Robot millennium 16.5

ROBOT MILLENNIUM v 16.5 – MANUALUL UTILIZATORULUI Actualizare, noiembrie 2003

ANEXE

Web: www.altiscad.ro e-mail : [email protected] Serviciul tehnic: [email protected]

285

mailto:[email protected]


ANEXA 1

Conversia încărcărilor în mase

Observaţii introductive:În marea majoritate a cazurilor, încărcările sunt datorate gravitaţiei (maselor). Calculele dinamice necesită luarea în considerare a acestor mase. Pentru a permite utilizatorului o uşoară conversie a încărcărilor statice (încărcărilor produse de gravitaţie) în mase, în analizorul de fişier text, a fost introdusă comanda specială „MASses ACTive”.Aceasta permite utilizatorilor definirea încărcării, mai întâi pentru a realiza analize statice şi apoi pentru a crea o masă distribuită pe modelul de calcul al structurii, în vederea efectuării de analize dinamice.Pentru a efectua cu succes conversia, comanda necesită două elemente. Mai întâi, setarea direcţiilor pe care vor fi active masele. În mod uzual, vor fi utilizate toate direcţiile globale (X,Y, Z); doar în cazuri particulare forţele de inerţie se vor manifesta doar pe o parte dintre acestea. Cel de al doilea element este magnitudinea inerţiei, care este definită de către numărul cazului de încărcare şi direcţia încărcărilor, care vor trebui luate în considerare în timpul conversiei. Suplimentar, se poate preciza un coeficient de multiplicare a valorii încărcării.La conversia în mase caracterul unei încărcări va fi menţinut în mod automat; astfel, forţele concentrate sunt transformate în mase concentrate, momentele – în forţe de inerţie rotaţionale, forţele distribuite – în mase continue.

Sintaxa:ANA [ DYN | MOD | TRAN | HAR | SEIsmic | SPEctral ].,( se referă la toate tipurile de analiză)CASe (#<număr> <nume>)MASess ACTive [X/Y/Z][X|Y|Z ] (MINus|PLus) <lista_cazurilor> COEfficient=<c>

OBSERVAŢIE: Sintaxa anterioară a fost introdusă doar doar în fişierul text (este ştearsă din fişierul de date după salvările succesive din program).

Principii generale:Fie r = r(x) o funcţie de distribuţie a densităţii pe un element dat, în timp ce N(x) este matricea funcţiilor de interpolare (matricea funcţiilor de formă). Matricea maselor unui element ce va fi creată, va avea forma generală din formula (1.1):

eT

e dxNActDirxxNM

e

r (1.1)

unde:

activeisdirectionglobaltheiwhen

inactiveisdirectionglobaltheiwhenActDir i ,1

,0

00

00

00

3

2

1

,

Activarea direcţiilor de acţiune se efectuează prin MASess ACTive [X/Y/Z]; o direcţie va fi activă atunci când este specificată. Aceasta este o consecinţă a stilului ROBOT de tratare a maselor, prin care -în timpul analizei- pot fi neglijate anumite componente ale forţelor de inerţie.Matricea maselor va fi creată din toate încărcările, ce aparţin tuturor cazurilor specificate în <lista_cazurilor> şi care îşi manifestă acţiunea pe elementul/nodul curent, în concordanţă cu următoarele reguli:Fiecare încărcare din cazul specificat va fi convertită în mase în mod separat, independent de celelalte încărcări şi mase. Trebuie avut în vedere faptul că în listă pot să apară numai cazuri simple


286



de încărcare (nu şi combinaţii!) şi că –în cazul unui caz dinamic de încărcare- lista cazurilor statice poate fi furnizată pentru conversia în mase.Matricea totală a maselor va fi creată ca şi sumă a matricelor pentru toate componentele anterioare şi a maselor predefinite, datorate încărcării permanente de pe structură şi/sau a maselor elementelor specificate. Astfel, o parte a matricii maselor ce provin din încărcări va fi supusă diagonalizării sau/şi neglijarea momentelor de inerţie la torsiune va fi specificată prin setarea CON|LUM, ROT.Valoarea funcţiei densitate dintr-un punct dat este obţinută ca şi valoare a proiecţiei vectorului forţă curent f, pe vectorul n al unei direcţii globale specificate în mod unic şi obligatoriu.

Z

Y

X

1,0,0

0,1,0

0,0,1

)|]{||[

if

if

if

vPLusMOinsZYX T

xfvx T r̂(1.2)

În fiecare punct de integrare vor fi luate în considerare numai valorile pozitive, astfel

cxx *ˆ,0max rr (1.3)

OBSERVAŢIE: Regulile de mai sus au fost introduse pentru o selectare cât mai uşoară a încărcărilor provenite din gravitaţie. Deoarece nu există o direcţie predefinită de acţiune a gravitaţiei (definită din oficiu), specificarea trebuie făcută de către utilizator.

Trebuie ca direcţiile selectate pentru conversia încărcărilor în mase să fie compatibile cu tipul de structură; pentru structurile de plăci se poate defini doar direcţia Z, iar pentru celelalte tipuri de structuri doar X şi Y. În cazul furnizării unor direcţii incompatibile cu tipul de structură, acestea vor fi ignorate sau se va raporta o eroare. Structurile de tip tridimensional acceptă precizarea oricărei direcţii globale.

Examplu:Să considerăm o grindă simplu rezemată, încărcată la mijlocul deschiderii de către forţa gravitaţională Fy=-120kN. Să atribuim cazului de acţiune statică numărul 3. Pentru a calcula modurile de vibraţie liberă ale structurii într-un caz notat ca fiind 10, luând în considerare masa corespunzătoare forţei (Fx=Fy= 12 232 kg), putem utiliza următoarea comandă:ANA MOD=3 MAS=CON CAS #10 modalMASses ACTive X YY MINus 3

Detalii de conversie pentru diferite tipuri de încărcări

Încărcări pe elemente de tip bară

încărcare distribuită uniform pe element[Px=<px.>/Py=<py>/Pz=<pz>] (LOCal/GLObal) (PROjected) ([R=<r>])([R=<r>])Vectorul încărcării este proiectat în sistemul global prin setarea:(LOCal/GLObal) (PROjected) ([R=<r>]), luând în considerare (PROjected) ca şi în cazul încărcărilor, astfel că distribuţia uniformă a maselor va fi făcută în concordanţă cu (1.2) (1.3) încărcare permanentă.Încărcarea permanentă este convertită în mase în mod echivalent unei încărcări uniforme.


287



OBSERVAŢIE: Această operaţie trebuie să fie realizată cu grijă, pentru că o încărcare permanentă a structurii este luată în considerare în mod automat la o analiză dinamică a structurii (atunci când desitatea are o valoare mai mare decât 0).

încărcare variabilă pe element(X=<x1>)[ P=<p1>] ((JUSque)(X =<x2>)[P=<p2>] ) (R=<r>) (LOCal/GLObal) (RELative) (PROjected)încărcarea este transpusă în sistemul global printr-o setare de tipul:(LOCal/GLObal) (PROjected) ([R=<r>])setându-se o distribuţie uniformă a maselor, în concordanţă cu (1.2)(1.3).

OBSERVAŢIE: Regula (3) implică următoarea tratare a semnului variabilei încărcare, pentru fiecare înscriere (componentă) a încărcării separat (nu pentru încărcarea totală ce reprezintă suma tuturor încărcărilor ce acţionează pe elementul dat), aşa cum se prezintă în Fig. 1.1.

- ignored

+ valid

Fig.1.1

forţe concentrate pe element[X=<x>] [F=<f>](R=<r>) (Local)(RELative) Masa totală concentrată m dintr-un punct x0 este evaluată din reprezentarea globală a vectorului forţă f, astfel:

m = max( 0, nT f ) * | c | (1.4)

Apoi va putea fi evaluată matricea maselor, o reprezentarea a distibuţiei maselor printr-o funcţie delta a lui Dirac, conducând la:

Me = NT (x0) m [ ActDir ] N(x0) (1.5)

moment concentrat pe element[X=<x>] [F=<fc>] (R=<r>) (LOCal)(RELative) Deoarece specificarea direcţiilor nu cuprinde şi direcţiile inerţiei rotaţionale, va trebui să definim reguli separate pentru stabilirea modului de realizare a conversiei momentelor concentrate pe element în inerţie rotaţională a anumitui corp ataşat elementului.Transformarea vectorului <fc> este realizată în concordanţă cu setările (R=<r>) (LOCal) pentru a obţine un vector raportat la sistemul de coordonate local al elementului. Pentru a omite necesitatea transformării inconsistente a vectorului, încărcarea trebuie să fie furnizată ca LOCal şi nu R=<r>, în caz contrar apărând o atenţionare.Se presupune că axele de coordonate locale ale elementului coincid cu axele principale de inerţie ale corpului, astfel că IT = [ IXLoc, IYLoc, IZLoc ] reprezintă momentele principale de inerţie în coordonatele locale ale elementului. De aici rezultă următoarele limitări:


288



Situaţia corectă

Situaţie incorectă, modelare imposibilă

Fig.1.2moment distribuit pe element[M=<m>] (LOCal)În această definiţie, <m> este un vector, care, după stilul transformării vectoriale a sistemului de coordonate al elementului, reprezintă densităţile inerţiilor rotaţionale faţă de axele locale, exprimate pe unitatea de lungime.Toate notaţiile întâlnite în cazul momentelor concentrate (vezi Fig. 1.2), se păstrează.

Încări ce acţionează pe elemente de suprafaţă

încărcare distribuită uniform[Px=<px.>/Py=<py>/Pz=<pz>]Se evaluează vectorul densitate a încărcării, care este apoi transformat în densitate a masei, în concordanţă cu (1.2)(1.3).

încărcare permanentăÎncărcarea permanentă este convetită într-o încărcare uniformă echivalentă, ce va fi tratată după descrierea de mai sus.

OBSERVAŢIE: Această operaţie trebuie să fie realizată cu grijă, pentru că o încărcare permanentă a structurii este luată în considerare în mod automat la o analiză dinamică a structurii (atunci când desitatea are o valoare mai mare decât 0).

încărcare variabilă pe element[P=<p1>] AU <n1>( [P=<p2>AU<n2> ([P=<p3> AU<n3>))În fiecare punct se va evalua densitatea încărcării, transformând-o apoi în desitate a masei, în concordanţă cu (1.2), (1.3), vezi Fig. (1.1). Se utilizează regulile integrării avansate, cu NGAUS= 3x3 for Q8,

= 7 for T6, = 2x2 for Q4= 3 for T3


289



încărcare variabilă în interiorul unui contur[P=<p1>] AU <n1>( [P=<p2>AU<n2> ([P=<p3> AU<n3>)) PROjected DIRection <v> _

CONtour <l_node>Se evaluează densitatea încărcării în fiecare punct de integrare, transformându-se apoi în densitate a masei, în concordanţă cu (1.2), (1.3), vezi Fig.(1.1). În cazul în care în contur nu este cuprinsă toată aria elementului, se va realiza o integrare complet automată, având o reţea de 100x100 puncte de integrare, pentru a asigura acurateţea integrării. Ca urmare, această opţiune poate încetini uneori procesul de evaluare a maselor.

încărcare variabilă de-a lungul unei liniiLIN <n1>[P=<p1>] Jusque <n2> (P=<p2>) ( [LOCal (GAMma=<gamma>)] )Vor putea fi convertite în mase distribuite de-a lungul unei linii doar forţe translaţionale.Se vor utiliza regulile de integrare Gauss cu 3 puncte de integrare pe fiecare segment de pe element. La fiecare integrare, vectorul densitate a încărcării este transformat în sistemul global de coordonate, fiind apoi tratat în concordanţă cu (1.2)(1.3) pentru evaluarea distribuţiei masei de-a lungul liniei.

încărcare concentrată în nod ajutătorNODe (auxiliar) F=<f> ( [R=<r>] )Vor putea fi convertite în mase doar forţe translaţionale (nefiind posibilă transformarea momentelor de pe elemente în inerţie rotaţională). Vectorul forţă <f> este transformat în sistemul global (dacă acest lucru este necesar), fiind apoi tratat conform (1.2), (1.3), pentru evaluarea valorilor masei ataşate unui punct de pe element, pentru a evalua apoi matricea maselor utilizând (1.5). Elementul căruia îi va fi ataşată masa va fi căutat în mod automat.

Forţe nodaleForţe concentrateNODe F=<f> ( [R=<r>] )Pentru evaluarea masei nodale din nod vectorul forţă <f> este tratat conform (1.2), (1.3).

Moment concentratNODe F=<c> ( [R=<r>] )Deoarece specificarea direcţiilor nu cuprinde şi direcţiile inerţiei rotaţionale, vor trebui stabilite reguli separate de realizare a conversiei momentelor nodale concentrate în inerţie rotaţională a unui corp ataşat unui nod.Transformarea vectorului <fc> este realizată în concordanţă cu setarea (R=<r>), pentru a obţine un vector I raportat la sistemul de coordonate global. Pentru a omite necesitatea transformării inconsistente a vectorului, încărcarea trebuie să fie furnizată ca LOCal şi nu R=<r>, altfel, apărând o atenţionare.Se presupune că axele de coordonate globale coincid cu axele principale de inerţie ale corpului, astfel

că ZLocYLocXLocT IIII ,, reprezintă momentele principale de inerţie în coordonatele globale.

OBSERVAŢIE: Această regulă este diferită atunci când este utilizată în cazul unei mase concentrate ataşate unui element de tip bară.


290



ANEXA 2

Noi elemente de tip bară (Analiza neliniară în programul Robot)

Notaţii utilizate:E – modulul de elasticitate longitudinală (modulul lui Young)G - modulul de elasticitate transversalăn - coeficientul contracţiei transversale (coeficientul lui Poisson)fd – limita de elasticitateAx – aria secţiunii transversaleIx – momentul de inerţie la torsiuneIy – momentul de inerţie axial – corespunzător încovoierii în planul XZIz - momentul de inerţie axial – corespunzător încovoierii în planul YZ ky, kz – coeficienţii de corecţie ai rigidităţii la forfecare pe direcţiile Y şi ZL – lungimea barei.

1. Observaţii preliminare şi ipoteze Pentru elementele de tip bară (grindă) au fost adoptate următoare principii:Formulare uniformă pentru structurile 2D şi 3D (cadre 2D şi 3D, structuri de bare articulate)Element uniform ce permite modelarea neliniarităţii de material şi/sau a celei geometriceÎn cele două noduri extreme - grade de libertate deplasări standardizate

Este permisă utilizarea următoarelor abordări:- deformaţii de lunecare incluse (modelul lui Timoshenko)- secţiune transversală variabilă – numai pentru neliniaritatea geometrică - modelul Winkler pentru soluri.Sunt disponibile două tipuri de neliniaritate geometrică: Neliniaritate (teoria de ordinul al doilea)P-DELTA – cea mai plină de acurateţe teorie posibilă – săgeţi şi rotiri mari (abordare incrementală cu actualizare geometrică - Updated Lagrange Description = Descriere Lagrange Actualizată)În cazul ipotezei deplasărilor reduse şi a neliniarităţii fizice, la limită, rezultatele sunt identice cu cele obţinute pentru elementele liniare standardÎn analize în care se iau în considerare neliniarităţi de material, se va aplica modelul stratificat şi principiul constitutiv tensiune-deformaţie corespunzător relaţiei tensiune uniaxială-deformaţie la nivelul punctului (stratului) căruia i se aplicăStarea de forfecare şi de torsiune sunt tratate ca fiind liniar elastice şi independente faţă de eforturile axiale şi momentele încovoietoare de pe secţiunea curentăRelaxările şi articulaţiile neliniare pot fi definite doar ca elemente DSCSunt disponibile toate tipurile de încărcări ale elementelor (identice cu cele ale elementelor standard). Totuşi, se admite faptul că forţele nodale ce acţionează pe o structură sunt determinate la începutul procesului (astfel că modificările survenite în transferul încărcărilor elementului în noduri determinate de neliniarităţi geometrice sau de material sunt ignorate).Pe lângă elementul elasto-plastic, este posibilă şi generarea articulaţiilor plastice în secţiunea transversală selectată, ca o extensie a opţiunii “articulaţii neliniare” (vezi punctul 5)


291



2. Geometrie, aproximarea deplasărilor şi a deformaţiilor

Geometrie, convenţii de semn pentru eforturi, deplasări, tensiuni şi deformaţii

Relaţii cinematice de bază

În sistemul de referinţă local al elementului, în domeniul geometric liniar, deformaţiile generalizate E de la nivelul secţiunii transversale sunt următoarele (simbolul indică derivarea după variabila x):

unde: Deformaţia specifică liniară pe direcţia axei barei:

Curburile:

Unghiurile medii (deformaţii):

Unghiul de torsiune unitar:

Aproximarea deplasărilor

În vederea posibilităţii de a considera influenţa forfecării şi consistenţa rezultatelor obţinute pentru elementul liniar, au fost utilizate aşa-numitele funcţii de formă fizice, ce au implementată influenţa forfecării.


292



Bare 2D:

Funcţiile de formă şi derivatele lor au expresiile prezentate mai jos:

unde:

pentru planele XY şi, respectiv, XZ.

Relaţii cinematice în notaţie matriceală (teoria geometric liniară)

În general, când se consideră influenţa deformaţiilor impuse

Increment al deformaţiilor generalizate (secţionale):


293



, T – matricea de transformare global local

2D:

2

1

106958473

6543

21

,,0,,0,,0,,0

00,00,

uu

ε

xxxx

xxxx

xx

y

z

ox

hhhhhhhhhhhh

hh

3D:

unde:

Deformaţii într-un punct (strat)

Pe baza deformaţiilor generalizate dintr-o secţiune transversală, deformaţiile sau

incrementele acestora , într-un punct oarecare “l” al secţiunii transversale, de coordonate yl, zl, se vor calcula astfel:

astfel că incrementul deformaţiilor în strat este:

3. Tensiuni şi eforturi într-un element

Legi constitutive la nivelul punctului


294



Acestea sunt adoptate sub o formă incrementală, în care tensiunile curente sunt definite ca

funcţii de tensiuni ale ultimei poziţii de echilibru şi ale incrementului curent al deformaţiilor, cu

deformaţii (termice) impuse,

bazate pe funcţia = f() ce descrie relaţia din procesul încărcării active şi pe specificarea modului de încărcare şi de descărcare. În particular, acesta poate fi modelul elasto-plastic cu consolidare liniară şi modul de decărcare indicat, adică (a) elastic, (b) plastic, (c) cu degradare, (d) mixt. Pentru descărcarea elastică, procesul pasiv şi activ se derulează după aceeaşi formulă = f(). Pentru celelalte, această descărcare se realizează pe liniile drepte definite de către punctul iniţial al procesului de descărcare şi de modulul de descărcare , definit ca:

.

este o deformaţie memorată, pentru care s-a lansat procesul activ curent, iniţializat după trecerea

prin 0 a tensiunilor, în timpul descărcării ( ).Pentru a realiza analiza, este necesar să se definească rigiditatea curentă, ca fiind valoarea următoarei derivate:

Calculul eforturilor şi al rigidităţii secţiunii transversale

Vectorul eforturilor (“rezultantele tensiunilor”) de la nivelul secţiunii, va avea următoarea componenţă:

Stările produse de forţa tăietoare şi momentul de torsiune la nivelul secţiunii transversale, sunt tratate ca fiind corespunzătoare domeniului elastic liniar şi independente de stările produse de către efortul axial şi momentul încovoietor.


295



În abordarea unui material stratificat, stările de compresiune/întindere sunt tratate –în general- ca fiind conjugate. Atâta timp cât se rămâne în domeniul elastic, adică atâta timp cât deformaţiile generalizate verifică condiţia corespunzătoare acestei stări:

,

unde:

,

secţiunea transversală este tratată ca fiind elastică şi abordarea de material stratificat nu este activată.

De îndată ce se întâlneşte o violare a stării corespunzătoare domeniului elastic, tensiunile produse de către efortul axial şi de către momentul încovoietor vor fi determinate pe fiecare strat în parte; ele vor reprezenta valorile de bază în obţinerea eforturilor secţionale

Rigiditatea D de la nivelul secţiunii transversale se calculează astfel:În stadiul elastic:

D = diag {EA, EIy, EIz, KyGA, kzGA, GIx)

După depăşirea stadiului elastic:

unde:

Vectorul forţelor nodale şi matricea de rigiditate a elementului


296



Se vor obţine prin utilizarea formulelor clasice de aplicare a cuadraturii Gauss (Ngauss=3).

4. Neliniarităţi geometrice

Vor fi luate în considerare următoarele configuraţii:

- configuraţia iniţială

- configuraţia de referinţă (ultima pentru care sunt satisfăcute ecuaţiile de echilibru)

- configuraţia curentă (iterată)

Punctul de plecare în formularea elementului finit este Principiul Lucrului Mecanic Virtual, exprimat sub forma următoare, corespunzătoare incrementelor deplasare:

unde: incrementul deformaţie la deplasarea lui în , e, constituind componentele sale: liniară şi respectiv neliniară în raport cu incrementul deplasării u, în care este o tensiune ce corespunde configuraţiei de referinţă, iar Cijkl este tensorul modulilor de elasticitate tangenţi.

