RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL 1. Uso …materias.fi.uba.ar/6509/Respuestas Forzadas y...
Transcript of RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL 1. Uso …materias.fi.uba.ar/6509/Respuestas Forzadas y...
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
1 de 26 (Versión 18/4/10)
RESPUESTAS FORZADAS Y RESPUESTA FRECUENCIAL
1. Uso de las transferencias Supongamos una transferencia cualquiera
Se resuelve hallando las componentes naturales y la forzada. Para la respuesta natural planteo la ecuación homogénea:
Propongo la solución exponencial y reemplazo en la ecuación homogénea
Así obtengo las n raíces de la ecuación (s1, s2,…, sn), las cuales pueden ser reales o complejas(los n exponentes y las n soluciones), entonces la respuesta natural será:
tS
n
tStS
nneAeAeA +++=Ω ...21
21
La ecuación característica es
Podemos decir entonces que toda la información de la respuesta natural está en el denominador de la función transferencia.
011
1
011
1
...
...
)(
)()(
apapapa
bpbpbpb
rdenominado
numerador
pD
pNpT
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++===
−−
−−
)p(T)JpB)(LpR()k(
k
)t(u
)t(2
=+++φ
φ=
Ω
)t(u)bpb...pbpb()t()apa...papa( 011m
1mm
m011n
1nn
n ⋅++++=Ω⋅++++ −−
−−
4444 34444 214444 34444 21)t(f
01m
m
m
)t()p(D
01n
n
n ubdt
dub...
dt
udba
dt
da...
dt
da +++=Ω+
Ω++
Ω
Ω⋅
)t(f)t()p(D =Ω⋅
)t(0adt
da...
dt
da n01n
n
n Ω⇒=Ω+Ω
++Ω
stn Ae)t( =Ω
0... 01 =+++ stststn
n AeasAeaAesa
0)s(D0)p(D =⇒=
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
2 de 26 (Versión 18/4/10)
Para la respuesta forzada con valores constantes de excitación:
Para excitación exponencial:
Para excitación armónica:
Supongamos una excitación
)cos()( αω +⋅= tUtu max ⇒ α∠= maxUU&
)cos()( βω +⋅Ω=Ω tt max ⇒ β∠Ω=Ω max&
βαθ ∠Ω=∠⋅∠=⋅=Ω maxmaxUTUT &&&
⇒ maxmax UT ⋅=Ω , θαβ +=
de manera que:
011
1
011
1
...
...)(
apapapa
bpbpbpbpT
n
n
n
n
m
m
m
m
++++
++++=
−−
−−
y, para excitación exponencial será:
))...()((
))...()((
...
...)(
2101
01
n
mba
n
n
m
m
ssssss
ssssssK
asasa
bsbsbsT
−−−
−−−=
+++
+++=
Donde: K= factor de escala s1, s2, ..., sn son raíces de la ecuación característica, polos de la función transferencia sa, sb, ..., sm son ceros de la función transferencia Suponiendo los siguientes polos y ceros:
01 =s α−=2s ''43 ωα jss ±−==
0≠as
)0(D
)0(N)0(T =
)s(D
)s(N)s(T =
θω
ωω ∠=== TT
jD
jNjT &
)(
)()(
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
3 de 26 (Versión 18/4/10)
Analizando la constelación de polos y ceros se puede determinar la característica de la respuesta a excitación armónica viendo cómo varían para
distintos jω (desplazándose por el eje imaginario) los módulos |jω -si| y sus
ángulos αi de las raíces y se podrá graficar el módulo |T| y ángulo θ de la
función transferencia en función de ω.
