S2 Matemática 2 FD 002 Fernandez Teresa Ema

La enseanza de la Teora de Nmeros con TIC

Ecuaciones diofnticas lineales y congruencia

Trabajo Final Seminario II

Autor: Profesora Licenciada Teresa Ema Fernndez

Mdulo: Seminario II

Tutor: Jos Luis Alvarenga

Grupo: Matemtica 2 FD_002

Especializacin Docente de Nivel Superior en Educacin y TIC

Ministerio de Educacin de la Nacin

Instituto Superior de Formacin Docente y Tcnica N 39 Jean Piaget

Julio 2014

Profesora Licenciada Teresa E. Fernndez

1

ndice:

Introduccin: 2

Terminamos! No!....comenzamos... 2

Desarrollo: 3

Cmo empez la historia 3

El porqu de cada eleccin 3

Ecuaciones diofnticas, congruencia y TIC 5

Conclusin 8

Bibliografa 9


2

Introduccin:

Terminamos! No!....comenzamos...

Eso pens y eso siento hoy, al iniciar esta ltima etapa de la especializacin docente de nivel

superior.

Al realizar, hace ya unos aos, mi tesis de licenciatura, culmin la presentacin de la misma en el

coloquio de la defensa, con la frase de C. F. Gauss:

La aritmtica superior nos proporciona un conjunto Inagotable de verdades interesantes; de

verdades ,Que adems no estn aisladas, sino en estrecha Relacin unas con otras, y entre las

cuales, con cada Sucesivo avance de la ciencia, descubrimos nuevos y, a veces, completamente

inesperados puntos de Contacto.

A continuacin, le dije al jurado el trabajo recin empieza, hay mucho por recorrer...

Y hoy me encuentro en ese camino, siguiendo lo ya empezado, pero volcado hacia mis alumnos

del 3 ao del profesorado de matemtica, del I. S. F. D. y T. N 39 de Vicente Lpez.

Les presentar en las pginas siguientes, la secuencia didctica desarrollada sobre dicho tema y

los inicios de su implementacin.

Empezar describiendo el contexto en el cual est inmersa la experiencia, incluyendo las aulas

utilizadas. Luego conocern los motivos en los que se bas mi eleccin, enfatizando en la relacin

de la Teora de Nmeros con las Tecnologas de la Comunicacin.

Atravesarn con su lectura, el camino transitado para el desarrollo de la experiencia educativa, y

las expectativas previas al estreno de la misma. A continuacin podrn deleitarse con algunas

producciones de mis estudiantes, destacndose en ellas la creatividad y el magnfico trabajo

realizado en grupo, como as tambin conocern las herramientas tecnolgicas que se usarn.

Llegando al destino final, encontrarn los beneficios de ensear con TIC, lo imprescindible que

resultan en la educacin semipresencial y como el objeto de conocimiento, Ecuaciones diofnticas

lineales permiten que los alumnos relacionen los conocimientos conceptuales, semiolingsticos y

las reglas que legitiman la actividad matemtica.

Comencemos


3

Desarrollo: Cmo empez la historia

Comenzando el ltimo cuatrimestre de esta Especializacin, me encontr con la oportunidad de

continuar lo que haba comenzado hace bastantes aos. Y de seguir implementado lo ya

empezado, dos aos atrs, con respecto a la introduccin de TIC en el aula, mediante diversas

actividades, y principalmente inaugurando el dictado completamente a distancia de una de las

materias que dicto en el Instituto 39.

A veces, los educadores nos enfrentamos a la inquietante situacin que produce el desconocer el

proceso a poner en prctica para la inclusin de las TIC en nuestros procesos de enseanza -

aprendizaje pero teniendo en cuenta lo sugerido por Julio Cabero Almenara La denominacin de

nuevas tecnologas de la informacin y la comunicacin es utilizada para referirse a una serie de

nuevos medios como los hipertextos, los multimedia, Internet, la realidad virtual o la televisin por

satlite, vemos que conocemos y utilizamos ms de lo que suponemos

Todo eso y la suerte de ser la profesora de la ctedra Matemtica y su enseanza III, del 3 ao

de los alumnos del Profesorado de Matemtica, del Instituto N 39, Jean Piaget, de la localidad de

Vicente Lpez , provincia de Buenos Aires. Conforman un grupo reducido, solamente 8 alumnos.

