RESUMEN PSU MATEMÁTICAS NÚMEROS Números Naturales (ℕ): Son los elementos del conjunto ℕ={1,2,3,4,5,6,7,8,…}.

• Números Primos: Números Naturales que solo tienen dos divisores, la unidad y el mismo número.

𝑃= {2,3,5,7,11,13,17,23…}. Recuerda: El 1 no es un número primo

• Números Compuestos: Números Naturales que tienen más de dos divisores. 𝐶={4,6,8,9,10,12,14,15,…}

Números Cardinales (ℕ0): Son los elementos del conjunto ℕ0={0,1,2,3,4,…}. Números Enteros (ℤ): Son los elementos del conjunto ℤ={…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}. Números Racionales (ℚ): Son los del conjunto ℚ= {𝑎𝑏/𝑎,𝑏 ∈ℤ,𝑏≠0}.

• Las equivalencias más utilizadas entre fracciones, decimales y porcentajes son:

1/2=0,5=50% 1/3=0,3̅=3313%

1/4=0,25=25% 1/5=0,2=20%

1/8=0,125=12,5% 1/10=0,1=10%

3/4=0,75=75% 1/100=0,01=1%

• Orden en ℚ: Una forma de comprobar cuándo una fracción en mayor o menor que otra es simplemente haciendo un producto en forma cruzada. La otra posibilidad es pasar las fracciones a decimales.

Números Irracionales (ℚ´): Son los números que no se pueden escribir como fracción, por ejemplo 2√2. Números Reales (ℝ): Son todos los números que pertenecen a los racionales o a los irracionales. Aproximaciones: Existen varios métodos de aproximación siendo estos:

• Truncamiento: Se eliminan las cifras a partir de un orden considerado.

Ejemplo: Aproximar por truncamiento el número 2,345378 a las milésimas. Simplemente se eliminan las cifras que están después de las milésimas, resultando 2,345.

• Redondeo: Se eliminan las cifras a partir de un orden considerado, pero teniendo en cuenta que si la primera cifra eliminada es 5 o más de 5 a la última cifra decimal que se deja se le añade uno. Ejemplo: Aproximar por redondeo el número 4,2451 a las centésimas y luego a las milésimas. En el primer caso, resulta 4,25 y en el segundo 4,245.

• Aproximación por defecto: Una aproximación es por defecto si la aproximación es menor que el número inicial. El truncamiento es siempre una aproximación por defecto. Ejemplo: Al aproximar a la centésima por defecto el número 2,438 resulta 2,43; donde 2,43<2,438.

• Aproximación por exceso: Una aproximación es por exceso si la aproximación es mayor que el número inicial. Ejemplo: Al aproximar a la centésima por exceso el número 5,732 resulta 5,74; donde 5,74 >5,732.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Potencias: Una potencia es el resultado de multiplicar un número por sí mismo varias Propiedades de las potencias: Sean 𝒂, 𝒃, 𝒏

y 𝒎 números reales distintos de cero.

Raíces: Las raíces son la operación contraria a las potencias. La raíz enésima de 𝑏 se denota como √𝑎𝑛 tal que:

Donde 𝒏 se conoce como índice de la raíz y 𝒃 como radical o cantidad del sub-radical. Propiedades de las raíces: Considere que 𝒂,

𝒃, 𝒌, 𝒎, y 𝒏 son números reales distintos

de cero y 𝑎>0

Logaritmos: Exponente al que es necesario

elevar una cantidad positiva para que resulte

un número determinado. Si se escribiera

como ecuación, 𝐥𝐨𝐠𝐛𝒂=𝒙, donde 𝒃 es la base

del logaritmo y 𝒂 es su argumento, con 𝑏>0,

𝑏≠1, 𝑎>0 corresponde a resolver 𝒃𝒙=𝒂. Es

decir:

𝐥𝐨𝐠𝐛𝐚=𝐱⇔𝐛𝐱=𝐚

Propiedades de los logaritmos: Sean 𝑎,𝑏,𝑐

números reales y positivos, 𝑏≠1

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS ÁLGEBRA Y FUNCIONES Lenguaje algebraico: Hay diversas palabras que tienen un significado matemático cuando forman parte de una situación problemática. Aprender su significado es fundamental para resolver problemas. A continuación, se muestra un listado de la relación entre palabras y a que es lo que se hace referencia:

