Résolution dun programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices...
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Résolution Résolution d’un programme linéaired’un programme linéaire
PlanPlan
Méthode graphiqueMéthode graphique
Méthode du SimplexeMéthode du Simplexe
Exercices d’applicationExercices d’application
PROGRAMME LINÉAIREPROGRAMME LINÉAIREFONCTION OBJECTIFFONCTION OBJECTIF
Maximiser ou minimiser Maximiser ou minimiser zz = c = c11xx11 +… + c +… + cnnxxnn ContraintesContraintes
aa1111xx11 + … + a + … + a1n1nxxnn ( (, =, , =, ) b) b11
aa2121xx11 + … + a + … + a2n2nxxnn ( (, =, , =, ) b) b22
aam1m1xx11 +… + a +… + amnmnxxnn ( (, =, , =, ) b) bmm
Contraintes de non-négativitéContraintes de non-négativitéxxjj 0 ; j = 1, 2, 3, … n 0 ; j = 1, 2, 3, … n
avecavecxxjj variables de décision (inconnues)variables de décision (inconnues)aaijij, b, bii, c, cjj paramètres du programme linéaireparamètres du programme linéaire
Méthode GraphiqueMéthode Graphique
Valable si 2 variables de décision Valable si 2 variables de décision seulement.seulement.
Le nombre de contraintes est Le nombre de contraintes est quelconque.quelconque.
Repose sur une représentation des Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.contraintes dans un plan.
Contrainte =inégalité à 2 Contrainte =inégalité à 2 variablesvariablesaa11xx11 + a + a22xx22 <= b ; b > 0, a <= b ; b > 0, a1 1 >0, a>0, a2 2
> 0> 0
xx11
xx22
b/ab/a11
b/ab/a22
<= b<= b
> b> b
Demi-espaceDemi-espaceadmissibleadmissible
Maximisation sous contraintesMaximisation sous contraintes
xx11
xx22
Zone réalisableZone réalisable
Fonction objectifFonction objectif
xx11
xx22
l’optimum est un des points extrêmesl’optimum est un des points extrêmes
Exemple 1Exemple 1
25 30
. .1 1 40
200 140
0 6000
0 4000
Max x xB C
S C
x xB C
xB
xC
Maximisation du Maximisation du profitprofit
Contrainte de Contrainte de rareté d’une rareté d’une ressourceressource
Contraintes de Contraintes de demandedemande
Solution graphique de l’exemple 1Solution graphique de l’exemple 1
15001500
30003000
45004500
60006000
15001500 30003000 45004500 60006000 75007500 90009000
00
00
SolutionSolutionoptimaleoptimale
xxBB
xxCC
xxB B = 6000= 6000
xxC C = 1400= 1400
PP
192’000192’000
SRSR
Exemple 2Exemple 2
MAXIMISER MAXIMISER zz = 3 x = 3 x11 + 5 x + 5 x22
Contraintes :Contraintes :xx11 4 4
2 x2 x22 12 12
3 x3 x11 + 2 x + 2 x22 18 18
xx11 0 ; x 0 ; x2 2 0 0
ZONE DE SOLUTION ZONE DE SOLUTION RÉALISABLERÉALISABLE
Zone limitée par les contraintes du problème Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décisionet par les limites des variables de décision
SRSR
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x10
1 23 2 18x x
22 12x
1 4x
FONCTION OBJECTIVEFONCTION OBJECTIVEDéplacement de la fonction objective à Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremumpour atteindre un extremum
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x10
1 236 3 5z x x
1 210 3 5z x x
1 220 3 5z x x
Solution optimale
x1 = 2x2 = 6
Max Z = 36
(2,6)
Exemple 3Exemple 3
Maximiser Maximiser Z Z = x= x11 + 2x + 2x22
2x2x11 + x + x22 4 4
xx11 + x + x22 8 8
-x-x11 + x + x22 4 4
xx11 5 5
xx11 0, x 0, x22 0 0
Exemple 3 (suite)Exemple 3 (suite)
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x102x1 + x2 = 4
x1 = 5
x1 + x2 = 8
-x1 + x2 = 4
SR
X1 = 2
X2 = 6
Z = 14
Exemple de MINIMISATIONExemple de MINIMISATION
MinimiserMinimiserZ = xZ = x11 – x – x22
Sachant que :Sachant que :
½ x½ x11 + x + x22 8 8
-x-x11 + 8x + 8x22 40 40
xx11 8 8
xx22 8 8
xx11 0, x 0, x22 0 0
PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION
2 4 6 8 10
2
4
6
8
x2
x10
x1 = 8
-x1 + 8x2 = 40
½x1 + x2 = 8
X1 = 8
X2 = 6
Min Z = 2
12 14 16 18
x2 = 8
20
SR
Cas possiblesCas possibles
La zone SR peut être :La zone SR peut être :VideVide: Contraintes contradictoires: Contraintes contradictoires
(pas de solution optimale)(pas de solution optimale)
borné borné : le problème possède toujours : le problème possède toujours au moins une solution optimaleau moins une solution optimale
non borné non borné : selon la fonction objectif : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finieSi MIN : il y a une solution finieSi MAX : Solution non bornéeSi MAX : Solution non bornée
Le nombre de solutions Le nombre de solutions optimales ? optimales ?
