Respuestas Guia Analisis 2 catedra Venturini

Anlisis Matemtico II - Ctedra: Dra. Luisa L. Lazzari Gua de Trabajos Prcticos - Abril 2009

41

RESPUESTAS


42

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 1 2) a) 10 b) 3 c) 34 d) 158 e) 69 f) 6 3)

a) b)

c) d)


43

e) f)

g) h)

i) j)


44

k) l)

m) n)

) o)


45

p) q)

4) a) i) 3147 =++ zyx ii ) 16253 =+ zyx b) i) no son paralelas ii) son paralelas iii) no son paralelas iv) no son paralelas

5) a) 4

51

47

1 =

=

zyx ( ) ( )ttttF 45;4;71 +++=

b) 2

251

35

=

=+ zyx ( ) ( )ttttF 22;51;35 ++=

c) 4

33

22

1 =

=

zyx ( ) ( )34;23;12 +++= ttttF

6) a) 33

41

+

==zyx ( ) ( )ttttF 33;4;1 +=

7) a) b )

012

34

x

0 1 23 4

y

0

1

2

3

4

z

012

34

x0

1

2

3

4

z

02

46

x

0 2 46

y

0

2

4

6

z

02

46

x0

2

4

6

z


46

c) d)

01

23

4

x

0 12 3

4

y

0

2

4

6

8

z

01

23

4

x

0 12 3

4

y

0

2

4

6

8

z

00.511.52

x

0 1 23 4

y

0

1

2

3

4

z

00.511.52x

0

1

2

3

4

z

e) f)

0

2

4

6

8

x

0

2

4

6

y

0

1

2

3

4

z

0

2

4

6

8

x

- 10

1

- 1

0

1

- 2

0

2

- 1

0

1

g) h)

-4

-2

0

2

4 -2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-4

-2

0

2

4

-2

-1

0

1

2

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

00.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1-0.5

00.5

1

-1

-0.5

00.5

1


47

i) j)

-4-2

0

2

4

x

-4

-2

0

2

4y

-2

0

2

z

-4-2

0

2

4

x

-4

-2

0

2

4y

-2

0

2x

0

2

4

6y

-2

0

2

z

-2

0

2x

0

2

4

6y

k) l)

-1-0.5 0 0.5 1

x

-1-0.5

00.5

1y

-2

0

2

z

-1-0.5

00.5

1y

-5

0

5

x

-4

-2

0

2

4

y

01234

z

-5

0

5

x

m) n)

-4

-2

0

2

4

x

-4

-2

0

2

4

y

-4

-2

0

2

4

z

-4

-2

0

2

4

x

-4

-2

0

2

4

y

-5-2.5

0

2.5

5

x-5

-2.5

0

2.5

5

y

-2-1012

z

-5-2.5

0

2.5

5

x


48

o) p)

-4-2

02

4

x

-4

-2

0

24

y

-4

-2

0

2

4

z

-4-2

02

4

x

-4

-2

0

24

y

-5-2.5

02.5

5

x

-2

0

2y

0

5

10

z

-2

0

2y

q) r)

-20-10

010

20

-20-10

010

20

-20

-10

0

10

20

-20-10

010

20

-20-10

010

20

-2-1

01

2

x

-2

-1

0

12

y

-2

-1

0

1

2

z

-2-1

01

2

x

-2

-1

0

12

y

8) a)

A es cerrado, no es abierto, no es acotado.


49

No existen puntos interiores. Los puntos frontera son todos los puntos que pertenecen a A. El conjunto de puntos exteriores est constituido por el complemento de A ( A2 ). El conjunto de puntos de acumulacin es el conjunto A. b)

B no es cerrado, es abierto, es acotado. El conjunto de puntos interiores es B. Los puntos frontera son ( ){ }41 22222 =+=+ yxyx/y;x Los puntos exteriores son ( ){ }41 22222 >++ xy/y;x


50

El conjunto de puntos frontera es ( ) ( ){ }41 22 =+ xy/y;x El conjunto de puntos exteriores es ( ) ( ){ }41 22


51

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 2 Funciones de varias variables

1) a) f(3;2) = 9 f(-1;1) = 7 f(0;2) =12 b) f(3;-2) = -2e f(-1;4) = 4e-1 f(0;2) =2 c) f(2;3;9) = 2 f(-1;0;1) = 0 f(-5;1;2) =-5/2 d) f(2;3;-1;0) = -25 f(-1;0;1;-3) = -7 f(-5;-2;1;2) =7 2)