Palabras Hace referencia

Agregar, añadir, aumentar

Adición (Suma)

diferencia, disminuir, exceso

Sustracción (Resta)

veces, factor, de, del, producto

Multiplicación

razón, cociente División

doble, duplo, múltiplo de 2, número par

2𝑛

Observación: o El cuidado principal debe estar en el orden en que se leen las expresiones, ya que debe hacerse comenzando por lo que afecta a toda la expresión. Ejemplo 2𝑥3: El doble del cubo de un número. (2𝑥)3: El cubo del doble de un número. Productos Notables: Los productos notables

son casos de interés de multiplicaciones de

expresiones algebraicas. Estos permiten

conocer su resultado con anticipación. Su

utilización logra ahorrar tiempo en la

resolución de ejercicios y permite comprender

de mejor forma los casos de factorización.

• Factorización: Proceso contrario a

los productos notables. Ejemplos de Factorización:

• 1. Factor Común 12𝑥 − 18𝑥2 = 6𝑥(2 − 3𝑥) 2. Factor Común Compuesto 𝑎𝑝 − 𝑎𝑞 + 𝑏𝑝 − 𝑏𝑞 = 𝑎(𝑝 − 𝑞) + 𝑏(𝑝 − 𝑞)

= (𝑎 + 𝑏)(𝑝 − 𝑞)

3. Trinomios

Caso 1: Binomios con Término Común

𝑢2 + 8𝑢 − 20 = (𝑢 + 10)(𝑢 − 2) Caso 2: Cuadrado Perfecto 16 + 40x2 + 25x4 = 42 + 2 ∙ 4 ∙ 5𝑥2 + (5x2)2 = (4 + 5𝑥2)2

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Caso 3: Caso Especial

Suma de Cubos

8 + 27𝑦3 = (23 + 33𝑦3)

= (2 + 3𝑦)(22 − 2 ∙ 3𝑦 + 32𝑦2)

= (2 + 3𝑦)(4 − 6𝑦 + 9𝑦2)

Diferencia de Cubos

125 − 𝑦6 = (53 − (𝑦2)3)

= (5 − 𝑦2)(52 + 5 ∙ 𝑦2 + (𝑦2)2)

= (5 − 𝑦2)(25 + 5𝑦2 + 𝑦4)

Diferencia de Cuadrados 𝑛2 − 81 = 𝑛2 − 92 = (𝑛 − 9)(𝑛 + 9) Ecuaciones Lineales: Una ecuación se denomina de primer grado o lineal si el mayor exponente de la incógnita es 1. Toda ecuación de primer grado en una variable puede reducirse a la forma: 𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎

Sistemas de ecuaciones lineales: Dos ecuaciones de primer grado, que tienen ambas las mismas dos incógnitas, constituyen un sistema de ecuaciones lineales. La forma general de un sistema de ecuaciones de primer grado es:

Donde A, B, C, D, E y F son números reales.

• Para resolver algebraicamente un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas existen varios métodos; utilizaremos sólo tres de ellos: sustitución, igualación y reducción.

• Método De Sustitución: Se debe despejar una de las variables en una de las ecuaciones y luego reemplazarla en la otra ecuación, generándose así una ecuación con una incógnita.

• Método De Igualación: Se debe despejar

la misma variable en ambas ecuaciones y luego éstos resultados se igualan, generándose así una ecuación con una incógnita.

• Método De Reducción: Se deben igualar los coeficientes de una de las incógnitas, en ambas ecuaciones, multiplicando ambos miembros convenientemente, obteniéndose un sistema equivalente al dado, y luego se suman o restan ambas ecuaciones, resultando así una ecuación con una incógnita.

• Desigualdades: En los números reales se cumple que dos números x e y son 𝑥 > 𝑦, 𝑥 < 𝑦 o 𝑥 = 𝑦. Las desigualdades corresponden a expresiones relacionadas por los signos <, >, ≤, ≥.