Opţiunea Neliniaritate

Corespunde formulării neliniare, adică teoriei de ordinul al doilea. De îndată ce este posibilă apariţia comportamentului neliniar al materialului, se va introduce formularea incrementală, însă fără modificarea geometriei elementului.

Relaţii cinematice

Incrementele deformaţiilor în notaţie matriceală:

unde:

gradientul incrementului deplasărilor g = u


297



unde

este o matrice de selectare.

Vectorul forţelor nodale şi matricea de rigiditate a elementului

Algoritmul de la nivelul elementului

Geometria elementului nu este modificată; transformarea local-global este realizată prin utilizarea matricei de transformare iniţiale

,

calculul deformaţiilor generalizate calculul tensiunilor (eforturilor)

matricea de rigiditate

Opţiunea P-DELTA

Este o variantă de descriere a barelor ce acceptă deplasările mari. Se aplică abordarea prin descriere Lagrange actualizată.

Vectorul forţelor nodale şi matricea de rigiditate elementală


298



Algoritmul de la nivelul elementului Modificarea geometriei elementului, transformarea local-global prin utilizarea matricilor de transformare curente

,

calculul deformaţiilor generalizate, calculul tensiunilor (eforturilor) în concordanţă cu punctul 3

, matricea de rigiditate a tensiunilor pentru tensiunile curente

modificarea geometriei

lungimea actualizată a elementului

unghiurile lui Euler, definite în mod identic cu cele ale elementului de

coordonate ,

matricea de transformare a unghiurilor

Transformarea în sistemul global

La atingerea echilibrului pentru un increment dat, datele ce descriu geometria elementului sunt suprascrise:


299



5. Articulaţii elasto-plastice

Ca şi variantă de abordare, poate fi modelat lucrul elasto-plastic al structurii, prin introducerea articulaţiilor neliniare în secţiunea transversală a barelor selectate. Caracteristicile articulaţiei, reprezentate printr-un element DSC cu 2 noduri, sunt definite prin aplicarea algoritmului de analiză a secţiunii transversale descris la punctul 3, admiţând că rolul deformaţiilor generalizate E este jucat de către deplasările mutuale ale nodurilor (în raport cu direcţiile locale ale barei), împărţite la lungimea adoptată (fictivă) a elementului (L), egală cu înălţimea minimă a secţiunii transversale, ce acţionează ca volum al elementului dV=L.Forţele şi deplasările nodurilor nou generate ale elementului DSC constituie gradele de libertate globale; cu alte cuvinte, ele nu vor fi condensate.

Algoritmul la nivelul elementului- calculul deformaţiilor generalizate într-o secţiune transversală

- calculul eforturilor (“rezultantele” tensiunilor) şi a rigidităţii secţiunii transversale, în concordanţă cu 3.2

- calculul eforturilor (reacţiuni pe capete de bară) şi a rigidităţii elementului DSC

unde:


300



ANEXA 3

Fundamentul teoretic al metodelor dinamice implementate în programul “ROBOT Millennium”

METODE DE ANALIZĂ DINAMICĂÎN “ROBOT Millennium”

SCURTĂ INTRODUCERE PRIVINDIDEILE DE BAZĂ ŞI ALGORITMII

Introducere

Acest document reprezintă o descriere a metodelor de analiză dinamică aplicate în programul Robot Millennium. Detaliile fundamentării teoretice şi exemplele sunt incluse în anexe pentru a simplifica prima lectură. Acest document nu este un manual al utilizatorului şi nu este destinat familiarizării utilizatorului cu detaliile interfeţei Robot, ci îşi doreşte să expună ideile de bază ale acestui program.Majoritatea metodelor dinamice din Robot Millennium se bazează pe rezultatele analizei modale. Este necesar să se înţeleagă faptul că metodele de analiză modală depind de tipul de rezolvare selectat. Pentru rezolvitorul “skyline” sunt disponibile următoarele metode de rezolvare: metoda iterării pe blocuri a subspaţiilor (block subspace iteration (BLSI) method), metoda iterării pe subspaţii (subspace iteration (SI) methodi), metoda Lanczos şi metoda reducerii de bază. Metodele disponibile pentru rezolvitorul direct rarii include include: metoda iterării pe blocuri a subspaţiilor (block subspace iteration (BLSI) method), metoda Lanczos şi metoda reducerii de bază. Pentru rezolvatorul iterativ

i Metoda SI a fost dezvoltată în Robot ca o primă metodă de rezolvare a unei probleme algebrice de valori proprii. O astfel de metodă este lentă; în locul acesteia, se recomandă călduros utilizarea a metodei BLSI sau a metodei Lanczos.


301



sunt disponibile următoarele metode: metoda Lanczos modificată (pseudo mod - vezi 3.5 şi anexele 3A, 3B), metoda gradientului Ritz (Ritz-gradient (PCG_Ritz) method) şi metoda gradientului conjugat precondiţionat (preconditioned conjugate gradient (PCG) method). Rezolvitorul direct “sparse” (Sparse direct solver (SPDS)) reprezintă o formă particulară de eliminare Gauss. Aplicarea unei astfel de metode este călduros recomandată pentru analizele de dimensiuni medii şi mari (10 000 - 200 000 de ecuaţii)iii, fiind o bună alternativă la rezolvitorul iterativ.

3.1. Metode de analiză modală

Analiza modală are la bază două abordări. Analiza problemei de valori proprii

k = 1,2,…,N (3.1)

este legată de definirea valorilor proprii şi a vectorilor proprii . Aceasta reprezintă prima dintre

abordări, care este familiară inginerilor. Cea de a doua abordare constă în generarea vectorilor de bază

(3.2)

şi căutarea aproximărilor Ritz , (k=1,2,….,N), bazându-se pe o idee similară metodei “Vectori

Ritz dependenţi de încărcări”, ce a fost propusă de către E.L. Wilson [1, 3] şi aplicată în programul de analiză structurală SAP2000. Această abordare este aplicată pentru analize seismice şi reprezintă o metodă puternică, utilă în cazul unor dificultăţi de obţinere a procentului necesar (suficient) de participare a maselor (vezi paragraful 3.5).În acest paragraf vor fi expuse metodele analizei modale (prima abordare), care sunt legate de definirea valorilor proprii

şi ale vectorilor proprii .

Atunci când se selectează rezolvitori direcţi (“skyline” sau SPDS), se utilizează metoda iterării pe blocuri a subspaţiilor (block subspace iteration (BLSI) method), metoda iterării pe subspaţii (subspace iteration (SI) methodiv), metoda ortogonalizării selective Lanczos şi metoda reducerii de bază (vezi anexa 3A). Metoda iterării pe subspaţii este –în mod obişnuit- lentă. De aceea, pentru problemele de dimensiuni medii şi –în special- la cele de dimensiuni mari, se recomandă aplicarea metodei BLSI sau a metodei Lanczos. Metoda reducerii de bază se poate dovedi foarte expeditivă pentru un inginer experimentat; totuşi, necesită informaţii adiţionale asupra nodurilor de bază şi a direcţiilor de bază.Metoda gradientului conjugat precondiţionat (preconditioned conjugate gradient (PCG) method) este utilizată în cazul primei abordări, putând fi eficientă atunci când se selectează un rezolvitor iterativ. Abordarea poate fi foarte eficientă atunci când se va calcula un număr redus de moduri proprii (până la 5). Va trebui utilizată mai degrabă pentru analize de vânt decât pentru analize seismice. Poate fi utilizată şi la estimarea modului propriu inferior, în cazul problemelor foarte mari. Cea de a doua abordare (realizată prin analiză modală “Pseudo mod”) este prezentată în paragraful 3.5.

Metoda iterării pe blocuri a subspaţiilor (block subspace iteration (BLSI) method), [1,3] este mai generală decât metoda Lanczos, deoarece permite implementarea tuturor tipurilor de matrice ale maselor (vezi paragraful 3.2) şi este capabilă să analizeze structuri separate. Iterările într-un bloc de dimensiune constantă, cu excluderea imediată a vectorilor convergenţi şi adăugarea unora de start noi, asigură calcule mai rapide faţă de metodele de iterare pe subspaţii [1-3]. Pentru obţinerea unui

ii Rezolvitorul direct “sparse” implică următoarele limitări: verificarea secvenţei; opţiunea “Limită superioară”; accelerările prin salt în timpul BLSI nu sunt disponibile. O valoare proprie ce lipseşte poate fi parţial controlată prin utilizarea metodei BLSI.Metoda nu este disponibilă pentru analiza modală cu recunoaşterea forţelor statice. iii În versiunea curentă, pentru problemele mici, când toate matricele pot fi alocate în RAM fără o depozitare de tip bloc-cu-bloc, tehnica este mai rapidă, deoarece procedura uzuală de efectuare a produsului matrice-vector este mai rapidă decât procedura EBE din tehnica SPDS. Situaţia este diferită în cazul în care dimensiunile matricelor nu permit alocarea completă a matricelor în RAM – tehnica SPDS fiind cu mult mai rapidă. Acest dezavantaj al tehnicii SPDF pentru problemele mici va fi eliminat în versiunea următoare.

iv Metoda SI a fost dezvoltată în Robot ca o primă metodă de rezolvare a unei probleme algebrice de valori proprii. O astfel de metodă este lentă; în locul acesteia se recomandă călduros utilizarea metodei BLSI sau a metodei Lanczos.


302



număr mare de valori şi vectori proprii (între 100 – 200), pot fi aplicate doar metoda Lanczos, sau BLSI.

Metoda iterării pe subspaţii (subspace iteration method (SI)), poate fi utilizată pentru analize cu toate tipurile de matrice ale maselor [4] şi pentru analize ale structurilor separate; totuşi, în cazul unui număr mare de moduri necesare (aproximativ N > 10), ea este mare consumatoare de timp calculator, în special pentru problemele mari.

Metoda Lanczos [12,16,17] este o metodă puternică, ce permite obţinerea unui număr mare de valori şi vectori proprii (N ~ 20 – 500 şi chiar mai mult). Deşi este preferabilă pentru problemele mari, ea implică următoarele limitări:

Nu permite analiza structurilor separate;

Matricea maselor trebuie să fie de tip “bloc” sau “consistentă”;

Este imposibilă neglijarea densităţii materialului (pentru înlăturarea acestui neajuns fiind suficientă însă definirea unei densităţi “fictive” reduse).

Metoda reducerii de bază [5] este cunoscută ca şi metoda Rayleigh-Ritz îmbunătăţită [4] sau ca metoda Bubnov-Galerkin pentru sisteme discrete. Acest algoritm permite obţinerea unor valori aproximative pentru primele câteva valori şi vectori proprii, în cazul în care utilizatorul are câteva informaţii referitoare la acestea. În vederea obţinerii sistemului redus, metoda necesită desemnarea unui grad de libertate principal (master degree of freedom (MDOF)). Utilizatorul poate controla astfel procesul de creare a acestui model redus. Acest fapt reprezintă o unealtă deosebit de puternică şi de utilă pentru utilizatorii cu o anumită experienţă în analiza dinamică a structurilor, în momentul lucrului cu tipuri de structură deja întâlnite, a căror comportare este cunoscută. Metoda permite excluderea gradelor de libertate nedorite din modelul redus şi reducând astfel problema complexă iniţială cu număr mare de grade de libertate, la o formă redusă, cu un număr de grade de libertate redus în mod considerabil. Experienţa privind analiza dinamică a structurilor demonstrează că utilizatorul poate întâmpina unele dificultăţi atunci când “metodele automate de reducere” (considerarea metodelor BLSI, SI şi Lanczos) conduc la un proces de calcul foarte complicat. De exemplu, modurile de vibraţie ale barelor izolate pot conduce la probleme serioase pentru aceste metode, deoarece în procesul de calcul se caută valori şi vectori proprii fără nici o selectare. Trebuie notat faptul că pentru majoritatea cazurilor, în structurile reale, aceste vibraţii locale vor fi restricţionate prin anumite constrângeri, ce nu sunt luate în considerare în modelul element finit, deoarece contribuţia lor la comportarea de ansamblu a structurii este neesenţială. În cazurile comune, procentul acestor mase cu vibraţii locale este foarte mic. În asemenea cazuri, utilizarea metodelor “exacte” va conduce la dificultăţile menţionate mai sus, astfel că implementarea metodei aproximative a reducerii de bază poate simplifica considerabil procesul de calcul.

Metoda gradientului conjugat precondiţionat (PCG) [9-13] este disponibilă pentru rezolvitorul iterativ. Aplicarea acestei metode este recomandată în cazul obţinerii unui număr mic de valori şi vectori proprii, în cazul unei probleme mari. În cazul în care este necesară determinarea unui număr mare de moduri în timpul unei analize seismice sau spectrale şi se selectează un rezolvitor iterativ, se recomandă implementarea metodei Pseudo-modurilor (vezi 3.5) şi a metodei Lanczos sau a celei PCG-Ritz .

Metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz) [8] este disponibilă pentru rezolvitor iterativ în pseudo-mod. Permite obţinerea unei soluţii aproximative, pe baza vectorilor Ritz. Este o metodă foarte rapidă pentru analize seismice şi spectrale de dimensiuni medii (10 000 – 100 000 de ecuaţii).

Metoda Lanczos modificată reprezintă o extensie a metodei Lanczos pentru cazul aplicării rezolvitorului iterativ. Acţionează ca o metodă Lanczos uzuală în pseudo-mod, Totuşi, diferă de această metodă-în cazul rezolvitorilor direcţi- prin faptul că nu necesită factorizarea matricii de rigiditate. În schimb, sunt implementate principiile metodei gradientului precondiţionat. Această abordare este cea mai robustă dintre toate metodele dinamice ale rezolvitorului iterativ, deşi întotdeauna pare a fi cea mai rapidă.


303



Detalii privind metodele dinamice sunt prezentate în Anexa 3A.

3.2. Tipuri de matrice ale maselor

În analizele dinamice pot fi aplicate următoarele matrice ale maselor: “De tip bloc, fără rotiri”, “De tip bloc, cu rotiri” şi “Consistentă”. Matricele “De tip bloc, fără rotiri” şi “De tip bloc, cu rotiri” sunt matrice diagonale. Aceste tipuri de matrice ale maselor necesită efort de calcul minim.Matricea de tip „Consistentă” apare atunci când utilizatorul doreşte să considere un sistem cu parametri distribuiţi. Adesea se consideră că o matrice consistentă a maselor descrie mai exact proprietăţile inerţiale ale unei structuri mai exact decât una de tip bloc. Totuşi, în cele mai multe cazuri, acestea din urmă oferă o bună aproximare, din moment ce este evident faptul că parametrii inerţiali pot fi calculaţi cu o mai mică precizie decât cei de rigiditate. Aceasta, deoarece energia cinetică este descrisă de deplasările structurii, în timp ce energia potenţială este exprimată în funcţie de derivatele parţiale spaţiale ale acestora. Este bine cunoscut faptul că erorile aproximării cresc considerabil în timpul fiecărei deferenţieri [4]. Astfel, pentru obiecte continue (solide, plăci curbe, plăci plane) este posibilă aproximarea parametrilor maselor cu o precizie mai mică decât a celor ai rigidităţii, pentru o aceeaşi reţea.În mod uzual, pentru bare se folosesc ca funcţii de formă polinoame Hermite. Acestea reprezintă soluţia exactă pentru majoritatea problemelor dinamice, atunci când se consideră matrice ale maselor de tip bloc. Totuşi, soluţiile exacte ale problemelor dinamice ale unei bare cu mase distribuite aparţin clasei de funcţii Krâlov (o combinaţie specială de funcţii hiperbolice şi trigonometrice). În asemenea caz, la utilizarea simultană a polinoamelor Hermite şi a unei matrice a maselor consistente, este permisă prezentarea aproximativă a parametrilor rigidităţii. (Trebuie să remarcăm că, de fapt, nu este indicat să se utilizeze tipuri diferite de funcţii de formă pentru problemele statice şi cele dinamice). De aceea, pentru majoritatea cazurilor nu este un mare beneficiu să se complice modelul dinamic prin utilizarea parametrilor de mase distribuite, în timp ce aproximarea soluţiei cu mase consistente conduce către soluţia exactă pentru un model aproximat (mase concentrate).Mai mult chiar, masele proprii ale elementelor de tip bară ale structurii (grinzi, stâlpi, etc.) sunt neglijabile în comparaţie cu masele pereţilor şi acoperişului (încărcare permanentă), care se iau în considerare la utilizarea unei tehnici de conversie a încărcărilor permanente în mase. Astfel de mase nestructurale reduc –în mod obişnuit- efectele maselor distribuite ale elementelor.Din ceea ce s-a discutat mai sus, rezultă următoarea concluzie: pentru majoritatea cazurilor întâlnite în practica proiectării, o matrice de tip bloc a matricei maselor asigură o suficient de bună aproximare a proprietăţilor inerţiale ale structurii. Trebuie reamintit faptul că, la analizarea unei probleme de dimensiuni mari, utilizarea unei matrice consistente va necesita un efort de calcul considerabil şi, de aceea, va trebui ca alegerea unui astfel de tip de matrice să fie justificat.Admitem că matricea maselor trebuie să fie “Consistentă” în cazul în care –în modelul de calcul- se utilizează legături rigide.În cazul utilizării unui rezolvitor direct sau iterativ, pentru calcularea unui produs matrice-vector se va utiliza tehnica element-cu-element (element-by-element (EBE)). Aceasta înseamnă că o matrice consistentă nu poate fi asamblată niciodată; totuşi, operaţiile sunt realizate numai la nivelul elementului. Pentru rezolvitor “skyliner”, o matrice consistentă este asamblată în acelaşi mod ca matricea de rigiditate. Pentru probleme mici (cel mult ~3000 de ecuaţii) tehnica “skyliner” este mai rapidă; totuşi, devine mare consumatoare de timp în cazul în care dimensiunile problemei cresc.

Este posibilă utilizarea maselor concentrate (maselor suplimentare) şi convertirea încărcărilor statice în mase.La selectarea metodei Lanczos, a metodei gradientului Ritz sau a celei Lanczos modificate (rezolvitor iterativ), sunt disponibile doar matrice ale maselor “De tip bloc, cu rotiri” şi “Consistentă”.

3.3. “Limite superioare”

Este posibilă calcularea tuturor valorilor proprii şi ale modurilor proprii care nu depăşesc o valoare definită de către utilizator şi care este tratată ca “limită superioară”. La activarea acesteia, programul

Robot va căuta , unde este “limita superioară”. Algoritmul funcţionează în doi

paşi. În primul este efectuată verificarea Sturm, ce stabileşte numărul de valori proprii (“n”) care nu


304



depăşesc “limita superioară”. În cel de-al doilea, algoritmul generează valorile proprii şi vectorii proprii pentru cele n cazuri. În cazul efectuării de analize cu opţiunea “limite superioare” activată, se recomandă utilizarea metodei Lanczos şi a metodei BLSI, deoarece – în mod obişnuit - este necesară obţinerea unui număr mare de valori.În cazul activării criteriului “Limite superioare”, este ignorat cel al procentului de participare a maselor (vezi paragraful 3.4).Spre exemplu, o astfel de problemă poate să apară în cazul efectuării unei analize conforme codului seismic francez PS-92, caz în care vor fi luate în considerare toate frecvenţele mai mici de 33Hz.

3.4. Procent de participare a maselor

Este posibilă activarea criteriului de procent de participare a maselor, care –pentru fiecare din moduri (k=1,2,…,N)- este definit ca:

,

unde , este factorul de participare al maselor pentru modul propriu k, este

vectorul translaţiei unitare în direcţia (dir = X,Y,Z), este masa totală în direcţia dir,

este al k-lea mod propriu, .

Procentul de participare a maselor pentru direcţia dir este egală cu M%dir . Acesta

defineşte contribuţia tuturor modurilor implicate în mişcarea structurii pe acea direcţie.Dacă se alege analiza “Modală” iar procentul de participare a maselor este inferior celui indicat, utilizatorului îi va fi furnizat un mesaj privind nesatisfacerea condiţiei, în timp ce calculele sunt continuate fără vreo corecţie.Pentru a asigura o căutare automată a procentului de participare a maselor, este necesară setarea unei analize “Seismică” sau “Pseudo-mod”. Detalii sunt oferite în paragraful 3.5.

3.5. Moduri de analiză

În acest paragraf va fi făcută o prezentare a următoarelor moduri de analiză dinamică: Modală, Seismică, Pseudo-mod.Câteva din codurile de proiectare antiseismică (UBC-97, codul francez PS-92) solicită ca suma maselor pe fiecare dintre direcţii (sau numai pentru direcţiile orizontale) să fie de cel puţin 90%. Acest lucru poate duce la apariţia unor probleme “dure”, procentul fiind greu de atins datorită micii contribuţii a unui număr mare de moduri inferioare. În mod uzual, această problemă este cauzată de către caracterul local al modurilor inferioare. Modurile “Seismic” şi “Pseudo-mod” sunt create pentru a îmbunătăţi situaţia în aceste probleme dificile. Eficienţa unor asemenea abordări este ilustrată în Anexa 3C. Pentru cele două modele de analiză -în cazul rezolvitorilor direcţi- este disponibilă metoda Lanczos, iar în cazul celor iterativi ai pseudo-modului sunt disponibile metoda Lanczos modificată şi metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz).