Esta caracterstica es una constante desde antes de comenzar yo a dictar clases, luego de haber

ganado mi proyecto en la Institucin en el ao 2009, y an no lo hemos podido revertir.

Aun siendo pequeo el grupo, los estudiantes son muy participativos y expresan constantemente

su afn por aprender. Son muy solcitos y comprometidos con la tarea. Les coment el proyecto al

cual estaba abocada, y mi resolucin de aplicarlo en el grupo, y accedieron inmediatamente. Su

expectativa super todas mis previsiones, por lo cual me fue posible comenzar a implementarlo

durante la segunda quincena de junio.

El aula virtual se encuentra en www.edusindistancia.com.ar, sitio perteneciente a la Universidad

Nacional de San Juan. El mismo es una plataforma educativa construida en Moodle, versin 2.5.

Adems del aula de Matemtica y Su Enseanza, tambin administro el aula de Metodologa de la

Investigacin, y la de un curso sobre Topologa. Es un sistema muy amigable y maleable,

aceptando todo tipo de archivo: imagen, video, audio, texto, etc.

El porqu de cada eleccin

La utilizacin del aula virtual nos permite a los alumnos y a m, sentirnos ms cerca, ms

comunicados, ms aun teniendo en cuenta que la materia se dicta los das viernes de 20:30 hs a


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22:30 hs. Este cuatrimestre coincidieron muchos feriados en esos das, con la consecuente

prdida de clases, a las cuales debo sumarle los das destinados a mesas de exmenes, y otras

circunstancias. Todas estas contrariedades pasaron prcticamente inadvertidas, pues una de las

caractersticas y ventajas de las TIC, es que pueden ser usadas en cualquier lugar, momento y

situacin, demostrando con ello su gran utilidad a nuestra tarea docente. Adems, de usar los

elementos tecnolgicos, es preciso que stos sean acompaados y ejecutados por nuestras ideas

y acciones, siendo la finalidad ofrecer a los alumnos las facilidades para un aprendizaje efectivo,

por medios de enseanzas alternativas, permitindonos nuevas y variadas formas de acceder,

transmitir y compartir la informacin. En una sociedad en red la alfabetizacin es una habilidad

social, no slo una competencia individual. Comprender cmo circula la informacin es tan

importante como saber expresar las ideas a travs de palabras, sonidos o imgenes. 1

La secuencia didctica la realic en torno a las Ecuaciones diofnticas y la congruencia en

enteros. La teora de las ecuaciones diofnticas ha llegado con el tiempo a contarse entre las ms

bellas y difciles reas de las matemticas; tanto es as que el gran matemtico y fsico Gauss

lleg a decir que la Matemtica es la reina de las ciencias y la Aritmtica (llamada modernamente

Teora de Nmeros) es la reina de las matemticas.

Una de las caractersticas de la teora de nmeros es la facilidad con que surgen gran cantidad de

problemas muchos de los cuales pueden ser abordados, en principio, sin necesitar grandes

requisitos para su resolucin. Otra caracterstica importante, es que en ella se basa la estructura

originaria de las TIC, al ser producto de la ingeniera, que se basa en la matemtica discreta para

su desarrollo.

Desde siempre hemos usado la aritmtica modular, sin advertirlo, incluso con las clases de

congruencia en enteros, siendo esta la base de la era digital. Todos estos, son temas muy

elementales, pero lamentablemente ignorados por muchos, en particular maestros e incluso

profesores de Matemtica (al menos esa es, hasta este momento, mi experiencia). Esta situacin

priva a los futuros docentes de dos elementos fundamentales para su tarea:

1. El conocimiento de una rama de la Matemtica de gran valor educativo.

2. Un poderoso elemento motivador para realizar el esfuerzo y trabajo que implica el aprender

Matemtica.

