INSTITUTO TEOLGICO DE SALTILLOMTODOS NUMRICOS

Ing. Omar Snchez Jcome

UNIDAD 3MTODO DE SOLUCIN DE SISTEMAS DE ECUACINIntegrantes:Flores Prez Lorenzo AntonioJos ngel Guerra LaraJuan Marcos Vzquez ChvezArmando Emmanuel Ibarra Saucedo

26 De Marzo De 2015, Saltillo, Coahuila

NDICE

INTRODUCCIN.1BIOGRAFA DE GABRIEL CRAMMER2PROCEDIMIENTO DE LAS REGLAS DE CRAMMER.3EJEMPLO DE LA REGLA DE CRAMMER..4BIOGRAFA DE CARL FREDRICH GAUSS...5ECUACIN GAUSSIANA SIMPLE.7EJEMPLO DE ECUACIN GAUSSIANA SIMPLE...8PROCEDIMIENTO DE GAUSS JORDAN..10EJEMPLO DE GAUSS JORDAN.11MTODO DE LA INVERSA.14EJEMPLO DE MTODO DE LA INVERSA ..14PROCEDIMIENTO DE GAUSS SEIDEL17EJEMPLO DE GAUSS SEIDEL..18CONCLUSIN19 BIBLIOGRAFAS19

INTRODUCCIN Desde el origen de las matemticas ha permitido lograr distintos avances que benefician el desarrollo del hombre. Desde entonces, han surgido distintas ciencias de estudio, una de ellas es algebra lineal, que estudia conjuntos denominados espacios vectoriales; constan de un conjunto de vectores y un conjunto de escalares de distintas maneras. Por lo anterior, se hablar de dos grandes matemticos: Gabriel Cramer y Carl Friedrich Gauss que han destacado por sus famosos mtodos de resolucin de ecuaciones que desde el siglo XVIII siguen siendo de los ms aplicados hasta el da de hoy, es decir, para resolver sistemas de ecuaciones de una manera rpida; adems de ofrecer un sistema de solucin de ecuaciones. Los diversos mtodos presentados en este documento sern de gran ayuda para resolver ecuaciones utilizando la regla de Cramer, que es la ms aplicada, as como lo es el mtodo de Gauss Jordan o tambin conocido como el de las Inversas; destacados por su versatilidad. Por otro lado, est tambin Gaus Seidel famoso por la obtencin de aproximaciones de resultados. Todos estos recayendo en el nico objetivo de la resolucin de ecuaciones utilizando algebra lineal.

BIOGRAFA DE GABRIEL CRAMER Nacido en Ginebra el 31 de Julio del ao de 1704, fallecido el 4 de Enero en el ao de 1752. Fue un matemtico Suizo, profesor de dicha asignatura en la universidad de Ginebra durante el periodo de 1724-1727. En 1750 ocup la ctedra de filosofa de la universidad antes mencionada. La regla de Cramer recibe su nombre en honor del matemtico suizo Gabriel Cramer (1704- 1752). Cramer publico la regla en 1750 en su libro Introduction to the Analysis of Lines of Algebraic Curves. De hecho, existe evidencia que sugiere que Colin Maclaurin (1698-1746) conoca la regla desde 1729; Maclaurin fue quiz el matemtico britnico ms sobresalientes en los aos que siguieron a la muerte de Newton. La regla de Cramer es uno de los resultados ms conocidos en la historia de las matemticas. Durante casi 200 aos fue fundamental en la enseanza del algebra y de la teora de las ecuaciones. Debido al gran nmero de clculos requeridos, se utiliza muy poco en la actualidad. Sin embargo, el resultado fue muy determinante en su tiempo.

PROCEDIMIENTO DE LA REGLA DE CRAMER Los pasos a seguir para calcular los sistemas de ecuaciones segn la regla de Cramer son los siguientes:1.Hallar la matriz ampliada (Ab)asociada al sistema de ecuaciones, esto es: que la primera columna est formada por las entradas de los coeficientes de la primera incgnita de las ecuaciones; que la segunda columna la formen las de la segunda incgnita, y as hasta llegar a la ltima columna, que estar constituida por las entradas de los trminos independientes de las ecuaciones.2.Calcular el determinante deA.3. Aplicar la regla de Cramer, que consiste en:a)ir sustituyendo la primera columna del det (A) por los trminos independientes;b)dividir el resultado de este determinante entre el det (A) para hallar el valor de la primera incgnita;c)continuar sustituyendo los trminos independientes en las distintas columnas para hallar el resto de las incgnitas.