• Una desigualdad no cambia al sumarle o restarle una cantidad a ambos lados de ella. Tampoco cambia al multiplicarla o dividirla por un real positivo, pero CAMBIA al multiplicarla o dividirla por un número negativo.

Ejemplo:

Un intervalo es un subconjunto de los números reales. Existen cuatro tipos de intervalos, los cuales son: Cerrado: [𝑎, 𝑏] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏} Ejemplo: [−4,1]

28 > 14 /: −7

28: (−7) < 14: (−7)

−4 < −2

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

Abierto:]a,b[ = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 < 𝑏} Por ejemplo: ]−3,3[

Abierto por la izquierda: ]a,b] = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏} Por ejemplo: ]−3,3[

Abierto por la derecha: [a,b[ = {𝑥 ∈ ℝ/𝑎 ≤ 𝑥 < 𝑏} Por ejemplo: ]−2,5[

Inecuaciones de Primer Grado: Es una desigualdad que contiene una o más incógnitas la cual se resuelve aplicando las propiedades de las desigualdades. Ejemplo:

4𝑥 – 1 > 7 4𝑥 > 8 𝑥 > 2

Solución: 𝑥 ∈ ]2, ∞+[

Resolución Sistemas de Inecuaciones: Si se tiene un sistema de inecuaciones lineales conformado por 2 o más inecuaciones, se debe resolver cada una de estas como una inecuación simple (aplicando las propiedades de las desigualdades); luego, al tener las respectivas soluciones de cada una, la solución final del sistema será la intersección de estas. Es conveniente realizar un gráfico para visualizar la intersección; si esta no existe, entonces la

solución del sistema de inecuaciones será vacía.

• Funciones: Una función matemática es una aplicación entre dos conjuntos numéricos de forma que a cada elemento del primer conjunto X le corresponde uno y sólo un elemento del segundo conjunto Y. Al conjunto X se le llama Dominio y al conjunto Y se le llama Codominio. Dentro del codominio está el Recorrido, que corresponde a todos los elementos que son imagen de algún elemento de X.

A la variable X se le llama variable independiente, mientras que a la variable Y se le denomina variable dependiente.

• Para determinar si un gráfico corresponde a una función, recomiendo utilizar el método de las verticales que consiste en trazar líneas verticales sobre la figura, si estás líneas intersectan a la figura en dos o más puntos NO es función. Ejemplo:

Al trazar verticales concluimos que no son funciones los grafico 3 y 5. Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es inyectiva (o 1 a 1) si para todo par de elementos distintos del dominio, sus imágenes son diferentes, es decir, ningún elemento del conjunto 𝐵 es imagen de dos elementos distintos del conjunto 𝐴. Algebraicamente, esto se puede representar como: ∀ 𝑥1, 𝑥2 ∈ 𝐴, 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2) ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 Una función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es epiyectiva (o sobreyectiva) si y solo si todo elemento del conjunto B es imagen de algún elemento del conjunto A, es decir:

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS ∀ 𝑦 ∈ 𝐵, ∃ 𝑥 ∈ 𝐴/𝑓(𝑥) = 𝑦 𝑜 𝑅𝑒𝑐 𝑓 = 𝐵

Función Afín: Su forma principal es 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛. Donde 𝑚 corresponde a la pendiente de la recta y 𝑛 es el coeficiente de posición.

• Si 𝑚 > 0 la recta se “inclina” a la derecha.

• Si 𝑚 < 0 la recta se “inclina” hacia la izquierda.

• Si 𝑚 = 0, la recta es paralela al eje x.

• Si 𝑚 = ∞, la recta es paralela al eje y.

El valor 𝑛 corresponde al punto (0, 𝑛) que es la intersección de la recta con el eje y.

Cuando 𝑛 = 0, recibe el nombre de Función Lineal y la recta pasa por el origen del sistema de coordenadas.

Forma General: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0, donde la

pendiente m = - 𝑎

𝑏 y el coeficiente de posición

n = - 𝑐

𝑏 .

Función Cuadrática: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, con 𝑎 ≠ 0. Su gráfica corresponde a una parábola.

Concavidad: El coeficiente a indica si las ramas de la parábola se abren hacia arriba (𝑎 > 0) o hacia abajo (𝑎 < 0).

