1

60 : 2

30 : 2

15 : 3

5 : 5

1

2 · 2 · 3 · 5

60

6 10

2 3 2 5

2 · 2 · 3 · 5

RESÚMEN DE CONTENIDOS

MÍNIMOS PARA LA PSU (Para Savane)

I) Conjuntos numéricos y proporcionalidad.

Naturales: { }1,2,3,4,5,6,...=

Notación Decimal. 8.965 = 8·103 + 9·102 + 6·101 + 5·100 Cifras o dígitos = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Suma y resta. Minuendo Sustraendo Ej. 18.343.275 - 5.637.107 = i) La suma de dos naturales siempre

resulta otro natural. ii) Si el minuendo es mayor que el

sustraendo el resultado es positivo. iii) Si el minuendo es menor que el

sustraendo el resultado es negativo. iv) El antecesor de un natural n es n – 1. v) El sucesor de un natural n es n + 1. Multiplicación. i) Al multiplicar dos naturales el resultado

es siempre natural. ii) Si a · b = c , entonces c es múltiplo de

a y b. iii) 2·n, es un número par. iv) 2·n + 1 es un número impar

+ o - Par Impar Par par Impar Impar impar par

· Par Impar

Par par par Impar par impar

Números primos: son aquellos naturales mayores que 1, que sólo tienen dos divisores; la unidad (1) y el mismo número. {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,…}

Números compuestos: son aquellos números mayores que uno que no son primos. {4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,…} Descomposición prima de un número o factorización de un número. Tabla de descomposición 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Diagrama de árbol 60 = 2 · 2 · 3 · 5 = 22 · 3 · 5 Conjunto de múltiplos. M6 = {6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48,...} Mínimo común múltiplo (m.c.m) El m.c.m entre dos o más números es el menor de los múltiplos comunes. Veamos el ejemplo. 6 8 :2 3 4 :2 2·2·2·3 = 24 3 2 :2 3 1 :3 1

2

División Algoritmo de la división: Dividendo = cuociente · divisor + resto i) Si el dividendo es mayor que el divisor,

entonces el cuociente es mayor o igual a 1.

ii) Si el dividendo es múltiplo del divisor el resto es 0 (división exacta).

iii) Si un número al dividirlo por otro da resto cero, se dice que es divisible por el otro.

Conjunto de divisores D6 = {1,2,3,6} Máximo común divisor (M.C.D.): es el mayor de los divisores comunes. 6 8 :2 3 4 como los números 3 y 4 no tienen divisor primo común se detiene la tabla. M.C.D.(6,8) = 2 Reglas de divisibilidad i) todo número es divisible por 2 si su

última cifra es par. ii) todo número es divisible por 3, si la

suma de las cifras o dígitos es múltiplo de 3.

iii) todo número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

iv) todo número es divisible por 5. si su última cifra es 0 o 5.

v) todo número es divisible por 6, si lo es por 2 y 3.

vi) todo número es divisible por 8, si sus 3 últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

vii) todo número es divisible por 9, si la suma de sus cifras o dígitos es múltiplo de 9.

ENTEROS ( )

{ }... 3, 2, 1,0,1,2,3...= − − −

Valor Absoluto: es la distancia entre un número y el 0. Ej.: 4 4= y 4 4− =

En general: n, si n 0≥ n =

-n, si n < 0 Suma: la suma de números de igual signo, conservan el signo. Resta: i) Si el minuendo es mayor que el sustraendo el resultado es positivo. ii) Si el minuendo es menor que el sustraendo, el resultado es negativo. Multiplicación: Al multiplicar cantidades de igual signo, el resultado es positivo, y si son de distinto signo el resultado es negativo. División: En la división la regla de signos es igual que en la multiplicación. Potencia: El valor de una potencia es positivo si, su base es positiva y el exponente es cualquiera, y si su base es negativa y el exponente es par. El resultado de una potencia es negativo si su base es negativa y su exponente es impar. Orden de las operaciones: Al operar un conjunto de operaciones, se debe respetar el siguiente orden 1º Paréntesis 2º Potencias 3º Multiplicación y división 4º Suma o resta

3

RACIONALES (Q)

Q = { a/a b b 0

b∧ ∈ Ζ ∧ ≠ }

Amplificación: a n·ab n·b= Ej. 2 2·3 6

3 3·3 9= =

Simplificación: a a:nb b :n= (esto se puede hacer cuando el

numerador y el denominador son múltiplos de n)

Ej. 18 18 : 9 2 136 36 : 9 4 2

= = =

Observación: Siempre es conveniente simplificar si es posible antes de operar, los resultados se han de simplificar al máximo. Orden en racionales i) Dos racionales son iguales si:

a ca d b c

b d= ⇔ ⋅ = ⋅ Ej.

4 127 21= son

iguales ya que 4 · 21 = 7 · 12, 84 = 84. ii) Para saber cuando un racional es mayor

que otro, consideraremos tres criterios de comparación, a saber:

1er criterio: si dos racionales tienen igual de denominador entonces el mayor de ellos es aquel que tiene mayor numerador. 2º criterio: si dos racionales tiene igual numerador, entonces el mayor es aquel que tiene menor denominador.

3er criterio: a c

a d b cb d> ⇔ ⋅ > ⋅

Suma y Resta. a c ad bcb d bd

±± =

Ej. 2 1 2·5 1·3 10 3 133 5 3·5 15 15

+ ++ = = =

Multiplicación. a c ac·

b d bd=

Ej. 3 2 6 2·

5 3 15 5= =

División: a c a d a d

:b d b c b c

⋅= ⋅ =

⋅

Ej. 1 2 1 3 3:

2 3 2 2 4= ⋅ =

Potencias En este conjunto podemos enunciar las propiedades de potencias que nunca deben olvidar, a saber: i) a1 = a ii) 1n = 1 iii) an · bn = (ab)n iv) an · am = an+m

v) a-n = n

1

a

vi) an : bn = (a:b)n vii) an : am = an-m viii) (an)m = an·m ix) a0 = 1, si a ≠ 0 x) 0n = 0, si n >0

Fracción propia Es cuando el numerador es menor que el denominador.

Ej. 34

, 3 < 4, la representación gráfica es.

1 entero Observación: toda fracción propia es menor que un entero (0 < f.p. < 1).

4

Fracción impropia Es aquella en que el numerador es mayor que el denominador.

Ej. 74

, 7 > 4. la representación gráfica es:

1 entero 1 entero

1 + 34

= 31

4

Observación: toda fracción impropia es mayor que un entero, por tanto se puede expresar como número mixto. Para llevarla a número mixto se debe dividir el numerador por el denominador, el cuociente es la parte entera y el resto es el numerador de la parte racional siempre se debe conservar el denominador. Para llevar un número mixto a fracción impropia se debe multiplicar el denominador por la parte entera y a este resultado sumarle el numerador de la parte racional. Número decimal Ej. 73,84 = 7·101 + 3·100 + 8·10-1 + 4·10-2 La cifra que multiplica a: 10-1; se llama décimo 10-2; se llama centésimo 10-3; se llama milésimo, etc. Es decir el número 73,84 se lee como 73 enteros y 84 centésimos. Todo racional se puede llevar a decimal dividiendo el numerador por el denominador.

