Recherche Simplexe

Semestre : 5 Module : Techniques Quantitatives Matire : Recherche Opprationnelle Enseignant : Mr EZZEHAR

Numrisation & Conception 4Group

Programme Linaire Rsolution du Simplexe Notion de Dualit

Exemples avec corrigs

Elments du cours

WWW.ECOOMA.COM

Synthse de Cours Recherche Oprationnelle

- 2 - Www.ecooma.com

Rsolution Simplexe

Soit le programme linaire (P) suivant :

Max z =500 x1 +300 x2 20 x1 +10 x2 2000 10 x1 + 45 x2 5400 40 x1 + 30 x2 4800 x1 0, x2 0

1re tape : Mettre le P.L sous sa forme standard :

Max z =500 x1 +300 x2+0 e1 + 0 e2 + 0 e3 20 x1 +10 x2+1 e1 + 0 e2 + 0 e3 = 2000 10 x1 + 45 x2 +0 e1 + 1 e2 + 0 e3 = 5400 40 x1 + 30 x2 +0 e1 + 0 e2 + 1 e3 = 4800 x1 0, x2 0 ; e10, e20 , e3 0

2me tape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=0, e2=0, e3= 0 Z = 0Dh 3me tape : La saisie du problme

TAB 0 : (

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs Rs/Coeff e1 20 10 1 0 0 2000 2000/20 =100 e2 10 45 0 1 0 5400 5400/10 =540 e3 40 30 0 0 1 4800 4800/40 =120 Zk 500 300 0 0 0 Z=0

V.E qui correspond au Max de Z ici le Max =500 V.S qui correspond au Min de Rs/Coeff ici le Min =100

TAB 1 :

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs Rs/Coeff x1 1 1/2 1/20 0 0 100 100/(1/2) =200 e2 0 40 -1/2 1 0 4400 4400/40 =110 e3 0 10 -2 0 1 800 800/10 = 80 Zk 0 50 -25 0 0 Z= -5000

V.E qui correspond au Max de Z ici le Max = 50 V.S qui correspond au Min de Rs/Coeff ici le Min = 80

Comment on a arriver faire ce Calcul : cest simple regardez : 1. Dabord x1 va entrer comme base alors il va remplacer la variable Sortante qui correspond e1

100,540 ;120 500,300 ;0,0,0,0

V.E

V.E

V.S

Cest la ligne du Pivot qui correspond V.E V.S ici cest 20

V.S

200,110 ;80 0 ;50 ;-25 ;0 ;0

Cest la ligne du Pivot qui correspond V.E V.S ici cest 10


- 3 -

Donc : Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs Rs/Coeff

x1 1 e2 0 e3 0 Zk 0

2. Ensuite, on fait les calcules correspondant la ligne du Pivot Comme indique les tableau ci-dessous : savoir :

Nouveau valeur =Valeur (Ancien ligne du pivot) / Pivot Donc : Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 10/20 1/20 0/20 0/20 2000/20 x1 1 1/2 1/20 0 0 100 e2 0 cd e2 0 e3 0 e3 0 Zk 0 Zk 0

En fin, on complte le tableau on utilisant le rgle de pivotage savoir : Nouveau valeur = Ancien Valeur - Exemple : pour lancien valeur du tableau 0 : 30 Sa Valeur correspond (V.E) = 40 Sa Valeur correspond (V.S) = 10

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs Rs/Coeff e1 10 e2 e3 40 30 Zk

Donc : maintenant si vous avez compris, on va complter le tableau : Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 1/2 1/20 0 0 100

e2 0 20)10)(10(45

20)1)(10(0

20)0)(10(1

20)0)(10(0

20)2000)(10(5400

e3 0 20)10)(40(30

20)1)(40(0

20)0)(40(0

20)0)(40(1

20)2000)(40(4800

Zk 0 20)10)(500(300

20)1)(500(0

20)0)(500(0

20)0)(500(0

20)2000)(500(0

Alors :