1. Modul modal de analizăAcest mod constituie o foarte cunoscută abordare, implementată în versiunile anterioare ale programului Robot.Metode disponibile sunt: metoda iterării pe blocuri a subspaţiilor (BLSI), metoda iterării pe subspaţii (SI), metoda Lanczos şi metoda reducerii de bază pentru rezolvitorii direcţi şi metoda gradientului conjugat precondiţionat (PCG ) pentru un rezolvitor iterativ.


305



Criteriul de convergenţă pentru rezolvitorii direcţi: iteraţiile se opresc atunci când

, unde -este numărul iteraţiei, N – numărul de moduri (precizat de către utilizator). Metoda reducerii de bază nu realizează verificarea convergenţei, deoarece nu este o abordare iterativă, cu toate că este un fel de metodă Ritz. Ca urmare, pentru a îmbunătăţi precizia rezultatelor, necesită o creştere a numărului de grade de libertate principale (de bază).Criteriul de convergenţă în cazul metodei gradientului conjugat precondiţionat (PCG), pentru un rezolvitor iterativ, este:

, unde

Detalii sunt oferite în Anexa 3A.

Limite superioare – reprezintă valorile limită pentru perioadă, frecvenţă şi pulsaţie; dacă acestui parametru i se dă o valoare diferită de 0, vor fi calculate toate perechile de valori proprii de la 0 la valoarea Limită Superioară.%Mase - procentul de participare a maselor (suma maselor pentru toate modurile calculate, în direcţia selectată)Verificarea Sturm reprezintă verificarea perechilor de valori proprii ce au fost omise de la valoarea 0 la parametrul şi constă în contabilizarea elementelor negative de pe diagonala matricii descompuse

Aceasta este o procedură foarte costisitoare pentru problemele mari. Trebuie să remarcăm faptul că pentru analize seismice şi spectrale nu este necesar să avem un spectru continuu de valori proprii. În schimb, trebuie să asigurăm procentul de participare a maselor pe fiecare direcţie. Notăm faptul că implementarea metodei iterării pe blocuri a subspaţiilor (BLSI), permite realizarea unei verificări parţiale a continuităţii spectrului de valori proprii fără efectuarea unei verificări Sturm - vezi descrierea metodei iterării pe blocuri a subspaţiilor (BLSI)

Numărmoduri

Limită sup.

Procent mase %

Comportarea programului

N 0(inactivă)

0(inactiv)

Verificarea Sturm este bifată. Această opţiune asigură faptul că nu se omite vreo frecvenţă din primele N. Ea este disponibilă pentru rezolvitori direcţi, la aplicarea metodelor BLSI, SI sau Lanczos. Nu este disponibilă la aplicarea metodei reducerii de bază şi la aplicarea metodelor rezolvitorilor iterativi. Se definesc primele N moduri proprii. Se realizează verificarea Sturm. Dacă se detectează frecvenţe omise, utilizatorului îi este transmis un mesaj de avertizare ce conţine numărul frecvenţelor omise. Dacă utilizatorul răspunde:

Da, atunci procesul de iterare este continuat până la determinarea numărului de valori proprii omise. Apoi, verificarea Sturm este repetată.

Nu, atunci valorile proprii convergente sunt salvate ca rezultate finale şi se trece la calculul următorului caz.

Abandon, atunci iteraţiile sunt continuate în timp ce toate frecvenţele omise sunt determinate. Avertismentul este ignorat.

Verificarea Sturm este nebifată – ea nu va fi efectuatăN Inactiv

(pentru că e activată Limită Super.)

Ea este disponibilă pentru rezolvitori direcţi, la aplicarea metodelor BLSI, SI sau Lanczos. Nu este disponibilă la aplicarea metodei reducerii de bază şi la aplicarea metodelor rezolvitorilor iterativi.Verificarea Sturm este realizată la lansarea calculelor à se obţin N1 frecvenţe, cuprinse între 0 şi Limita superioară:


306



Dacă (N1 > N), utilizatorul este avertizat în privinţa numărului de frecvenţe N1. Acesta poate răspunde:

Da, ceea ce va înseamna: calculează

Nu, ceea ce va înseamna: oprirea calculelor

Dacă (N1 <= N), calculează fără

nici un avertisment.În ambele cazuri este posibil să se obţină un număr de valori proprii convergente mai mare decât N1, dar în final vor fi

salvate numai dacă: . Celelalte, ce

depăşesc , vor fi pierdute.N Inactivă

(pentru că e activ%mase)

Activ:0< %mase<=100%

Disponibilă pentru toate metodele rezolvitorilor direcţi. Nu este disponibilă pentru rezolvitorii iterativi. Dacă %mase nu este satisfăcător, apare un mesaj relevant. Nu se realizează corecţii. Altfel, calculele se realizează în aceeaşi manieră ca în primul caz.

2. Modul seismic Acesta este disponibil numai pentru rezolvitorii direcţi – “skyline” sau “sparse”.În cazul analizelor seismice şi spectrale, utilizarea valorilor şi vectorilor proprii în ordinea secvenţială nu este importantă, din moment ce vor fi luate/luaţi în considerare numai cele/cei care contribuie în mod considerabil la răspunsul seismic (având un procent de participare a maselor semnificativ). Ca urmare, verificarea Sturm nu va fi efectuată.În general, metoda Lanczos asigură în majoritatea cazurilor convergenţa unui număr de perechi proprii considerabil mai mare decât N perechi aflate în ordine secvenţială crescătoare. Atunci când utilizatorul doreşte să refacă valorile proprii omise, este necesar să seteze un număr de frecvenţe convergente considerebil mai mare decât cele N dorite. De exemplu, în mod curent, metoda Lanczos conduce la următoarele frecvenţe convergente:

Atunci când utilizatorul doreşte perechile proprii în ordine secvenţială, el le va obţine mai întâi pe primele 10. Ultimele 4 perechi sunt doar “aruncate” la întâmplare, la fel ca şi corespondenţa contribuţiei maselor. Esenţa modului “Seismic” propus este de a lua în considerare toate perechile proprii convergente (nu doar primele, în ordinea secvenţială). Acest mod “Seismic” asigură un mai mare procent de participare a maselor decît cel “Modal”.Metode disponibile: metoda Lanczos.

Criteriul de convergenţă: ; este al i-lea vector propriu; în

această versiune, tol=1.0e-02.Limita Superioară este ignorată.Procentul curent de participare a maselor este definit ca valoare medie a M%x, M%y, M%z pentru problemele 3-D şi ca valoare minimă a M%x, M%z pentru problemele 2D (M%x, M%y, M%z reprezintă procentele sumelor maselor pe direcţiile x, y şi, respectiv, z). Această strategie se explică prin faptul că în mod curent este foarte dificil să se asigure un procent suficient de participare a maselor pe direcţie verticală. În rezultatele finale, va putea fi făcută verificarea procentului de participare a maselor pentru fiecare dintre direcţii.

Nr.moduri

Limită superioară

% Mase Comportarea programului

N Inactivă Inactiv(0)

Calculează N perechi proprii, care nu sunt în ordine secvenţială. Nu se efectuează verificarea Sturm. Numărul de


307



perechi proprii convergente este întotdeauna egal cu N. N Inactivă Activ:

0< %mase<=100%

N este ignorat. Calculele continuă, atâta timp cât procentul curent de participare a maselor nu este mai mic decât cel cerut, fie până când utilizatorul răspunde afirmativ la întrebarea dacă doreşte să oprească acest calcul sau până când numărul de perechi proprii atinge atinge numărul disponibil. În versiunea curentă, această valoare internă este setată la 100.După fiecare 20 de paşi Lanczos programul recalculează numărul perechilor proprii convergente şi modifică procentul curent de participare a maselor. Utilizatorul primeşte un mesaj de avertizare privind procentul de participare a maselor ce a fost atins; el poate răspunde acestuia în următoarele trei moduri:

· Da: continuă calculele pentru următorii 20 de paşi Lanczos şi apoi afişează iar mesajul, dacă procentul de participare a maselor nu a fost atins şi numărul de perechi proprii nu îl depăşeşte pe cel disponibil

· NU: salvează perechile proprii convergente ca fiind rezultate finale şi trece la cazul următor

· Abandon: ignoră toate avertismentele viitoare şi continuă calculele.

3. Pseudo-mod.Această opţiune este disponibilă atât pentru rezolvitori direcţi, cât şi pentru cei iterativi.Acest mod este recomandat doar pentru analize seismice şi spectrale, la care modurile “Modal” şi “Seismic” sunt mari consumatoare de timp, deoarece utilizează modurile proprii ca vectori de bază pentru prezentarea răspunsului seismic şi este posibil ca, pentru anumite probleme mai deosebite, să fie necesar un număr foarte mare de moduri proprii care să asigure un procent suficient de participare a maselor. Pseudo-modul înlătură această idee şi generează aproximări Ritz pentru perechile proprii cele mai reduse, prin utilizarea vectorilor Lanczos – în cazul rezolvitorilor direcţi, sau prin utilizarea metodei gradientului Ritz [8] şi a metodei Lanczos modificate – în cazul rezolvitorilor iterativi. În majoritatea cazurilor, acesta este un mod de operare mai eficient, deoarece este necesar un număr mai redus de vectori de bază decât în cazul modului “Modal”, fapt ce a fost demonstrat de către E.L.Wilson [1-3]. Acest “Pseudo-mod” este similar metodei “Vectori Ritz dependenţi de încărcări”, propusă în [1-3] şi aplicată în SAP2000. Trebuie notat faptul că, în vederea creşterii procentului de participare a maselor, în codul francez PS-92, se admite aplicarea abordărilor fundamentate ştiinţific de a adăuga câteva sisteme de vectori de bază la modurile proprii existente. Detalii asupra abordării “Pseudo-mod” sunt oferite în Anexele 3B şi, respectiv, 3C. Limita Superioară este ignorată.Procentul curent de participare a maselor este definit ca valoare medie a M%x, M%y, M%z pentru problemele 3-D şi ca valoare minimă a M%x, M%z pentru problemele 2D (M%x, M%y, M%z reprezintă procentele sumelor maselor pe direcţiile x, y şi, respectiv, z). Această strategie se explică prin faptul că în mod curent este foarte dificil să se asigure un procent suficient de participare a maselor pe direcţie verticală. În rezultatele finale, va putea fi făcută verificarea procentului de participare a maselor pentru fiecare dintre direcţii.

Nr.moduri

Limită Superioară

%Mase Comportarea programului

N Inactivă Inactiv(0)

Disponibil atât pentru rezolvitori direcţi, cât şi pentru cei iterativi.Generează N vectori de bază, pentru definirea subspaţiului “de lucru”. Salvează N vectori de bază pentru a-I utiliza la analize seismice şi spectrale. Se recomandă acest regim.

N Inactivă Activ:0< %mase<=

Este disponibil doar pentru rezolvitori direcţi.Generează N vectori de bază, pentru definirea subspaţiului “de lucru”. Salvează vectorii de bază care satisfac condiţia privind %mase. Numărul vectorilor de bază salvaţi este mai


308



100% mic decât N, dacă %mase <100%.

3.6. Analize spectrale

Metoda Răspunsului Spectral este aplicată în cazul analizelor seismice şi spectrale. Ideea de bază a aceste metode constă în descompunerea unei structuri cu multiple grade de libertate într-un sistem de oscilatori cu un singur grad de libertate. Programul va calcula răspunsul fiecăruia dintre aceşti oscilatori independenţi, precum şi suma statistică a răspunsurilor extreme, prin utilizarea metodelor SRSS, CQC, procent de 10% şi dublul sumei [3, 21].La aplicarea unuia dintre modurile “Modal” sau “Seismic”, acest sistem de oscilatori cu un grad de libertate este definit de către modurile proprii. La aplicarea modului “Pseudo-mod”, sistemul de oscilatori cu un singur grad de libertate este definit de către vectorii de bază pseudo-mod (vezi paragraful 3.5).Introducerea pseudo-modurilor necesită o nouă abordare a evaluării răspunsului pentru fiecare mod. Cea clasică este următoarea:

( 3.1.1 )

unde K, M – matricea de rigiditate, respectiv, matricea maselor, – factorul de participare a maselor, Sa – spectrul acceleraţiilor, T – perioada, i - numărul modului, k – coeficientul de scalare al spectrului, dir – indicele direcţiei de început al mişcării seismice (dir = X,Y,Z), x – vectorul deplasare pentru reacţiunea maximă a modului “i”.Acum, se va aplica (vezi Anexa B):

, ( 3.1.2 )

unde prin s-a notat un vector de bază (nu este necesar ca să fie o aproximare exactă a lui -

vectorul propriu exact, din ), -aproximarea valorii proprii exacte . Se poate

demonstra faptul că (3.1.1) conduce la aceeaşi soluţie max,ix

ca (3.1.2), dacă ( = ).

Totuşi, (3.1.2) este aplicabilă nu numai rezolvitorilor direcţi, ci şi celor iterativi, din moment ce nu necesită procedura de rezolvare corespunzătoare matricii K. Această cale este mai rapidă decât (3.1.1) şi permite un control mai sigur al rezultatelor (suma forţelor – suma reacţiunilor).Din (3.1.1) se obţine formula:

( 3.1.3 )

Vectorul modal de răspuns descrie răspunsul extrem al oscilatorilor cu un grad de libertate.

Pasul următor trebuie dedicat definirii răspunsului final al structurii cu multiple grade de libertate prin utilizarea medierii statistice a modurilor şi a direcţiilor seismice de intrare.Versiunile anterioare ale programului Robot permiteau atribuirea câtorva direcţii seismice de intrare independente statistic cu multiplicatori proprii ai scării pentru un caz de încărcare. Medierile statistice ale direcţiilor se realizează prin utilizarea “sumei valorilor absolute” şi ale “rădăcinii pătrate a sumei pătratelor” pentru combinaţiile fiecărui mod. Opţiunile corespunzătoare sunt definite în “Preferinţele de lucru”.Opţiunea “Suma valorilor absolute” conduce la:

( 3.1.4 )

Opţiunea “rădăcină pătrată a sumei pătratelor” realizează medierea pentru

corespunzător

direcţiilor seismice de intrare .

( 3.1.5 )


309



Se poate arăta faptul că fiecare componentă a lui este combinaţia SRSS a componentelor

corespunzătoare ale , ,,

unde i =1,2,…,N – indică numărul de moduri sau de pseudo-moduri. După obţinerea vectorilor de răspuns modal mediaţi, , i =1,2,…,N, pentru a obţine răspunsul final al structurii cu multiple grade de libertate, se realizează o combinare de tip SRSS sau CQC a modurilor (sau a pseudo-modurilor).Vectorii de răspuns modal mediaţi

, i =1,2,…,N sunt aceeaşi, ca şi în cazul opţiunii “sumei

valorilor absolute” şi a “rădăcinii pătrate a sumei pătratelor”, în cazul în care pentru cazul curent de încărcare a fost definită a singură direcţie seismică de intrare (de exemplu, Kx=Kz=0, Ky=1).Versiunea 12.2 a programului Robot (şi cele ulterioare) reţine procedurile de mediere a răspunsurilor modale între direcţiile seismice de intrare ce au fost menţionate anterior. Se recomandă să se definească o singură direcţie a seismului pentru fiecare caz de încărcare şi apoi să se aplice fie combinarea de tip “rădăcină pătrată a sumei pătratelor” - SRSS a direcţiilor (ce corespunde prescripţiilor American Regulatory Guides) fie combinaţiile de tip “Newmark” (corespunzătoare codului seismic francez PS-92 şi Eurocodului 8).În cele ce urmează vom exemplifica noile capabilităţi pe următorul exemplu tipic: În acest caz (mişcare seismică de intrare pe o singură direcţie pentru fiecare caz de încărcare), valorile caracteristice ale multiplicatorilor scării vor fi:Kx=1; Ky=Kz=0 pentru dir = X (cazul de încărcare S_X) Kx=0; Ky=1; Kz=0 pentru dir = Y (cazul de încărcare S_Y)Kx=Ky=0; Kz=0.7 pentru dir = Z (cazul de încărcare S_Z; intensitatea mişcării pe verticală se va considera a fi 2/3 din intensitatea mişcării pe orizontală)Pentru fiecare mişcare seismică statistic independentă de intrare se vor defini trei cazuri de încărcare. Răspunsul modal pentru fiecare mod va fi ca cel descris în (3.1.2) (i = 1,2,…,N; dir = X,Y,Z ). Atunci, este necesar să se definească factorul de mediere al tuturor modurilor datorate fiecărei direcţii

seismice: or

unde - factor (deplasare, forţă, tensiune,…) pentru cel de-al i-lea mod, datorat mişcării seismice

pe o direcţie dir, care corespunde răspunsului modal (obţinut din (3.1.2));

este rezultatul combinării de tip SRSS sau CQC a tuturor modurilor (pseudo-modurilor) considerate. Atunci, medierea tuturor direcţiilor seismice de intrare active în acord cu opţiunea selectată este realizată astfel:fie prin combinaţie SRSS:

fie prin combinaţii “Newmark”:

Opţiunile analizelor spectrale permit definirea unor spectre arbitrare ale mişcării seismice.

3.7. Analize seismice

Pentru realizarea analizelor seismice şi spectrale se aplică metoda spectrelor seismice de răspuns. Analiza seismică este efectuată pe baza analizei spectrale (vezi paragraful 3.6). Totuşi, spectrul

acceleraţiilor este generat conform codului seismic selectat, nefiind precizat de către

utilizator (aşa cum se procedează în cazul analizelor spectrale).Începând cu versiunea 12.0, în programul Robot este disponibil codul seismic UBC-97. Analiza spectrelor de răspuns este efectuată în concordanţă cu secţiunile 1631.5.1 – 1631.5.3 ale 1997 Uniform Building Code. Prin combinarea mecanismelor din Robot (vezi Ajutor), este posibilă şi îndeplinirea condiţiilor secţiunii 1631.5.4 (“Parametrii răspunsului elastic pot fi reduşi …”). Componentele de bază ale forţei tăietoare (Vx, Vy, Vz), componentele momentului încovoietor (Mx şi


310



My), precum şi momentul de torsiune Mz (presupunând că axa Oz este axa verticală) – vor fi prezentate în tabelul “Reacţiuni”, în linia “suma forţelor”, atât pentru fiecare răspuns modal, cât şi pentru combinările de tip SRSS şi CQC ale modurilor. În program sunt disponibile următoarele coduri seismice:UBC97PS 69 R. 82AFPSPS 92RPA 88DM 16.1.96EC 8IBC 2000P100 92 (Normativul de proiectare antiseismică românesc)Codul turcCodul chinezCodul argentinianCodul chilianEAK 2000.

3.8. Filtre de selectare

Această abordare se bazează pe următoarea observaţie: doar modurile care au un procent semnificativ de participare a maselor aduc o contribuţie considerabilă la răspunsul seismic al structurii. De aceea, va fi suficient să se ia în considerare doar aceste moduri, celelalte (având procente mai reduse de participare a maselor) fiind ignorate. În general, numărul de moduri obţinute este considerabil mai mare decât cele rezultate din impunerea procentului de participare a maselor. Ca urmare, s-ar putea realiza o economie a spaţiului de pe disc şi a timpului de calcul doar dacă s-ar selecta doar modurile cu un factor de participare a maselor semnificativ.Pot fi utilizate două metode: crearea unei liste a modurilor acceptate pentru fiecare direcţie seismică de intrare (fiecare caz seismic) pe baza rezultatelor obţinute în analiza modală precedentă sau, prin precizarea unei limite a factorului de participare a maselor (toate modurile cu un factor de participare a maselor sub această limită fiind ignorate). Prima dintre metode este mai eficientă, dar necesită realizarea -în prealabil- a unei analize modale. Cea de a doua metodă permite aplicarea filtrelor în acelaşi rulare a programului, împreună cu analiza spectrală şi seismică. Totuşi, în mod obişnuit, ocupă mai mult spaţiu pe disc şi implică un efort de calcul mai mare.

Vom considera acum un alt exemplu. În tabelul 3.1, sunt prezentate rezultatele analizei modale; cazurile seismice au fost definite astfel: Dir_X (Kx=1; Ky=Kz=0), Dir_Y (Kx=0; Ky=1; Kz=0) şi Dir_Z (Kx=Ky=0; Kz=1)

Tabelul 1Număr mod Participare mase

UX (%)Participare mase

UY (%)Participare mase

UZ (%)Perioada

1 0.05 12.01 0.004 0.8032 67.43 0.06 0.005 0.7053 0.002 0.08 0.07 0.6864 0.001 0.008 0.009 0.6505 25.4 0.07 2.06 0.5906 0.09 68.5 5.05 0.5407 0.08 10.3 0.06 0.4908 0.07 0.06 0.56 0.4609 0.05 0.07 30.56 0.420

10 0.08 0.06 0.25 0.38011 0.06 0.01 26.7 0.270


311



Să presupunem că vom lua în considerare doar modurile cu un factor de participare a maselor mai mare de 1% (valorile acestuia sunt marcate în tabel). Să notăm faptul că, dacă se alege o direcţie de acţiune a seismului (1 0 0) –deci, cazul Seism_X- modurile cu un procent semnificativ de participare a maselor pe direcţiile UY, UZ nu contribuie deloc la răspunsul seismic (vezi paragraful 3.6):

,

unde dir = X, Y, Z – direcţiile seismice de intrare; - răspunsul maxim pentru modul i; -

factorul de participare al maselor; - spectrul acceleraţiilor; - al i-lea vector propriu sau

vector de bază (în cazul pseudo-modurilor). Multiplicatorul scalar din membrul drept al formulei

defineşte contribuţia celui de-al i-lea mod la răspunsul seismic, pentru direcţia dir.