Ej. 34

= 0,75

30 : 4 = 0,75 20 0 Decimales finitos: son aquellos que tienen una cantidad determinada de cifras en la parte decimal.

Ej. 0,25 Todo decimal finito es un racional y para llevarlo a forma racional, se anota en el numerador el número sin coma, y en el denominador un uno con tantos ceros como cifras haya en la parte decimal.

Ej. 0,25 = 025 25 1100 100 4

= =

Decimales infinitos periódicos puros: son aquellos que en su parte decimal tienen una o más cifras que se repiten indefinidamente. Las cifras que se repiten se llaman periodo. Ej. 0,3333... = 0,3 Todo decimal periódico puro es un racional. Para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el periodo y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 0,333... = 3 19 3=

Si además del periodo aparece parte entera, en el numerador se anota el número sin coma y se le resta la parte entera y en el denominador tantos 9 como cifras tenga el periodo.

Ej. 2,333... = 23 2 21 79 9 3−

= =

Decimales infinitos semiperiódicos: son aquellos que en su parte decimal además del periodo tienen una o más cifras que no se repiten (ante periodo). Ej. 0,2333... = 0,23 Todo decimal semiperiódico es un racional y para llevarlo a forma racional en el numerador se anota el número sin coma menos al ante periodo, y en le denominador se anotan tantos 9 como cifras tenga el periodo y tantos ceros como cifras tenga el ante periodo.

Ej. 0,2333... = 23 2 21 790 90 30−

= =

5

Si además de lo anterior el número tiene parte entera, se transforma de la misma forma.

Ej. 4,2333... = 423 42 38190 90−

=

Decimales infinitos no periódicos: son aquellos que en su parte decimal tienen una cantidad indeterminada de cifras en las cuales jamás se puede establecer un periodo. Ej. π = 3,1415... 0,1010010001... Estos decimales no se pueden llevar a forma racional, por lo tanto reciben el nombre de Irracionales ( '). La unión de los Racionales con los Irracionales genera el gran conjunto de los Reales. Operatoria entre racionales e irracionales: i) Al sumar o restar un racional con un irracional el resultado es siempre irracional. ii) Al sumar o restar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. iii) Al multiplicar un racional con un irracional en un único caso resulta racional, es cuando el racional es cero, en cualquier otro caso da irracional. iv) Al multiplicar dos irracionales el resultado puede ser racional o irracional. Operatoria entre decimales. Para sumar o restar decimales estos deben ser ordenados de acuerdo a la coma. Ej. 12,356 + 103,54 =115,896 12,356 + 103,54 115,896

Para multiplicar decimales, estos se multiplican igual como si fueran enteros, y al resultado final se corre la coma tantos lugares como cifras decimales hayan en los dos números que se multiplicaron. Ej. 2,35 · 1,2 = 2,82 2 , 3 5 · 1,2 4 7 0 2 3 5 2,820 (la coma se corre 3 lugares) Para dividir decimales, estos se deben amplificar para que el divisor sea entero, esto se hace corriendo la coma hacia la derecha en ambos números y luego se rellena con ceros. Si uno requiere encontrar más decimales en una división se debe agregar cero al resto y seguir dividiendo. Ej. 4,6 : 0,23 = 20 460 : 23 = 20 00 0 Regularidades numéricas y cuadrados mágicos. Regularidades numéricas: son aquellas secuencias de números en las cuales se puede inferir un patrón que las generan. Ej. Los números pares 2, 4, 6, 8, … , estos se generan multiplicando por 2 todos los naturales (2n). Estas situaciones tiene dos formas de preguntarse, una de ellas es determinar el siguiente y la otra es determinar el término general o determinar un término muy lejano. Una de las maneras más simple de determinar el siguiente es hacer las restas de dos consecutivos, si el resultado muestra un patrón este se aplica al último para determinar el siguiente. Para determinar el patrón o un elemento muy lejano se trata de descubrir el término general. Si en las primeras restas no se distingue un patrón se hacen las restas de las primeras restas hasta que aparezca un patrón.

6

8, 11, 14, 17,

3 3 3 3

20

x

y

Ej. Si 8, 11, 14, 17, … , entonces determinar el siguiente y determinar el término 100. El siguiente El término 100 Es conveniente hacer una tabla para encontrar el patrón

Luego el término 100 es 5 + 100 · 3 = 305

Razones, proporciones y Tanto por ciento

Razón: es un cuociente entre dos reales. ab

= a : b , se lee “a es a b”

Observación: una razón es similar a un racional, por tanto se pueden amplificar o simplificar. Proporción: Es una igualdad entre dos o más razones. a cb d= , se lee “ a es a b como c es a d”

También se escribe como a : b = c : d, de esta forma de escribir es que a y d se llaman extremos, b y c se llaman medios. Propiedad fundamental:

a c

a d b cb d= ⇔ ⋅ = ⋅

Se dice que en toda proporción, el producto de los medios es igual al producto de los extremos. Ej. Si en un cine hay 800 adultos y 400 niños, entonces podemos escribir:

adultos 800niños 400

= y simplificando, tenemos

adultos 2niños 1

= . Ahora decimos que los adultos

son a los niños como 2 es a 1. Recuerda que todo número que está dividiendo en un lado de una igualdad pasa multiplicando al otro lado o al revés. Cantidades proporcionales: Ej. 1 Si 3 kilos de manzanas cuestan $ 750, entonces,¿cuánto cuestan 5 kilos? Planteamos la regla de tres; 3 k $ 750 aumenta 5 k $ x aumenta Al hacer un análisis simple detectamos que al aumentar una la otra también aumenta, por lo tanto las cantidades son directamente proporcionales, por lo tanto multiplicamos cruzado e igualamos. 3 · x = 5 · 750

x = 5·750

3

x = $ 1.250 Formalmente en matemáticas dos cantidades son directamente proporcionales cuando el cuociente de ellas es constante. La gráfica de dos cantidades directamente proporcionales es una recta que comienza en el origen.

x

Cte.y=

Ej. 2. Si 6 obreros demoran en construir una muralla en 3 días, entonces ¿cuánto demoraran en terminar la misma muralla 9 obreros? Planteamos la regla de tres: 6 obreros 3 días aumenta 9 obreros x días disminuye Como al haber más obreros se deben demorar menos, entonces al aumentar una y

1 8 5+3 5+1·3 2 11 5+3+3 5+2·3 3 14 5+3+3+3 5+3·3 4 17 5+3+3+3+3 5+4·3 n 5+n·3

7

x

y

disminuir la otra, las cantidades son inversamente proporcionales, cuando descubres que las cantidades son inversamente proporcionales, debes multiplicar en línea e igualar. 6 · 3 = 9 · x 18 = 9 · x