Vértice: Para determinar el vértice es conveniente determinar primero 𝒙 = − 𝒃 𝟐𝒂, posteriormente se reemplaza el valor obtenido en la función para calcular el valor 𝑦. Eje de simetría de la parábola: Corresponde a

la recta 𝑥 = − 𝑏

2𝑎, paralela al eje y.

• Si 𝑎 > 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

• Si 𝑎 > 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

• Si 𝑎 < 0 y 𝑏 > 0 el eje de simetría está a la derecha del eje x.

• Si 𝑎 < 0 y 𝑏 < 0 el eje de simetría está a la izquierda del eje x.

Intersección con los ejes:

• La intersección con el eje y la da el coeficiente c y corresponde al punto (0, 𝑐).

• La intersección con el eje x está determinada por el valor de la discriminante 𝑏2− 4𝑎𝑐

• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 > 0, la parábola intersecta en dos puntos al eje x.

• Si𝑏2 − 4𝑎𝑐 = 0, la parábola intersecta en un punto al eje x.

• Si 𝑏2 − 4𝑎𝑐 < 0, la parábola no intersecta al eje x.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Ecuación de segundo grado: Para resolver ecuaciones de segundo grado podemos usar cuatro métodos. 1. Por inspección: Se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas. Ejemplo:

4x2 = 0 /:4 X2 = 0 /+ √

X = 0 2. Factorización: Se usa cuando la ecuación cuadrática es factorizable. Ejemplo:

X2 – 2x – 35 = 0 -7 x 5 = -35 (x – 7) x (x + 5) = 0 -7 + 5 = -2

Cuando un producto es 0, entonces uno de los factores es cero.

∴ 𝑥 − 7 = 0 ó 𝑥 + 5 = 0 Despejando 𝑥 𝑥1 = 7 ó 𝑥2 = −5

3. Método de Completación del Cuadrado Perfecto: Transformaremos el trinomio dado, en una expresión que contenga un cuadrado de binomio. Con esto conseguiremos una ecuación que se puede reducir a ecuaciones lineales. Ejemplo:

𝑥2−2𝑥−1=0 /+1 𝑥2−2𝑥+1−1=1 /+1

𝑥2−2𝑥+1=2 Factorizamos (𝑥−1)2=2 /√

𝑥−1=√2 ó 𝑥−1=−√2 Despejando 𝑥 𝑥1=√2+1 y 𝑥2=−√2+1

4. Fórmula General: Se recomienda utilizar cuando la factorización no es simple.

• Suma de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

𝑥1+𝑥2=−𝑏

𝑎

• Producto de las soluciones o raíces de una ecuación de segundo grado:

𝑥1∙𝑥2=𝑐

𝑎

• Traslación de funciones: Se refiere a la traslación de una función 𝑓(𝑥), la cual puede hacerse en forma horizontal 𝑓(𝑥±𝑎) y/o vertical 𝑓(𝑥)±𝑎, con 𝑎>0.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Geometría

• Triángulos: Polígono de tres lados. Se pueden clasificar según sus lados y/o ángulos.

• Elementos secundarios de un triángulo.

• Altura: Es la perpendicular que va desde el vértice al lado opuesto o a su prolongación. o Teorema: En todo triángulo el producto entre la longitud de cada lado por su altura correspondiente, es constante.

• Bisectriz: Es el trazo que divide al ángulo en dos partes congruentes.

• Transversal de Gravedad: es el segmento que une al vértice con el punto medio del lado opuesto. G es el punto de intersección de las transversales, el cual las divide en la razón 2:1. o Teorema: En todo triángulo, las tres transversales de gravedad determinan 6 triángulos de áreas equivalentes.

• Simetral: Es la recta perpendicular que pasa por el punto medio de cada lado del triángulo.

• Mediana: Es el segmento que une los puntos medios de los lados de un triángulo. Cada mediana es paralela al lado opuesto y mide la mitad de dicho lado. Además, se forman 4 triángulos iguales (congruentes) y semejantes al original.