Tasa de inflacin I Tasa de impuestos 0 0,01 0,05

0 2593,7 2348,1 1592,3

0,28 2004,2 1814,4 1230,4

0,35 1877,1 1699,3 1152,4

3) a) Df = ( ){ }0y/y;x 2 b) Df = ( ){ }4xy/y;x 2 c) Df = ( ){ }4yx/y;x 222 + d) Df = ( ){ }0xy/y;x 2 e) Df = ( ){ }Zkk21xy/y;x 2 +

f) Df = ( )

> 14y

4x/y;x

222

g) Df = ( )

>+> 9yx14y

4x/y;x 22

222

h) Df = ( ) ( ) ( ){ }1;0y;xxy/y;x 22 i) Df = ( ){ }Zkkyx/y;x 2 + j) Df = ( )

>+ 24

22

2 yx/y;x

k) Df = ( ){ }1xy/y;x 2


52

l) Df = ( ){ } ( ){ }0;00xy9yx/y;x 222 U+

4) a) Df = ( ){ }0p0p18pp2/p;p baba2ba +

b) Df = ( )

> 0p0p4p4

p/p;p ba

2b

2a2

ba

c) Df = ( )

+>>+ 0012194

222

bababa

ba pppppp

/p;p

5) a) 1200400300 ++= y,x,)y;x(C

b) $4700 c) 4800350300 += y,x,)y;x(U

6) a) k = -2 2x4y 2 = k = -1 1x4y 2 = k = 0 2x4y = k = 1 1x4y 2 += k = 2 2x4y 2 += b) k = -5 9xy 22 =+ k = 0 4xy 22 =+ k = 3 1xy 22 =+ c) k = -2 no existe k = -1 no existe k = 0 (0;0) k = 1 1y4x 22 =+ k = 2 2y4x 22 =+ d) k = -1 no existe k = 1 3xy = k = 4 4lnxy 3 +=

e) k = -2 22

xy2=

k = -1 3xy 2 = k = 0 no existe k = 1 1xy 2 +=

k = 2 2xy

2=


53

f) k = -2 41y

21x 2

2

=+

+

k = -1 ( ) 1y1x 22 =++ k = 0 x = 0 k = 1 ( ) 1y1x 22 =+

k = 2 41y

21x 2

2

=+

7) a) Df = ( ){ }0L0K/L;K 2

b) f(1000;500) = 75785,83 ; f(2000;1000) = 151571,66. La produccin se duplica.

c) 33 k243L;

K

1L == . Representan las distintas combinaciones de unidades de

capital y trabajo para las cuales la produccin total se mantiene constante e igual a 100 y 300 unidades respectivamente.

8) b) z = 1 19y

4x 22

=+

z = 2 118y

8x 22

=+

z = 3 127y

12x 22

=+

Representan las distintas combinaciones de insumos x e y para los cuales la produccin total se mantiene constante e igual a 3, 2 y 1 respectivamente. No corresponde al caso normal. 9) a) No crecen en direccin noreste.

b) No son convexas. 10) a) 21 x6x5100 +=

b) x1 = 10 ; x2 = 25/3. La utilidad mxima es 250. 11) a) 21 x5x3I += b) x1 = 4,84 ; x2 = 1,38. El ingreso mximo es 21,42.


54

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 3 Lmite y continuidad

a) L=L1= L2 = Lr= -1

b) L1 = 21

, L2 = 21 , Lr = ( )m

m312

31+ no existe lmite doble

c) L=L1= L2 = Lr=6

d) L=L1= L2 = Lr= 121

e) L1= L2 = 0, Lr = ( )2123

mm+

no existe lmite doble

f) L=L1= L2 = Lr= 0 g) L=L1= L2 = Lr= 0 h) L=L1= L2 = Lr= 0

i) L1 = 21

, L2 = 3, Lr = mm

213+ no existe lmite doble

j) L1= L2 = 0, Lr = 42

1 mm+


k) L= Lr = 0, 21 , LL // l) L= L2 = Lr = 0, 1L/

mi) L1 = -1, L2 =1, Lr = mm

+

11 no existe lmite doble mii) L=0

n) L1= L2 = Lr = 0, L 21L

2=

= yx no existe lmite doble

) L1= 41 , L2 = 4, Lr =

21

21

4 mm

+


o) L1= L2 = 0 21L

4=

=xy no existe lmite doble

2) a) Discontinua evitable. / f (0;0). L = 0. b) Continua. L= f (0;0) = 0 3) a) f es continua en (0; 0) y en (1,0) f presenta discontinuidad esencial en (1; 1) b) f presenta discontinuidad esencial en (0;0), y en (1;1) f es continua en(1;0) c) f presenta discontinuidad evitable en (0;0) f es continua en (1;1) y en (1;0)

d) f es continua en (0; 0), en (1;1) y en (1;0)