Figura N°1 Suponiendo una transferencia con 2 polos y 2 ceros:
))((
))(()(
21 sjsj
sjsjKTT ba
−−
−−==
ωω
ωωθ&
si αn son los ángulos de (jω-sn) y β los de (jω-sm)
444 3444 21
&
Módulo
ba
sjsj
sjsjKT
21 −⋅−
−⋅−=
ωω
ωω21 ααββ −−+∠ ba
Se puede hallar θ gráficamente. 1.1. Ejemplo
CpLpRpZ
1)( ++=
)(
)(1
1
111
)(2
2 tu
ti
LCp
L
Rp
p
LLCpRCp
Cp
CpLpR
pY =
++
⋅=++
=
++
=
σ
jω
S1
S4
S3
S2 α2
α4
α3
jω-S3
jω-S4
jω-S1
Sa
βa
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
4 de 26 (Versión 18/4/10)
)()(
)0(11
1
)(
)(
212 ssss
s
L
LCs
L
Rs
s
LsU
sI
−⋅−
−⋅=
++
=
Figura N°2
21
1)(
ll
l
LjY a
⋅⋅=ω 21 ααβ −−∠ a
Si varía ω a lo largo del eje imaginario y se van midiendo la, l1, l2 y βa, α1, α2 se
podrá graficar fase y modulo de Y(jω) en función de ω. 2. Representación de Bode 2.1. Introducción Sea un cuadripolo como el de la figura N°3, cuya transferencia de tensión V2/V1 es T(p):
Figura N°3 Supongamos que a la entrada de este cuadripolo tengamos aplicada una tensión del tipo
tVtV ωsen)( 11 ⋅=
La respuesta al estado estacionario (si el cuadripolo es estable) esta dada por:
)sen()sen()()( 212 θωθωω +⋅=+⋅⋅= tVtVjTtV
Donde
T(p) V1 V2
I1 I2
σ
jω
Sa
S2
S1
α2
α1
βa l2
la
l1
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
5 de 26 (Versión 18/4/10)
]1[)()(1
221 ωω jT
V
VVVjT =⇒=⋅ Función módulo
]2[)(arg ωθ jT= Función fase
T(jω) se determina de T(p) reemplazando p=jω. Ahora bien, de lo expuesto debe asimilarse correctamente que la función módulo representa la relación entre las magnitudes que componen la transferencia, y la función fase representa el desfasaje entre ellas.
Figura N°4 También es importante saber que ambas funciones son dependientes de la frecuencia. Las representaciones de Bode consisten en dos gráficos que corresponden a las variaciones de módulo y fase de la función transferencia,
usando como variable ω. 2.2. Diagramas de Bode 2.2.1. Diagrama de módulo Como sabemos una transferencia que corresponda a un bloque circuital, toma la forma de una función racional de coeficientes positivos, la cual puede ser factoreada en raíces del numerador y denominador:
01
01
...
...)(
apapa
bpbpbpT
n
n
m
m
+++
+++=
))...()((
))...()(()(
21
00201
pnpp
m
pppppp
ppppppKpT
−−−
−−−=
donde:
)(.min,...,
)(.,...,
min,
2,1
02,01
pTdePolosadordenodelraíceslassonpp
pTdeCerosnumeradordelraíceslassonpp
escaladefactoradodenob
aK
pp
m
n=
Para p=jω
]3[.)())...()((
))...()(()( )(
21
00201 ωωωωω
ωωωω Φ=
−−−
−−−= j
Módulo
pnpp
m ejTpjpjpj
pjpjpjKjT
876
Se define atenuación en decibeles como
V2
V1 θ
Comentario [A1]: rev 18-4-10
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
6 de 26 (Versión 18/4/10)
]4[)(log20)( ωω jTTdB =
El diagrama de módulo de Bode gráfica TdB en función de la frecuencia ω. Tanto las escalas verticales como las horizontales son logarítmicas. La escala
horizontal es logarítmica de ω, y la vertical logarítmica de T(jω).
Figura N°5
Vemos que
Cuando ω2/ω1=2 se dice que correspondió un salto en frecuencia de una
octava. Cuando ω2/ω1=10 correspondió un salto de una década. Aplicando [4] en [3] obtengo:
−−−
−−−⋅=
pnpp
m
dBpjpjpj
pjpjpjKT
ωωω
ωωωω
......
......log20)(
21
00201
∑∑==
−−−+=n
jpji
m
idB pjpjKT
10
1
log20log20log20)( ωωω
Como se puede observar 20 log |K| es una constante y todos los demás
términos son una suma algebraica de factores TidB=20 log |jω-pi| . Veamos los distintos casos que podemos encontrar: 2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen) Tomemos un TdB correspondiente a un cero simple, para estudiar su variación
con respecto a la frecuencia ω, teniendo en cuenta que para un polo se tienen las mismas consideraciones pero el TdB es negativo. O sea:
iipj 0dB log20T −= ω 00 ≠ipcon
1
21212 logloglog
ω
ωωω =−=− uu
ΤdB
u=log ω ω=1 u=0
para ω1=a para ω2=b
u1=log a
u2=log b
u=-∞⇒ω=0
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
7 de 26 (Versión 18/4/10)
Figura N°6
Se toma como referencia p0i y se analiza la variación de Ti para valores de
ω>>p0i y ω<<p0i.