• Teoremas relativos al Triángulo Isósceles y Equilátero. o Teorema 1: En todo triángulo isósceles coinciden los elementos secundarios correspondientes al lado distinto.

o Teorema 2: en todo triángulo equilátero coinciden los elementos secundarios correspondientes a cualquier lado. Además, coinciden los puntos singulares.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

• Teorema Transversal de Gravedad y Triángulo Rectángulo: En todo triángulo rectángulo, la transversal de gravedad trazada desde el ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.

Sea el ΔABC rectángulo en C y CH̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ la altura que cae del vértice C, se cumplen los siguientes Teoremas:

• Teorema de Pitágoras 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2

• Teorema de Euclides

𝑎2 = 𝑝 ∙ 𝑐 𝑐 = 𝑝 + 𝑞

𝑏 = 𝑞 ∙ 𝑐 ℎ =𝑎𝑥𝑏

𝑐

ℎ2 = 𝑝 ∙ 𝑞 𝑎2

𝑏2 =

𝑝

𝑞

• Triángulos congruentes: Un ΔABC es congruente con otro ΔDEF si sus lados respectivos (homólogos) son congruentes y sus ángulos respectivos (homólogos) también los son. Para que dos triángulos sean congruentes, es suficiente que sólo algunos lados y/o ángulos sean congruentes. Las condiciones requeridas

para esto se conocen como criterios de congruencia.

• Criterio LAL (Lado – Ángulo – Lado): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo comprendido por ellos también congruente.

• Criterio ALA (Ángulo-Lado-Ángulo): Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos congruentes y el lado común a ellos, también congruente.

• Criterio LLL (Lado-Lado-Lado): Dos triángulos son congruentes si tiene sus tres lados respectivamente congruentes.

• Criterio LLA (Lado-Lado-Ángulo Mayor): Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados congruentes y el ángulo opuesto al lado de mayor medida, también congruente.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS • Semejanza de triángulos: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales uno a uno, respectivamente; los lados opuestos a dichos ángulos son proporcionales. Para determinar la semejanza entre dos triángulos existen tres criterios que son los siguientes:

• Ángulo – Ángulo (AA): Dos triángulos son semejantes si tienen dos de sus ángulos respectivamente iguales. Este criterio es el que más se ocupa en la PSU.

• Lado Proporcional – Ángulo - Lado Proporcional (LAL): Dos triángulos son semejantes si dos de sus lados son proporcionales respectivamente y congruente el ángulo que forman.

• Lado Proporcional – Lado P. – Lado P. (LLL): Dos triángulos son semejantes si sus tres lados son respectivamente proporcionales.

• Teorema de Thales: Se usa cuando dos rectas son paralelas

• Teorema de Apolonio:

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

• Proporcionalidad en la circunferencia. o Teorema de las cuerdas

o Teorema del radio y la cuerda

o Teorema de las secantes

o Teorema de la tangente y la secante

Área y Perímetro de figuras geométricas: o El perímetro de una figura es la medida total

de su frontera o contorno, expresada en unidad de longitud. Lo simbolizamos con la letra P. o El área es la medida de la superficie que ocupa una figura. Lo simbolizamos con la letra A.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

• Ecuación de la recta: Para hallar la ecuación de la recta podemos usar las siguientes fórmulas: o Ecuación Punto – Pendiente: Si se tiene un

punto A(X1, Y1) y una pendiente conocida, se define la ecuación punto-pendiente como:

y – y1 = m (x – x1)

o Ecuación Punto – Punto: Si se tienen

dos puntos A(x1, y1) y B(x2, y2), se define la ecuación punto – punto como:

o Distancia entre dos puntos: Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) dos puntos, la distancia entre ellos es

o Punto Medio: Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) dos puntos, las coordenadas del punto medio son

• Posiciones relativas entre rectas o Dos rectas serán paralelas cuando sus pendientes sean iguales y sus coeficientes de posición sean distintos. Entonces

L1 // L2 ↔ m1 = m2 ᴧ n1 ≠ n2

o Dos rectas serán perpendiculares cuando

la multiplicación de sus pendientes sea igual a -1. Entonces L1 Ʇ L2 ↔ m1 x m2 = -1

o Dos rectas serán coincidentes siempre y cuando sus pendientes y coeficientes de posición sean iguales. Entonces

L1CL2 ↔ m1 = m2 ᴧ n1 = n2

• Vectores: Un vector fijo es un segmento orientado. Se representa por 𝑂𝐴. El punto O es el origen y el punto A es el extremo.