În acest caz, în care Ky = Kz = 0, o contribuţie semnificativă va fi adusă de modurile 2 şi 5. Celelalte moduri nu contribuie la răspunsul seismic, datorită multiplicatorilor Kdir (dir = Y, Z) şi factorilor scăzuţi de participare a maselor pentru direcţia dir=X. În acelaşi mod se poate demonstra faptul că pentru Dir_Y este suficient să se ia în considerare modurile 1, 6, 7 , iar pentru Dir_Z – modurile: 5, 6, 9, 11.

Astfel, prin utilizarea filtrelor, programul ia în considerare doar modurile relevante - 2 pentru cazul Dir_X, 3 pentru cazul Dir_Y şi 4 pentru cazul Dir_Z – fără o pierdere semnificativă a contribuţiei maselor. Trebuie notat faptul că, în cazul neutilizării filtrelor, vom fi forţaţi să aplicăm 11 moduri fiecărui caz. Această abordare reduce timpul de calcul pentru problemele dinamice de dimensiuni mari (ca, dealtfel, şi spaţiul de pe disc utilizat şi volumul de date procesate), fără o reducere semnificativă a preciziei rezultatelor, comparativ cu metodele tradiţionale (în care nu se folosesc filtre).De exemplu, problema de dimensiuni mari numită PJG203 conţine 34.266 de ecuaţii (lăţimea de bandă de după optimizare fiind de 990). Modelul element finit corespunzător acestei probleme este prezentat în anexa 3D – vezi Fig. A1. Se vor calcula 25 de perechi proprii cu o matrice consistentă a maselor şi 3 cazuri seismice. Timpul de calcul este mare – circa 50 de ore pe un calculator Pentium PRO (64 MB RAM, 200MHZ). Spaţiul disc necesar depăşeşte 1GB. Mai mult chiar, abordarea problemei cu modulul de dimensionare a secţiunilor de oţel, va cauza un spaţiu insuficient pe disc. (Pentru efectuarea combinaţiilor SRSS şi CQC, va fi necesar să se reţină valorile corespunzătoare la 25 de moduri, pentru fiecare din cele 3 cazuri seismice, conţinând un număr foarte mare de grade de libertate pentru toţi factorii - deplasări, eforturi, tensiuni). Aplicarea filtrelor selective permite programului rezolvarea cu succes a problemei.

3.9. Analize armonice

La acţiunea unei încărcări armonice în structură apare o reacţiune de echilibru, definită de:

unde este pulsaţia încărcării de excitaţie. Comportarea structurii este descrisă de ecuaţia:

,unde - valoarea amplitudinii vectorului deplasare.

3.10. Analize temporale (Time-History)

În programul Robot se va utiliza metoda descompunerii modale (superpozării). Ea se bazează pe reprezentarea mişcării structurii ca o suprapunere a mişcărilor corespunzătoare modurilor necuplate. De aceea, metoda necesită determinarea valorilor şi a vectorilor proprii, recomandându-se utilizarea metodei Lanczos. Această metodă a descompunerii modale oferă avantajul unor ecuaţii reduse, necuplate. O abordare specifică este analiza răspunsului dinamic al structurii supuse acţiunii pe termen lung a unor încărcări dinamice (de exemplu, încărcarea neechilibrată cauzată de lucrul în linie


312



al unor echipamente sau de acţiunea seismică). Suportul matematic şi particularităţile de aplicare sunt prezentate în, paragraful [3.4.6].Ecuaţia (fără amortizare) poate lua forma următoare:

(3.11.1)

unde Ng – numărul de „grupuri de încărcări”, - timpul de analiză pentru cel de-al k-lea grup.

(3.11.2)

unde ii tq

),( - corespunătoare coordonatei normale şi modului i (vector propriu sau Ritz). Înlocuirea

relaţiei (3.11.2) în (3.11.1) şi adăugarea unor termeni pentru amortizare, conduce la următoarele ecuaţii modale necuplate [3.4.6]

, (3.11.3)

unde , parametrul amortizării (obişnuit, ; când indică

amortizarea critică – limita dintre mişcarea oscilatorie şi mişcarea aperiodică), - frecvenţa naturală a vibraţiei (pulsaţia), i=1,2,…,NFiecare dintre ecuaţii este rezolvată numeric. Se aplică metoda de ordinul al doilea, cu selectarea automată a pasului de integrare. Vectorul deplasare rezultat pentru valorile temporale

este obţinut prin înlocuirea lui în (3.11.2).Metoda descompunerii modale poate fi aplicată la analiza răspunsului seismic. Într-un astfel de caz, ecuaţia mişcării ia forma următoare:

(3.11.4)

iar ecuaţiile modale necuplate corespunzătoare sunt:

(3.11.5)

unde - factorul de participare al maselor pentru modul i şi direcţia seismică de

intrare dir. Fiecare dintre moduri trebuie normalizat astfel: . În final, toate rezultatele

(deplasări, viteze, acceleraţii, eforturi, reacţiuni, etc.) vor fi reţinute doar pentru . Foarte performantul post-procesor permite analizarea rezultatelor obţinute, fie sub formă de diagrame, fie sub o formă tabelară. Modul grafic prezintă diagramele mărimilor selectate (deplasare, acceleraţie, viteză, reacţiune, forţă tăietoare, moment încovoietor, etc.) pentru gradele de libertate selectate şi prezintă forma deformată a structurii la momentul (timpul) selectat. Modul tabelar de prezentare a rezultatelor permite nu numai vizualizarea valorilor corespunzătoare, ci şi căutarea automată a valorilor minime şi maxime printre valorile reţinute, la momentele (temporale) date.

3.11. Luarea în considerare a forţelor statice în analiza modală

Se vor lua în considerare vibraţiile liniare mici, faţă de poziţia de echilibru, care sunt produse de către o încărcare statică. Este cunoscut faptul că forţele statice au influenţă asupra frecvenţelor naturale de vibraţie. Deşi analiza modală uzuală nu ia în considerare o astfel de influenţă, “Analiză modală cu luarea în considerare a forţelor statice” o face. Ecuaţiile care descriu mişcarea faţă de poziţia de echilibru relativ al sistemului, produsă de către forţele statice date, sunt complet neliniare:

(3.12.1)


313



unde M, K – matricea maselor, respectiv, cea de rigiditate, - operator neliniar, - vectorul deplasare, respectiv, vectorul încărcare. Procedura de liniarizare constă în următoarele:

(3.12.2)

unde este o parte din soluţia comună ce descrie starea de echilibru static, iar este un vector al micilor deplasări dinamice. Operatorul neliniar poate fi prezentat ca dezvoltare în serie Taylor:

(3.12.3)

unde este o matrice tensiune-rigiditate, care este un Jacobian şi care ia în

considerare forţele statice. Atunci, acestea conduc la următoarele:

(3.12.4)

Prima expresie este un rezultat al liniarizării micilor deplasări dinamice corespunzătoare (observaţie:

, deci ) iar cea de a doua descrie starea de echilibru neliniar. Ca urmare, micile

deplasări dinamice faţă de starea de echilibru ne conduc la:

(3.12.5)

Vom înlocui . Din (3.12.5) se obţine o problemă de valori proprii:

(3.12.6)

unde - valoare proprie; - vector propriu.

Calculele vor fi realizate în două etape:1. Analiza liniară (3.12.7) sau neliniară (3.12.8) a stării de tensiune şi de deformaţie indusă de către

o forţă statică

(3.12.7)

, (3.11.8)

unde - vectorul necunoscut al stării statice, - vectorul forţelor statice date (vectorul încărcării

statice), K – matricea de rigiditate, - operator neliniar. Vectorul încărcării statice poate fi

o rezultantă a câtorva încărcări statice. Trebuie reţinut faptul că abordarea liniară nu satisface exact ecuaţia neliniară de echilibru (3.11.8). Atunci, vectorul al stării de echilibru static este o

rezultantă a unei soluţionări aproximative, iar matricea tensiune-rigiditate conţine o

eroare. Dacă structura selectată este suficient de rigidă şi efectul neliniar apare foarte slab, o astfel de aproximare pare a fi corectă. În alte cazuri, va fi necesară rezolvarea problemei static neliniare (3.11.8) (această tehnică nefiind descrisă de către manual). În mod evident, abordarea liniară (3.2.17) este mai rapidă decât cea neliniară (3.11.8). În cazul abordării liniare se obţine

, unde G este o matrice de rigiditate geometrică.

2. Analiza valorilor proprii (3.12.6)


314



Valorile pozitive ale ( ) sunt cunoscute ca fiind cele care reprezintă starea de echilibru

stabil, cele negative ( ) – starea de echilibru instabil, iar cele nule ( ) corespund pierderii stabilităţii (flambajului).

Pirderea caracterului de matrice pozitiv definită al lui semnifică faptul că încărcarea

statică a depăşit-o pe cea critică (de flambaj). În acest caz, va apare un mesaj ce anunţă acest fapt. În rularea problemei static neliniare (3.11.8), convergenţa va fi pierdută şi, ca urmare, se recomandă întreruperea calculului, următoarele calcule fiind lipsite de sens.Pentru structurile care conţin cabluri şi elemente întindere-compresiune este posibilă doar abordarea neliniară.

Exemplu

Vom considera problema descrisă în figura de mai jos:

Fig. 3.11.1

Unde - încărcarea statică. Comportarea unui astfel de sistem este descrisă de ecuaţia:

, ( 3.11.9 )

unde w – săgeata din încovoiere, - densitatea materialului, F – aria secţiunii transversale.Vom căuta o soluţie de forma:

( 3.11.10 )

După înlocuirea lui ( 3.11.10 ) în ( 3.11.9) se obţine:

, ( 3.11.11 )


315



unde - încărcarea critică, - valoarea proprie pentru N = 0 (rezultat al analizei

modale uzuale). În final,

, ( 3.11.12 )

unde - valoare proprie a sistemului supus acţiunii încărcării statice N. Rezultatul este prezentat sub formă grafică în Fig. 3.11.2:

Fig.3.11.2

În cazul unei structuri reale, dependenţa , unde este un parametru al încărcării, este mai complexă decât cea din ( 3.11.12 ) (vezi [ 1,22 ]).

Anexa 3A


316



Metode de soluţionare a problemelor de valori proprii

Utilizatorul trebuie să ştie şi să înţeleagă faptul că nu există o “cea mai bună metodă universală” de rezolvare a problemelor de valori proprii:

, i=1,2,…,n ( A1 )

unde K este matricea de rigiditate, M este matricea maselor, este modul propriu şi este

pulsaţia. Caracterizarea “cea mai de preferat” se referă la o metodă care ar utiliza mai puţine resurse (timp calculator şi spaţiu pe disc) decât o alta. Totuşi, nu exclude situaţiile diverse, cu alte necesităţi, în care se recomandă utilizarea altor metode. Versiunea prezentă a programului ROBOT acoperă câteva metode de rezolvare a unei probleme generalizate de valori proprii (A1). Fiecare dintre acestea implică avantaje şi dezavantaje.În cele ce urmează, vom prezenta câteva recomandări ce trebuie avute în vedere la alegerea metodei de analiză, cu speranţa că –în majoritatea cazurilor- acestea vor conduce la obţinerea rezultatelor pe cea mai bună cale. Metoda iterării pe subspaţii (SI) se aplică întocmai aşa cum s-a prezentat în [4]; de aceea, nu va fi inclusă aici şi descrierea acestei metode.

Metoda Lanczos

Metoda Lanczos [12,16,17] reprezintă o abordare foarte robustă de rezolvare a problemelor de valori proprii de talie mare (A1). Ea este disponibilă la selectarea rezolvitorilor direcţi (“skyline” sau “sparse”).Această abordare permite obţinerea primelor n valori şi moduri proprii cu orice precizie dorită. Cu cât numărul de perechi proprii obţinute este mai mare, cu atât metoda Lanczos devine mai avantajoasă. Totuşi, abordarea are şi câteva limitări, cum ar fi:1. Trebuie ca matricea diagonală T să nu fie descompusă. Acest lucru însemnă că este imposibil să

se analizeze o structură ce constă în două sau mai multe structuri neconectate. Într-un astfel de caz, fie se vor lua în considerare fiecare substructură separat, fie se va apela la o altă abordare (de exemplu, cu metoda iterării pe subspaţii a blocurilor (BLSI) sau metoda reducerii de bază);

2. Matricea maselor M trebuie să fie “Cu blocuri, cu rotiri” sau “Consistentă”;3. Nu este posibilă definirea densităţii nule.

Metoda Lanczos utilizează reducerea la matricea diagonală T.

, ( A2 )

unde - matricea dreptunghiulară Neq x j; Neq este numărul de ecuaţii; j – numărul

de paşi “Lanczos”, iar jq

- al j-lea vector Lanczos. Expresia

( A3 )

generează vectorul Lanczos următor 1jq

, şi defineşte linia curentă a matricii

Astfel, se obţine următoarea formă redusă a problemei de valori proprii:


317



, k=1,2,…,j ( A4 )

jk

jk /1

2 , unde j

k este cea de a j-a aproximare a lui k , k=1,2,…,n, iar n este numărul necesar

de perechi proprii. Algoritmul continuă calculele (pentru a creşte j – numărul de paşi Lanczos), până când se atinge acurateţea dorită pentru valorile proprii necesare.Procedura de ortogonalizare selectivă asigură gradul de ortogonalitate necesar între vectorii jq

,

precum şi siguranţă şi stabilitate numerică procesului de calcul. Pentru realizarea ortogonalizării selective şi rezolvarea problemei reduse de valori proprii (A4), se folosesc metode economice, prin iteraţii QR duble, cu salturi.Sursa vectorilor proprii este determinată de către formula:

, k=1,2,…,n ( A5 )

Detaliile sunt prezentate în [12,16,17].

Metoda reducerii de bază

Metoda reducerii de bază [4,5] este cunoscută şi sub numele de Metoda Rayleigh-Ritz îmbunătăţită [4]. În [5], această metodă este prezentată ca o variantă discretă a metodei Bubnov-Galerkin. Ea este disponibilă în cazul rezolvitorilor direcţi (“skyline” şi “sparse”). Acest algoritm permite obţinerea valorilor aproximative pentru primele câteva perechi proprii. Pentru obţinerea sistemului redus, este necesară definirea unui grad de libertate principal (de bază), cu care utilizatorul va avea posibilitatea de a controla crearea acestuia. Reprezintă o ustensilă deosebit de puternică pentru utilizatorii care au o anumită experienţă în analiza dinamică a structurilor şi lucrează cu tipuri de structuri cu un comportament cunoscut. Metoda permite înlăturarea gradelor de libertate nedorite de pe modelul redus şi trecerea de la problema complexă iniţială, cu un număr mare de grade de libertate, la una mai redusă, cu un număr de grade de libertate considerabil mai mic. Experienţa analizelor dinamice ale structurilor a pus în evidenţă problemele ce pot fi întâlnite de către utilizator, atunci când “metodele de reducere automată” (SI, BLSI şi Lanczos) conduc la un proces de calcul foarte complex. De exemplu, datorită faptului că sunt căutate perechi proprii în mod automat, fără nici o selectare, modurile locale de vibraţie ale barelor izolate pot să conducă la probleme serioase pentru aceste metode. Trebuie reţinut faptul că pentru majoritatea cazurilor de structuri reale, aceste vibraţii locale vor fi restricţionate prin anumite constrângeri, astfel că ele nu vor mai fi luate în considerare în modelul element finit; contribuţia lor nu va fi esenţială pentru mişcarea de ansamblu a sistemului. Îm mod obişnuit, procentul de participare a maselor este foarte redus în cazul unor asemenea vibraţii locale. Utilizarea în acest caz a metodelor „exacte” va conduce la dificultăţile menţionate mai sus; totuşi, implementarea metodei reducerii de bază poate simplifica în mod considerabil procesul de calcul.Metoda are următoarele limitări:1. Utilizatorul trebuie să precizeze grade de libertate principale (de bază): noduri şi direcţii. Ca şi

grade de libertate principale, se pot alege doar translaţiile (nu şi rotirile).2. Algoritmul este implementat pentru orice tip de matrice a maselor. Totuşi, tipul cel mai avantajos

din punctul de vedere al timpului de calcul este cel “de tip bloc, fără rotiri”.3. Secvenţa verificării Sturm nu este disponibilă. De aceea, aici avem o singură modalitate de a

explora convergenţa: creşterea numărului de grade de libertate principale (de bază), rezolvarea încă o dată a problemei şi compararea valorilor proprii.

O astfel de metodă transformă problema de valori proprii pentru Metoda Elementelor Finite

(A6)

modelată în (A1), într-o problemă de valori proprii a modelului redus

02

mf (A7)unde {f} - matricea de influenţă, {m} - matricea generalizată a maselor pentru modelul redus,


318



n

...

2

1

, (A8)

unde n numărul de grade de libertate ale modelului redus. Importantă pentru o astfel de transformare este soluţia statică obţinută pentru stările unitare corespunzătoare: forţele unitare nodale sunt aplicate consecutiv, în fiecare nod principal (de bază). Problema statică de dimensiuni mari este rezolvată pentru fiecare din cei n termeni din membrul drept:

ni ,...,2,1 (A9)

unde iT

- vectorul încărcare ce corespunde încărcării unitare i. Utilizatorul trebuie să precizeze

nodurile şi direcţiile principale. Programul va executa toate operaţiile necesare. Problema redusă de valori proprii este rezolvată cu metoda Jacobi, ce permite obţinerea frecvenţelor

i , şi modurilor , i=1,2,…,n. Detalii privind această abordare sunt prezentate în [5].

Metoda iterării pe subspaţii a blocurilor

Metoda iterării pe subspaţii a blocurilor (Block subspace iteration method – BLSI) a fost dezvoltată pentru a rezolva probleme generale de valori proprii (A1). Ea este disponibilă pentru rezolvitori direcţi (“skyline” şi “sparse”). Este una din abordările robuste, puternice. Aplicarea acestei metode este recomandată cu căldură la problemele de dimensiuni mari, în cazul în care se doreşte obţinerea unui număr mare de perechi proprii (mai mult de 10). Metoda poate fi aplicată şi la analiza structurilor separate. În timpul analizei modale sunt disponibile toate tipurile de matrice ale maselor (“De tip blocuri, fără rotiri”, “De tip blocuri, cu rotiri” şi “Consistentă”). Aria de aplicare a acestei abordări este limitată de către modul modal. Dacă se alege metoda Lanczos, sunt disponibile modul “seismic” şi “pseudo-modul”.Pentru a stabili care sunt valorile proprii omise, este efectuată verificarea Sturm. Metoda BLSI verifică continuitatea valorilor proprii convergente. Discontinuitatea valorilor proprii convergente indică prezenţa unor valori proprii omise. Totuşi, continuitatea valorilor proprii convergente nu ne asigură de faptul că nu au fost omise anumite valori proprii. Cu toate acestea, experienţa numeroaselor calcule indică faptul că, în cele mai multe cazuri, verificarea Sturm nu detectează valorile proprii omise, în timp ce metoda BLSI asigură continuitatea celor convergente. Astfel, un mare avantaj al metodei este posibilitatea înlăturării procedurii de verificare Sturm (care este mare consumatoare de timp) în cazul în care nu este necesară o siguranţă absolută privind omiterea unor valori proprii. Dacă se întâlneşte o discontinuitate a valorilor proprii convergente, va apare un mesaj (vezi Fig. A1).Ideea de bază a metodei BLSI [1-3] constă în iterarea simultană a vectorilor pe subspaţiile de dimensiune fixă. Fiecare vector convergent este eliminat din subspaţiul (blocul) “de lucru”, iar în locul său este adăugat un nou vector de start. Ortogonalitatea vectorilor convergenţi este asigurată la fiecare pas de integrare.Pe durata analizei modale, atunci când se apare o convergenţă lentă, se recomandă aplicarea procedurii de salt a acceleraţiei [1,4]:

, ( A10 )

unde , - valoarea de salt. La începutul analizei se consideră = 0. Dacă noile valori proprii nu converg într-un număr acceptat de paşi de iteraţie, se face o actualizare automată a acestei valori de salt. Spre exemplificare, să considerăm că numărul de paşi de control este de 5 şi că 5 valori proprii convergente apar după 4 iteraţii; atunci, valoarea de salt va rămâne = 0. Dacă după 5 paşi de iterare modurile proprii nu converg, atunci algoritmul detectează o convergenţă slabă, adoptă

, actualizează şi factorizează matricea actualizată . Dacă după 2 paşi de

iteraţie converg 2 moduri proprii, valoarea de salt rămâne . Dacă în următorii 5 paşi de iteraţie


319



nu converge nici o valoare proprie, algoritmul detectează o nouă convergenţă slabă, ia ,

actualizează şi factorizează matricea actualizată . Şi aşa mai departe...

