Rivers And Leaves

6
Shapes of river networks and leaves: are they statistically similar? Jon D. Pelletier 1* and Donald L. Turcotte 2 1 Division of Geological and Planetary Science, Mail Stop 150-21, California Institute ofTechnology, Pasadena, CA 91125, USA 2 Department of Geological Sciences, Snee Hall, Cornell University, Ithaca, NY 14853, USA The structure of river networks is compared with the vein structure of leaves. The two structures are visually similar at the smaller scales. The statistics of branching and side branching are nearly identical. The branching structure of di¡usion-limited aggregation clusters is also similar and can provide an expla- nation for the structure of river networks. The origin of the self-similar branching and side branching of the vein structure in leaves is not clear but it appears to be an optimal network in terms of transporting nutrients to all parts of the leaf with the least total resistance. Keywords: leaf veins; fractal; network; Tokunaga; rivers; optimal Fractal trees have been associated with a wide variety of naturally occurring networks. Examples include river networks, actual plants and trees, root systems, bronchial systems and cardiovascular systems. Before the intro- duction of fractals by Mandelbrot (1967), empirical studies of drainage networks (Horton 1945) had given power-law relations between stream numbers, stream lengths, drainage areas and stream slopes. Peckham (1995) developed a software routine for obtaining river networks from digital elevation models (DEMs). Seven typical drainage networks obtained using this routine are given in ¢gure 1. The routine also gives a variety of data on networks, including numbers and lengths of streams and drainage areas.We have also used this routine to obtain the vein structures of leaves. Two examples are given in ¢gure 2. The vein structure of a whole mature leaf and a side lobe of a leaf of Sorbus hybrida (Rosaceae) were obtained from greyscale images given by Merrill (1978). The leaf architecture of the whole leaf has a well-de¢ned regularity at the largest scale but becomes quite random at smaller scales as shown by the vein structure of the side lobe. The small-scale structure of the leaf strongly resembles the river networks in ¢gure 1. To compare leaves with drainage networks it is neces- sary to quantify the branching structures. The original branch-ordering taxonomy for fractal trees was developed as a stream-ordering system in geomorphology by Horton (1945) and Strahler (1957). Streams on a standard topographic map with no upstream tributaries are de¢ned to be ¢rst order (i 1). When two ¢rst-order streams combine they form a second-order (i 2) stream. When two second-order streams combine, they form a third-order (i 3) stream, and so forth. Horton (1945) also introduced the bifurcation ratio R b N i N i1 , (1) and the length-order ratio R r r i1 r i , (2) where N i is the number of streams of order i and r i is the mean length of streams of order i . Emprically it was found that R b and R r were nearly constant, independent of order, for actual drainage networks. With the introduction of the fractal dimension D as the power-law scaling exponent between number and length, it was recognized that the fractal dimension of a stream network is given by D lnR b lnR r . (3) If a self-similar network is area ¢lling we must have D 2. An important aspect of the networks illustrated in ¢gures 1 and 2 is side branching. That is, some ¢rst-order streams intersect second-order, third-order, and all higher-order streams. Similarly, second-order streams intersect third-order and higher-order streams, and so forth. To classify side branching Tokunaga (1978) extended the Strahler (1957) ordering system. A ¢rst-order branch intersecting a ¢rst-order branch is denoted `11' and the number of these branches is N 11 , a ¢rst-order branch intersecting a second-order branch is denoted `12' and the number of such side branches is N 12 , a second-order branch intersecting a second-order branch is denoted `22' and the number of such branches is N 22 , and so forth. The total number of streams of order i , N i , is related to N ij by N i X n j1 N ij , (4) for a fractal tree of order n . The branch numbers N ij , i5j , constitute a square upper-triangular matrix. This class of fractal trees can also be quanti¢ed in terms of branching ratios T ij . These are the average number of branches of Phil.Trans. R. Soc. Lond. B (2000) 355, 307^311 307 & 2000 The Royal Society Received 17 September 1998 Accepted 5 May 1999 * Author for correspondence ( [email protected]).

description

An interesting article discussing the ways that streams and leaf veins are networked in a fractal pattern that most efficiently moves liquid.