EJEMPLO DE LA REGLA DE CRAMER Sea el sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones con dos incgnitas:

Encontrar el valor dexeymediante la regla de Cramer.Empezaremos con el primer paso, que consiste en hallar la matriz ampliadaAbasociada al sistema de ecuaciones lineales:

El segundo paso es calcular el determinante deA. As pues:

Y el tercero y ltimo paso consiste en calcular las incgnitas:

BIOGRAFA DE CARL FRIEDRICH GAUSS. Carl Friedrich Gauss es considerado el matemtico ms grande del siglo XIX, adems de uno de los tres matemticos ms importantes de todos los tiempos. Gauss naci en Brunswick, Alemania, en 1777. Su padre, un obrero amante del trabajo, era excepcionalmente obstinado y no crea en la educacin formal, e hizo todo lo que pudo para evitar que Gauss fuera a una buena escuela. Por fortuna para Carl, su madre, a pesar de que tampoco contaba con educacin, apoyo a su hijo en sus estudios y se mostr orgullosa de sus logros hasta el da de su muerte a la edad de 97 aos. Gauss era un nio prodigio, a los tres aos encontr un error en la libreta de cuentas de su padre. Hay una ancdota famosa de Carl, a los 10 aos de edad asista a la escuela local de Brunswick. El profesor sola asignar tareas para mantener ocupados a los alumnos y un da les pidi que sumaran los nmeros del 1 al 100. Casi al instante, Carl coloco su pizarra boca abajo con la palabralisto. Despus el profesor descubri que Gauss era el nico con la respuesta correcta, 5050. Gauss haba observado que los nmeros se podan arreglar en 50 pares que sumaban cada uno 101(1+100, 2+99, etc.), y 50*101= 5050. Ao ms tarde, Gauss bromeaba diciendo que poda sumar ms rpido de lo que poda hablar. A la edad de 15 aos, el Duque de Brunswick se fij en l y lo convirti en su protegido. El Duque lo ayudo a ingresar en el Brunswick College en 1795 y, tres aos despus, a entrar a la Universidad de Gottingen. Indeciso entre las carreras de matemticas y filosofa, Gauss eligi las matemticas despus de dos descubrimientos asombrosos. Primero invento el mtodo de mininos cuadrados una dcada antes de que Legendre publicara sus resultados. Segundo, un mes antes de cumplir 19 aos, resolvi un problema cuya solucin se haba buscado durante ms de dos mil aos: Gauss demostr cmo construir, con tan solo una regla y un comps, un polgono regular cuyo nmero de lados no es mltiplo de 2, 3 o 5. El 30 de marzo de 1796, fecha de este descubrimiento, comenz un diario que contena como primera nota las reglas de construccin de un polgono regular de 17 lados. El diario, que contiene los enunciados de 146 resultados en solo 19 pginas, es uno de los documentos ms importantes en la historia de las matemticas. Tras un corto periodo en Gottingen, Gauss fue a la Universidad de Helmstadt y, en 1798, a los 20 aos, escribi su famosa disertacin doctoral. En ella dio la primera demostracin matemtica rigurosa del teorema fundamental del algebra que indica que todo polinomio de grado n tiene, contando multiplicidades, exactamente n races. Muchos matemticos, incluyendo a Euler, Newton y Lagrange, haban intentado probar este resultado. Gauss hizo un gran nmero de descubrimientos en fsica al igual que en matemticas. Por ejemplo, en 1801utilizo un nuevo procedimiento para calcular, a partir de unos cuantos datos, la rbita del asteroide Ceres. En 1833 invento el telgrafo electromagntico junto con su colega Wilhelm Weber (1804-1891). Aunque realizo trabajos brillantes en astronoma y electricidad, la que resulto asombrosa fue la produccin matemtica de Gauss. Hizo contribuciones fundamentales al algebra y la geometra y la teora de la variable compleja. Gauss fue nombrado catedrtico de matemticas de Gottingen en 1807 e imparti clase hasta su muerte en 1855. Aun despus de su muerte, su espritu matemtico sigui acosando a los matemticos del siglo XIX. Con frecuencia, un importante resultado nuevo ya haba sido descubierto por Gauss y se poda encontrar en sus notas inditas. En sus escritos matemticos Gauss era un perfeccionista y tal vez sea el ltimo gran matemtico que conoca prcticamente todo acerca de su rea. Al afirmar que una catedral no era una catedral hasta que se quitara el ltimo de los andamios, pona todo su empeo para que cada uno de sus trabajos publicados fuera completo, conciso y elegante. Usaba un sello en el que se vea un rbol con unas cuantas frutas y la leyenda pauca sed matura(pocas pero maduras). Gauss crea tambin que las matemticas deban reflejar el mundo real. A su muerte, Gauss fue honrado con una medalla conmemorativa que llevaba la inscripcin George V, Rey de Hanover, al prncipe de los matemticos.PROCEDIMIENTO ECUACIN GAUSSIANA SIMPLE. El mtodo de eliminacin Gaussiana para la solucin de sistemas de ecuaciones lineales consiste en convertir a travs de operaciones bsicas llamadas operaciones de rengln un sistema en otro equivalente ms sencillo cuya respuesta pueda leerse de manera directa. El mtodo de eliminacin Gaussiana es el mismo para sistemas de ecuaciones 22, 33, 44 y as sucesivamente siempre y cuando se respete la relacin de al menos una ecuacin por cada variable.