Como se proclama en Proyecto de mejora para la formacin inicial de profesores para el nivel

secundario ...en el mbito de la aritmtica la construccin de nuevos objetos matemticos como

la congruencia que en tanto relacin de equivalencia definida en Z permite establecer

1 (Jenkins,H, 2010: 53)


5

importantes relaciones entre las ecuaciones algebraicas y la divisibilidad. En otras palabras la

nocin de congruencia es emergente de un cambio en el pensamiento matemtico, ms all de las

nuevas tcnicas y resultados tericos que tambin se logran crear y demostrar en este mbito de

la Matemtica, transformndose en uno de los objetos esenciales en los que se basa el proceso de

algebrizacin de la Aritmtica. Es indudable que esto justifica sin ambigedad la necesidad de su

incorporacin como otro de los elementos que ayudan a transitar, al futuro profesor de Matemtica,

el camino de la comprensin de la ciencia que debe ensear.

Todo lo enunciado fundamenta mi trabajo sobre el tema elegido y la forma de impartirlo.

Ecuaciones diofnticas, congruencia y TIC

Ya tena mi idea! Ahora empezaba mi problema, realizar la secuencia didctica.

Profesora desde hace mucho no recordaba realizar una secuencia tan detallada, con futuras

respuestas, futuras objeciones, de mis alumnos. Soy de la poca de los planes de clases con

objetivos que empezaban as: Que los alumnos.etc., etc.

y enumeraba el tema a impartir, con un par de preguntas que a realizar a mis potenciales alumnos,

siendo el libro de texto elegido la gua. Y los alumnos, se supona, aceptaran todo tal cual!

Retir todos esos recuerdos de mi mente, e hice de cuenta, que era mi primera vez, en estas

cuestiones. Y tan mal no me fue!

Pueden leerla, haciendo clic en el siguiente link:

http://www.slideshare.net/terfer/secuencia-didctica-ecuaciones-diofnticascongruencias

Al comenzar a trabajar en mi secuencia didctica, no estaba segura si poda implementarla antes

de terminar la Especializacin. Hoy, puedo contarles los primeros pasos de esa implementacin.

El comienzo de la secuencia, result dificultoso, ya que estaba centrada en el objeto de saber,

Ecuaciones Diofnticas, bien desde el punto de vista matemtico, habiendo dejado de lado la

didctica de la enseanza. Al centrarme en la ella, fue fluyendo la escritura.

Comienzo la misma con el afn de que mis alumnos se empaparan de ese tema, para m,

fundamental, por lo cual los anim a investigar, y a producir, lo que podramos llamar material

didctico, porque deberan luego compartirlo con sus compaeros.

De este proceso surgieron trabajos muy buenos, y algunos muy creativos, tal como pueden

observar, si visitan el hipervnculo.

La propuesta fue muy bien recibida por los estudiantes, pues ellos aspiran a ampliar sus

conocimientos matemticos, descubriendo las distintas relaciones que poseen. Este primer paso

de la secuencia, arroj esos resultados, ya que los trabajos realizados por los alumnos, excedieron

lo pedido, resultando de un contenido terico apropiado por ellos.


6

La siguiente etapa la centr en el trabajo colaborativo, ya que los recursos tecnolgicos deben

integrarse siempre para enriquecer nuestra clase, para agregarle un valor significativo, y no como

decoracin vistosa de nuestra propuesta didctica, basndome en el modelo TPACK y los TAC y

TEP y en la faceta de interactividad y participacin2 exigidas en esta poca, como as tambin

continu con la utilizacin de la tecnologa, ms que nunca, al servicio de la enseanza. Esta

forma de aprendizaje, ubicuo3, nos permite acortar distancias y salvar tiempos, que tantas veces

juegan en contra de nosotros mismos.

