REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK

i

REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK

ii Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo

REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK © 2020

Penulis

Dr. Dwi Purnomo, M.Pd.

Desain Cover & Penata Isi

Tim Media Nusa Creative

Cetakan I, Juni 2020

Diterbitkan oleh :

Media Nusa Creative Anggota IKAPI (162/JTI/2015) Bukit Cemara Tidar H5 No. 34, Malang Telp. : 0822 3789 1717 E-mail : [email protected] Website : www.mncpublishing.com

ISBN 978-602-462-408-8

Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memperbanyak atau

memindahkan sebagian atau seluruh isi buku ke dalam bentuk apapun,

secara elektronis maupun mekanis, termasuk fotokopi, merekam, atau

dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari Penerbit.

Undang-Undang Nomor 19 Tahun 2000 tentang Hak Cipta, Bab XII

Ketentuan Pidana, Pasal 72, Ayat (1), (2), dan (6)

Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo iii

Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT. atas

semua limpahan rahmat dan karunia-Nya, sehingga penulisan buku

ajar yang berjudul Representasi Peubah Komplek dapat diselesaikan

sesuai dengan rencana sebelumnya. Namun demikian mengingat

kekurangan dan sifat “manusiawi” penulis sehingga materi dalam

buku ajar yang telah disusun belum sesuai dengan harapan dari

para pengguna dan pembaca.

Penulisan buku ajar Representasi Peubah Komplek

merupakan penyempurnaan dari kumpulan modul yang digunakan

oleh penulis dalam kegiatan perkuliahan Analisis Variabel Komplek.

Pada buku ajar yang disusun telah dilakukan beberapa revisi dan

penambahan materi dari modul yang digunakan sebelumnya. Revisi

yang dilakukan terutama pada Bab II, III, dan IV. Secara keseluruhan

buku ajar Representasi Peubah Komplek menjelaskan beberapa

konsep yang berkaitan dengan sistem koordinat dalam bidang dan

ruang, sistem bilangan komplek, operasi-operasi dasar bilangan

komplek, nilai mutlak, pembangun aksioma sistem bilangan

komplek, representasi grafis bilangan kompek, bentuk polar

bilangan komplek, teorema de Moivre, akar-akar bilangan komplek,

rumus Euler, persamaan polinomial, akar-akar ke-n dari satuan,

interpretasi vektor bilangan komplek, representasi spherical

bilangan komplek, hasil kali titik dan silang, koordinat-koordinat

konjugate komplek, himpunan-himpunan titik, dan fungsi dalam

peubah komplek serta jumlah dan selisih dua sudut.

Penyusuan buku ajar Representasi Peubah Komplek dari

awal hingga akhir telah dibantu mendapat motivasi dari teman-

teman dan kolega, khususnya teman satu profesi di Program Studi

Pendidikan Matematika Institut Keguruan dan Ilmu Pendidikan

(IKIP) Budi Utomo Malang, lebih-lebih para mahasiswa sebagai

iv Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo

inspiring dan motivator bagi penulis. Semoga semua konsep teori

pendukung, pembahasan soal, dan soal-soal latihan yang disajikan

dalam buku ajar ini dapat berguna dan membantu mahasiswa yang

sedang mengikuti perkuliahan Analisis Variabel Komplek.

Kekurangan dan kekhilafan disana sini Insya’allah diperbaiki

dikemudian hari.

Malang, 1 Juni 2020

Penulis

Dwi Purnomo

Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo v

Halaman

Halaman Sampul ........................................................................ i

Halaman Judul ............................................................................ ii

Kata Pengantar ............................................................................ iii

Daftar Isi ...................................................................................... v

Halaman Persembahan ............................................................... vii

Bab I. KOORDINAT DALAM BIDANG DAN RUANG 1

1.1. Sistem Koordinat dalam Bidang ............................ 2

1.2. Sistem Koordinat dalam Ruang ............................. 21

1.3. Sistem Koordinat Lainnya ...................................... 28

Bab II. SISTEM BILANGAN KOMPLEK ........................ 35

2.1. Sistem Bilangan Real ............................................... 36

2.2. Representasi Grafik Bilangan Real ......................... 37

2.3. Sistem Bilangan Komplek ....................................... 58

2.4. Operasi Dasar Bilangan Komplek .......................... 60

2.5. Nilai Mutlak ............................................................. 65

2.6. Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem

Bilangan Komplek ................................................... 70

2.7. Representasi Grafik Bilangan Komplek ................ 74

2.8. Bentuk Polar Bilangan Komplek ............................ 78

Bab III. TEOREMA SISTEM BILANGAN KOMPLEK ... 87

3.1. Teorema de Moivre ................................................. 88

3.2. Akar-akar Bilangan Komplek.................................. 97

3.3. Rumus Euler ............................................................ 107

3.4. Persamaan-persamaan Polinomial ........................ 114

3.5. Akar-akar ke-n dari Satuan .................................... 119

vi Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo

3.6. Interpretasi Vektor dari Bilangan Komplek .......... 121

3.7. Representasi Spherical Bilangan Komplek ............ 125

3.8. Hasil Kali Titik dan Silang ...................................... 126

3.9. Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan

Komplek ................................................................... 130

3.10. Himpunan-himpunan Titik .................................... 132

3.11. Soal-soal ................................................................... 135

Bab IV. FUNGSI DALAM PEUBAH KOMPLEK ............. 139

4.1. Pengantar ................................................................. 140

4.2. Fungsi-fungsi dalam Peubah Komplek ................. 142

4.3. Soal-soal ................................................................... 153

Bab V. JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT .............. 157

5.1. Jumlah Dua Sudut ................................................... 158

5.2. Selisih Dua Sudut .................................................... 167

5.3. Rumus Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan .... 172

5.4. Perubahan Jumlah atau Selisih Menjadi Hasil

Perkalian Sudut ....................................................... 177

5.5. Menghitung Dua Sudut Jika Diketahui Jumlah

dan Pembagian Sinus Sudut ................................... 181


dan Pembangian Tangen Sudut ............................. 183


dan Pembangian Consinus Sudut .......................... 184

5.8. Soal-soal ................................................................... 186

DAFTAR PUSTAKA ................................................................. 189

Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo vii

Untuk Istri dan Anak-anakku tercinta

viii Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo

Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo 1

KOORDINAT DALAM

BIDANG DAN RUANG

ab I dalam bahan ajar ini membahas tiga hal pokok yang

berkaitan dengan koordinat bidang dan ruang, yaitu: (1)

sistem koordinat dalam bidang, (2) sistem koordinat ruang,

(3) sistem koordinat lainnya, dan (4) soal-soal.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab I diharapkan

mahasiswa memahami sistem koordinat dalam bidang dan ruang

serta dapat menerapkannya pada masalah-masalah praktis dalam

kehidupan sehari-hari.

Kompetensi Dasar

1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang sistem koordinat

dalam bidang dan ruang.

2) Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada bidang

dalam koordinat kartesius dan koordinat kutub.

3) Mahasiswa dapat membedakan letak suatu titik pada ruang

dalam koordinat kartesius, koordinat tabung, dan koordinat bola.

4) Mahasiswa dapat menggambarkan letak suatu titik dalam bidang

dan ruang dengan menggunakan aturan sistem koordinat yang

sesuai.

5) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali pengertian sistem

koordinat ekliptika heliosentrik, sistem koordinat ekliptika

geosentrik, sistem koordinat ekuator geosentrik, dan sistem

koordinat horison.

B

2 Representasi Peubah Komplek: Dwi Purnomo

Sistem koordinat adalah suatu cara yang digunakan untuk

menentukan letak suatu titik pada bidang )( 2R atau ruang )( 3R .

Adalah ahli matematika berkebangsaan Perancis bernama Pierre

Fermat (1601-1665) dan Rene Descartes (1596-1650) yang telah

memperkenalkan sistem koordinat yang kita kenal hingga saat ini.

Dasar pemikiran kedua ahli tersebut adalah untuk menunjukkan

kedudukan sebarang titik (sebut saja P) pada bidang atau ruang.

Seiring perkembangan pengetahuan dan teknologi,

selanjutnya letak suatu titik pada suatu bidang atau ruang

dinyatakan dalam koordinat atau pasangan berurutan. Pada bidang,

letak suatu titik dinyatakan dalam koordinat kartesius (siku-siku)

dan koordinat polar (kutub). Sedangkan pada ruang letak suatu titik

dinyatakan dalam koordinat kartesius, koordinat tabung atau

koordinat bola.

Selain ketiga macam sistem koordinat sebagaimana

disebutkan di atas,terdapat beberapa sistem koordinat yang lain

yang digunakan dalam ilmu hisab atau ilmu perbintangan

(astronomi). Sistem koordinat dalam ilmu hisab dan astronomi

tersebut adalah: (1) sistem koordinat ekliptika heliosentris

(heliocentric ecliptical coordinate), (2) sistem koordinat ekliptika

geosentris (Geocentric Ecliptical Coordinat). (3) sistem koordinat

ekuator geosentris (geocentric equatorial coordinate). (4) sistem

koordinat horison (horizontal coordinate).

Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam

koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya,

seperti sistem koordinat ekuator toposentrik (topocentric equatorial

coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini.

1.1 Sistem Koordinat dalam Bidang (R2)

Sebagaimana telah dijelaskan sebelumnya, bahwa letak

suatu titik dalam bidang dinyatakan dalam koordinat kartesius atau

koordinat kutub. Masing-masing sistem koordinat dalam bidang

dijabarkan sebagai berikut:


Sistem Koordinat Kartesius

Istilah kartesius digunakan untuk mengenang ahli

matematika sekaligus filosuf dari Perancis Rene Descartes, yang

perannya besar dalam menggabungkan Aljabar dan Geometri.

Kartesius adalah latinisasi untuk Descartes. Hasil kerjanya sangat

berpengaruh dalam perkembangan Geometri Analitik, Kalkulus,

dan Kartografi. Ide dasar sistem ini dikembangkan pada tahun 1637

dalam dua tulisan karya Descartes. Pada bagian kedua dari

tulisannya Discourse on Method, ia memperkenalkan ide baru untuk

menggambarkan posisi titik atau obyek pada sebuah permukaan,

dengan menggunakan dua sumbu yang bertegak lurus antar satu

dengan yang lain. Dalam tulisannya yang lain, La Géométrie, ia

memperdalam konsep-konsep yang telah dikembangkannya.

Sistem koordinat kartesius dalam dua dimensi umumnya

didefinisikan dengan dua sumbu yang saling bertegak lurus antar

satu dengan yang lain, yang keduanya terletak pada satu bidang

XOY. Sumbu horizontal diberi label X, dan sumbu vertikal diberi

label Y, Pada sistem koordinat tiga dimensi, ditambahkan sumbu

yang lain yang sering diberi label Z. Sumbu-sumbu tersebut

ortogonal antar satu dengan yang lain. Titik pertemuan antara kedua

sumbu, titik asal, umumnya diberi label O (origin). Setiap sumbu juga

mempunyai besaran panjang unit, dan setiap panjang tersebut diberi

tanda dan ini membentuk semacam grid. Untuk mendeskripsikan

suatu titik tertentu dalam sistem koordinat dua dimensi, nilai x

disebut absis lalu diikuti nilai yang disebut ordinat. Dengan

demikian, format yang dipakai selalu (x,y) dan urutannya tidak

dibalik-balik.

Perhatikan gambar sumbu koordinat siku-siku berikut ini

http://id.wikipedia.org/wiki/Filsuf

http://id.wikipedia.org/wiki/Perancis

http://id.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes

http://id.wikipedia.org/wiki/Aljabar

http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri

http://id.wikipedia.org/wiki/Bahasa_Latin

http://id.wikipedia.org/wiki/Geometri_analitik

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus

http://id.wikipedia.org/wiki/Kartografi

http://id.wikipedia.org/wiki/1637

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Discourse_on_Method&action=edit&redlink=1

http://id.wikipedia.org/wiki/Titik_%28geometri%29

http://id.wikipedia.org/w/index.php?title=La_G%C3%A9om%C3%A9trie&action=edit&redlink=1


Gambar 1.1

Pada Gambar 1.1 di atas, terdapat 4 bidang simetris yang

dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat X dan Y , masing-masing

bidang yang dibatasi oleh sumbu-sumbu koordinat dinamakan

kuadran. Pada Gambar 1.1 di atas terdapat 4 kuadran, yaitu kuadran

I dengan batas-batas (x>0, y>0), kuadran II dengan batas-batas (x<0,

y>0), kuadran III dengan batas-batas (x<0, y<0), dan kuadran IV

dengan batas-batas (x>0, y<0). Dengan demikian dapat dibuat tabel

keberadaan kuadran sebagai berikut:

Kuadran Nilai x Nilai y

I > 0 > 0

II < 0 > 0

III < 0 < 0

IV > 0 < 0

Misalkan P(x,y) sebarang titik pada bidang XOY, maka letak

titik P tersebut sangat memungkinkan posisinya di kuadran I,

kuadran II, kuadran III, atau kuadran IV tergantung dari besaran x

dan besaran y.

X

Y

0

0

y

x

0

,0

y

x

0

,0

y

x

0

,0

y

x

IKuadranIIKuadran

IIIKuadran IVKuadran


Perhatikan Gambar 1.2 berikut.

Gambar 1.2

Pada gambar 1.2 keempat kuadran sistem koordinat

kartesius. Panah yang ada pada sumbu berarti panjang sumbunya

tak terhingga pada arah panah tersebut. Pilihan huruf-huruf didasari

oleh konvensi, yaitu huruf-huruf yang dekat akhir (seperti x dan y)

digunakan untuk menandakan variabel dengan nilai yang tak

diketahui, sedangkan huruf-huruf yang lebih dekat awal digunakan

untuk menandakan nilai yang diketahui.

Misal P(x1,y1) dan terletak di kuadran I hal ini berarti x1>0

dan y1>0

http://id.wikipedia.org/wiki/Berkas:Cartesian_coordinates_2D.svg


Gambar 1.3

Gambar1.3 di atas menunjukkan bahwa OPM yang salah

satu sudutnya siku-siku dititik M. Menurut teorema Pythagoras

OP2 = OM2 + MP2

= (x1-0)2 + (y1-0)2

= x12 + y12

= 2

1

2

1 yx

atau ditulis dengan notasi 2

2

2

1 yxOP

Rumus di atas dinamakan rumus jarak dua titik yang

menghubungkan titik O (0,0) dengan titik P(x1

,y1

) Selanjutnya

perhatikan gambar berikut.

Y

X

),( 11 yxP

1y

)0,0(O )0,( 1xM1x


Gambar 1.4

Gambar 1.4 tampak bahwa PQR masing-masing titik sudutnya

),( 11 yxP terletak pada kuadran II, ),( 22 yxQ terletak pada kuadran

IV, ),( 33 yxR terletak pada kuadran III. Jarak masing-masing titik

sudut PQRdapat dinyatakan dengan:

1. 22 )()( PQPQ yyxxPQ

2

12

2

12 )()( yyxx

2. 22 )()( PRPR yyxxPR

2

13

2

13 )()( yyxx

3. 22 )()( QRQR yyxxQR

2

13

2

23 )()( yyxx

Selanjutnya, misal ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ terletak pada bidang,

maka jarak dua titik P dan Q dapat dinyatakan dengan rumus

2

12

2

12 )()( yyxxPQ

),( 22 yxQ

X

),( 11 yxPY

),( 33 yxR


Untuk membuktikan rumus tersebut dapat dilakukan dengan

menggunakan teorema Pythagoras.

Selanjutnya perhatikan Gambar 1.5 berikut ini.

Gambar 1.5

Berdasarkan gambar 1.5 di atas, pandang PSQ, dengan

menggunakan teorma Pythagoras 222 QSPSPQ

2

12

2

12 )()( yyxxPQ

22 )()( PQPQ yyxxPQ

Selanjutnya

Pada Gambar 1.5 di atas M adalah sebarang titik pada garis PQ

dengan perbandingan nmMQPM :: atau n

m

MQ

PM

Sehingga diperoleh

PM’ : MQ’ = m : n dan MM’ : QQ’ = m : n

Selanjutnya akan dicari koordinat M.

),( 22 yxQ

),(' 2 yxQ

),(' 1yxM

),( yxM

),( 11 yxP

Y

X

n

m

),( 12 yxS


Karena

n

m

MQ

PM

'

' maka

n

m

xx

xx

)(

)(

2

1

)()( 21 xxmxxn

12)( nxmxxnm

)(` 12

nm

nxmxx

atau

nm

nxmxx

PQ

Dengan cara yang sama

n

m

QQ

MM

'

'maka

n

m

yy

yy

)(

)(

2

1

)()( 21 yymyyn

12)( nymyynm

)(12

nm

nymyy

Jika diketahui ),( 11 yxP dan ),( 22 yxQ dan ),( yxM titik tengah PQ

maka koordinat M dapat ditentukan dengan rumus :

221 xx

xM

dan

221 yy

yM

Pembuktian rumus di atas ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi

pembaca buku ini.

Perhatikan beberapa contoh berikut ini.

1) Tentukan jarak titik P(3,5) dan Q(1,-6).

Jawab

Untuk menentukan jarak titik P dan Q dapat digunakan rumus

PQ 22 )()( PQpQ yyxx

= 22 )56()31(

= 22 )11()2(

= 1214

= 5 3


2) Tunjukkan bahwa titik-titik A(3,8), B(-11,3), dan C(-8,-2) adalah

titik-titik sudut dari segitiga sama kaki ABC.

Jawab

Dengan menggunakan rumus jarak dua titik, diperoleh

221AB

BC = 34 dan AC = 221

Karena panjang sisi AB sama dengan panjang sisi AC, maka dapat

dikatakan segitiga tersebut di atas adalah segitiga sama kaki.

3) Tunjukkan bahwa titik A(-3,-2), B(5,2) dan C(9,4) terletak pada

satu garis lurus

Jawab

Terlebih dahulu dicari panjang AB, BC, dan AC

Dengan rumus jarak dua titik diperoleh AB = , BC = 2 5

dan AC = 6 5 , sehingga AC + BC = AC, hal ini berarti titik A, B,

dan C terletak pada satu garis lurus

Gradien Garis Lurus

Gambar 1.6

54

),( 22 yxQ

),(' 2 yxQ

),( 12 yxR),(' 1yxM

),( yxM

),( 11 yxP

Y

X

n

m


Pada Gambar 1.6 di atas jika garis PQ diperpanjang, maka

garis tersebut akan memotong sumbu X atau sumbu Y. Sudut yang

dibentuk oleh garis PQ dengan sumb X disebut disebut inklinasi.

Selanjutnya perhatikan PQR, menurut perbandingan goniometri

diperoleh

PR

QRtan

12

12

xx

yy

Perbandingan goniometri tersebut selanjutnya disebut kemiringan

atau gradien atau tangensial dan dinotasian dengan

12

12tanxx

yy

PR

QRm

.

Dengan demikian gradien garis lurus didefinisikan sebagai tangen

dari sudut inklinasi.

Misal 1l dan

2l dua garis yang terletak pada sumbu koordinat, maka

beberapa hal yang mungkin dari kedua garis tersebut adalah:

1. 1l dan

2l sejajar

2. 1l dan

2l berpotongan

3. 1l dan

2l atau saling tegak lurus.

Jika 1l dan

2l sejajar syarat yang harus dipenuhi adalah gradien 1l

dan gradien 2l sama atau

21 mlml .Jika 1l dan

2l saling tegak lurus

maka dengan memperhatikan Gambar 1.7 di bawah ini


Gambar 1.7

Karena 1l dan

2l saling tegak lurus, maka 12 , sehingga

)tan(tan 12 )

)12

12

cos(

)sin(

1212

1212

sinsincoscos

sincoscossin

Dengan membagi masing-masing bagian dengan 12 coscos ,

diperoleh

12

12

tantan1

tantantan

12

12

1 mm

mm

Karena 1l dan

2l saling tegak lurus, maka o90 , sehingga

haruslah

01 21 mm atau 121 mm

X

Y

2l1l

1 2


Luas Poligon yang Titik Sudutnya Ditentukan

Perhatikan Gambar 1,8 di bawah ini.

Misal ),( 11 yxP , ),( 22 yxQ , dan ),( 33 yxR . Adalah titik sudut

segitiga yang terletak pada bidang XOY seperti berikut.