55

4) a) f presenta discontinuidad esencial en (1;1) b) f es continua en (1;1) 5) a). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) b) f es continua en (0; 0) c) f es continua en (0; 0) d). f presenta discontinuidad esencial en (0;0) e) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) f) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) g) f presenta discontinuidad esencial en (0;0) h) f presenta discontinuidad evitable en (0; 0) 6) a) Es continua en ( ){ }0xy/y;xD 2 = b) Es continua en ( ){ }yx/y;xD 2 >= c) Es continua en ( ){ }4yx/y;xD 222


56

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 4 Derivadas Parciales

1) a) ( ) 142;1f x = ( ) 82;1f y = b) ( ) 41;2f x = ( ) 11;2f y = c) ( ) 11;1f x = ( ) 11;1f y =

d) ( )3 41

3211 = ;f x ( ) 3 4

13211 = ;f y

e) ( ) 21;2f x = ( ) 41;2f y =

f) ( )211;2f x = ( ) 01;2f y =

2) a) yx2x2

x eee2f+

= yx2y

y eeef+

=

b) 2ytgxxsecf x += xy2f y =

c) ( )ysenx31ef xcosy3xx = + xcosy3xy excos3f +=

d) ( )2x yx

y2f+

= ( )2y yx

x2f+

=

e) ylnyf xx = 1x

y yxf=

f) ( )2yx

y2x

xee

ef+

=+

( )2yx

yx2

yee

ef+

=+

g) 22x zyxx2f+

= 22y zyx1f+

=

22z zyxz2f+

=

h) yzxf 1yzx= xlnxzf yzy =

xlnxyf yzz = 3) A cargo del alumno 4) a) ( ) 10;0zx = ( ) 10;0z y = b) No existen las derivadas parciales en el origen. c) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y = d) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y = e) ( ) 10;0zx = ( ) 00;0z y = f) ( ) 00;0zx = ( ) 00;0z y =


57

5) a) f(x;y) es discontinua esencial en (0;0) y existen ambas derivadas parciales ( ) 00;0zx = y ( ) 00;0z y =

f(x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales ( ) 31;1zx = ( ) 21;1z y = f(x;y) es continua en (1;-1) y existen ambas derivadas parciales ( ) 31;1zx = y

( ) 21;1z y = b) f(x;y) es discontinua esencial en (0;0) y no existe ( )0;0zx y ( ) 00;0z y =

f(x;y) es continua en (1;1) y existen ambas derivadas parciales ( )411;1zx = y

( )411;1z y =

f(x;y) es discontinua esencial en (1;-1) y no existen ambas derivadas parciales.

6) ( ) 10;2;1f x = ( ) 210;2;1f y = ( ) 4

10;2;1f z =

7) ( ) 181;1zx =

8) 5

12

9) a) Es derivable slo en las direcciones de los versores (1;0), (0;1), (-1;0), (0;-1),

( ) 02;0fv = b) ( ) 00;1fv = si 0vv 21 = y no existe ( )0;1fv si 0vv 21

10) 339

11) 2

23

12) a) ( ) 6522;1fmax = ( ) 6522;1fmin = b) ( ) 31;1;2fmax = ( ) 31;1;2fmin = c) ( ) 21;1fmax = ( ) 21;1fmin = d) ( ) 531;1fmax = ( ) 531;1fmin = 13) a) ( ) 61;1f xx = ( ) ( ) 41;1f1;1f yxxy == ( ) 21;1f yy = b) ( ) 242;1;1f xx = ( ) 82;1;1f yy = ( ) 22;1;1f zz = ( ) ( ) 242;1;1f2;1;1f yxxy == ( ) ( ) 02;1;1f2;1;1f zxxz == ( ) ( ) 02;1;1f2;1;1f zyyz ==


58

14) A cargo del alumno.

15) ( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( )

=

+

++

+

=0;0y;x0

0;0y;xyx

x2yxyxx2xy2yxyxy2

f 2222222

22

22

x

( )( ) ( )

( ) ( )

=

+

+

=0;0y;x0

0;0y;xyxyx4xy2

yxyxx2

f 2222

22

22

y

( ) 20;0f xy = ( ) 20;0f yx = ( ) ( )0;0f0;0f yxxy

b) xyf no es continua en el origen, por consiguiente no se cumplen las hiptesis del teorema de Schwarz.