Les ped a mis alumnos que compartieran las presentaciones realizadas con sus investigaciones

en un mural interactivo, actividad que recin est comenzando. Esta es una actividad privilegiada

para la creacin y el desarrollo de proyectos en pequeos grupos. Los alumnos deben

organizarse para llevar adelante el proyecto estableciendo un plan de trabajo en el que tengan en

cuenta las distintas etapas del proyecto, los tiempos, los recursos materiales y la distribucin de

funciones. La enseanza poderosa mira en perspectiva, es decir, promueve la innovacin y el

cambio. Este rasgo plantea la necesidad de concebir el conocimiento como constructo en

permanente movimiento y desarrollo. En este sentido, las aplicaciones digitales contribuyen a la

nocin de conocimiento flexible y en transformacin....se piensa, se crea, se inventa, se

concibe, se formula, se disea para grupos de alumnos particulares4

La expansin de las TIC ha impactado en diferentes mbitos de actuacin a nivel: geopoltico,

social y educativo, entre otros. En la actualidad, con la expansin creciente de Internet y de los

telfonos mviles, estn apareciendo unos nuevos modelos de comunicacin ms

individualizados, flexibles, interactivos y participativos. Todo ello ha reforzado, el cambio en los

procesos educativos y de trabajo. Tuve en cuenta todo eso para la redaccin de las actividades, ya

que al tratarse de estudiantes de superior, pueden manejar mejor la informacin y el trabajo

individual, inclusive el hecho de hacer una puesta en comn online. A la vez, que es una prctica

con miras al prximo ao, ya que su trabajo final, lo realizamos exclusivamente en el aula virtual.

La implementacin de mi secuencia lleg a este punto solamente. Lo siguiente a realizar, ser

trabajar con mis estudiantes en la clase presencial, una serie de problemas vinculados a la

utilizacin de las ecuaciones diofnticas en su resolucin. Decid comenzar con una serie de

problemas, a pesar de que en mi secuencia previa, utilizo una serie de ejercicios, porque a raz de

los diferentes trabajos realizados por los alumnos, resultar de mucho mejor aprovechamiento

para su aprendizaje. Segn Mabel Panizza y Jean Philippe Drouhard5 Uno de los aspectos de la

complejidad de la adquisicin del conocimiento matemtica reside en gran medida en la diversidad

2 (Dussell, 2012, 183-213)

3 Cope y Kalantzis (2009)

4 (Maggio, 2012:54).

5 (Investigaciones y aportes, 2010:9)


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de conocimientos que confluyen en una actividad matemtica. Poder pensar organizadamente en

su naturaleza y en sus relaciones posibles o necesarias se revela fundamentalmente para la

didctica Fundamento en esto mi decisin, y en el convencimiento de que por medio sta, la

resolucin no se tornar un obstculo didctico, en la medida de que no se confundan estas

ecuaciones con el objeto funcin lineal.

En cuanto a lo pedaggico-didctico trabajo desde la perspectiva de las estrategias activas de

enseanza, donde se destaca la centralidad del alumno y el trabajo con el contenido de un modo

altamente comprometido y activo por parte de ste. No se trata slo de apropiarse de manera

acrtica y acumulativa de los saberes sino de actuar con y sobre ellos. Se tiende a facilitar el

enfoque profundo del aprendizaje y no superficial para lo cual resulta necesario enriquecer la

enseanza. Los estudiantes avanzados son futuros profesionales que debern enfrentar mltiples

situaciones complejas que no siempre se desprenden de las lecturas de los libros disciplinares. Al

disear las actividades, pens en que la construccin de las respuestas ptimas para enfrentar

dichas situaciones requeriran a su vez de prctica y de reflexin sobre la accin, por lo tanto una

parte de las mismas sern realizadas en la clase presencial, trabajando en un solo grupo,

discutiendo cada planteamiento. Desde los postulados del aprendizaje basado en problemas

dise las acciones y proyectos que contribuyan al desarrollo del futuro profesional.

Es importante tambin el hecho de que deben trabajar en lpiz y papel, con tcnicas de tanteo, en

la resolucin de las distintas ecuaciones y problemas planteados, ya que generar un ambiente

participativo en el aula, pudiendo desarrollarse planteos de tipo aritmtico o algebraico. Asimismo

contarn con herramientas tecnolgicas como la calculadora simblica online Math Wiris, un sitio

preparado para ello, y un software que les proveer, compatible con sus netbooks, sobre

Divisibilidad, aprovechando al mximo la inclusin y desarrollo proporcionado por las TIC, para,

por ejemplo, la contrastacin de los resultados como para su evaluacin continua.