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs x1 1 1/2 1/20 0 0 100 e2 0 40 -1/2 1 0 4400 e3 0 10 -2 0 1 800 Zk 0 50 -25 0 0 Z= -5000

V. correspond (V.E) * V. correspond (V.S) Pivot

V.S

V.E

www.ecooma.com


- 4 -

Remarque : Concentrez vous sur les valeurs de e1, e2 et e3, qui ce que vous remarquez ? Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 1/20 0 0 e2 0 -1/2 1 0 e3 0 -2 0 1 Zk 0 -25 0 0

Dans la base, il n y a pas de e1 cest pourquoi vous remarquez quil y a un changement dans ces valeurs anciens ; Alors que e2 et e3 sont tjrs dans la base, donc ils ont gard les anciennes valeurs autant que base. La prochaine fois essayer de distinguer les variables qui sont de la base pour ne pas faire des calculs inutiles. Cd : Tu dois procder comme suit : Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 1/2 1/20 0 0 100

e2 0 20)10)(10(45

20)1)(10(0

1 0 20)2000)(10(5400

e3 0 20)10)(40(30

20)1)(40(0

0 1 20)2000)(40(4800

Zk 0 20)10)(500(300

20)1)(500(0

0 0 20)2000)(500(0

Alors : Situation initial du TAB 1 : HB : x2 =0, e1=0 B : x1 =0, e2=4400, e3= 800 Z = |-5000| = 5000Dh

TAB 2 : Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 0 ///// 0 ///// 60 e2 0 0 ///// 1 ///// 1200 x2 0 1 -1/5 0 1/10 80 Zk 0 0 -15 0 -5 Z= -5400

Voila comment on a fait ce calcul ?

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs

x1 1 0 ///// 0 ///// 10)800)(2/1(

100

e2 0 0 ///// 1 ///// 10)800)(40(

4400

x2 0 1 -2/10 0 1/10 800/10

Zk 0 0 10)2)(50(

25

0 10)1)(50(

0 10

)800)(50(5000

Conclusion :

Toutes les valeurs de la ligne Zk du TAB 2 sont 0 donc la solution optimale est atteinte dans ce tableau (TAB 2)

www.ecooma.com


- 5 -

La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e3= 0 B : x1 = 60, x2= 80, e2= =1200 Zmax = |-5400| = 5400Dh

Interprtation conomique de la solution optimale primale:

Pour raliser une Marge bnficiaire Max de 5400Dh, on doit produire et vendre 60 unit de Bien A et 80 Units de Bien B avec plein emploi en facteurs F1 et F3 et sous-emploi de 1200 de F2.

Ils sont nuls car ils ne sont pas dans la colonne de Base

Www.ecooma.com


- 6 -

o Notion de dualit :

Exemple de Travail :

Soit le mme programme linaire (P) ou encore programme primale :

Max z = 500 x1 +300 x2 20 x1 + 10 x2 2000 (F1) (1) 10 x1 + 45 x2 5400 (F2) (2)

40 x1 + 30 x2 4800 (F3) (3) Avec x1 0, x2 0

Remarque :

1. Max z = 500 x1 +300 x2 est dite fonction conomique primale 2. x1, x2, e1, e2, e3 sont dites des variables primales 3. les contraintes de (P) : (1), (2) et (3) sont dites contraintes primales

Le dual (P) du primal (P) scrit comme :

Min Z =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 20 y1 + 10 y2 + 40 y3 500 (1) 10 y1 + 45 y2 + 30 y3 300 (2) Avec y1 0, y2 0, y3 0

Remarque :

4. Min Z =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 est dit Objectif dual ; 5. y1, y2, y3 sont dites des variables duales 6. les contraintes de (P) : (1), (2)) sont dites contraintes duales.

