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RETÍCULOS

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RETÍCULOS

En matemáticas, un retículo es una determinada estructura algebraica con dos operaciones binarias, o bien un conjunto parcialmente ordenado con ciertas propiedades específicas (siendo equivalentes ambos enfoques).

¿ QUÉ ES UN RETÍCULO?

Es una determinada figura algebraica.

Posee dos operaciones binarias.

Es un conjunto parcialmente ordenado.

PROPIEDADES DE LOS RETÍCULOS

Si (L, ≤) es un retículo, las operaciones < y > satisfacen las siguientes propiedades:

Asociativa

Conmutativa

Idempotencia

Absorción

Criterio de comparación

SUB-RETÍCULOS

Sea (L;≤) un retículo, y L’ contenido en L un subconjunto de L. Entonces L’ es un subretículo si para cualesquiera x,y ∈ L’ se verifica que x y ˅ ∈ L’ y x y ˄ ∈ L’.

Se puede decir que un subretículo es un conjunto cerrado bajo los operadores meet (operaciones de intersección) y join (operaciones de unión) del conjunto original.

DIAGRAMA DE HASSE

El diagrama de Hasse de un conjunto ordenadofinito es una representación del mismo en la quecada elemento se representa por un punto del plano.Si aRb se dibuja a por debajo y se une por medio deun segmento. Finalmente se suprimen los segmentosque corresponden a la propiedad transitiva, es decir,si aRb y bRc se suprime el segmento correspondientea aRc.

DIAGRAMA DE HASSE

Concretamente, uno representa a cada miembro de S como un punto negro en la página y dibuja una línea que vaya hacia arriba de x a y si y sigue a x.

EJEMPLO

Por ejemplo, sea el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} (todos los divisores de 60). Este conjunto está ordenado parcialmente por la relación de divisibilidad. Su diagrama de Hasse puede ser representado como sigue

Realizar operaciones representativas al homoformismo de los retículos

La clase de todos los retículos forma una categoría si definimos un homoformismo entre dos retículos (L) y (N) como una función F: L,N tal que f(a,b)= F(a) f(b);f(a,b): para todo a y b en L.

Si es un homorfismo biyectivo, entonces su inverso es también un homorfismo, y se llama un isomorfismo de retículos.