Fig. A1 - Discontinuitate a valorilor proprii convergente detectată la rularea metodei BLSI.

Da – calculele vor fi continuate până când va apare următoarea valoare proprie convergentă. După aceea, se va efectua o nouă verificare.Nu – rezultatele vor fi salvate şi va începe calculul cazului următor.Abandon – calculele vor fi continuate până când se va asigura continuitatea absolută a valorilor proprii convergente. Avertismentul va fi ignorat.

Acestea nu reprezintă chiar toate recomandările. În ceea ce priveşte procedura de salt al acceleraţiei, aceasta se poate aplica sau nu. Utilizatorul trebuie să ţină seama de faptul că fiecare aplicare a saltului corespunzător este o unealtă foarte puternică în accelerarea convergenţei. Cu toate acestea, fiecare factorizare a matricii actualizate poate reprezenta un procedeu mare consumator de timp, în mod special pentru probleme de mari dimensiuni. Ca urmare, decizia finală privind aplicarea metrodei de salt trebuie să ţină de experienţa şi de intuiţia utilizatorului. Vom încerca să ilustrăm beneficiile aplicării acestei metode printr-un exemplu. Modelul de calcul este prezentat în Fig. A2. În acest caz sunt extrase prin metoda BLSI 50 de moduri proprii, prin selectarea rezolvitorului “skyline”. Este acceptată o toleranţă de 1.0e-09. Trebuie reţinut faptul că convergenţa primelor 38 de moduri este atât de lentă încât în 20 de minute de calcul nu se obţin rezultate; de îndată ce se activează procedura de salt a acceleraţiei (actualizarea saltului făcându-se după fiecare 5 paşi de iterare “neconvertiţi”), timpul de calcul ajunge la 50 de secunde. Ca urmare, diferenţa este absolut evidentă. Aici ar mai putea fi prezentate numeroase exemple în care aplicarea acestei proceduri reduce numărul de iteraţii, dar creşte timpul de calcul. Realizatorii programului recomandă activarea acestui procedeu atunci când abordarea convenţională conduce la un număr mare de iteraţii în anumite stadii de lucru cu BLSI.


320



Fig. A2 - Structură de tip cadre spaţiale

Metoda Lanczos modificată

Reprezintă o adaptare a metodei Lanczos, în “pseudo-mod”, la rezolvitori iterativi. Metoda Lanczos uzuală necesită factorizarea unei matrici de rigiditate (vezi A3); atunci când se întâlneşte o problemă mare, această factorizare este mare consumatoare de timp. În cazul problemelor cu adevărat foarte mari (peste 100.000 de ecuaţii), nu doar factorizarea matricei de rigiditate necesită un mare efort de calcul, ci şi rezolvarea unui set de ecuaţii corespunzător matricei factorizate.Metoda Lanczos modificată se bazează pe abordarea iterativă şi permite eliminarea înregistrării, asamblării şi factorizării matricelor de rigiditate de dimensiuni mari. Evaluarea fiecărui vector Lanczos necesită aproximativ acelaşi efort de calcul ca soluţionarea unei probleme statice, cu un singur membru drept. În ceea ce priveşte “pseudo-modul”, acesta reduce numărul vectorilor Lanczos comparativ cu modul “modal”, atunci când este aplicat în cazul metodei Lanczos modificate.Rezolvitorul iterativ AEBIS (vezi [7,8]) este aplicat pentru a genera vectori Lanczos. Se recomandă utilizarea tehnicii ICCF (factorizare Cholesky incompletă) atât pentru precondiţionarea multi-nivel a agregării [7,8,18-20], cât şi pentru cea uzuală (ce nu este multi-nivel). Aceasta va asigura operarea rapidă în timpul evaluării produsului matrice-vector şi o rezolvare rapidă a precondiţionării corespondenţei. Trebuie reţinut faptul precizia de evaluare a vectorilor Lanczos este determinată de toleranţa adoptată în cazul rezolvitorului iterativ (Preferinţe de lucru | Analiza structurii | Parametri). În mod obişnuit, este suficient să se accepte 1.0e-04. Cu cât numărul de moduri ce va fi considerat va fi mai mare, cu atât vectorii Ritz vor fi mai apropiaţi de modurile proprii corespunzătoare şi procentele de participare a maselor se vor apropia de 100%.Pentru mai multe detalii (privind parametrii rezolvitorului iterativ, în cazul problemelor statice şi dinamice), vezi “Ajutor”.


321



Metoda a gradientului conjugat precondiţionat(Preconditioned Conjugate Gradient Method - PCG)

Metoda gradientului conjugat precondiţionat (Preconditioned Conjugate Gradient Method - PCG) [9-13] este recomandată pentru definirea unui număr mic de moduri proprii în modul “modal”, atunci când se aplică rezolvitor iterativ. Aceasta se poate dovedi foarte utilă la atribuirea unei încărcări din vânt sau pentru verificarea a câteva moduri inferioare, obţinute prin metoda PCG_Ritz. Sunt disponibile toate tipurile de precondiţionare definite pentru analizele statice (vezi Unelte / Preferinţe de lucru / Iterativ / Parametri) şi pot fi utilizate toate tipurile de matrice (consistente, de tip bloc, cu sau fără rotiri). Metoda gradientului conjugat precondiţionat se bazează pe minimizarea raportului Rayleigh:

(A11)

prin utilizarea abordării cu gradient, unde: k – numărul iteraţiei, - aproximarea corespunzătoare a

unei valori proprii. Abordarea prin gradient va căuta o valoare a parametrului , ce asigură valoarea

minimă a lui din (A11):

(A12)

unde este un vector al direcţiei conjugate. Căutarea valorii corespunzătoare lui [vezi 9-13] conduce la:

În vederea accelerării convergenţei este aplicat precondiţionatorul B:

(A13)

Direcţia gradientului se defineşte astfel:

(A14)

Noua direcţie conjugată se defineşte ca fiind:

(A15)

unde .


322



Iteraţiile se realizează până când:

, (A16)

unde este toleranţa dorită. În mod obişnuit, tol = 1.0e-02 asigură o foarte bună precizie pentru aplicaţiile inginereşti. Trebuie reamintit faptul că factorul de convergenţă (A16) este calculat conform unei norme foarte stricte (vezi partea referitoare la precizia de calcul). Toleranţa menţionată anterior oferă precizii ale valorilor proprii superioare lui 1.0e-04.

Atunci când prima pereche proprie este convergentă, este reţinută ca rezultat final şi incep iteraţiile pentru calculul perechii următoare. Pentru a elimina posibilitatea dublării perechilor proprii, în fiecare pas de integrare este utilizată procedura de ortogonalizare a vectorilor proprii anteriori. Aceasta este aplicată până când se obţin toate perechile proprii dorite.

Cea mai eficientă cale de accelerare a convergenţei pentru metoda PCG este implementarea unei bune precondiţionări. În cazul metodei PCG sunt disponibile toate tipurile de precondiţionări, pentru rezolvitori iterativi. Se recomandă cu stricteţe aplicarea precondiţionării multi-nivel [18-20] sau a precondiţionării non-multi-nivel ICCF [9-12] din rezolvitorul AEBEIS [7,8]. Pentru mai multe detalii, vezi “Ajutor”.

Metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz)

Metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz) [8] reprezintă o metodă de definire a unui set de vectori Ritz în “pseudo-mod”, atunci când este selectată o rezolvare iterativă. O astfel de abordare poate fi deosebit de fructuoasă pentru analize spectrale şi seismice ale structurilor medii (10.000-60.000 de ecuaţii).Se bazează pe generarea sistemului ortogonal de vectori de bază. Pentru minimizarea raportului Reyleigh în fiecare pas de pregătire a vectorului de bază, se aplică abordarea prin gradient cu precondiţionare multi-nivel, pe baza unei tehnici element-cu-element. În cazul unei matrici de rigiditate de dimensiuni mari, această abordare asigură evoluţia vectorului de bază către cel mai scăzut mod propriu, fără agregare şi descompunere. O astfel de metodă este întotdeauna mult mai eficientă pentru analiza răspunsului dinamic decât metoda clasică a superpoziţiei modale, în special în cazul analizei răspunsului seismic. Metoda propusă permite aplicarea tipurilor arbitrare de elemente finite datorită abordării agregării şi asigură o soluţionare rapidă şi necostisitoare în ceea ce priveşte depozitarea pe disc, datorită tehnicii EBE. Această metodă este foarte eficientă atunci când se utilizează o matrice a maselor consistentă.Problema de valori proprii este:

(A17)

unde K, M reprezintă matricea de rigiditate şi, respectiv cea a maselor, este un vector popriu, iar

este o valoare proprie. Va fi descrisă procedura de evoluţie a setului de vectori de bază către modul propriu cel mai redus. Pentru minimizarea raportului Rayleigh

(A18)

se va utiliza abordarea cu gradient precondiţionat.

În expresia de mai sus, , este pasul; este numărul de vectori de bază, care defineşte

dimensiunea subspaţiului ; , unde reprezintă numărul de grade

de libertate pentru problema considerată (A17). Foarte frecvent, problema de valori proprii considerată este prost condiţionată. În acest caz, evoluţia secvenţei de vectori de bază către modul propriu cel mai redus va fi foarte lentă. Pentru îmbunătăţirea situaţiei, se va aplica operatorul de precondiţionare


323



B. Expresia reprezintă rezolvarea unui set dat de ecuaţii ale vectorului de

corespondenţă , unde B este un operator de precondiţionare, iar este un vector rezidual corespunzător.Vectorii de bază satisfac următoarele condiţii de ortogonalitate:

(A19)

Problema iniţială de valori proprii, având dimensiuni mari, (A17) este redusă la problema de valori proprii de pe subspaţii:

(A20)

Matricele proiecţiei pe subspaţii sunt definite astfel:

şi , unde U este o matrice unitate.

Pentru superpoziţionarea răspunsului dinamic al structurii se utilizează vectorii Ritz ai

vectorilor de bază şi aproximările corespunzătoare ale frecvenţelor

Procedura de evoluţie a vectorilor de bază către cel mai redus mod propriu este foarte apropiată de pasul corespunzător al metodei de iterare a gradientului precondiţionat, în soluţionarea problemei de valori proprii. Este binecunoscut faptul că convergenţa metodelor de iterare precondiţionate depind în mod considerabil de proprietăţile operatorului de precondiţionare . Acest

operator trebuie să fie pozitiv definit; acesta admite soluţia puţin costisitoare şi satisface

condiţia de număr în cea mai bună manieră posibilă.Ultima cerinţă din cazul metodei gradientului Ritz asigură o bună aproximare a modurilor proprii inferioare.O astfel de metodă este disponibilă numai pentru abordarea iterativă multi-nivel, care asigură o bună calitate a precondiţionării. Sunt utilizate atât tehnica de precondiţionare EBE (“element-by-element”; deci, element-cu-element) cât şi cea ICCF. Calitatea vectorilor Ritz generaţi astfel depinde în mod considerabil de proprietăţile operatorului de precondiţionare B (vezi A13 şi [8]). Din moment ce nivelul brut al modelului aproximează bine modurile de vibraţie joase, vectorii Ritz ai nivelului rafinat reprezintă o bună aproximare a vectorilor proprii corespunzători (vrzi [8]). Atunci, calitatea rezultatelor ce vor fi obţinute cu o astfel de metodă depinde în mod considerabil de abilitatea modelului brut de a menţine similaritatea modelului element finit (aşa numitul nivel rafinat), În mod curent, un singur nivel de agregare asigură o bună aproximare. Atunci când numărul nivelurilor de agregare este mai mare decât unu, calitatea rezultatelor nu mai poate fi garantată. Există o limitare principală a aplicării metodei la problemele mari, când numărul de ecuaţii depăşeşte ~60000. Dacă matricea de precondiţionare B = K (nivelul brut este identic cu cel rafinat), metoda gradientului Ritz propusă se transformă în metoda Lanczos (vezi [8]). Suportul matematic este prezentat în [8].

Analiza modală – Precizia de calcul

O problemă generalizată de valori proprii se defineşte astfel:, (A17)

unde K, M reprezintă matricea de rigiditate, respectiv, cea a maselor, - perechi proprii (moduri naturale de vibraţie şi valori proprii). Sunt definite două tipuri de vectori reziduali:

(A18)

, (A19)

unde sunt perechile proprii calculate, care conţin anumite erori de calcul. Prima expresie

defineşte vectorul rezidual în funcţie de eforturi, iar cel de-al doilea în funcţie de deplasări.Pentru a estima eroarea de calcul în cazul vectorilor proprii se utilizează patru criterii diferite:


324



1. . Este un criteriu foarte rigid (dur). În mod curent semnifică faptul că means primele patru zecimale ale valorii proprii sunt obţinute exact. Se aplică numai în metoda PCG, la selectarea unui rezolvitor iterativ.

2. . Este un criteriu ceva mai slab decât primul. Se aplică pentru metoda Lanczos modificată, la selecterea unui rezolvitor iterativ.

3. . Este un criteriu slab, deoarece convergenţa deplasărilor în Metoda Elementelor Finite este -în general- mai rapidă decât convergenţa eforturilor. Se aplică la metodele BLSI, SI şi Lanczos, când se selectează rezolvitori direcţi (“skyline” sau “sparse”).

4. , unde - două valori succesive, pentru paşii de iterare k, k-1 iar

reprezintă toleranţa pentru valorile proprii, ce a fost adoptată în fereastra de dialog “Parametrii analizei modale”. Este utilizat ca şi criteriu intermediar, în timpul utilizării următoarelor metode: BLSI, SI şi Lanczos (rezolvitori direcţi, “skyline” sau “sparse”), în mod “modal”. Un astfel de criteriu nu este robust; totuşi, este foarte rapid. Utilizarea lui (4) permite reducerea considerabilă a timpului de calcul pentru metodele BLSI, SI şi Lanczos, în mod special în cazul problemelor mari. Atunci când se realizează o analiză de valori proprii, criteriul (3) este aplicat la verificarea finală a acurateţii (preciziei). Utilizatorul va trebui să urmărească coloana “Precizie” a tabelului, acolo unde este prezentată valoarea . Dacă, în cazul unui mod propriu, se realizează o precizie insuficientă, este necesară repetarea analizei de valori proprii cu o valoare mai mare a toleranţei, tol.

Tabelul de mai jos sistematizează consideraţiile de mai sus. Simbolul N/A semnifică neîndeplinirea condiţiei corespunzătoare a convergenţei. Rezultatele finale ale verificării sunt obţinute doar o singură dată şi sunt prezentate în coloana “Precizie” a tabelului. Verificarea convergenţei este realizată de câteva ori în timpul calculelor.

Rezolvitori direcţi Rezolvitori iterativi

Tip de criteriu Metoda BLSI,SI,

Lanczos

Metoda reducerii de

bază

Metoda Lanczos

modificată

PCG_Ritz PCG

În timpul calculelor

N/A N/A N/A

Verificarea finală

N/A N/A

Trebuie reţinut faptul că verificarea convergenţei, , în cazul aplicării metodei Lanczos, pentru modul “”seismic”, se efectuează la fiecare 20 de paşi Lanczos. Metoda reducerii de bază şi metoda PCG_Ritz sunt metode Ritz. În cazul în care nu se utilizează o abordare iterativă, nu se efectuează verificarea preciziei.

În cazul în care precizia câtorva moduri pare a fi insuficientă, trebuie procedat astfel:

Rezolvitori direcţi Rezolvitori iterativiMetoda BLSI,

SI,Lanczos –

mod “modal”

Metoda reducerii de

bază

Metoda Lanczos modificată

PCG_Ritz PCG


325



Scăderea din fereastra

de dialog “Parametrii

analizei modale”

Creşterea numărului de

noduri şi direcţii de

bază.

Creşterea numărului de moduri;

scăderea din fereastra de dialog “Parametrii analizei

modale”

Creşterea numărului de moduri;

scăderea numărului de niveluri de

agregare;creşterea numărului de iteraţii circulare

Scăderea din fereastra de dialog “Parametrii analizei

modale”

Anexa 3B

Abordarea “Pseudo-mod”

Ecuaţiile mişcării pentru încărcările seismice iau forma următoare:

(B1)

- matricea de rigiditate şi matricea maselor;

- vectorul unitate al direcţiei; - funcţia de timp a acceleraţiei terenului

Vom căuta o soluţie de forma:

(B2)

unde sunt vectorii de bază ai dimensiunii Neq – numărul de ecuaţii ale modelului element finit sursă.Aceşti vectori trebuie să satisfacă următoarele cerinţe:

condiţii statice şi cinematice de frontieră;

independenţă liniară;

completitudine de bază.

Se pot adopta fie vectorii Lanczos, fie orice vectori obţinuţi pentru forţele concentrate unitare nodale (metoda reducerii de bază pentru rezolvitori direcţi sau metoda gradienului Ritz, PCG_Ritz).Proiecţia subspaţiului este descrisă astfel:

(B3)

Trebuie reţinut faptul că are dimensiunea N, iar matricea Q are dimensiunile NeqxN.Ecuaţiile subspaţiului (B3) vor fi rezolvate utilizând descompunerea vectorilor proprii (pe subspaţiul

definit de către ).

(B4)

Să reţinem faptul că descompunerea (4) reprezintă o expresie exactă, deoarece indicele k ia valori de la 1 la N – pe întreagul subspaţiu Q. Substituţia lui (B4) în (B3) conduce la setul de ecuaţii necuplate:


326



(B5)

Să considerăm:

(B6)

Atunci, (B5) poate fi scris astfel:

(B7)

unde k=1,2,…,N

Să aplicăm metoda răspunsului spectral ecuaţiilor necuplate (B7):

(B8)

unde reprezintă răspunsul maxim pentru al k-lea mod al subspaţiului şi, respectiv, a

funcţiei spectrului de acceleraţie. Înlocuind (B8) în (B4) şi apoi în (B2):

(B9)

Trebuie remarcat faptul că, pentru :

à ,

à

unde , are reprezintă perechea exactă de valori proprii pentru problema sursă element finit,

(B10)

şi à , unde este factorul de participare al modului propriu k.

Concluzii

1. Abordarea propusă nu necesită aproximaţii “bune” à , à , fiind posibil ca ,

să aproximeze , cu o precizie arbitrară.

2. Abordarea propusă nu este mai proastă decât binecunoscuta metodă a descompunerii modale (superpoziţiei). Ambele metode reprezintă cazuri particulare ale metodei comune de proiectare şi, atunci când N à Neq, converg către soluţia exactă. (Această afirmaţie nu este exactă în cazul metodei spectrelor de răspuns, deoarece are un caracter statistic şi convergenţa sa are loc atunci când . Este evident faptul că, pentru va apare un conflict de calcul datorat faptului că numărul de vectori de bază nu poate să îl depăşească pe Neq. Prin urmare, atunci când N = Neq, este posibilă obţinerea de rezultate diferite pentru diverşi vectori de bază, aceasta fiind o particularitate a metodei spectrelor de răspuns. În cazul altor metode, în cazul în care N=Neq, se realizează o convergenţă absolută. În cazul metodei spectrelor de răspuns, trebuie considerată doar într-un sens statistic, deoarece această metodă constituie o abordare statistică ce urmăreşte obţinerea unei soluţii medii, pe intervalul de timp scurs. Datorită acestui fapt, termenul “soluţie exactă” trebuie aplicat cu grijă.).

3. În ceea ce priveşte întrebarea “Care bază e mai bună: vectori Ritz sau vectori proprii?”, răspunsul este că aceasta este cea care asigură o convergenţă mai bună către soluţia exactă (N = Neq) prin utilizarea numărului minim de funcţii de bază N. Problema poate fi rezolvată prin examinarea unor exemple practice.


327



4. În mod obişnuit, prima parte de perechi , oferă o bună aproximare a celor corespunzătoare

, (în coloana “Precizie” a listingului fiind posibilă determinarea preciziei corespunzătoare

fiecărei perechi). Doar ultima parte de perechi proprii , oferă o proastă aproximare a celor

exacte şi pot fi considerate ca “pseudo-moduri” (din punctul de vedere al codului seismic francez PS-92).

5. Utilizarea întregului subspaţiu asigură rapida creştere a procentului de

participare a maselor. În cazul modurilor “Modal” şi “Seismic”, se utilizează doar o parte a acestui subspaţiu.

Anexa 3C

Exemple de aplicare a modului “Seismic” şi “Pseudo-mod”.

1. Este evident faptul că există numeroase tipuri de probleme seismice şi spectrale în care este dificilă obţinerea unui procent suficient de participare a maselor (de 70%- 90%). Pentru a rezolva problemele “uşoare”, este posibilă utilizarea metodei binecunoscute: utilizatorul stabileşte un număr arbitrar N de moduri şi calculează primele N moduri secvenţiale prin utilizarea modului “Modal”. Totuşi, pentru problemele “grele” această abordare poate fi inaplicabilă. Spre exemplificare, vom considera problemele “Coreal” şi “Museum”, două modelări element finit realizate de către ingineri francezi. În tabelele de mai jos prezentăm procentele de participare a maselor ce au fost obţinute pentru diferite moduri proprii, utilizând modul “Modal” (Metoda Lanczos).