Ambos miembros de una ecuacin pueden multiplicarse por una constante diferente de cero.Los mltiplos diferentes de cero de una ecuacin pueden sumarse a otra ecuacinEl orden de las ecuaciones es intercambiable1 0 0 10 1 0 20 0 1 3Para encontrarse en esta forma, una matriz debe tener las siguientes propiedades.Si un rengln no consta completamente de ceros, entonces el primer nmero diferente de de cero en el rengln es un 1. (A este 1 se le denomina 1 principal).Si existen renglones que consten completamente de ceros, entonces se agrupan en la parte inferior de la matriz.Si dos renglones sucesivos no constan completamente de ceros, el 1 principal del rengln inferior se presenta ms hacia la derecha que el 1 principal del rengln superior.Cada columna que contenga un 1 principal tiene ceros en todas las dems posiciones.Si una matriz tiene las propiedades 1, 2 y 3 se dice que est en la forma escalonada en los renglones.EJEMPLO ECUACIN GAUSSIANA SIMPLE.1. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:x + 2y + 3z = 14x + 5y + 6z= 27x + 8y + 10z = 5Donde cada ecuacin representa un rengln y las variables iguales de las 3 ecuaciones representan las columnas 1, 2 y 3 respectivamente.Usando el mtodo de eliminacin Gaussiana.Solucin:Para simplificar las operaciones se retiran las variables y se mantienen exclusivamente los coeficientes de cada una, el signo de igual tambin es eliminado pero se mantienen los datos del lado derecho de la ecuacin.Quedando como sigue:1 2 3 14 5 6 -27 8 10 -5La diagonal principal de la matriz busca quede conformada por solo unidades (1) la parte inferior a la diagonal debe quedar en ceros. Esto se hace utilizando las operaciones bsicas de rengln para las ecuaciones, de arriba hacia abajo y de izquierda a derecha.Se multiplica la ecuacin 1 por 4 y se resta de la ecuacin 2, de igual forma la multiplico por 7 y la resto de la 3.Despus se divide la ecuacin 2 (rengln 2) entre 3 para hacer el componente de la diagonal principal 1.Se multiplica la ecuacin 2 (rengln 2) por 6 y lo sumo a la ecuacin 3 (rengln 3). Una vez lograda la diagonal principal formada por unidades y los datos por debajo de la diagonal principal ceros reintegro las variables en cada ecuacin y tambin el signo igual de las ecuaciones obteniendo:Donde el valor de z= 10 y al sustituir este valor en la ecuacin resultante 2, tendramosy + 2z = 2 al sustituir el valor de z obtenemos que:y + 2(10) = 2y + 20 = 2y = 2- 20y = 18Al sustituir estos valores en la ecuacin resultante 1 se tiene:1x + 2y + 3z = 1Si z= 10 y y=18, entonces el valor de x ser:1x + 2y + 3z = 1x + 2(18) + 3(10)= 1x 36 + 30 = 1x 6 = 1x = 1 + 6x = 7La solucin del sistema de ecuaciones sera x= 7, y= 18, y z= 10.