Gambar 1.8

Pada Gambar 1.8 di atas, luas PQR adalah

= (Luas trapesium PP’Q’Q + luas trapesium QQ’R’R)- luas trapesium

P’R’RP

))((2

1))((

2

1))((

2

1123132231331 xxyyxxyyxxyy

)})(())(())({(2

1123132231331 xxyyxxyyxxyy

}{2

1122211213222332313331131 xyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxyxy

)}()(2

1213213122331 xyxyxyxyxyxy

Y

),( 22 yxR

),( 33 yxQ

),( 11 yxP

'P 'Q 'RX


Bentuk di atas dapat dinyatakan dalam bentuk determinan matrik

ordo 3 x 3

1

1

1

2

1

33

22

11

yx

yx

yx

A

Soal-soal

1. Buatlah ruas garis dan tentukan jarak antara pasangan titik yang

diketahui berikut ini:

a. P(4,5) dan Q(-1,3)

b. P(8,-2) dan Q(3,-1)

c. P(-1,-2) dan Q(-3,-8)

d. P(5,3) dan Q(2,-5)

2. Gambarlah luas suatu poligon (segi banyak) yang titik-titik

sudutnya adalah

a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

3. Tunjukkan bahwa segitiga yang titik-titik sudutnya dibawah ini

adalah sama sisi.

a. A(2,-2), B(-3,-4) dan C(1,6)

b. K(-2,2), L(6,6) dan M(2,-2)

c. P(6,7), Q(-8,-1) dan R(-2,-7)

d. U(2,4), V(5,1) dan W(6,5)

4. Tunjukkan bahwa segitiga berikut adalah siku-siku dan

tentukan luasnya dengan menggunakan aturan yang ada.

a. A(0,9), B(-4,-1), dan C(3,2)

b. P(10,5), B(3,2), dan C(6,-5)

c. A(3,-2), B(-2,3), dan C(0,4)

d. K(-2,8), L(-6,1), dan N(0,4)

5. Buktikan bahwa titik-titik berikut ini adalah paralelogram

a. (-1,-2), (0,1), (-3,2), dan (-4,-1)

b. (-1,-5), (2,1), (1,5), dan (-2,-1)

c. (2,4), (6,2), (8,6), dan (4,8)


6. Tunjukkan bahwa titik-titik berikut terletak pada satu garis lurus

dengan menggunakan metode jarak.

a. (0,4), (3,-2), dan (-2,8)

b. (-2,3), (-6,1), (-10,-1)

c. (1,2), (-3,10), (4,-4)

d. (1,3), (-2,-3), (3,7)

7. Tentukan sebuah titik yang berjarak 10 satuan dari titik (-3,6)

8. Tentukan koordinat titik P(x,y) yang membagi ruas garis dengan

perandingan diketahui:

a. A(4,-3), B(1,4) dengan AP:PB = r = 2

b. A(2,-5), (6,3) dengan AP:PB = r = ¾

c. A(-5,2), B(1,4) dengan AP:PB = r = -5/3

d. A(0,3), B(7,4) dengan AP:PB = r = -2/7

e. A(-2,3), P(3,-2) dengan AP:PB = r = 2/5

9. Jika M (9,2) membagi ruas garis yang melalui P(6,8) dan Q(x,y)

dengan perbandingan 3/7. Tentukan koordinat titik Q.

10. Tentukan titik pusat (centroid) setiap segitiga diketahui titik-titik

sudutnya di bawah ini:

a. (5,7), (1,-3), (-5,1)

b. (2,-1), (6,7), (-4,-3)

c. (3,6), (-5,2), (7,-6)

d. (7,4), (3-6), (-5,2)

e. (-3,1), (2,4), (6,-2)

11. Tentukan luas poligon yang titik sudutnya adalah:

a. (-3,2), (1,5), (5,3), (1,-2)

b. (-5,0), (-3,-4), (3,-3), (7,2), (1,6)

12. Tentukan koordinat titik-titik suatu segitiga, jika titik-titik tengah

sisi-sisinya adalah:

a. (-2,1), (5,2), (2,-3)

b. (3,2), (-1,-2), dan (5,-4)

13. Gradien dari garis lurus yang melalui titik A(3,2) adalah ¾.

Lukislah titik-titik pada garis yang berjarak 5 satuan dari A.

14. Tentukan gradien suatu garis lurus yang membuat sudut 45o

dengan titik (2,-1) dan (5,3).


15. Garis p membentuk sudut 60o dengan garis s, Jika gradien p = 1,

tentukan gradien garis s.

16. Sudut yang dibentuk oleh garis l yang melalui titik A(-4,5), B(3,y)

dan garis u yang melalui titik P(-2,4), Q(9,1). Tentukan konstanta

y tersebut.

Sistem Koordinat Kutub

Jika dalam sistem koordinat kartesius, menyatakan bahwa

letak titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan ),( yx , dengan

x dan y masing-masing menyatakan jarak berarah ke sumbu-y dan

ke sumbu-xmaka pada sistem koordinat kutub, letak sebarang titik P

pada bidang dinyatakan dengan pasangan bilangan real ,r ,

dengan r menyatakan jarak titik P ke titik O (disebut kutub)

sedangkan adalah sudut antara sinar yang memancar dari titik O

melewati titik P dengan sumbu-x positif (disebut sumbu kutub)

Gambar 1.9

Berbeda dengan sistem koordinat kartesius (Rene Descartes:

1596-1650) dalam koordinat kutub letak suatu titik dapat dinyatakan

dalam tak hingga banyak koordinat. Sebagai contoh, letak titik

)3,3( P dapat digambarkan dengan cara terlebih dulu melukiskan

sinar yang memancar dari titik asal O dengan sudut sebesar 3/

radian terhadap sumbu mendatar arah positif. Kemudian titik P

terletak pada sinar tadi dan berjarak 3 satuan dari titik asal O (lihat

),( rP

O

r


Gambar 1.10).Titik P dapat pula dinyatakan dalam koordinat

k23,3 , dengan k bilangan bulat (lihat Gambar 10). Mudah

ditunjukkan pula bahwa koordinat 34,3 pun juga

menggambarkan titik P (lihat Gambar 1.10). Pada koordinat yang

terakhir, jarak bertanda negatif. Hal ini dikarenakan titik P terletak

pada bayangan sinar PO .

Gambar 1.10

Secara umum, jika ,r menyatakan koordinat kutub suatu

titik maka koordinat titik tersebut dapat pula dinyatakan sebagai

berikut:

kr 2, atau )12(, kr dengan k bilangan bulat.

Kutub mempunyai koordinat ),0( dengan sebarang bilangan.

3

)3,3( P

3

3

)23,3( kP

k23

3

)34,3( P

34

3

P

O


Hubungan Antara Sistem Koordinat Kartesius dan Sistem

Koordinat Kutub

Suatu titik P berkoordinat ),( yx dalam sistem koordinat

kartesius dan ),( r dalam sistem koordinat kutub. Apabila kutub

dan titik asal diimpitkan, emikian pula sumbu kutub dan sumbu-x

positif juga diimpitkan, maka kedudukan titik dapat digambarkan

sebagai berikut:

Gambar 1.11

Dari rumus segitiga diperoleh hubungan sebagai berikut:

(1.1) sincos ryrx

atau:

(1.2) )/arccos()/arcsin(22 rxryyxr

Contoh

1) Nyatakan ke dalam system koordinat Kartesius .

a. 3/2,4 A b. 4/,5 B c. 6/5,3 C

Jawab

Dengan menggunakan persamaan (1.1):

a. 323

2sin42

3

2cos4

yx .

Jadi, 32,2A .

X

Y

r y

xO

P(x,y)=(r,𝜃)


b. 22

5

4sin52

2

5

4cos5

yx .

Jadi, dalam system koordinat Kartesius 22/5,22/5 B .

c. 2

36/5sin33

2

36/5cos3 yx .

Jadi, 2/3,22/3C .

Apabila 0x maka persamaan (1.2) dapat dinyatakan sebagai:

(1.3) 0,/arctan222 xxyyxr

Hati-hati apabila menggunakan persamaan (1.3), karena

x

yarctan akan memberikan 2 nilai yang berbeda, 20 .

Untuk menentukan nilai yang benar perlu diperhatikan letak titik

P, apakah di kuadran I atau II, ataukah dikuadran II atau IV. Apabila

dipilih nilai yang lain, maka 22 yxr .

2) Nyatakan ke dalam sistem koordinat kutub:

a. 4,4 P b. )4,4(Q

Penyelesaian: Dari persamaan (1.3), diperoleh:

a. 24)4(4 22 r

4

7atau

4

3

4

4arctan

Selanjutnya, karena letak titik P di kuadran IV, maka:

4

7dengan24

r , atau

4

3dengan24

r .

Jadi, 4/7,24 P atau 4/3,24 P .


b. 244)4( 22 r

4

7atau

4

3

4

4arctan

Selanjutnya, karena letak titik Q di kuadran II, maka:

4/3dengan24 r , atau

4/7dengan24 r .

Jadi, 4/3,24 Q atau 4/7,24 Q .

3) Nyatakan persamaan sin2ar ke dalam sistem koordinat

Kartesius .

Jawab

Jika ke dua ruas persamaan di atas dikalikan dengan r maka

diperoleh:

)sin(22 rar

Selanjutnya, karena 222 yxr dan yr sin maka:

,02

2

22

22

ayyx

ayyx

yaitu persamaan lingkaran dengan pusat ),0( a dan jari-jari a .

4) Nyatakan 164 22 yx ke dalam system koordinat kutub.

Penyelesaian: Dengan substitusi sindancos ryrx maka

diperoleh:

16sin4cos 2222 rr

.16)sin31( 22 r


Soal Latihan

Untuk soal 1 – 8, nyatakan masing-masing dengan dua koordinat

yang lain, satu dengan 0r dan yang lain dengan 0r .

1. 3,6 2. 52,3 3. 4,5 4. 47,5

5. 25,2 6. 65,7 7. 37,6 8. 76,4

Untuk soal 9 – 16, nyatakan dalam sistem koordinat kartesius .

9. 32,6 10. 8,4 11. 4,5 12. 47,6

13. 25,2 14. 65,7 15. 37,6 16. 87,4

Untuk soal 17 – 23, ubahlah ke dalam sistem koordinat kutub.

17. 3,3 18. 2,2 19. 32,2 20. 1,3

21. 11,0 22. 3,33 23. 36,32

Untuk soal 24 – 29, nyatakan masing-masing persamaan ke dalam

sistem koordinat Kartesius .

24. cos3r 25. sin12 r 26. cos1

4

r

27. 4r 28. 4

7 29. 2r

Nyatakan persamaan pada soal 30 – 32 ke dalam sistem koordinat

kutub.

30. 0 yx 31. xy 412 32. 1xy

33. Tunjukkan bahwa jarak titik ),( rP dan ),( RQ adalah:

)cos(222 rRRrd

1.2 Sistem Koordinat dalam Ruang (R3)

Koordinat Kartesius

Untuk menyatakan posisi sebuah benda di dalam ruang,

dibutuhkan suatu sistem koordinat yang memiliki pusat koordinat

dan sumbu koordinat.Sistem koordinat yang paling umum adalah

Koordinat Kartesius. Jika kita berbicara ruang 2 dimensi, maka


koordinat kartesius 2 dimensi memiliki pusat di O dan 2 sumbu

koordinat yang saling tegaklurus, yaitu x dan y.

Selanjutnya koordinat Kartesian 2 dimensi dapat diperluas

menjadi koordinat kartesius 3 dimensi yang berpusat di O dan

memiliki sumbu x, y dan z. Pada Gambar berikut menyatakan titik P

dapat dinyatakan dalam x, y dan z. OP adalah jarak titik P ke pusat

O.

Gambar 1.12

Koordinat kartesius 3 dimensi (x, y, z) pada Gambar 1.12di

atas dapat diubah menjadi koordinat tabung dan koordinat

bola.Hubungan diantara ketiganya, jika P(x,y,z) adalah letak titik

dalam koordinat kartesius, maka ),,( zrP adalah letak dalam

koordinat tabung dan ),,( P adalah titik dalam koordinat bola

(Spherical Coordinate).

Hubungan anatar koordinat kartesius, koordinat tabung, dan

koordinat bola pada ruang terlihat seperti tampak pada Gambar 1.10

berikut ini.


Gambar 1.13

Koordinat kartesius dan koordinat tabung dihubungkan oleh

persamaan:

cosrx

cosry

zz 222 ryx

x

ytan

Perhatikan contoh berikut :

1. (3,3,5) menyatakan letak titik P pada ruang dalam koordinat

kartesius. Ubah dan Nyatakan letak titik P dalam koordinat

tabung.

Jawab

Koordinat Kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam

hubungan

cosrx , cosry , zz ,222 ryx dan

x

ytan sehingga:

231833 22 r

X

),,( zyxP

X

Y

Z

Y

Z

Y

Z

),,( zrP ),,( P


41arctan1

3

3tan

atau

Jadi koordinat tabung dari )5,3,3( adalah 5,4/,23

2. 2,6/,6 menyatakan letak titik Q pada ruang dalam

koordinat tabung. Ubah dan Nyatakan letak titik Q dalam

koordinat Kartesius .

Jawab

Koordinat Kartesius dan koordinat tabung dinyatakan dalam

hubungan

cosrx , cosry , zz ,222 ryx dan

x

ytan sehingga:

332

3.6

6cos6

x

32

1.6

6sin6

y

Jadi koordinat Kartesius 2,6/,6 adalah 2,3,33

3. 3/2,3/,8 menyatakan letak titik W dalam koordinat bola.

Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat Kartesius dan

koordinat tabung.

Jawab

Koordinat Kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola

mempunyai hubungan sebagai berikut:

22sin yxrataur

cosz

cossinx

sinsiny


222 zyx

sehingga dari titik 3/2,3/,8 diketahui

3

2

3,8

dan

dan diperoleh

322

1

2

3.8

3cos

3

2sin8

x

62

3

2

3.8

3sin

3

2sin8

y

42

18

3

2cos8

z

Jadi koordinat Kartesius 3/2,3/,8 adalah )4,6,32 , dan

koordinat tabung 3/2,3/,8 adalah 4,3/,34 .

4. 6,4,34 menyatakan letak titik M dalam koordinat kartesius.

Ubah dan nyatakan letak titik W dalam koordinat tabung dan

koordinat bola.

Jawab

Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola


22sin yxrataur

cosz

cossinx

sinsiny

cosz

3448632342

38

3

2sin 2

222

yxrataur


222 zyx

sehingga dari titik 6,34,4 diketahui

634,4 zdanyx

dan diperoleh

10)6()34()4(

6

5

3

31

34

4tan

864)34(4

222222

2222

zyx

x

y

yxr

cos106cos z

)10/6(cosarc

Jadi koordinat tabung 6,34,4 adalah 6,6/5,8 , dan

koordinat bola 6,34,4 adalah )10/6cos(,6/5,10 arc .

5. 8,3/4,4 menyatakan letak titik T dalam koordinat tabung.

Ubah dan nyatakan letak titik T dalam koordinat kartesius dan

koordinat bola.

Jawab

Koordinat kartesius, koordinat tabung dan koordinat bola


22sin yxrataur

cosz

cossinx

sinsiny

cosz

222 zyx


sehingga dari titik 8,3/4,4 diketahui

8,3/4,4 zr dan diperoleh

3/4

54)8()2()32( 222

5

52arccoscos548cos z

Jadi koordinat kartesius 8,3/4,4 adalah 8,2,32 ,

dan koordinat bola 8,3/4,4 adalah

55/2arccos(,3/4,54 .

Untuk latihan bagi pembaca ubah koordinat berikut dalam koordinat

yang sesuai:

No Koordinat

Kartesius Tabung Bola

1. 4,6,32 4,3/,34 3/2,3/,8

2. 3,2,2 3,4/,22 ....

3. 4,32,2 .... ....

4. 32,2,2 .... ....

5. .... 2,6/,6 ....

6. .... 4,3/2,2 ....

7. .... 1,3/2,2 .....

8. .... .... 6/,3/2,8

9. .... .... 3/2,3/,4

10. ..... .... 0,3/,4

11. .... .... 2/,4/,1

Di atas telah dibahas transformasi dari koordinat kartesius

ke koordinat tabung dan koordinat bola.


1.3 Sistem Koordinat Lainnya

Selain sistem koordinat di atas, terdapat beberapa sistem

koordinat yang penggunaannya dalam ilmu hisab. Sistem koordinat

tersebut adalah:

1. Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical

Coordinate).

2. Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical Coordinate).

3. Koordinat Ekuator Geosentrik (Geocentric Equatorial Coordinate).

4. Koordinat Horison (Horizontal Coordinate).

Keempat sistem koordinat di atas termasuk ke dalam

koordinat bola. Sebenarnya masih ada sistem koordinat lainnya,

seperti Sistem Koordinat Ekuator Toposentrik (Topocentric Equatorial

Coordinate). Namun tidak dibahas dalam tulisan ini.Sekilas,

banyaknya sistem koordinat di atas bisa membuat rumit. Namun

pembagian sistem koordinat di atas berasal dari benda langit

manakah yang dijadikan pusat koordinat, apakah bidang datar

sebagai referensi serta bagaimana cara mengukur posisi benda langit

lainnya. Penting pula untuk diketahui bahwa seluruh benda langit

dapat dianggap seperti titik. Bisa pula dianggap seperti benda yang

seluruhnya terkonsentrasi di pusat benda tersebut. Jika kita

memperoleh jarak bumi-bulan, maka yang dimaksud adalah jarak

antara pusat bumi dengan pusat bulan.

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik dan Sistem

Koordinat Ekliptika Geosentrik sebenarnya identik. Yang

membedakan keduanya hanyalah manakah yang menjadi pusat

koordinat. Pada Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik, yang

menjadi pusat koordinat adalah matahari (helio = matahari).

Sedangkan pada Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik, yang

menjadi pusat koordinat adalah bumi (geo = bumi). Karena itu

keduanya dapat digabungkan menjadi Sistem Koordinat Ekliptika.

Pada Sistem Koordinat Ekliptika, yang menjadi bidang datar sebagai

referensi adalah bidang orbit bumi mengitari matahari (heliosentrik)

yang juga sama dengan bidang orbit matahari mengitari bumi

(geosentrik).


Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik (Heliocentric Ecliptical

Coordinate)

Pada koordinat ini, matahari (sun) menjadi pusat koordinat. Benda

langit lainnya seperti bumi (earth) dan planet bergerak mengitari

matahari. Bidang datar yang identik dengan bidang xy adalah

bidang ekliptika yatu bidang bumi mengitari matahari.

Gambar 1.14

Sistem Koordinat Ekliptika Heliosentrik

1. Pusat koordinat: Matahari (Sun).

2. Bidang datar referensi: Bidang orbit bumi mengitari matahari

(bidang ekliptika) yaitu bidang xy.

3. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE), didefinisikan sebagai

sumbu x.

4. Koordinat:

5. r = jarak (radius) benda langit ke matahari

6. l = sudut bujur ekliptika (ecliptical longitude), dihitung dari VE

berlawanan arah jarum jam

7. b = sudut lintang ekliptika (ecliptical latitude), yaitu sudut antara

garis penghubung benda langit-matahari dengan bidang

ekliptika.


Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik (Geocentric Ecliptical

Coordinate)

Pada sistem koordinat ini, bumi menjadi pusat koordinat.Matahari

dan planet-planet lainnya nampak bergerak mengitari bumi. Bidang

datar xy adalah bidang ekliptika, sama seperti pada ekliptika

heliosentrik.

Gambar 1.15

Sistem Koordinat Ekliptika Geosentrik

1. Pusat Koordinat: Bumi (Earth)

2. Bidang datar referensi: Bidang Ekliptika (Bidang orbit bumi

mengitari matahari, yang sama dengan bidang orbit matahari

mengitari bumi) yaitu bidang xy.

3. Titik referensi: Vernal Ekuinoks (VE) yang didefinisikan sebagai

sumbu x.

4. Koordinat:

5. Jarak benda langit ke bumi (seringkali diabaikan atau tidak perlu

dihitung)

6. Lambda = Bujur Ekliptika (Ecliptical Longitude) benda langit

menurut bumi, dihitung dari VE.

7. Beta = Lintang Ekliptika (Ecliptical Latitude) benda langit menurut

bumi yaitu sudut antara garis penghubung benda langit-bumi

dengan bidang ekliptika


Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik

Ketika bumi bergerak mengitari matahari di bidang

Ekliptika, bumi juga sekaligus berotasi terhadap sumbunya.Penting

untuk diketahui, sumbu rotasi bumi tidak sejajar dengan sumbu

bidang ekliptika. Atau dengan kata lain, bidang ekuator tidak sejajar

dengan bidang ekliptika, tetapi membentuk sudut kemiringan

(epsilon) sebesar kira-kira 23,5 derajat. Sudut kemiringan ini

sebenarnya tidak bernilai konstan sepanjang waktu.Nilainya

semakin lama semakin mengecil.

Gambar 1.16

Sistem Koordinat Ekuator Geosentrik

1. Pusat koordinat: Bumi

2. Bidang datar referensi: Bidang ekuator, yaitu bidang datar yang

mengiris bumi menjadi dua bagian melewati garis khatulistiwa

3. Koordinat:

4. jarak benda langit ke bumi.

5. Alpha = Right Ascension = Sudut antara VE dengan proyeksi

benda langit pada bidang ekuator, dengan arah berlawanan jarum

jam. Biasanya Alpha bukan dinyatakan dalam satuan derajat,

tetapi jam (hour disingkat h). Satu putaran penuh = 360 derajat =

24 jam = 24 h. Karena itu jika Alpha dinyatakan dalam derajat,


maka bagilah dengan 12 untuk memperoleh satuan derajat. Titik

VE menunjukkan 0 h.

6. Delta = Declination (Deklinasi) = Sudut antara garis hubung benda

langit-bumi dengan bidang ekliptika.Nilainya mulai dari -90

derajat (selatan) hingga 90 derajat (utara). Pada bidang ekuator,

deklinasi = 0 derajat.

