Rubenviteznik20502114 (t3)
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Universidad Fermín Toro
Sistema de Aprendizaje Interactivo A Distancia
Cabudare-Estado Lara
TRABAJO NRO 3
Participante.
Rubén Viteznik
V-20.502.114
Algebra Lineal
SAIA “B”.
Asignación de Álgebra Lineal
1. Considere el espacio vectorial . Determinar si los siguientes
conjuntos son subespacios vectoriales de .
a) .
b)
Solución
a) Determinaremos que es: (i) no vacío, (ii) cerrado bajo la adición
usual y (iii) cerrado bajo el producto de un escalar y un vector
usual. Es fácil verificar (i), en efecto ya que
ciertamente satisface la ecuación y por tanto
es no vacío.Probamos (ii) y (iii) del siguiente modo; supongamos que
e están en y sea un
escalar arbitrario, queremos ver que también está en .
Esto es fácil, pues si entonces es claro que:
Luego, y por lo tanto:
De manera que satisface la ecuación y en consecuencia
que es lo que queríamos demostrar. Luego es un
subespacio de .
b) Nuevamente, como en el ejercicio anterior, verificamos las 3
condiciones. En primer lugar, es fácil ver que es no vacío, basta
con hacer lo que claramente implica que
.
Ahora bien. Supongamos que
y sea un escalar arbitrario. Probaremos que . En
efecto, si entonces existe números reales tales
que . Análogamente, existen números
tales que . Entonces:
Por lo tanto, tomando y vemos
que el vector lo que finalmente demuestra que es un
subespacio de .
2. Dé un ejemplo de un subconjunto de matrices reales cuadradas
que contenga al vector nulo, que sea cerrado bajo la suma
pero que no sea un subespacio vectorial de .
Solución
Denotemos por al subconjunto de todas las matrices con
entradas de números racionales. Es fácil ver que este subconjunto es no vacío, pues la matriz nula (aquella cuyas entradas es el 0, es decir,
para cada ) está en . Asimismo, si consideramos
la suma usual de matrices, vemos que dada dos matrices
entonces y donde y son números racionales para
todo , y por tanto ya que y
para cada es un número racional. Luego es cerrado
bajo la adición usual. Pero este subconjunto no puede ser un subespacio
vectorial, ya que si entonces donde es la
matriz dada por para cada y no es un número
racional. Este argumento demuestra que, dado un vector ,
existe por lo menos un escalar (en este caso o cualquier
número irracional) de manera que y por tanto no
puede ser cerrado bajo la multiplicación de un vector por un escalar.
3. Encuentre los valores de para los cuales son linealmente
dependientes los siguientes conjuntos
a)
b)
Solución
Recordemos que dado dos vectores de un espacio vectorial; es fácil
demostrar que son linealmente dependientes si y solo si son paralelos,
es decir, existe un número real tal que . Entonces:
a) Supongamos que existe un número real tal que .
Por tanto
De aquí vemos que la primera ecuación nos dice que estos
vectores son paralelos si y solo si . Mientras la segunda
ecuación nos sugiere hacer .
b) Nuevamente, supongamos que existe un número tal que
Esto implica que
Resolviendo la primera ecuación, tenemos que .
Sustituyéndola en la segunda ecuación y despejando , finalmente
se tiene:
Luego:
Es el único valor que hace que los vectores sean linealmente dependientes.