189

= x

2 días = x Formalmente se dice que cuando las cantidades son inversamente proporcionales el producto de ellas es constante. La gráfica de cantidades inversamente proporcionales es la que se muestra a continuación. x · y = Cte. Serie de razones o proporción compuesta Si tenemos más elementos que los 4 que forman una proporción simple, entonces estamos en presencia de una proporción compuesta. a : b : c : … = m : n : p : …, am

= k ; bn

= k ; cp

= k ; … , k es lo que se

llama constante de proporcionalidad. Esto nos lleva finalmente a: a = m · k ; b = n · k ; c = p · k ; … Eje. Si la razón entre las edades de Juan, Pedro y Daniel es 1 : 2 : 3, entonces, ¿cuál es la edad de cada uno si sus edades suman 36 años? Juan = 1·k, Pedro = 2·k , Daniel = 3·k y si Juan + Pedro + Daniel = 36 años, reemplazando tenemos: 1k + 2k + 3k = 36 6k = 36 k = 6 Finalmente sustituimos k, resultando:

Juan =1 · 6 = 6 años Pedro = 2·6 = 12 años Daniel = 3·6 = 18 años Tanto por ciento o porcentaje. En matemática para hacer más fácil el entender ciertas fracciones o decimales, se crearon los porcentajes. Es decir debes entender que los porcentajes son otra forma de decir algunas fracciones.

Ej. 14

= 25% = 0,25

Por lo tanto: a

a%100

=

Ej. El 80% de los alumnos llegó a la hora, si el curso tiene 30 alumnos, ¿cuántos alumnos llegaron a la hora? 80100

· 30 = 80·30 2.400100 100

= = 24 alumnos

Ej. En un cine hay 250 niños y 1.250 adultos, luego ¿qué porcentaje de los adultos son los niños? Obtengamos la fracción correspondiente: niños

adultos, tenemos

2501.250

, puedes

simplificarla antes o lo dejas para el final. Para llevar toda fracción a porcentaje, se debe multiplicar por 100

250

1.250 · 100 =

250·1001.250

= 1005

= 20%

Ej. En una liquidación se hace el 20% de descuento, entonces, ¿cuánto se pagará por un artículo que costaba $ 5.000? 100% - 20% = 80%, significa que debes pagar el 80% del valor inicial. 80

5.000100

⋅ = $ 4.000

Ej. El 20% del 30% de 500 es: 20 30

500100 100

⋅ ⋅ =600 50010.000

⋅= 30

8

El algebra tiene por objeto trabajar con cantidades literales, a ellas se les aplica las reglas que rigen a los Reales (algebra en ú). Cantidad literal: es una cantidad compuesta de un número real y letras, las cuales representan a números reales. 3ab2 es una cantidad literal 3; se llama factor numérico o coeficiente. ab2 se llama factor literal. Suma o resta: sólo se podrán sumar o restar cantidades literales si estas tiene el mismo factor literal. Si tiene igual factor literal se suman o restan los coeficientes, conservando el factor literal, la suma o resta de cantidades literales la sustenta la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma. Distributividad. a·(b + c) = ab + ac Ejemplos: 3ab2 + 5ab2 = 8ab2 Multiplicación. No existe impedimento para multiplicar cantidades literales, y se aplica la propiedad de asociatividad de la multiplicación. 3 ab2 · 5 ab = (3·5)(a·a)(b2·b) = 15a2 b3 División: en la división de cantidades literales se aplica la simplificación.

3ab2 : 5 ab = 23ab 3b

5ab 5=

Potencia: en esta operación se aplica la propiedad de potencia “ an·bn = (a·b)n. (3ab2 )3 = 33 · a3 · (b2 )3 = 27· a3 ·b6

Polinomios: están compuestos por dos o más cantidades literales de distinto factor literal, sumadas y/o restadas. 3ab2 + 5ab (por tener dos cantidades literales se llama binomio) Polinomio formal. Es aquel en que todas las cantidades literales tienen la misma letra en el factor literal pero distintas potencias de ella. 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1

Operatoria de polinomios. Suma o resta. Para sumar o restar polinomios se suman o restan las cantidades literales de ambos polinomios que tengan el mismo factor literal (reducción de términos semejantes). 5x4 + 3x3 -2x2 +5x +1 – (4x4 - 7x3 +5x +4) = 5x4 - 4x4 + 3x3 + 7x3 - 2x2 + 5x - 5x+1 -4 = x4 + 10x3 -2x2 – 3 Recuerda que un signo menos cambia todos los signos del paréntesis. Multiplicación. Para multiplicar polinomios el primer término se multiplica por cada uno de los términos del segundo polinomio, e segundo término de igual forma hasta el último termino de primer polinomio, luego se reúnen los términos semejantes. (-2x2 +5x +1)·(x +1) =

-2x2 ·x - 2x2 ·1 + 5x·x + 5x · 1 + 1 · x + 1 · 1

-2x3 - 2x2 + 5x2 + 5x + x + 1 Productos notables: son productos que aparecen con bastante frecuencia, por tanto hay que tenerlos siempre presente, te presentamos los dos mas usados; Cuadrado de binomio: (a " b)2 = a2 " 2ab + b2 Suma por su diferencia: (a + b)·(a – b) = a2 - b2 Factorización: es o son los métodos que permiten expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios. A continuación veremos los métodos más usados para este nivel. 1er caso: Factor común; es cuando todos los términos del polinomio tiene como factor; un número, una cantidad literal o un polinomio, para extraer el factor común se aplica la distributividad. 12a2 b + 6ab2 – 4ab 2ab(6a + 3b – 2)

9

2º caso: si un polinomio tiene dos términos este se debería factorizar mediante suma por diferencia. 16a2 – 81 (4a + 9)(4a – 9) 3º caso: polinomios de tres términos. 3-1) trinomios que son cuadrado de binomio, lo recomendable que cuando enfrentes un polinomio de tres término veas si es posible un cuadrado de binomio, y para eso debes observar lo siguiente: a) que hayan dos cuadrados perfectos positivos. b) el otro término debe ser el doble del producto de la raíz del primer cuadrado por la raíz del segundo cuadrado.

a2 + a + 14

; hay dos cuadrados; a2 y 14

,

2a = a y 14

= 12

, y 2· 2a ·14

= a,

entonces es un cuadrado de binomio, de la

forma:(a + 12

)2

3-2) Trinomios que no son cuadrados. 3-2-1) Trinomios de la forma; x2 " (a + b)x + ab = (x " a)(x " b) x2 + 11x + 18 ; ab = 18 y a + b = 11, los números a y b son 9 y 2, luego x2 + 11x + 18 = (x + 2)(x + 9) 3-2-2) Trinomios de la forma; x2 " (a - b)x - ab = (x + a)(x - b) x2 - 4x - 32 ; ab = 32 y a – b = 2, los números son 4 y 8, como el término central es negativo el número mayor será negativo. x2 - 4x - 32 = (x + 4)(x – 8) 3-2-3) Trinomios de la forma; acx2 +(ad + bc) x + bd = (ax + b)(cx + d) 6x2 + 13x + 5; en estos casos hay un método antiguo bastante agradable, y dice así: i) multiplicar el coeficiente de x2 con el término sin x, 30. ii) buscar dos números que multiplicados dan 30 y sumados den 13, 3 y 10.