Para ω>>p0i
uTidB 20log20 =≅ ω [5]
Para ω<<p0i
iidB pT 0log20≅ [6]
Para ω=0 (o sea u=-∞)
iidB pT 0log20=
En [5] y [6] se puede apreciar que para ω grandes Ti se confunde con una recta
de pendiente 20 y para ω chicos, con una cte. de valor 20Log|p0i|. Representado gráficamente obtenemos:
Figura N°7
Tomemos ω2/ω1=10. Para la recta 20u, a una variación desde ω1 hasta ω2,
corresponde una variación 20u2 – 20u1 = 20 log ω2 – 20 log ω1 = 20 log ω2/ω1 = 20 log 10 = 20 dB. O sea, que la recta 20u corresponde una variación de atenuación de 20 dB/década.
Si hubiera sido ω2/ω1=2 la variación de atenuación correspondería a 6 dB/octava.
jω
σ
P0i
ω=1
TdB
u=log ω ω=p0i
20dB
curva real
Recta de referencia
u1=Logω1 u2=Logω2
20u
20Log|p0i|
Para
ω2=10ω1
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
8 de 26 (Versión 18/4/10)
2.2.1.2. Ejemplo 100−= ωjT
Figura N°8
El mayor apartamiento se produce en p0i. Hallaremos este valor:
idBi pjT 0log20 −= ω
20
20 ii ppj +=− ωω
2
02
02
02
0 2log102log20log20)(0
iip
iiidB ppppTi
⋅=⋅=+===ω
ωω
errordevalorrectadevalorppT iiidB +=+== 2log10log20)( 00ω
dB32log10 +==ε
El error ε es de 3dB positivos.
Todas estas consideraciones son también para un polo simple: 100
1
−=
ωjT
pjdBj pjT −= ωlog20
Figura N°9
jω
σ
ppj
ω=1
TdB
u=log ω ω=p0i=102
20dB
curva real
Recta de referencia
ω=103
20u
20Log 100=40dB
ε
Mayor apartamiento
ω=104
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
9 de 26 (Versión 18/4/10)
Figura N°10 2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) Estos serían de la forma: Cero de orden n
( ) ajnajTn
a −⋅⋅=−= ωω log20log20
Polo de orden n
( ) bjnbjTn
b −⋅⋅=−= ωω log20log20
El mayor apartamiento será +n.3dB para cero de orden n y –n.3dB para un polo de orden n. Para el caso de n=2 el gráfico es:
Figura N°11a y b Una vez hecho este análisis, la atenuación total se obtiene como suma de todas las contribuciones de los ceros y de los polos. 2.2.1.4. Ejemplo
ΤdB
u=log ω ω=1 ω=ppj
curva real
Recta de referencia
ε=-3dB
-20dB/dec=-6dB/octava
-20Log|ppj|
Tdb
u=log ω ω=1
ω=a1
40dB/dec=12dB/oct curva real
ε=+6dB
Tdb u=log ω
ω=1
ω=b1
-40dB/dec=-12dB/oct
curva real
ε=-6dB 40Log|a1| -40Log|b1|
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
10 de 26 (Versión 18/4/10)
Hallar el diagrama de módulo de:
1
)5,2(2)(
+
+=
p
ppH
Será:
|1|20|)5,2(|20220 +−++= ωω jLogjLogLogTdB
Figura N°12
Figura N°13
La representación total (TdBtotal) es suma de todas las contribuciones. Para hallarla, debe prestarse atención a las subidas o caídas de las pendientes de cada una de las contribuciones, así como también en sus valores constantes. 2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen
Figura N°14a y b
σ
jω
p0j=0
σ
jω
ppj=0
jω
-1 -2,5
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
11 de 26 (Versión 18/4/10)
Para este caso p0i=ppj=0 Tomemos primero un cero simple sobre el origen:
( ) ujpj ii 20log20log20log20 0 ===−= ωωωα
obtenemos como resultado una recta de pendiente 20 dB/década.