Seringkali, Alpha (right ascension) dinyatakan dalam bentuk H (hour

angle). Hubungan antara Alpha dengan H adalah H = LST - Alpha.

Disini, LST adalah Local Sidereal Time, yang sudah penulis bahas

sebelumnya pada tulisan tentang Macam-Macam Waktu

Sistem Koordinat Horison

Pada sistem koordinat ini, pusat koordinat adalah posisi

pengamat (bujur dan lintang) yang terletak di permukaan bumi.

Kadang-kadang, ketinggian pengamat dari permukaan bumi juga

ikut diperhitungkan. Bidang datar yang menjadi referensi seperti

bidang xy adalah bidang horison (bidang datar di sekitar pengamat

di permukaan bumi).

Gambar 1.17

Sistem Koordinat Horison

1. Pusat koordinat: Pengamat di permukaan bumi

2. Bidang datar referensi: Bidang horison (Horizon plane)

3. Koordinat:


4. Altitude/Elevation = sudut ketinggian benda langit dari bidang

horison. h = 0 derajat berarti benda di bidang horison. h = 90

derajat dan -90 derajat masing-masing menunjukkan posisi di titik

zenith (tepat di atas kepala) dan nadir (tepat di bawah kaki).

5. A (Azimuth) = Sudut antara arah Utara dengan proyeksi benda

langit ke bidang horison.

Jarak benda langit ke pengamat dalam sistem koordinat ini

seringkali diabaikan, karena telah dapat dihitung sebelumnya dalam

sistem koordinat ekliptika.

Catatan penting: Dalam banyak buku referensi, azimuth

seringkali diukur dari arah selatan (South) yang memutar ke arah

barat (West). Gambar 7 di atas juga menunjukkan bahwa azimuth

diukur dari arah Selatan.Namun demikian, dalam pemahaman

umum, orang biasanya menjadikan arah Utara sebagai titik

referensi.Karena itu dalam tulisan ini penulis menjadikan sudut

azimuth diukur dari arah Utara. Untuk membedakannya, lambang

untuk azimuth dari arah selatan dinyatakan sebagai As, sedangkan

azimuth dari arah utara dinyatakan sebagai A saja. Hubungan antara

As dan A adalah A = As - 180 derajat. Jika As atau A negatif, tinggal

tambahkan 360 derajat.

Suatu sistem koordinat dengan sistem koordinat lainnya

dapat dihubungkan melalui transformasi koordinat. Misalnya, dari

algoritma untuk menghitung posisi bulan menurut sistem koordinat

ekliptika geosentrik, kita dapat menentukan jarak bulan dari pusat

bumi, sudut lambda dan beta. Selanjutnya, sudut lambda dan beta

ditransformasi untuk mendapat sudut alpha dan delta dalam sistem

koordinat ekuator geosentrik. Dari alpha dan beta, serta

memperhitungkan posisi pengamat (bujur dan lintang) dan waktu

saat pengamatan/penghitungan, maka sudut ketinggian (altitude)

dan azimuth bulan menurut sistem koordinat horison dapat

diketahui dengan tepat. Rumus-rumus transformasi koordinat yang

membutuhkan pengetahuan trigonometri


SISTEM BILANGAN KOMPLEK

ab II dalam bahan ajar ini membahas delapan hal pokok yang

berkaitan dengan sistem bilangan komplek, yaitu: (1)

Pendahuluan, (2) Representasi Grafik Bilangan Real, (3)

Sistem Bilangan Komplek, (4) Operasi Dasar Bilangan Komplek, (5)

Nilai Mutlak, (6) Pembangun Aksioma Bilangan Komplek, (7)

Representasi Grafik Bilangan Komplek, dan (8) Bentuk Polar

Bilangan Komplek.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab II diharapkan

mahasiswa memahami sistem bilangan komplek dengan operasinya

dan dapat melakukan representasi pada bentuk grafik dan polar.

Kompetensi Dasar

1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang sistem bilangan

komplek.

2) Mahasiswa dapat melakukan operasi pada bilangan komplek.

3) Mahasiswa dapat merepresentasikan bilangan komplek secara

grafis.

4) Mahasiswa dapat merepresentasikan bilangan komplek dalam

bentuk polar

B


2.1 Sistem Bilangan Real

Sistem bilangan seperti yang kita kenal hingga saat ini

merupakan hasil dari pengembangan secara bertahap seperti yang

ditunjukkan dalam daftar berikut.

1. Bilangan asli 1, 2, 3, 4,. . , juga disebut bilangan bulat positip,

pertama kali digunakan dalam menghitung. Simbol bervariasi

dengan waktu, misalnya yang digunakan bangsa Romawi I, II, III,

IV. . ., jika a dan b adalah bilangan asli, jumlah ba dan

perkalian ))((,. baba atau ab juga disebut bilangan asli. Untuk

alasan ini himpunan bilangan asli dikatakan tertutup di bawah

operasi penjumlahan dan perkalian atau memenuhi sifat tertutup

(closure) terhadap operasi ini.

2. Bilangan bulat negatip dan nol, dilambangkan dengan - 1, - 2, - 3.

. . dan 0 masing-masing, muncul untuk memungkinkan solusi

dari persamaan seperti

abx , dimana a dan b adalah setiap bilangan asli. Hal ini

mengarah pada operasi pengurangan, atau invers penjumlahan,

dan kita tulis dengan bax himpunan bilangan bulat positip,

negatip dan nol disebut himpunan bilangan bulat dan tertutup di

bawah operasi-operasi penjumlahan, perkalian, dan

pengurangan.

3. Bilangan rasional dan pecahan seperti ,...4

13,

5

6,

7

1,

4

3 muncul

sebagai bagian yang memungkinkan selesaian persamaan

berbentuk abx untuk semua bilangan bulat a dan b di mana

.0b Hal ini mengarah ke operasi pembagian atau invers

perkalian, dan ditulis dengan b

ax

yang disebut hasil bagi a

dan b , di mana a adalah pembilang dan b adalah penyebut.


Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bagian atau subset

dari bilangan rasional, karena bilangan bulat sesuai dengan

bilangan rasional b

a dimana 1b .

Himpunan bilangan rasional tertutup di bawah operasi-operasi

penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian, selama

pembagian dengan nol tidak dilakukan.

4. Bilangan irasional seperti √2 =1.41423. . . dan π = 3. 14159. . .

adalah bilangan yang tidak rasional, yang tidak dapat dinyatakan

dengan ba / dimana a dan b adalah bilangan bulat dan .0b

Himpunan bilangan rasional dan irasional di sebut dengan

himpunan bilangan real. Diasumsikan bahwa siswa sudah

mengetahui dengan berbagai operasi pada bilangan real.

2.2 Representasi Grafis Bilangan Real

Sebelum penulis menguraikan konsep sistem bilangan real

)(R , terlebih dahulu marilah kita ingat kembali konsep himpunan

(set). Himpunan mempunyai peranan sangat penting dalam

memahami sistem bilangan real. Secara eksplisit himpunan

didefinisikan sebagai sekumpulan objek, unsur atau sesuatu yang

mempunyai ciri-ciri, kriteria dan syarat yang tertentu serta

terdefinisi dengan jelas. Objek atau unsur sesuatu himpunan A

dinamakan anggota atau elemen. Anggota suatu himpunan

dinyatakan dengan ,....,,, dcba atau ,....4,3,2,1 sedangkan nama

himpunan dinyatakan dengan huruf kapital ,,,, DCBA dan

seterusnya. Misal kita mendefinisikan suatu himpunan A dengan

menyatakan secara jelas anggota-anggotanya yang terdiri dari

edcba ,,,, , himpunan A tersebut dapat ditulis dalam bentuk

},,,,{ edcbaA dengan masing-masing anggota himpunan A

dipisahkan oleh tanda baca koma dan terdapat dua tanda kurung { }.

Jika himpunan A mempunyai anggota banyaknya tak hingga maka

unsur-unsurnya tidak ditulis semuanya akan tetapi cukup

dituliskan beberapa anggotanya dan titik-titik sebanyak 3 atau 5 , Jika


a adalah anggota himpunan A maka pernyataan tersebut ditulis

dengan notasi Aa dan dibaca a anggota A. Jika a bukan anggota

himpunan A , maka dituliskan Aa dan dibaca “a bukan anggota A.

Jika suatu himpunan A tidak memiliki anggota, maka A disebut

himpunan kosong, dan dinyatakan dengan notasi atau { }.

Himpunan sebagai telah disebutkan di atas, dalam

penulisannya dapat dilakukan dengan dua metode, yaitu metode

pencirian (notasi) dan metode perincian (tabulasi). Metode pencirian

dilakukan dengan cara menuliskan syarat keanggotaan yang

dimiliki oleh seluruh anggota suatu himpunan akan tetapi tidak

dimiliki oleh unsur-unsur yang bukan anggota himpunan tersebut. ,

Contoh:

1) }10{ darikurangprimabilanganyyA

2) }21{ dariganjilfaktorxxB

3) },1{ 2 primabilanganxxxC

4) }21{ darigenapfaktorxxD

5) }043{ 2 xxxE

6) }043{ 2 xxxF

7) }24{ xxG

8) }4),{( 22 yxyxH

9) }}3,2,1{{ darikuasahimpunanV

Metode perincian dilakukan dengan cara mendaftar seluruh anggota

himpunan yang memenuhi syarat dan ketentuan yang diberikan

dalam suatu himpunan.

Contoh

1) ,...}5,4,3,2,1{A

2) },',,,,{ sabtuatjumkamisrabuselasaseninB

3) ,...}19,17,13,11,7,5,3,2{C

4) },,{ hijaukuningmerahD


5) }0{E

6) }{F

7) },1{ xG

8) ),...}4,3(),3,2(),2,1{(H

9) }}2,1{},2{},1{,{V

Misal A dan B suatu himpunan, himpunan A disebut

himpunan bagian himpunan B , ditulis dengan notasi BA , jika

setiap anggota A merupakan anggota B. Kiranya tidaklah sulit untuk

dipahami bahwa A untuk sebarang himpunan A. Jika setiap

anggota himpunan anggota A juga merupakan anggota setiap

himpunan B maka dinotasikan dengan BA

Selanjutnya untuk memudahkan para pembaca dalam

memahami konsep sistem bilangan real berikut ini diberikan

beberapa bilangan dan himpunan bilangan yang pada bab-bab

selanjutnya dalam buku ini sering ditemukan. Bilangan dan

himpunan bilangan tersebut adalah:

1. Himpunan bilangan asli (Natural)

Himpunan bilangan asli biasanya dinotasikan dengan N dan

anggota-anggota bilangan asli adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... sehingga

,...}6,5,4,3,2,1{N

Bilangan asli tertutup terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan asli maka )( ba

dan ).( ba bilangan asli. Oleh karena itu, himpunan semua

bilangan asli membentuk suatu sistem sistem bilangan asli.

2. Bilangan cacah (whole)

Bilangan cacah biasanya dinotasikan dengan W dan anggota-

anggota bilangan cacah adalah 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ..., sehingga

,...}.6,5,4,3,2,1,0{W Bilangan cacah tertutup terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian, artinya untuk setiap ba, bilangan

cacah maka )( ba dan ).( ba bilangan cacah.


3. Sistem bilangan asli bersama-sama dengan bilangan nol dan

lawan dari bilangan-bilangan asli membentuk sistem bilangan

bulat, Bilangan bulat biasanya dinotasikan dengan Z yang

anggota-anggotanya adalah ...-3, -2, -,1, 0, 1, 2, 3, ..., sehingga

,...}.3,2,1,0,2,2,3{... Z

4. Bilangan pecahan atau bilangan rasional (quotient) biasanya

dinyatakan dengan Q . Bilangan rasional adalah bilangan yang

secara umum dinyatakan dengan 0,,. bZbab

aQ

Contoh

1) 3/1p

2) 11/2q

3) 7/22r

Bilangan-bilangan rasional di atas, dapat dinyatakan dalam

bilangan-bilangan desimal, yaitu

1) ...33333333,03

1p

2) ...142857142857142857,011

2q

3) ...571481428571428,37

22r

Jika kita cermati lebih mendetail, bilangan-bilangan desimal

sebagai mana tersebut di atas selalu berulang angka-angkanya,

sehingga bilangan rasional juga disebut bilangan desimal berulang.

Sebaliknya bilangan desimal berulang dapat dinyatakan sebagai

bilangan rasional. Untuk menyatakan bentuk desimal menjadi

bilangan rasioan adalah dengan cara melihat angka yang berulang

pada bilangan tersrsebut. Jika terdapat 1 angka yang berulang maka

kalikan bilangan dimaksud dengan 110 . Jika terdapat 2 angka yang

berulang maka kalikan bilangan tersebut dengan .10 2 dan

seterusnya. Selanjutnya cari selisih bilangan semula dengan bilangan

yang baru. Dengan metode perhitungan sederhana akhirnya


diperoleh bilangan rasional yang dimaksud. Untuk lebih jelasnya

perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh:

Ubahlah bilangan desimal berikut ini menjadi bentuk rasional

0,,. bZbab

aQ

1. Tentukan bentuk rasional bilangan 0,12121212...

Jawab

Bilangan ...12121212,0 adalah bilangan desimal dengan 2

angka berulang yaitu angka 1 dan 2 .

Karena banyaknya angka yang berulang pada bilangan

0,1,212121212... adalah 2 angka, kalikan bilangan ...12121212,0

dengan bilangan 210 .

Misal ...12121212,0x , sehingga diperoleh

...212121212,1,12100 x

Akibatnya

12...)12121212,0(...)12.121212,12(100 xx

...)12121212,0(...)12.121212,12(10 xx

99/12

1299

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...12121212,0 adalah

99/12

2. Tentukan bentuk rasional bilangan .....412333333,1

Jawab

Bilangan .....412333333,1 adalah bilangan desimal dengan 1

angka berulang yaitu angka 3.


.....412333333,1 adalah 1 angka, kalikan bilangan

.....412333333,1 dengan bilangan 110 .

Misal ...4123333333,1x , sehingga diperoleh

...12333333,1410 x


Akibatnya ...)412333333,1(...)123333333,14(10 xx

900

1271

9

71,12

71,129

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan .....412333333,1

adalah 900/1271

3. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2739826273273,0

Jawab

Bilangan ...2739826273273,0 adalah bilangan desimal

dengan 3 angka berulang yaitu angka 2,7, dan 3.


...2739826273273,0

adalah 3 angka, kalikan bilangan ...2739826273273,0

dengan bilangan 310 .

Misal

...2739826273273,0x

...35627327327,9821000 x

Akibatnya

...)32739825627327,0(...)35627327327,982(1000 xx

99900

98158017

999

58017,981

58017,981999

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...2739826273273,0

adalah 99900

98158017

4. Tentukan bentuk rasional bilangan ...2543120543125431,0

Jawab

Bilangan ...4310543154315,0 adalah bilangan desimal dengan

4 angka berulang yaitu angka 5, 4, 3, dan 1.



...4310543154315,0

adalah 4 angka, kalikan bilangan ...4310543154315,0 dengan

bilangan 410 .

Misal

...4310543154315,0x , sehingga diperoleh

....154315431,54310000 x

Akibatnya

...)4310543154315,0(...)154315431,543(10000 xx

99990

5421

9999

1,542

1,5429999

x

x

Sehingga bentuk rasional dari bilangan ...4310543154315,0

adalah 99990

5421

5. Bilangan Irasional (_

Q ) atau disebut juga bilangan tidak rasional

yaitu bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

0,,. bZbab

aQ . Karena bilangan rasional dapat

dinyatakan dengan bilangan desimal yang angka-angkanya

berulang, maka bilangan irasional adalah bilangan desimal yang

angka-angkanya tidak ada yang berulang. Bilangan irasional

juga disebut dengan bilangan bentuk akar.

Persoalan dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai

adanya bilangan-bilangan irasional. Contoh bilangan irasional

antara lain adalah 2 dan . Bilangan 2 adalah panjang sisi

miring segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi tegaknya masing-

masing adalah 1. Perhatikan Gambar 2.1.


Gambar 2.1

Sedangkan bilangan merupakan hasil bagi antara keliling

sebarang lingkaran dengan panjang garis tengah lingkaran tersebut.

Perhatikan Gambar 2.2.

Gambar 2.2

Contoh

1) 2 = 1,41421356237...

2) 3 = 1,73205080756...

3) 11 = 3,316625790355...

4) π = 3.14159265358979….

5) e = 2,71828 18284 59045 23536 02874 71352…

Berdasarkan contoh sebelumnya, tampak bilangan-bilangan

dalam bentuk akar umumnya adalah bilangan desimal yang angka-

1d 2d

1l2l

2

2

1

1

d

l

d

l

21

1


angkanya tidak ada yang berulang. Sehingga bilangan akar juga

disebut bilangan irasional. Dengan demikian apa yang selama ini

dianggap sama yaitu 7/22 tidaklah selalu benar. Karena 7/22

adalah bilangan rasional, sedangkan adalah bilangan irasional.

6. Himpunan semua bilangan irasional bersama-sama dengan

bilangan rasional membentuk himpunan semua bilangan real

)(R , sehingga QQZWNR

Seperti telah diketahui, untuk menyatakan sebarang bilangan real

seringkali digunakan cara desimal.

Contoh

Bilangan-bilangan 66/7dan,3/5,4/3 masing-masing dapat

dinyatakan dalam desimal sebagai dan,...666,1,75,0

....1060606,0 Dapat ditunjukkan bahwa bentuk desimal

bilangan-bilangan rasional adalah salah satu dari 2 tipe berikut:

a. berhenti ( dst.8/1,2/5,4/3 ), atau

b. berulang beraturan ( dst.,66/7,8/5 ).

Sifat-sifat Sistem Bilangan Real

Untuk sebarang dcba ,,, bilangan real berlaku sifat-sifat

sebagai berikut:

1) Sifat komutatif

(i). abbaabba ..).ii(

2) Sifat asosiatif

cbacbacba

cbacbacba

......).ii(

).i(

3) Sifat distibutif perkalian terhadap penjumlahan

).().().( cabacba

4) (i). 0,1

. bb

ab

a

(ii). 0,0,.

).().(

db

db

cbda

d

c

b

a


(iii). 0,0,.

.. db

db

ca

d

c

b

a

5) (i). ).().().( bababa

(ii). baba .)).((

(iii). aa )(

6) (i). 00

a, untuk setiap bilangan 0a .

(ii). 0

a tak terdefinisikan.

(iii). 1a

a, untuk setiap bilangan 0a .

7) Hukum kanselasi

(i). Jika cbca .. dan 0c maka ba .

(ii). Jika 0, cb maka b

a

cb

ca

.

..

8) Sifat pembagi nol

Jika 0. ba maka 0a atau 0b .

Bilangan real dapat direpresentasikan oleh titik-titik pada

garis yang disebut sumbu real, seperti ditunjukkan pada Gambar 2.3

di bawah ini. Titik yang sesuai dengan nol disebut titik asal.

Gambar 2.3

Sebaliknya untuk setiap titik pada baris ada satu dan hanya satu

bilangan real. Jika suatu titik A sesuai dengan bilangan real a yang

terletak di sebelah kanan titik B sesuai dengan b bilangan real, kita

katakan bahwa a lebih besar dari b atau kurang dari a dan ditulis

secara berurutan dengan ba atau .ab

4

3 2 1 0 1 4

322

3

4

3

2

2

3


Himpunan dari nilai-nilai x termasuk a < x <b disebut interval

terbuka pada sumbu real bila ,bxa yang mana didalamnya

terdapat titik awal a dan titik akhir ,b disebut interval tertutup.

Lambang x, yang mana dapat berdiri untuk semua susunan dari

nilai–nilai asli, yang disebut variabel asli.

Nilai mutlak dari sebuah bilangan real a , dinotasikan dengan

a , adalah a jika 0a , –a untuk a < 0 dan 0 jika a = 0. Jarak antara

dua titik a dan b pada sumbu real adalah |𝑎 − 𝑏|. Atau dengan kata

lain:

0,

0,0

0,

ajikaa

ajika

ajikaa

a

Sifat-sifat terurut bilangan Real

Prinsip adalah aturan atau sifat yang digunakan sebagai

dasar atau landasan dalam uraian yang berkaitan dengan bukti

sesuatu. Prinsip dapat diambil dari definisi, aksioma, atau dalil-dalil

yang “dimunculkan” kembali untuk digunakan pada bagian lain

suatu konsep yang memerlukan. Diantara prinsip dalam matematika

adalah prinsip urutan (well ordering principle).

Prinsip urutan berkaitan dengan kepositipan dan

ketaksamaan antara bilangan-bilangan real. Cara yang dapat

dilakukan untuk melakukan sifat keterurutan adalah

mengidentifikasi suatu subset khusus dari R dengan menggunakan

gagasan “kepositipan”.

Definisi

Misalkan P himpunan bagian R dan P . Untuk selanjutnya P

disebut bilangan real positip kuat, maka berlaku sifat-sifat berikut

ini:

(1) Jika Pba , maka Pba )(

(2) Jika Pba , maka Pba ).(


(3) Jika Ra , maka tepat dari salah satu yang berikut dipenuhi

PaaPa ,0,

Dua sifat yang pertama menjamin kesesuaian dari urutan

dengan operasi penjumlahan dan perkalian secara berurutan. Sifat

(3) biasanya disebut sifat trikotomi karena membagi R menjadi 3

jenis unsur yang berbeda. Dinyatakan bahwa }{ Paa dari

bilangan real negatip tidak mempunyai unsur persekutuan dengan

,P dan selanjutnya himpunan R merupakan gabungan dari tiga

himpunan yang saling asing.