Sumado a lo anterior, prioric el hecho de que las ecuaciones diofnticas lineales, pueden

considerarse como el eslabn faltante entre aritmtica y lgebra: aritmticas por ser diofnticas y

algebraicas por ser ecuaciones. Por otro lado, el estudio de este objeto da cuenta de las relaciones

entre los conocimientos conceptuales, semiolingsticos e instrumentales y las reglas que legitiman

la actividad matemtica, especialmente las formas de validacin, lo que puede asociarse a

diferentes momentos del proceso educativo en el nivel superior. Como as mismo, su estudio nos

deja ver el paso de la aritmtica al lgebra, como una continuidad, y en todo caso como rupturas

parciales, y no una gran grieta epistemolgica, ya que en ellas es necesario el uso del lgebra en

los momentos en que la aritmtica resulta insuficiente, como herramienta de prueba y de

resolucin, como productora de conocimientos sobre lo numrico.


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Conclusin Al trabajar con ABP (aprendizaje basado en problemas) las ecuaciones diofnticas lineales y la

congruencia en enteros, permitirn trabajar con varias variables, segn el contexto del problema o

con infinitas soluciones, fuera del contexto, constituyendo esto una posible comunicacin entre la

aritmtica y el lgebra, que los alumnos descubrirn interactuando con las distintas formas

provistas de resolucin, ya sea tradicional o mediante TIC.

Resulta de suma importancia la puesta en comn, ya que generar una discusin colectiva,

fundamental para el desarrollo de toda la secuencia planteada. Al trabajar de esa manera, los

ubico en una posicin reflexiva en cuanto a sus producciones, como tambin se puede abordar por

un lado, lo general y por el otro lado, se llega a sistematizar condiciones impuestas, vinculadas al

teorema presentado al final de la secuencia, sobre las soluciones de las Ecuaciones, estimulando

su gusto por la matemtica y su decisin de ser docentes de la materia.

Al implementar esta secuencia, mis preguntas eran demasiadas, y an no he llegado a

respondrmelas. Resumo las mismas en la siguiente contribuir con este trabajo en la formacin

de mis alumnos e incentivar en ellos para que utilicen TIC en sus clases?

Por el lado matemtico, creo que s, que siendo profesores en formacin y con la seguridad de que

seguirn perfeccionndose, el tema introducido es un camino a desarrollar por ellos, para el cual

he intentado brindar herramientas para acompaarlos. En relacin a las Tic, hasta el momento de

esta narrativa, mis alumnos demuestran un muy buen manejo y conocimiento, y sumo inters en

como poder seguir aplicndolas y confo en lograr un aprendizaje que lleve a diferentes niveles de

conocimiento, en una espiral virtuosa, mejorando da a da, ensendoles a ser sujetos autnomos

y responsables de su propio aprendizaje. Tal como afirman Harris y Hofer (2009) la integracin

satisfactoria de la tecnologa se basa en el contenido curricular y en los procesos de aprendizaje

relacionados con el contenido y en el uso inteligente de las tecnologas educativas.

Evidentemente, el desarrollo de las TIC y su entrada triunfal en la enseanza, debemos sostenerla

por toda la riqueza que nos brindan en relacin a nuestra actividad, por la importancia que ellas

tienen ya no solo en la educacin, sino en la vida misma.

Por ltimo, es importante tener en cuenta nuestro compromiso docente, tomando conciencia de las

decisiones que tomamos al plantear nuestras tareas, ya que no resultan inocuas ni irrelevantes,

destacando las palabras de Paulo Freire: Tenemos que recordar que la historia no empieza ni

termina con nosotros. Creo que es necesario ser ms humildes en relacin a nuestra tarea

histrica individual. [] Si humildemente s que soy uno entre miles, que la historia no se acaba

con mi muerte o mi generacin, sino que sigue, entonces comprender que lo mnimo que pueda

hacer siempre resultar til.


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1. P-5,6

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