Componentes de un vector: El vector definido por dos puntos 𝐴(𝑥1, 𝑦1) y 𝐵(𝑥2, 𝑦2) es el que se obtiene al restar el vector de posición del extremo menos el del origen.

𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 – 𝑂𝐴 Sus componentes son: 𝐴𝐵 = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 – 𝑦1)

• Características de un vector:

o El módulo o magnitud: es la longitud. Se

representa por |𝑂𝐴|. Para calcularlo se usa el teorema de Pitágoras. Si 𝑣 = ⟨𝑥, 𝑦⟩, entonces:

|𝒗| = √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 o La dirección: es la dirección de la recta que

lo contiene. o El sentido: es el que va del origen al extremo.

• Vector opuesto: Analíticamente, el vector opuesto es el que se obtiene al cambiar de signo sus componentes; y geométricamente, es

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS el que tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario. Ejemplo: El vector opuesto de 𝑣 = ⟨−5, 2⟩ es −𝑣 = ⟨5, −2⟩.

• Suma y resta de vectores: Para sumar y restar vectores analíticamente, se suman o restan sus componentes. Por ejemplo, sean los vectores 𝑢 = ⟨6, 2⟩ y 𝑣 = ⟨3, 4⟩. 𝑢 + 𝑣 = ⟨6, 2⟩ + ⟨3, 4⟩ = ⟨9, 6⟩ 𝑢 − 𝑣 = ⟨6, 2⟩ − ⟨3, 4⟩ = ⟨3, −2⟩

• Regla del paralelogramo: Para sumar y restar vectores geométricamente, se forma un paralelogramo uniendo por el origen los vectores 𝑢 y 𝑣 . Luego se desplazan los vectores para unir sus “colas” y se completa el paralelogramo La diagonal que parte del origen es el vector suma 𝑢 + 𝑣 ; y la diagonal que parte del extremo de v es el vector resta 𝑢 − 𝑣 .

• Producto de un vector por un escalar: En general, cuando se calcula el producto de un escalar por un vector, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vector original, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor por el cual fue multiplicado. Ejemplo: Consideremos el vector 𝑓 = ⟨2,3⟩ y el escalar 𝜆 = −1. El producto por un escalar queda definido como: −1𝑓 = −1 ∙ (2,3) = (−1 ∙ 2, −1 ∙ 3) = (−2, −3)

Es claro que 𝑂𝑋⃗ =𝑂𝑃 +𝑃𝑋⃗ , como el vector 𝑃𝑋⃗ y 𝑢 están en la misma dirección existe un número 𝜆 tal que 𝑃𝑋⃗ =𝜆𝑢 , por tanto 𝑂𝑋⃗ =𝑂𝑃 +𝜆𝑢 . Si 𝑑 es el vector director y 𝑝 es su vector posición, la ecuación vectorial de la recta es:

• Transformaciones Isométricas: Son aquellas transformaciones en el plano que no altera ni la forma ni el tamaño de la figura. o Traslación: Las componentes del vector

de traslación indican si la traslación es hacia la izquierda o la derecha (abscisa del vector) y si la traslación es hacia arriba o hacia abajo (ordenada del vector).

o Rotaciones de un punto (𝒙, 𝒚) respecto al origen (𝟎, 𝟎): Al rotar en sentido antihorario (rotación positiva) es posible usar la siguiente tabla:

Ejemplo: A continuación, se muestra una rotación positiva del triángulo ABC en 90º.

o Simetrías (o reflexiones)

o Axial: Simetría con respecto a un eje. La reflexión de un punto A en torno a una recta L, es un punto A` tal que 𝐴𝐴´⊥ 𝐿 y 𝐴𝑃 ≅ 𝑃𝐴`.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS

o Central: Simetría con respecto a un punto. La

reflexión de un punto A en torno a un punto P, es un punto A’ tal que A, P y A’ son colineales y 𝐴𝑃 ≅ 𝑃𝐴`. Si reflejamos el punto A(x, y) en torno al origen (0,0), se obtiene el punto A’(-x, -y)

• Teselación: Para teselar el plano al unir las figuras y que no queden huecos entre ellas, debe cumplirse que la suma de sus ángulos en la unión de los vértices debe ser 360º.

