RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA NON SMORZATO
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RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA NON SMORZATOSISTEMA NON SMORZATO
tFtF sin0
tFtkxtxm sin0
Forza impressa
equaz. del moto:
k m
x(t)posizione di equilibrio statico x(t)=0
F 0sint ..kx
N
mx
mg
F 0sint
rr
kF
mk
FX
1 20
20 rapporto
di frequenza
0 0 00 xx trtr
kFtx
sinsin
1 20per
La risposta è la sovrapposizione di due termini armonici di differenti frequenze: moto non armonico.
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ttr
kFtx
cos2
sin21 2
0
frequenza della forzante vicina alla frequenza naturale del sistema:
r1,
BATTIMENTI:
ttk
Ftx cos
20
frequenza della forzante uguale alla frequenza naturale del sistema, , r=1
RISONANZA: oscillazione armonica la cui ampiezza aumenta gradualmente fino all'infinito
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permanente risposta
sin 21ia transitorrisposta
sincos222
0
trr
kFtBtAetx DD
t
tFtf sin0
2222
0
1
2tan sin
21 r
rt
rr
kFtx
tFtf cos0
2222
0
1
2tan cos
21 r
rt
rr
kFtx
La presenza del fattore esponenziale fa sparire rapidamente la parte transitoria cosicché il moto rimane descritto dalla sola risposta permanente:
RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - RISPOSTA ALL'ECCITAZIONE ARMONICA - SISTEMA SMORZATO SISTEMA SMORZATO
tFtkxtxctxm sin0
crcc
equaz. del moto:
per il sistema sottosmorzato
rmc 2
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20 1
2tan sin
r
rθtω ωHFtx
20 1
2tan cos
r
r θtω ωHFtx
22
2
22
21
11)(
mH
Le precedenti possono essere scritte, rispettivamente:
in cui
funzione di risposta in frequenzao
funzione di trasferimento
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k
Fxst
0
21 222
0
rr
kFX
222 21
1
rrx
XD
st
deflessione statica del sistema su cui agisce la F0 statica
"FATTORE DI AMPLIFICAZIONE DINAMICA": rapporto fra l’ampiezza della vibrazione e la corrispondente deflessione statica
ampiezza della risposta dinamica
tan eD . ed r variano con
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r 1 2 2
12
0 7,
qualsiasiper 90
2
11
rD
Ascissa del picco (derivando rispetto ad r e ponendo = 0):
Il picco si verifica per r<1; per non c'è picco.
Per sistemi leggermente smorzati, l'ampiezza max si verifica per r 1.
Alla risonanza (r 1):
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fattore di amplificazione in funzione di r per diversi valori di
per = 0 e r = 1, D diventa infinitamente grande, cioè il moto si amplifica indefinitamente (RISONANZA)
per r grande, cioè per , risulta D<<1, cioè il sistema non risente praticamente dell’effetto di forzanti con pulsazione relativa, , elevata.
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angolo di fase in funzione di r per diversi valori di
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FORZA TRASMESSA ALLA FONDAZIONE
tFtf sen0
2222
0
1
2tan
21 sin
r
ξrθ
ξrr
kF XθtωXtx
oscillatore smorzato soggetto ad una forza armonica
risposta per lo stato permanente:
kxxc
xckxfT
rk
ctckXfT
2tan sin222
La forza trasmessa al sostegno attraverso la molla è
e attraverso l’elemento smorzante è
forza totale trasmessa al sostegno: sostituendo, si ottiene:
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valore massimo della forza trasmessa alla base:
222
2
021
21
rr
rFFT
TRASMISSIBILITÀ Tr : rapporto tra la forza trasmessa
alla base e l’ampiezza della forza applicata:
222
2
0 21
21
rr
r
F
FT T
r
espressione utile, ad esempio, in problemi di isolamento dalle vibrazioni prodotte da motori
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Per massimizzare l’isolamento si può intervenire sia sullo smorzamento che sulla frequenza propria dell’oscillatore (r grande perciò piccolo, ovvero k piccolo e/o m grande). Si nota che lo smorzamento tende a ridurre l’efficacia dell’isolamento dalle vibrazioni per frequenze corrispondenti a .2r
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Determinazione sperimentale delle caratteristiche dinamiche:
2 - METODO DELLE OSCILLAZIONI FORZATE
Tecnica basata sull'osservazione delle risposte per lo stato permanente ad eccitazioni armoniche in un campo di frequenze prossimo alla risonanza.
Si applica una forzante armonica e si traccia la curva di risposta rilevando le ampiezze di spostamento in funzione della frequenza.
E’ utile tracciare anche il grafico dell’angolo di fase in funzione della frequenza.
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L’ampiezza della risposta raggiunge il valore max in prossimità della risonanza. Si commettono errori trascurabili se si confonde l’ampiezza massima con l’ampiezza relativa ad r=1.
In corrispondenza del massimo della risposta, si può quindi valutare frequenza naturale dell’oscillatore.
si può ricavare anche dal grafico dell’angolo di fase, in corrispondenza di 0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1,5 1,7 1,9 2,1 2,3 2,5
frequenza di eccitazione
Am
piez
za d
i ris
post
a picco
f
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Metodo dell'ampiezza di banda (mezza-forza) per la valutazione dello smorzamento
La forma delle curve di risposta è controllata dallo smorzamento, cioè le curve sono tanto più strette quanto minore è lo smorzamento.
La "ampiezza di banda", differenza fra due frequenze che corrispondono allo stesso valore di risposta, è correlata al valore dello smorzamento.
Conviene misurare la larghezza di banda a del picco della curva; le frequenze corrispondenti vengono chiamate "punti di mezza forza", f1 ed f2 .
21
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22
1
21 222
stst x
rr
x
21
221 1 221 rr
Analiticamente, i valori di f1 ed f2 si determinano ponendo la risposta uguale a
Per l'ampiezza di risonanza:
Sottraendo la prima dalla seconda delle precedenti, si ottiene:
f
fr
f
fr
f
ffrr 22
211
11212
12 ; 2
1
2
1
2
1
2
21 fff
Per la simmetria della curva di risposta:
12
12
ff
ff
Infine, si ha:
21
2211221 2222r
22
222 1 221 rr