Problme :

On cherche maintenant la solution optimale duale y*= (y1*, y2*, y3*) partir de la rsolution simplexe du primal ce quon a dj fait

1re tape : crivons la forme standard du dual (P) :

Min Z =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3 + e1+ e2 20 y1 + 10 y2 + 40 y3 - e1 = 500 (1) 10 y1 + 45 y2 + 30 y3 - e2 = 300 (2) Avec y1 0, y2 0, y3 0, e10, e20

A partir du dernier tableau simplexe primal on peut avoir le tableau de dualit permettant la dduction de la solution duale.

Www.ecoooma.com


- 7 -

Base x1 x2 e1 e2 e3 Rs p Primal x1 x2 e1 e2 e3

x1 1 0 ///// 0 ///// 60 Dual e1 e2 y1 y2 y3

e2

0

0

/////

1

/////

1200

Valorisation Marginale des facteurs de Pon primale 0 0 15 0 5

x2 0 1 -1/5 0 1/10 80 Zk 0 0 -15 0 -5 Z= -5400 a devient, On utilisant les valeurs absolus

Conclusion :

La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*, y3*) = (15DH, 0DH, 5DH) Avec : Z *min = (2000 * 15DH) + (5400*0DH) + (4800*5DH) = 5400Dh (On a utilis la relation : Min Z =2000 y1 + 5400 y2 + 4800 y3) et on remarque que Z *min = Z max Interprtation conomique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de P primale :

y1*= 15DH, valorisation marginale de facteur de P : F1 ; cd si on augmente notre disponibilit en facteur de P primale F1 dune unit, notre Marge bnficiaire Max 5400 augmente de 15DH et inversement ;

y2*= 0DH, valorisation marginale de facteur de P : F2qui est sous-employ de 1200 units ; y3*= 5DH, valorisation marginale de facteur de P : F3 ; cd si on augmente notre disponibilit en

facteur de P primale F3 dune unit, notre Marge bnficiaire Max 5400 augmente de 5DH et inversement

Exercice :

Une socit S.A fabrique et vend 2 Produits P1 et P2, exprims en Kilo, dont les prix de vente unitaire respectif sont 75Dh et 45Dh. Le temps demploi maximum des machines de fabrication est de 150 heures dans latelier A1 et de 250 heures dans latelier A2. Le temps de passage dans les ateliers de chaque unit de produit P1 et P2, exprim en heure, est rsum dans le tableau suivant :

P1 P2 ATELIER 1 3 1 ATELIER 2 2 4

Travail faire :

1. Formuler le problme de lentreprise qui cherche maximiser son chiffre daffaires. 2. Donner la solution optimale du problme primale par une rsolution simplexe. 3. donner linterprtation conomique de la solution optimale. 4. En dduire votre solution optimale duale. 5. Donner la linterprtation conomique de votre solution optimal dual en terme de valorisation

marginal des facteurs de Production primales.

Www.ecoooma.com


- 8 -

Correction :

1. Formulation : Do le programme linaire (P) (programme primale) rsoudre :

Max z = 75 x1 + 45 x2 3 x1 + 1 x2 150 (Disponibilit en h dans latelier A1) 2 x1 +4 x2 250 (Disponibilit en h dans latelier A2) Avec x1 0, x2 0

2. Rsolution simplexe du primal de (P)

1re tape : forme standard de (P):

Max z = 75 x1 + 45 x2+ 0 e1 + 0 e2 3 x1 + 1 x2 + 1 e1 + 0 e2 =150 (Disponibilit en h dans latelier A1) 2 x1 +4 x2 + 0e1 + 1 e2 =250 (Disponibilit en h dans latelier A2) Avec x1 0, x2 0 ; e10, e20