Transcript of Rivers And Leaves

Page 1: Rivers And Leaves

������ �� �� �� ���� ��� ��������� ��� � � � ����� �����

��� �� ��������� �� ����� �� �������

��������� �� ������ �� � �� �� ������ � � ���� ������� � ������ �������� ���� ������ � � �� � �! "����� #�!��� ��$�� �� ������ ������� �� % � ���� #��������� �� � � &' �()�*� #�!

��� ����� � ��� ������� �� ������� ���� ��� ���� ����� � ������� ��� ��� ������ ��������� ������ �� ��� ������ ������� ��� ���������� � �������� ��� ���� �������� �� ����� ������������� �������� ����� � ��������������� ���������� ������ �� ���� ������ ��� ��� ������ �� ������������ � ��� ����� � ��� �������� ��� ����� � ��� ��� ������� �������� ��� ���� �������� � ��� ���� ����� �� ������ �� ��� ���� �� �� ������ �� �� �� ������� ������ �� ���� � ����������������� �� ��� ���� � ��� ��� ���� ��� ����� ����� ����������

�������� ��� ������ ������ ������� �������� ����� �������

����� ���� ���� ���� ���������� ���� � ���� ������ � ������� ������ �������� !������� ������ ����������" ����� ������ ��� ����" ��� �������" ��������������� ��� ����������� �������� #� �� ��� ����������� � ������ �� $�������� %�&'()" �������������� � ������� ������� %*���� �&+,) ��� ������������� �������� ������� ����� �����" ������������" ������� ���� ��� ����� �������-������ %�&&,) ��������� � �� ���� ����� �

��������� ��� ������� �� ������� ��������� ������%.!$�)� /���� ������� ������� ������� �������� �������� ����� �� ����� �� 0�� �� ��� ����� ���� ����� ������� � ���� �� �������" �������� ����� ���������� � ������ ��� ������� ����� 1� ���� ���� ������� ����� �� ������ ��� ���� ������ � ������� ����������� �� ����� �� 0�� �� ��� ���� ����� � ������ ���� ��� ��� � ���� ���� � � ��� � ���+�� �+��� %2�������) ��� �������� �� �������� ����������� �� $���� %�&(3)� ��� ��� ��������� � ��� �������� ��� � �������0��� ������� �� ��� ������ ����� ��������� 4��� ����� �� ������ ������ �� ����� �� ������� ����� � ��� ���� ����� ��� ����������� ������ ��� ��� ������� �������� ��� ��� ������� ��0�� ���� ������ ������ ���� ������� ������� �� �� ������

��� �� 4���� � ��� �������� ������� ��� ������������������� �������� � ����� ���� ��� ����������� � ������������ ������ �� ������������ ��*���� %�&+,) ��� /����� %�&,()� /����� �� � ����������������� ��� ���� �� ������ �������� ����0��� �� �� 0�� ��� %� � �)� 1��� ��� 0������������ ������� ���� �� � ���������� %� � �)������ 1��� ��� ���������� ������ �������" ���� �� � �������� %� � 5) �����" ��� �� ���� *����%�&+,) ���� �������� ��� �� ������ ����

,+ �&�

&���" %�)

��� ��� ���������� ����

,� �������" %�)

���� &� �� ��� ���� � ������ � ��� � ��� �� �� ������� ������ � ������ � ��� �� !�������� �� ��� ��� ���� ,+ ��� ,� ��� ����� ��������" ������������ ���" � ����� ������� ��������1��� ��� ���������� � ��� ����� ��������� � �� ���

�������� ������� �������� ������� ���� ��� ������"�� ��� ������6�� ���� ��� ����� ��������� � � ����������� �� ����� ��

� � ��,+

��,�� %5)

7 � ��� ������� ������ �� ��� 0����� �� ��� ����� � ��8� �������� ������ � ��� ������� ��������� ��

0��� � ��� � �� ���� ��������� ���� ��" ���� 0������������ �������� ����������" ��������" ��� ������������ ������� /�������" ���������� �������������� �������� ��� ��������� ������" ��� �� ���� �� ������ � ���� ��������������� %�&(3) ����������� /����� %�&,() ������ ������� 8 0������ ���������������� � 0������ ����� �� ������� 9��: ��� ������� � ����� ������� �� &��" � 0������ ���������������� � ���������� ����� �� ������� 9��: ��� ������� � ��� ���� ������� �� &��" � ��������������� ����������� � ���������� ����� �� ������� 9��:��� ��� ���� � ��� ������� �� &��" ��� �� ���� �������� ���� � ������ � ��� �" &�" �� ������ �� &�- ��

&� ���

-��&�-" %+)

� � ����� ��� � ��� �� ��� ����� ����� &�-" ��-"��������� � �4�� ����������� ������ ���� ����� � ����� ���� ��� ���� �� 4����0�� �� ���� � ������������� ��-� ����� �� ��� ������ ���� � ������� �

� �.�� ��. ,. ���. /���. # %�;;;) ��" 5;(<5�� 5;( � �;;; ��� 2���� /������,���� �( /������� �&&3 !����� , $�� �&&&

� 8��� � ������������ % =��>������6������)�

Page 2: Rivers And Leaves

��� � =������ ������� � ��� -� #������� ����� �������� �� ����� ����� ��

��- �&�-

&-� %,)

8���� ��� �������� ����� ��- ��������� � �4��" ����������� ������1� ��� ��0�� ��� ������� ���� �� �� ��� ����� � ����

� ����� ��"��0 � �0 ���� �0 �� � �������� ���� ����������� �� 0 �� ��� �� �� ������� %�&(3) �������� ���� �������� ����� � ��� �������" ������������� ������ �4���� � ��� ���������� � ���� �������� ����

�0 � �0��� %')

���� �� ��� � ����������� ����� � ���� ��� �� ������0�� ����� ���� �� ���� ����� �� ��������� �����8 ������� ������� ��� �� ��������� �� 0�� 5 �

��� ����������� ���������� ��� ������������������� �� ����� �� 0�� 5+"�� � ���� ���������� ������ ,� � � ��� &+ � �" &5 � 5" &� � ��" ��� &� � +5�

5;3 ?� .� -������� ��� .� @������� � �� �� ���� ��1��0� �� ��

� �.�� ��. ,. ���. /���. # %�;;;)

(a) (d )

(e)

( f )

(g)

(b)

(c)

50 km

50 km

50 km

50 km

50 km

50 km

1000 km

��� �� .������ ������� ��������A % ) B����%+) @���� -�����" /����� -������" C����� %�) /�������C���" D�� E��� %� ) D����� %) B������ 2����% � ) $���������� 2���� ��� %�) #�����

(a) (b)

��� �� F��� ����� � � ���� ��� �� ���+�� @�%2�������) �������� �� ���� � �������� ����� �� �������������� ����� �� $���� %�&(3)A % ) ����� ��� � %+) ���� �����

1424 11

1112

14

44

1423

1111

12

13 1334

12

11

11

22

2212

1111

14

1312

11

11

2313

1211

11 22

12 22

1111(a)

(b)

(c)

33

1333

1322 11

11122212

11 11

11

1123

12

24 11

1112

N11 = 22 N12 = 11 N13 = 6

T12 = 1 T13 = 2 T14 = 4T23 = 1 T24 = 2

T34 = 1

N14 = 4N22 = 6 N23 = 3 N24 = 2

N33 = 2 N34 = 1N14 = 1

��� 5� % ) ������� ������� ����� ���� %+) #��������� ������ %�) #������������ ������

Page 3: Rivers And Leaves

��� �� ������ ���� ,+ �� ��� �������� �� ��������� + � ���� �������� ��� �� �4����� %5)" � ��������� � � ���� ����� � �� 1� ���� 0�� ���� ��� � ��5

� �5+ � �� � �" ��5 � ��+ � � ��� ��+ � +� �� ���� �� �4����� %') �� ���� � � ��� + � ��1� ��� 4���� � ��� �������� ������� ��������� ��

0��� � ��� �� -������ %�&&,) ��� ���������������������� ������� � ��� B������ 2��� ����� ��B������ ��� ��� -���� 2��� ����� ��1������� #����� ���������� ������ ���� ��� B������ 2��� ����������� �� ��� � �5 ,;; ��� ��� ��� -���� 2�������� �� ��� � �;�3����� � ��� B������ 2��� �����,+ � +�' ��� ,� � ��,� � ��� -���� 2��� �����,+ � +�( ��� ,� � ��+� �� �4����� %5) ��� ������������ ����� � ��� ����� ��������� �� � � ��'( ���� � ��((" ������������ G��� �������� ���� ��� �������� ������� %') ��� ��������" ������ � ��� ��� � � ��,� � ��� ��� ������� ��������� �� 0�� � ���

�������� ���������� �� ����� �� 0�� + � 1� 0��,+ � �;;�'( � +�'3� ��� ���������� ���������� �� ������� 0�� , � 1� 0�� ,� � �;;�5, � ���+� ��� ���4����� %5) �� ���� � � ��&�� ��� ���� ����� � ����������� ����� �0 �� ����� �� 0�� ' � H��� ������������ ���� ��� ������� ������� %') �� ��������"������ � ��,3 ��� � � ��++� 7� ��������" �� ����

������� ��� ����������� ������� ������ ��� ��� �������� � ���� /����� ��� �� 0�� ( � ��� ������������� ���� / � !2 ���� 2 ����� �4�� �� ������� � ��������������� �� ����� �� ��� *��� ��� %*��� �&,()� � ��� ������ ��������� �� 0�� � ��� ��������

���������� �� ����� �� 0�� ++� �� 0�� ����,+ � �;;�', � +�+(� ��� ���������� ���������� �� ������� 0�� ,+� �� 0�� ���� ,� � �;;�5+ � ���&� ��� ���4����� %5) �� ���� � � ��&�� ��� ���� ����� � ����������� ����� �0 �� ����� �� 0�� '+� 8���� 4������� �������� ���� ��� ������� ������� %') ���������� �� ��� ������ ������" ������ � ���5 ���� � ��5+� ��� ���� ����������� ������� ������ ��� ���������� � ������� ������� �� ������� � ��� �����%0�� (+)�8� ���� ������ %���� 0) ���� ���� �� ������� ��

��� ���� ��������" ��� ���������� � ���� �������� ������� �� ��� ������� ������� %')� #��� �� ���� � ����������� ���������� ��� �� ���� � ������������� ������������ 0�� ���� ������� ������� ��� ��� ���� ����� � ������ �� ��� ������ ������ �� ��� ������� ���� ���0����� ����� ����������� ������� 0��� � ��� �� 8� ������4������ ��" ��� �� ������� ������� ��� ������ ��������������� �������� �����I 1� 0�� ���� ��� ������������ ���� ��������������� ���������� %.@8)�

� �� �� ���� ��1��0� �� �� ?� .� -������� ��� .� @������� 5;&

� �.�� ��. ,. ���. /���. # %�;;;)

106

104

102

100

1210

–0.67

864i

N

N

20

(a)

104

105

103

102

100

10–1

101

10

–0.65

864i

20

(b)

