, po tri od njih uvijek će imati zajedničku točku. Budući da su svi ti krugovi konveksni likovi, prema poučku 5. slijedi da postoji njihova zajednička točka koja je,

Vladimir Devidé, Zagreb

KONVEKSNI LIKOVI (2)1

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

88

dakle, od svih danih točaka udaljena najviše za a. Opišemo li oko te točke krug polumjera a, on će prekriti sve dane točke.

Poučak 7. (Jungova tvrdnja) U ravnini je dano n točaka tako da najveći razmak između dviju od njih ne premašuje a. Tada postoji krug polumjera

3a koji odjednom prekriva sve dane točke.

Dokaz: Uvažavajući dokazano u poučku 6., dovoljno će biti pokazati da tvrdnja vrijedi za n = 3. Razmotrimo, dakle, trokut ABC sa stranicama čije duljine ne premašuju a. Ako je on pravokutan ili tupokutan, prekrit će ga već

krug polumjera 2a (sa središtem u polovištu najdulje stranice), pa pogotovo i

krug polumjera 3

a . Ako je trokut ABC šiljastokutan, za bar jedan njegov kut

φ vrijedit će 60º ≤ φ < 90º (jer zbroj veličina svih kutova u trokutu iznosi 180º), pa je 120º ≤ 2φ < 180º. Označimo li polumjer kruga opisanog trokutu ABC s r,

za duljinu stranice s nasuprot kuta φ vrijedit će a ≥ s ≥ r 3 (vidi sl. 10.).

Odatle slijedi da je r ≤ 3

a , pa će pogotovo krug s istim središtem i

polumjerom 3

a prekriti točka A, B i C.

Jungova tvrdnja vrijedi i za slučaj beskonačno mnogo točaka. To znači da se npr. svaka rupa “promjera’’ a (tj. kojoj je najveća međusobna udaljenost

rubnih točaka jednaka a) može “zakrpati’’ krugom polumjera 3a .

Napomena: Ako su A, B i C vrhovi jednakostraničnog trokuta, polumjer

njemu opisanog kruga jednak je 3

a . Dakle, Jungova se tvrdnja općenito ne

može “pooštriti’’ smanjivanjem potrebnog polumjera. U drugu ruku, ako

Slika 10. Slika 11.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

89

dane točke zadovoljavaju uvjete tvrdnje, može ih se prekriti već i pravilnim

šesterokutom upisanim u krug polumjera 3

a (u dokaz ne ulazimo). Do danas

nije poznat lik najmanje moguće površine koji bi omogućavao da se njime uvijek može prekriti danih n točaka o kojima govori Jungova tvrdnja (iako je dokazano da sigurno postoji bar jedan takav lik).

Razmotrimo omeđeni konveksni lik Φ i sve usporedne pravce danog smjera α (sl. 11). Podijelimo te pravce u dvije klase, prema tome imaju li s likom Φ zajedničkih točaka ili nemaju. Svi pravci prve klase ispunjavaju neku

“traku’’ širine b (jer ako su pravci a i d u istoj klasi, u toj će klasi biti – zbog konveksnosti lika Φ – očito i svaki pravac c između pravaca a i b). Pri tome broj b nazivamo širinom lika Φ u smjeru α.

Omeđeni konveksni lik koji u svakom smjeru ima jednaku širinu nazivamo likom konstantne širine. Primjerice, krug je lik konstantne širine (koja je jednaka njegovu promjeru). No, postoje i drugi takvi likovi.

Opišemo li oko vrhova jednakostraničnog trokuta kružne lukove nad na-suprotnim stranicama (sl. 12.a), dobit ćemo lik konstantne širine. Nadalje, konstrukcijom prema slici 12.b također dobivamo likove konstantne širine. Analogne konstrukcije možemo provesti i nad pravilnim n-terokutima s bilo ko-jim neparnim brojem n. Međutim, ni time nisu iscrpljeni svi likovi jednake širine.

Napomena: Lik sa slike 12.a može se pomicati gotovo po čitavom kvadratu ili rombu (npr. s tupim kutom veličine 120º) opisanim tom liku (vidi slike 13. i 13.b). Na toj se činjenici osniva mogućnost uporabe svrdla takvog presjeka za bušenje približno kvadratičnih ili rombičnih rupa. Kombiniranjem šest takvih nepotpunih rombova može se dobiti potpuni pravilni šesterokut, što odgovarajućim vođenjem svrdla omogućava bušenje točno šesterokutnih rupa (sl. 13.c).

Slika 12.

Slika 13.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

90

REBUSI (2)

Petar Mladinić, Zagreb

U prošlom smo broju atke započeli s upoznavanjem različitih tipova matematičkih rebusa. Upoznali smo aritmetičke i slovčane rebuse. U ovome broju upoznat ćemo dva nova tipa rebusa.

Podsjetimo se da u svijetu ovih rebusa vrijede sljedeća pravila:– različite znamenke zamjenjuju se različitim slovima,– znak * zamjenjuje svaku znamenku,– u zapisu broja prva znamenka slijeva nikad nije jednaka nuli,– broj ABC predstavlja troznamenkasti broj,– rebus je riješen kad se nađu sva rješenja. c) Rebus s ključnom riječiU ovakvom se rebusu treba otkriti deseteroslovčana ključna riječ. Ključna

se riječ dobiva nakon što se slovima pridruže odgovarajuće znamenke, a slova poredaju od 0 do 9.

Primjer 3. Koji je pojam skriven u ovome rebusu?P Z ∙ A = P E P

+ ∙ –U U + U = Z T

= = =I H E + N O = I N Z

Rješenje: Iz ovoga rebusa možemo pročitati šest tvrdnji: PZ ∙ A = PEP (1) UU + U = ZT (2) IHE + NO = INZ (3) PZ + UU = IHE (4) A ∙ U = NO (5) PEP – ZT = INZ (6)

Prema četvrtoj jednakosti možemo zaključiti sljedeće: zbroj dvaju dvo-znamenkastih brojeva ne može biti veći od 198, pa je I = 1.

U šestoj jednakosti uočavamo da je razlika troznamenkastog i dvozna-menkastog broja troznamenkasti broj koji počinje znamenkom 1. Zaključuje-mo da je P = 2.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

91

U trećoj jednakosti vidimo da H desetica zbrojeno s N desetica daje N desetica. Slovo H ne može biti 9 jer nema prijenosa desetica.

Dakle, iz H + N = N slijedi da je H = 0. Daljnja slična razmatranja i analiziranja mogućih slučajeva daju nam vri-

jednosti U = 7, T = 4, Z = 8, E = 5, O = 3, N = 6 i A = 9. Rješenje našeg rebusa je HIPOTENUZA.

Zadatci: Riješite sljedeće rebuse:1.

N C ∙ N U = I R C+ ∙ –

E U F + F = E G N= = =

E A F + E F N = T I G

2.

A T ∙ A P = U S N+ ∙ –

T K + I = A M N= = =

A A S + A N R = N S M

d) Rebus s “kućicama i sobama’’U ovakvom rebusu svaka “kućica’’ predstavlja jedan broj, a svaka “soba’’

jednu znamenku. “Kućice’’ mogu imati jednu, dvije, tri, ... “sobe’’, a vrijednost

“kućice’’ uvijek je različita od nule. Aritmetička vrijednost kućica u prvom stupcu jednaka je aritmetičkoj vri-

jednosti prvog retka, drugog stupca drugom retku, itd.Primjer 4. U “sobe’’ upišimo odgovarajuće znamenke tako da račun bude

točan:

REBUSI (2)

Petar Mladinić, Zagreb

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

92

Rješenje: Prije nego započnemo s razmatranjem zadanih uvjeta, recimo da se u ovakvim zadatcima ne pišu zagrade. Računske se radnje izvršavaju upravo onim redom kojim se pišu. Primjerice, u četvrtom retku našeg primjera je

,

a prema navedenom to znači da ćemo prvo zbrojiti brojeve u prve dvije “kući-ce’’. Nakon toga se zbroj množi brojem koji je u trećoj “kućici’’, a na kraju se od tog umnoška oduzme vrijednost broja iz četvrte “kućice’’. Koristeći zagrade, taj izraz bismo zapisali kao

Vratimo se našem primjeru. Zbog jednakih ukupnih vrijednosti istoime-nih redaka i stupaca, naš primjer izgleda ovako:

Promotrimo li drugi redak, uočit ćemo da zbroj brojeva u prve dvije “ku-ćice’’ ne može biti veći od 18. To znači da je u prvoj “sobi’’ treće “kućice’’ broj 1. Dakle, u trećoj je “kućici’’ broj 16. To nam sugerira da je zbroj brojeva u prve dvije “kućice’’ jednak 18 ili 17. Zbroj 17 vodi u proturječje. Zbroj 18 otkriva da u svakoj od prve dvije “kućice’’ piše 9. Odatle slijedi:

Pogledamo li drugi stupac, otkrit ćemo da je sadržaj praznih “kućica’’ 3 odnosno 2. Nakon toga nadopunjavamo prvi redak i prvi stupac, itd.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

93

Zadatci: Riješite sljedeće rebuse: 1. 2.

Napomena: Objavit ćemo imena onih atkača koji nam pošalju svoje re-buse ili rješenja naših nagradnih rebusa, i nagraditi ih (Ur.).

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Svojim čitateljima i suradnicima želimo sretan Božić i uspješnu Novu 2009. godinu! Uredništvo atke.