• Homotecia: Se llama homotecia de centro O y razón 𝑘 ≠ 0, a la transformación del plano que hace corresponder a un punto P otro P`, alineado con O y con P, tal que cada punto P` cumple que 𝑂𝑃` = 𝑘 ∙ 𝑂𝑃. Al punto P` se denomina homólogo de P.

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS Datos y Azar

• Principios Fundamentales del conteo

• Regla de la suma: Si se puede realizar una primera tarea de 𝑚 maneras, mientras que una segunda se puede efectuar de 𝑛 maneras, y no se pueden realizar las dos a la vez, entonces tenemos un repertorio de 𝑚+𝑛 maneras de realizar una tarea. Ejemplo: Si se desea escoger un alumno entre 2 grupos escolares disponibles, el primero con 25 alumnos y el segundo con 30, entonces se puede seleccionar al alumno de 25+30=55 maneras diferentes.

• Regla del producto: Si un procedimiento se puede separar en las etapas primera y segunda, y si hay 𝑚 posibles resultados para la primera etapa y 𝑛 para la segunda, entonces el procedimiento total se puede realizar, en el orden designado, de 𝑚·𝑛 maneras. Ejemplo: Para una obra de teatro hay 6 hombres y 8 mujeres que aspiran a los papeles principales. El director puede elegir a la pareja principal de 6∙8 = 48 formas.

• Combinatoria

• Factorial: Sea 𝑛 un número natural 𝑛! = 1∙2∙3∙∙∙∙∙(𝑛−1)∙𝑛

Definiéndose 0! = 1. Ejemplo: 4! = 4∙3∙2∙1 = 24

• Variación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, donde 𝑘<𝑛. Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 7 y 9, sin repetir ninguno de ellos?

V = 5!

5−4! =

5 𝑥 4 𝑥 3 𝑥 2 𝑥 1

1 = 120

Se pueden formar 120 números de 4 cifras.

• Permutación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, donde 𝑘=𝑛.

𝑃 = 𝑛! Ejemplo: ¿Cuántos números de 4 cifras podemos escribir con los dígitos 6, 7, 8, y 9, sin que ninguno se repita?

𝑃 = 4! = 4∙3∙2∙1 = 24 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠

o Combinación: Es la agrupación de 𝑛 elementos en grupos de 𝑘 elementos, con 𝑘<𝑛, en que los elementos de cada grupo no pueden estar en otro orden en algún otro grupo.

𝐶= 𝑛!

𝑘!(𝑛−𝑘)!

Ejemplo: En un curso de 20 alumnos se quiere formar una comisión de 3 alumnos. ¿De cuántas maneras distintas se puede formar dicha comisión?

𝐶= 20!

3!(20−3)! =

20 𝑥 19 𝑥 18 𝑥 17!

2 𝑥 1 𝑥 17! =3420 maneras

o Cálculo de Probabilidades: Para calcular la probabilidad teórica de un evento 𝐴 se utiliza la expresión: 𝑃(𝐴)=𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝐹𝑎𝑣𝑜𝑟𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠𝑁º 𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑃𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 o Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:

𝑃(𝐴)+𝑃(𝐴𝑐)=1⇒𝑃(𝐴𝑐)=1−𝑃(𝐴) Donde 𝐴𝑐 denota al suceso contrario o suceso complementario de A

• Probabilidad de eventos. o Si A y B son dos sucesos incluyentes, la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:

𝐏(𝐀 𝐨 𝐁)=𝐏(𝐀∪𝐁)=𝐏(𝐀)+𝐏(𝐁)−𝐏(𝐀∩𝐁)

o Si A y B son dos sucesos excluyentes, la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:

𝐏(𝐀 𝐨 𝐁)=𝐏(𝐀∪𝐁)=𝐏(𝐀)+𝐏(𝐁)

o Los sucesos 𝐴 y 𝐵 se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.