- Une seule.Une seule.
- Une infinité :Une infinité :
si deux sommêts réalisent si deux sommêts réalisent l’optimum (tout le l’optimum (tout le segmentsegment reliant reliant les deux sommêts optimaux)les deux sommêts optimaux)
Méthode du simplexeMéthode du simplexe
Méthode algébrique Méthode algébrique
Méthode itérative Méthode itérative
EtapesEtapes
Forme standard du PLForme standard du PL
Tableau de départ du simplexeTableau de départ du simplexe
Application de l’algorithme du Application de l’algorithme du simplexesimplexe
Forme standard d’un PLForme standard d’un PL
Maximiser Maximiser ZZ = 7 = 7xx1 + 51 + 5xx2 2 Sachant que :Sachant que :xx1 1 300 300xx2 2 400 400xx1 + 1 + xx2 2 500 50022xx1 + 1 + xx2 2 700 700xx1 1 0 0xx2 2 0 0
Inégalités Inégalités égalités égalités
xx1 1 300 300 xx1 + 1 + e1e1 = 300 = 300xx2 2 400 400 xx2 + 2 + e2e2 = 400 = 400xx1 + 1 + xx2 2 500 500 xx1 + 1 + xx2 + 2 + e3e3 = =
50050022xx1 + 1 + xx2 2 700 700 2 2xx1 + 1 + xx2 + 2 + e4e4 = =
700700
ei = Variable d’écart.ei = Variable d’écart.
Maximiser Maximiser Z Z = 7= 7xx1 + 51 + 5xx2 2
Sachant que :Sachant que :xx1 +1 + e1 =300e1 =300xx2 +2 + e2 = 400e2 = 400xx1 + 1 + xx2 +2 + e3 = 500e3 = 50022xx1 + 1 + xx2 +2 + e4 = 700e4 = 700xx1 1 0 ; 0 ; xx2 2 0 0ei ei 0 0
x1 x2 e1 e2 e3 e4 b 1 0 1 0 0 0 300 0 1 0 1 0 0 400 1 1 0 0 1 0 500 2 1 0 0 0 1 700
Tableau de départ du Tableau de départ du simplexesimplexe
T1 x1 x2 e1 e2 e3 e4 b
e1 1 0 1 0 0 0 300
e2 0 1 0 1 0 0 400
e3 1 1 0 0 1 0 500
e4 2 1 0 0 0 1 700
Z 7 5 0 0 0 0 0
Changement de variableChangement de variable
T1 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport
b/x1 e1 1 0 0 0 1 0 300 300 e2 0 1 0 0 0 1 400 infini e3 0 0 1 0 1 1 500 500 e4 0 0 0 1 2 1 700 350 Z 0 0 0 0 7 5 0
Deuxième tableauDeuxième tableau
T2 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b
L1 L1 x1 1 0 0 0 1 0 300 L2 L2 e2 0 1 0 0 0 1 400
L3 L3 – L1 e3 -1 0 1 0 0 1 200 L4 L4 – 2 L1 e4 -2 0 0 1 0 1 100 L5 L5 – 7 L1 Z -7 0 0 0 0 5 -2100
Changement de variableChangement de variable
T2 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport
b/x2 x1 1 0 0 0 1 0 300 infini e2 0 1 0 0 0 1 400 400 e3 -1 0 1 0 0 1 200 200 e4 -2 0 0 1 0 1 100 100 Z -7 0 0 0 0 5 -2100
Troisième tableauTroisième tableau
T3 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b
L1 L1 x1 1 0 0 0 1 0 300 L2 L2 – L4 e2 2 1 0 -1 0 0 300 L3 L3 – L4 e3 1 0 1 -1 0 0 100
L4 L4 x2 -2 0 0 1 0 1 100 L5 L5 – 5 L4 Z 3 0 0 -5 0 0 -2600
Changement de variableChangement de variable
T3 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport
b/e1 x1 1 0 0 0 1 0 300 300 e2 2 1 0 -1 0 0 300 150 e3 1 0 1 -1 0 0 100 100 x2 -2 0 0 1 0 1 100 -50 Z 3 0 0 -5 0 0 -2600
Quatrième tableauQuatrième tableau
T4 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b
L1 L1 – L3 x1 0 0 -1 1 1 0 200 L2 L2 – 2 L3 e2 0 1 -2 1 0 0 100
L3 L3 e1 1 0 1 -1 0 0 100 L4 L4 + 2 L3 x2 0 0 2 -1 0 1 300 L5 L5 – 3 L3 Z 0 0 -3 -2 0 0 -2900
Solution optimaleSolution optimale
En base :En base :x1 = 200x1 = 200 e2 = 100 e2 = 100 e1 = 100 e1 = 100 x2 = 300x2 = 300
e3 = e4 = 0 (hors base)e3 = e4 = 0 (hors base)
Max Z = 2900Max Z = 2900