94

MATEMAGIČARMATEMAGIČAR

TRIK S DOMINAMAFranka Miriam Brückler, Zagreb

Za današnji trik potreban nam je paket domina. Zapravo, ne cijeli paket, nego samo 13 domina, tako da na svakoj od njih redom bude 0, 1, 2, ... , ukupno 12 točkica. Dagobert je tih 13 domina posložio na stol jednu do druge, ali tako da im poleđine budu gore, tj. tako da se ne vide točkice na njima.

− Darko, hoćeš li ti danas biti dobrovoljac?

− Naravno, hoću... I eto Darka do stola. − Što trebam raditi?

− Ja ću izaći iz sobe, a dok mene nema, ti trebaš preseliti neki broj domina slijeva udesno, jednu po jednu. Možeš odlučiti ne preseliti nijednu.

− Kako mislite preseliti?

− Evo ovako: I Dagobert pomakne jednu dominu kao na slici dolje (zacrnjena je pločica koja se pomiče, a siva je njezina nova pozicija):

− Dakle, Darko, možeš ih preseliti najviše 12, a važno je da seliš jednu po jednu. Ja sada idem van, pa neka me netko pozove kad budeš gotov.

Dagobert iziđe, a čim se vrata zatvore, Darko preseli jednu, dvije, tri pločice. I odluči stati.

− Dagoberteee!

Vrata se otvaraju, Dagobert ulazi, dođe do stola, okrene jednu pločicu, pogleda je i kaže:

− Pomakao si tri pločice, je l’ da?

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

95

Malo zbunjen, Darko je morao priznati da je Dagobert pogodio. No, možda je samo imao sreće. Uglavnom, javilo se još nekoliko dobrovoljaca s kojima je Dagobert ponovio trik (svaki put je onu otkrivenu pločicu ponovno okrenuo, ali inače nije pomicao pločice). I uvijek je uspio pogoditi istinu. U čemu je tajna?

Zamislite da su brojevi 0, 1, ... , 12 napisani kružno. Onda bismo pomicanje jednoga broja na kraj mogli zamisliti kao da smo taj krug zaokrenuli za jedno mjesto – poredak brojeva nije se promijenio, samo smo promijenili poziciju s koje krećemo. (Zamislite da na običnoj uri umjesto od 12 odlučite kretati od 1 – i dalje je 12 prije 1, 1 prije 2 itd.) Kaže se: seljenjem domina jedne po jedne nije se promijenio njihov ciklički poredak. Tajna trika je upravo u tome, s tim da prije prvog izvođenja domine treba poredati tako da lijevo bude ona s 1 točkicom, zatim redom one s 2, 3 itd. točkica, a prazna domina ide na desni kraj. Nakon prvog izvođenja, Dagobert je samo trebao pogledati zadnju dominu – broj točkica na njoj je broj pomaknutih domina (recimo, da je Darko prebacio samo prvu dominu, onda bi domina s 1 točkicom bila na kraju, nju bi Dagobert pogledao i utvrdio da je prebačena 1 domina; da nije bila pomaknuta nijedna, Dagobert bi otvorio praznu dominu).

Za sva daljnja izvođenja Dagobert treba u glavi broju na zadnjoj otkrivenoj domini dodati 1 i taj broj zapamtiti (to je trenutni broj na lijevoj domini, s tim da ako Dagobert pamti 13 - znači da je lijeva domina prazna). Kad se vrati, on treba otkriti pločicu koja je toliko mjesta od desnog kraja koliko je broj koji je zapamtio. Recimo, nakon Darkovog micanja desna je domina imala 3 točkice, pa je Dagobert za sljedeće izvođenje pamtio broj 3 + 1 = 4 i otkrivao četvrtu dominu zdesna da sazna koliko je domina preseljeno u drugom izvođenju trika.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

96

INTERVJU

SCOTT STEKETEELucija Gusić, Zagreb

Nakon svakog kongresa nastavnika matematike atka odabere zanimljive sudionike kako bi vam ih pobliže predstavila. U sljedeća dva broja to će biti Scott Steketee iz Philadelphije i Michael de Villiers iz Južnoafričke Republike. Obojica se, iako su prvenstveno matematičari, mogu pohvaliti i dobrim rezultatima u profesionalnom sportu.

Na ovogodišnjem je 3. kongresu nastavnika matematike Scott Steketee, kojega ćemo prvoga predstaviti, u Zagrebu održao

nekoliko predavanja i radionica. Prof. Steketee je završio studij na Harvardu, a magistrirao je matematičku edukaciju i računarstvo. Nakon što je 18 godina predavao u srednjoj školi, od 1992. godine radi na razvoju Sketchpada. Njegov je sport bilo veslanje, pa je kao veslač u osmercu čak sudjelovao na Olimpijskim igrama 1968. u Meksiku gdje je osvojio 6. mjesto.

atka: Prof. Steketee, recite nam nešto o sebi. Gdje ste se rodili, gdje ste studirali te kako ste odabrali matematiku kao predmet svoga zanimanja?

S. Steketee: Rodio sam se 1947. godine u Detroitu, u državi Michigan, kamo se moja obitelj preselila kako bi moj otac otvorio inženjersku tvrtku. Matematiku sam zavolio u srednjoj školi, čemu su prethodila dva događaja. Prvi je bio program Sveučilišta u Chicagu koji sam pohađao, a gdje je jedan od profesora u svoje predavanje ubacio problem kako doći do algoritma za određivanje kvadratnog korijena. Tada je rekao da ćemo, shvatimo li taj algoritam, moći razumjeti i slične algoritme. Učinilo mi se zanimljivim do tako nečega pokušati doći samostalno. Iduće godine koristio sam diferencijalni račun kako bih rješavao zadatke iz fizike, dok su se ostali služili formulama, što me isto tako jako razveselilo. Na sveučilištu sam studirao kemiju i fiziku. Ispostavilo se da mi je ono što sam naučio na satovima matematike u isto vrijeme trebalo i na satovima fizike i kemije. To mi je pokazalo da je matematika univerzalni jezik znanosti i svijeta oko nas. Nisam imao pojma da ću na kraju završiti u matematičkom obrazovanju.

atka: A kako ste stigli do Olimpijskih igara?S. Steketee: Moja druga strast na studiju bila je atletika. Na drugoj godini

pridružio sam se veslačkoj momčadi, iako nikada prije nisam veslao. Ispalo je da mi je veslanje išlo, pa sam nakon godinu dana sudjelovao na nacionalnim natjecanjima te osvojio drugo mjesto. Godine 1968., koja je bila i moja apsolventska godina, kao dio najboljeg američkog tima s ekipom sam otišao na

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

97

Olimpijske igre. Veslačka natjecanja pomogla su mi da upoznam svijet i uvidim kako funkcionira. Jedan događaj snažno je utjecao na mene. Godine 1969. afroamerički sportaši bili su zabrinuti zbog načina na koji ih se internacionalno predstavljalo. Govorilo se kako Afroamerikanci imaju jednaka prava, kako ih je puno u američkom Olimpijskom timu, čime se aludiralo na to kako Afroamerikanci u Americi žive dobro. Istina je bila posve suprotna - većina ih nije imala zdravstvenu zaštitu ni mogućnost školovanja, živjeli su u lošim uvjetima, a od njih se očekivalo da svijetu govore suprotno. Zbog toga su neki razmišljali o bojkotu OI, a neki o demonstracijama. Šestorica članova mog tima, od nas osmorice, osjećala su da bismo trebali podržati te sportaše. Čim smo to napravili, našli smo se u centru svačije pozornosti, pa tako i medijske, ali sva je ta pozornost bila negativna. Prikazalo nas se kao nezahvalnike koji su uveli politiku na OI. Mi nismo uveli politiku u sport, već „oni“, jer je to bila godina borbe između SAD-a i SSSR-a. To iskustvo, biti napadnut zbog toga što podržavaš nešto u što vjeruješ, imalo je veliki utjecaj na moj život.

atka: Recite nam nešto o svome radu.S. Steketee: Način na koji sam ušao u prosvjetu imao je također političke

konotacije. Kada sam se vratio s OI, koje su te godine bile održane u listopadu jer je u Meksiku vrlo vruće, već sam bio diplomirao, tako da sam trebao biti pozvan da se pridružim američkim trupama u Vijetnamu. Već sam bio odlučio da se ne želim boriti budući da nisam podržavao rat u Vijetnamu. Nisam mogao reći da sam bolestan kako bih izbjegao rat, a nisam mogao reći ni da se ratu protivim iz moralnih razloga jer sam osjećao da bih se, da sam mogao, borio u II. svjetskom ratu. Tako su mi ostale dvije opcije: napustiti zemlju ili naći neki drugi način da dobijem odgodu. Odgoda se dobivala ako je netko bio zaposlen kao profesor matematike u mjestu slabijeg ekonomskog statusa, jer se to smatralo bitnim za zemlju. Iako se u to vrijeme nisam zanimao za prosvjetu, počeo sam obilaziti gradove tražeći slobodno radno mjesto. Kada sam došao u Philadelphiju, otišao sam u Ministarstvo prosvjete u deset ujutro, a već u podne bio sam na putu prema svom novom radnom mjestu, srednjoj školi. Nisam bio jedini koji se na takav način oslobodio vojne obveze, ali sam bio jedan od rijetkih koji se tom poslu posvetio u potpunosti. Dok su drugi, nakon što bi izbjegli novačenje, našli druge poslove, ja sam nakon dvije godine odlučio ostati profesor u Philadelphijskoj javnoj srednjoj školi. U to vrijeme počeli su me zanimati edukacijski softveri, pogotovo geometrijski. Krajem sedamdesetih predavao sam i informatiku, a moj kolega i ja odučili smo, malo po malo, u školu uvesti rad na geometrijskim edukacijskim softverima. Tako je počela moja, možemo reći, duga karijera u edukacijskim softverima, koja je rezultirala time da sam pauzirao jednu godinu

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

98

kako bih magistrirao računarstvo. To me sve nekako dovelo do toga da sam svu energiju usmjerio u prodaju softvera koji sam napisao. Cijeli taj proces uvjerio me da ne želim biti poslovni čovjek. Tako je moj prijatelj sam nastavio naš poslovni projekt, a ja sam shvatio kako ne mogu biti i otac i muž i profesor i sportaš i poslovni čovjek, a uza sve to i pisati softvere koje sam želio. Stoga sam nakon 18 godina prestao predavati i u potpunosti se posvetio softverima. Godine 1992. dobio sam ponudu da s timom radim na razvijanju novog geometrijskog softvera za PC koji se zvao Geometer’s Sketchpad. Nakon toga sam vrlo blisko radio s Nickom Jackiwom, originalnim začetnikom ideje o Sketchpadu, kako bismo na kraju na tržište pustili Sketchpad 2, 3, i 4. Zadnjih pet godina energiju sam sa softvera prebacio na stvaranje kurikuluma jer mislim da Sketchpad može bitno poboljšati način na koji učenici uče i shvaćaju matematiku.

atka: Što mislite o prosvjeti u Hrvatskoj te kakvo je stanje u Americi?