2me tape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=150, e2=250 Z = 0Dh 3me tape : Les tableaux : TAB 0 : ( Base x1 x2 e1 e2 Rs Rs/Coeff

e1 3 1 1 0 150 150/3 =50 e2 2 4 0 1 250 250/2 =125 Zk 75 45 0 0 Z=0

TAB 1 : Base x1 x2 e1 e2 Rs Rs/Coeff

x1 1 1/3 1/3 0 50 50/(1/3 =150 e2 0 10/3 -2/3 1 150 150/(10/3) =45 Zk 0 20 -25 0 Z=-3750

TAB 2 : Base x1 x2 e1 e2 Rsultat

x1 1 0 ///// ///// 35 X2 0 1 -1/5 3/10 45 Zk 0 0 -21 -6 Z=-4650

Variables conomiques :

x1 : Qt de P1 produire x2 : Qt de P2 produire

V.E

V.E

Base x1 x2 e1 e2 Rs X1 1 1/3 1/3 0 50

e2 0 3)1)(2(

4 3

)1)(2(0

1 3)150)(2(

250

Zk 0 3)1)(75(

45 3

)1)(75(0

0 3)150)(75(

0

Voil pourquoi ?

Base x1 x2 e1 e2 Rs

x1 1 0 1/3 0 3/10)3/1)(150(

50

x2 0 1 (-2/3)/(10/3) 1/(10/3)

Zk 0 0 3/10)3/2)(20(

25

3/10)1)(20(

0 3/10

)20)(150(3750

Voil pourquoi ?

Www.ecooma.com


- 9 -

Conclusion :


La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e2= 0 B : x1 = 35, x2= 45 Zmax = |-4650| = 4650Dh

3. Interprtation conomique de la solution optimale primale:

Pour raliser une chiffre daffaire Maximum de 4650Dh, on doit produire et vendre 35 kilos de P1 et 45 kilos de P2 avec plein emploi en facteurs heures machine dans les ateliers A1 et A2.

4. Dduction de la solution optimale duale:

Base x1 x2 e1 e2 Rsultat p Primal x1 x2 e1 e2

x1 1 0 ///// ///// 35 Tableau correspondance par

dualit Dual e1 e2 y1 y2

X2 0 1 -1/5 3/10 45

Valorisation Marginale des facteurs de Pon primale 0 0 21 6

Zk 0 0 -21 -6 Z=-4650

Conclusion :

La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*) = (21DH, 6DH) Avec : Z *min = (150 * 21DH) + (250*6DH) = 4650Dh = Z max (On a utilis la relation : Min Z = 150 y1 + 250 y2 )

5. Interprtation conomique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de Pon primale :

y1*= 21DH, valorisation marginale de lheure machine A1; cd si on augmente notre disponibilit dans A1 dune heure, notre Chiffre daffaire Max (4650) augmente de 21DH et inversement ;

y2*= 6DH, valorisation marginale de lheure machine A2; cd si on augmente notre disponibilit dans A2 dune heure, notre Chiffre daffaire Max (4650) augmente de 6DH et inversement

Www.ecooma.com


- 10 -

Exercice N2:

Une entreprise fabrique deux articles A et B partir de deux facteurs de production F1 et F2. Le tableau des divers renseignements techniques et financires relatifs aux deux articles fabriquer est le suivant : A B Cot dun facteur de Production

utilis (En Dh) Capacit maximum mensuelle en F1 et F2

F1 2 3 20 240 F2 8 4 40 400

Prix de vente unitaire en Dh de chaque articles A et B

600 400

Travail faire : 1. Formuler le problme de lentreprise qui cherche maximiser sa marge sur cot total en respectant les

contraintes de production. 2. Donner la solution optimale du problme primale par une rsolution simplexe. 3. Donner linterprtation conomique de la solution optimale. 4. En dduire votre solution optimale duale. 5. Donner la linterprtation conomique de votre solution optimal dual en terme de valorisation

marginal des facteurs de Production primales. Correction :

1. Formulation : Sachant que : MCV/1unit = prix de vente/1unit les diffrents charge de P/1unit Do la fonction conomique : (M/CV globale)