Definisi

1) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan real

positip kuat (strictly positip) dan dituliskan dengan 0a , Jika

}0{Pa , maka a disebut bilangan real tidak negatip dan

dituliskan dalam bentuk 0a .

2) Jika Pa , kita mengatakan bahwa a adalah suatu bilangan

real negatip kuat (strictly negatip) dan dituliskan dalam bentuk

0a , Jika }0{ Pa , maka a disebut bilangan real tidak

positip dan dituliskan dalam bentuk .0a

3) Jika Rba , dan jika Pba maka dituliskan dalam bentuk

ba atau .ab

4) Jika Rba , dan jika }0{ Pba maka dituliskan dalam

bentuk ba atau ab .

Untuk kesepakatan bersama kita akan menuliskan cba

yang berarti ba dan cb . Demikian juga jika cba yang

berarti ba maka cb dan seterusnya. Berikut ini diberikan

beberapa teorema yang berkaitan dengan prinsip keterurutan

Teorema 1

Misalkan Rcba ,,

1. Jika ba dan cb maka ca .


2. Tepat dari salah satu pernyataan berikut ini dipenuhi

bababa ,,

3. Jika ba dan ba maka ba

Bukti

1) ba maka menurut definisi 0ba atau Pba

cb maka menurut definisi 0 cb atau Pcb

Karena Pba dan Pcb maka menurut definisi

diperoleh

Pcbba )()(

sehingga Pca atau ca

2) Dengan sifat trikotomi dalam definisi, maka tepat salah satu dari

yang berikut mungkin terjadi

0ba , atau 0ba atau 0)( ba sehingga

ba atau ba atau ba

3) Jika ba , maka 0ba , sehingga dari bukti (b) kita

dapatkan Pba atau Pcb yakni ba atau

ab . Dalam kasus lainnya salah satu dari hipotesisi tersebut

kontradiksi. Jadi haruslah ba

Teorema 2

1. Jika Ra dan 0a maka .02 a

2. 01

3. Jika Nn maka 0n

Bukti

1. Dengan sifat trikotomi jika 0a , maka Pa atau Pa .

Jika Pa maka dengan definisi kita mempunyai aaa .2 ,

untuk Pa . Dengan cara yang sama Jika -a P maka dengan

definisi sebelumnya diperoleh bentuk Paaa ))(()( 2.

Berdasarkan teorema sebelumnya berakibat bahwa:

2)1)(1()1()1())(( aaaaa . Akibatnya bahwa

Pa 2 . Jadi kita simpulkan bahwa jika Pa , maka 02 a .


2. Karena 2)1(1 , menurut bukti di atas akan menyebabkan bahwa

1 > 0.

3. Kita dapat menggunakan induksi matematika untuk

membuktikan pernyataan ini.

Pernyataan tersebut benar untuk 1n yakni 1 > 0. Selanjutnya

kita anggap benar untuk kn , dengan k bilangan asli.

Karena 1 > 0 dan P1 , maka Pk 1 , sehingga pernyataan di

atas benar adanya dengan menggunakan definisi sebelumnya.

Teorema 3

Misalkan Rcba ,,

1. Jika ba , maka cbca

2. Jika ba , dan cb maka dbca

3. Jika ba , 0c maka bcac

4. Jika ba , 0c maka bcac

5. Jika 0a maka 0/1 a

6. Jika 0a maka 0/1 a

Bukti teorema di atas dapat dijelaskan sebagai berikut:

1. Karena ba berarti menurut definisi sebelumnya 0ba .

Karena 0ba sehingga Pba .

)()()( ccbaba

)()()()( cbcaccba

Sehingga Pcbca )()( . Dengan kata lain

0)()( cbca

Karena 0)()( cbca berarti )()( cbca

2. Karena ba dan dc berarti 0ba dan 0 dc .

Hal ini berarti Pba dan Pdc .

Menurut definisi bilangan real positip kuat (1) diperoleh

Pdcba )()( . Dengan kata lain 0)()( dcba ,

atau

0)()( dcba sehingga berlaku )()( dcba


3. Karena ba dan dc berarti 0ba dan 0 dc .

Hal ini berarti Pba dan Pdc .


Pcba )( . Dengan kata lain Pbcac )( , atau

0)( bcac sehingga berlaku bcac

4. Karena ba dan 0c berarti 0ba dan 0c atau

0)( c .

Hal ini berarti Pba dan Pc .


Pcba ))(( . Dengan kata lain Pacbc )( , atau

Pacbc )( sehingga berlaku acbc

5. Jika 0a maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena

0a , berdasarkan sifat sebelumnya maka berlaku ,01

a Jika

0/1 a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh

0)/1(1 aa .

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

0/1 a

6. Jika 0a , maka 0a (berdasarkan sifat trikotomi). Karena

0a , berdasarkan sifat sebelumnya maka maka berlaku

,0/1 a Jika

0/1 a , berdasarkan teorema sebelumnya diperoleh

0/11 aa

Hal ini bertentangan dengan kenyataan bahwa 1 < 0. Jadi haruslah

0/1 a

Teorema 4

Jika Rba , , maka bbaa 2

1

Bukti.

Karena ba , maka dapat diperoleh baaa atau baa 2


Demikian pula ba maka dapat diperoleh bbba atau

bba 2

Dari ketaksamaan baa 2 dan bba 2 didapatkan

bbaa 2

bbbaaa )2(2

1)(

2

1)2(

2

1

bbaa )(2

1

Akibat dari teorema di atas adalah:

jika Ra dan 0a maka bbaa )(2

1

Contoh

Tentukan selesaian persamaan dan pertidaksamaan di bawah ini.

1) 342 x

Jawab

342 x

2

7

2

7

2

2

72

43442

x

x

x

x

Jadi selesaian persamaan 342 x adalah 3/7x

2) 0432 xx

Jawab

0432 xx

14

0)1(0)4(

0)1)(4(

0432

xataux

xataux

xx

xx

Jadi selesaian persamaan 0432 xx adalah 1x atau

1x


3) Tentukan selesaian pertidaksamaan 7552 xx .

Jawab

4

)31.(12)31.(3

123

55755552

7552

x

x

x

xxxx

xx

Jadi, selesaian pertidaksamaan 7552 xx .adalah 4x

Pertidaksamaan tipe lain mungkin lebih sulit diselesaikan

dibandingkan pertidaksamaan-pertidaksamaan seperti pada contoh

di atas.

Beberapa contoh diberikan sebagai berikut.

1) Tentukan selesaian 0652 xx

Jawab

Dengan memfaktorkan ruas kiri pertidaksamaan, maka

diperoleh:

032 xx

Telah diketahui bahwa hasil kali 2 bilangan real positif apabila ke

dua faktor positif atau ke dua faktor negatif. Oleh karena itu,

(i). Jika ke dua faktor positif maka:

3dan2

03dan02

xx

xx

Sehingga diperoleh: 3x .

(ii).Jika ke dua faktor negatif, maka:

3dan2

03dan02

xx

xx

Diperoleh: 2x .

Jadi, selesaian persamaan 0652 xx adalah 2x atau

3x .

Selesaian pertidaksamaan di atas dapat pula diterangkan sebagai

berikut: Ruas kiri pertidaksamaan bernilai nol jika


3atau2 xx . Selanjutnya, ke dua bilangan ini membagi garis

bilangan menjadi 3 bagian: 3dan,32,2 xxx .

Pada bagian 2x , nilai )3(dan)2( xx keduanya negatif,

sehingga hasil kali keduanya positif. Pada segmen 32 x ,

)2( x bernilai positif sedangkan )3( x bernilai negatif.

Akibatnya, hasil kali keduanya bernilai negatif. Terakhir, pada

bagian 3x , )3(dan)2( xx masing-masing bernilai positif

sehingga hasil kali keduanya juga positif. Rangkuman uraian di

atas dapat dilihat pada Tabel berikut.

Tanda nilai

Kesimpulan 2x 3x

)3)(2( xx

2x - - + Pertidaksamaan dipenuhi

32 x + - - Pertidaksamaan tidak dipenuhi

3x + + + Pertidaksaman dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 2x atau 3x .

Metode penyelesaian seperti pada contoh 1 di atas dapat pula

diterapkan pada bentuk-bentuk pertidaksamaan yang memuat

lebih dari 2 faktor maupun bentuk-bentuk pecahan.

2) 112 23 xxx .

Jawab

Apabila ke dua ruas pada pertidaksamaan di atas ditambah 1,

maka diperoleh:

0)2)(1)(1(

022 23

xxx

xxx

x<2 2<x<3 x>3

0 2 3 4


Jika 0)2)(1)(1( xxx , maka diperoleh:

2atau,1,1 xxx . Selanjutnya, perhatikan table berikut:

Nilai-nilai peubah 2,1,1 xxx disebut titik kritis.

Tanda nilai/nilai Kesimpulan

1x 1x 2x )2)(1)(1( xxx

1x - - - - Pertidaksamaan

dipenuhi

11 x + - - + Pertidaksamaan

tidak dipenuhi

21 x + + - - Pertidaksamaan

dipenuhi

2x + + + + Pertidaksamaan

tidak dipenuhi

1x 0 -2 -3 0 Pertidaksamaan

dipenuhi

1x 2 0 -1 0 Pertidaksamaan

dipenuhi

2x 3 1 0 0 Pertidaksamaan

dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan 112 23 xxx x 1 atau

1 2 x .

Cara lain untuk menentukan selesaian pertidaksamaan

112 23 xxx .

adalah dengan menggunakan garis bilangan

2,1,1

,0)2)(1)(1(

0112

112

23

23

xdanxx

adalahmaanpertidaksakritistitikSehingga

xxx

xxx

xxx


Dengan memilih satu titik sebarang disetiap interval diatas

diperoleh:

- - - - - - - - - + + + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +

Berdasarkan garis bilangan di atas selesaian pertidaksamaan

adalah

x 1 atau 1 2 x .

3) 12

82

x

x

x.

Penyelesaian

Apabila pada ke dua ruas ditambahkan )1( x maka diperoleh:

02

)2)(5(

02

103

02

2820)1(

2

82

2

2

x

xx

x

xx

x

xxxx

x

x

Nilai nol pembilang adalah 5dan2 , sedangkan nilai nol

penyebut adalah 2. Sekarang, untuk mendapatkan nilai x

sehingga 02

)2)(5(

x

xx diperhatikan tabel berikut:

Tanda nilai/nilai

Kesimpulan 2x

2x

5x

2

)5)(2(

x

xx

2x - - - - Pertidaksamaan

tidak dipenuhi

22 x + - - + Pertidaksamaan

dipenuhi

1 21


52 x + + - - Pertidaksamaan

tidak dipenuhi

5x + + + + Pertidaksamaan

dipenuhi

2x 0 -4 -7 0 Pertidaksamaan

dipenuhi

2x 4 0 -3 Tidak

terdefinisi

Pertidaksamaan

tidak dipenuhi

5x 7 3 0 0 Pertidaksamaan

dipenuhi

Jadi, selesaian pertidaksamaan adalah 522 xataux

dan ditulis dengan notasi interval ~),5[)2,2[

Soal-soal

1) Misalkan Rdcba ,,, buktikan pernyataan berikut:

a. Jika cbba , maka bdacbcad

b. Jika ba dan dc maka dbca

c. 022 ba jika dan hanya jika a = 0 atau b = 0

2) Carilah bilangan Rdcba ,,, yang memenuhi ba 0

dan 0 da dan berlaku

a) bdac

b) bdac .

3) Tentukan bilangan real x , sedemikian sehingga:

a) 432 xx

b) 41 2 x

c) 0432 xx

d) 062

1

x

x

e) 01

22

x

x


f) 51

21

x

x

g) x

x3

41

h) xx

1

i) 72

1

x

j) 32

1

x

2.3 Sistem Bilangan Komplek

Persamaan kuadrat merupakan salah satu konsep dalam

matematika yang telah dikenalkan sejak dini. Persamaan tersebut

mempunyai bentuk umum ,02 cbxax dengan .,, realcba

Nilai peubah x yang memenuhi persamaan kuadrat dinamakan

selesaian. Selesaian suatu persamaan yang juga disebut dengan akar-

akar persamaan kuadrat dapat berupa bilangan real atau tidak real.

Misal 012 x adalah sebarang persamaan kuadrat, maka

persamaan tersebut akar-akarnya tidak real atau dengan kata lain

tidak ada bilangan real yang memenuhi persamaan 012 x , hal

ini dikarenakan .12 x Pernyataan ini adalah sesuatu yang tidak

mungkin karena tidak ada kuadrat suatu bilangan real yang hasilnya

.1 Untuk itu perlu diperkenalkan bilangan komplek yaitu suatu

bilangan yang mempunyai bentuk umum bia dimana realba ,

dan 1i .

Bilangan komplek didefinisikan sebagai pasangan

berurutan dari bilangan real ba, yang memenuhi sifat-sifat tertentu

yang secara umum dituliskan sebagai .biaz Kita dapat

mengangap sebuah bilangan komplek mempunyai sifat .12 i .

Untuk selanjutnya dalam bilangan komplek .biaz a disebut


bagian real dari dari z dan b disebut bagian bilangan imajiner dari

z , secara berturut-turut keduanya dilambangkan dengan

}Re{za dan }Im{zb . Variable yang berlaku pada bilangan

komplek disebut sebagai variabel komplek.

Dua bilangan komplek biaz 1 dan dicz 2

adalah

sama jika dan hanya jika ca dan db . Kita dapat mengangap

bilangan asli sebagai sebuah bagian dari susunan bilangan komplek

dengan b = 0. Bilangan komplek 0 + 0i dan -3 +0i kembali ditunjukan

bilangan asli 0 dan -3 berturut-turut. Jika a = 0 , bilangan komplek 0

+ bi atau disebut bilangan imajiner sejati.

Nilai mutlak bilangan komplek biaz dinotasikan

dengan dan disefinisikan sebagai .22 baz

Konjugate komplek atau secara singkat konjugate, suatu

bilangan komplek bia adalah bia . Konjugate bilangan

bilangan komplek z sering dinotasikan dengan 𝑧 ̅ atau .*z

Contoh:

1) ii 3232

2) iii

4

5

4

1

4

51

4

51

3) iiiiiiiii 4848)2266()2266()22)(3( 2

4) Jika iziziz 23,42,1 321

Maka

a) 1}Re{ 21 zz

b) 2}Re{ 21 zz

c) 2}Re{ 21 zz

d) 7/436Im3

21

z

zz

e) 31Im 321 zzz


Soal-soal

1. Tunjukkan bahwa iziz 1,1 21 adalah akar-akar dari

persamaan kuadrat 0222 zz

2. Tunjukkan bahwa 2

21,

2

2121

iz

iz

adalah akar-akar

dari persamaan kuadrat 012 zz .

3. Tentukan

a. ii 35223

b.

i

i

32

423

2.4 Operasi Dasar pada Bilangan Komplek

Operasi yang ditunjukan pada bilangan komplek juga

berlaku seperti pada Aljabar. Operasi pada bilangan komplek

meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.

Pada operasi bilangan komplek kita dapat memprosesnya seperti

aljabar dari bilangan-bilang asli dan mengganti 𝑖2 dengan -1

sehingga diperoleh hasil sebagai operasinya.

Misal biaz 1 dan dicz 2

hasil operasinya dapat dijelaskan

sebagai berikut:

1. Penjumlahan

idbcadicbiadicbiazz )()()()(21 Contoh

a. iiiiiii 4)23()84(8234)82()34(

b. iiiiiii 410)48()82()48()82()24(2)41(2

c. iiiiiii 672273222732

2. Pengurangan

idbcadicbiadicbiazz )()()()(21


Contoh

a) iiiiiii 1417)212()143()214()123()7(2)41(3

b) iiiiiii 101)212()23()22()123()1(2)41(3

c) iiiiiiiiii 443222832228)32()2()4(2

3. Perkalian

ibcadbdac

bdibcadac

bdibicadiac

dicbiazz

)()(

)1()(

))((

2

21

Contoh

a) iiiiiii 1011)1(310831228432 2

b) iiiiiii 915)1(12931231234133 2

c) iiiiiiiiii 161221418686143221 2

4. Pembagian

idc

adbc

dc

bdac

dc

iadbcbdac

idcdicdic

dicbia

dic

dic

dic

bia

dic

bia

z

z

2222

22

222

2

1

)()(

))((

.

Contoh

a. ii

i

iii

i

i

i

i

i

i

17

14

17

5

17

145

16

31228

4

4.

4

32

4

322

2


b. ii

i

iii

i

i

i

i

i

i

25

7

25

1

25

71

916

3434

34

34.

34

1

34

12

2

c. ii

i

iii

i

i

i

i

i

i

5

4

5

3

5

43

4

224

2

2.

2

2

2

22

2

d. Hitunglah

i

i

ii

1

2

1

412

2

2

2311

2

432015

2

543

2

543

2

)31()44(43

2

)22()44(1224

2

)1)(2()1(4)12)(12(

1

2

1

412

22

2

i

ii

ii

ii

iii

iiiiiii

iiiii

i

i

ii

e.

21

21232

i

iii

2

155

2

1510

4

3020

2

2.

2

1510

2

1510

2

218

1

212322

iii

i

i

i

i

i

i

i

ii

i

iii

Soal-soal

1. Selesaikanlah

a. )7)(23( ii

b. )23)(7( ii

c. )72()68( ii

d. )57()21()35( iii

e. )57()21()35( iii


f. )24)(32( ii

g. )32)(24( ii

h. )45)(23()2( iii

i. )45()23)(2( iii

j. )43)(57()21( iii

k. i

i

1

23

l. ii

i

34

20

43

55

m. 12

3 1910

i

ii

n.

2

3

3

2

1

i

o.

32

1

12

1

13

i

i

i

i

p. 15105

1694

2 iii

iii

q.

3

7

52

i

i

r. 2

7

2

3

i

i

i

i

s. )2)(1(

3

ii

i

t. 223

i

u. 2221 ii

2. Jika iziz 23,2 21 dan 2

3

2

13

iz


Tentukan nilai masing-masing berikut ini.

a. 21 43 zz

b. 843 1

2

1

3

1 zzz

c. 43z

d.

2

13

13

32

52

izz

izz

e.

2

2

3

3

2

1

z

z

z

z

f. 533 zz

g. 22

2

2

3

22

2

2

1 zzzz

h. 1221 zzzz

i. 3132 zzzz

3. Tentukan

a.

2)1(

21232Re

i

iii

b.

2)1(

21232Im

i

iii

c.

22/1

)24)(23(Im

i

ii

d.

22/1

)24)(23(Im

i

ii

e. 2

3

2

2

2

1 532Im zzz dan

2

3

2

2

2

1 532Im zzz

Jika iziz 23,2 21 dan 2

3

2

13

iz


2.5 Nilai Mutlak

Nilai Mutlak atau modulus dari suatu bilangan komplek

biaz dinotasikan dengan z dan didefinisikan sebagai

22 babiaz

Contoh

a) 1394)3(232 22 i

b) 52204162)4(24 22 i

c) 13943232 22 i

d) 412516)5()4(54 22 i

e)

136

1

9

1

4

1

3

1

2

1

3

1

2

122

i

Jika mzzzz .....,,, 321 adalah bilangan komplek, berlasku sifat-sifat

berikut

1. 2121 zzzz atau mm zzzzzz ...... 2121

Bukti

Misal diczbiaz 21 ,

ibcadbdacdicbiazz 21

`)()( 22

21 bcadbdaczz

`()2( 22222222 cbabcddadbacbdca

`( 222222 dadbca

`))(( 2222 dcba

2222 dcba

`))(( 2222 dcba


21 zz

2. ,2

1

2

1

z

z

z

z jika 02 z

Bukti

Dari operasi pembagian dua bilangan komplek diperoleh:

22

2

1 )(

dc

iadbcbdac

dic

bia

z

z

, sehingga

22

2222

22

22222222

222

22222222

2

22

2

22

2

1

22

dc

dcba

dc

dacbdbca

dc

daabcdcbdbabcdca

dc

adbc

dc

bdac

z

z

Dilain pihak

Sehingga dapat disimpulakn bahwa ,2

1

2

1

z

z

z

z asalkan 02 z

3. a. 2121 zzzz , b. 321321 zzzzzz

,

c. 2121 zzzz

22

2222

22

22

22

22

22

22

2

1.

dc

dcba

dc

dc

dc

ba

dc

ba

z

z


(a). Penyelesaian

Misal 222111 , iyxziyxz dan kita harus

menunjukkan bahwa

2

2

2

2

2

1

2

1

2

21

2

21 )()( yxyxyyxx

Kuadaratkan Persamaan kedua diatas, akan benar jika

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

21

2

21 ))((2)()( yxyxyxyxyyxx

jika ))((2

2

2

2

2

1

2

12121 yxyxyyxx atau jika

(Kuadratkan Kedua persamaan lagi)

s

2

2

2

1

2

2

21

2

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

12121

22

2

1 2 yyxyyxxxyyyyxxxx

Atau 2

2

21

2

2

2

121212 xyyxyyxx

Tetapi ini sama untuk ( 0)2

1221 yxyx jika benar.