S. Steketee: Iako ne znam puno o vašoj prosvjeti, imao sam prilike na kongresu upoznati neke sjajne profesore koji su na mojim radionicama pokazali veliki interes i želju da dodatno poboljšaju svoje znanje. Nastoje naučiti nove stvari i preispitati stare kako bi svojim učenicima priuštili što kvalitetnije obrazovanje. Razgovarali smo o tome kako djecu naučiti ne samo matematičke operacije, već i način na koji mogu matematiku primijeniti u svakodnevnom životu. Problem matematike danas je taj što se svijet ubrzano mijenja, tako da matematika koju danas učimo nije matematika koju će ljudi trebati kako bi riješili probleme koji će se pojaviti za desetak godina. Ako ne naučimo djecu da budu kreativna i da znanje iskoriste kako bi riješili problem s kojim se nikada prije nisu susreli, nema koristi od matematike danas. U Americi je stanje zanimljivo jer obrazovanje nije problem SAD-a nego svake njezine pojedinačne države, tako da trenutno postoji

petnaestak različitih programa. Većina profesora u SAD-u smatra da se matematičko obrazovanje treba mijenjati u skladu sa svijetom. U isto vrijeme, određeni dio profesora koji utječu na politiku zemlje

još uvijek smatra kako su novi načini poučavanja krivi, te kako bi se trebalo nastaviti po starome i poučavati matematiku

onako kako je poučavamo zadnjih 30, 40, 60 godina. Dakle, imamo još puno bitaka; neke smo već dobili, dok smo neke i izgubili.

Nakon razgovora, prof. Scott Steketee se otišao pakirati jer mu je to bio posljednji dan u Hrvatskoj. Rekao

nam je kako su on i njegova supruga u Hrvatsku došli tjedan dana ranije jer su htjeli vidjeti našu obalu. Sa sobom su

ponijeli bicikle na kojima su prošli Dubrovnik, Korčulu i ostatak obale kojom su se oduševili, baš kao i našom bogatom poviješću i načinom života.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

99

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Mozgalica: BLACK & WHITE

KUTAK ZA KREATIVNI TRENUTAK

Ova se mozgalica nalazi u knjizi Edwarda Horderna Sliding Piece Puzzles. Smislio ju je jedan od najpoznatijih svjetskih dizajnera mozgalica s pločicama, japanski matematičar i elektroinženjer Abe Minoru (rođen 1936.). Mozgalica se izvorno zove Black and White (Crno i bijelo).

Mi vam predlažemo da se poigrate i nazivima naših matematičkih časopisa atka i math.e.

Puno različitih i vrlo zanimljivih mozgalica možete naći na sljedećim web adresama: http://www.g4g4.com, http://www.johnrausch.com i http://www. puzzles.com.

Prijedlog: Načinite ploču za igranje veličine 4 × 5, 10 bijelih kvadratnih pločica dimenzije 1 × 1,2 crne kvadratne pločice dimenzije 1 × 1 i 2 „L-pločice“ dimenzije 2 × 2 – 1 (v. sl.).

Problem: Pločice postavite na ploču za igranje u početni položaj. Pomicanjem pločica po ploči za igranje zamijenite mjesta nazivima (v. sl.). Iscrtkani dio ploče za igranje su slobodna polja.

Nagrada: Svaki atkač koji pošalje opis rješanja postavljenog zadatka dobit će jednu knjigu iz atkine biblioteke ili atkinu bilježnicu.

100

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

POVIJEST

SEKI KOWA TAKAKAZU (1642.-1708.)Tanja Soucie, Zagreb

“Matematika je više od oblika umjetnosti.”

Seki Takakazu, japanski matematičar, rođen je u obitelji samuraja. U ranoj dobi usvojila ga je plemenitaška obitelj i danas je poznat pod imenom Seki Kowa. Seki se od malena isticao u matematici. Nakon što je jedan od kućnih sluga uvidio da je devetogodišnji Seki talentiran za matematiku, upoznao ga s temeljima ove znanosti, nakon čega se Seki Kowa nastavio samostalno obrazovati. Ubrzo je njegova knjižnica bila puna japanskih i kineskih knjiga o matematici. Njegova talentiranost i obrazovanje brzo su mu donijeli poštovanje i ugled, pa je postao poznat kao “Aritmetički mudrac” i stekao svoje učenike.

Godine 1671. matematičar Kazayuki Sawaguchi je, u zaključnom dijelu svoje knjige Kokin-Sanpo-Ki, postavio petanest zadataka koji su trebali služiti kao izazov matematičarima njegovog vremena, a za svoje rješavanje zahtijevali su uporabu algebarskih jednadžbi s više nepoznanica. 1674. godine Seki Kowa objavio je rad pod nazivom Hatsubi Sampo u kojemu je riješio svih petanest zadataka. Pri rješavanju zadataka kreirao je i služio se novim sustavom algebarske notacije (između ostalog, uveo je kanji kako bi prikazao nepoznanice u jednadžbama) te postavio temelje za dalji razvoj wasana (japanske tradicionalne matematike).

Seki je preduhitrio i brojna otkrića matematičara zapada. Primjerice, u djelu Kai Fukadai no Ho iz 1683. Seki je izložio algebarske metode, a i učenje o determinantama. Neovisno o Sekiju Kowu, osnove teorije determinanti postavio je švicarski matematičar Gabriel Cramer skoro sedamdeset godina

101

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

kasnije. Seki je također otkrio tzv. Bernoullijeve brojeve prije samog Jacoba Bernoullija.

Tijekom svojeg života Seki je proučavao jed-nadžbe s pozitivnim i negativnim rješenjima, ali nije imao koncept kompleksnog broja. Godine 1685. ri-ješio je kubnu jednadžbu 2 330 14 5 0x x x+ − − = u kojoj je koristio iste metode koje će Horner koristiti sto godina kasnije. Otkrio je Newtonovu metodu rješavanja jednadžbi i imao svoju verziju Newto-nove interpolacijske formule. Seki je također raz-matrao Diofantske jednadžbe. Primjerice, 1683. godine razmatrao je cjelobrojna rješenja jednadžbe

1ax by− = , gdje su a i b cijeli brojevi. Također, Seki Kowa je razvio metodu aproksimacije broja π kojom je točno izračunao prvih 18 decimala.

Bez sumnje, Seki je igrao ključnu ulogu u popularizaciji i razvoju moderne matematike. Zalagao se za prenošenje matematičkih znanja širokim masama i pisao knjige koje su se mogle koristiti pri poučavanju. Nadimak koji je stekao za života – Aritmetički mudrac - nakon njegove smrti uklesan je na njegov nadgrobni spomenik.

Literatura:

http://www.britannica.com/oscar/print?articleId=66643&fullArticle=true&tocId=9066643

http://encarta.msn.com/encyclopedia_761582885/Takakazu_Seki.html

http://www.math.wichita.edu/history/men/kowa.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Seki.html

http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Quotations/Seki.htm

http://cambridgeforecast.wordpress.com/2008/07/01/japanese-mathematician-seki-kowa/

http://www.cartage.org.lb/en/themes/Biographies/MainBiographies/S/Seki/1.html

102

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

24. svibnja 1543. godine u Frauenburgu (istočna Pruska) umro je sedamdesetogodišnji astronom, liječnik i pravnik Nikola Kopernik koji je za života javno djelovao u Poljskoj, Njemačkoj i Italiji. Rezultat njegovog životnog djela bila je temeljita promjena astronomske predodžbe. Kopernik je odbacio općenito prihvaćeno gledište o Zemlji kao nepomičnoj središnjoj točki u svemiru i zamijenio ga heliocentričnim sustavom (Sunce kao središte našeg planetarnog sustava).

Kopernik je 1510. godine otkrio osnovnu gredu svoje svemirske građevine. Zašto se ne bi Zemlji pripisalo gibanje, a ne svemiru u kojemu se Zemlja nalazi? Kako bi pojednostavnio svemirska zbivanja, Kopernik je, potaknut grčkim prirodofilozofom i astronomom Aristarhom iz Samosa (druga polovica 2. stoljeća prije Krista), usvojio tvrdnju o trostrukom gibanju Zemlje: ona se unutar 24 sata okrene oko svoje osi, što objašnjava prividno kretanje Sunca. Unutar jedne godine Zemlja, kao i drugi planeti, napravi krug oko Sunca. Ni Zemljina os ne miruje nego se lagano giba. Svoje glavno djelo Šest knjiga o kružnom kretanju svemirskih tijela iz 1516. godine Kopernik je iz dobro poznatih razloga objavio tek 1543. godine. Kad je papi namijenjena knjiga na dan smrti astronoma stigla u papinski dvor, Pavao III. odmah ju je stavio na popis zabranjenih knjiga.