��� +� -��� � ��� ������ ���� � ������� � ��� � ��� ������ � ��� �� % ) 2����� � ��� ����� ������� ����������� �� 0�� �� ��� ���� ������� ���� & � ��;�'(� ���,+ � �;;�'( � +�'3� %+) 2����� � ��� ��� ��� ������� ������� 0�� �� ��� ���� ������� ���� & � ��;�',� ���,+ � �;;�', � +�+(�

103

104

102

101

10–1

10–2

100

10 12

0.35

864i

L (

km)

20

(a)

100

10–1

10–3

10–2

10

0.34

864i

L (

cm)

20

(b)

��� ,� -��� � ��� ������ ����� ������ � ��� � �� � ������ � ��� �� % ) 2����� � ��� ����� ������� ����������� �� 0�� �� ��� ���� ������� ���� � � ��;�5,� ���,+ � �;;�5, � ���+� %+) 2����� � ��� ��� ��� ������� ������� 0�� �� ��� ���� ������� ���� � � ��;�5+� ���,+ � �;;�5+ � ���&�

Page 4: Rivers And Leaves

��� ������� � .@8 ��� �������� �� 1����� J/���� %�&3�)� ���� ��������� � ��� � ������ �� � ��������������� ������� ��� ������ � ���� ������� ��� �������� � ��� ���� 8� �������� ������� ��� ��������������� �� � 9��������: ����� ��� ��� ������� �� ����� � ����� ���� ���� %�) �� ������� �� ��� ����������� � �������� �� ������� � ��� ����� ��=����� �� ��������" � %��) �� ������� ����� � ���� 9�������: ��������� ������� �����" �������� ����� ��� ���� ����� ���� ��������� ������������ � �������� ����� ������� ��� ���� �� ���� ��� �� �������� ������������%F�������� J F������ �&3&)�K������� %�&&�) ��� ��������� ��� ��������

���������� � +( ���������� .@8 ������ ���� ���� �;'

��������� K� ������" ��� ������� ��� �������� ����� ����� ��� ������ �� ������ ���� � ��������� ��� ��� �� �� ,+ � ,��,� ;�;, ��� ��������� ���������� ���� ,� � ��3'� ;�;,� �� �4������ %5) ��� ����������� ����� ��������� ��� � ��,'� ��� .@8 ������ �� ��� ���� ����� ������� ������� ������� � ��� ���� �������" ��� ������ ����� ��������� � .@8 ������ �� ������������������ 7� ��� �� ������� ��� �������� ���������� � .@8 ������" K������� %�&&�) ��� ��� ���0����������� �������� � .@8 �� F�������� J F������

%�&3&)� ��� ���0������ ����� �� ������� �4������� ����� ������������� ����� �������� �� �������%�&(3)� 7� ���� � ��� ������� ���� ��0��� ���4����� %') �� �� ��� ���� � ��, ��� � � ��( �.@8 ����� ��� .@8 ������" ��� ������� ��� ��������� ������� ������� ������������� �����������8 ���� ������ � ������ ���� ���� ������� � �����

��� �������� ����� ���� ���� ������� �� 2�����6�7��� J 2������ %�&&() ��� �������� %�&&()� $���� J������ %�&&5) ������� � ����� � ������� ��������� � ������� ������� ����� �� .@8� ���� ����������� ������� ���������� ����� �� �� ���� ������������ �4����� %')� -������ %�&&,) ��� ����� ���� ������ ���� ������������ ������� ��� ������ ������������� ����� ����� ������� ��� �� ���� ������� ��/���� %�&'&)�/��� ����� %2�����6�7��� J 2������ �&&() ����

����� ���� ��� ������� �� ������� ������� � ����������� ���� ���� ��� ������ ����� ���� �������� ��� ���������� #����� ��� ������ � ������ ������ ������ �� ������������� ������ �� ��� ������� ������������ ��� ��� �� ������� ����� � ����������������� �� ��� �� ����� �� ��� ��� �� ��� ���� ����� ������ � ������� ��� ����� ����������

5�; ?� .� -������� ��� .� @������� � �� �� ���� ��1��0� �� ��

� �.�� ��. ,. ���. /���. # %�;;;)

103

104

102

101

10–1

100

9 11

0.38

75k

Tk

31

(a)

103

102

101

10–1

100

0.37

864k

Tk

20

(b)

��� '� -��� � ��� ������� �������� ����� �0 �� � ������ � 0� % ) 2����� � ��� ����� ������� ���������������� �� 0�� �� ��� ���� ������� ���� �4����� %')"������ � ��,3 ��� � � ��++� %�) 2����� � ��� ��� ��������������� �� 0�� �� ��� ���� �� ���� ��� ������� �����4����� %')" ������ � ���5 ��� � � ��5+�

102

101

10–1

100

0.470.470.500.500.500.490.46

L (

km)

10–2 100 102 104

(a)

A (km2)100

10–1

10–3

10–2

0.490.52

L (

cm)

10–5 10–4 10–210–3 10–1 100

(b)

A (cm2)

��� (� -��� � ��� ������ ���� ������� ��� ������� ����� /����� ��� �� % ) 2����� � ��� ����� ������� ����������� �� 0�� �� ��� ���� ������� ���� / � !;�,� %+) 2����� � ��� ��� ��� ������� ����� �� 0�� �� ��� ���� ����������� / � !;�, �����

Page 5: Rivers And Leaves

����������

����" 8� .� �&&; /�� ������6�� ������ ������ � ����������L��� ����� �������� 3 �� ���. ,�. � " +(<,,�

*���" ?� �� �&,( /����� � ����������� ��0��� �� F������ ���$������� #� ��. ����. ����. � �� �&+#�

*����" 2� !� �&+, !������� ����������� � ������ ��� ����������� ������� ������������ ������� �� 4����������������������� 4�. ��. ���. !$. ��" �(,<5(;�

$��������" #� #� �&'( *�� ���� �� ��� ��������� � #�����I/���������� ��� ���������� ��� ��� ����� ���������� ��������" '5'<'53�

$����" ?� G� J ������" .� @� �&&5 8 ��������������� ����������� ����� � ��� �������� � ������� �������� 3 �� � ��. ���. /��. �� " 5(&<53'�

$����" !� B� �&(3 C�������� � ���� ��� ��������� � ���� ����� �� ���+�� @� %2�������)� 4��. � 5. � " ++(<+,5�

K�������" -� �&&� #���� ��� ��� ���0������ �������� �

���� ��������������� ���������� ������� � ��. ,�� 8 ��"�;,3<�;''�

-������" /� �&&, D�� ����� � ��� ������� ���� ���������������� �� ��� ��������6 �� ,����. ,�. �" �;�5<�;�&�

2�����6�7���" 7� J 2������" 8� �&&( 7� �� ���� + ����� D��E��A C������� M�������� -����

/����" 2� @� �&'& /���� ������� ��� ����� ���� �� �������������� ����� ������� �������� 8. ��. ��" 5&(<+;,�

/�����" 8� D� �&,( H���������� �������� � �������� �������������� !$. ��� ��. #������ ��. �" &�5<&�;�

�������" !� �&(3 C����������� �� ��� ����������� � �������������� ������� �������������.,�.��0������.#���.�"�<�(�

������" .� @� �&&( 7� �� � �� � �� �� ����� �� ��� ������ D��E��A C������� M�������� -����

F��������" ?� J F������" N� G� �&3& C����������� ����� ���� �������� � ���0�� �������� 8. �� ����. � ��. ��" �,�&<�,53�

1�����"�� 8� J /����" @�$��&3�.�������������� ����������"� ������� ������� ����������� � ��. ,�. /��. ��" �+;;<�+;5�

� �� �� ���� ��1��0� �� �� ?� .� -������� ��� .� @������� 5��

� �.�� ��. ,. ���. /���. # %�;;;)

Page 6: Rivers And Leaves