Balikkan langkah –langkah yang reversibel.

Contoh soal

1) Jika iziziz2

3

2

1,23,2 321 , hitunglah

a) 15711)6(11681236)23(4)2(343 22

21 iiiiizz

b) 82423284323

1

2

1

3

1 iiizzz

848443.2.3.2.32 23223 iiiiii

848312126128 232 iiiiii

848312126128 iiii

848312126128 iiii

i37


c) 2.244

4

32

3

2

1

2

3

2

1

2

3

2

1

iiiz

4

3

2

3

4

1

4

3

2

3

4

1

2

3

2

1

4

3

2

3

4

12

2

22

2 iiiiii

i2

3

2

1

d) i

i

i

i

i

i

iiiz

iii

izz

izz

34

34.

34

43

34

43

3)23()(2

5)2()23(2

32

52

21

12

1)1(025

250

916

1216912

34

34.

34

43 222

iiii

i

i

i

i

2) Tentukan bilangan real x dan y sedemikian sehingga

iyixiyx 57523

Jawab

iyixiyx 57523

iixyyx 57)2()53(

Sehingga diperoleh dua persamaan

52

753

yx

yx

Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh

2,1 yx

3) Tunjukkan kesamaan di bawah ini:

a) 2121 zzzz

Bukti

idbcazz

idbcadicbiazz

)()(

)()()()(

21

21


Karena

biaz 1 sehingga biaz 1

dicz 2 sehingga dicz 2

idbcadicbiadicbiazz )()()()(21

Tampak bahwa sehingga 2121 zzzz

b) 2121 zzzz s

Bukti

21

2222

2222

22222222

22222222

22

2

21

22

)()())((

zz

dcba

dcba

cbdadbca

cbabcddadbabcdca

bcadbdac

ibcadbdacbdibciadiacdicbiazz

Soal-soal

1. Jika iz 341 dan iz 212 , hitunglah

(a). 21 zz (b). 21 zz

(b). 21 zz (d). 232 21 zz

2. Jika 𝑧1 = 2 − 2𝑖, 𝑧2 = 3 − 2𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧3 = −1

2+

√3

2 𝑖,


a) 21 43 zz

b) 843 1

2

1

3

1 zzz

c) 43z


d)

2

13

13

32

52

izz

izz

e) 423 11

2

1 zzz

f) 21 43 zz

3. Tentukan z dari:

a. 2

3

2

1 iz

b. )1(2

2iz

c. )27()1()4( iiiz

d. 333 iz

e. 32 iz

2.6 Pembangun-pembangun Aksiomatis dari Sistem

Bilangan Komplek

Dari suatu segi pandangan yang logis dapat digambarkan

angka-angka complex sebagai pasangan ),( ba dari bilangan real a

dan b menunjuk pada yang definisi yang beragam ternyata sama

dengan definisi diatas. Semua definisi yang digambarkan ini, dimana

semua angka menggantikan bilangan-bilangan real.

a. Persamaan ),(),( dcba jika dan hanya jika dbca ,

b. Penjumlahan ),(),(),( dbcadcba

c. Produk ),(),)(,( bcadbdacdcba dan ),(),( mbmabam

Dari ini kita dapat menunjukkan bahwa

)1,0()0,1(),( baba dan kita berhubungan dengan ini bia di

mana lambang untuk )1,0( dan mempunyai )0,1()1,0)(1,0(2 i

(yang dipertimbangkan setara dengan bilangan riil - 1 dan ( 1, 0)


jadilah setara dengan bilangan real 1. Pasangan yang diinginkan

)0,0( sesuai dengan bilangan real 0.

Dari pernyataan di atas kita dapat membuktikan bahwa jika

321 ,, zzz bagian dari bilangan komplek .S

1. 21 zz dan

21zz terdapat di S Hukum tertutup

2. 21 zz =

12 zz Bukti

idbca

ibdac

biadicbiadiczz

idbca

dicbiadicbiazz

12

21

Hukum

Komutatif

Penjumlahan

3. 321321 )()( zzzzzz

321

)()()(

)()(

)()(

)()(

))((

zzz

fiedibca

ifdbeca

ifdecbia

ifdecbia

fiedicbia

fiedicbia

Hukum Asosiatif

Penjumlahan

4. 1221 zzzz

Bukti

iadbcbdac

bdibicadiac

dicbiazz

)()(

)(

)()(

2

21

iadcbdbca

dbidiacbica

biadiczz

)()(

)(

))((

2

12

Hukum

komutatif

Perkalian


5. 321321 )()( zzzzzz

ibdfbceadeacfbdebcfadface

ibdfbceadeacfbdebcfadface

idecfbidfcebiidecfadfcea

idecfdfcebia

dfdiecficebia

fiedicbiazzz

)()(

)()()()(

)()()()(

)()(

))(()(

2

321

ibdfacfadebceadfbcfbdeace

ibdfacfiadebceadfbcfbdeace

ifiadbcfibdacieadbcebdac

fieiadbcbdac

fiebidiadibicac

fiedicbiazzz

)()(

)()()()(

)()()()(

)()()(

)()()()( 321

Hukum

assosiatif

Perkaliam

6. 3121321 )( zzzzzzz

iafbebcadbfbdaeac

bifibidiafiadibiebicaeac

ifdbiifdaecbieca

ifdecbia

fiedicbia

fiedicbiazzz

)()(

)()()()(

)()(

)()()( 321

iafbebcadbfaebdac

iafbebfaeibcadbdac

bifiafibeiaebidibicadiac

fiebiadicbiazzzz

)()(

)()()()(

))(())((3121

Hukum

Distributif

Perkalian

terhadap

Penjumlahan

7. 111 00 zzz

111 1..1 zzz

0 disebut identintas

penjumlahan

1 disebut

identintas

perkalian


8. Untuk suatu bilangan komplek 1z ada satu

bilangan Sz yang tunggal sedemikian

sehingga 011 zzzz . Untuk

selanjutnya z disebut invers (balikan)

penjumlahan dari 1z dan dilambangkan

dengan 1z .

9. Untuk suatu 01 z ada satu bilangan Sz

yang tunggal sedemikian sehingga

111 zzzz . Untuk selanjutnya z disebut

inver perkalian dari 1z dan dilambangkan

dengan 1

1

z atau

1

1

z

Secara umum suatu himpuan sedemikian sehingga seperti pada S

yang anggota-anggotanya memenuhi sifat di atas disebut dengan

field (lapangan).

Contoh

1. Gunakan defenisi dari sebuah bilangan kompleks sebagai

pasangan orderdari bilangan real dan defenisi pada halaman tiga

untuk membuktikan bahwa (a,b)=a(1,0),b(0,1)dimana

(0,1),(0,1)=(-1,0)=(a,c) + (c,b)=(a,b)

Dari defenisi jumlah dan produk atau hasil di halaman 3, kita

mendapatkan (𝑎, 𝑏) = (𝑎, 0) + (0, 𝑏) = 𝑎(1,0) + 𝑏(1,0) dimana

(0,1)(0,1) = (0 ∗ 0 − 1 ∗ 1,0 ∗ 1 + 1 ∗ 0) = (−1,0) Dari identifikasi

(1,0) dengan 1 dan (0,1) dengan 𝑖, kita melihat bahwa (𝑎, 𝑏) =

𝑎 + 𝑏𝑖

2. Jika 𝑧1 = (𝑎1, 𝑏1), 𝑧2 = (𝑎2, 𝑏2) dan 𝑧3 = (𝑎3 ,𝑏3), membuktikan

hukum

persamaan distribusi 3121321 )( zzzzzzz

Kita mendapatkan

𝑧1(𝑧2 ,𝑧3) = (𝑎1, 𝑏1){(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎3, 𝑏3)} = (𝑎1, 𝑏1)(𝑎2, 𝑎3) + (𝑏2, 𝑏3)

= {𝑎1(𝑎2+𝑎3) − 𝑏1(𝑏2, 𝑏3), 𝑎1(𝑏2, 𝑏3) + 𝑏1(𝑎2+𝑎3)}

= (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2 + 𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2 + 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3)


= (𝑎1𝑎2 − 𝑏1𝑏2, 𝑎1𝑏2 + 𝑏1𝑎2) + (𝑎1𝑎3 − 𝑏1𝑏3, 𝑎1𝑏3 + 𝑏1𝑎3)

= (𝑎1, 𝑏1)(𝑎2, 𝑏2) + (𝑎1, 𝑏1)(𝑎3, 𝑏3) = 𝑧1 ,𝑧2 + 𝑧1 ,𝑧3

2.7 Representasi secara Grafis Bilangan Komplek

Jika skala-skala bilangan real dipilih pada dua sumbu yang

saling tegak lurus, yaitu 'XOX dan 'YOY (selanjutnya disebut

sumbu x dan sumbu y secara berturut-turut) seperti pada Gambar

2.4 berikut.

Gambar 2.4

Selanjutnya kita dapat meletakkan sebarang titik pada

bidang dengan cara menarik garis yang sejajar masing-masing dan

kedua garus dapat bertemu di satu titik, titik tersebut dinamakan

koordinat tegak lurus dan dinotasikan dengan ).,( yx Pada gambar

di atas dipilih titik ).5,3(P

Karena suatu bilangan komplek yixz dapat dipandang

sebagai pasangan berurutan bilangan real sehingga kita dapat

merepresentasikan bilang komplek dengan suatu titik pada bidang

xy . Bidang xy sebagai representasi bilangan komplek dinamakan

bidang komplek atau argand. Bilangan komplek yang ditunjukkan

titik )5,3(P seperti pada gambar 1.2 dapat dipandang sebagai i53

. Setiap bilangan komplek berkorepondesni satu dan hanya satu


dengan setiap titik pada bidang, sebaliknya setiap satu titik pada

bidang berkorespondensi dengan satu dan hanya satu bilangan

komplek. Karena hal ini sering dan biasa kita menyatakan bilang

komplek ,z sebagai titik .z

Kadang-kadang kita dapat menyatakan sumbu x dan

sumbu y sebagai sumbu real dan sumbu imajiner secara berturut-

turut dan bidangnya dinamakan bidang .z Jarak antara dua titik

iyxz 111 dan iyxz 222 pada bidang komplek diberikan

oleh 2

21

2

2121 )()( yyxxzz

Contoh Soal

1) Bentuklah operasi-operasi berikut secara analitik dan grafik.

a) )54(32 ii

Secara analitis

Secara grafis

Gambar 2.5

b) 3(1 + 2i) – 2(2 – 3i)

Secara analitis

iiiiii 121)66()43()64()63()32(2)21(3

i32

i54

i26

X

Y

iiiiii 26)53(425432)54(32


Secara grafis

Gambar 2.6

c) (7 + i) – (4 – 2i)

d) 3(1 + i) + 2(4 – 3i) – (2 + 5i)

e) 1

2(4 − 3𝑖) +

3

2(5 + 2𝑖)

Contoh 1.c,d dan e ditinggalkan penulis sebagai latihan bagi

pembaca.

2. Jika z1,z

2dan z 3 merupakan vektor yang ditunjukan dalam

gambar 1.7, buatlah grafik :

(a). 2z1 + z 3 (c). z

1+ (z

2+ z 3 ) (e). 312

3

2

4

3

3

1zzz

(b). (z1+ z

2) + z 3 (d). 3z

1- 2z

2+ 5z 3

X

Y

i63i64

i121


Gambar 2.7

3. Jika z1= 4 – 3i dan z

2= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:

(a). 21 zz (b). 21 zz

(b). 21 zz (d). 232 21 zz

4. Letak vektor dari titik BA, dan C dari segitiga ABC masing-

masing diberi

1z = 1 + 2i, z2

= 4 - 2i dan z 3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC

merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya.

5. Misalkan z1,z 432 ,, zz ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat

ABCD . Buktikan bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang

jika dan hanya jika .`04321 zzzz

6. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua, buktikan

bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang.

7. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan

dalam satu titik.

X

Y

1z

2z

3z


8. Misalkan segi empat ABCD dan HGFE ,,, titik tengah dari

sisinya. Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang.

9. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD .

Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC

membagi AC .

10. Letak vektor dari titik BA, berturut-turut adalah 2 + i dan 3 – 2i.

(a). carilah sebuah persamaan garis AB . (b). carilah sebuah

persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.

11. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah

ini:

(a). ,2 iz (b). ,622 ixiz

(c). ,433 zz (d). ,3)2( zz

(e). .4Im 2 z

12. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2

dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik pusat

pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai

panjang 10.

2.8 Bentuk Polar Bilangan Komplek

Jika P adalah titik pada bidang komplek yang

berkorepondensi dengan bilangan komplek ),( yx atau yix maka

berdasarkan gambar 2.8 kita dapat melihat bahwa: cosrx ,

.sinry


Gambar 2.8

Karena yixyxr 22

adalah modulus atau nilai mutlak

dari bilangan komplek 1iyxz (dinotasikan dengan zmod

atau z

); dan disebut amplitude atau argument dari iyxz

(dinotasikan dengan arg z), adalah sudut yang dibuat oleh garis OP

dengan sumbu x positif.

Oleh karena itu, )sin(cos iryixz (1)

Yang disebut bentuk polar dari bilangan komplek, r dan θ disebut

koordinat polar. Kadang-kadang dengan mudah untuk menulis dan

menyebut sebagai singkatan cis untuk sincos i .

Untuk suatu bilangan kompleks 0z terdapat korespondensi satu

dan hanya satu terdapat hanya satu nilai yang sesuai dengan

untuk 0 ≦ 𝜃 < 2π. Namun, interval lain dari panjang 2π, misalnya - π

< θ ≦ π, dapat digunakan. Setiap pilihan utama, diputuskan terlebih

dahulu, disebut jarak utama, dan nilai θ disebut nilai utamanya.

Contoh

1. Nyatakan setiap titik dalam koordinat tegak lurus berikut dalam

bentuk polar

a. i22

),( yxP

X

Y

y

x

r


Gambar 2.9

Karena iz 22 maka 228)2(2 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran ke-4 maka

4/73352

2cos o

Sehingga

4/7224/7sin4/7cos2222 cisiiz

b. 31 i

Gambar 2.10

Karena 3iiz maka 24)3()1( 22 rz


3/21202

3sin o

X

Y31 i

3/2

X

Y

i22

2

2

4


Sehingga

3/223/2sin3/2cos231 cisiiz

c. i2222

Gambar 2.11

2222 iz maka 416)22()22( 22 rz


4/452

2

4

22cos o

Sehingga 4/44/sin4/cos42222 cisiiz

d. i

Gambar 2.12

X

Y

i

X

Y2222 i


iz maka 11)1()0( 22 rz

Karena titiknya terletak pada sumbu -Y maka

2/327001

0cos

o

Sehingga 2/32/3sin2/3cos1 cisiiz

e. -4

s

Gambar 2.13

4z maka 414)0()4( 22 rz

Karena titiknya terletak pada sumbu -X maka

o18014

4cos

Sehingga cisiz 4sincos44

f. i232

Gambar 2.14

X

Y

i232

X

Y


iz 232 maka 416)2()32( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka o2104

2cos

Sehingga oo iiz 210sin210cos4232

g. Buktikan bahwa )2/1(tan 1

52

iei

Gambar 2.15

iz 2 maka 5)1()2( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2/1tan atau

).2/1(arctan

Sehingga )2/1(sin(arctan)2/1(cos(arctan52 iiz

2. Nyatakanlah bentuk polar berikut dalam koordinat tegak lurus

a. )135sin135(cos6 oo i

Karena 4/3135 o berarti 0,0 yx

dan diperoleh

23)22/1(6135cos6 ox

23)22/1(6135sin6 oy

Sehingga )23,23(1356)135sin135(cos6 ooo cisi

Y

i2

X


Catatan 4/36)135sin135(cos6 ioo ei

b. ocis 9012

Karena 2/90 o berarti 0,0 yx

dan diperoleh

0)0(1290cos12 ox

12)1(1290sin12 oy

Sehingga )12,0()90(12 ocis

c. 4/52 ie

Karena o2254/5 berarti 0,0 yx

dan diperoleh

2)22/1(24/5cos2 x

2)22/1(24/5sin2 y

Sehingga )2,2(2 4/5 ie

d. 6/75 ie


dan diperoleh

32/5)32/1(56/7cos5 x

2/5)2/1(54/7sin5 y

Sehingga )2/5,22/5(5 4/5 ie

e. 3/23 ie


dan diperoleh

32/3)32/1(3)3/2cos(3 x

2/3)2/1(3)3/2sin(3 y

Sehingga )2/3,32/3(3 4/5 ie


Soal-soal

1. Tunjukkan bentuk polar dari

a. i43

b. i21

c. 33 i

d. i322

e. i55

f. 26 i

g. i3

h. 5

2. Buatlah grafik untuk titik yang dinyatakan oleh

a. )240sin240cos(6 oo i

b. 4

2

cis

c. 4/722 cis

d. 5/34 ie

e. 4/2 ie

3. Seseorang menempuh perjalalan wisata 12 km dalam arah timur

laut, dilanjutkan 20 km dalam arah o30 disebelah barat dari utara

kemudian 18 km o60 disebelah selatan dari barat. Tentukan

secara analitis dan grafis jarak yang ditempuh dan bagaimana

arah yang ditempuh dari titik awal.


TEOREMA SISTEM

BILANGAN KOMPLEK

ab III dalam bahan ajar ini membahas sepuluh hal pokok yang

berkaitan dengan teorema sistem bilangan komplek, yaitu:

(1) Teorme de Moivre, (2) Akar-akar Bilangan Komplek, (3)

Rumus Euler, (4) Persamaan Polinomial, (5) Akar-akar ke-n dari

Satuan, (6) Interpretasi Vektor Bilangan Komplek, (7) Representasi

Spherical Bilangan Komplek, (8) Hasil Kali Titik dan Silang, (9)

Koordinat-koordinat Konjugate Bilangan Komplek, dan (10)

Himpunan-himpunan Titik.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab III diharapkan

mahasiswa memahami beberapa teorema dalam sistem bilangan

komplek dan dapat mengaplikasikannya pada masalah-masalah

praktis.

Kompetensi Dasar

1) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali tentang teorema de

Moivre.

2) Mahasiswa dapat menentukan akar-akar bilangan komplek.

3) Mahasiswa dapat menjelaskan kembali rumus Euler.

4) Mahasiswa dapat menentukan akar-akar persamaan polinomial

dengan variabel bilangan komplek.

5) Mahasiswa dapat menentukan akan-akar ke-n dari satuan.

B


6) Mahasiswa dapat menggambarkan bilangan komplek dengan

interpretasi vektor.

7) Mahasiswa dapat menentukan hasil kali dan titik dari bilangan

komplek.

8) Mahasiswa dapat menentukan koordinat-koordinat konjugate

bilangan komplek.

3.1 Teorema de Moivre

Jika )sin(cos 111111 iriyxz dan

)sin(cos 222222 iriyxz kita dapat menunjukkan

bahwa:

)sin(cos)sin(cos 22211121 irirzz

21

2

21212121 sinsincossinsincoscoscos iiirr

irr )sincoscos(sin)sinsincos(cos 2121212121

)2(...................)sin()cos( 212121 irr

2

1

z

z

)sin(cos

)sin(cos

222

111

ir

ir

)sin(cos

)sin(cos.

)sin(cos

)sin(cos

222

222

222

111

ir

ir

ir

ir

)sincossincossin(cos

)sinsincossincossincos(cos

2

22

2222

22

2

21

2

21122121

iiir

iiirr

)sin)1((cos

)sinsin)1(cossincossincos(cos

2

2

2

22

2

2121122121

r

iirr

)sin(cos

))cossincos(sin)sinsincos(cos

2

2

2

22

2

2112212121

r

irr

2

2

212121 sin()cos(

r

irr

)3(....................)sin(cos( 2121

2

1 ir

r


Bentuk generalisasi dari (2) menyebabkan

)}.....sin().....{cos(............ 21212121 nnnn irrrzzz

(4)

dan jika bentuk (4) menjadi

)5(.........)sin(cos)}sin(cos{....... ninrirzzzzzz nnn

Bentuk (5) sering disebut teorema de Moivre

Contoh soal

1. Buktikan teorema de Moivre

nini n sincos)sin(cos dengan n sebarang

bilangan bulat positip.