𝐏(𝐀 𝐲 𝐁)=𝐏(𝐀∩𝐁)=𝐏(𝐀)⋅𝐏(𝐁)

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS o Probabilidad Condicionada: Sean A y B dos

sucesos dependientes de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A, dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la condición de que el suceso B ha ocurrido.

𝐏(𝐀/𝐁) = P(A ∩ B)

P(B)

o ESTADÍSTICA o Media Aritmética: La media se calcula al sumar los valores de un conjunto y al dividir el valor de su suma entre el número de valores del mismo. o Datos no agrupados: Si 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 son los valores de una variable en 𝑛 observaciones, la media aritmética 𝑥 es:

o Datos agrupados en tabla de frecuencia: Si los datos son; 𝑥1,𝑥2,𝑥3,…,𝑥𝑛, y las frecuencias respectivas son 𝑓1,𝑓2,𝑓3,…,𝑓𝑛, entonces la media aritmética es:

Mediana: Dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según magnitud (decreciente o creciente). Si la muestra tiene un número par de datos, la mediana es la media aritmética de los dos términos centrales.

o Moda: La moda de un conjunto de datos es

el valor que presenta mayor frecuencia. Si tenemos los siguientes datos: 3, 7, 6, 9, 3, 4, 7, 7, 1, 8. La Moda corresponde al valor que más se repite (con mayor frecuencia), en este caso, el 7. (Puede haber más de un valor que sea moda)

• Medida de Dispersión: Nos informan sobre cuánto se alejan del centro los valores de la distribución.

• Rango: Diferencia entre el mayor valor y menos valor de una distribución de datos.

• Desviación estándar: Representa el grado de dispersión de los datos respecto a la media.

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

RESUMEN PSU MATEMÁTICAS • Varianza: Es la media aritmética del cuadrado de las desviaciones respecto a la media de una distribución estadística.

Para datos agrupados:

• Propiedades de la varianza 1. La varianza será siempre un valor positivo o cero, en el caso de que las puntuaciones sean iguales. 2. Si a todos los valores de la variable se les suma un número la varianza no varía. 3. Si todos los valores de la variable se multiplican por un número la varianza queda multiplicada por el cuadrado de dicho número. 4. Si tenemos varias distribuciones con la misma media y conocemos sus respectivas varianzas se puede calcular la varianza total.

• Correlación

• Gráfico de Dispersión (Nube de puntos): Es una herramienta de análisis la cual representa en forma gráfica la relación existente entre dos variables pudiendo observar la dependencia o influencia que tiene una variable sobre la otra, permitiendo visualizar de forma gráfica su posible correlación. En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar si los puntos se agrupan o no.

o Si la agrupación es creciente, se dice que la correlación es positiva, si es decreciente, la correlación es negativa y si no existe relación,

se dice que su correlación es nula. Si el valor determinado está entre 0,8 y 1 o entre -0,8 y -1, se dice generalmente que la relación entre las variables es muy fuerte. Entre 0,6 y 0,8 o entre -0,6 y -0,8 es fuerte. Entre 0,4 y 0,6 o -0,4 y -0,6 es una relación moderada. Menos de 0,4 o menos de -0,4, débil o inexistente si se aproxima mucho a 0.

• Medidas de Posición

• Cuartiles: Son los tres valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en cuatro partes iguales. 𝑄1,𝑄2 y 𝑄3 determinan los valores correspondientes al 25%, 50% y 75% de los datos, respectivamente, donde 𝑄2 coincide con la mediana. Ejemplo: Calcular los cuartiles de 10 niños cuyas edades son 5, 4, 4, 8, 14, 10, 9, 11, 13 y 11 años. Primero ordenar los datos de menor a mayor. Calcular la posición aproximada del cuartil

𝑄𝑖=in

4.

Si dio un número entero, el cuartil será el promedio de los datos en las posiciones

in

4 y

in

4 +1.

Si dio un decimal, el cuartil será el dato que se ubica en la posición inmediatamente

superior al valor de 𝑖𝑛

4

• Deciles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 10 partes iguales. Así 𝐷1 es el valor de la variable que agrupa el 10% de los datos. 𝐷2 agrupa el 20% de los datos. 𝐷3 el 30%, etc.

• Percentiles: Son los valores que dividen a un conjunto ordenado de datos en 100 partes iguales.