iii) separar el término central de acuerdo a los números encontrados: 6x2 + 3x + 10x + 5; apareamos y sacamos factor común, 3x(2x + 1) + 5(2x + 1), ahora resulta que (2x + 1) es factor común, lo extraemos. (2x + 1)(3x + 5) Observación: en el punto ii) se respeta la misma regla de signos de los métodos 3-2-1 y 3-2-2. 4º caso. Agrupamiento: cuando un polinomio tiene más de tres términos este se debe agrupar de acuerdo a formas conocidas, es decir todas las anteriores. Es posible que intentes más de una vez agrupar, no es raro, pero debes seguir intentándolo. x2 – y2 + 2x + 1; como vez hay suma por diferencia, pero los binomios que se generan no son iguales por tanto de esta forma no se puede factorizar. (x + y)(x – y) + 2x +1 Agrupemos de otra forma: x2 + 2x + 1 - y2 ;como veras ahora aparece un cuadrado de binomio: (x + 1)2 - y2 ; ahora tenemos suma por diferencia, quedando: (x + 1 + y)( x + 1 – y) Como en muchos casos deberás factorizar un polinomio y te puedes perder en buscar la factorización, es por esto que te recomendamos seguir los siguientes pasos: Estrategia general de factorización: 1º Intentar factor común. 2º Contar el número de términos del polinomio: 2-1) si tiene dos términos intentar suma por diferencia. 2-2) si tiene tres términos intentar primero cuadrado de binomio, si no trinomio que no son cuadrados. 2-3) si tiene más de tres términos agrupar convenientemente. 3º El polinomio debe quedar totalmente factorizado.

10

Fracciones algebraicas Son aquellas en que tanto en el numerador como en el denominador aparecen expresiones algebraicas, se operan de la misma forma que los racionales y el trabajo principal en ellas es la simplificación. Ecuación: es una igualdad en la que hay uno o más términos desconocidos(incógnita) Ej. 2·x – 5 = 17 Para resolver una ecuación se debe despejar la incógnita utilizando las propiedades de la igualdad. Propiedades de la igualdad i) a = b ⇔ b = a ; esta propiedad nos indica que la incógnita la podemos despejar en cualquier lado de la igualdad la incógnita, despéjala en el lado que quede positiva. ii) a = b ⇔ a ± c = b ± c; esta propiedad nos permite pasar sumando o restando una cantidad de un lado al otro lado. iii) Si a = b y b = c ⇒ a = c; esta nos permite despejar de una igualdad una incógnita y reemplazarla en otra igualdad. iv) a = b ⇔ a·c = b·c, si c ≠ 0; esta nos permite pasar de un lado a otro una cantidad multiplicando o dividiendo, se debe tener la precaución de que la cantidad que se va a multiplicar o dividir no sea 0. v) Si a = b y c = d ⇒ a ± c = b ± d; esta nos permite sumar o restar dos ecuaciones. Ej. 2x – 5 = 17 2x = 17 + 5 (pasamos –5 sumando al otro lado propiedad ii) 2x = 22 /:2 (dividimos por 2 la ecuación, propiedad iv) x = 11 Sistemas de ecuaciones lineales: Es el conjunto de dos o más ecuaciones lineales con dos o más incógnitas. ax + by = c dx + ey = f

Métodos de resolución algebraicos. Son las distintas formas que hay para resolver un sistema de ecuaciones, ahora conoceremos algunos, todos estos tiene el objetivo de transformar un sistema en una ecuación con una incógnita. Sustitución: consiste en despejar una de las incógnitas de una de las ecuaciones, para reemplazar el resultado en la otra ecuación. x – 3y = 6 2x + y = 3 Despejemos x de la primera ecuación: x = 6 + 3y, reemplazamos x en la segunda ecuación; 2(6 + 3y) + y = 3 12 + 6y + y = 3 7y + 12 = 3 7y = 3 – 12 7y = -9

y = 79−

Finalmente se reemplaza el valor de y, para obtener x. Reducción: este método consiste en multiplicar una o las dos ecuaciones de manera tal que el coeficiente de una de las incógnitas sea el mismo para restar o sumar las dos ecuaciones. x – 3y = 6 2x + y = 3 Multiplicamos la primera ecuación por 2, luego: 2x – 6y = 12 2x + y = 3 a la primera ecuación le restamos la segunda ecuación, luego: -6y – y = 12 – 3 -7y = 9

y = 9 97 7

−=

−

11

x

y

x1 x2

y1

y2

x2 -x1

y2 - y1

A

B

a b

a b

Problemas de planteos Son problemas de enunciado verbal que debe transformarse en una proposición matemática (ecuación). Lo recomendable para enfrentar adecuadamente estos problemas es la siguiente estrategia. Estrategia general para resolver problemas de planteos: 1. Leer total y cuidadosamente el problema. 2. Hacer un listado de incógnitas y datos, ordenar la información. 3. Hacer un diagrama de la situación planteada, si el caso lo requiere. 4. Plantear y resolver la(s) ecuaciones. 5. Reemplazar el resultado obtenido en el enunciado del problema. Inecuaciones: Una inecuación es una desigualdad en la cual aparecen un o más términos desconocidos (incógnitas). La solución de una inecuación es un subconjunto de los reales que satisface la desigualdad. Propiedades de la desigualdad: i) Si a – b > 0 ⇒ a > b ii) Si a > b ⇒ a ± c > b ± c iii) Si a > b y b > c ⇒ a > c iv) Si a > b ⇒ a · c > b · c, si c > 0 v) Si a > b ⇒ a · c < b · c, si c < 0 vi) Si x a a x a< ⇒ − < <

vii) Si x a x a o x a> ⇒ > < −

Las soluciones de una inecuación se pueden presentar mediante conjuntos o intervalos. Intervalos Intervalos abiertos: { }x / a x b∈ < <

a,b⎤ ⎡⎦ ⎣

Intervalos cerrados: { }x /a x b∈ ≤ ≤

a,b⎡ ⎤⎣ ⎦

Se pueden combinar los intervalos, es decir pueden haber abiertos por la izquierda (menores) y cerrado por la derecha (mayores). Una inecuación se despeja tan igual que una ecuación, respetando las propiedades de la desigualdad. Los sistemas de inecuaciones después de resolver cada inecuación deben intersectarse sus conjuntos soluciones.