PROCEDIMIENTO DE GAUSS-JORDAN Este mtodo, que constituye en una variacin del mtodo de eliminacin de gauss permite resolver hasta 15 o 20 ecuaciones simultneas, con 8 o 10 dgitos significativos en las operaciones aritmticas de la computadora. este procedimiento de distingue del mtodo Gaussiano en que cuando se elimina una incgnita, se elimina de todas las ecuaciones restantes, es decir, las que preceden a la ecuacin pivote as como de las que la siguen.El procedimiento de reduccin de Gauss-Jordn para resolver el sistema lineal AX = b es el siguiente Paso 1. formar la matiz aumentada[A : b]Paso 2. Transformar la matriz aumentada [A:b] a su forma escalonada reducida por filas[C : d] mediante operaciones elementales por filas.Paso 3. para cada fila distinta de 0 de la matriz aumentada[C : d],se despeja la incgnita correspondiente a la entrada principal de cada fila asociada con la entrada principal de esa fila. las filas que constan completamente de ceros se pueden ignorar, pues la ecuacin correspondiente ser satisfecha por cualesquiera valores de las incgnitas

EJEMPLO DE METODO GAUSS-JORDANResolver sistema linealx + 2y + 3z = 92x - y + z = 83x -z = 3

Paso 1 : La matriz aumentada de este sistema es:

Paso 2 : Ahora transformamos como sigue la matriz del paso 1 a su forma escalonada reducida por filas

Se sum (-2) veces la primera fila a la segunda

Se sum (-3) veces la primera fila a la tercera fila.

Se multiplic la segunda fila por (-1 / 5)

Se sum 6 veces la segunda fila a su tercera fila

La tercer fila se multiplic por (-1 / 4)

Se sum (-1) veces la tercer fila a su segunda fila

Se sum (-3) veces la tercer fila a su primer fila

Se sum (-2) veces la segunda fila a su primer fila

En consecuencia la matriz aumentada es equivalente por filas a la matriz

En forma escalonada reducida por filasPaso 3. El sistema lineal representado por (2) es:x = 2y = -1z = 3De modo que la nica solucin del sistema lineal dado (1) esx = 2y = -1z = 3

PROCEDIMIENTO DEL MTODO DE LA INVERSA El mtodo de Gauss-Jordan es una variable del anterior mtodo de gauss. De lo que se trata es de realizar el tringulo de cero inferiores al mismo tiempo que el superior, de forma que la matriz diagonal se halle directamente. En el siguiente ejemplo se comprender claramente este mtodo.Sea la ecuacin [A]*[X] = [B] que denota un sistema de ecuaciones lineales.

Esta ecuacin puede ser resuelta para [X]. pre multiplicado [A] por su inversa, y para no alterar el resultado, tambin se pre multiplica [B] por la inversa de [A]:

EJEMPLO DEL MTODO DE LA INVERSASi tenemos el sistema de 3x3:

Procedimiento matemtico =

A partir de este planteamiento empezamos a hallar la matriz inversa para posteriormente dar solucin al sistema.*Calculando el determinante

Clculo de la matriz adjunta: Calculamos en la primera instancia la matriz de cofactores.para el clculo de cada cofactor tenemos

*Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: *Para el cofactor tenemos: Obtenemos: Matriz de cofactores =

Reemplazamos el determinante y la matriz adjunta en la frmula

Finalmente la inversa est dada por:

Y la solucin del sistema:

Resultado = x2 = 4, x2 = -2 , x3 = 3

PROCEDIMIENTO DE GAUSS SEIDEL Los mtodos iterativos constituyen una alternativa a los mtodos de eliminacin descritos hasta ahora, para aproximar la solucin. Tales mtodos son similares a las tcnicas que se desarrollaron en el captulo 6 para obtener las races de una sola ecuacin. Aquellos mtodos consistan en suponer un valor y luego usar un mtodo sistemtico para obtener una aproximacin mejorada de la raz. Como esta parte del libro trata con un problema similar (obtener los valores que simultneamente satisfagan un conjunto de ecuaciones). Entonces se esperara que tales mtodos aproximados fuesen tiles en este contexto. El mtodo de Gauss-Seidel es el mtodo iterativo ms comnmente usado. Suponga que se da un sistema de n ecuaciones:

Suponga que se limita a un conjunto de ecuaciones de 3 3. Si los elementos de la diagonal no son todos cero, la primera ecuacin se puede resolver para , la segunda para y la tercera para , para obtener (11.5a) (11.5b) (11.5c)

Ahora, se puede empezar el proceso de solucin al escoger valores iniciales para las x. Una forma simple para obtener los valores iniciales es suponer que todos son cero. Estos ceros se sustituyen en la ecuacin (11.5a), la cual se utiliza para calcular un nuevo valor = . Despus, se sustituye este nuevo valor de junto con el valor previo cero de en la ecuacin (11.5b) y se calcula el nuevo valor de . Este proceso se repite con la ecuacin (11.5c) para calcular un nuevo valor de . Despus se regresa a la primera ecuacin y se repite todo el procedimiento hasta que la solucin converja suficientemente cerca a los valores verdaderos. La convergencia se verifica usando el criterio [recuerde la ecuacin (3.5)] % < (11.6)para todas las i, donde j y j 1 son las iteraciones actuales y previas, respectivamente.Criterio de convergencia para el mtodo de Gauss-SeidelObserve que el mtodo de Gauss-Seidel es similar en esencia a la tcnica de iteracin de punto fijo que se usa para obtener las races de una sola ecuacin. Recuerde que la iteracin de punto fijo presenta dos problemas fundamentales: 1. en algunas ocasiones no es convergente.2. cuando converge, con frecuencia lo hace en forma muy lenta. El mtodo de Gauss-Seidel puede tambin presentar estas desventajas.

EJEMPLO DE GAUSS SEIDELPlanteamiento del problema. Use el mtodo de Gauss-Seidel para obtener la solucin del sistema: 0.1 0.2 = 7.85 0.1 + 7 0.3 = 19.3 0.3 0.2 + 10 = 71.4Recuerde que la verdadera solucin es x1 = 3, x2 = 2.5 y x3 = 7.Solucin. Primero, despeje la incgnita sobre la diagonal para cada una de las ecuaciones.(1)(2)(3)Primera iteracin Si ,

2 iteraciones

-2.499625

7.000291

Ahora sustituimos los valores de , y

CONCLUSIN Durante la bsqueda y anlisis de informacin se permiti conocer ms afondo mtodos que anteriormente se han abordado y aprendido en el curso de Algebra Lineal que corresponde a la Ingeniera en Sistemas Computacionales y por tanto se reconoce que seguirn presentes en cursos posteriores. Por ejemplo, el mtodo de Gauss Seidel converge hacia la verdadera solucin, para mejorar el resultado hay que aplicar ms iteraciones. Sin embargo en un problema real no se podra saber a prioridad el resultado correcto. Por otro lado, otro de los ms aplicados es el sistema de Ecuaciones Gaussiana, es el mismo, un sistema de ecuaciones lineales del tipo 22, 33, 44 etc. Pero ser de esta forma, siempre y cuando se respete la relacin de al menos tener el mismo nmero de ecuaciones que de variables. Finalmente se puede decir que la indagacin en las distintas fuentes fue un repaso de lo conocido que permiti conocer con mayor profundidad el sistemas de solucin de ecuaciones utilizando el algebra lineal.

BIBLIOGRAFASteven, C. y Raymond P. (2007) Mtodos numricos para ingenieros (5 edicin), Mc Graw Hill.Gareth, W. (2005) Algebra Lineal con Aplicaciones (4ta Edicin). Mxico: Jones and Barlett Publisher, Inc.Kolman, B. y Hill, D. (2006) lgebra Lineal (8va Edicin). Pearson Educacin, Mxico.Becerra, J. (2005) Temas Selectos de Matemticas: La Amena Forma de Aprender Mas (1a edicin), Ciudad Universitaria.

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