Matematičke tablice

Godine 1551. nastale su dvije tablice važne za prirodne znanosti – posebno za matematiku i astronomiju – kao i za navigaciju brodova i računanje vremena.

Njemački astronom Rheticus (zapravo Georg Joachim von Lauchen) sastavio je deseteroznamenkaste, deset po deset sekunda napredujuće tablice trigonometrijskih funkcija, najopsežnije i najtočnije tablice te vrste dugi niz godina. On je pritom po prvi put uzeo u obzir svih šest kutnih funkcija: sinus, kosinus, tangens, kotangens, kosekans (recipročna vrijednost sinusa) i sekans (recipročna vrijednost kosinusa). Funkcije stavljaju količnike duljine različitih stranica u pravokutnom trokutu u odnos prema odgovarajućem kutu toga trokuta. (Djelo je tek 1596. tiskao Valentin Otho, pod naslovom Opus Palatinum de triangulis).

Erasmus Reinhold, profesor matematike u Wittenbergu, izradio je na temelju novog Kopernikovog nauka prvu astronomsku tablicu za izračun položaja planeta, koju je u čast vojvode Albrechta od Pruske nazvao Prutenske ili Pruske tablice kretanja nebeskih tijela (Tabulae prutenicae coelestium motuum). Kopernikove spoznaje i Pruske tablice kasnije su bile osnova za (gregorijansko) kalendarsko preustrojstvo 1582. pod papom Grgurom XIII.

Ponovno napredovanja u matematici

Oko 1580., kako bi se matematičke jednadžbe mogle oblikovati u općem obliku, François Viète uveo je računanje slovima. Njegova zasluga je računanje slovima kao promjenljivim čuvarom mjesta za brojeve.

KOPERNIK JE ZA SOBOM OSTAVIO NOVU PREDODŽBU O SVIJETU

Nikola Kopernik (1473. – 1543.)

103

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Godine 1588. švicarski matematičar Jost Bürgi izradio je prvu logaritamsku tablicu. Doduše, nije ju objavio (tiskana je tek 1620. godine!), pa je izum logaritama kasnije pripisan škotskom zemljoposjedniku Johnu Napieru, barunu od Merchistona. Godine 1594. Napier tiska svoj Sustav prirodnih logaritama.

Logaritmi Johna Napiera

Logaritmi koje su uveli Bürgi i Napier najprije nisu predstavljali ništa drugo nego inverziju eksponencijalnog računa, pri čemu je odabrana baza u oba slučaja broj deset. To je objašnjeno na primjeru: Ako je 103 = 1000, onda je logaritam od 1000 (log 1000) jednak 3. Ta inverzija moguća je i za decimalne potencije (godine 1360. francuski matematičar Nicole Oresme u djelu Algorismus proportionum): 102.35 = 223.872 i log 223.872 = 2.35.

Velika prednost logaritama je u tome da se pomoću njih množenja mogu svoditi na zbrajanje, a dijeljenja na oduzimanje. Zadatak 1000 × 223.872 može se, primjerice, riješiti tako da se log 1000 zbroji s log 223.872, dakle 3 plus 2.35. Rezultat: logaritam traženog umnoška iznosi 5.35, a može se očitati u logaritamskoj tablici kao 223 872. To je i osnova kasnijih mehaničkih analognih računskih naprava, npr. logaritamskih računala, kod kojih su se logaritamski odmjereni štapovi (“jezici”) za množenje jednostavno zbrajali po duljini.

Jednostavno računanje novim štapićima

Napierove su logaritamske tablice već od 1610. primjenjivane u mehaničkim izračunima. Još oko 1600. godine Napier je imao zamisao o primjeni računskih štapova kao praktičnom pomagalu pri operacijama množenja. Englez Edmund Gunter je 1610. godine izradio logaritamski razmjerene štapiće pomoću kojih su se operacije množenja i dijeljenja mogle izvoditi jednostavno, polaganjem jednog štapića uz drugi. Time je već bilo ostvareno načelo kasnijeg logaritamskog računala (računalni kliznik, rehenšiber), koji je tek 1630. godine izradio britanski matematičar William Oughtred.

Budući da je rukovanje štapićima bilo jednostavno, ali je sa sobom donosilo određeni stupanj netočnosti, Henry Briggs je godine 1617. u Oxfordu tiskao prve opsežne osmeroznamenkaste i četrnaesteroznamenkaste logaritamske tablice. Osim toga, Briggs je nastavio s teoretskim radovima o logaritmima. I Napier je godine 1617. razvio jedan mehanički računski stroj u obliku računalne daščice s premjestivim sastavnicama: Napier’s bones odnosno Napiersche Rechenstäbchen (na slici desno).

Izvornik: Paturi, Felix, R., Chronik der Technik (1988.)Pripremio: Željko Medvešek, Zagreb

104

K R I Ž A LJ K A

K R I Ž A LJ K A

Zdravko Kurnik, Zagreb

1 2 Ο 3 4 56 7 Ο 8Ο 9 Ο 10 Ο11 Ο 12 1314 Ο 15

VODORAVNO: 1. Najveći prosti djelitelj broja 4026. 3. 2008 + 7 . 7 . 8 . 8. 6. Obujam kvadra kojemu su duljine bridova 10, 11 i 29. 8. Duljina stranice kvadrata kojemu je površina 4096. 9. Višekratnik broja 29. 10. (2008 − 1999) + 11 + 22 + 33 − 4. 11. Djelitelj broja 6552. 12. Broj u skupu 1818, 1944, 4518, 9082 koji nije višekratnik broja 18. 14. 5 . 23 . (50 − 3). 15. 1 + 26226 : 282.

OKOMITO: 1. Duljina druge stranice pravokutnika kojemu je duljina jedne stranice 88, a površina jednaka 5544. 2. 12345 : 15 + 11001. 3. (100 − 10 + 1) . 8 − 678. 4. Umnožak prostih brojeva 11, 13, 17, 19. 5. 98 − 76 + 54 − 32. 7. Najveći dvoznamenkasti prosti broj. 10. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 : 3. 11. Jedan od djelitelja broja 7040. 12. Najveći dvoznamenkasti višekratnik broja 5. 13. Broj svih djelitelja broja 360.

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

105

K R I Ž A LJ K A

K R I Ž A LJ K A

1 2 3 Ο 4 5 67 Ο 8 9Ο 10 11 Ο 12 Ο13 Ο 14 15 Ο 16 17 Ο18 19 20 Ο 21 2223 Ο 24

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

VODORAVNO: 1. Vrijednost izraza

2 5 83 6 9

+ +

. 996. 4. Brzina aviona

u kilometrima na sat, koji za 112

sata

prijeđe put od 31 000 metara. 7.

5 : 116

. 8. Površina kvadrata kojemu

je duljina stranice najmanji zajednički

nazivnik razlomaka 12

, 17

, 19

, 114

, 118

.

10. 6 1:5 35

. 12. Površina trokuta kojemu je duljina osnovice 272

i duljina

pripadne visine 329

. 14. Zbroj brojnika i nazivnika najvećeg od razlomaka 411

, 512

,

613

. 16. 143

od 212

. 18. Obujam kocke kojoj je duljina brida nazivnik jednog od

razlomaka 1 1 1 1, , ,11 21 31 41

. 21. 1 910 2010 10

+ . 23. 27 56 1004 15 7⋅ ⋅ . 24. MMVIII.

OKOMITO: 1. Nazivnik većeg od razlomaka 7889

, 8798

. 2. DIV. 3. Veličina trećeg

kuta trokuta u stupnjevima kojemu su veličine dvaju kutova 59° i 60°.

4. 31 2 1: :2 31 16

. 5. 11 . 7 7 72 3 6

+ +

. 6. 1 445 1400 884 2 4− + . 9. Duljina kraka

jednakokračnog trokuta kojemu je duljina osnovice 152

, a opseg 111 12

.

11. 13 . 13 . 13 – 3 . 3 . 3. 13. Skupina znamenki koja se ponavlja u decimalnom

prikazu razlomka 41333

. 15. 100 − 12

− 13

− 16

. 17. 31 : 130

. 19. 115

dana

u minutama. 20. 115

ispruženog kuta u stupnjevima. 22. Brojnik manjeg od

razlomaka 1819

, 2829

.

106

K R I Ž A LJ K A

K R I Ž A LJ K A

1 2 Ο 3 4 Ο 5 67 8 Ο 9 10Ο 11 Ο 12 Ο13 Ο 14 15 Ο 16 17 Ο18 19 Ο 20 2122 Ο 23 Ο 24

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

VODORAVNO: 1. Nepoznati član razmjera 35 : x = 5 : 4. 3. CDXLVII. 5. Ordinata točke koja je simetrična točki T (14, 15) s obzirom na os y. 7. Glavnica koja uz kamatnu stopu 4.7% za godinu dana donosi kamate od 183.77 kuna. 9. Vrijednost

izraza 36 . f(6) . f(12) . f(18) + 1000

ako je f funkcija zadana jednakošću

f(x) = 12

x. 11. Postotak koji od

40 300 iznosi 27 001. 12. Prosti djelitelj broja 2005. 14. Kamate koje za godinu dana daje glavnica od 2600 kuna uz kamatnu stopu 23%. 16. Broj dijelova duljine 7.5 cm na koje se može podijeliti dužina duljine 4.65 m. 18. 17 . 17 . 27. 20. Tvornička

cijena artikla koji je prodan za 5806.35 kuna uz zaradu od 15%. 22. Broj 1825

u obliku

postotka. 23. Vrijednost funkcije f(x) = 99x

za x = 1197

. 24. Postotak povećanja

površine dvorišta kvadratnog oblika kojemu se opseg poveća za 10%.

