A

C. MENERAPKAN KONSEP M A T R I K S1. Pengertian Matriks

Dalam kehidupan sehari-hari sering kita dapatkan sekumpulan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom. Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut.

Jenis Kelamin

KelasPutraPutriJumlah

II Ak 1281543

II Ak 2321042

Jumlah602585

Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks.

Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa , kurung siku , atau kurung bergaris dua .

Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut

Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada.

Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya.

Contoh :

A =

Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo ditulis atau .

Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut.

2. Hubungan Matriks Dengan Matriks.

Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B

Contoh :

A = dan B =

Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu

Definisi:

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika :

a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama

b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama.

2. Macam-Macam Matriks

1. Matriks Baris

Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris

Contoh : A =

2. Matriks Kolom

Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom

Contoh : A =

3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar

Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah

baris = jumlah kolom Contoh : A = , jumlah baris = jumlah kolom

4. Matriks Nol

Matriks Nol adalah Suatu matriks yang setiap unsurnya 0 berordo ,ditulis

dengan huruf O.

Contoh : =

5. Matriks Segi Tiga

Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau

diatas diagonal utama semuanya 0 .

Contoh : C = , D =

Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.

6. Matriks Diagonal

Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali

unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol.

Contoh : E =

7. Matriks Skalar

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya

sama.

Contoh : F =

8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan

Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada

diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.

Contoh : I3 = , I4 =

I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4

9. Matriks Simetris

Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j

sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga .

Contoh : G =

Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9.

10. Matriks Mendatar

Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom .

Contoh :

EMBED Equation.311. Matriks Tegak

Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom.

Contoh : =

12. Matriks Transpos ( notasi At )

Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama

matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga=

elemen baris ketiga matriks A.

Misal Matriks A =

Maka Transpos A adalah At =

Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3

Sifat-sifat matriks transpos

1) ( A + B )t = At + Bt 2) ( At )t = A

3) ( AB )t = Bt At

3. Operasi Matriks

1. Penjumlahan dan Pengurangan 2 Matriks.

Dua matriks dapat dijumlahkan atau dikurangkan jika ordonya sama.

Misal ordo matriks A = 2 x 3 dan ordo matriks B = 2 x 3, maka keduanya dapat

dijumlahkan atau dikurangkan.

Contoh : Jika A = dan B =

Maka A + B = =

A B = =

Beberapa sifat yang berlaku pada penjumlahan matriks

1) A + B = B = A ( Sifat Komutatif)

2) (A + B) + C = A + ( B + C) (Sifat Asosiatif)

3) A + 0 = 0 + A = A (Sifat Identitas tambah)

2. Perkalian Bilangan Real dengan Matriks

Jika A suatu ordo m n dan k suatu bilangan real (disebut juga sutu skalar), maka kA

adalah metriks ordo m n yang unsur-unsurnya diperoleh dengan memperkalikan setiap

unsur matriks A dengan k. Perkalian seperti ini disebut perkalian skalar.

Jadi, jika A, maka: kA

Contoh : Misal A = maka 3A = 3 =

Sifat-sifat perkalian matriks dengan bilangan real.

Jika a dan b bilangan real, maka :

1) ( a + b )A = aA + bA

2) a ( A + B ) = aA + aB

3) a( bA ) = (ab)A

3. Perkalian Matriks dengan Matriks (Perkalian 2 Matriks)

Matriks A yang berordo mp dangan suatu matriks B yang berordo pn adalah matriks C

yang berordo mn.

A mp.B pn = C mn.

Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :

Banyaknya kolom pada matriks A harus sama dengan banyaknya baris pada matriks B.

Jika hal ini tidak dipenuhi, maka hasil kali matriks tidak didefinisikan.

Secara umum jika A = ordo matriks 2 3

B = ordo matriks 3 2

C = A . B

= ordo matriks 2 2

Dimana

EMBED Equation.3

Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad bc

4.Menentukan Determinan dan Invers

1). Determinan Matriks Persegi Berordo 2

Matriks A =

Hasil kali elemen-elemen diagonal utama dikurangi hasil kali elemen-elemen diagonal

samping disebut determinan matriks A.