“Istoricul” convergenţei în cazul problemei “Coreal”Numărul modurilor convergente %Mase

44 < 1%62 12%75 38%89 60%116 74%154 77%179 80%

“Istoricul” convergenţei în cazul problemei “Museum“Numărul modurilor convergente %Mase

41 20%106 40%119 42%

De exemplu, 80% înseamnă că pentru două direcţii suma maselor nu este mai mică decăt valoarea dată. Modul “Modal” generează moduri proprii, fie până la atingerea procentului de participare a maselor adoptat, fie până la atingerea limitei superioare de moduri, ce a fost stabilită. Soluţia finală a metodei spectrelor de răspuns este obţinută sub forma unei suprapuneri statistice a vectorilor proprii.

2. În cazul ambelor probleme luate în considerare, numărul de grade de libertate este mai mic decât 2000, astfel că problemele sunt considerate a fi “mici” (în raport cu numărul de grade de libertate). În cazul problemelor “medii” şi “mari” (al problemelor “dificile”) este posibil ca atât modul “Modal” cât şi cel “Seismic” să rămână inaplicabile în practică, datorită caracterului costisitor al procesului de calcul. În aceste cazuri, se recomandă aplicarea “Pseudo-modului”. În tabelele de mai jos este prezentat “istoricul” convergenţei pentru cele două probleme analizate.

“Istoricul” convergenţei în cazul problemei “Coreal”


328



Numărul vectorilor de bază %Mase10 58%20 67%40 70%80 80%

“Istoricul” convergenţei în cazul problemei “Museum”Numărul vectorilor de bază %Mase

10 60%20 66%40 71%

OBSERVAŢIE: La utilizarea modului “Modal”, este necesară definirea a aproximativ 130 – 150 vectori Lanczos pentru a obţine 80 de vectori proprii. Efortul de calcul în “Pseudo-mod” este considerabil mai mic (aproximativ de 3 – 5 ori).

Convergenţa rezultatelor în “Pseudo-mod” este ilustrată în problema următoare. Tabelul următor prezintă valorile extreme ( max/min) obţinute într-o combinaţie de tip CQC, în cazul modului “Modal”şi în cel al “Pseudo-modului”:

Mod UX (cm) UY (cm) UZ (cm) %MaseModal 5.52002e-00 5.88293e-00 5.83013e-00 81%

Pseudo, Nvect = 10 5.58710e-00 5.89055e-00 5.00224e-00 80%Pseudo, Nvect = 20 5.52937e-00 5.88870e-00 6.08661e-00 91%

Nvect – numărul vectorilor de bază.

Anexa 3D

Exemple de aplicare a metodelor de analiză modală la rezolvarea problemelor de dimensiuni mari

Exemplul 1 prezintă o comparaţie a timpilor de calcul în cazul metodelor BLSI şi Lanczos, considerând diverse numere de moduri proprii. Rezolvitor utilizat: direct, “sparse”. Tipul de matrice a maselor utilizată: “Bloc, cu rotiri”.


329



Fig. D1. Model de calcul pentru un hotel.(Număr de noduri: 6 359; Număr de elemente: 7 264; Număr de ecuaţii: 37 806).

Tabelul D1. Comparaţie a rezultatelor Metoda BLSI Metoda Lanczos

f (Hz) Precizie F (Hz) Precizie2,794e-001 1,082e-006 2,794e-001 5,680e-0151,388e+000 1,389e-004 1,388e+000 2,199e-0131,520e+000 7,847e-004 1,520e+000 8,193e-0121,644e+000 2,469e-004 1,644e+000 4,497e-0131,747e+000 2,691e-004 1,747e+000 5,455e-0141,776e+000 3,092e-004 1,776e+000 9,127e-0131,806e+000 3,153e-004 1,806e+000 6,621e-0131,818e+000 6,383e-004 1,818e+000 3,656e-0122,622e+000 1,565e-003 2,343e+000 2,047e-0112,634e+000 1,383e-003 2,622e+000 1,223e-005

La aplicarea metodei BLSI, dacă nu se efectuează verificarea Sturm, între cel de al 8-lea şi cel de-al 9-lea mod apar perechi de valori proprii omise.

Tabelul D2. Durata obţinerii modurilor (în secunde)

Metoda 10 moduri 50 moduri 100 moduri

BLSI 735 6029 23572Lanczos 1472 12637 25271

Factorizarea matricei: 841 s.


330



Metodele avansate (BLSI, Lanczos), permit atât efectuarea factorizării, cât şi obţinerea unui număr mare de moduri proprii, într-un timp scurt, pe baza utilizării unui rezolvitor direct, ”sparse”.Rezultatele prezentate corespund rulării problemelor pe un computer Pentium 350MHz, având 256 MB RAM.

Exemplul 2 ilustrează aplicarea diferitelor metode la rezolvarea problemei PJG203. Modelul element finit conţine legături rigide, care conduc la utilizarea unei matrice a maselor consistentă.Se extrag 25 de “pseudo-moduri”.

Fig. D2. Problema PJG203.Număr de noduri: 5 945; număr de elemente: 11 471; număr de legături rigide: 22;

număr de noduri compatibile: 302; număr de ecuaţii: 34 266


331



Tabelul D3. Timp de calcul, spaţiu utilizat pe disc, primele 10 frecvenţe şi precizia, în cazul diverselor metode.

Metoda Timp (s) Spaţiu disc (MB) Frecvenţe (Hz) PrecizieSkyline 61 633 597 1.175e+000

1.337e+0001.454e+0002.445e+0002.445e+0002.628e+0002.829e+0003.033e+0003.209e+0003.595e+000

8.043e-0151.025e-0131.031e-0131.712e-0065.566e-0066.331e-0083.538e-0013.052e-0059.086e-0054.498e-003

Sparse 4 435 99 1.175e+0001.337e+0001.454e+0002.445e+0002.445e+0002.628e+0002.825e+0003.033e+0003.209e+0003.595e+000

3.522e-0122.689e-0111.159e-0101.735e-0065.639e-0066.419e-0083.520e-0013.034e-0059.938e-0054.386e-003

Lanczos modificată

3 459 24 1.175e+0001.337e+0001.454e+0002.445e+0002.445e+0002.628e+0002.791e+0003.033e+0003.209e+0003.595e+000

3.719e-0043.891e-0046.601e-0041.454e-0031.875e-0032.946e-0033.364e-0033.923e-0032.175e-0021.580e-001

PCG_Ritz 1 521 24 1.266e+0001.350e+0001.467e+0002.445e+0002.446e+0002.446e+0002.805e+0003.035e+0003.381e+0003.566e+000

N/A – metoda PCG_Ritz nu este o metodă iterativă, ci una

Ritz. Ca urmare, în locul modurilor proprii “exacte”,

se obţin “pseudo-moduri”.

1. Pentru metoda Lanczos modificată s-au utilizat următorii parametri: rezolvitor iterativ AEBEIS (mod multi-nivel); precondiţionare ICCF; 2 niveluri de agregare; 4 iteraţii interioare, tol = 1.0e-04 – precizia generării vectorilor Lanczos.

2. Pentru metoda PCG_Ritz s-au adoptat următorii parametri: rezolvitor iterativ AEBEIS multi-nivel; precondiţionare ICCF; 1 nivel de agregare; 4 iteraţii interioare.

3. Frecvenţele convergente sunt marcate cu galben. Dacă precizia (vezi Anexa 3A) unui vector rezidual pentru un mod dat este mai mică decât 5.0e-02, atunci va fi considerat ca fiind total convergent către vectorul propriu corespunzător. Ca urmare, frecvenţele ce au fost marcate cu galben sunt considerate valori “exacte” ale modelului discret dat. În tabelul D4 este prezentată estimarea erorilor în cazul metodei PCG_Ritz. Se poate concluziona că rezultatele obţinute cu această metodă oferă o suficient de bună aproximare în cazul aplicaţiilor inginereşti, astfel că o asemenea abordare poate fi utilizată la evaluarea rapidă a comportării seismice.

4. Metodele avansate permit reducerea drastică a timpului de calcul şi a necesităţilor de spaţiu de stocare pe disc, fără pierderi semnificative de corectitudine în ceea ce priveşte rezultatele.


332



Tabelul D4. Estimarea erorilor pentru Metoda PCG_RitzFrecvenţa “exactă” Rezultat PCG_Ritz Eroare (%)

1.175e+000 1.266e+000 7.71.337e+000 1.350e+000 1.01.454e+000 1.467e+000 0.92.445e+000 2.445e+000 0.02.445e+000 2.446e+000 0.02.628e+000 2.446e+000 7.02.791e+000 2.805e+000 0.53.033e+000 3.035e+000 0.13.209e+000 3.381e+000 5.43.595e+000 3.566e+000 0.8

Calculele au fost rulate pe un calculator Pentium 450MHz, având 128 MB RAM.

Exemplul 3. Se consideră o placă pătrată subţire, încastrată pe o latură, având o matrice a maselor consistentă. Se utilizează o reţea de 128x128 elemente cu patru noduri, de tip “shell”, astfel că se obţine un număr de ecuaţii Neq is 99072. Se extrag 40 pseudo-moduri.În tabelul D5 se prezintă timpul de calcul şi spaţiul necesar pentru stocarea pe disc, în cazul metodei Lanczos (rezolvitor “skyline” sau “sparse”), metoda Lanczos modificată (rezolvitor iterativ) şi metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz).

Tabelul D5. Timpul de calcul şi spaţiul necesar pentru stocarea pe disc, în cazul câtorva metode.Metoda Timp (s) Spaţiu disc (MB)

Lanczos, rezolvitor “skyline” 141 559 7 367Lanczos, rezolvitor “sparse” 15 615 157

Lanczos modificată,Rezolvitor iterativ

18 978 0

PSG_Ritz 9 651 192Calculele au fost rulate pe un calculator Pentium 450MHz, având 128 MB RAM.

Primele zece frecvenţe, obţinute prin metoda Lanczos (atât pentru rezolvitor “skyline”, cât şi pentru rezolvitor “sparse”), prin metoda Lanczos modificată (rezolvitor iterativ, precondiţionare ICCF, 3 nivele de agregare, 8 iteraţii interioare, toleranţă 1.0e-03 la generarea vectorilor Lanczos) sunt identice. Deoarece precizia calculelor a fost foarte ridicată, putem considera aceste valori ca fiind cele exacte pentru modelul discret dat. Ele sunt adoptate -în estimarea erorilor pentru frecvenţele obţinute prin metoda PCG_Ritz- ca fiind valorile etalon. La aplicarea acestei metode s-au utilizat: abordarea multi-nivel, cu precondiţionare ICCF (un nivel de agregare, 4 iteraţii interioare). Rezultatele corespunzătoare sunt prezentate în tabelul D6.

Tabelul D6. Comparaţie a frecvenţelor pentru metodele PCG_Ritz şi Lanczos Frecvenţe Lanczos

(Hz)Precizie Frecvenţe PCG_Ritz

(Hz)Eroare (%)

3.722e+000 5.918e-014 3.725e+000 0.089.112e+000 4.474e-014 9.115e+000 0.032.282e+001 2.424e-012 2.284e+001 0.092.915e+001 5.866e-013 2.915e+001 0.003.315e+001 1.795e-013 3.318e+001 0.095.801e+001 2.373e-011 5.803e+001 0.036.565e+001 3.028e-011 6.571e+001 0.096.873e+001 6.907e-014 6.875e+001 0.037.602e+001 1.549e-012 7.609e+001 0.099.949e+001 3.302e-013 9.953e+001 0.04


333



Exemplul 4. Se consideră structura de dimensiuni mari din Fig. D3

Fig. D3. Structură de dimensiuni mari. Număr de noduri: 26126; număr de elemente: 30272; număr de ecuaţii: 155920.

Se consideră analiza statică liniară (cu un singur caz de încărcare) şi obţinerea a 10 moduri proprii. Toleranţa adoptată pentru rezolvitorul iterativ este egală cu 1.0e-04. Pentru rezolvitorul “skyline” se utilizează metoda Lanczos. Pentru rezolvitorul direct “sparse” se aplică atât metoda Lanczos cât şi metoda BLSI. Metoda Lanczos modificată este utilizată pentru rezolvitor iterativ (metodă multi-nivel cu 3 niveluri de agregare, 4 iteraţii interioare, precondiţionare ICCF). Tipul de matrice a maselor: de tip blocuri, cu rotiri.

Tabelul D7. Timpul de calcul şi spaţiul necesar pentru stocarea pe disc, în cazul câtorva metode.

Metoda Spaţiu disc (MB)

Analiza liniară(s)

Extragerea a 10 moduri proprii (s)

Timp total (s)

Skyline 5 702 136 065 65 052 203 878AEBEIS 52 2 442 25 793 28 355Sparse

(Metoda Lanczos)773 10 253 24 500 35 762

Sparse NS(Metoda BLSI)

773 10 253 11 534 22 604

Calculele au fost rulate pe un calculator Pentium 450MHz, având 128 MB RAM.


334



Concluzii

Metodele avansate: BLSI, Lanczos, bazate pe rezolvitori direcţi “sparse” şi rezolvitori iterativi cu performanţe înalte AEBEIS, cu precondiţionare ICCF, reprezintă unelte puternice pentru rezolvarea problemelor statice liniare, sau de valori proprii, de dimensiuni mari. Comparativ cu rezolvitorul clasic “skyline”, acestea reduc în mod considerabil timpul de calcul şi spaţiul de stocare necesar pe disc. Metoda gradientului Ritz (PCG_Ritz) reprezintă o abordare rapidă, care permite estimarea răspunsului seismic al structurii date. Atunci când se acceptă un singur nivel de agregare, rezultatele obţinute cu ajutorul acestei metode sunt foarte apropiate de cele furnizate de către metodele Lanczos şi BLSI.

Referinţe bibliografice

1. E.L.Wilson. An eigensolution strategy for large systems. Computers&Structures, Vol.16, No. 1-4, pp.259-265, 1983.

2. E.L. Wilson. A new method of dynamic analysis for linear and nonlinear systems. Finite Elements in Analysis and Design, 1, 1985, 21-23, North-Holland.

3. E.L.Wilson, Three dimensional dynamic analysis of structures, Computers and Structures, Inc., Berkeley, California, USA, 1996.

4. R.W.Clough, J.Penzien. Dynamics of Structures. McGraw-Hill Book Comp., 1975, 634 p.

5. Fialko S. Yu. Investigations of the Initial Imperfections Influence to Natural Vibrations of Ribbed Conical Shells, Soviet Applied Mechanics, 1982, 18, N11, pp.118 - 122. (In Russian)

6. Fialko S. Yu. Nonsteady vibrations of ribbed conical shells under the influence of local loads, Soviet Applied Mechanics, 1987, v23, N6, p. 547-552.

7. Fialko S.Yu. High-performance aggregation element-by-element iterative solver for large-scale complex shell structure problems. Archives of Civil Engineering, XLV, 2, 1999. P.193-207.

8. Fialko S.Yu. High-performance aggregation element-by-element Ritz-gradient method for structure dynamic response analysis. CAMES (Computer assisted mechanics – engineering sciences), IV, 2000

9. Gambolati G., Pini G., Sartoretto F., An improved iterative optimization technique for the leftmost eigenpairs of large symmetric matrices, J. Comp. Phys., 74: 41 – 60, 1988.

10. Sartoretto F., Pini G., Gambolati G., Accelerated simultaneous iterations for large finite element eigenproblems, J. Comp. Phys., 81: 53 – 69, 1989.

11. M. Papadrakakis. A partial preconditioned conjugate gradient method for large eigenproblems, Comp. Meth. Appl. Mech. Eng., 62: 195 – 207, 1987.

12. M. Papadrakakis, Solving large –scale problems in mechanics, John Wiley & Sons Ltd., 1993.

13. S.Bitzarakis, M.Papadrakakis, A.Kotsopulos. Parallel solution techniques in computational structural mechanics. Comp. Methods Appl. Mech. Engrg. 1997, 148, p.75-104.

14. Hughes T.J.R., Ferencz M. Implicit solution of large-scale contact and impact problems employing an EBE preconditioned iterative solver, IMPACT 87 Int. Conference on Effects of Fast Transient Loading in the Context of Structural Mechanics, Lausanne, Switzerland, August 26-27, 1987.


335



15. Hughes T.J.R., R.M.Ferencz, and j.O.Hallquist. Large-scale vectorized implicit calculations in solid mechanics on a CRAY X-MP/48 utilizing EBE preconditioned conjugate gradients, Comput. Meths. Appl. Mech. Engrg., 61

16. Hughes Th. J. R. “The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic. FEM Analysis.”

17. Parlett B.N., 1980. “The Symmetric Eigenvalue Problem”. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 07632.

18. Bulgakov, V.E., Belyi, M.E., Mathisen, K.M. Multilevel aggregation method for solving large-scale generalized eigenvalue problems in structural dynamics, Int. j. Numer. Methods Eng., 40: 453 - 471, 1997.

19. Bulgakov, V.E. Iterative aggregation technique for large-scale finite element analysis of mechanical systems, Comput. Struct, 52: N4, 829-840, 1994.

20. Bulgakov, V.E., G. Kuhn. High-performance multilevel iterative aggregation solver for large finite-element structural analysis problems, Int. j. Numer. Methods Eng., 38: 3529-3544, 1995.

21. Regulatory Guide

22. I.Ja.Amiro, V.A.Zarucky, V.N.Revutsky, Yu.V.Skosarenko, A.I.Telalov, S.Yu.Fialko. Oscillations of Ribbed Shells of Revolution, Kiev, Naukova Dumka, 1988, 169 p. (In Russian).

23. S.Yu.Filako. Natural Vibration Modes of Ribbed Conical Shells, Soviet Applied Mechanics, 1984, v20, N11, p. 1033-1037. (In English)


336



ANEXA 4

Tipuri de instabilitate în Robot

Tipuri de instabilitatecare pot să apară pe timpul analizei structurale

Analiza structurii poate conduce la următoarele tipuri de mesaje de “instabilitate”:

tip 1 – atunci când există un element nul (o valoare egală cu zero) pe diagonala principală a matricii de rigiditate;

tip 2 – atunci când există un element nul (o valoare egală cu zero) pe diagonala principală a inversei matricii de rigiditate;

tip 3 – atunci când valorile din matricea de rigiditate a elementului sunt foarte disproporţionate.

Primul, cel de-al doilea şi –uneori- chiar şi cel de-al treilea tip de instabilitate sunt cauzate în mod obişnuit de către instabilitatea mecanică a structurii; de exemplu, o parte a structurii este mecanism sau parametrii rezemării structurii nu sunt suficienţi (număr, tipuri şi poziţii de reazeme). Cel de-al treilea tip poate să apară şi datorită faptului că există mari diferenţe între secţiunile transversale ale anumitor elemente.La utilizarea metodei de rezolvare “Skyline” pot fi întâlnite toate tipurile de instabilitate. La utilizarea metodei frontale poate să apară tipul întâi şi cel de-al treilea de instabilitate. Dacă mesajul de instabilitate ce apare corespunde metodei frontale, se sugerează recalcularea prin metoda “skyline”. În cazul rezolvitorului “skyline”, numărul de noduri şi grade de libertate în care se întâlneşte stabilitatea este indicat cu precizie.

Rezolvitorii iterativi nu raportează astfel de mesaje şi instabilitatea modelului se poate manifesta doar printr-o slabă convergenţă a analizei. Într-un astfel de caz, este indicată verificarea modelului înaintea efectuării calculului.

Metoda de rezolvare poate fi setată în fereastra de dialog Preferinţe de lucru (opţiunea Analiza structurii).


337



ANEXA 5

Analiza “pushover”

Analiza neliniară “pushover”

Introducere

Analiza statică neliniară “pushover” reprezintă o abordare simplificată ce permite inginerului să înţeleagă performanţa structurii pentru diferite modelări de seisme. În versiunea curentă există următoarele restricţionări:

Toate proprietăţile neliniare, care definesc eventuala cedare structurală pe durata seismului de proiectare, sunt concentrate în aşa numitele articulaţii neliniare “pushover”. Împreună cu acestea, pot fi luate în considerare şi alte efecte neliniare (forţe longitudinale, efect P-Delta, bare în întindere-compresiune, etc.), dar ele nu joacă un rol decisiv în comportarea de degradare a structurii.

Alticulaţiile neliniare pot fi luate în considerare doar pentru elemente ale cadrelor structurii şi pentru restricţii neliniare. Pentru elementele bidimensionale, care sunt modelate cu elemente de tip “shell”, şi pentru cele solide, această opţiune nu este disponibilă.

Articulaţiile neliniare sunt considerate ca fiind legături neliniare independente, pentru fiecare grad de libertate dintr-un nod dat. Interacţiunea dintre diferitele grade de libertate se neglijează. De exemplu, încovoierea unei bare într-un plan nu depinde de încovoierea în alt plan şi de eforturile longitudinale. Această limitare va fi înlăturată din versiunile următoare.