( )2223254

xyx

yx8y2yx2f+

+=

( )( ) ( )( )

( )4223254222222244

xyyx

yx8y2yx2yxy4yxyx24y10x2f+

++++=

En la direccin x=y en todo entorno del origen

( ) 0x16

x64x64x;xf 466

xy =

= y ( ) 20;0f xy = Por lo tanto xyf es discontinua en el origen 16) A cargo del alumno. Aplicaciones econmicas

1) a) ( ) 21;2;1pD

1

1 = ( ) 41;2;1

pD

2

1 = ( ) 21;2;1

pD

3

1 =

b) Como ( ) 01;2;1pD

1

1 < el bien es tpico.

c) ( ) 018,01;2;1EpED

1

1 ( ) 07501212

1 ,;;EpED

( ) 018,01;2;1EpED

3

1

2) a) ( ) 45;8pq

1

1 = 1Q bien tpico ( ) 35;8p

q

2

2 = 2Q bien tpico

( ) 25;8pq

2

1 =

( ) 5,15;8pq

1

2 =

1Q y 2Q son bienes

sustitutos.


59

( )37165;8

EpEq

1

1 = ( )8ln1265

155;8EpEq

2

2

+=

( )3755;8

EpEq

2

1 = ( )8ln1265

125;8EpEq

1

2

+=

3) a) Ambos bienes son tpicos y son sustitutos entre s.

11

1 p2EpEx

= 22

2 p3EpEx

=

12

1 =EpEx 1

1

2 pEpEx

=

b) Ambos bienes son tpicos y son complementarios entre s.

( )2111

1

1

pplnp1p

EpEx

++

= 1EpEx

2

2 =

( )21121

pplnp1

EpEx

+= 1

EpEx

1

2 =

c) El primer bien es Giffen, el segundo es tpico y son independientes entre s.

1EpEx

1

1 = 22

2 pEpEx

=

1EpEx

2

1 = 11

2 pEpEx

=

4) Para ( ) ( )10;12q;q 21 = al consumidor le da igual comprar una unidad adicional del bien 1Q o del bien 2Q , puesto que las utilidades marginales para dichas cantidades son iguales. Es decir,

( ) ( ) 1410;12qU10;12

qU

21

=

=

5) a) ( )3

104;4KQ

= ( )

3204;4

LQ

=

b) Para K=10 y L=20 ( ) ( ) 2913,53

41020;10LQ20;10

KQ 3

=

=

c) 31

EKEQ

= 32

ELEQ

= EKEQ2

ELEQ

=

6) 0peIx 2,0I >= bien normal 020 21


60

RESPUESTAS PRCTICA N 5 Diferencial

1) a) =dz 0,01 =z 0,011492 b) 18z == dz 2) a) 018702,0z = dz=0,02 b) 1,159

3) a) dzz1dy

y2dx

x1du ++= b) ydzlnxydyxzydxydu z1zz ++= c)

4xdz =

4) a) 0f0f yx == discontinua no diferenciable

b) 0f0f yx == continua no diferenciable

c) 0f0f yx == discontinua no diferenciable

d) 0f0f yx == es continua es diferenciable

5) a) 1,06 b) 4,045 6) a) 22222 2466 dyydydxxdxyxzd ++= 3233 48186 dyydydxxdxyzd ++=

b) 222 2 dyycosedydxsenyedxycosezd xxx =

( )32233 33 dysenydydxsenydydxycosdxycosezd x +=

7) df(1;2)=0 ( ) 222 dy29dxdy2dx62;1fd ++= ( ) 33

258213 dydx;fd =

8) ( )24

4ln2;1 =

XYTST

9) ( ) ( )2140;20

YXTMS240;20

XYTMS =

=

10) a) 13z

21y3y2x4z

=

=+=4

1-x

b) 18z1y17yx12z

==+=12

2-x

11) dz=0,6


61

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 6 Funciones Compuestas e Implcitas

Derivadas de funciones compuestas

1) 318

381

3

2 ddw

+=

2) ( )( ) ( ) ( ) 76222222 7223 tcostzyxxyzcostzxzyxcostzyzyxcosdtdw

=++=

3). ( )tsssst

eettse

tz

22212

+=

+ ( )

tss

sst

eet

tetsz

22212

+=

+

4) ry

yz

rx

xz

rz

+

=

= senyzcos

xz

+

y

yz

x

xz

z

+

=

( ) cosryzrsen

xz

+

=

22

222

cos2cos senyzsen

yz

xz

xz

rz

+

+

=

222

22222

coscos2 ryzsenr

yz

xzsenr

xzz

+

=

( ) ( )

