GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ALGEBRA

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES Y TRAZADO DE

CURVAS EN COORDENADAS POLARES

• Distancia entre dos puntos • Valor de las funciones

trigonométricas de ángulos notables.

Saberes Previos

CASO 1: LEVANTAMIENTOS TOPOGRÁFICOSLas coordenadas polares tienen mucha importancia, por que en tus levantamientos topográficos siempre es una mejor herramienta que las coordenadas cartesianas y, también para una adecuada orientación en el trazo correcto de túneles, los pozos, túneles de las minas etc.

320/04/2023

Las coordenadas polares son interesantes al estudiar fenómenos relacionado con distancias y ángulos .

Veamos a enumerar algunos:

CASO 2: EN LA NAVEGACIÓN

Ecuaciones de curvas: las coordenadas polares simplifican la ecuación de ciertas curvas.

Navegación marítima: como la navegación marítima se basa en ángulos y distancias la utilización de las coordenadas polares simplifica mucho los cálculos necesarios para realizar dicha actividad.

OBJETIVOSAl finalizar la clase el alumno será capaz de:

1. Ubicar un punto en coordenadas polares y sus representaciones

equivalentes.

2. Hallar la representación cartesiana de un punto en coordenadas polares y

viceversa.

3. Transformar una ecuación rectangular a una ecuación en coordenadas

polares y viceversa.

4. Graficar una curva en coordenadas polares, utilizando un cuadro de

tabulación o mediante el empleo de curvas básicas.

SISTEMA DE COORDENADAS POLARES

NOCIÓN:

Este sistema consiste en señalar un punto “O” (origen) y a partir de él se traza un rayo horizontal denominado línea inicial o eje polar. Luego para ubicar un punto “P” en el plano se traza un segmento que une el punto “P” con el punto “O” formándose así entre el segmento “PO” y el rayo un ángulo “Ө” medido en sentido antihorario. A la longitud “r”, del segmento “PO”, y la mediada de dicho ángulo “Ө” se les conoce como coordenadas polares del punto “P”.

EJE POLAR

r = DISTA

NCIA ENTRE “P” Y

“O”

“O” origen

“P” punto cualquiera

Ө

REPRESENTACION GRÁFICA DE LAS COORDENADAS

POLARES

Luego: P=(r , Ө)

Ubicar el punto P1 = (3,5π/3) en el sistema de coordenadas polares.

Ejemplo:

P1

Además se puede expresar en las formas (-3,2π/3) o (3,- π/3).

SOLUCIÓN

a) b)

Ө= π/6

Ө= π

PLANO POLAR

P1

P2

P3

P4

En el papel coordenado polar se ha trazado los siguientes puntos:

P1 = (6, π/4), P2 = (2,3π/4), P3 = (6,7π/6) y P4 = (5,11π/6)

 

Eje polar

EN GENERAL:

Un punto en coordenadas cartesianas presenta infinidad de representaciones en coordenadas polares, es decir P(x,y) se escribe en coordenadas polares como:

donde “n” es un entero. Nosotros emplearemos la representación principal es decir consideramos que el ángulo varia entre 0° y 360°. Es decir: 0°≤ Ө < 360°

REPRESENTACIÓN POLAR DE UNA ECUACIÓN CARTESIANA

Ejemplo: Hallar la representación polar de las siguientes ecuaciones cartesianas

a) b)

GRAFICA DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES

I. LA RECTA1.1 Recta que contiene al Polo.

Su ecuación es:

Ө=ф

Ejemplo: Graficar: Ө=π/4Por inspección deducimos que la grafica es una recta que pasa por el polo con un ángulo de Ө=π/4

1.2 Recta que No contiene al Polo y se encuentran a una distancia “d” del Polo.

Donde: d = distancia del polo a la

recta. ф = ángulo entre la per-

pendicular a la recta y el eje polar.

Ejemplo: Graficar:

Por inspección deducimos que la grafica es una recta que tiene una distancia de 4 unidades del polo y que la perpendicular a la recta tiene un ángulo de π/6 respecto al eje polar

)6

cos(

4

r

II. LA CIRCUNFERENCIA1.1 Con centro en el Polo.

Su ecuación es:

r=a

Ejemplo: Graficar:

Por inspección deducimos que la grafica es una circunferencia con centro en el polo y radio 2.