Bukti

Kita gunakan prinsip induksi matematika

Untuk 1n maka diperoleh

sincos)sin(cos)sin(cos 1 inii n

Dianggap benar untuk n = k, sehingga

kiknii kn sincos)sin(cos)sin(cos

Selanjutnya akan dibuktikan benar untuk n = k+1

)1sin()1cos(

)sin(cos)sin(cos)sin(cos)sin(cos 1

kik

iiii kkn

Dengan demikian benar untuk

...,3,2,1n

Hasil di atas ekuivalen

`)( nini ee

2. Buktikan identitas

a. cos5cos20cos165cos 35

Bukti

5sincos5sin5cos ii


)sinsincos10sincos5(sincos5sincos10cos

sinsincos5sincos10sincos10sincos5cos

)sin()sin(cos

)sin(cos)sin(cos)sin(coscos

53244235

54322345

55

5

45

4

325

3

235

2

45

1

55

0

i

iii

ii

iii

sehingga

4235 sincos5sincos10cos5cos

22235 )cos1(cos5)cos1(cos10cos

)coscos21(cos5cos10cos10cos 42535

)cos5cos10cos5cos10cos10cos 52535

b. 3324 sinsincos10sincos55sin

dengan cara yang sama diperoleh

5324 sinsincos10sincos55sin

53222 sin)sin)sin1(10sin)sin1(5

55342 sin)sin(sin10sin)sinsin21(5

55343 sin)sin10sin10sin5sin10sin5

sin5sin20sin20 25

c. 1cos12cos16

sin

5sin 24

jika ,...2,,0

sin

sinsincos10sincos5

sin

5sin 5324

4224 sinsincos10cos5 22224 )cos1()cos1(cos10cos5

)coscos21(cos10cos10cos5 42424

1cos12cos16 24

3. Buktikan bahwa

a. 2cos

ii ee


Jawab

sincos,sincos ieie ii

2cos

cos2

sincossincos

ii

ii

ii

ee

ee

iiee

b. i

ee ii

2sin

Jawab

i

ee

eei

iiee

ii

ii

ii

2sin

sin2

sincossincos

4. Buktikan identitas

a. 3sin

4

1sin

4

5sin3

Jawab )

3sin4

1sin

4

3

24

1

24

3

8

133

8

1

33(8

1

)())((3)()(3)(8

1

8

)(

2sin

2sin

33

33

33

3223

3

33

3

i

ee

i

ee

eei

eei

eeeei

eeeeeei

i

ee

i

ee

i

ee

iiii

iiii

iiii

iiiiii

iiii

ii


b. 8

32cos

2

14cos

8

1cos4

Jawab

8

32sin

4

14cos

4

1

8

3

24

1

24

1

16

644

8

1

8

1

464(16

1

)())((4)()(6)()(4)(16

1

16

)(

2cos

2cos

2244

2244

4224

432234

44

4

iiii

iiii

iiii

iiiiiiii

iiii

ii

eeee

eeee

eeee

eeeeeeee

eeee

ee

5. Hitunglah

a. ooo ii 80sin80(cos440sin40(cos3 0

Jawab

ooooooo iii 8040sin()8040cos(4.380sin80(cos440sin40(cos3 0

366

2

3

2

112

120sin120cos12

i

i

i oo

b.

3

7

454

152

o

o

cis

cis

Jawab

)135105(213564

105128

45.34

15.72

454

1523

7

3

7

oo

o

o

o

o

o

o

ciscis

cis

cis

cis

cis

cis


c.

10

31

31

i

i

Jawab

o

o

o

o

o

o

o

ciscis

cis

ciscis

cis

i

i1200

)600(

600

)60.10(2

60.10cos2

)60(2

602

31

3110

101010

2

2

2

1120 icis o

6. 660 50sin50cos2502 oo icis

33232

32/12/164

300sin300cos64

50.6sin50.6cos26

i

i

i

i

oo

oo

7.

54

1

1

3

3

i

i

i

i

Jawab

5454

315sin315(cos2

45sin45(cos2

30sin30(cos2

330sin330(cos2

1

1

3

3

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

i

i

i

i

5

315.5sin315.5(cos2

45.5sin45.5(cos24

30.4sin30.4(cos16

330.4sin330.4(cos16

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

1575sin1575(cos24

225sin225(cos24

120sin120(cos16

1320sin1320(cos16

22/122/1(24

22/1(22/1(24

32/12/1(16

32/1(2/1(16 i

i

i


22/122/1(

22/1(22/1(

32/12/1(

32/1(2/1(

i

i

i

i

22/122/1

22/122/1

22/122/1(

22/1(22/1(

32/12/1

32/12/1

32/12/1(

32/1(2/1(

i

i

i

i

i

i

i

i

2/12/1

2/12/12/12/1

4/13/1

34/134/14/1( iiii

2

3

2

13

2

1

2

1

iii

8. Buktikan

a. 2121 argarg)arg( zzzz

Bukti

Misal 1111 sincos irz dan 2222 sincos irz

)sin(cos)sin(cos 222211121 irrirzz 21

2

21212121 sinsincossinsincoscoscos iiirr irr )sincoscos(sin)sinsincos(cos )1221212121

irr )sin()cos( 212121

Sehingga

212121 argarg)arg( zzzz

b. 2121 argarg)/arg( zzzz

Bukti

2

1

z

z

)sin(cos

)sin(cos

222

211

ir

ir

)sin(cos

)sin(cos.

)sin(cos

)sin(cos

222

222

222

111

ir

ir

ir

ir

)sincossincossin(cos

)sinsincossincossincos(cos

2

22

2222

22

2

21

2

21122121

iiir

iiirr


)sin)1((cos

)sinsin)1(cossincossincos(cos

2

2

2

22

2

2121122121

r

iirr

)sin(cos

))cossincos(sin)sinsincos(cos

2

2

2

22

2

2112212121

r

irr

2

2

212121 sin()cos(

r

rr

)sin()cos( 2121

2

1 r

r

Sehingga

2121

2

1 argargarg zzz

z

Soal-soal

1. Hitunglah

a. 4/34/32 ciscis

b.

4/3

4

33/

2

1 ciscis

c. 4/73224/2 ciscis

d.

63

32

ciscis

e.

32

23

ciscis

2. Tentukan hasil perkalian berikut dan nyatakan dalam koordinat

tegak lurus.

a. oooo ii 70sin70cos420sin20cos2

b. oooo ii 90sin90cos530sin30cos2

c. oooo ii 35sin35cos835sin35cos4

d. oooo ii 172sin172cos2118sin118cos3

e. oooo ii 60sin60cos2120sin120cos4


f. oooo ii 200sin200cos6135sin135cos8

g. 20 30sin30cos2 oi

h. 30 60sin60cos5 oi

i. 3

6

72

cis

j. 4

6

112

cis

3. Buktikan bahwa

a. 3sin4sin33sin

b. cos3cos43cos 3

4. Buktikan bahwa

a. 4cos63cos22cos8

sin

4sin 3

b. 1sin8sin84cos 24

5. Buktikan teorema de Moivre untuk bilangan bulat negatif dan

bilangan rasional

6. Buktikan bentuk-bentuk berikut ini:

a. x

xx2sec

1)sin1)(sin1(

b. xx 2tan)1)(sec1(sec

c. xxxx costansinsec

d. xx

x 2

2

2

sinsec

1sec

e. 1sec

1sin

2

2 x

x

f. yyy cos3cos43cos 3

g. sssss cossin4cossin84sin 3

h. xxx 2sin)cos1)(cos1(

i. 1sec

cos

cos

sin

p

p

p

p


j. 1)cot1)(cos1( 22 xx

k. tttt 2cos)sin(cscsin

l. ty

y22

2

sec

1

csc

csc1

3.2 Akar-akar Bilangan Komplek

Suatu bilangan w disebut akar ke-n bilangan komplek z jika

zwn atau dapat kita tulis dalam bentuk nwz /1 . Berdasarkan

teorema de Moivre kita dapat menunjukkan bahwa jika n adalah

bilangan bulat positip,

nn yixz/1/1

nir /1)}sin(cos{

)}sin(cos{ /1

ni

nr n

)6(......)1...(2,1,0,2

sin2

cos/1

nk

n

ki

n

kr n

Berdasarkan bentuk di atas, untuk n nilai yang berbeda untuk nz /1

, yaitu n akar yang berbeda dari z . asalkan .0z

Contoh soal

1. a) Temukan semua nilai ,z sehingga 325 z ,

b) Tempatkan atau masukkan nilai ini dalam bidang kompleks.

Jawab

a) 5/15/15 0323232 izz

Gambar 3.1

X

Y

)0,32(


Dalam bentuk polar

,...3,2,1,0,2sin()2cos(32)032( kkiki

Sehingga dalam bentuk polar

5/15/1sincos32032 ii

Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh

4,3,2,1,0,5

2sin

5

2cos32sincos32 5/15/1

k

ki

ki

Untuk

5sin

5cos2

5sin

5cos320

5/1

1

iizk

Untuk

5

3sin

5

3cos2

5

3sin

5

3cos321

5/1

2

iizk

Untuk 2)01(2sincos322

5/1

3 izk

Untuk

5

7sin

5

7cos2

5

7sin

5

7cos323

5/1

4

iizk

Untuk

5

9sin

5

9cos2

5

9sin

5

9cos324

5/1

5

iizk

Dengan mempertimbangkan 𝑘 = 5, 6 serta nilai-nilai negatif, -

1, -2, ..., pengulangan dari lima nilai di atas 𝑧 diperoleh. Oleh

karena itu ini adalah satu-satunya solusi atau akar dari

persamaan yang diberikan. lima akar ini disebut " lima akar dari

– 32 ” dan secara kolektif ditunjukkan dengan (−32)1/5. Pada

umumnya, 𝑎1/𝑛 mewakili Akar ke-" 𝑛 " dari dan 𝑎. Dan

terdapat 𝑛 akar.


b)

Gambar 3.2

2. Tentukan 3/11 i

Jawab

Gambar 3.3

Dalam bentuk polar

kiki 24/3sin()24/3cos(21

X

Y

i1

X

Y

6/2 cis


Sehingga

3/13/14/3sin4/3cos211 i

3/1

24/3sin()24/3cos(2 kik

2,1,0,

3

24/2sin

3

24/3cos2

3/1

kk

ik

42

3

4/3sin

3

4/3cos20 6/1

3/1

1

cisizk

12

112

3

24/3sin

3

24/3cos21 6/1

3/1

1 cisizk

4

192

3

44/3sin

3

44/3cos22 6/1

3/1

1

cisizk

Semua akar–akar ini dapat terlihat pada gambar berikut ini

y

11π/12 Z1

Z2 π/4

19π/12

Z3

Gambar 3.4


3. 4/1

232 i

Jawab

Gambar 3.5

Dalam bentuk polar

kiki 26/7sin()26/7cos(4232 Sehingga

3/14/1

6/7sin6/7cos4232 ii

4/126/7sin()26/7cos(4 kik

3,2,1,0,

4

26/7sin

4

26/7cos4

3/1k

ki

k

24

74

24

7sin

24

7cos40 4/14/1

1

cisizk

24

194

24

19sin

24

19cos41 4/14/1

2

cisizk

24

454

24

45sin

24

45cos42 4/14/1

3

cisizk

24

714

24

71sin

24

71cos43 4/14/1

4

cisizk

X

Y

i232


Pernyataan di atas dinyatakan dalam gambar di bawah ini :

Gambar 3.6

4. Mencari akar–akar kuadrat dari – 15 − 8i

Jawab

Gambar 3.7

Dalam bentuk polar

Cara 1

– 15 − 8i = 17 {cos ( θ + 2kπ ) + i sin ( θ + 2kπ )}

Dimana, cos θ = −15

17 dan sin θ = −

8

17

Maka akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i adalah :

X

Y

i1815

X

Y

1z2z

3z 4z

24/7

24/19

24/31

24/43


√17 ( cos θ

2+ i sin

θ

2 )

( 1 )

√17 { cos ( θ

2+ π ) + i sin (

θ

2+ π ) } = −√17 ( cos

θ

2 + i sin

θ

2 )( 2)

Jadi,

Cos θ

2= ± √

( 1 + cos θ )

2 =

√( 1 −1517)

2= ±

1

√17

Sin θ

2= ± √

( 1 − cos θ )

2 =

√( 1 +1517)

2= ±

4

√17

Karena θ adalah sudut yang berada di kuadran ketiga, maka θ

2

adalah sudut yang berada di kuadran kedua. Sehingga Cos θ

2 =

−1

√17 dan Sin

θ

2=

4

√17

Dan dari persamaan ( 1 ) dan ( 2 ) di atas, diketahui bahwa akar–

akar kuadratnya adalah – 1 + 4i dan 1 − 4i

Untuk membuktikannya, coba cek bahwa :

( – 1 + 4i )2 = ( 1 − 4i )2 = −15 − 8i

Cara 2

Misalkan kita ambil p + iq, dimana p dan r adalah anggota

bilangan Real yang mewakili akar – akar kuadrat dari – 15 − 8i

Kemudian dikuadratkan menjadi (p + iq)2 = p2 − q2 + 2pqi =

−15 − 8i

Atau p2 − q2 = −15 ( 3 )

Dan pq = −4 ( 4 )

Substitusikan (gantilah) q = −4

p dari persamaan (4) ke persamaan

(3)

Menjadi p2 −16

p2 = −15 atau p4 + 15p2 − 16 = 0

Sebagai contohnya, (p2 + 16) (p2 − 1) = 0 atau p2 = −16 , p2 = 1


5. 2/1

232 i Jawab

Gambar 3.8

Dalam bentuk polar

kiki 26/7sin()26/7cos(4232 Sehingga

2

26/7sin

2

26/7cos4232 2/1

2/1 ki

ki

2

6/7sin

2

6/7cos40 2/1

ik

2

26/7sin

2

26/7cos41 2/1

ik

X

Y

i232


1. 5/144 i

Gambar 3.9

4

3sin

4

3cos2444

ii

5/1

5/1

4

3sin

4

3cos2444

ii

4,3,2,1,0,5

24/3sin

5

24/3cos)24( 5/1

k

ki

k

Untuk

20

3sin

20

3cos)2(40 10/15/1

1

izk

Untuk

5

24/3sin

5

24/3cos)2(41 10/15/1

2

izk

Untuk

5

44/3sin

5

44/3cos)2(42 10/15/1

3

izk

Untuk

5

64/3sin

5

64/3cos)2(43 10/15/1

4

izk

X

Y

i44

4

3


Untuk

5

84/3sin

5

84/3cos)2(44 10/15/1

4

izk

Soal-soal

Hitunglah

1. 66/1

3131 ii

Dibaca : Akar pangkat 6 dari 31 i

2. 4/1i

3. 6/1314 i

4. `2235/1

i

5. 8/124 i

6. 2/144 i

7. 2/1125 i

8. 2/1

548 i

9. 3/1

222 i

10. 6/121 i

11. 7/1

31 i

12. 8/144 i

13. 9/144 i

14. 3/1211 i

15. 3/1

2 i


3.3 Rumus Euler

Berdasarkan asumsi perluasan deret berhingga

....!3!2

132

xx

xe x

dari kalulus elementer ketika ,ix

kita dapat mengambil hasil:

)!1(

)(.....

!5

)(

!4

)(

!3

)(

!2

)()(1

15432

n

iiiiiie

ni

)!1(...

!5!3)!2(...

!4!21

115533224422

n

iiii

n

iii nnnn

)!1(...

!5!3)!2(...

!4!21

153242

niiii

n

nn

)!1(...

!5!3)!2(...

!4!21

153242

ni

n

nn

Dengan menggunakan definisi jumlah deret tak hingga diperoleh:

)7.......(71828,2sincos eie i

Yang mana (7) kita sebut sebagai rumus Euler’s yang sesuai,

bagaimanapun secara sederhana kita mendefinisikan .ie

umumnya kita definisikan

)8(`.........sincos yixeeeee xiyxiyxz

Misalnya untuk contoh dimana 0y menghasilakan xe

Perlu dicatat bahwa bentuk dari (7) pada dasarnya merupakan hasil

dari teorema de Moivre untuk inni ee


Contoh soal

1. Tentukan rumus Euler untuk

31 i

Gambar 3.10

31 iz maka 231)3()1( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2

1cos

Diperoleh

3/602

1

oarc

Sehingga 3/23

23

sin3

arccos231 iecisiiz

Sehingga

3/231 ieiz

i232

31 i

X

Y


Gambar 3.11

iz 232 maka 416)2()32( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 3 maka o2104

2cos

Sehingga

iooo eciscisiiz )6/7(26

722102210sin210cos4232

)2/1(tan 1

52

iei

Gambar 3.12

iz 2 maka 5)1()2( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 1 maka 2

1tan

Y

i2

X

Y

i232

X


Diperoleh

Sehingga

)2/1(tan)2/1arctan( 1

55)2/1(sin(arctan)2/1(cos(arctan52

ii eeiiz

26 i

Gambar 3.13

iz 26 maka 228)2()6( 22 rz

Karena titiknya terletak pada kuadran 2 maka

6

5150

2

2sin o

Sehingga

iooo eciscisiiz )6/5(26

522102210sin210cos4232

2. Nyatakan hasil akhirnya dengan rumus Euler

54

1

1

3

3

i

i

i

i

Jawab

5454

315sin315(cos2

45sin45(cos2

30sin30(cos2

330sin330(cos2

1

1

3

3

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

i

i

i

i

X

Y

26 i


5

315.5sin315.5(cos2

45.5sin45.5(cos24

30.4sin30.4(cos16

330.4sin330.4(cos16

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

oo

oo

oo

oo

i

i

i

i

1575sin1575(cos24

225sin225(cos24

120sin120(cos16

1320sin1320(cos16

22/122/1(24

22/1(22/1(24

32/12/1(16

32/1(2/1(16 i

i

i

22/122/1(

22/1(22/1(

32/12/1(

32/1(2/1(

i

i

i

i

22/122/1

22/122/1

22/122/1(

22/1(22/1(

32/12/1

32/12/1

32/12/1(

32/1(2/1(

i

i

i

i

i

i

i

i

2/12/1

2/12/12/12/1

4/13/1

34/134/14/1( iiii

2

3

2

13

2

1

2

1

iii

ii

i

i

i

i

2

1

4

3

2

3

2

1

1

1

3

354

1

2

1

2

322

r

Karena titik di kuadaran ke-3 maka

4

1arctan

2

2/1arctan,

4

1

2

2/1tan

Sehingga

)4/1(arctan('4/1(sin(arctan4/1cos(arctan12

1

4

3 ieii


3. Nyatakan hasil akhir soal di bawah ini dengan rumus Euler

a.

4/1

32

cis

Jawab

4/14/14/1

23

sin23

cos23

sin3

cos23

2

iicis

Dengan menggunakan teorema de Moivre diperoleh

,2,1,0,4

23/sin

4

23/cos2

3sin

3cos2 4/1

4/1

k

ki

ki

ieik 12/4/14/1 212

sin12

cos20

ieik 12/74/14/1 212

7sin

12

7cos21

ieik 12/134/14/1 212

13sin

12

13cos22

ieik 12/194/14/1 212

19sin

12

19cos23

b.

43

22

ciscis

Jawab

4sin

4cos3

2sin

2cos2

43

22

iiciscis

ie

cis

i

i

4/36

4

36

4

3sin

4

3cos6

42sin

42cos3.2


c. )7)(23( ii

Jawab

)1719(

)21721(

)214321()7)(23( 2

i

i

iiiii

Dalam bentuk polar

19

17tansin

19

17arctancos265)1719( acrii

Bentuk Euler

i

eacri

19

17arctan

26519

17tansin

19

17arctancos265

Soal-soal

Tentukan rumus Euler yang bersesuaian dengan hasil akhir dari

operasi di bawah ini!

1. )7)(23( ii

2. )23()7( ii

3. )72()68( ii

4. )57()21()35( iii

5. )57()21()35( iii

6. )24)(32( ii

7. )32)(24( ii

8. )45)(23()2( iii

9. )45()23)(2( iii

10. )43)(57()21( iii

11. i

i

1

23

12. ii

i

34

20

43

55


13. 12

3 1910

i

ii

14.

2

3

3

2

1

i

15.

32

1

12

1

13

i

i

i

i

16. 15105

1694

2 iii

iii

3.4 Persamaan-persamaan Polinomial

Sering dalam hal-hal praktis kita menemukan selesaian

persamaan pangkat banyak (polinomial) dengan bentuk umum :

)9.........(0... 1

2

2

1

10

nn

nnn azazazaza

Dimana naaa ....,,0 10

adalah bilangan komplek dan n adalah

bilangan bulat positip yang disebut pangkat dari persamaan.

Selesesaian dari persamaan polinomial juga disebut pembuat nol

(zeros) ruas kiri persamaan (9) akar-akar persamaan.

Teorema ini sangat penting sehingga disebut teorema

mendasar dari aljabar yang menyatakan bahwa setiap persamaan

polinomial dari bentuk (9) mempunyai paling sedikit satu akar

bilangan. Berdasarkan fakta ini kita dapat polinomial mempunyai n

akar bilangan komplek yang kadang-kadang beberapa ada yang

sama dan bahkan mungkin semua akar-akarnya sama.

Jika nzzzz ,...,,, 321

dengan n akar-akar persamaan

polinomial maka (9) dapat di tulis sebagai:

)10(..........0)).....()()(( 321 no zzzzzzzza

yang mana di sebut bentuk pemfaktoran dari persamaan

polynomial, sebaliknya jika kita dapat menulis (9) pada bentuk (10)

kita dapat menentukan akar-akarnya dengan mudah.