Max z = MCV/Ax1 + MCV/Bx2

MCV/1A = 600-[(2*20) + (8*40)] MCV/1A =240Dh

MCV/1B =400-[(3*20) + (4*40)] MCV/1B =180Dh

Donc : Max z = 240x1 + 180x2

Do le programme linaire (P) rsoudre :

Max z = 240x1 + 180x2 2 x1 + 3x2 240 (Disponibilit F1) 8 x1 + 4 x2 400 (Disponibilit F2) Avec x1 0, x2 0

Variables conomiques :

x1 : Qt de A produire x2 : Qt de B produire

Www.ecooma.com


- 11 -

2. Rsolution simplexe du primal de (P)

1re tape : forme standard de (P):

Max z = 240x1 + 180x2+ 0 e1 + 0 e2 2 x1 + 3 x2 + 1 e1 + 0 e2 = 240 (Disponibilit F1) 8 x1 + 4 x2+ 0e1 + 1 e2 = 400 (Disponibilit F2) Avec x1 0, x2 0; e10, e20

2me tape : Solution de base initiale : HB : x1 =0, x2 =0 B : e1=240, e2=400 Z = 0Dh

3me tape : Les tableaux : TAB 0 :

Base x1 x2 e1 e2 Rs Rs/Coeff e1 2 3 1 0 240 240/2 =120 e2 8 4 0 1 400 400/8 = 50 Zk 240 180 0 0 Z=0

TAB 1 :

Base x1 x2 e1 e2 Rs Rs/Coeff e1 0 2 1 -1/4 140 140/2 =70 x1 1 1/2 0 1/8 50 50/(1/2) =100 Zk 0 60 0 -30 Z=-12000

TAB 2 :

Base x1 x2 e1 e2 Rsultat x2 0 1 ///// ///// 70 x1 1 0 ///// ///// 15 Zk 0 0 -30 -45/2 Z=-16200

Conclusion :


La solution de base optimale primale est : HB : e1 = 0 e2= 0 B : x1 = 15, x2= 70 Zmax = |-16200| = 16200Dh

V.E

V.S

V.E

V.S

Www.ecooma.com


- 12 -

3. Interprtation conomique de la solution optimale primale:

Pour raliser une Marge bnficiaire Maximum de 16200Dh, on doit produire et vendre 15 units de larticle A et 70 units de larticle B avec plein emploi en facteur de production F1 et F2.

4. Dduction de la solution optimale duale:

Base x1 x2 e1 e2 Rsultat p Primal x1 x2 e1 e2

x2 0 1 ///// ///// 70 Tableau correspondance par

dualit Dual e1 e2 y1 y2

x1 1 0 ///// ///// 15

Valorisation Marginale des facteurs de Pon primale

0

0

-30

-22.5

Zk 0 0 -30 -45/2 Z=-16200 Conclusion :

La solution optimale duale est y*= (y1*, y2*) = (30DH, 22.5DH) Avec : Z *min = (240 *30 DH) + (400*22.5DH) = 16200Dh = Z max (On a utilis la relation : Min Z = 240 y1 + 400 y2 )

6. Interprtation conomique de la solution optimale duale en tant que valorisation marginale des facteurs de Pon primale :

y1*= 30DH, valorisation marginale de Facteur F1 ; cd si on augmente notre disponibilit dune unit de ce facteur, notre Marge bnficiaire Max (16200Dh) augmente de 30DH et inversement ;

y2*= 22.5DH, valorisation marginale de Facteur F2 ; cd si on augmente notre disponibilit dune unit de ce facteur, notre Marge bnficiaire Max (16200Dh) augmente de22.5DH et inversement ;

Www.ecooma.com

Diapo 1Diapo 2Diapo 3Diapo 4Diapo 5Diapo 6Diapo 7Diapo 8Diapo 9Diapo 10Diapo 11Diapo 12

Recherche Simplexe

Documents

Transcript of Recherche Simplexe