Poziţia fiecărei articulaţii neliniare este precizată de către utilizator.

O analiză “pushover” constă în parcurgerea următoarelor etape:

Definirea articulaţiilor neliniare pe un model de calcul, de tip element finit.

Atribuirea proprietăţilor neliniare ale articulaţiilor (diagramele forţă-deplasare şi moment-rotire).

Rularea unei analize modale, pentru activarea unei matrice a maselor (un mod este suficient).

Definirea specimenului de forţe laterale. OBSERVAŢIE: Forţele laterale de împingere depind de tipul de matrice a maselor.

Desemnarea unui nod şi a unei direcţii de control, ca şi o valoare ultimă a deplasării (atunci când deplasarea pe acea direcţie, din nodul de control depăşeşte un astfel de prag, se efectuează o analiză neliniară).

Desemnarea parametrilor analizei neliniare.

Efectuarea analizei pas-cu-pas. Ca rezultat al unei analize neliniare se obţine o curbă a stării de echilibru “forţe tăietoare, ca funcţii de deplasare de control”, V = V(D). Forţele tăietoare sunt definite ca sume ale reacţiunilor de pe o direcţie dată, cauzate de tipul corespunzător de forţe laterale.

Conversia curbei stării de echilibru V = V(D) în format ADRS (Acceleration Displacement Response Spectra = Spectru de Răspuns Acceleraţie Deplasare) – obţinerea curbei capabile

, unde este o acceleraţie spectrală iar Sd este o deplasare spectrală.


338



Realizarea “netezirii” (“aplatizării”) curbei capacităţii. Cuba “netezită” (“aplatizată”) a capacităţii este utilizată pentru analiza punctului de performanţă.

Considerarea reducerii perioadei de vibraţie datorită amortizării histeretice produsă de către puternicele deformaţii neliniare ale unei structuri. Conversia curbei capacităţii în “amortizare efectivă în funcţie de perioadă” .

Căutare pas-cu-pas a punctului de performanţă ca punct de intersecţie al curbei capacităţii

şi a curbei selectate.

Definirea încărcării laterale

Se întâmplă adesea ca –în structuri 3D- primul mod de vibraţie să producă vibraţii locale ale unei părţi reduse a structurii (vibraţii locale ale unei singure bare sau ale câtorva, mod local al unei plăci, etc.). Un astfel de mod de vibraţie este adesea nereprezentativ pentru analiza răspunsului seismic, astfel că are doar o contribuţie redusă la mişcarea seismică (procentul său de participare a maselor este redus). De aceea, pentru pregătirea unui mod “push” – un vector de formă, care predefineşte un vector deplasare în timpul analizei “pushover”, se aplică algoritmul ce va fi descris în cele ce urmează. În general, consideraţiile se bazează pe [2], dar este realizată o adaptare parţială la implementarea pe calculator.

, unde K, M – matricea de rigiditare, respectiv cea a maselor, Idir – vectorul

unitate al direcţiei (versorul direcţiei); (în cazul în care valorile unitate sunt localizate în poziţiile deplasărilor de translaţie ale direcţiei dir = x y,z, în timp ce pentru toate celelalte poziţii avem zerouri; x, y, z – direcţiile împingerii); dir este considerat ca mod de împingere.

Normalizarea modului “push” (împingere): , where

Factorul de participare al maselor:

Calculul forţelor laterale, ca fiind: , unde dir este un multiplicator scalar. Forţa

tăietoare .

Astfel, şi . Admitem că Vdir=1, că Vdir joacă rolul de

parametru al încărcării în analiza neliniară “pushover” şi că –pe moment- suntem interesaţi doar

de forţele laterale spaţiale. Atunci, . În cele ce urmează indicele dir va fi neglijat,

deoarece fiecare direcţie de împingere necesită o analiză “pushover” specifică.

Curba stării de echilibru. Algoritm neliniar.

În mod obişnuit, caracteristicile articulaţiilor neliniare sunt complexe (vezi [1,2]) şi conţin ramuri de degradare, ceea ce conduce la forma “dinţată” a curbei stării de echilibru. Pentru a înlătura dificultăţile, se aplică algoritmul lungimii de arc. Va apare fereastra de dialog a analizei “pushover”, ce este prezentată în figura următoare.


339



Fig. 10.5.1 Parametrii analizei “pushover”: Număr nod, direcţie – numerele nodurilor şi direcţia setată pentru deplasarea de control;

Deplasarea maximă – valoarea maximă a deplasării de control a împingerii; Parametrii neliniari – vezi analiză neliniară.

Dacă se bifează căsuţa analizei neliniare sau P-delta, în plus faţă de proprietăţile articulaţiilor neliniare vor fi luate în considerare cele ale fiecărui element finit. Cu toate acestea, doar articulaţiile neliniare şi elementele specifice neliniare (întindere-compresiune, cabluri şi conexiuni neliniare) definesc proprietăţile neliniare ale structurii.

Curba capacităţii. Format ADRS

Procedând aşa după cum s-a descris mai sus, se obţine curba stării de echilibru, V = V(D), unde V este o forţă tăietoare, iar D este o deplasare de control. Următorul pas este conversia curbei stării de echilibru V = V(D) în formatul numit “spectru de răspuns acceleraţie-deplasare” (ADRS=

“acceleration-displacement response spectra”): , unde Sa, Sd –

acceleraţia spectrală şi deplasarea spectrală. Funcţia reprezintă un spectru al

capacităţii. Procedeul de conversie constă în următoarele: în fiecare punct {D,V} V = V(D) se va

obţine punctul corespunzător al spectrului capacităţii utilizând formula

următoare:

(10.5.1)

unde - procentul de participare a maselor pentru modul “push” (“împingere”),

- masa totală a structurii; W – greutatea structurii; g – acceleraţia terenului.


340



, (10.5.2)

unde D – componentă a vectorului modului “push” , ce corespunde (fiind atribuit aceluiaşi nod şi aceleiaşi direcţii) deplasării de control D.

În general, V = V(D) este o funcţie neliniară. Ecuaţia reprezintă tot o funcţie neliniară

(vezi Fig.10.5.2). Fiecare punct de pe o asemenea curbă este asociat perioadei T. Evoluţia deformaţiilor neliniare conduce la modificarea perioadei vibraţiilor libere. Este evident faptul că T=const va reprezenta în diagrama ADRS o dreaptă ce trece prin originea sistemului de coordonate. Prin urmare, pentru toate punctele părţii liniare a spectrului capacităţii perioada este aceeaşi şi se notează cu Tlin. Această valoare se bazează pe soluţia setului de ecuaţii liniare KXdir = Fdir, unde K este matricea de rigiditate, ce descrie comportarea liniară a structurii, iar Fdir este un specimen al forţelor laterale. Vom nota: Dlin – componentă a vectorului soluţie Xdir corespunzătoare aceluiaşi grad de libertate ca şi deplasarea de control D; Vlin – suma reacţiunilor (forţelor tăietoare) produse de acţiunea lui Fdir. În concordanţă cu [2],

(10.5.3)

După înlocuirea lui (10.5.1) şi (10.5.2) în (10.5.3) se obţine:

(10.5.4)

Fig. 10.5.2 Spectrul capacităţii în format ADRS.


341



AMORTIZARE HISTERETICĂ. CURBA

Apariţia deformaţiilor neelastice conduce la amortizarea histeretică. Ariile corespunzătoare, prezentate în Fig.10.5.3 reprezintă energia disipată pe curbă şi energia de deformaţie maximă. Dacă vibraţia unui sistem dat este asociată cu vibraţia unui sistem cu un singur grad de libertate cu amortizare vâscoasă, atunci amortizarea vâscoasă echivalentă pentru întreaga curbă histeretică este următoarea:

, (10.5.5)

unde: ED – energia disipată pe curbă; ES0 – energia de deformaţie maximă. Energia disipată pe curbă ED şi energia de deformaţie maximă ES0 pot fi definite pe baza consideraţiilor din Fig. 10.5.3:

; (10.5.6)

Amortizarea efectivă este definită astfel:

(10.5.7)unde: 0.05 este amortizarea vâscoasă, - factor ce este adoptat din [2] în concordanţă cu Fig.8-15.

Fig. 10.5.3 Aria figurii curbe, delimitată de către curba capacităţii şi dreptele AK şi

KO, reprezintă ¼ din aria paralelogramului histeretic şi reprezintă energia disipată prin amortizarea pe o curbă (un ciclu). Aria triunghiului OAB reprezintă energia de deformaţie maximă. AK este paralelă cu linia de perioadă constantă Tlin = const.

Ca urmare, o curbă a capacitîţii poate fi prezentată nu numai ca , ci şi ca eff = eff(T),

din moment ce fiecare punct al curbei corespunde perioadei T (vezi ecuaţia 10.5.3) şi

amortizarea efectivă eff (vezi 10.5.5-10.5.7).


342



Integrala lui (10.5.6) este evaluată numeric, în fiecare punct . Aplicarea

algoritmului lungimii de arc permite obţinerea unor curbe ale capacităţii foarte complexe, cu ramuri reversibile în formă de “dinţi de fierăstrău”, cauzate de degradarea caracteristicilor articulaţiilor (vezi Fig. 10.5.4). Ca urmare, înainte de evaluarea numerică a expresiilor (10.5.5-10.5.7), curba capacităţii

va fi supusă unei proceduri de “netezire” (“aplatizare”). Pe o reţea regulată va fi

definită o curbă “netezită” (“aplatizată”) a spectrului capacităţii; spre deosebire de curba iniţială a capacităţii, aceasta reprezintă o funcţie de o singură variabilă. O astfel de proprietate este foarte importantă pentru evaluarea corectă a expresiilor (10.5.5-10.5.7). Pentru analizele următoare se va folosi numai această curbă “netezită” (“aplatizată”) a spectrului capacităţii.

Fig. 10.5.4 Curba spectrului capacităţii şi curba “netezită” (“aplatizată”) a spectrului capacităţii.(bazate pe exemple reale)

Curbă de impunere. Curbă de impunere selectată. Punct de performanţă

Atunci când ne deplasăm de-a lungul curbei neliniare a capacităţii ( ,

unde este definită prin ultimul punct al curbei stării de echilibru), perioada T şi

amortizarea efectivă eff(T) se modifică. Ca urmare, fiecare punct de pe curba capacităţii

(eff = eff(T)) defineşte curba corespunzătoare redusă (impusă) a răspunsului spectral

. în domeniul acceleraţiei constante a unui spectru şi

în domeniul unei viteze constante a unui spectru (vezi Fig. 8-14 din [2]).

reprezintă spectrul acceleraţiilor pentru spectrul răspunsului elastic (cu o amortizare de 5%).


343



Fig. 10.5.5 Evaluarea capacităţii; curbă de impunere şi curbă de impunere selectată. Punctul de performanţă - situat la intersecţia curbei capacităţii şi a celei de impunere selectată.

Punctul , definit de Sd din spectrul capacităţii , va fi numit

punct de selectare. De aceea, o deplasare pe curba capacităţii sugerează colectarea

punctelor selectate pentru , care este numită curba de impunere a spectrului

selectat . Intersecţia dintre curba capacităţii şi cea de impunere defineşte punctul de

performanţă. Acest lucru este explicat şi prin intermediul Fig. 10.5.5. Până la punctele ce

aparţin zonei liniare a diagramei spectrului capacităţii, , T = T lin eff = 0.05 = 5%. Punctul 1 este proiectat pe spectrul elastic de răspuns în 1’. Atunci, spectrul de impunere pentru aceste puncte reprezintă o parte a spectrului elastic de răspuns, de la zero la limita de comportare elastică. Pentru partea neliniară a spectrului capacităţii, trebuie să definim:

.

Punctele 2, 3 definesc proiecţiile corespunzătoare 2’, 3’ pe curbele reduse ale spectrelor ce au fost selectate. Colectarea acestor tipuri de puncte creează curba de impunere selectată. La intersecţia curbei capacităţii cu cea de impunere selectată se află punctul de performanţă.

Fereastra de dialog a curbei “pushover”

Pentru apariţia acestei ferestre de dialog, veţi face clic pe Rezultate / Avansate/ Curba pushover. Selectarea opţiunii Suma deplasărilor-reacţiunilor va conduce la prezentarea diagramei forţă tăietoare-deplasare de control V=V(D) (Fig. 10.5.6.A). Selectarea opţiunii spectrului capacităţii (Fig. 10.5.6.B)

conduce la calcularea curbei spectrului capacităţii , a curbei “netezite” (“aplatizate”) a

spectrului capacităţii, eff = eff(T), curba de impunere selectată şi la stabilirea

punctului de performanţă. Opţiunile Normală şi “Netezită” (“aplatizată”) permite afişarea pe ecran a curbei spectrului capacităţii şi –respectiv- curba “netezită” (“aplatizată”) a acesteia. Dacă se activează opţiunea Spectrul de impunere selectat, va apare acest spectru de impunere, care este calculat pe baza coeficienţilor seismici Ca , Cv şi a curbei “netezite” (“aplatizate”) a spectrului capacităţii.


344



A B C

Fig. 10.5.6 Fereastra de dialog a curbei pushover

Structura parametrilor amortizării permite selectarea tipului de comportare a structurii (vezi [2]) şi desemnarea factorului kappa (vezi 10.5.7) în concordanţă cu [2, Fig. 8-15] sau cu alegerea utilizatorului. Dacă utilizatorul doreşte să precizeze propriile dependenţe = (0), trebuie activată opţiunea Altele, pentru ca apoi să se efectueze corecţia valorilor pentru , 0 . Modul de utilizare a opţiunilor Punct 1 şi Punct 2 este prezentat în figura de mai jos.


345



Fig. 10.5.7 Modul de interpretare a lui Punct 1 şi Punct 2.

În versiunea curentă, este considerată o amortizare vâscoasă, de 5% (valoare constantă).Parametri auxiliari ai reţelei permit prezentarea pe ecran a liniilor corespunzătoare unei perioade constante (valorile perioadelor sunt atribuite în ferestrele de editare corespunzătoare) şi curbele spectrelor reduse pentru amortizarea efectivă dată (valorile acesteia fiind precizate în ferestrele de dialog corespunzătoare). O astfel de reţea curbă-dreaptă simplifică orientarea în planul Sa, Sd.

Coordonatele punctului de performanţă sunt date sub un separator, în cazul în care acest punct de performanţă este identificat; altfel, vor apare valori nule. Pentru a afişa coordonatele punctului de performanţă, trebuie făcut un clic dreapta cu mouse-ul şi selectată opţiunea Coloane ale tabelului. La acest clic dreapta al mouse-ului sunt disponibile şi alte operaţii grafice foarte utile .Opţiunea Perioada efectivă de amortizare permite afişarea curbei eff = eff(T) (Fig.10.5.6.C). Trebuie reţinut faptul că toate punctele de pe partea liniară a curbei spectrului capacităţii sunt atribuite unui singur punct al lui eff = eff(T), având coordonatele: T = Tlin, eff = 0.05.

Referinţe bibliografice:

[1] FEMA 273, 1997, NEHRP Guildelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, Developed by the Building Seismic Safety Council for the Federal Emergency Management Agency (Report No. FEMA 273), Washington, D.C.

[2] ATC-40, Seismic evaluation and retrofit of concrete building, 1996.


346



Metoda de control a lungimii de arc pentru analize neliniare

Atunci când se obţine un punct de maxim al unei stări de echilibru, algoritmul de control incremental al forţei este eronat.

Fig. 10.5.8 Imagine tipică de curbă a stării de echilibru, cu puncte de maxim.

Abordarea cu forţe de control poate fi aplicată atunci când 0 < 1, unde 1 corespunde punctului de maxim 1. Dacă > 1 , procesul iterativ cu forţă de control rămâne neconvergent. Algoritmul lungimii de arc permite parcurgerea tuturor ramurilor stării de echilibru fără probleme serioase. Se aplică metoda planului normal [1,2]. În cele ce urmează, se prezintă algoritmul neliniar cu dezvoltarea strategiei lungimii de arc.Parametrii de intrare: max – valoarea maximă a parametrului încărcării; Dmax – valoarea maximă a deplasării de control; NoSteps – numărul de incremente considerate; NoIter – numărul iteraţiilor echilibrului; tol_F – toleranţa pentru vectorul rezidual, tol_L – toleranţa pentru un parametru al încărcării.

Lansarea iniţializării

= 0

Parcurgerea incrementelor încărcării: n = 0, 1, …


347



unde: - vector rezidual, - valoare curentă a parametrului încărcării,

- încărcare exterioară, - vectorul forţelor interioare (eforturilor); - vectorul

curent al deplasărilor.

Parcurgerea iteraţiilor echilibrului: i = 0, 1, 2, … < NoIter

Setarea

Actualizarea lui pentru iteraţia următoare

Oprirea parcurgerii lui i

Oprirea parcurgerii lui n

Strategia lungimii de arc setează parametrul încărcării pe fiecare pas de încărcare. La lansarea

rezolvării (n=0; i=0) se adoptă , unde S este

incrementul lungimii de arc. La startarea pasului pentru fiecare iteraţie (i=0; n>0)

şi atunci când i>0, metoda planului normal conduce

. Fig.10.5.9 ilustrează metoda planului normal cu actualizare a matricii la

fiecare increment (în mod identic cu cazul metodei Newton-Raphson modificată).


348



Fig.10.5.9 Metoda planului normal.

Vom nota: - vectorul tangentei; - vectorul normalei. Restricţia pentru calcularea

incrementului încărcării este definită în concordanţă cu metoda planului normal (plan normal la

linia tangentă a pasului de iteraţie zero). Condiţia de ortogonalitate se scrie: sau

unde şi ; - pentru iteraţia zero.

(i=0).O astfel de condiţie de ortogonalitate permite definirea , când i= 1, 2, …Se poate demonstra faptul că determinantul |K| = 0 atunci când avem un singur punct de

singularitate (punctul de maxim, limită sau punctul de bifurcaţie). Este îndeplinită condiţia:

. Atunci când un punct dat al unui parametru de încărcare– deplasare de control aparţine curbei stării

de echilibru, deoarece vectorul rezidual (condiţiile de echilibru sunt verificate în

mod exact). Ultima expresie constituie un set de ecuaţii liniare omogene. Atunci, dacă într-un punct

oarecare |K| = 0, va rezulta că, în afara soluţiei banale există a alta, nebanală.

Determinantul |K| schimbă de semn la trecerea printr-un punct de singularitate. Algoritmul dezvoltat controlează modificările de semn ale determinantului |K|. În cazul existenţei unui punct de singularitate, va apare un mesaj de avertizare ce informează utilizatorul asupra faptului că starea de echilibru curentă este instabilă. Parametrii metodei lungimii de arc pot fi setaţi în fereastra de dialog prezentată în figura de mai jos.


349



Fig.10.5.10 Parametrii metodei lungimii de arc.

Unde: numărul de incremente ale încărcării - NoSteps; numărul maxim de iteraţii pentru un increment - NoIter; valoarea maximă a factorului încărcării - max; număr nod, grad de libertate – desemnarea unui număr de nod şi a unei direcţii pentru deplasarea de control; deplasarea maximă pentru un grad de libertate selectat - Dmax; toleranţa relativă pentru forţele reziduale – tol_F; toleranţa relativă pentru deplasări– tol_L.Metoda lungimii de arc este utilizată în analizele neliniare “pushover” şi este recomandată cu căldură în cazul în care modelul element finit conţine conexiuni neliniare. Exemplul ilustrează capabilităţile metodei lungimii de arc, care permite utilizatorului obţinerea în mod automat a unei curbe a starii de echilibru de o formă complexă (Fig.10.5.13), cauzată de ramurile de degradare ale caracteristicilor articulaţiilor neliniare. (Fig.10.5.12).


350



Fig. 10.5.11 Exemplu de structură în cadre, ce este încărcată cu forţe seismice laterale.

Fig. 10.5.12 Caracteristica moment încovoietor-rotire a articulaţiilor neliniare.


351



Fig. 10.5.13 Curbă a stării de echilibru. Aspectul “în dinţi de fierăstrău” este cauzat de ramurile de degradare a caracteristicilor articulaţiilor neliniare.

Referinţe bibliografice:

1. E.Hinton, NAFEMS. Introduction to nonlinear finite element analysis, Glasgow, 19922. E.Ramm, Strategies for tracing non-linear responses near limit points. Non-linear finite element

analysis in structural mechanics, (Eds. W.Wunderlich, E.Stein and K.J.Bathe), Springer-Verlag, New York, 1981


352



ANEXA 6

Generarea reţelelor de elemente finite de suprafaţă(pentru plăci plane şi curbe) - Exemple

Metoda Coons

Metoda constă în crearea de suprafeţe Coons pe un contur ale cărui laturi opuse sunt divizate într-un număr identic de segmente. Punctele de pe laturile opuse vor fi unite prin segmente de dreaptă, astfel încât –prin intersecţia acestora- se vor crea elemente finite. Metoda Coons este utilizată în Robot pentru suprafeţe tridimensionale şi pentru contururi plane dreptunghiulare sau triunghiulare. În cazul panourilor cu deschideri (goluri), pentreu generarea reţelei element finit se recomandă utilizarea metodei Delaunay.