222

2222

2

2

coscos1 +

++

=

+

senyzsen

xzz

rrz

22

+

=yz

xz

5) 02

;;2 =

w

6) ( ) 45 56 ttth += ( ) ( ) ( )45 35363 += h =1863 7) ( ) ( )( )vugFvuH ;; o= ( )vusenxeuye

uH xyxy += 22cos


62

( )uxevyevH xyxy += 26

=

8 i) 122 222 ++

=

vuwu

xyuvw

xz

( ) 00;1 =xz

( )senyvuy2wux1uvw2

yz 22 ++=

( ) 0=

oPyz

8 ii) ( ) 00 = Puz ( ) 600 =

Pvz

9) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]dyyxxyxyxdxyxyxyyxdz 222222222222 8282 +++++++=

10) ( ) ( )t232,t1

32x tt =+= y

11) ( )yx

exxcosyxeyxseny

dtdz tt

231

4623

+

++

+=

Funciones Implcitas

1) i) ( ) ( ) 042141221 =+

+

= ,,F

-4+4=0

ii) ( )2

2

yxyzFx +

= es continua en un entorno del punto (-1;2;2)

( )

yyx

xzFy 222

++

= es continua en un entorno del punto (-1;2;2)

yx

xzFz +=

2 es continua en un entorno del punto (-1;2;2)

iii) ( ) 042;2;1 =zF F define implcitamente z =f(x;y) y existen ( ) ( )2;1;2;1

yz

xz .

( ) 81

24=

= PFx ; ( )

( ) 41

212=

= PFz ;

( ) 841

41=+

=yF


63

( ) 24

82;1 =

=xz

2) i) F(1; 1 e ; -1)=0 ii) zyzeF xzx = es continua en un entorno del punto (1;

1 e ;-1)

zxFy = es continua en un entorno del punto (1;1 e ; -1)

yxxeF xzz = es continua en un entorno del punto (1;1 e ; -1)

iii) ( ) 02221 1 = e;;Fz F define implcitamente z =f(x; y). ( ) ee;

yz

211 1 =

.

3) i) F(2;2;6)=0

ii) yyxz

zFx +

=22

es continua en un entorno del punto (2;2;6)

xyxz

yFy +

=2

es continua en un entorno del punto (2;2;6)

22 yxz

xFz+

= es continua en un entorno del punto (2;2;6)

iii) ( ) 041622 = ;;Fz F define implcitamente z =f(x; y).

( ) 5622 = ;;xz .

4) ( ) 0;; =zyxF , x

yy F

Fyxx

=

= , yF

Fy xz

= , z

xx F

Fz

=

1=

z

x

y

z

x

y

FF

FF

FF

, 0;0;0 zyx FFF

5) ( )( )zxyexzxyex

FF

xz

zy

zy

z

x

+

=

=

+

+

coscos3

3

2

6) xzye

senxFF

zx

xx

z

cos+=

=

7) A cargo del alumno 8) A cargo del alumno.

9) ( ) ( ) 32

yy3

2

xy3

22

xxy z z z z zx;

zxyxz;

zxyz;

zx;

zxyzx =

=

==

=


64

10) ( )222 dydx154zd +=

11) a) PL.Tg. 03

28z92y

31x

32

=+ Recta Normal 9/2

27z3/18y

3/21x

+

=

=

b) PL.Tg x-y-3=0 Recta Normal 3z =

= ,13y6x

Aplicaciones Econmicas

1) 9619

dtdq375,0

EpEq625,0

EpEq125,0

pq3125,0

pq 1

2

1

1

1

2

1

1

1 ====

= obien tpic

2)

131 81dt

dq

1761

1721 801 201

arioscomplement bienesXy X 21 21

o.bien tpicX 31 obien tpicX 11

21

2

2

1

2

2

1

1

1

2 11

2

2

1

22

2 1

1

1

====

========

==

==

==

==

tdt

dqt

tEpEqt

EpEq,t

EpEq,t

EpEq

tpq

tpq

tpqt

pq

3)

=

dtdY.

YdtdM.

M.P

dtdP 11

4)LQ

LKQLQ

KLKQ 34

323LQ 34

6223+

+=

++

=

6223

323

+

+=

=

KL

LKQQQ

LKTST

K

L

5)

221222

213

2 1622

3212

1

2.2

1.1

pppppDpppp

pD

dtdp

pD

dtdp

pD

dtdD

++=+=

+

=


65

( )

( )2p1p6532p522p1p3422p3532pt44

22p3t2

dt2dp

2p1p6532p5

22p1p34

22p3

2p1tp12522p1p3t4

dt1dp

+

+

++

+

=

+

+

+

=

6) Y..dYdM

MDA

dYdC

CDA

dYdDA 6060 =

+

=


66

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 7 Funcin Homognea

1) a) homognea grado 3 b) no homognea c) homognea grado 1 d) homognea grado 1 e) homognea grado 2 f) homognea grado 5/4 g) homognea grado 2 h) no homognea 2) A cargo del alumno