Geometría analítica Geometría analítica: es la parte de las matemáticas que une el álgebra con la geometría Euclidiana. La idea de punto ahora es “aquello que sólo tiene ubicación” Para ubicar los puntos se requiere de un sistema de ejes ortogonales (perpendiculares), los primeros elementos de los pares van en el eje horizontal (x, eje de las abscisas) y los segundos elementos van al vertical (y, eje de las ordenadas). Distancia entre dos puntos:

dAB = 2 22 1 2 1(x x ) (y y )− + −

Coordenadas del punto medio:

1 2 1 2x x y y( , )

2 2+ +

12

x

y

x1 x2

y1

y2

x2 -x1

y2 - y1

Pendiente de un segmento: es la tangente el ángulo que forma el segmento con un eje horizontal (ángulo de inclinación, α )

2 1

2 1

y ytag m

x x−

α = =−

Ecuación de la recta: La característica mas relevante de la recta es que cualquier por de puntos de ella, siempre tiene la misma pendiente. Ecuación principal de la recta: y mx c= + c: es el coeficiente de posición, es la ordenada del punto donde la recta corta al eje y. Ej. y = 3x – 4, la pendiente es 3 y corta al eje y en -4. Observaciones: i) Si m = 0 ⇒ la recta es paralela al eje x. ii) Si m es indeterminado (" = 90º) ⇒ la recta es paralela al eje y. Relaciones entre rectas: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ L1 y L2 se intersectan. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ L1 // L2 no coincidentes. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ L1 // L2 coincidentes. iv) Si m1 · m2 = -1⇒ L1 y L2 son perpendiculares.

Observación: El punto de intersección entre dos rectas se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones de las dos rectas. Como toda ecuación de una recta es igual a una ecuación lineal de dos incógnitas, entonces podemos aplicar lo anterior al análisis de sistemas de ecuaciones a saber: i) Si m1 ≠ m2 ⇒ el sistema tiene solución única. ii) Si m1 = m2 ∧ c1 ≠ c2 ⇒ el sistema no tiene solución. iii) Si m1 = m2 ∧ c1 = c2 ⇒ el sistema tiene infinitas soluciones. Función: es una relación que de cumplir con: i) todo elemento del dominio tiene su correspondiente en el recorrido. ii) a cada elemento del dominio le corresponde uno solo del recorrido. Función algebraica: y = f(x) x : es dominio (variable independiente, preimagen) y : es recorrido (variable dependiente, imagen) Para encontrar los puntos pertenecientes a la función, se le dan valores a x, y estos se reemplazan en la función, los resultados son los y correspondientes. Ej. Sea y = f(x) = x2 – 2x +5, luego: f(2) = 22 – 2·2 +5 = 5 f(2) = 5 ⇒ (2,5) Gráfica de una función: para graficar una función en el eje horizontal de un sistema de ejes ortogonales, se ubica el dominio y en el eje vertical el recorrido.

f(x) = x

x

f(x)

13

x

y

1 2 3

1

2

-1-2-3

-1

-2

-3

2

3

f(x)=(x-2)2+3

x

y

Ej: función parte entera, esta función que esta muy de moda indica que “para todo real x, lo transforma en el menor entero más cercano”. Si f(x) = x⎡ ⎤⎣ ⎦; función parte entera, entonces:

f(3,8) 3,8 3= =⎡ ⎤⎣ ⎦

f( 2,6) 2,6 3− = − = −⎡ ⎤⎣ ⎦

Su gráfica tiene forma de escalera, como lo muestra la figura: Desplazamientos de una gráfica: Sea f(x) = x2

Si al dominio le sumamos un número la gráfica se desplaza horizontalmente en sentido inverso al número sumado. Si al recorrido (f(x)) le sumamos un número, entonces se produce un desplazamiento vertical en el mismo sentido del signo del número sumado. Función cuadrática: es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c La gráfica es una parábola como las figuras anteriores. Análisis: i) Si a > 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia arriba. ii) Si a < 0 ⇒ las ramas de la parábola se abren hacia abajo. ) = b2 – 4ac

x

y f(x) = x2

x

y f(x) = (x – 2)2

14

O

A

B

T

180º180º180º180º

α + β =β + γ =γ + δ =δ + α =

iii) Si ) > 0 ⇒ la parábola corta en dos puntos al eje x. iv) Si ) = 0 ⇒ la parábola corta al eje x en un punto. v) Si ) < 0 ⇒ la parábola no corta al eje x.

vi) El eje de simetría es, x = b

2a−

vii) Coordenadas del vértice; (b b

, f( )2a 2a− −

)

Observaciones: hay dos características en la gráfica de funciones que no debes dejar de lado, a saber: i) Si y = f(x) = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje x. ii) Si x = 0 ⇒ la gráfica interfecta al eje y.

GEOMETRÍA ÁNGULAR

Clasificación de los ángulos de acuerdo a su medida: Ángulo agudo: tiene su medida entre 0º y 90º. Ángulo recto: mide 90º. Ángulo obtuso: tiene su medida entre 90º y 180º. Ángulo extendido: mide 180º. Ángulo completo: mide 360º. Los ángulos cuyas medidas están entre 0º y 180º reciben el nombre de convexos y los que tienen por medidas superiores a 180º y menores a 360º se llaman cóncavos. Bisectriz de un ángulo: es la recta que divide en dos ángulos de igual medida a un ángulo. OT es bisectriz ⇔ AOT = TOB Relaciones entre ángulos:

i) Si las medidas de dos ángulos suman 90º entonces se dicen complementarios. El complemento de un ángulo es igual a 90º menos el ángulo. ii) Si las medidas de dos ángulos suman 180º entonces se dicen suplementarios. El suplemento de un ángulo es igual a 180º menos el ángulo. iii) Dos ángulos se dicen contiguos o consecutivos, si comparten el vértice y un lado y sus interiores no se intersectan.

AOB es consecutivo a BOC iv) Dos ángulos se dicen adyacentes si son consecutivos y suplementarios.

AOB y BOC son suplementarios Teorema 1: sí dos rectas sé intersectan, entonces: α β δ γ i)

ii) α = γβ = δ

O

A

B

C

O A

B

C

15

A B

C

ab

c

A B

C

AB

C

Teorema 2: dos paralelas que son cortadas por una transversal o secante forman 8 ángulos que cumplen con: Ángulos alternos internos

3 5= y 4 6= Ángulos alternos externos

1 7= y 2 8= Ángulos correspondientes

1 5= , 2 6= , 3 7= y 4 8= Triángulo: es un polígono de tres lados. γ α β A, B y C son vértices

, y α β γ son ángulos interiores

AB c, BC a y CA b= = = son lados del triángulo Relaciones entre lados y ángulos interiores: i) La suma de dos lados de un triángulo es mayor que el tercero; a + b > c. ii) La diferencia positiva de dos lados de un triángulo es menor que el tercero; b c a− < .

iii) A ángulo interior mayor se opone el lado mayor.

iv) A ángulo interior menor se opone el lado menor. v) A ángulos interiores iguales se oponen lados iguales. Clasificación de los triángulos: i) Según sus lados: i-1) Equilátero: sus tres lados iguales y sus ángulos interiores iguales (60º) i-2) Isósceles: a lo menos dos lados iguales y si tiene uno distinto este se llama base. i.3) Escaleno: sus tres lados distintos. ii) Según sus ángulos interiores: ii-1) Acutángulo: sus tres ángulos interiores agudos. ii.2) Rectángulo: tiene un ángulo interior recto. ii-3) Obtusángulo: tiene un ángulo interior obtuso. Teorema 3: Las medidas de los ángulos interiores suman 180º. γ α β 180ºα + β + γ = Ángulo exterior: es aquel que esta formado por un lado y la prolongación del lado consecutivo a él. 'γ γ 'α α β 'β

' , ' y 'α β γ son ángulos exteriores

123 4

567 8

L1

L2

L1 // L2

16

A B

C

A’ B’

C’

b a

c

b’ a’

c’

Teorema 4: la medida de un ángulo exterior es igual a la suma de los interiores no adyacentes a él.