Contoh soal

1. Selesaikanlah persamaan kuadrat berikut

0,02 acbzaz

Dengan menukar c dan membaginya dengan 0a diperoleh

bentuk persamaan

a

c

a

bzz 2

Jika masing-masing ruas ditambahkan dengan

2

2

a

b

Diperoleh bentuk kuadrat sempurna 22

2

22

a

b

a

c

a

b

a

bzz

22

2

22

a

b

a

c

a

b

a

bzz

a

acb

a

bz

2

4

2

22

a

acb

a

bz

2

4

2

2

a

acbbz

a

acbbz

a

acb

a

bz

2

4,

2

4

2

4

2

2

2

2

.1

2

Untuk selanjutnya a

acbbz

2

42

2.1

Disebut akar-akar 0,02 acbzaz

2. Tentukan selesaian persamaan polinomial berikut:

a. 05)32(2 iziz


Jawab

Dengan menggunakan rumus pada soal nomor 1 diperoleh

2

815)32(

2

4209124()32(

2

)5.(1.4)32()32(

2

4

2

2

2

2.1

ii

iiii

iii

a

acbbz

Sehingga

2

815)23(1

iiz

dan 2

815)23(2

iiz

b. 0)3()2(2 iziz

Jawab

Dengan faktorisasi diperoleh

0)21(1()3()2(2 iziziziz Sehingga

iziz 21,1 21

c. Jabarkanlah 𝑧2(1 − 𝑧2) = 16 Jawab

Dengan menggunakan metode 1. Persamaan pada soal diatas

jika dijabarkan akan menghasilkan persamaan berikut. 𝑧4 −

𝑧2 + 16 = 0, bisa juga 𝑧4 + 8𝑧2 + 16 − 9𝑧2 = 0, supaya

menghasilkan persamaan

(𝑧2 + 4)2 − 9𝑧2 = 0, 𝑎𝑡𝑎𝑢 (𝑧2 + 4 + 3𝑧)(𝑧2 + 4 − 3𝑧) = 0

Maka akan menghasilkan jawaban dari

𝑧2 + 4 + 3𝑧 = 0, 𝑑𝑎𝑛 𝑧2 + 4 − 3𝑧 = 0, yaitu −3

2±

√7

2𝑖 𝑑𝑎𝑛

3

2±

√7

2𝑖.

Dengan menggunakan metode 2. Kita bisa misalkan 𝑤 = 𝑧2,

maka persamaan diatas bisa kita jabarkan menjadi 𝑧4 − 𝑧2 +


16 = 0 dan ganti z menjadi w maka 𝑤2 − 𝑤 + 16 = 0 atau 𝑤 =1

2± √72

3𝑖. untuk mendapatkan jawabannya bisa digunakan cara

pada soal 30.

d. 0124 zz

Jawab

Atau

32

1

4

3

2

1

4

3

2

1

04

3

2

1

01

2

2

2

2

2

24

iz

z

z

zz

Sehingga diperoleh

32

1

2

12 iz

dan 3

2

1

2

12 iz

32

1

2

1

32

1

2

1

2

2

iz

iz

Atau

32

1

2

12.1 iz

3

2

1

2

1,3

2

1

2

121 iziz

2/1

2/1

1

3

2sin

3

2cos1

32

1

2

13

2

1

2

1

i

iiz


1,0,3

23/2sin

3

23/2cos1 2/1

k

ki

k

312

13

2

1

2

11

3

3/2sin

2

3/2cos10 2/1 iiizk

312

1

3

7

3

23/2sin

2

23/2cos11 2/1 icisizk

2/1

2 32

1

2

13

2

1

2

1

iz

1,0,3

23/2sin

2

23/2cos

3

2sin

3

2cos1

2/1

2

kk

ik

iz

3

7

3

23/2sin

2

23/2cos1

312

13

2

1

2

110

cisizk

iizk

Soal-soal

Selesaikanlah

1. 0462 345 zzzz

2. 010332256 234 zzzz

3. 01025 2 zz

4. 0)3()2(2 iziz

5. Carilah dua bilangan komplek yang jumlahnya 4 dan hasil

kalinya 8.

6. 0814 z

7. 316 iz

8. 023 zzz

9. 0)8126( 234 zzzz

10. 0)( 24 zz

11. 0)412136( 234 zzzz


12. 0)16249( 246 zzz

13. 0)( 68 zz

14. 0)64( 23 z

15. 01202742258515 2345 zzzzz

16. 04423 zzz

17. 0)( 4 zz

18. 0)52( 52 zz

19. 0)365( 24 zz

20. 04875 2345 zzzzz

21. 0133 23 zzz

22. 0)3)(44( 2 zzz

3.5 Akar-akar nke dari Satuan

Selesaian dari persamaan 1nz dimana n adalah bilangan

bulat positip disebut akar-akar nke dari satuan dan di berikan

oleh :

)11(....1,.....,3,2,1,02sin2cos

2

nken

ki

n

kz n

k

Misal jika ,2sin2cos /2 nike

n

ki

n

k n akar-akar dari

persamaannya adalah: 1, .,.......,, 12 n yang secara geometri

menunjukkan bahwa n vertical dari sebuah polygon (segi banyak)

beraturan teratur dimana di samping n di tuliskan pada sebuah

lingkaran dari jarak satu dengan pusat yang sebenarnya. Lingkaran

ini mempunyai persamaan 1z dan sering di sebut lingkaran

satuan.


Contoh soal

1. Carilah semua akar-akan ke-4 dari satuan

Jawab

4/14 11 zz

4,3,2,1,4

2sin

4

2cos

4,3,2,1,0,4

20sin

4

20cos1

0sin0cos101

4/1

4/14/1

kk

ik

kk

ik

iiz

Untuk 10sin0cos0 1 izk

Untuk iizk 4

sin4

cos1 2

Untuk 1sincos2 3 izk

Untuk iizk 2

3sin

2

3cos3 4

2. Jika n = 2, 3, 4... Tunjukkan bahwa

a) n

2cos

n

4cos + 1

)1(2cos...

6cos

n

n

n

b) n

2sin

n

4sin 0

)1(2sin...

6sin

n

n

n

misalkan persamaan ,01nx mempunyai solusi terhadap

nilai dari akar-akar kesatuan. 1, n

ik

e

2

, 5

4 ik

e

, 5

6 ik

e

,

0...

)1(2

5

8

n

inik

ee

Soal-soal

1. Tentukan akar-akar ke-4 dari satuan

2. Tentukan akar-akar ke7 dari satuan

3. Tentukan akar-akar ke-11 dari satuan


4. Carilah semua akar dari 5511 zz

3.6 Interpretasi Vektor Bilangan Komplek

Bentuk bilangan komplek yixz dapat dipandang

sebagai vektor OP yang mempunyai titik awal di titik asal O (origin)

dan titik akhirnya pada koordinat ),( yxP seperti pada gambar 1.25

berikut ini.

Gambar 3,14

Kadang-kadang kita menyebut iyxOP sebagai vektor

positip dari .P Dua vektor mempunyai panjang (magnitudo) dan

arah yang sama, tetapi titik-titik awal berbeda sedemikian sehingga

OP dan AB pada gambar 1.25 dipandang sama. Dalam hal ini

dapat ditulis iyxABOP

Jumlah dari bilangan komplek berkorespondensi dengan

hukum jajarangenjang dari jumlah untuk vektor. (lihat gambar 1-26).

Dengan demikian jumlah bilangan komplek 1z dan

2z melengkapi

jajarangenjang OABC diman OA dan OC berkorespondensi

dengan 1z dan .2z Diagonal OB pada jajarangenjang

berkorespondensi dengan .21 zz

X

Y

O

),( yxPA

B


Gambar 3.15

Contoh soal

1. Misalnya vektor posisi titik 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2) berturut-turut

dinyatakan oleh 𝑧1 dan 𝑧2.

(a) Nyatakan vektor AB sebagai suatu bilangan kompleks.

(b) Tentukan jarak antara A dan B.

Jawab

Gambar 3.16

X

Y

1z

2z

21 zz

),( 11 yxA

),( 22 yxB

X

Y

O

1z

1z

2z

2z

21 zz


b) Dari gambar 1.27 𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 atau

AB = OB –OA = 𝑧1 − 𝑧2

=(𝑥2 + 𝑖𝑦2) − (𝑥1 + 𝑖𝑦1)

=(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 − 𝑦1)

Jarak antara titik A dan B diberikan oleh

|AB| = |(𝑥2 − 𝑥1) + 𝑖(𝑦2 − 𝑦1)| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)2

2. Misalkan 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 menyatakan dua vektor

tak segaris atau tak sejajar. Jika a dan b merupakan bilangan real

(skalar) sehingga 𝑎𝑧1 + 𝑏𝑧2 = 0, buktikan bahwa 𝑎 = 0 dan 𝑏 = 0.

Syarat yang diberikan 𝑎𝑧1 + 𝑏𝑧2 = 0 setara dengan 𝑎(𝑥1 + 𝑖𝑦1) +

𝑏(𝑥2 + 𝑖𝑦2) = 0, atau 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 + 𝑖(𝑎𝑦1 + 𝑏𝑦2) = 0. Maka 𝑎𝑥1 +

𝑏𝑥2 = 0 dan 𝑎𝑦1 + 𝑏𝑦2 = 0. Persamaan-persamaan tersebut

mempunyai jawaban bersama 𝑎 = 0, 𝑏 = 0 jika 𝑦1/𝑥1 ≠ 𝑦2/𝑥2,

yaitu jika vektor-vektor tersebut bukan vektor segaris atau sejajar.

3. Buktikan bahwa diagonal suatu jajar genjang saling membagi dua

antara yang satu dengan lainnya.

Gambar 3.17

Misal OABC (gambar 3.17) adalah jajaran genjang yang diberikan

dengan diagonal-diagonalnya berpotongan di P.

P

A B

C

1z

2z


Karena 𝑧1 + 𝐴𝐶 = 𝑧2, 𝐴𝐶 = 𝑧2 − 𝑧1. Maka 𝐴𝑃 = 𝑚(𝑧2 − 𝑧1) dimana

0 ≦ 𝑚 ≦ 1.

Karena 𝑂𝐵 = 𝑧1 + 𝑧2, maka 𝑂𝑃 = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) di mana 0 ≦ 𝑛 ≦ 1.

Tetapi 𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃, yaitu 𝑧1 + 𝑚(𝑧2 − 𝑧1) = 𝑛(𝑧1 + 𝑧2) atau

(1 − 𝑚 − 𝑛)𝑧1 + (𝑚 − 𝑛)𝑧2 = 0). Oleh karena itu menurut soal no

9, 1 − 𝑚 − 𝑛 = 0, 𝑚 − 𝑛 = 0 atau 𝑚 =1

2, 𝑛 =

1

2 dan ini

mengakibatkan P merupakan titik tengan dari kedua diagonal

tersebut.

4. Tentukan suatu persamaan untuk garis lurus yang pelalui dua

titik yang diberikan, yaitu 𝐴(𝑥1, 𝑦1) dan 𝐵(𝑥2, 𝑦2).

Misalkan, 𝑧1 = 𝑥1 + 𝑖𝑦1 dan 𝑧2 = 𝑥2 + 𝑖𝑦2 berturut-turut adalah

vektor posisi dari A dan B.

Misalkan 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 adalah vektor posisi dari suatu titik P. pada

garis yang menghubungakan A dan B.

Gambar 3.18

Dari gambar 3.18

𝑂𝐴 + 𝐴𝑃 = 𝑂𝑃 atau 𝑧1 + 𝐴𝑃 = 𝑧, yaitu 𝐴𝑃 = 𝑧 − 𝑧1

𝑂𝐴 + 𝐴𝐵 = 𝑂𝐵 atau 𝑧1 + 𝐴𝐵 = 𝑧2, yaitu 𝐴𝐵 = 𝑧2 − 𝑧1

Karena 𝐴𝑃 dan 𝐴𝐵 segaris, 𝐴𝑃 = 𝑡 𝐴𝐵 atau 𝑧 − 𝑧1 = 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) di

mana t adalah riil, dan persamaan yang diinginkan adalah:

𝑧 = 𝑧1 + 𝑡(𝑧2 − 𝑧1) atau 𝑧 = (1 − 𝑡)𝑧1 + 𝑡𝑧2

A

P

B1z

2z

z


Soal-soal

1. Jika iziz 21,34 21

Tentukan hasil (secara analitis dan grafis) dari

a. 21 zz

b. 21 zz

c. 21 zz

d. 232 21 zz

2. Vektor-vektor posisi dari titik-titik pada ABC

.61,24,21 21 iCizBizA Buktikan bahwa

ABC adalah sama sisi dan tentukan panjang masing segi-

masing sisinya.

3. Misal 4321 ,,, zzzz adalah vektor-vektor posisi dari segiempat

ABCD . Buktikan bahwa segiempat ABCD jika dan hanya jika

04321 zzzz

4. Pesawat terbang WISATA terbang 150 km menuju arah tenggara

(southeast), 100 km kearah barat (west) 225 km dalam arah o30

disebelah utara dari timur, dan 323 km dalam arah timur laut

(northeast). Tentukan berapa jauh jarak yang ditempuh oleh

pesawat jika dihitung dari titik awal pemberangakatan

penerbangan.

3.7 Representasi Spherical Bilangan Komplek, Proyeksi

Stereografis

Misalnya P (pada gambar 1.6) adalah bidang komplek dan

pandang suatu unit sphere (jari-jari satu) tangent P di .0z

Untuk diameter NS tegak lurus dengan P dan titik N dan S kita sebut

kutub-kutub utara dan bagian selatan dari . Beberapa

korenspondensi titik A di P kita dapat membuat garis NA


berpotongan dengan pada titik A’. Dengan demikian setiap titik

di bidang bilangan komplek berkorespondensi satu-satu dan hanya

satu titik dari sphere , dan kita dapat menggambarkan sebarang

bilangan komplek oleh satu titik pada sphere. Untuk melengkapi

titik N hal itu berkorespondensi dengan “ jumlah pada titik” dari

bidang tersebut. Dari himpunan semua titik-titik termasuk bidang

komplek untuk jumlah pada titik disebut semua bidang kompleks,

semua bidang z, atau bidang kompleks secara luas.

Methode yang telah dijelaskan di atas untuk memetakan

bidang pada sphere disebut proyeksi stereografis. Sphphich. Sphere

tersebut kadang-kadang disebut Riemann sphere.

Gambar 3.19

3.8 Hasil Kali Titik (dot) dan Silang (cross)

Misal 111 iyxz dan 222 iyxz adalah dua bilangan

komplek dan dinyatakan sebagai vektor-vektor. Hasil kali titik

antara dua bilangan komplek 1z dan .2z merupakan sebuah skalar.

Hasil kali titik antara dua bilangan kompel z1 dan z2

didefenisikan dengan bentuk :

N

S

A

P


)12(.....2

1Recos. 21212121212121 zzzzzzyyxxzzzz

Dimana adalah sudut diantara z1 dan z2 yang mana terletak antara

0 dan .

Hasil kali silang dari z1 dan z2 didefenisikan sebagai

)14(.

)13(..........2

1Imsin

21212121

21212121212121

iezzzzizzzz

zzzzi

zzxyyxzzzz

Jika 1z dan

2z adalah bukan nol, maka

1. Syarat perlu dan cukup bahwa 1z dan

2z tegak lurus adalah

bahwa 0. 21 zz

2. Syarat perlu dan cukup bahwa 1z dan

2z sejajar adalah bahwa

021 zz

3. Magnitudo proyeksi dari 1z pada .2z adalah ./. 221 zzz

4. Luas jajarangenjang yang mempunyai sisi z1 dan z2 adalah

.21 zz

Contoh soal

1. Jika iziz 3,52 21, tentukan:

a. 21.zz

156)1)(5()3)(2(cos. 21212121 yyxxzzzz

b. 21 zz

17152)3)(5()1)(2(sin 21212121 xyyxzzzz

c. 12.zz

156)5)(1()2)(3(cos. 12121212 yyxxzzzz

d. 12 zz

17)2(15)2)(1()5)(3(sin 12121212 xyyxzzzz


e. 21.zz

f. 12.zz

g. 21 zz

h. 12 zz

Soal e,f,g dan h ditinggalkan penulis untuk latihan bagi

pembaca.

2. Buktikan bahwa:

a. 1221 .. zzzz

Bukti

222111 , iyxziyxz Menurut definisi hasil kali titik diperoleh

1212121221212121 .coscos. zzzzyyxxyyxxzzzz

b. 1221 zzzz

Bukti

222111 , iyxziyxz Menurut definisi hasil kali silang diperoleh

1212211221212121 .cossin. zzzzyxyxxyyxzzzz


3. Ditentukan iziz 34,43 21 tentukan besar sudut yang

dibentuk oleh 1z dan .2z

Gambar 3.20

Menurut definisi hasil kali titik, diperoleh

cos. 2121 zzzz

21

21.coszz

zz

25

24

5.5

24

3443

)34).(43(cos

ii

ii

25

24arccos

4. Buktikan bahwa jajaran genjang ABCD yang mempunyai

panjang sisi 1z dan

2z adalah 21 zz

X

Yi34

i43


Gambar 3.21

Luas jajaran genjang

2121122 sinsin zzzzzztzABCD

3.9 Koordinat-koordinat Konjugat Bilangan Komplek

Suatu titik di bidang kompleks, dapat diletakkan pada

koordinat tegak lurus (𝑥, 𝑦) atau koordinat kutub (𝑟, 𝜃). Namun

banyak juga kemungkinan yang lain, misalnya dalam bentuk ).,( zz

Karena yixz dan yixz maka akan diperoleh

22

__________

zzxxzz

yixz

yixz

dan

i

zzyyizz

yixz

yixz

22

__________

1z

2z

sin1zt


Bentuk 2

zzx

dan

i

zzy

2

dapat disubstitusikan kedalam

persamaan yanga diketahui. Koordinat (𝑧, 𝑧̅) yang menentukan letak

suatu titik dinamakan koordinat-koordinat bilangan komplek dalam

konjugate atau disingkat dengan koordinat konjugate dari sustu titik.

Contoh soal

1. Nyatakan persamaan berikut dalam bentuk koordinat konjugate

a. 52 yx

Misal yixz sehingga yixz

Dengan menggunakan metode substitusi diperoleh

zzx 2 dan zziy 2

Sehingga diperoleh 2

zzx

dan

i

zzy

2

Substitusikan x dan y sehingga

52 yx

izziziz

izizi

izzzzi

i

zz

i

zzi

i

zzzz

1022

10)12()12(

10)()(2

522

2

522

2

b. 3622 yx

3622

22

i

zzzz

362

1

2

1 zzzz

36 zz


c. 9)3( 22 yx

92

92

62

22

i

zzzzzz

94

29

26

4

22222

zzzzzzzzzz

362361222222 zzzzzzzzzz

02122 zzzzzz

01212 zz

d. 25164 22 yx

252

162

4

22

i

zzzz

252422222 zzzzzzzz

2548422222 zzzzzzzz

25633222 zzzz

025633222 zzzz

Soal-soal

1. Deskripsikan setiap locus berikut ini yang diyatakan dalam

koordinat konjugate menjadi bentuk bilangan komplek.

2. Ubahlah setiap persamaan berikut dalam koordinat konjugate

3.10 Himpunan-himpunan Titik

Sebarang kumpulan titik-titik di bidang kompleks

dinamakan suatu himpunan titik berdimensi dua, dan setiap titiknya

dinamakan suatu anggota atau unsur himpunan tersebut.

Definisi dasar berikut ini diberikan sebagai bahan rujukan.


1. Lingkungan (neighbourhoods)

Suatu lingkungan delta (atau 𝛿) dari titik 𝑍𝑜 adalah Himpunan

semua titik 𝑧 sehingga |𝑧 − 𝑍𝑜| < 𝛿 dimana 𝛿 adalah suatu

bilangan positif yang diberikan. Suatu lingkungan – 𝛿 yang

dihilangkan dari 𝑍𝑜 adalah Suatu lingkungan dari 𝑍𝑜 yang titik

𝑍𝑜 nya dibuang, yaitu 0 < |𝑧 − 𝑍𝑜| < 𝛿 .

2. Titik lserimit (limit points)

Suatu titik 𝑍𝑜 disebut titik limit, titik gabung, atau titik kumpul dari

himpunan titik 𝑆. Jika setiap lingkungan – 𝛿 yang dihilangkan dari

𝑍𝑜 memuat titik di himpunan 𝑆, karena 𝛿 adalah Suatu bilangan

positif sebarang, maka himpunan 𝑆 harus memiliki banyak titik

yang tak berhingga. Perhatikan bahwa 𝑍𝑜 mungkin terletak di

dalam atau di luar himpunan 𝑆.

3. Himpunan-himpunan tertutup (closed sets)

Sebuah himpunan 𝑆 disebut tertutup jika setiap titik limit dari 𝑆

termasuk di dalam 𝑆, yaiut 𝑆 memuat semua titik limitnya.

Sebagai contoh, himpunan semua titik 𝑧 sehingga |𝑧| ≤ 1 adalah

suatu himpunan tertutup.

4. Himpunan-himpunan terbatas (bounded sets)

Sebuah himpunan 𝑆 disebut terbatas jika kita dapat menemukan

suatu konstata 𝑀 sehingga |𝑧| ≤ 𝑀 untuk setiap titik 𝑧 dan 𝑆.

Suatu himpunan tak terbatas adalah himpunan yang tidak

memiliki batas. Suatu himpunan yang terbatas dan tetutup

dinamakan Kompak.

