Presentación de métodos algebraicos… Gaussiana, eliminación y sustitución….

Fanny Yuribeth García Juárez

ING. Leonel Deifilio Moreno Guillen

Algebra lineal

22/11/11

algebra

Gaussiana Sustitución Eliminación

Como resolver una ecuación por medio del método “Gaussiana”

1.Tenemos la ecuación…

x+2y+3z =9

Coeficiente 4 x+5y+6 z=24

3x+ y+2z=4

2.Obtenemos coeficientes

1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

Gaussiana

3.-obtenemos pivote f1.c1. el cual será =1 c1 c2 c3 c4

F.1 F.2 F.3

4.-convertimos a f2.c1 en 0.multiplicando por el núm. reciproco de este a la f1 y sumándolo ala f2.para obtener f2.(en este ejemplo se multiplica por -4).

1 2 3 9

4 5 6 24

3 1 2 4

Gaussiana

Lo cual queda…

5.lo mismo para f3.c1 convertir en 0..(en este caso multiplicamos por-3 a f1 y sumamos en f3 para obtener f3).

1 2 3 9

0 -3 .6 -12

3 1 2 4

Gaussiana

Lo cual nos queda…

6.-hacemos 1 al siguiente pivote ahora nuestro pivote será f2.c2…dividiendo f2 entre nuestro pivote. para obtener f2.

1 2 3 9

0 -3 -6 -12

0 -5 -7 -23

Gaussiana

Lo cual nos queda

7.-convertir en 0.a f3.c2(en este caso multiplicamos por 5 a f2 y sumamos en f3.para obtener f3.

1 2 3 9

0 1 2 4

0 -5 -7 -23

Gaussiana

Lo cual nos queda

8.-Convertimos en 1. nuestro último pivote. el cual es f3.c3 .dividiendo a f3 por nuestro pivote para obtener f3.

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 3 -3

Gaussiana

Lo cual nos queda

Obtenido nuestros 3 pivotes=1 Sustituimos en nuestra ecuación para

obtener los valores correspondientes de nuestras variables

1 2 3 9

0 1 2 4

0 0 1 -1

Gaussiana

Se refleja los resultados en una ecuación:

X+2y+3z=9

Y+2z=4

Sustituimos z=-1 en y+2z=4 para obtener “y”

Y+2(-1)=4 Y-2=4 y=4+2

Y=6

Z=-1

GaussianaObtenidos los valores de “y” … “z” .sustituimos

en x+2y+3z=9 para obtener “x”

X+2(6)+3(-1)=9

X+12-3=9

X=9-12+3

X=0

Gaussiana

Los resultados: X=0 Y=6 Z=-1 “comprobamos”

x+2y+3z=9 0+2(6)+3(-1)=9

12-3=9 9=9

4x+5y+6z=24 4(0)+5(6)+6(-1)=24

0+30-6 =24 24=24

método

sustitución

sustitución

.resolvemos la ecuaciónx+y=12x+3y=12

1.-despejamos “x” en primera ecuación.

x+y=1 x=1-Y

sustitución Una vez despejada “x” sustituimos en

nuestra segunda ecuación para obtener “y”

2x+3y=12 dónde: x=1-Y resolvemos: 2(1-Y)+3y=12 2-2Y+3y=12 Y=12-2 y=10

sustitución

Obtenida “y” sustituimos en cualquier ecuación para obtener “x”..

En este caso tomamos a “x” ya despejada.

X=1-Y dónde= y=10

X=1-10 x=-9

sustitución

Encontramos a los valores de “x”-”y” X=-9 y=10 Comprobamos nuestros resultados: x +y=1 2x+3y=12 (-9)+(10)=1 2(-9)+3(10)=12 1=1 -18+30=12 12=12

eliminación

Resolver una ecuación por medio del método de eliminación.

Tenemos la ecuación.x+y=12x+3y=12

Eliminación

1.-en este método se multiplica la primera ecuación por el numero reciproco al coeficiente que se le va a restar.

X+y=1 en este caso el coeficiente

2x+3y=12 será 2.

eliminación

multiplicamos x+y=1 por (-2) 2x+3y=12

Nos queda: - 2x-2y=-2 .a este se le resta la

2da. ecuación.

eliminación

-2x-2y=-2 2x+3y=12 y=10 Al realizar la resta se obtiene el valor

de una variable. La cual es sustituida en una de las

ecuaciones para obtener el valor de a siguiente .

eliminación

Tenemos y=10

Sustituimos X+y=1 x+(10 )=1 X=1-10 x=-9