' ' 'α = β + γ β = γ + α γ = α + β Teorema 5: la suma de las medidas de los ángulos exteriores es 360º ' ' ' 360ºα + β + γ = Puntos y rectas notables de un triángulo. Altura: es la recta que pasando por un vértice intersecta al lado opuesto o a su prolongación de manera perpendicular, la intersección de las alturas se llama ortocentro. Bisectriz: es la recta que dimidia a un ángulo interior, la intersección de las bisectrices se llama incentro. Simetral: es la perpendicular que divide a un lado en dos partes iguales, la intersección de las simetrales se llama circuncentro. Transversal de gravedad: es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto, la intersección de las simetrales se llama centro de gravedad o baricentro. Mediana: es el segmento que une los puntos medios de un par de lados del triángulo. Observaciones: i) En un triángulo equilátero todas las rectas notables y los puntos notables coinciden. ii) En un triángulo isósceles, las rectas notables coinciden solo cuando intersectan el lado distinto. iii) En un triángulo escaleno nada coincide. iv) Las medianas son paralelas al lado opuesto y miden la mitad del lado al cual es paralela.

Congruencia de triángulos Dos triángulos se dicen congruentes cuando son iguales en medidas y forma. γ 'γ α β 'α 'β

'''

ABC A 'B 'C 'a a'b b 'c c '

α = α⎧⎪β = β⎪⎪γ = γ⎪

∆ ≅ ∆ ⇔ ∧⎨⎪ =⎪

=⎪⎪ =⎩

Para determinar si dos triángulos son congruentes, no es necesario probar que todos los elementos correspondientes son iguales, si no basta con probar un grupo de elementos, estos grupos de elementos se llaman postulados de congruencia. i) (l, l, l) lado, lado, lado; si los tres lados correspondientes en dos triángulos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. ii) (l, a, l) lado, ángulo, lado: si dos de lados son iguales y el ángulo comprendido por ellos son iguales, entonces los triángulos son congruentes. iii) (a, l, a) ángulo, lado ángulo: si dos ángulos son iguales y el lado que forma parte de los dos ángulos también lo es, entonces los triángulos son congruentes. Cuadriláteros: son polígonos de cuatro lados, la suma de los ángulos interiores es 360º. En todo cuadrilátero se verifica que: i) La suma e los ángulos interiores es 360º. ii) La suma de los ángulos exteriores es 360º. Diagonal: es el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

17

Paralelogramos

Rectángulos Rombos

Diagonales

CuadradoRectánguloRomboRomboide

IGUALES BISECTRICES PERPENDICULARES

SI SI SISI NO NONO SI SINO NO NO

A B

D C

A

B

C

D

Clasificación Paralelogramos: tiene sus lados opuestos son paralelos. i) Cuadrado: sus lados iguales y sus ángulos interiores rectos. ii) Rectángulo: sus ángulos interiores rectos. iii) Rombo: sus cuatro lados iguales. iv) Romboide: sus lados opuestos paralelos. Trapecios: tiene un par de lados paralelos, llamados bases. i) Trapecio isósceles: tiene sus lados no paralelos iguales. ii) Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos interiores rectos. iii) Trapecio escaleno: tiene sus lados no paralelos distintos. Trapezoides: no tienen lados paralelos. Paralelogramos Propiedades: estas propiedades son de todos los paralelogramos. i) Sus ángulos interiores opuestos son iguales. ii) Sus pares de ángulos consecutivos son suplementarios. iii) Sus lados opuestos son iguales. iv) Sus diagonales sé intersectan dimidiándose.

Trapecios δ γ α β AB //CD (son bases del trapecio)

180º y 180ºα + δ = β + γ = Observación: sólo en el trapecio isósceles las diagonales son iguales. Trapezoides Los trapezoides solo tienen las propiedades de todo cuadrilátero, pero existe un trapezoide simétrico que tiene varias propiedades, lo que lo hace motivante para ejercicios, es más varias veces a aparecido en pruebas reales de selección Universitaria, por tanto lo estudiaremos, este trapezoide se llama Deltoide. Propiedades:

i) AD = DC y CB = BA ii) DAB BCD= iii) AC BD⊥ iv) DB es bisectriz v) DB dimidia a AC

18

O

A

B

c

D

S

T

r

OA

B

CD

E

FG

H

Propiedades de polígonos en general: Sea n el número de lados (n además es igual al número de; vértices, ángulos interiores y exteriores), luego: i) La suma de los ángulos interiores es 180º · (n – 2), n – 2 es el número de triángulos que se genera al trazar todas las diagonales desde un mismo vértice. ii) La suma de los ángulos exteriores es siempre 360º, independiente del número de lados. iii) El número de diagonales que se pueden

trazar en un polígono es n (n 3)

2⋅ −

, donde

n – 3 es el número de diagonales que se pueden trazar desde un vértice. Polígono regular es aquel que tiene; lados iguales, ángulos interiores iguales y ángulos exteriores iguales. iv) La medida de un ángulo interior de un

polígono regular es 180º (n 2)

n⋅ −

.

v) La medida de un ángulo exterior de un

polígono regular es 360º

n

Circunferencia: es el conjunto de todos los puntos que equidistan de un punto llamado centro. O: centro de la circunferencia. r: radio, segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia. c: cuerda, segmento que une dos puntos de la circunferencia. D: diámetro, es la cuerda que pasa por el centro, luego es la cuerda mayor de una circunferencia y D = 2r.

T: tangente, es la recta que intersecta a la circunferencia en un solo punto, llamado punto e tangencia. S: secante, es la recta que intersecta a la circunferencia en dos puntos.

AB : arco, es una parte e la circunferencia.

AOB ; ángulo del centro, esta formado por dos radios.

CDE , ángulo inscrito, esta formado por dos cuerdas de origen común.

HGF , ángulo semiinscrito, esta formado por un tangente y una cuerda que llega al punto de tangencia. Teoremas: 1. Un ángulo del centro es igual equivalente al arco que encierra.

AOB AB=

A

B

O

19

AB

CD

2. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo inscrito, entonces el del centro mide el doble del inscrito.

AOB 2 ACB= ⋅ Corolario:

ABACB

2=

3. Una radio que llega el punto de tangencia es perpendicular a la tangente.

r T⊥

4. Si un ángulo del centro encierra el mismo arco que un ángulo semiinscrito, entonces el del centro mide el doble del semiinscrito.