Opţiuni ce controlează divizarea conturului – Divizare 1 şi Divizare 2

Câmpul Generare reţea al ferestrei de dialog Opţiuni de discretizare descrisă mai sus conţine următorii parametrii responsabili de divizarea conturului: Diviziune 1 – defineşte numărul de segmente de pe cea de a doua latură;Diviziune 2 – defineşte numărul de segmente de pe prima latură.

Numerotarea laturilor conturului este determinată de către ordinea în care acestea au fost desenate. Prima latură desenată va fi numerotată cu 1, iar fiecare din următoarele va primi numărul consecutiv următor (pasul numerotării fiind –deci- 1). De exemplu, dacă se defineşte un contur dreptunghiular –aşa cum se prezintă în figura de mai jos- şi se definesc Diviziune 1 = 8 şi Diviziune 2 = 4, atunci latura 2 va fi divizată în 8 segmente, iar latura 1 în 4 segmente. Aceasta va determina divizarea laturilor opuse – latura 4 va fi divizată în tot atâtea segmente ca şi latura 2 (deci, în 8), iar latura 3 în tot atâtea ca şi latura 1.

Contur şi reţea generate cu următorii parametrii: Diviziune 1 = 8 şi Diviziune 2 = 4

În cazul în care condiţiile de compatibilitate indică faptul că divizarea definită iniţial de către utilizator este insuficientă, programul va creşte în mod automat numărul de segmente de-a lungul unei laturi date. Spre exemplu, în cazul a două panouri vecine, ce au o latură comună, să definim parametrii Diviziune 1 = 4 and Diviziune 2 = 4. Apoi, să creştem parametrii pentru panoul din dreapta – pentru a obţine Diviziune 1 = 6 şi Diviziune 2 = 6 – şi să lăsăm păstrăm această reţea pentru acest panou.


353



Vom putea observa faptul că programul va creşte numărul de diviziuni pentru panoul din stânga, pentru a menţine compatibilitatea pe latura comună.

Parametrii responsabili de tipul de reţea generată

În afara valorilor setate pentru divizarea laturilor, programul permite controlul tipului de reţea generată. Opţiunile utilizate la discretizarea suprafeţei selectate sunt localizate în câmpul Parametrii metodei Coons. În timpul precizării în acest câmp a parametrilor, trebuie făcută selectarea elementelor corespunzătoare. Astfel - pentru moment- dacă în câmpul tipului de element finit se setează ca Tip de discretizare a panoului Pătrat (Contur dreptunghiular) şi Triunghi, atunci în locul reţelei dorite, alcătuită doar din elemente dreptunghiulare, se va obţine o reţea alcătuită din elemente triunghiulare.

Exemple:Parametri comuni tuturor exemplelor:Metode de discretizare disponibile

Coons: FrecventFactor de impunere: Recomandat

Exemplul 1Câmpul Generarea reţelei

Diviziune 1 = 4, Diviziune 2 = 5Câmpul Parametrii metodei Coons

Tipul de discretizare a panoului: Triunghiuri în contur triunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul Elemente finiteTip: Triunghiuri cu 3 noduriFactor de impunere: Recomandat


354



Pentru setările: Tipul de discretizare a panoului: Triunghiuri în contur triunghiular şi Triunghiuri şi pătrate în contur triunghiular, programul creează o reţea regulată (toate laturile panoului triunghiular vor fi divizate în acelaşi număr de segmente). Ca urmare, chiar dacă se vor introduce parametri Diviziune 1 şi Diviziune 2 cu valori diferite, programul îl va utiliza pe cel mai mare (în cazul nostru, Diviziune 2 = 5).

OBSERVAŢIE: În cazul selectării în câmpul elementelor finite utilizate la discretizare a elementelor dreptunghiulare, factorul de impunere trebuie să fie mai mic sau egal cu factorul de impunere al tipului de reţea. Programul va genera o reţea ce conţine atât elemente dreptunghiulare cât şi triunghiulare (deci, o astfel de reţea ce ar fi putut fi obţinută prin selectarea ca Tip de discretizare a panoului: Triunghiuri şi pătrate în contur triunghiular).

Exemplul 2Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 5, Diviziune 2 = 6Câmpul Parametrii metodei CoonsTipul de divizare a reţelei: Triunghiuri şi pătrate în contur triunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul elemente finiteTip: Triunghiuri cu 3 noduriFactor de impunere: Propus

În acest caz, factorul de impunere a elementului finit (Propus) este mai mic decât factorul de impunere al reţelei (Recomandat). Datorită acestui fapt, aici vor trebui utilizate elemente triunghiulare şi dreptunghiulare. Astfel, impunerea unui tip de elemente (triunghiular) va conduce la generarea unei reţele obţinută dintr-un singur tip de elemente.


355



Exemplul 3Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 5, Diviziune 2 = 4Câmpul Parametrii metodei CoonsTipul de divizare a panoului: Triunghiuri şi trapeze în contur triunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriFactor de impunere: Propus

Se poate observa că este o situaţie similară celei prezentate în exemplul anterior. Dacă utilizăm elemente triunghiulare cu un factor de impunere mai mare decât cel al reţelei, vom obţine o reţea constituită doar din triunghiuri. Deoarece dorim să avem o reţea mixtă, trebuie să selectăm patrulatere ca tip de elemente finite. În acest caz, setarea unui factor de impunere mai mare decât al reţelei nu va duce la generarea unei reţele alcătuite numai din patrulatere. Totuşi, se poate întâmpla ca reţeaua să nu fie generată deloc. De aceea, este mai bine să se seteze un factor de impunere redus.

În figura de mai sus se poate observa că, în mod contrar tipurilor de reţele anterioare (Triunghiuri, Triunghiuri şi pătrate), o latură poate fi divizată într-o manieră diferită. Procesul de divizare a laturilor este realizat astfel încât latura 2 este divizată în Diviziune 1 segmente; pentru atribuirea lui Diviziune 2 la laturile 3 sau 1 (sau la ambele), răspunzătoare este orientarea reţelei. Orientarea este stabilită în modul următor: nodul din care radiază reţeaua este nodul triunghiului ce corespunde unghiului cu măsura cea mai mare.Acest lucru este mai bine ilustrat prin exemplul următor – 3 panouri triunghiulare cu parametri identici de discretizare, ce diferă doar prin numerotarea laturilor.Exemplul 4Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 5, Diviziune 2 = 3Câmpul Parametrii metodei CoonsTipul de divizare a panoului: Triunghiuri şi trapeze în contur triunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriFactor de impunere: Propus


356



Exemplul 5Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 3, Diviziune 2 = 6Câmpul Parametrii Metodei CoonsTipul de divizare a panoului: Pătrate în contur dreptunghiularFactor de impunere: OricareCâmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriFactor de impunere: Oricare

În acest caz, este suficientă chiar şi o valoare relativ scăzută a factorului de impunere (Oricare), deoarece aria este regulată. Aşa cum s-a menţionat anterior, trebuie acordată mare atenţie tipului de element finit. Dacă se selectează elemente triunghiulare având cel mai redus factor de impunere (Fără), atunci nici măcar valoarea Forţat a Factorului de impunere nu mai poate garanta pentru acest tip de reţea generarea de patrulatere. Cazul Tip de divizare a panoului: Triunghiuri în contur dreptunghic este analog.


357



Exemplul 6Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 3, Diviziune 2 = 6Câmpul Parametrii metodei CoonsTipul de divizare a panoului: Triunghiuri în contur dreptunghiularFactor de impunere: OricareCâmpul Elemente finiteTip: Triunghiuri cu 3 noduriFactor de impunere: Oricare

Exemplul 7Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 2, Diviziune 2 = 5Câmpul Parametrii metodei CoonsTipul de divizare a panoului: Pătrate în contur dreptunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul Elemente finiteTipe: Patrulatere cu 4 noduriFactor de impunere: Oricare


358



În cazul plăcilor cu o latură definită ca fiind un obiect cu divizare impusă (de exemplu, un arc), trebuie să reamintim faptul că programul nu va genera o divizare mai fină decât cea precizată la definirea obiectului. În figura de mai sus se prezintă un contur cu o latură definită ca şi arc cu o divizare în 5 segmente (Arc – Parametri – setare Unghi: 5 în câmpul Discretizare). Deşi în opţiunile de discretizare Diviziune 1 = 2, programul generează 5 segmente. Programul generează o modificare a laturii 2 şi, în consecinţă şi a laturii 4, doar atunci când numărul de diviziuni excede numărul de diviziuni al obiectului selectat. Acest lucru este datorat faptului că arcul constă într-un număr de noduri legate prin segmente şi algoritmul de discretizare ajustează generarea elementelor finite la numărul de noduri. Astfel, crearea unei divizări mai mici decât cea rezultată din definirea arcului ar implica ştergerea nodurilor existente. Totuşi, aceasta este o operaţie interzisă.

Metoda triangularizării Delaunay şi metoda Kang

Metoda DelaunayMetoda triangularizării constă în divizarea unei suprafeţe bidimensionale într-o reţea de elemente finite triunghiulare. Metoda Delaunay face faţă cu succes deschiderilor din contururi, trebuind doar ca acestea să fie definite –în prealabil- ca şi contururi. La generarea unei reţele prin această metodă este necesar un singur parametru: Diviziune 1. Divizarea conturului se realizează în maniera următoare: programul creează un pătrat al cărui perimetru este egal cu cel al ariei considerate. Apoi, fiecare latură a acestui pătrat este divizată în Diviziune 1 segmente, cu o lungime de bază stabilită astfel încât să asigure aceeaşi distribuţie a laturilor pe conturul în chestiune. Situaţia descrisă este ilustrată foarte bine de către figura de mai jos. Pentru ambele panouri, avem Diviziune 1=4. Prin divizarea pătratului cu perimetru identic cu al plăcii dreptunghiulare, programul determină lungimea segmentului (2.5). Atunci, dreptunghiul în chestiune va fi divizat în 16 segmente de lungime (16*2.5 = 40 = elemente perimetrale).

În metoda Delaunay, tipul de reţea generată poate fi controlat prin setarea opţiunilor disponibile în câmpul Elemente finite, prin selectarea tipului de element finit şi precizarea coeficientului de control al conversiei elementelor finite triunghiulare în elemente finite dreptunghiulare (Observaţie: Factorul de impunere din câmpul Elemente finite nu este luat în considerare de către metoda Delaunay). Coeficientul de conversie este destul de important, deoarece conduce la reducerea numărului de elemente prin conversia în patrulatere. Mai mult chiar, rezultatele obţinute prin utilizarea elementelor de tip patrulater sunt –în general- mai precise.


359



Coeficientul reprezintă o mărime ponderată, ce ia valori din domeniul (–1, +1): -1 însemnă că programul va modifica doar triunghiurile care –împreună – alcătuiesc forme

asemănătoare pătratelor

+1 înseamnă că programul creează elemente pătrate ori de câte ori acest lucru este posibil (OBSERVAŢIE: poate conduce la generarea unor elemente prost condiţionate)

OBSERVAŢIE: Pentru a putea realiza conversia elementelor finite triunghiulare, în câmpul Elemente finite trebuie selectate elemente de tip patrulater.

Exemple:Parametri comuni tuturor exemplelor:Metode de discretizare disponibileDelaunay: FrecventFactor de impunere: Recomandat

Exemplul 8Câmpul Generare reţeaDiviziune 1 = 5Câmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduri Coeficient: -1


360



Exemplul 9Câmpul Generare reţeaDiviziune 1 = 5Câmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriCoeficient: +1

Exemplele 8 şi 9 ilustrează foarte bine influenţa coeficientului de conversie. Pentru valoarea -1 a acestuia, vor fi convertite în pătrate doar triunghiurile care nu au frontieră pe laturile plăcii.În cazul în care factorul de conversie este +1, programul face conversia triunghiurilor în patrulatere ori de câte ori acest lucru este posibil. Trebuie adăugat aici faptul că această conversie este realizată după generarea reţelei element finit, astfel că ea aparţine post-procesării. Dacă se doreşte creare unei reţele alcătuite doar din triunghiuri, este suficientă selectarea în câmpul Elemente finite a elementelor triunghiulare, ceea ce va însemna că factorul de conversie va fi ignorat.


361



Exemplul 10Câmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 5Câmpul Elemente finiteTip: Triunghiuri cu 3 noduriCoeficientul nu are nici o influenţă, deoarece au fost selectate elemente triunghiulare.

Delaunay + Kang

Metoda Kang constă în rafinarea unei reţele generate în vecinătatea emiţătorilor, care sunt noduri speciale, definite în locuri ale structurii ce necesită o mărire a preciziei de calcul. Sunt disponibile două tipuri de emiţători:

emiţători definiţi de către utilizator – opţiunea permite utilizatorului să-şi definească proprii emiţători şi este disponibilă după bifarea în câmpul Parametrii metodei Delaunay din fereastra de dialog Opţiuni de discretizare a opţiunii: Emiţători: Utilizator. Aceşti emiţători vor fi definiţi în fereastra de dialog Analiză / Model de calcul / Emiţători:


362



emiţători definiţi din oficiu – emiţătorii sunt creaţi în mod automat în colţurile deschiderilor şi alăturat acestora; opţiunea devine disponibilă prin selectarea Emiţători: Din oficiu.

Rafinarea reţelei prin utilizarea metodei Kang constă în generarea în suprafaţa panoului a unei unde de propagare, provenite de la un emiţător. Sunt disponibili următorii parametri:

H0 – prima lungime de undă (de la emiţător)

Hmax – ultima lungime de undă

Q – coeficient ce precizează relaţia dintre o lungime de undă şi cea anterioară, cee ce înseamnă că lungimile undelor succesive compun următoarea secvenţă H0, H0*Q, H0*Q2, ..., Hmax. Din motive evidente, coeficientul Q trebuie să îndeplinească următoarea condiţie: Q > 1.


363



Exemplul 11Câmpul generarea reţeleiDiviziune 1 = 5Câmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriCoeficient: +1Parametrii metodei DelaunayEmiţători: Din oficiuDelaunay + Kang: H0 = 0.5, Hmax = 3, Q = 1.35

Deoarece a fost selectată opţiunea de emiţători din oficiu, programul va genera emiţători în colţurile plăcii. În exteriorul zonei cu reţea rafinată va fi utilizată metoda Delaunay. În plus, valoarea coeficientului de conversie a fost setată ca fiind +1, ceea ce asigură o conversie maximă a elementelor triunghiulare în elemente dreptunghiulare. Setarea parametrilor H0=0.5, Hmax=3, Q=1.35 conduce la generarea a şase unde, cu următoarele lungimi de undă: 0.5, 0.68, 0.91, 1.23, 1.66, 2.24, 3.03, ce sunt vizibile în figura următoare, care prezintă colţul din partea inferioară stângă al plăcii.

Parametri: H0=0.5, Hmax=3, Q=1.35. Lungimi de undă: 0.5, 0.68, 0.91, 1.23, 1.66, 2.24, 3.03


364



În vederea generării unei reţele cu emiţători definiţi de către utilizator, trebuie ca, în câmpul Parametrii metodei Delaunay din fereastra de dialog Opţiuni de discretizare să fie activată opţiunea: Emiţători: Utilizator.Aceşti emiţători vor fi definiţi prin indicarea unui nod/punct al panoului şi introducerea primei lungimi de undă H0. Următorii parametrii, adică Q şi Hmax sunt definiţi în fereastra de dialog Opţiuni de discretizare. Exemplul prezentat mai jos conţine un emiţător definit de către utilizator, în colţul inferior stâng al plăcii. Opţiunea privind emiţătorii din oficiu este inactivă.

Exemplul 12Câmpul Generarea reţeleiDiviziuni 1 = 5Câmpul elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriCoeficient: -0.6Parametrii metodei DelaunayEmiţători: Din oficiuDelaunay + Kang: H0 = 0.2 (definit în fereastra de dialog a emiţătorilor), Hmax = 1000, Q = 1.2

Deoarece opţiunea emiţătorilor din oficiu este inactivată, parametrul H0 din fereastra de dialog Opţiuni de discretizare nu influenţează emiţătorul definit de către utilizator. Setarea Hmax = 1000 înseamnă că undele Kang generate se propagă înspre interiorul plăcii.

Exemplul 13Metode de discretizare polareCoons: Frecvent (bifat)Delaunay: FrecventFactor de impunere: PropusCâmpul Generarea reţeleiDiviziune 1 = 6, Diviziune 2 = 6Parametrii metodei CoonsTip de divizare a panoului: Pătrate în contur dreptunghiularFactor de impunere: RecomandatCâmpul Elemente finiteTip: Patrulatere cu 4 noduriCoeficient: -0.8Factor de impunere: RecomandatParametrii metodei DelaunayEmiţători: Din oficiuDelaunay + Kang: H0 = 0.3, Hmax = 1000, Q = 1.2


365



Exemplul prezentat mai sus prezintă modul de utilizare a setărilor globale a generării reţelei. Fereastra de dialog este deschisă prin selectarea din meniu a comenzii Unelte / Preferinţe de lucru / Opţiuni de discretizare / Modificare. Setările prezentate mai sus au fost utilizate la generarea reţelelor pentru două plăci pătrate; pe panoul din stânga a fost generată o reţea Coons, iar pe cel din dreapta a fost generată o reţea Delaunay. Opţiunile de discretizare au fost setate astfel încât să evite impunerea a doar una din metodele disponibile, astfel că impunere din câmpul Metode de discretizare impuse a fost setată ca Propuse. De aceea, programul recunoşte în mod automat suprafeţele regulate (cazul panoului stâng) şi utilizează metoda Coons, în timp ce metoda Delaunay este utilizată de fiecare dată când apar neregularităţi (panoul cu deschidere, din partea dreaptă).


366



Dacă nu dorim să utilizăm metoda Coons, este suficient să setăm Niciodată în fereastra de lângă “Coons” din câmpul Metode de discretizare disponibile şi să păstrăm ceilalţi parametri ca în cazul anterior. Setările de mai sus asigură generarea de către program a unor reţele Delaunay în ambele panouri.

Acelaşi efect poate fi obţinut prin impunerea metodei Delaunay, astfel:


367



Prezentăm acum modul în care o astfele de reţea este influenţată de către coeficientul de conversie al elementelor triunghiulare în elemente de tip patrulater. Modificăm valoarea acestuia de la -0.8 la –0.5, şi păstrăm ceilalţi parametri (impunând metoda Delaunay pentru ambele panouri) ca mai sus.

Ca urmare a setării noii valori a coeficientului, programul va genera o reţea regulată, de patrulatere bine condiţionate. Setarea optimală este cea în care valoarea coeficientului este –0.5.

Utilizarea consolidării şi rafinării reţelei - exemple

Câmpul Metode de discretizare disponibileDelaunay: Frecvent (bifat)Câmpul Generarea reţeleiDiviziuni 1 = 5Câmpul Elemente finiteTip: Triunghiuri cu 3 noduri

Setările anterioare conduc la generarea unei reţele Delaunay ce conţine doar triunghiuri.


368



Acum, vom realiza consolidarea reţelei. Pentru aceasta, trebuie să selectăm întregul panou şi să deschidem fereastra de dialog Consolidarea reţelei prin selectarea din meniu a comenzii Analiză / Model de calcul / Consolidarea reţelei. Apoi, trebuie setată valoarea coeficientului de conversie la –0.4 şi debifată opţiunea de îngheţare a reţelei element finit, astfel încât să fie posibilă modificarea acesteia în cursul procesului de proiectare. De îndată ce se parametrii selectaţi sunt confirmaţi, se obţine reţeaua prezentată în fereastra de mai jos.

Pentru a rafina elementele reţelei localizate în colţul plăcii (vezi figura de mai sus), trebuie selectate elementele şi –apoi-deschisă fereastra de dialog corespunzătoare rafinării reţelei, prin selectarea din meniul principal a comenzii Analiză / Model de calcul / Rafinarea reţelei. Numărul elementelor indicate va apare în câmpul Lista elementelor. Apoi, va trebui selectată o rafinare dublă, prin selecţia: Tipul rafinării reţelei: Dublă. Ca în cazul de mai sus, opţiunea de îngheţare a reţelei trebuie să fie nebifată.

Aşa după cum se observă în figura de mai sus, laturile elementelor selectate au fost divizate în două segmente, astfel că fiecare patrulater a fost înlocuit de alte patru, mai mici. Simultan, pentru menţinerea continuităţii gradelor de libertate, programul va diviza elementele vecine celor selectate.


369



Acum, vom genera modelul de calcul, prin obţinerea unei reţele care să conţină doar elemente triunghiulare. Se selectează din meniul principal comanda Analiză / Model de calcul / Generare. Se selectează întregul panou şi se realizează conversia în patrulatere prin utilizarea opţiunii disponibile în fereastra de dialog Consolidarea reţelei. De această dată, se selectează valoarea –0.8.

Acum, vom realiza o rafinare în scopul obţinerii unei reţele fără divizarea a laturilor elementelor finite. Pentru aceasta, se selectează întregul panou, se deschide fereastra de dialog Rafinarea reţelei şi se setează Tipul rafinării reţelei: Simplă. În urma acestor setări, se va obţine reţeaua element finit prezentată în figura de mai jos.


370


Robot millennium 16.5

Documents

Transcript of Robot millennium 16.5