3) a) 41 b) 6 c) 8

Aplicaciones Econmicas 1) A cargo del alumno 2) a) La funcin es homognea de grado 1 (homognea lineal). Esto significa que cuando los factores de produccin (a y b) varan segn una misma proporcin t, la produccin vara en la misma proporcin. b) A cargo del alumno. c) P(10,10) = 80 d) El rendimiento a escala es constate debido a que la produccin vara en la misma proporcin que los insumos.

e) La TMS = a

2b , es homognea de grado cero. Esto significa que la TMS entre los

factores es invariante ante cambios proporcionales en los insumos. f) La senda de expansin es la recta a=b. 3) El producto aumentara en la misma proporcin que los factores, es decir, en un 1% por se la funcin de Cobb Douglas homognea de grado 1. 4) a) La funcin es homognea de grado 2. b) A cargo del alumno. c) f (3,5) = 112 d) fb(3,5) = 22 e) b.fb(3,5) = 5 . 22 = 110 5) La funcin es homognea de grado 0. La demanda permanece invariante ante cambios proporcionales del precio y la renta. 6) a) La funcin es homognea de grado 2,47. b) A cargo del alumno.

c) 2,470,342,13EbEy

EaEx

=+=+ . Se demuestra que la suma de las elasticidades parciales

es igual al grado de homogeneidad.


67

d) Existe rendimiento a escala creciente, es decir, que la produccin aumenta en una proporcin mayor que los factores de produccin (capital y trabajo). e) b=2 a 7) a) A cargo del alumno. b) y c) En los dos casos las demandas no varan ante una variacin del 20% en los precios por ser funciones homogneas de grado cero.


68

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 8 Frmula de Taylor y Mac Laurin

1) a) ( ) ( ) 322 1211

2111 Tyxyx)xy(ln ++=

( ) ybxab,afdT


69

6) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 322 277298278

2728

81

2127

948336 TccttctP +

++++=

P (8,4;28,35) 37,8 7) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 322212121 121448

1211448 TxxxxxxP +

++++=

P (3,99;1,1) 8,3794 8) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 3222121211 12142

1481

21114

411 TppppppD +

+++=

D1 (4,01;1,02) 0,97795, el bien es tpico. 10) f (0,09;1,1) 1,02925


70

RESPUESTAS TRABAJO PRACTICO N 9 Extremos Libres y Condicionados

Extremos Libres:

1) a) Mnimo34

31;

34f =

b)

( )( ) aensilladur de punto 0;0;0P

Mnimo =

= 11;1f

c)( )( )

( ) ( ) aensilladurdePuntos2621y1;2;-26Mximo 282;-1-

Mnimo 2812

;;f

;f

==

d) No existen extremos

e) ( ) ( )Mnimo 3;-3-fy Mximo 3;3f f) No existen extremos

g) Mximo

3;

3f h) Mnimo

34;

29f

i) ( ) Mximo 10;0f = j) Puntos crticos (1;1) y (-1;-1), pero no extremos k) Existen infinitos mnimos pertenecientes a la recta x-y+1=0 l) ( ) Mnimo 21;1f =

2) Puntos crticos: ( )

33;

33;

33;

33;

33;

33;

33;

33 ;0;0

3) a) ( ) Mnimo 32;1f = b) P=(0;0;0) punto de ensilladura

4) Mximo27k

3k;

3kf

3

=

5) a) 2z1 = Mximo y 2z2 = Mnimo b) ( ) ( ) Mnimo 4;-2fy Mximo 332;4f == Extremos Condicionados: 1)

a) 75,246)2

17;4(f = Mnimo b) ( )5.0;25.0f Mnimo

c) 222;

22f =

Mximo

d) ( ) ( ) ( ) ( )2;2 ;2;2 ;2;2 ;2;2 e)

++ 222

22

2

baba;

baabf

f) Tringulo Equiltero 2) x=24; y=18; z=6


71

3) dm

;dm1r 3 3 1 2h ==

4) 25yx ==

5)715z ;

710-y ;

75x ===

6)

=

= 0;

21;

21P 0;

21;

21P 21

Aplicaciones Econmicas 1) x1 = 5 ; x2 = 9 B(5,9) = 103 2) f(3,2)=34 Mximo relativo 3) qa = 2 ; qb = 4 ; Bmax = 48 4) No es posible distribuir la produccin con el objeto de minimizar costos.