AOB 2 ABC= ⋅ Corolario

ABABC

2=

5. Todo triángulo rectángulo esta inscrito en una semicircunferencia.

ABC∆ es rectángulo en C. 6. Si un cuadrilátero esta inscrito en

una circunferencia, entonces sus ángulos opuestos son suplementarios. 180ºα + γ = α δ 180ºβ + δ = β γ 7. Si dos tangentes se intersectan entonces se generan dos segmentos congruentes.

AB AC=

´

O

B

A

C

r

T

A

B

O

C

A B

C

O

A

B

C

20

60º

30º

LD

L

h

L/2

AB

C

D

8. Un radio es perpendicular a una cuerda sí y solo sí dimidia a la cuerda.

Si r AB AE EB⊥ ⇔ = , además si el radio es

perpendicular a la cuerda, entonces AF FB= .

9. Si dos cuerdas son iguales, entonces los arcos encerrados por ellas son iguales.

AB CD AB CD= ⇔ =

GEOMETRÍA MÉTRICA Teorema de Pitágoras En un triángulo rectángulo se cumple: a2 + b2 = c2 Este teorema permite obtener algebraicamente la medida de un lado de un triángulo rectángulo conocidos los otros dos lados, para evitar cálculo existen tríos

pitagóricos, es decir números que cumplen con el teorema de Pitágoras. Aplicaciones: Diagonal de un cuadrado. D L 2= Altura de un triángulo equilátero.

Lh 3

2=

Tríos Pitagóricos: son tríos de números que satisfacen al Teorema de Pitágoras. 3, 4, 5 32 + 42 = 52 5, 12, 13 52 + 122 = 132 Cualquier múltiplo de ellas, también cumplen con el teorema de Pitágoras.

L3

2 L

L2

Perímetro: es la medida del contorno o borde de una figura. - El perímetro de un polígono cualquiera es la suma de sus lados. - En el caso de un polígono regular (iguales lados) se debe multiplicar la medida del lado por el número de lados.

a

bc

ABE

O

r

F

21

OD

rA

B

b

h

h

b

D

d

O

r

A

B

A AA A

L1

L2

A A A

Perímetro de una circunferencia: P D 2 r= π ⋅ = π

Longitud del AB = D360ºα

⋅ π

Área: es la medida de la superficie que encierra una figura, las unidades de medida son cuadrados de área unitaria (cm2, m2, km2, etc.). PARALELOGRAMOA b h= ⋅

TRIÁNGULO

1A bh

2=

RECTÁNGULOA L A= ⋅

TRAPECIOB b

A h2

B bMediana m

2

+= ⋅

+= =

El área de cualquier cuadrilátero de

diagonales perpendiculares es D dA

2⋅

=

A = π r2

α 2A r360ºα

= ⋅ π

Criterios de áreas:

i) Para encontrar el área de una figura esta se debe transformar otro conocida de acuerdo a la información recibida.

ii) Para encontrar el área de una figura esta se debe dividir en áreas conocidas, de acuerdo a la información recibida.

Casos de igualdad de áreas: Si un triángulo o un paralelogramo están inscritos en paralelas y tienen igual base tiene igual área. Si dos o más triángulo tienen sus bases iguales y colineales comparten el tercer vértice tienen igual área.

Or

22

A A

A

AA

AAA

A B A’ B’

C

C’

a

c

b

c’

a’b’

L1

L2

L3

a c

b d

A BE

A B E’

Al trazar la trazar la transversal de gravedad se generan 2 triángulos de igual área. Al trazar las tres transversales de gravedad se forman 6 de igual área. Geometría de proporciones Semejanza: Dos figuras se dicen semejantes (-) si estas tienen igual forma. Semejanza de triángulos: 'α = α 'β = β

ABC A 'B 'C '∆ ∆ ⇔∼ 'γ = γ

∧

a b ca' b ' c '

= =

Para probar que dos triángulos son semejantes se deben utilizar los postulados de semejanza, a continuación daremos dos de ellos los más usados. (A,A) ángulo, ángulo Si dos triángulos tienen dos ángulos correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes.

(L,L,L) lado, lado, lado Si dos triángulos tienen sus tres lados correspondientes iguales, entonces los triángulos son semejantes. Teorema de Tales. Si dos rectas no paralelas son cortadas por una familia de paralelas, entonces en las rectas no paralelas se forman segmentos proporcionales. Si L1 // L2 // L3, entonces

a cb d=

División de trazos: Un trazo se dice dividido interiormente si hay un punto dentro del trazo que lo divide en dos segmentos que están en una razón determinada. Un trazo se dice que esta dividido exteriormente si existe un punto en la prolongación del trazo que divide al trazo en una razón determinada.

División interior AE mEB n

=

División exterior AE' mBE' n

=

23

A BE

A B

C

ab

cq p

h

ab

c

d

a

b

c

d

a

b

c

Razón Áurea o Razón de oro, si un trazo esta dividido de menara que el segmento mayor es media proporcional entre todo el trazo y el segmento menor. AB esta divido áureamente si:

2AB AEAE AB EB

AE EB= ⇔ = ⋅

Teorema de Euclides Si en un triángulo rectángulo se dibuja la altura desde el ángulo recto, entonces se generan las siguientes relaciones: Teorema de los catetos a2 = p · c b2 = q · c Teorema de la altura h2 = p · q Observación: Al trazar las transversales de gravedad en cualquier triángulo estas se intersectan de manera que generan dos segmentos que están en la razón 2 : 1

Proporcionalidad en una circunferencia: Dos cuerdas. a b c d⋅ = ⋅ Dos secantes que se intersectan. a b c d⋅ = ⋅ Una tangente y una secante. 2a b c= ⋅ Observaciones:

i) Si dos figuras son semejantes, entonces

todos sus elementos lineales correspondientes están en la misma razón.

ii) Si dos figuras son semejantes, entonces

sus áreas están en una razón igual al cuadrado de la razón en que están sus elementos lineales correspondientes.