OKOMITO: 1. Apscisa točke koja je simetrična točki P(−23, 32) s obzirom na ishodište

O. 2. Vrijednost funkcije f(x) = 42x

za x = 364

. 3. Koeficijent proporcionalnosti u

kojoj je 5 25,16 2

par proporcionalnih veličina. 4. Broj od kojega 2.5% iznosi 19. 5.

Koeficijent obrnute proporcionalnosti u kojoj je 26 27,27 2

par obrnuto proporcionalnih

veličina. 6. Prosti djelitelj broja 3126. 8. Iznos koji dobiva sestra ako ona i brat dijele

uštedu od 3150 kuna u omjeru 5 : 4. 10. Vrijednost izraza 4 ∙ 14

f

+ 8 ∙ 18

f

+

16 ∙ 116

f

+ 32 ∙ 132

f

ako je f funkcija zadana jednakošću f(x) = 6x

. 12. Rješenje

jednadžbe x : 12 = (x − 8) : 10. 13. 3 . 7 . 37. 15. CMXXXVIII. 17. Vrijednost funkcije

f(x) = 112

x za x = 44. 19. Postotak koji od 2008 iznosi 1646.56. 20. Udaljenost točaka

A(−26) i B (27) na brojevnom pravcu. 21. Nepoznati član razmjera 2 : 13 = 14 : x.

107

K R I Ž A LJ K A

K R I Ž A LJ K A

1 2 3 Ο 4 5 Ο 6 78 9 Ο 10Ο Ο 11 Ο 12 1314 15 Ο 16 Ο Ο17 Ο 18 19 20 2122 Ο 23 Ο 24

VODORAVNO: 1. 4 144 484⋅ ⋅ . 4. 2 220 6

3 5 ⋅

6. Prve dvije decimale

iracionalnog broja 10 . 8. 13 + 132 + 133 + 134 + 135. 10. Opseg pravokutnog

trokuta kojemu su duljine kateta 4 i 39.9. 11. (10 − 5 2 ) . (10 + 5 2 ). 12. 1012 – 2202 + 2212 + 4202 − 4212. 14. Površina jednakokračnog trapeza kojemu su duljine osnovica a = 161 i c = 121, a duljina kraka b = 29. 16. Cijeli dio iracionalnog broja

300 . 17. 520 27 :27

⋅ + 20. 18. Prvih šest decimala iracionalnog broja π .

22. 2 221 3:

8 32

. 23. Duljina visine jednakostraničnog trokuta kojemu je duljina

stranice 86 33

24. 3 3 7 7 13 13⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ .

OKOMITO: 1. 6 . (52 − 42) 2. 2 10 903⋅ ⋅ 3. Vrijednost izraza x2 − xy − y2 + 83 za

x = 88, y = −88. 4. Duljina druge katete pravokutnog trokuta kojemu je duljina jedne katete 16, a duljina hipotenuze 65. 5. 6 . 6 . (6 . 6)2 − 2 . 7 . (2 . 7)2. 6. Opseg romba kojemu su duljine dijagonala 54 i 72. 7. 9 − 92 + 93 − 42. 9. 812 + 822 + 832. 13. Površina pravokutnika kojemu je duljina jedne stranice 81, a duljina dijagonale 135. 14. 6 . 7 + (7 . 2)2 + 7 . 2 + 20. 15. 2 2 22 2 3 79× × . 19. Duljina hipotenuze pravokutnog trokuta kojemu su duljine kateta 48 i 55. 20. 2 2149 140− . 21. Cijeli dio broja 1555 .

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Zdravko Kurnik, Zagreb

IZ NOVOGODIŠNJIH ČESTITKI

SRETNO! – NEVIO DIVAN ŽAR!

PRVACI! – NIKOA DAR SVIJU!

DIVNO! SILNO! - IVKOŽIVI! – KRCE

JA BIRAM: TI SI CAR!CIJENE SE!

DRAGA! – VAŠ NIKOPOŠTA ANKE

BIRAN LIST – EMADA, VAŠA KOB!O, PA ČITAM!

GURA! – DESA DOBAR, NOV LIK – S.S.

U uredništvo atke stigle su mnoge čestitke s najboljim željama od čitatelja iz svih krajeva Lijepe naše. Izdvojili

smo neke od njih. Odakle su poslane?

ISPUNJALJKA

Izmiješajte malo slova u riječima

KOTAČ, ALJKAV, VLAGA, TREMA, USTUK

tako da dobijete pet matematičkih pojmova.

Upišete li te pojmove vodoravno u lik ispunjaljke,

na posebno označenim poljima dobit ćete oca grčke

matematike.

OBRNUTI REBUS

REBUSI

RIBIČEVA GLAVOLOMKA

Dva ribiča, matematičara, strpljivo love ribu s obale rijeke. Kraj njih su prazne posude od 4 i 6 litara.

– Što da radimo? Riba ne grize. Bojim se da će naše posude ostati prazne – tišinu je prekinuo prvi ribič.

– Ne moraju ostati prazne. Eto, na primjer, imam za tebe jedan problem. Pomoću ovih posuda odvadi iz rijeke točno 1 litru vode – predložio je drugi ribič.

RIMSKA JEDNAKOST

Donja jednakost sastavljena od štapića jednake duljine očito nije točna. Ona to može postati premještanjem samo jednoga štapića. Netko će brzo otkriti jedno rješenje, netko drugo, ali koliko zapravo ima različitih rješenja? Tu nastupate vi!

XX − X = XI + II − I

Na gornjem crtežu je jednostavan lik koji podsjeća

na planinu s tri vrha,

“triglav”. On je podijeljen na više malih jednakostraničnih trokuta. Ali osim njih postoji

i nekoliko većih trokuta.

Koliko je na crtežu jednakostraničnih trokuta?

Provjerite svoju moć zapažanja!

Jednu litru? Prvi ribič je pomislio da se drugi šali. Ali, nije bilo tako, jer rješenje postoji. Kako su ovi ribiči, umjesto ribe, “ulovili” jednu litru vode?

JEDNAKOSTRANIČNI TROKUTI

110

NATJECANJA

MEĐUNARODNO MATEMATIČKO NATJECANJEKLOKAN BEZ GRANICA

Međunarodno matematičko natjecanje “Klokan bez granica” održalo se 20. travnja ove godine, i to deseti put, ponovno pod pokroviteljstvom Ministarstva znanosti, obrazovanja i športa Republike Hrvatske i Hrvatskog matematičkog društva. U isto vrijeme, s približno istim zadatcima, natjecalo se 5 000 000 učenika u 42 zemlje svijeta, što ovo natjecanje čini najvećim školskim natjecanjem u svijetu. Prema odjecima koji su stigli do nas, vjerujemo da je natjecanje postiglo svoju svrhu i zainteresiralo učenike za rješavanje zadataka iz matematike. U Hrvatskoj su se natjecali učenici u 320 osnovnih i 120 srednjih škola u svim županijama, i to u šest kategorija: Leptirići, Ecolier, Benjamin, Cadet, Junior, Student. Ukupno se natjecalo 29 806 učenika.

Sudjelovalo je 6 743 učenika II. i III. razreda osnovne škole (L), 8 365 učenika IV. i V. razreda osnovne škole (E), 6 166 učenika VI. i VII. razreda osnovne škole (B), 4 526 učenika VIII. razreda osnovne i I. razreda srednje škole (C), 2 935 učenika II. i III. razreda srednje škole (J) i 1 071 učenik IV. razreda srednje škole (S).

Sljedeći zadatci mogu vas upoznati s prošlogodišnjem natjecanjem i korisno poslužiti kao pripreme za novo natjecanje koje će se održati 19. ožujka 2009. godine.

Leptirići – učenici II. i III. razreda

Pitanja za 3 boda

1. Ako jedemo tri obroka dnevno, koliko obroka ukupno pojedemo srijedom i četvrtkom?

A) 3 B) 4 C) 6 D) 8 E) 9

2. Gita šeće stazom slijeva udesno i stavlja brojeve u svoju košaru. Koji se od sljedećih brojeva mogu naći u njezinoj košari?

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

A) 1, 2 i 4 B) 2, 3 i 4 C) 2, 3 i 5 D) 1, 5 i 6 E) 1, 2 i 5

111

3. Ulaznica za odrasle pri posjetu Zoološkom vrtu stoji 30 kn, a za djecu je 10 kn jeftinija. Koliko za ulaznice mora platiti otac s dvoje djece?

A) 50 kn B) 60 kn C) 70 kn D) 100 kn E) 120 kn

4. Koliko je zvjezdica unutar okvira? A) 60 Β) 55 C) 50 D) 45 E) 40

Pitanja za 4 boda

5. Mirjana je mami, baki, teti i dvjema sestrama (svakoj) poklonila po kiticu cvijeća. Koja je od njih za mamu ako se zna:

• Cvijeće za tetu i sestre je iste boje• Baka nije dobila ruže. A) B) C) D) E)

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

6. Zaporka (šifra) za otvaranje starinske blagajne je troznamenkasti broj sastavljen od različitih znamenki. Koliko različitih zaporki možemo složiti koristeći znamenke 2, 4 i 6?