. 5) q1 = 40 ; q2 = 60 ; Cmin = 2340 6)

a) x1 = 7,5 ; x2 = 2,5 ; = 2,5; U = 18,75 b) De la condicin necesaria surge:

31

1

2 =xx . Esta igualdad equivale a decir que la razn de las utilidades marginales

(tasa marginal de sustitucin entre los bienes) debe ser igual al cociente entre los precios de los bienes (pendiente de la recta balance). Entonces, la combinacin ptima de bienes, que le proporciona al consumidor la mxima utilidad sujeta a su ingreso, esta dada por el punto de tangencia entre la curva de indiferencia y la recta balance pertinente. La TMS entre los bienes corresponde a la pendiente de la curva de indiferencia e indica en cuanto hay que reducir (aumentar) el consumo de un bien para compensar un aumento (disminucin) de otro bien, manteniendo constate la satisfaccin o utilidad del consumidor. De la condicin suficiente surge: > 0, su signo esta determinado por las caractersticas de la funcin utilidad.

c) El lambda () indica en cuento vara la funcin objetivo ante una variacin muy pequea en la restriccin. En el ejercicio, indica la utilidad marginal del ingreso. Esto significa que una leve variacin en el ingreso producir una variacin de 2,5 unidades en la utilidad del consumidor.

7) x = 1 ; y = 2


72

8) a) Se destinarn q1 = 5 y q2 = 3 que son las cantidades que maximizan el beneficio. b) p1 = 21 y p2 = 28 (se obtienen reemplazando las cantidades ptimas en la

ecuacin original). c) B = 125.

d) 37(21,28)

EpEq ;

521(21,28)

EpEq

2

2

1

1 == 37<

521 28 > 21

Vemos que a menor elasticidad corresponde mayor precio y viceversa. 9)

Condicin necesaria: 2

1

2x

1x

rr

f'f'

= . La ptima combinacin de cantidades de insumos esta

dada por el punto de tangencia entre la isocuanta y la recta de isocosto pertinente. Condicin suficiente: > 0 su signo esta determinado por las caractersticas de la funcin de produccin. 10) f(12,2)=480) es un mximo relativo 11) f(100,25)=5000 mximo relativo 12) f(4,2)=112 mximo relativo. 13)

a) q1 = 20 ; q2 = 10 ; = 0,5 y Imax = 500 b) q1 = 60 ; q2 = 30 ; = 6 y Xmin = 4500 c) En el punto a) el es el ingreso marginal de utilizar una unidad ms de insumo.

Esto significa que ante una variacin muy pequea en la cantidad de insumos el ingreso vara en 0,5 por unidades monetarias. En el punto b), ante una leve variacin del ingreso, la cantidad de insumos vara en 6 por unidades de variacin.

d) No es conveniente para la empresa esta alternativa, dado que el costo total de los insumos es de $20 magnitud que supera el ingreso de $10 que se obtiene con el incremento de 20 unidades.


73

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 10 Integrales

1) a) 5 b) [ ]33

41 c)3 ln 8 d) 4 e 8

e)15 1 ln 24 2

+

2) a) 2 3

0 0

( ; )x

dx f x y dy = 2

3

6

0);(

y

dxyxfdy

b)

223 3

0 0

( ; )x

dx f x y dy

= 332 2

0 0

( ; )y

dy f x y dx

c) 2

2

93

3 9

( ; )x

x

dx f x y dy

= 2

2

93

3 9

( ; )y

y

dy f x y dx

d) 23

1 0

( ; )x

dx f x y dy = 32

0 1

( ; )dy f x y dx + 36

22

( ; )y

dy f x y dx

e) 2

2

44

0 4

( ; )x x

x x

dx f x y dy

= 2

2

2 42

2 2 4

( ; )y

y

dy f x y dx+

f) 2 41

0 2

( ; )y

y

dy f x y dx +

= 2 2

0 0

( ; )

x

dx f x y dy + 24 2

2 0

( ; )

x

dx f x y dy +

3) a) 73

b)31 c) 1+ 2 d) 16

3 e) 19

6

4) a) 2

2 42 2

1

( )y

dy y x dx+ = 1934105

b) 1 1

0 1

( )x

dx y x dy

+ = 23

c) 21

3

0 0

1x

dx x dy+ = 29

( 2 2 - 1)


74

d) 1 2

0 0

( )x

dx x y dy+ = 43

e) ln 2 2

0

lnye

y xdy dxx =

18

ln4 2

5) a) ln 2 b) 41 22

e e

6) a) 16

b) 9 c) 6

13

7) V = 1 2 2

2

0 0

16x

dx x dy

= 12 2

2

0 0

16

y

dy x dx

8) 35215

9) a) V = 8 22 4

2 2

0 0

[4 ]x

dx x y dy

b) V.=. 4 23 9

2 2

0 0

[9 ]x

dx x y dy

10) a) 38 (e2 + 3 ) b) 4 c) 1e

d)