Notasi determinan matriks A adalah atau det A = ad bc

Contoh : Jika A = maka det A =

= ( 1)(4) (2)(-3)

= 4 +6

= 10

2). Determinan Matriks Persegi Berordo 3

Matriks A =

Cara menentukan det A sebagai berikut :

Cara 1 : det A =

=

Cara 2 : menggunakan aturan Saurrus

det A =

- - - + + +

=

3). Invers Matriks Bujur Sangkar

Jika A dan B matriks ordo nxn, maka B adalah invers matriks A atau B adalah invers dari matriks A dan hanya jika AB = BA = I, I adalah matriks identitas.

Contoh : Misal A = dan B =

Maka BA =

EMBED Equation.3 = = I

Dengan demikian, B adalah invers dari A, di tulis B = A-1.Oleh karena BA = I dan B = A-1

maka A-1A = I

Jika A = maka invers A (ditulis A-1)

dan dirumuskan

Harga (ad bc) disebut determinan dari matriks A atau det A.

Matriks mempunyai invers jika dan hanya jika (ad bc) 0.

Jika (ad bc) = 0 maka matriks tidak mempunyai invers.Matriks yang

determinannya = 0, dinamakan matriks Singular. . Penyelesaian Persamaan Linier Dengan Matriks

1). Penyelesaian Persamaan Linier dua variabel dengan cara determinan

Untuk menyelesaikan persamaan linier dua variabel yang bentuknya seperti berikut

Diubah dalam susunan bilangan sebagai berikut dan diberi notasi D , Dx dan Dy dengan

D = =

Dx = =

Dy = =

Kemudian x dan y dapat ditentukan dengan dan

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Kolom Kolom Kolom

Ke-1 Ke-2 Ke-3

EMBED Equation.3baris ke-1 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3baris ke-2

_1250421990.unknown

_1250422006.unknown

_1250422022.unknown

_1250422030.unknown

_1250422038.unknown

_1250422043.unknown

_1250422047.unknown

_1250422049.unknown

_1250422051.unknown

_1250422053.unknown

_1250422054.unknown

_1250422052.unknown

_1250422050.unknown

_1250422048.unknown

_1250422045.unknown

_1250422046.unknown

_1250422044.unknown

_1250422040.unknown

_1250422042.unknown

_1250422039.unknown

_1250422034.unknown

_1250422036.unknown

_1250422037.unknown

_1250422035.unknown

_1250422032.unknown

_1250422033.unknown

_1250422031.unknown

_1250422026.unknown

_1250422028.unknown

_1250422029.unknown

_1250422027.unknown

_1250422024.unknown

_1250422025.unknown

_1250422023.unknown

_1250422014.unknown

_1250422018.unknown

_1250422020.unknown

_1250422021.unknown

_1250422019.unknown

_1250422016.unknown

_1250422017.unknown

_1250422015.unknown

_1250422010.unknown

_1250422012.unknown

_1250422013.unknown

_1250422011.unknown

_1250422008.unknown

_1250422009.unknown

_1250422007.unknown

_1250421998.unknown

_1250422002.unknown

_1250422004.unknown

_1250422005.unknown

_1250422003.unknown

_1250422000.unknown

_1250422001.unknown

_1250421999.unknown

_1250421994.unknown

_1250421996.unknown

_1250421997.unknown

_1250421995.unknown

_1250421992.unknown

_1250421993.unknown

_1250421991.unknown

_1250421974.unknown

_1250421982.unknown

_1250421986.unknown

_1250421988.unknown

_1250421989.unknown

_1250421987.unknown

_1250421984.unknown

_1250421985.unknown

_1250421983.unknown

_1250421978.unknown

_1250421980.unknown

_1250421981.unknown

_1250421979.unknown

_1250421976.unknown

_1250421977.unknown

_1250421975.unknown

_1250421965.unknown

_1250421969.unknown

_1250421972.unknown

_1250421973.unknown

_1250421970.unknown

_1250421967.unknown

_1250421968.unknown

_1250421966.unknown

_1250421949.unknown

_1250421961.unknown

_1250421963.unknown

_1250421964.unknown

_1250421962.unknown

_1250421959.unknown

_1250421960.unknown

_1250421954.unknown

_1250421955.unknown

_1250421953.unknown

_1250421947.unknown

_1250421948.unknown

_1250421946.unknown