A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

7. Promotrimo niz kvadrata i njihovih dijelova. Kvadrati imaju 1, 4, 7, odnosno 10 dijelova.

žutitulipani

žutikaranfili

žuteruže

crvenikaranfili

crveneruže

Koliko će dijelova imati sljedeći kvadrat u nizu? A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15.

8. Koji broj treba upisati u tamni oblak kako bi sva računanja bila točna?

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

112

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Pitanja za 5 bodova

9. Gabrijela je viša od Arijane i niža od Tamare. Ivica je viši od Krune i niži od Gabrijele. Tko je najviši?

A) Gabrijela B) Arijana C) Kruno D) Ivica E) Tamara

10. Za šest i po sati bit će četiri sata poslije ponoći. Koliko je sada sati? A) 21:30 B) 04:00 C) 20:00 D) 02:30 E) 10:30

11. Oluja je napravila rupu na prednjoj strani krova. U svakom od 7 redova bilo je 10 crjepova. Koliko je crjepova preostalo na prednjoj strani krova?

A) 57 B) 59 C) 61 D) 67 E) 70

12. Tereza ima 37 CD-a. Njezina prijateljica Klaudija joj je predložila: Ako mi daš svojih 10 CD-a, obje ćemo ih imati jednaki broj. Koliko CD-a ima Klaudija?

A) 10 B) 17 C) 22 D) 27 E) 32

Ecolier – učenici IV. i V. razredaPitanja za 3 boda

1. Ako jedemo tri obroka dnevno, koliko obroka pojedemo u jednome tjednu?

A) 7 B) 18 C) 21 D) 28 E) 37

2. Ulaznica za odrasle pri posjetu Zoološkom vrtu stoji 40 kn, a za djecu je 10 kn jeftinija. Koliko za ulaznice mora platiti otac s dvoje djece?

A) 50 kn B) 60 kn C) 70 kn D) 100 kn E) 120 kn

3. Promotrimo niz kvadrata i njihovih dijelova. Kvadrati imaju 1, 4, 7, odnosno 10 dijelova.

Koliko će dijelova imati sljedeći kvadrat u nizu?

A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

4. Tereza ima 37 CD-a. Njezina prijateljica Klaudija joj je predložila: Ako mi daš svojih 10 CD-a, obje ćemo ih imati jednaki broj. Koliko CD-a ima Klaudija?

A) 10 B) 17 C) 22 D) 27 E) 32

113

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

5. Mirjana je mami, baki, teti i dvjema sestrama (svakoj) poklonila po kiticu cvijeća.

Koja je od njih za mamu ako se zna:• Cvijeće za tetu i sestre je iste boje• Baka nije dobila ruže. A) B) C) D) E)

žutitulipani

žutikaranfili

žuteruže

crvenikaranfili

crveneruže

6. Za šest i po sati bit će četiri sata poslije ponoći. Koliko je sada sati? A) 21:30 B) 04:00 C) 20:00 D) 02:30 E) 10:30

7. Rina je nacrtala točku na papiru. Sada treba nacrtati četiri pravca koji prolaze tom točkom. Na koliko dijelova ti pravci dijele papir?

A) 4 B) 6 C) 5 D) 8 E) 12

8. Koliko je zvjezdica unutar okvira? A) 80 Β) 78 C) 75D) 72 E) 70

Pitanja za 4 boda

9. Gabrijela je viša od Arijane i niža od Tamare. Ivica je viši od Krune i niži od Gabrijele. Tko je najviši?

A) Gabrijela B) Arijana C) Kruno D) Ivica E) Tamara

10. Oluja je napravila rupu na prednjoj strani krova. U svakom od 7 redova bilo je 10 crjepova. Koliko je crjepova preostalo na prednjoj strani krova? A) 57 B) 59 C) 61 D) 67 E) 70

11. Ivan množi zadani broj s 3, Petar dodaje 2, a Nikola oduzima 1. U kojem će redoslijedu od broja 3 “dobiti” broj 14?

A) Ivan, Petar, Nikola B) Petar, Ivan, Nikola C) Ivan, Nikola, Petar D) Nikola, Ivan, Petar E) Petar, Nikola, Ivan

114

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

12. Koji izraz ima najmanju vrijednost?A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8⋅ ⋅ ⋅ D) 200 – 8 E) 8 + 0 + 0 – 2

13. U hotel je stigla skupina od 21 gosta. Dio te skupine popunio je 5 trokrevetnih soba, a ostali su smješteni u dvokrevetne. Koliko je dvokrevetnih soba popunjeno gostima iz te skupine?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 5 E) 6

14. Koja se od sljedećih figura najčešće pojavljuje u nizu?

A) samo B) samo C) samo D) i E) sve se pojavljuju jednako često

15. Karmela oblikuje figure pomoću dvaju trokuta s donje slike. Koju figuru ne može dobiti?

A) B) C) D) E)16. Ana je od 5 kocaka napravila figuru kao na slici na rubu.

Koju od sljedećih figura (gledanu s bilo koje strane) ne može dobiti od početne figure ako smije premještati samo jednu kocku?

17. Na CD-u su tri pjesme. Prva traje 6 minuta i 25 sekundi, druga 12 minuta i 25 sekundi, a treća 10 minuta i 13 sekundi. Koliko ukupno traju sve tri pjesme?

A) 28 minuta i 30 sekundi B) 29 minuta i 3 sekunde C) 30 minuta i 10 sekundi D) 31 minutu i 13 sekundi E) 31 minutu i 23 sekunde

Pitanja za 5 bodova

A) B) C) D) E)

115

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

18. Vrt kvadratnog oblika podijeljen je na 4 dijela kao na slici: bazen (B), gredicu s cvijećem (G), tratinu (T) i pješčanik (P). Tratina i gredica su kvadratnog oblika.

Opseg tratine je 20 m, a opseg gredice 12 m. Koliki je opseg bazena?A) 10 m B) 12 m C) 14 m D) 16 m E) 18 m

19. Klokan Skočko primijetio je da se svake zime udeblja 5 kg, a svakoga ljeta smršavi samo 4 kg. Njegova “kilaža” se ne mijenja u proljeće i jesen. U proljeće 2008. ima 100 kg. Koliko je kilograma imao u jesen 2004.?

A) 92 kg B) 93 kg C) 94 kg D) 96 kg E) 98 kg

20. Janica je gađala metu dvjema strjelicama. Na crtežu vidimo njezin “rezultat” koji vrijedi 5 bodova. Ako obje strjelice pogode metu, koliko različitih “rezultata” može biti ostvareno?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

21. Vilko ima jednako mnogo braće i sestara. Njegova sestra Vilma ima dvostruko više braće od sestara. Koliko djece ima u njihovoj obitelji?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

22. Koliko ima dvoznamenkastih brojeva takvih da je ˝desna˝ znamenka veća od “lijeve” znamenke?

A) 26 B) 18 C) 9 D) 30 E) 36

23. Jedna strana kocke razrezana je po njezinim dijagonalama (kao na slici). Koja od sljedećih mreža nije mreža kocke na slici?

1 2 3 4 5

A) 1 i 3 B) 1 i 5 C) 3 i 4 D) 3 i 5 E) 2 i 4

24. U kutiji se nalazi 7 karata. Na kartama su napisani brojevi od 1 do 7 (na svakoj karti točno jedan broj). Matija uzima iz kutije nasumce 3 karte, a Luka 2 karte (dvije su karte ostale u kutiji). Tada Matija kaže Luki: Znam da je zbroj brojeva na tvojim kartama paran. Zbroj brojeva Matijinih karata iznosi:

A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15

116

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Benjamin – učenici VI. i VII. razredaPitanja za 3 boda

1. Koji izraz ima najmanju vrijednost?A) 2 + 0 + 0 + 8 B) 200 : 8 C) 2 0 0 8⋅ ⋅ ⋅D) 200 – 8 E) 8 + 0 + 0 – 2

2. Čime mora biti zamijenjen da bismo dobili ispravnu jednakost

× = 2 × 2 × 3 × 3 ?A) 2 B) 3 C) 2 × 3 D) 2 × 2 E) 3 × 3

3. Josip uvijek množi s 3, Petar uvijek pribraja 2, a Nikola uvijek oduzima 1. Kojim redoslijedom moraju izvršiti svoje operacije da bi od broja 3 došli do broja 14?

A) Josip, Petar, Nikola B) Petar, Josip, Nikola C) Josip, Nikola, D) Nikola, Josip, Petar E) Petar, Nikola, Josip Petar

4. Da bi zadana jednakost 1 + 11 – 2 = 100 bila točna, znak mora se zamijeniti s:

A) + B) – C) × D) 0 E) 1

5. Katica se igra kartama u obliku dvaju jednakostraničnih trokuta. Ona stavlja te karte jednu pored druge ili jednu na drugu na isti komad papira, a zatim crta njihove obrise. Od prikazanih oblika samo jedan nije ispravan. Koji?

A) B) C) D) E)

6. Od koliko jednakih šibica nije moguće sastaviti trokut? (Šibice se ne smiju lomiti!)

A) 7 B) 6 C) 5 D) 4 E) 3

7. U gusarskoj školi svaki učenik mora sašiti svoju crno-bijelu zastavu. Pri tome mora biti ispunjen uvjet da crni dio čini tri petine zastave. Koliko od prikazanih zastava ispunjava taj uvjet?