11) 6

12) 512

13) a) 649

b) 9

14) Produccin Media 2203391005000

1350

300

200

100

4060 ,dxyxdy ,, ==

15) Beneficio Medio ( )dyxyyxyxdx +=45

35

55

40

22 400025650200150

1

16) a) A cargo del alumno b) 2 2

2y x yx+

17) A cargo del alumno b) P( 0x2, 5y6 ) = 527

18) $49.793


75

RESPUESTAS TRABAJO PRCTICO N 11

Ecuaciones diferenciales

1) A cargo del alumno

Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

1) a) Ct2cost2x2 ++= b) ( ) y1

e1xC = c) Cx1y 2 =+

d) ( ) Cx149

y9yln 4 +=

e) 22 y2x1 =+ f) ( )2t153y +=+

2) a) Cxln

xy

= b) Cyxy2x 22 =+ c) xy

Cey =

d) 42 =+ ylnyx e) 06

yxyln =+

3) a) Cyxyx 22 =++ b) ( ) C1yexy2x

3x y223 =+ c)

ylny33x 2 +

=

4) Cxy2k 2 ==


6) a) Cyxxln =+ b) Cxcosyx 22 = c) Cxye y

x

=

7) a) ( ) Cyxyxxx 223 =+= b)

( ) Cyx2xyyy 432 ==

c) ( ) C2yxyxln

x1x

2

=+=


76

8) a) xx3 e21Cey = b)

21Cey

2x = c)

xCxcossenxy ++=

d)

+= x

12 Ce2xy e) ( )2Cyeyx y3 = f)

xxln2y +=


10) a) ( )xlnCx1y+

= b) 2Cx

x5y 52

+= c)

++=

xCxxlnxy

43

233 d)

( )23 xCxy +=

11) a) Cxy +=32

32 c) 3

x3

Cey

=

d) 2

xcossenxCey x += e) xCy = f) Ctgxy3xy 2 =

g) Cyx =+ h) Cycosxy =+ i) yeC xcos =

j) ( )Cex

y x += 1 k) C2xey

2x4 += m) Cxeyx y22 =++

n) 211 xC

yy

=+ p) ( ) Cxlny ++= 22 1 s)

2122 ++= xCey x

u) 2

22xxlnCyarctg =+ v)

2

xC1xy

= w) Cxysenxy +=

x) xlnyyxC 22 +=

12) a) ( ) ( )1= trerktA b) ( ) ( ) ( )[ ]trer

rtA tr += 11412

13 a) ( ) kteCtP += 20 b) ( ) ( ) ktkt etPetP =+= 10202020

c) P(t) convergente 20=P


77

14) a) ( ) 500500 500 += t,ePP

b) 500300500500500 5050 =+== PePeP t.t.

c) P (t) divergente

15) ( ) tkeCAtN = N(t) convergente AN =

16) a) ( ) t3e46tp += b) p(t) convergente 6p =

17) ( ) 0ytty += ( ) 002 Dtyt21tD ++= ( )( ) += ty

tDlimt

18) ( ) t0 eyty = ( ) ( )1eyDtD t00 +=

( )( )

tytDlim

t=

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden

1) a) x22x

1 eCeCy += b) x3

2

x31

1 eCeCy +=

c) ( )x3senCx3cosCey 21x += d) ( )xCCey 21x

31

+=

e) x5senCx5cosCy 21 += f) 2x

21

1 CeCy +=

g) ( )senxxcosey x += h) ( )1x32x1 eCe2y +=

i) x3sen31y =

2) a) x3sen781x3cos

785eCeCy x22

x31 +=

b)

( ) x21x2 e91CxCey ++=

c) 324

136x

18xx6senCx6cosCy

2

21 ++= d) 10eeCeCy

xx

2

x41

1 ++=


78

e) xsenxcosxxsenxcosey x 31313

263

52

512

13007972

650523

+

++

+=

f)

+=

323

8xee

3217e

85y x3xx g) ( )2231 3 CxeeCy xx ++=

h) xxeCCy x45

43 22

21 +++=

i) xcosxcosCxsenCy 510155 21 +=

j) xxx exexCeCy 221 21

++=

3) ( ) 426 ++= tt eetp

4) ( ) ( ) 9t2sen2t2cos3etp t ++= fluctuacin amortiguada convergente a 9p =

Respuestas Guia Analisis 2 catedra Venturini

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