Figura N°15 Si el cero fuera de orden n sería:
unnjTn
i ⋅=⋅== 20log20log20 ωω
Para n=2, Ti= 40u, que corresponde a una recta de pendiente 40 dB/década. Graficando:
Figura N°16a y b Para polos es el mismo tratamiento:
unnjTn
j ⋅−=−=−= 20log20log20 ωω
jω Cero Doble
σ
ΤdB
u=log ω ω=1
ω=10
40dB/dec 40
20Log|jω|2
u=log ω ω=1
ω=10
20dB/dec
20
20Logω
TdB
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
12 de 26 (Versión 18/4/10)
Figura N°17a y b 2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados:
Los polos o ceros que no están sobre el eje real σ se presentan de a pares y son complejos conjugados.
Figura N°18
Hagamos el análisis para ceros conjugados y extendamos los resultados a los polos conjugados:
*00
*00 20)()()( iidBii pjpjLogTpppppT −⋅−=⇒−⋅−= ωω
−±=
+±=
11*0
110
jbap
jbap
i
i
Desarrollando la transferencia:
bapppppppppppp iiiiii ++=⋅++−=−⋅− 2*00
*00
2*00 )()()(
de donde:
+=
⋅±=2
12
1
12
bab
aa
La atenuación es para p=jω:
σ
jω p0i
p*0i -b1
b1
-a1
jω Polo Simple n=1 σ
Tdb
u=log ω
ω=1
ω=10
-40dB/dec
40 -20dB/dec
20 -20Log|jω|
-20Log|jω|2
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
13 de 26 (Versión 18/4/10)
( ) ( )bajbjajTdB ++−=+⋅+= ωωωω 22 log20log20
Para ω grandes:
uTdB 40log40log20 2 ==≅ ωω
Para ω pequeños:
bTdB log20≅
Esto nos indica que la pendiente para ω grande se aproxima a 40 dB/déc o 12 dB/oct. El mayor error se comete en:
b=ω b es el Módulo de p0i ó p0i*
Este valor puede ser negativo o positivo. Su representación será
Figura N°19
El valor en dB de la curva real en b=ω será:
bababjbTdB ⋅=+⋅+−= log20log20
Luego
bbbabba log20log20log20log20log20.log20 −−+=−=ε
21
21
12log20log20
ba
a
b
a
+−==∴ε
Ahora bien, si:
ΤdB
u=log ω
ω=1 ω=b
1/2
40dB/dec=12dB/oct.
curva real Representación con
Error ε=0
Representación con
ε>0
Representación con
ε<0 20Log|b|
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
14 de 26 (Versión 18/4/10)
ε+⇒>⇒> 01 Logb
a
ε−⇒<⇒< 01 Logb
a
Como caso particular veremos los complejos conjugados que están sobre el eje
jω para ω grandes. O sea, el caso en que a1≈0.
−∞==
∴=⇒=
=
b
a
b
a
bb
alog200
021
ε
El gráfico será:
Figura N°20
Figura N°21
Para polos conjugados lo expuesto anteriormente es igual, salvo el signo menos:
*20 pjpjdB pjpjLogT −⋅−−= ωω
En la última página, figura 40 se muestra el gráfico detallado del caso de polos complejos conjugados. Cada una de las TdB se dan como función de un
parámetro ξ de forma que 0≤ξ≤1 (ξ=1/2 a/√b).
Tdb
u=log ω
ω=1
ω=b1/2
=b1
40dB/dec
curva real
20 log b
ω=0
jω Cero Conjugado Simple
σ
b1
-b1
Comentario [A2]: rev 18-4-10
Comentario [A3]: rev 18-4-10
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
15 de 26 (Versión 18/4/10)
Este gráfico detallado puede extenderse a ceros complejos conjugados, con la salvedad de que estas representaciones se invierten. 2.2.1.7. Ejemplo Hallar el diagrama de módulo de Bode de:
)1040)(10(10)(
)9820)(9820)(10(
10
)1040)(10(
10)(
425
5
42
5
++−+=
++−++=
+++=
ωωω
ωω
jj
jjH
jpjpp
p
ppp
ppH
Puede verse la “constelación de polos y ceros en la Figura N°26. Luego:
44444 344444 21444 3444 2143421434214321
|)1040(|20|)10(|20||201020)( 425
TTTT
dB jLogjLogjLogLogT ++−−+−+= ωωωωω
Analicemos cada término por separado: Término T1:
→= dB10010log20 5recta cte. que pasa por 100dB:
Figura N°22 Término T2:
→=== decdBjT /20log20log202 ωω un cero en el origen introduce una
asíntota recta de pendiente 20dB/dec.