117

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

A) nijedna B) jedna C) dvije D) tri E) četiri

8. Prije grudanja Nenad je pripremio nekoliko gruda. Tijekom grudanja napravio ih je još 17. Ako je 21 grudu bacio na ostale dječake, a na kraju mu je ostalo 15 gruda, koliko je gruda priredio prije grudanja?

A) 53 B) 33 C) 23 D) 19 E) 18

Pitanja za 4 boda

9. Zadani su brojevi a = 2 – (–4), b = (–2) · (–3), c = 2 – 8, d = 0 – (–6) i e = –12 : (–2). Koliko od njih nije jednako broju 6?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 5

10. U tablici 2 × 2 napisani su brojevi 2, 3, 4 i još jedan broj. Ako znamo da je zbroj brojeva u prvom retku 9, a u drugom retku 6, koji je nepoznat broj? A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4

11. Ovo je malena tablica množenja, a ovo je druga tablica kojoj, nažalost, manjkaju neki brojevi. Koji se broj nalazi u kvadratu na mjestu upitnika?

A) 54 B) 56 C) 65 D) 36 E) 42

12. U trgovini igračaka složen je “cvijet od kocaka” na četiri kata, kako prikazuje slika 1. Svaki kat čine kocke iste boje. Na drugoj slici cvijet gledamo s vrha. Koliko nam je bijelih kocaka potrebno da bismo sagradili takav cvijet?

A) 9 B) 10 C) 12 D) 13 E) 14

13. Za okruglim stolom je 60 stolica. Za stol je sjelo n osoba tako da svaka od njih ima svog susjeda. Koliko je najmanje osoba sjelo za stol?

A) 40 B) 30 C) 20 D) 10E) nijedan od predviđenih odgovora

Slika 1. Slika 2.

118

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

14. U 5 kutija imamo karte označene slovima B, R, A, V, O, kao što je prikazano. Boris želi ukloniti karte iz kutija tako da na kraju u svakoj kutiji ostane samo po jedna karta i da na svakoj od njih piše različito slovo. Koje je slovo u kutiji 5?

A) nemoguće je B) A C) V D) O E) R

15. Trokut i kvadrat imaju isti opseg. Koliki je opseg prikazane figure (peterokuta)?

A) 12 cm B) 24 cm C) 28 cm D) 32 cmE) ovisi o veličini trokuta

16. Ako prikazane krugove na zidu gađamo s dvije strijele, a zatim dobivene brojeve zbrojimo, koliko različitih rezultata možemo postići? (I promašaj se računa.)

A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10

Pitanja za 5 bodova 17. Točke A, B, C, D smještene su na pravac po nekom redoslijedu. Ako

znamo da su udaljenosti između točaka |AB| = 13, |BC| = 11, |CD| = 14 i |DA| = 12, kolika je udaljenost između dviju najudaljenijih točkaka?

A) 14 B) 38 C) 50 D) 25 E) neki drugi odgovor

18. Danas izjavljujem: Za dvije godine moj će sin biti dva puta stariji nego prije dvije godine. Za tri godine moja kći bit će tri puta starija nego prije tri godine. Koji je od ponuđenih odgovora točan?

A) Sin je godinu dana stariji od kćeri. B) Kći je godinu dana starija od sina.C) Istih su godina. D) Sin je dvije godine stariji od kćeri.E) Kći je dvije godine starija od sina.

19. Pet znakova @, *, #, &, ^ predstavlja pet različitih prirodnih brojeva. Koji broj odgovara znaku ^ ?

@ + @ + @ = *, # + # + # = &, * + & = ^A) 0 B) 2 C) 6 D) 8 E) 9

119

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

20. Tri prijatelja žive u istoj ulici: liječnik, inženjer i glazbenik, a njihova su imena Savić, Robić i Ferić. Liječnik nema ni sestre ni brata i najmlađi je među prijateljima. Ferić je stariji od inženjera i oženjen je Savićevom sestrom. Navedite redom imena liječnika, inženjera i glazbenika:

A) Savić, Robić, Ferić B) Ferić, Savić, Robić C) Robić, Savić, Ferić D) Robić, Ferić, SavićE) Savić, Ferić, Robić 21. Slika predstavlja plan grada kojim kružno voze četiri

autobusa. Autobus broj 1 prolazi raskrižjima C-D-E-F-G-H-C i prelazi put dugačak 17 km. Autobus broj 2 prolazi raskrižjima A-B-C-F-G-H-A i njegov je put dug 12 km. Autobus broj 3 prolazi А-B-C-D-E-F-G-H-A, a put mu je dug 20 km, dok autobus broj 4 prelazi put C-F-G-H-C. Koliko kilometara prijeđe autobus broj 4?

A) 5 km B) 8 km C) 9 km D) 12 km E) 15 km

22. U kutiji je sedam karata, a na svakoj je od njih napisan samo jedan broj od 1 do 7. Mladen nasumce izvlači tri karte, zatim Vesna izvlači dvije karte, tako da su u kutiji preostale dvije karte. Tada Mladen kaže Vesni: Ja sam siguran da je zbroj tvojih karata paran broj. Koliki je zbroj karata koje je izvukao Mladen?

A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15

23. Stariji modeli televizora imaju ekran čije su stranice u omjeru 4 : 3, dok ekrani novih modela imaju omjer stranica 16 : 9. Film s DVD–a u cijelosti ispunjava ekran na novom televizoru (vidi sliku). Ako taj isti film gledamo na starom televizoru, on u cijelosti ispunjava samo duljinu ekrana, no ne i visinu. Kolika je površina ekrana koju ne zauzima film na starome televizoru?

A) 1

6 B) 1

5 C) 1

4 D) 1

3E) ovisi o veličini ekrana

24. Svakom dvoznamenkastom broju oduzmi znamenku desetica od znamenke jedinica. Koliki je zbroj tako dobivenih rezultata?

A) 90 B) 100 C) 55 D) 45 E) 30

120

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Cadeti – učenici VIII. razreda osnovne i I. razreda srednje školePitanja za 3 boda

1. U gusarskoj školi svaki učenik mora sašiti svoju crno-bijelu zastavu. Pri tome mora biti ispunjen uvjet da crni dio čini tri petine zastave. Koliko od prikazanih zastava ispunjava taj uvjet?

A) nijedna B) jedna C) dvije D) tri E) četiri

2. U razrednom odjeljenju ima 9 dječaka i 13 djevojčica. Polovina djece u odjeljenju ima prehladu. Koliko djevojčica najmanje ima prehladu?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

3. 6 klokana pojede 6 vreća sijena u 6 minuta. Koliko će klokana pojesti 100 vreća sijena za 100 minuta?

A) 100 B) 60 C) 6 D) 10 E) 600

4. Brojeve 2, 3, 4 i još jedan nepoznati prirodni broj treba upisati u kvadratiće na slici. Zbroj brojeva u prvom retku mora biti 9, a zbroj brojeva u drugom retku 6. Nepoznati broj je

A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 4

5. Trokut i kvadrat na slici imaju jednake opsege.Koliki je opseg cijelog lika (peterokuta)?A) 12 cm B) 24 cm C) 28 cm D) 32 cm E) ovisno o duljinama stranica trokuta

6. Cvjećarka Rina ima 24 bijele, 42 crvene i 36 žutih ruža. Koliko najviše jednakih kitica Rina može složiti ako želi upotrijebiti sve ruže?

A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

7. Koliko se kvadrata može nacrtati spajanjem točaka na slici?A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

8. Tri pravca prolaze istom točkom. Veličine dvaju kutova su 108° i 124°, kao što se vidi na slici. Koliko stupnjeva ima kut osjenčan sivom bojom? A) 52° B) 53° C) 54° D) 55° E) 56°

121

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

Pitanja za 4 boda

9. Na kocki su odsječeni vrhovi, kao na slici. Koliko bridova ima “nova” figura na slici?

A) 26 B) 30C) 36 D) 40E) neki drugi odgovor

10. Danijel ima 9 novčića, svaki vrijednosti 2 lipe, a njegova sestra Ana ima 8 novčića vrijednosti 5 lipa svaki. Koliko najmanje novčića trebaju međusobno razmijeniti Danijel i Ana da bi imali jednake novčane iznose?

A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) nije moguća takva razmjena

11. Tom i Jerry razrezali su 2 sukladna pravokutnika. Tom je dobio 2 pravokutnika, svaki opsega 40 cm, a Jerry 2 pravokutnika, svaki opsega 50 cm. Koliki je bio opseg početnih pravokutnika?

A) 40 cm B) 50 cm C) 60 cm D) 80 cm E) 90 cm

12. Jedna strana kocke razrezana je po njezinim dijagonalama (kao na slici). Koja od sljedećih mreža nije mreža kocke na slici?

1 2 3 4 5

A) 1 i 3 B) 1 i 5 C) 3 i 4 D) 3 i 5 E) 2 i 4

13. Na pravcu su istaknute točke A, B, C i D. Poznate su sljedeće duljine: |AB|= 13, |BC|= 11, |CD|= 14 i |DA| = 12. Kolika je udaljenost dviju najudaljenijih točaka?

A) 14 B) 38 C) 50 D) 25 E) drugi odgovor

14. U pravokutnik su upisane 4 kružnice duljine polumjera 6 cm, kao na slici. Točka P je vrh pravokutnika, a točke Q i R dirališta kružnica i stranica pravokutnika. Kolika je površina trokuta PQR?