2r

1.1 Contiene al polo y tiene centro en el punto (a,ф).

Su ecuación es:

2 cos( ) .......(*)r a

Casos que se presentan a partir de la ecuación (*) Casos 1:

Si =0° tenemos r = 2 .cos(θ-0°)=2 .cosθa a Una circunferencia con centro en el punto (a;0) y radio r=a

Casos 2: Si = tenemos r = 2 .cos(θ- )= -2 .cosθa a

Una circunferencia con centro en el punto (-a;0) y radio r=a

Casos 3: Si = tenemos r = 2 .cos(θ- )= 2 .senθ

2 2a a

una circunferencia con centro en el punto (0;a) y radio r=a

Casos 4: 3 3

Si = tenemos r = 2 .cos(θ- )= -2 .senθ2 2

a a

una circunferencia con centro en el punto (0;-a) y radio r=a

III. CÓNICAS

3.1 Con foco en el Polo y la distancia de su recta directriz al polo es “d” .

Se analiza la siguiente ecuación: ),(d),(d lPeFP Se tiene:- 0<e<1 una elipse- e = 1 una parábola- e>1 una hipérbola

),(d),(d lPeFP

)cos(1

eed

r

0 2

23

)cos(1 e

edr

)cos(1 e

edr

)(sen1 e

edr

)(sen1 e

edr

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1”, luego la curva es una parábola con foco el polo y directriz con ecuación cartesiana x=6

)cos(16

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1”, luego la curva es una parábola con foco el polo y directriz con ecuación cartesiana x= -6

)cos(16

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1”, luego la curva es una parábola con foco el polo y directriz con ecuación cartesiana y= 6

)(sen16

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1”, luego la curva es una parábola con foco el polo y directriz con ecuación cartesiana y= -6

)(sen16

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1/2”, luego la curva es una elipse con un foco el polo y el otro en la prolongación del polo.

)(cos21

1

6

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=1/2”, luego la curva es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha.

)(cos21

1

6

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=2”, luego la curva es una hipérbola con un foco el polo y el otro a su derecha.

)(cos216

r

Ejemplo: Graficar:

En este caso “e=2”, luego la curva es una hipérbola con un foco el polo y el otro en la prolongación del eje polar.

)(cos216

r

IV. OTRAS CURVAS

1. CARACOLES

)cos(bar )(bsenar O también

baSi : La figura se llama CARDIOIDE

baSi : La figura se llama CARACOL SIN RIZO

baSi : La figura se llama CARACOL CON RIZO

2. ROSAS

)cos(. nar )(. nsenar O también

pares:Si n Es una rosa de «2n» pétalos

impares:Si n Es una rosa de «n» pétalos

V. TRAZO DE CUALQUIER TIPO DE CURVA

EN COORDENADAS POLARESSe tendrá en cuenta los siguientes pasos: 1. Determinación de las intersecciones con el polo y el eje

a 90° .2. Determinación de la simetría de la curva con respecto al

eje polar, al eje a 90° y al polo.

3. Determinación de la extensión del lugar geométrico.

4. Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener una gráfica adecuada.

5. Trazado de la gráfica.

6. Transformación de la ecuación polar a rectangular.

5.1. INTERSECCIONES:

Se considera lo siguiente:

1. Eje polar: resolver la ecuación para valores del ángulo iguales a 0°, ±180°, ±360° .

2. Eje a 90°: resolver la ecuación para valores del ángulo iguales a ±90° , ±270°.

3. Si existe un valor para el ángulo en donde el radio asuma el valor de cero, la gráfica pasa por el polo.

5.2. SIMETRÍAS:

Se considera el siguiente cuadro:

EJEMPLO Graficar considerando los seis pasos mencionados, la siguiente ecuación polar:

2r =4cos(2θ)

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

N° CÓDIGO AUTOR TITULO EDITORIAL AÑO

1 516.3 OROZ OROZCO MAYREN, GILBERTO

Geometría Analítica: Teoría y Aplicaciones Trillas 2007

2 516.182 ESPI/E

ESPINOZA, RAMOS EDUARDO Geometría Vectorial en R3 2004, s.n. 2004

3 516.32ESPI

ESPINOZA RAMOS, EDUARDO

Geometría Analítica Plana : Teórico-Práctico S.n 2007