2p

p

24

A

B

C

a

b

c

cara

arista

vértice

Trigonometría Como basta saber que en dos triángulos rectángulos dos ángulos agudos sean iguales para concluir que dichos triángulos son semejantes y por tanto las razones entre sus lados son iguales, entonces podemos establecer que existe una relación directa entre la razón entre los lados de un triángulo rectángulo y un ángulo agudo de él. β α Razones trigonométricas: Sea triángulo ABC rectángulo en C, luego:

Seno; a cateto opuesto

senc hipotenusa

α = =

Coseno; b cateto adyacentecos

c hipotenusaα = =

Tangente; a cateto opuesto

tgb cateto adyacente

α = =

Identidades trigonométricas: Es una igualdad que se verifica para cualquier ángulo agudo, las identidades elementales a saber son: i) sen cos(90º )α = −α ii) cos sen(90º )α = −α

iii) sen

tgcos

αα =

α

iv) 2 2sen cos 1α + α = Ecuaciones trigonométricas: Son aquellas en que la incógnita es un ángulo afectado por una razón trigonométrica, para despejarlas se debe llevar a una sola función para determinar el ángulo (incógnita) que la

satisface, en el caso de PSU sólo se consideran ángulos desde 0º a 90º. Valores notables:

0º 30º 45º 60º 90º

Seno 0 12

22

32

1

Coseno 1 32

22

12

0

Tangente 0 33

1 3 ∃

VOLÚMENES, ISOMETRÍAS e SIMETRÍAS Cuerpo: es una figura de tres dimensiones, esta limitado por superficies planas o curvas. Prisma: cuerpo formado por dos caras paralelas congruentes y poligonales, llamadas bases. Todas las caras laterales son paralelogramos. base base Volumen: es la cantidad de cubos de volumen unitario que caben exactamente en un cuerpo. El volumen de todo prisma es área basal · altura El área de todo prisma es la suma de las áreas de todas sus caras. Algunos prismas son; el cubo, el paralelepípedo recto, etc.

25

r

r

r

PIRÁMIDE

Vol. = 13

área basal · h

h: altura Cuerpos redondos estos cuerpos están limitados por superficies curvas, los cuerpos redondos más conocidos son el cilindro, el cono y la esfera. CILINDRO Vol. = π r2h Área = 2 π r2 + 2 π rh CONO

Vol. =13π r2h

Área = π r2 + área del manto ESFERA

Vol. = 43π r3

Área = 4 π r2 Transformaciones isométricas: son todas aquellas transformaciones en que la figura original es congruente con la figura final.

Traslación: es cuando cada punto de la figura se traslada de acuerdo a un vector traslación.

figura original

figura final

Rotación: es cuando la figura es girada una cantidad de grados en torno a un punto, se dice que el giro es positivo cuando se hace en el sentido contrario a los punteros del reloj. Reflexión: es cuando la figura es reflejada con respecto a un eje, los puntos homólogos o correspondientes equidistan del eje de reflexión.

base

figura original

figura final

centro derotación

figura original figura final

eje dereflexión

26

eje de simetría

A

B

CA’

B’

C’

O

Eje de simetría: es la recta que divide a una figura en dos partes congruentes, al doblar una figura por esta línea las dos partes coinciden al enfrentarlas, esta simetría recibe el nombre de simetría axial. Centro de simetría: es el punto medio del segmento formado por el punto original y el transformado, en el caso de una figura, es el punto que equidista de todos los puntos originales y los transformados correspondientes. Se dice que una figura tiene centro de simetría, si existe un punto por el cual se rota la figura una magnitud angular y la figura resultante coincide con la figura original. La figura nos muestra a el centro de simetría O, O es el punto medio de AA’, BB’ y CC’. Teselaciones Una pieza es teselante cuando es posible acoplarla entre sí con otras idénticas a ella sin huecos ni fisuras hasta recubrir por completo el plano. La configuración que en tal caso se obtiene recibe el nombre de mosaico o teselación. Observación: Los polígonos regulares que teselan el plano son aquellos que tienen por medida de su ángulo interior a un divisor de 360º.

También existen teselaciones con figuras que no son regulares, a saber: Consecuencia de lo anterior, todo paralelogramo tesela el plano. También pueden teselar dos figuras distintas, en especial combinaciones de polígonos regulares, en estos casos hay que verificar que en un nudo debe generarse 360º. En este caso aparece una teselación formada por un octógono regular y un cuadrado, si notamos que el ángulo interior de un octógono es 135º y 90º el cuadrado, por tanto; 135º + 135º + 90º = 360º.

Estadística y probabilidades Estadística: es la ciencia que se ocupa de la obtención, organización e interpretación de conjuntos de datos. Conceptos básicos. Dato: es la característica a estudiar. Población: universo de donde se extraen los datos. Muestra: es un subconjunto de la población.

27

Dato cualitativo: es aquel que no se puede representar con números. Ejemplos; color de ojos, preferencia política, etc. Dato cuantitativo: es aquel que se puede expresar como números. Ejemplos; la altura, el peso, etc. Variable discreta: es cuando puede tomar valores en un conjunto finito de números o cualidades. Ejemplo el número de libros leídos. Variable continua: es cuando puede tomar valores en un conjunto infinito de números. Ejemplo el peso de una persona. Frecuencia: es el número de veces que se repite un dato. Rango o amplitud: Es la diferencia entre el mayor y menor dato de una muestra. Medida de tendencia central: son los datos reales o ficticios que representan a toda la población, estas son: Moda: es el dato que más se repite o la marca de clase de mayor frecuencia cuando los datos están tabulados y agrupados en clase o intervalos. Mediana: es el dato central de una muestra ordenada de manera creciente o decreciente, si la cantidad de datos es impar la mediana coincide con el dato central, si hay una cantidad par de ellos, la mediana es el promedio de los dos datos centrales. Media: es el promedio aritmético de los datos;

datos

xnºdatos

= ∑

En el caso de datos agrupados:

dato·frecuencia

xfrecuencia

= ∑∑

Probabilidad: La probabilidad es el cuociente entre los casos favorables y los casos posibles, siempre y cuando todos los

casos sean equipropable (tengan la misma probabilidad de ocurrir).

C.favorables

P(s)C.posibles

=

Como los C.favorables C.posibles≤ ⇒ 0 P(s) 1≤ ≤ Propiedades: i) Si P(s) = 1 ⇒ el suceso ocurrirá. ii) Si P(s) = 0 ⇒ el suceso nunca ocurrirá. iii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A1B) iv) P(A1B) = P(A)·P(B) v) P(no ocurra s) = 1 – P(s) Como el contar los casos a veces es problemático, te indicaremos dos principios fundamentales. Principio multiplicativo (y,∧ ): si dos sucesos n y m ocurren ambos a la vez, entonces la ocurrencia de ambos a la vez es: n · m. Ej. Se disponen de tres tipos de panes y 5 tipos de quesos, ¿de cuántas maneras se puede hacer un emparedado? Resp. Como para hacer un emparedado debes usar el pan y el queso, por lo tanto 3 · 5 = 15 maneras distintas. Principio aditivo (ó,∨ ): si dos sucesos ocurren de n y m formas distintas, entonces la ocurrencia de sólo uno de ellos es n + m. Ej. Una persona dispone de 5 camisas y 3 camisetas para combinarlas con un pantalón, ¿de cuantas maneras distintas puede vestirse? Resp. Como normalmente no se usa una polera con una camisa, si no que una sola de ellas, entonces 5 + 3 = 8 son las formas distintas de vestirse. Observación: en todos estos casos debe primar el sentido común, es decir lo más usual.

28

FIN

Dedicado a una ex alumna mía que me motivo por este trabajo en vista de su angustia por la cercanía de la PSU, creo haber puesto en este material, todo lo mínimo necesario. Qué este trabajo sea lo que querías Savane. Sixto Maulén Rojas (Florindo) Noviembre del 2008