A) 27 cm2 B) 45 cm2 C) 54 cm2 D) 108 cm2 E) 180 cm2

122

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

15. U kutiji se nalazi 7 karata. Na kartama su napisani brojevi od 1 do 7 (na svakoj karti točno jedan broj). Matija uzima iz kutije nasumce 3 karte, a Luka 2 karte (2 su karte ostale u kutiji ). Tada Matija kaže Luki: “Znam da je zbroj brojeva na tvojim kartama paran”. Zbroj brojeva Matijinih karata iznosi:

A) 10 B) 12 C) 6 D) 9 E) 15

16. Francuski matematičar August de Morgan imao je x godina u godini x 2. Umro je 1899. godine. Kada se de Morgan rodio?

A) 1806. B) 1848. C) 1849. D) 1899.E) drugi odgovor

Pitanja za 5 bodova

17. Simetrala kuta ACB uz osnovicu BC jednakokračnog trokuta ABC siječe krak AB u točki D. Ako je |BC| = |CD|, kolika je veličina kuta CDA?

A) 90° B) 100° C) 108° D) 120°E) nemoguće je odrediti

18. Drvena kocka 11 × 11 × 11 nastala je lijepljenjem 113 jediničnih kocaka. Koliko se najviše jediničnih kocaka može vidjeti gledajući iz iste točke gledanja?

A) 328 B) 329 C) 330 D) 331 E) 332

19. U “Malim astronomima” djevojke čine više od 45%, a manje od 50% sastava. Koji je najmanji mogući broj djevojaka u toj skupini?

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7

20. Dječak uvijek govori istinu četvrtkom i petkom, uvijek laže utorkom, a ostale dane u tjednu govori istinu ili laže bez pravila. Sedam dana uzastopno pitali su ga za njegovo ime, a odgovori su u prvih šest dana bili: Ivan, Branko, Ivan, Branko, Petar, Branko. Što je dječak odgovorio sedmoga dana?

A) Ivan B) Branko C) Petar D) Katarina E) drugi odgovor

21. Martina i Ivica krenuli su planinariti. U selu, u podnožju planine, pročitali su oznaku na kojoj piše da do vrha ima 2 sata i 55 minuta pješačenja. Napustili su selo u 12 sati. U 13 sati stali su radi kratkog odmora i pročitali novu oznaku na kojoj piše da do vrha ima samo 1 sat i 15 minuta. Nakon 15 minuta nastavili

123

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

su put istom brzinom kao i prije i nisu se više zaustavljali do vrha. U koje su vrijeme stigli na vrh?

A) 14:30 B) 14:00 C) 14:55 D) 15:10 E) 15:20

22. Nazovimo tri prosta broja “specijalnima” ako je njihov umnožak 5 puta veći od njihovog zbroja. Koliko “specijalnih” trojki prostih brojeva postoji?

A) 0 B) 1 C) 2 D) 4 E) 6

23. Zadana su dva skupa A i B peteroznamenkastih prirodnih brojeva. U skupu A su brojevi čiji je umnožak svih znamenki 25, a u skupu B brojevi čiji je umnožak svih znamenki 15. Koji skup ima više brojeva? Koliko puta više?

A) skup A, 5/3 puta B) skup A, 2 puta C) skup B, 5/3 puta D) skup B, 2 puta

E) oba skupa imaju jednaki broj članova

24. Najveći zajednički djelitelj dvaju prirodnih brojeva m i n je 12, a njihov

najmanji zajednički višekratnik je kvadrat. Između 5 brojeva - 3n ,

3m ,

4n ,

4m ,

m n⋅ - koliko su njih kvadrati?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4E) nemoguće je odrediti

RJEŠENJA

LEPTIRIĆI1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.C C C D B E C C E A A B

ECOLIER1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.C D C B B A D E E A B C C D E D B D A B E E D B

BENJAMIN1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24C C B D E D C D B B A E E D B D D C E C C B C D

CADET1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24.C C C B B B C A C B C D D D B A C D C A B B D B

124

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

ZADATCI ZA MATKAČE POČETNIKE

ZADATCI ZA MATKAČE POČETNIKE

Za ovaj broj atke zadatke su nam poslali atkači Igor Miškulin, Ivan Šandrk, Petra Ivić, Sanja Pavić i Irena Petrić, a odabrali su ih i uredili Marija Rako i Mate Prnjak. Zadatke je ilustrirala atkačica Jelena Grbavec. Zahvaljujemo im na suradnji te pozivamo ostale atkače da se pridruže u slanju i rješavanju zadataka.

Nagradit ćemo i objaviti ime svakog atkača koji nam pošalje rješenja najmanje triju postavljenih zadataka.

1. Množenje

Janko je pomnožio dva broja, ali su se neke znamenke obrisale. Koje je brojeve Janko množio?

*5* . 3*67*22**6 *5**

***5*4

2. Olovke

Matija kupuje olovke za početak školske godine. Ako kupi 5 olovaka, ostaju mu 2 kune, a ako kupi 6 olovaka, nedostaje mu 5 kuna. Kolika je cijena jedne olovke i koliko je novaca Matija imao kod sebe?

3. Zamišljeni broj

Marko je zamislio neki broj. Pomnožio ga brojem 5, rezultatu dodao 10, sve pomnožio brojem 2, od dobivenog rezultata oduzeo 5, sve pomnožio brojem 3, dobivenom rezultatu dodao 25 i tako dobio 400. Koji je broj Marko zamislio?

4. Koji broj?

Odredi najmanji broj koji moraš pribrojiti broju 3821 da dobiješ broj djeljiv s 19.

125

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

5. Kuhinjske pločice

Majstor želi popločiti pod kuhinje oblika pravokutnika čija je duljina 3.5 m, a širina 2.8 m. Koliko mu treba pločica dimenzija 25 × 20 cm da poploči cijeli pod? Koliki će broj pločica Marko posložiti po duljini kuhinje, a koliki po širini kuhinje?

6. Poljoprivredno zemljište

Neko poljoprivredno zemljište mogu obraditi 24 radnika. Nakon 5 dana razbole se 2 radnika, a nakon 6 dana dođe još 5 radnika. Za koliko će dana posao biti gotov?

7. Četverokut

Nacrtaj pravokutnik ABCD sa stranicama a = 10 cm i b = 5 cm. Iz vrha A pravokutnika nacrtaj dužine koje spajaju polovište stranice BC i označi presjek s E , te polovište stranice CD , pa označi presjek s F. Dobio si lik AECF. Kolika mu je površina?

8. Služba za pomoć

“Ured” Službe za pomoć u matematici otvoren je svakoga dana između 13 i 14 sati. Jednoga dana pomoć je zatražio 31 učenik, pri čemu je najkraće vrijeme zadržavanja u “uredu” bilo 10 minuta. Dokažite da je barem u jednom trenutku u “uredu” bilo najmanje 6 učenika.

9. Razredni odjel

U jednom razrednom odjelu ima 28 učenika, a broj djevojčica prema broju dječaka odnosi se kao 4 : 3. Koliko u odjelu ima dječaka, a koliko djevojčica?

A B

CF

E

D

126

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

10. Marin i susjed

Pitao mali Marin susjeda Marka koliko ima godina, a susjed mu odgovori: Meni je onoliko godina koliko se dobije kada se od mojih dvostrukih godina, koje ću imati za 12 godina, oduzmu moje dvostruke godine koje sam imao prije 12 godina. Marin se zamisli, ali ubrzo i točno izračuna. Možeš li i ti?

11. Cijena knjige

Knjižara je izdavaču platila 80% prodajne cijene naznačene na računu. Koliki je postotak zarade knjižare?

12. Duljina štapa

Ana i Maja su dobile zadatak da štapom jednake duljine izmjere dvije dužine čije su duljine 546 cm i 756 cm. Kolika je najmanja duljina štapa kojim mogu izmjeriti duljine tih dužina? Koliko puta taj štap stane po duljini svake dužine?

13. Odijelo

Za odijelo treba 5 m platna širine 75 cm. Koliko bi metara platna trebalo za takvo odijelo ako je platno širine 120 cm?

14. Brod

Ploveći uzvodno između dviju luka, riječni brod za 5 sati prijeđe put dug 63 km. Taj brod ploveći nizvodno prijeđe isti put za 3 sata. Kojom bi se brzinom taj brod kretao u vodi stajaćici i kolika je brzina rijeke po kojoj brod plovi?

127

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66

15. Na gradilištu

Neki posao 10 radnika može obaviti za 12 dana ako rade dnevno 10 sati. Za koliko bi dana taj isti posao obavilo 15 radnika ako rade 8 sati dnevno ?

16. Tri prijatelja

Tri su prijatelja zaradu od 10 800 kn podijelila u omjeru 4 : 3 : 2. Koliko je dobio svaki?

17. Električni bojler

Ako električni bojler za 3 sata i 15 minuta potroši 3.2 kilovata struje, koliko će struje potrošiti za 6.5 sati?

18. Bez kalkulatora

Izračunaj zbroj prvih 1400 prirodnih brojeva.

19. Topla i hladna voda

Pomiješa li se 8 litara toplije i 2 litre hladnije vode, dobije se 10 litara vode kojoj je temperatura 66ºC. Ako se pomiješa 7 l toplije i 3 l hladnije vode, dobije se 10 l vode kojoj je temperatura 59ºC. Kolika je temperatura toplije, a kolika hladnije vode?

20. Vlak

Ako bi vlak povećao brzinu za 20 km/h, za prelazak puta bilo bi mu potrebno 2 sata vremena manje, a ako bi smanjio brzinu za 18 km/h, za isti bi mu put trebalo 3 sata vremena više. Kolika je brzina vlaka i koliko je dug put koji taj vlak prelazi ?

128

atka

17

(200

8./2

009.

) br.

66ODABRANI ZADATCI

ODABRANI ZADATCIVlado Stošić, Zagreb

955. Tvornica čokolade „Kraš“ u Zagrebu nekome n