100dB
logω
TdB
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
16 de 26 (Versión 18/4/10)
Figura N°23
Término T3: Aquí debemos analizar qué sucede con T3 para frecuencias muy grandes
)( ∞→ω y para frecuencias pequeñas )0( →ω por lo que tendremos 2
asíntotas de diferente pendiente. La pendiente cambiará en el llamado “punto de quiebre”, que en este caso es el polo (en escala logarítmica)
1log,10 == ωω .
entonces:
Si ∞→ω : decdBTT /20log20 33 −=⇒−→ ω
Si 0→ω : dBTT 2010log20 33 −=⇒−→
Figura N°24
Término T4:
424 1040log20 ++−−= ωω jT
de la misma manera:
Si ∞→ω : decdBTT /40log20 42
4 −=⇒−→ ω
Si 0→ω : dBTT 8010log20 44
4 −=⇒−→
Ahora, el “punto de quiebre” será el módulo de los polos complejos conjugados:
1 2
-20
-40
logω TdB
1 2
20dB
logω
TdB
ω=1
logω=0
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
17 de 26 (Versión 18/4/10)
2102log1029820)9820( 2222 ≅⇒=+=+
Figura N°25
el error entre la curva real y la asíntota será, en este caso (p=20±j98):
dBba
adB 84.0log204.0
100
40221
21
1 ==⇒==+
= εε (Ver la figura 27)
En realidad, el error real para nuestro caso es un poco menor que 8dB (analice por qué). El gráfico de Bode será entonces:
Figura 26: Constelación de Polos y Ceros
2 3
-80
-120
logω TdB
jω
-10
0
+j98
--j98
-20 σ
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
18 de 26 (Versión 23/04/11)
FIGURA 27
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
19 de 26 (Versión 23/04/11)
2.2.2. Diagrama de fase Hallaremos para cada caso el diagrama de fase correspondiente 2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)
Sea un cero simple (sobre σ negativo):
Figura N°28
Para ω>>p0i :
( ) °== 90arg ωφ j
Para ω=0:
( ) °=−= 0arg 0ipφ
Si se gráfica la variación de φ=f(ω) se obtiene:
Figura N°29
)pjarg()j(Targ i0−ω=ω=φ
φ(ω)
u=log ω
ω=1
ω=p0i ω2=10 p0i
curva real (φ=arg(jω-p0i) con p0
sobre el eje σ<0)
Recta de referencia
ω1=p0i/10
90º
0º
45º
σ
jω
p0i
jω - p0i
φ
Vector que se desplaza sobre el eje
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
20 de 26 (Versión 23/04/11)
Detalle: se muestran los apartamientos de la asíntota en p0i/10 (-5,7º), los máx apartamientos positivo y negativo (-6º y +6º) y en 10 p0i (+5,7º)
Figura N°30
Para un polo simple es:
)(
1arg
pjpj −=
ωφ
Para ω>ppj °−= 90φ
Para ω=0 °= 0φ
Los apartamientos en 0°, -32°, -58° y 90° son los mismos que en el caso del cero. El gráfico es:
Figura N°31
φ(ω)
u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj
Recta de referencia
ω1=ppj/10
-45º
0º
-90º
curva real (φ=arg1/(jω-ppj con ppj
sobre el eje σ<0
6°
5,7°
58°
5,7°
32°
6°
45°
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
21 de 26 (Versión 23/04/11)
2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen) Para el caso que sean polos o ceros de orden n los gráficos de Bode son:
Figura N°32
Figura N°33 2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen Para el caso de un cero sobre el origen es:
.90)arg( ctej =°== ωφ
Representando:
Figura N°34
u=log ω
φ(ω)
curva real 90º
0º
φ(ω)
u=log ω ω=1 ω=ppj ω2=10 ppj
curva real
Recta de referencia
ω1=ppj/10
-n.45º
0º
-n.90º
Polos de orden n
φ(ω)
u=log ω
ω=1
ω=p0i ω2=10 p0i
curva real Recta de
referencia
ω1=p0i/10
n.90º
0º
n.45º
Ceros de orden n
n 5,7°
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
22 de 26 (Versión 23/04/11)
Si fuera de orden n sería:
Figura N°35 Para un polo sobre el origen es lo inverso:
°⋅−== 90)(
1arg n
j nωφ
Figura N°36 2.2.2.4. Complejos conjugados:
Figura N°37 Para ceros conjugados es:
21 φφφ +=
Para jω=0: 021 =⇒≠= φφφ signodesoncomoy
Para jω grande:
°=⇒°== 1809021 φφφ
El gráfico está dado en función del siguiente valor
10 ≤≤ ξ
φ(ω)
u=log ω
curva real
n.90º
0º
φ(ω)
u=log ω
curva real
-n.90º
0º
σ
jω p0i
φ1
φ2
p*0i
Comentario [A4]: rev 18-4-10
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
23 de 26 (Versión 23/04/11)
21
21
1
2
1
ba
a
b
a
+==ξ
Cuando ε=0, los complejos conjugados estarán sobre el eje imaginario jω:
Figura N°38 Para polos conjugados el gráfico de fase detallado se da en la figura 40 Este gráfico detallado puede extenderse a polos complejos conjugados con la salvedad que estas representaciones se inviertan. 2.2.2.5. Ejemplo Hallar el diagrama de fase de Bode de :
)3)(1(
)2(2)(
++
+=
pp
ppT
El valor de la constante “2” también contribuye en el diagrama de fase.
Si k>0 ⇒ recta cte. de 0°
Si k<0 ⇒ recta cte. de 180° Como vimos en el caso del diagrama de módulo, aplicaremos aquí el mismo criterio, o sea:
∑= onescontribucilastodastotal)(ωφ
entonces:
)3)(1(
)2(2)(
++
+=
ωω
ωω
jj
jjH
Ver gráfico en la página siguiente (Figura 39) .
ω=1
φ(ω)
u=log ω ω=b1/2
ω2=10 b1/2
ω1=b1/2
/10
180º
0º
90º
ξ=0 ξ=0.2
ξ=0.5
ξ=0.7
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
24 de 26 (Versión 23/04/11)
Figura N°39
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
25 de 26 (Versión 23/04/11)
Figura N°40
Gráfico superior: Diagrama de módulo para polos conjugados con el ξ como parámetro
Gráfico inferior: Diagrama de fase para polos conjugados con ξ como parámetro
Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Respuestas Forzadas y Frecuenciales
26 de 26 (Versión 23/04/11)
3. Indice
1. USO DE LAS TRANSFERENCIAS ....................................................................................................1
1.1. EJEMPLO ................................................................................................................................................3
2. REPRESENTACIÓN DE BODE .........................................................................................................4
2.1. INTRODUCCIÓN .....................................................................................................................................4 2.2. DIAGRAMAS DE BODE...........................................................................................................................5 2.2.1. Diagrama de módulo .................................................................................................................5
2.2.1.1. Ceros o polos sobre el eje real (no en el origen)............................................................................. 6 2.2.1.2. Ejemplo .......................................................................................................................................... 8 2.2.1.3. Ceros o polos de orden n (no en el origen) ..................................................................................... 9 2.2.1.4. Ejemplo .......................................................................................................................................... 9 2.2.1.5. Ceros o polos sobre el origen ....................................................................................................... 10 2.2.1.6. Polos o ceros complejos conjugados: ........................................................................................... 12 2.2.1.7. Ejemplo ........................................................................................................................................ 15
2.2.2. Diagrama de fase .....................................................................................................................19 2.2.2.1. Ceros o polos simples (no en el origen)........................................................................................ 19 2.2.2.2. Cero o polo de orden n (no en el origen) ...................................................................................... 21 2.2.2.3. Polos o ceros sobre el origen ........................................................................................................ 21 2.2.2.4. Complejos conjugados: ................................................................................................................ 22 2.2.2.5. Ejemplo ........................................................................................................................................ 23
3. INDICE ...................................................................................................................................................26