5. Titik dalam, titik luar, dan titik terbatas (interior, exterior, and

boundary points)

Suatu titik 𝑍𝑜 disebut titik dalam dari himpunan 𝑆 jika kita dapat

menentukan suatu lingkungan 𝛿 dari 𝑍𝑜 yang semua titiknya

termasuk pada 𝑆. Jika setiap lingkungan 𝛿 dari 𝑍𝑜 memuat titik di

𝑆 dan juga titik di luar 𝑆, maka 𝑍𝑜 dinamakan titik batas. Jika

suatu titik bukan suatu titik dalam atau titik batas dari suatu

himpunan 𝑆, maka titik ini dinamakan titik luar dari 𝑆.


6. Himpunan-himpunan terbuka (open sets)

Suatu himpunan terbuka adalah suatu himpunan yang hanya

terdiri dari titik dalam. Sebagai contoh, himpunan titik 𝑍 sehingga

|𝑧| < 1 adalah suatu himpunan terbuka.

7. Himpunan-himpunan tersambung (connected sets)

Suatu himpunan terbuka 𝑆 disebut tersambung jika untuk setiap

dua titik di himpunan tersebut dapat dihubungkan oleh suatu

lintasan yang berbentuk garis lurus (lintasan segi banyak) yang

semua titiknya terletak di dalam 𝑆.

8. Daerah terbuka atau domain (open regions or domains)

Suatu himpunan terbuka tersambung dinamakan suatu daerah

terbuka atau domain.

9. Closure suatu himpunan (closure of a set)

Jika suatu himpunan 𝑆 kita gabungkan semua titik limitnya, maka

himpunan baru yang terbentuk disebut penutup himpunan 𝑆 dan

merupakan suatu himpunan tertutup.

10. Daerah tertutup (closed regions)

Penutup suatu daerah terbuka atau domain disebut suatu daerah

tertutup.

11. Daerah (regions)

Jika pada suatu daerah terbuka atau domain kita gabungkan

beberapa, semua atau tidak sama sekali titik limitnya, maka kita

menemukan suatu himpunan yang disebut daerah. Jika semua

titik limitnya digabungkan, maka daerahnya tertutup dan jika

tidak digabungkan sama sekali, maka daerahnyaterbuka. Dalam

buku ini bilamana kita menggunakan istilah daerah tanpa

mengelompokkannya, kita akan mengartikannya sebagai daerah

terbuka atau domain.

12. Gabungan dan Irisan dari himpunan. sebuah himpunan terdiri

dari semua titik yang tergabung dalam himpunan S1 dan

himpunan S2 atau kedua-duanya yang dinamakan union/

gabungan dari himpunan S1 dan S2 yang ditandai dengan

himpunan S1 + S2 / 𝑠1 ∪ 𝑠2Suatu himpunan terdiri dari semua titik

yang terdapat dalam himpunan S1 dan S2 dinamakan irisan S1 dan

S2 yang ditandai dengan S1 , S2 / 𝑠1 ∩ 𝑠2


13. Komplemen dari himpunan. Suatu himpunan yang tergabung

dari semua titik yang tidak termasuk dalam himpunan S

dinamakan komplemen S dan dinyatakan dengan 𝑆~

14. Himpunan kosong dari sub himpunan. Menarik untuk memikir

sebuah himpuan yag tak bernilai, himpunan ini dinamakan

himpunan kosong ( ∅). Jika dua himpunan S1 dan S2 tidak

memiliki nilai (dimana kedua himpunan tersebut dinamakan

himpunan yang tak berkaitan/saling keterkaitan), kita dapat

menjelaskannya dengan menulis S1 - S2 = ∅. Setiap himpunan

yang dibentuk melalui pemilihan semua nilai / tanpa nilai dari

sebuah himpunan dinamakan sub himpunan dari S. bila kita

menjelaskan himpunan ini dimana semua nilai S telah dipilih

maka himpunan itu dinamakan sebuah himpunan yang benar

dari S.

15. Himpunan tak terhingga. Jika bagian sebuah himpunan dapat

ditempatkan dalam sebuah persamaan dengan angka-angka

1,2,3………maka himpunan itu dinamakan himpunan yang dapat

dihitung, jika tidak dapt dihitung maka himpunan tersebut

dinamakan himpunan tak terhingga.

Berikut ini ada dua teori penting mengenai nilai-nilai himpunan:

a) Teorema Welerstrass-Bolzano. Teori ini menyatakan bahwa

setiap himpunan dasar terikat memiliki paling sedikit satu batas

nilai.

b) Teorma Heine-Borel. Teori ini menyatakn bahwa S merupakan

sebuah himpunan terpadu masing-masingnya mengandung satu

atau lebih himpunan A1, A2.....( yang kemudian dikatakan

meliputi himpunan S tak terhingga). Kemudian akan terjadi

sejumlah himpunan dasar A1, A2 yang meliputi S tak terhingga.

3.11 Soal-soal

Operasi Dasar Bilangan Komplek

1. Selesaikanlah

a) )7)(23( ii

b) )23)(7( ii


c) )72()68( ii

d) )57()21()35( iii

e) )57()21()35( iii

f) )24)(32( ii

g) )32)(24( ii

h) )45)(23()2( iii

i) )45()23)(2( iii

j) )43)(57()21( iii

k) i

i

1

23

l) ii

i

34

20

43

55

m) 12

3 1910

i

ii

2. Jika 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = 3 − 2𝑖 𝑑𝑎𝑛 𝑧3 = −1

2+

√3

2 𝑖,


a) 21 43 zz

b) 843 1

2

1

3

1 zzz

c) 43z

d)

2

13

13

32

52

izz

izz

3. Buktikan bahwa (a). Re 2/)(}{ zzz , (b). Im 2/)(}{ zzz .

4. Buktikan jika hasil dari dua bilangan kompleks adalah 0 < 1 dari

bilangan nol

5. Jika w = 3iz – z2

dan x = x + iy, carilah 2

w dari x dan y.


Representasi Grafis Bilangan Komplek

1. Nyatakan hasil operasi bilangan komplek berikut ini secara

analitis dan grafis

a. )3()2( ii

b. )23()13( ii

c. )92()32()4( iii

2. Jika z1= 4 – 3i dan z

2= -1 + 2i, buatlah grafik dan analitik:

(a). 21 zz (b). 21 zz

(b). 21 zz (d). 232 21 zz

3. Letak vektor dari titik A,B dan C dari segitiga ABC masing-

masing diberi

z1 = 1 + 2i, z

2= 4 - 2i dan z

3 = 1 – 6i. Buktikan bahwa ABC

merupakan segitiga samakaki dan hitunglah panjang sisinya.

4. Misalkan z1,z

432 ,, zz ,letak vektor tegak lurus untuk segi empat

ABCD. Buktikan bahwa ABCD adalah sebuah jajaran genjang

jika dan hanya jika 04321 zzzz

5. Jika diagonal sebuah segi empat saling membagi dua,buktikan

bahwa segi empat merupakan sebuah jajaran genjang.

6. Buktikan bahwa median dari sebuah segitiga dihubungkan

dalam satu titik.

7. Misalkan segi empat ABCD dan E,F,G,H titik tengah dari sisinya.

Buktikan bahwa EFGH adalah sebuah jajaran genjang.

8. Dalam jajar genjang ABCD , titik E membagi dua sisi AD.

Buktikan bahwa dimana titik BE dihubungkan dengan titik AC

membagi AC.

9. Letak vektor dari titik A dan B berturut-turut adalah 2 + i dan 3

– 2i.

(a). carilah sebuah persamaan garis AB. (b). carilah sebuah

persamaan garis yang tegak lurus ke AB pada titik tengahnya.

10. Gambar dan grafik bentuk manakah yang ditunjukan di bawah

ini:


(a). ,2 iz (b). ,622 ixiz (c). ,433 zz

(d). ,3)2( zz (e). .4Im 2 z

11. Carilah sebuah persamaan (a). sebuah lingkaran jari-jarinya 2

dengan titik pusat (-3,4) , (b). panjang lingkaran dengan titik

pusat pada (0,2) dan (0,-2) yang mana sumbu utama mempunyai

panjang 10.


FUNGSI DALAM

PEUBAH KOMPLEK

ab IV dalam bahan ajar ini membahas hal yang berkaitan

dengan fungsi dalam peubah komplek yang meliputi, (1)

pengantar fungsi dalam peubah komplek, (2) jenis-jenis

fungsi dalam peubah komplek, (3) beberapa pembuktian sifat fungsi

dalam peubah komplek, (4) contoh-contoh soal dan pembahasannya,

dan (5) soal-soal.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab IV diharapkan

mahasiswa dapat memahami jenis-jenis fungsi dalam peubah

komplek dan dapat menerapkannya pada masalah-masalah praktis

yang berkaitan dengan bidang komplek atau fungsi dan invers

fungsi.

Kompetensi Dasar

1) Mahasiswa dapat menentukan nilai ketunggalan suatu fungsi

dalam peubah komplek.

2) Mahasiswa dapat merepresentasikan nilai ketunggalan fungsi

dalam peubah komplek pada bidang komplek.

3) Mahasiswa dapat membuktikan beberapa kesamaan dalam

fungsi eksponen dengan peubah komplek.


fungsi trigonomteri dan inversnya dengan peubah komplek.

B



fungsi hiperbolik dan inversnya dengan peubah komplek.

6) Mahasiswa dapat menjawab dengan benar setiap soal-soal dan

masalah yang diberikan pada setiap berakhirnya kegiatan

perkuliahan.

4.1 Pengantar

Peubah yang selama ini digunakan untuk menyimbulkan

bilangan komplek adalah z dan merupakan simbul yang dapat

mewakili sebarang himpunan dalam bilangan komplek. Dalam

pembahasan selanjutnya z dinamakan sebagai peubah komplek dan

dinyatakan sebagai z = x + yi, dimana Ryx , dan 1i . Jika

setiap nilai dari peubah komplek z dapat diasumsikan dapat

berkorespondensi satu atau lebih dari varibel komplek w, maka

dapat dikatakan bahwa fungsi dari z dan ditulis sebagai w=f(z) atau

w = g(z) dan seterusnya. Peubah pada fungsi f(z) atau g(z) disebut

sebagai peubah bebas, sedangkan w disebut peubah tak bebas.

Selanjutnya nilai dari a pada fungsi w=f(z) atau w = g(z) pada titik z =

a dapat ditulis sebagai f(a). Dengan demikian jika f(z) = z2 maka f(2i)

=(2i)2= 22(i)2=4(-1) =-4.

Seperti halnya dalam peubah real, dalam peubah komplek

juga dikenal dengan fungsi bernilai tunggal atau fungsi bernilai tidak

tunggal. Jika hanya ada satu nilai dari fungsi dalam peubah z maka

dapat dikatakan bahwa w = f(z) adalah fungsi bernilai tunggal atau

w bernilai tunggal, Sebaliknya jika ada banyak nilai dari w yang

berkorespondensi dengan w =f(z) maka w disebut fungsi bernilai

tidak tunggal atau fungsi nilai tidak tunggal dari w = f(z). Fungsi

yang bernilai tidak tunggal dapat dipandang sebagai kumpulan dari

fungsi-fungsi yang bernilai tunggal dan setiap anggota yang tidak

tunggal tersebut dinamakan cabang (branch) dari fungsi.

Contoh:

1. Jika w=f(z)=z2 maka nilai w yang berkorespondensi dengan -2+i

dan 1-3i dapat dijelaskan sebagai berikut.

a. w=f(z)=z2 sehingga f(-2+i)=(-2+i)2 =4-4i+(-1)=3-4i


b. w=f(z)=z2 sehingga f(1-3i)=(1-3i)2=1-6i+9(-1)=-8-6i.

2. Korespondensi soal 1.a dan 1.b di atas dapat direpresentasikan

secara grafis seperti dapat dilihat pada Gambar 4.1 dan 4.2.

Gambar 4.1 Gambar 4.2

Pada Gambar 4.1, titik z=-2+i ditunjukkan dengan titik P(-2,1) dan

titik P mempunyai peta (image) di titik w=3-4i yang ditunjukkan

oleh titik P’. Hal ini diakibatkan oleh fungsi pengaitnya f(z).

Selanjutnya kita dapat mengatakan bahwa P dapat dipetakan ke

titik P’ yang berarti fungsi pemetaan atau transformasi w=z2.

Dengan cara yang sama untuk titik z=1-3i dpat ditunjukkan

dengan titik Q(1,-3) seperti pada gambar 4.2 memunyai peta

(image) di titik w=-8-6i yang ditunjukkan oleh titik Q’. Dengan

demikian untuk setiap titik pada bidang z terdapat korespondensi

satu dan hanya satu titik sebagai peta (image) pada bidang w. Dalam

hal lain dapat dikatakan bahwa w adalah fungsi bernilai tunggal

dari z.

3. Tunjukkan bahwa garis lurus yang melalui titik P dan Q pada

bidang z seperti pada Gambar 4.1 di atas adalah peta dari w=z2

dalam kurva yang menghubungkan titik P’Q’ seperti pada

Gambar 4.2 disebelahnya. Tentukan persamaan dari kurva

tersebut.

wbidang

u

v

'P'Q i43i68

zbidang

i2

i31

P

Q

x

y


Jawab

Titik P dan Q berturut-turut mempunyai koordinat (-2,1) dan (1,-

3), Maka persamaan parametrik dalam bidang w yang

menghubungkan titik P dan Q adalah:

12

1

12

1

yy

yy

zz

zz

tyz

13

1

)2(1

)2(

tiytx 4,23

Sehingga persmaan garis lurus PQ dapat dinyatakan dengan

z=(3t-2)+i(1-4t) dan kurva pada bidang w yang memetakan garus

lurus PQ dapat dinyatakan dengan

W=z2=((3t-2)+i(1-4t))2=(3t-2)2+2(3t-2)i(1-4t)+i2(1-4t)2

=3-4t-7t2+(-4+22i-24t2)i

Karena w=u+iv, persamaan parameter dari peta garis lurus PQ

diberikan oleh

u=3-4t-7t2, v=-4i+22t-24t2.

Jika w=f(z), maka kita dapat memandang z sebagai fungsi dari w,

ditulis sebagai z=g(w)=f-1(w). Fungsi f-1 sering disebut sebagai

fungsi invers yang berkorespondensi dengan f. Dengan demikian

w=f(z) dan w=f-1(z) adalah fungsi invers dari sesamanya.

4.2 Fungsi-fungsi dalam Peubah Komplek

Fungsi dalam peubah komplek dapat diperikan menjadi

beberapa fungsi dasar, fungsi-fungi tersebut dapat dijelaskan sebagai

berikut.

1. Fungsi Pangkat Banyak (Polinomial)

Fungsi pangkat banyak dalam Peubah komplek adalah fungsi

yang didefinisikan oleh

nn

nnn

o azazazazaw

1

2

2

1

1 ...

dimana ,0oa dan nn aaaa ...,, ,21 adalah konstanta bilangan

komplek dan n adalah bilangan bulat positip dan disebut sebagai

derajat dari fungsi pangkat banyak P(z).


Transformasi w = az + b disebut sebagai transformasi linear.

Contoh

1. 412136 234 zzzzw

2. 16249 246 zzzw

3. 68)( zzzf

4. 23 )64()( zzf

5. 4423 zzzw

6. zzw 4

7. 52 )52()( zzzf

8. 365)( 24 zzzf

2. Fungsi Rasional Aljabar

Fungsi rasional Aljabar dalam peubah komplek adalah fungsi

yang mempunyai bentuk umum )(

)(

zQ

zPw

Dimana P(z) dan Q(z) adalah adalah fungsi pangkat banyak.

Dalam kasus khusus dcz

bazw

dengan 0bcad . Bentuk ini

sering disebut sebagai bilinear atau transformasi linear pecahan.

Contoh

1. 4

2

zw

2. 4

122

z

zw

3. 23

1)(

2

zz

zzf

4. 44

4)(

2

2

zz

zzf

5. zz

zzzxf

5

12)(

3

35


3. Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial dalam peubah komplek adalah fungsi yang

dapat dinyatakan sebagai iyxiyxz eeeew

Karena

)!1(

)(

)!2(

)(...

!4

)(

!3

)(

!2

)()(1

12432

n

iy

n

iyiyiyiyiye

nniy

...

!7!5!3...

!6!4!21

753642 yyyyi

yyy+

= cos y + i sin y

Sehingga yciseyiyew xx )sin(cos Dimana e = 2,71828..... adalah logaritma berbasis bilangan alami

(natural).

Jika a bilangan real positip, kita dapat mendefinisikan azz ea ln

Dimana ln a adalah logaritma natural dari bilangan real a.

fungsi eksponensial dalam peubah real, sehingga:

yxyx eee . dan yx

y

x

ee

e .

Contoh soal

1. Buktikan bahwa 2121 zzzz eee

Bukti

Menurut definisi fungsi dalam pubah komplek dapat dijelaskan

bahwa

)sin(cos 11111111 yiyeeeee

xiyxiyxz

dan

)sin(cos 22222222 yiyeeeee

xiyxiyxz

Sehingga )sin(cos).sin(cos 22112121 yiyeyiyeee

xxzz

)sin(cos).sin(cos 2211221 yiyeyiyee

xxx

))sincossin(cos)sinsincos((cos 1221212121 iyyyyyyyyee

xx

)sin()(cos( 212121 yyiyyee

xx

)()( 2121 iyyxx

eee

)( 2121 iyiyxxeeee


)()( 2211 iyxiyx ee

)()( 2211 iyxiyxe 21 zze

2. Buktikan bahwa xx ee

Bukti

yixeeeeeee zyixyixyixz sincos

xe 1

xe

4. Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri dalam peubah komplek adalah fungsi yang

berhubungan dengan fungsi sin z, cos z atau bentuk lainnya.

Karena peubahnya adalah bilangan komplek, sehingga diberikan

beberapa definisi berikut ini.

i

eez

iziz

2sin

2cos

iziz eez

)(cos

sintan

ixix

ixix

eei

ee

z

zz

)(sin

coscot

iziz

iziz

eei

ee

z

zz

iziz ee

i

zz

2

cos

1sec

iziz ee

i

zz

2

sin

1csc

Beberapa fungsi trigonometri dalam peubah komplek

mempunyai sifat yang identik dengan fungsi trigonometri dalam

peubah real. Diantara kesamaan sifat tersebut adalah:


1cossin 22 zz

zz 22 sectan1

zz 22 csccot1

zz

zz

zz

tan)tan(

cos)cos(

sin)sin(

212121 sincoscossin)sin( zzzzzz

212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz

212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz

21

221

tantan1

tantan)tan(

zz

zzzz i

21

221

tantan1

tantan)tan(

zz

zzzz i

1cossin 22 zz

Contoh soal

Buktikan

1. 1cossin 22 zz

Bukti

dani

eez

iziz

,2

sin

2cos

iziz eez

Sehingga diperoleh 22

22

22cossin

iziziziz ee

i

eezz

4

2

4

2

22

222222

iziziziziziziziz eeeeee

i

ee

42

1

442

1

4

2222 iziziziz eeee

1


2. Buktikan bahwa

212121 sincoscossin)sin( zzzzzz dan

212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz Bukti

i

eeee

i

eezz

izizizizzzizzi

22)sin(

21212121 )()(

21

i

zizzizzizziz

2

)(sin())(cos(sin()(cos()sin)(cossin(cos 22112221

i

zizzizzizziz

2

)sin)(cossin(cos)sin)(cossin(cos 22112221

i

izzzzzzzzizzzzzzzz

2

))sin(cos)sin((cos)sinsincos((cos))sincossin((cos)sinsincos((cos 2112212112212121

i

izzzzizzzz

2

)sincossin(cos)sincossin(cos 12211221

2

)sincossin(cos)sincossin(cos 12211221 zzzzzzzz

2121 sincoscossin zzzz sehingga diperoleh

212121 sincoscossin)sin( zzzzzz

3. 22

)cos(21212121 )()(

21

izizizizzzizzi eeeeeezz

2

)(sin())(cos(sin()(cos()sin)(cossin(cos 22112221 zizzizzizziz

2

)sin)(cossin(cos)sin)(cossin(cos 22112221 zizzizzizziz

2

))sin(cos)sin((cos)sinsincos(cos))sincossin((cos)sinsincos(cos 2112212112212121 izzzzzzzzizzzzzzzz

2

)sinsincos(cos)sinsincos(cos 21212121 zzzzzzzz

2

)sinsincos(cos2 2121 zzzz

2121 sinsincoscos zzzz


sehingga diperoleh 212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz

4. zz sin)sin(

Bukti

)sin(222

)sin()()(

zi

ee

i

ee

i

eez

izizizizzizi

5. zz cos)cos(

Bukti

)cos(222

)cos()()(

zi

ee

i

ee

i

eez

izizizizzizi

Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa

1) zz 2cos)2cos(

2) zizeiz sincos

3) zize iz sincos

4) zz 2cos)2cos(

5) zz 2sin)2sin(

6) zz sin)sin(

7) zz 4tan)4tan(

5. Fungsi Hiperbolik

Fungsi hiperbolik dalam peubah komplek didefinisikan seperti di

bawah ini

2sinh

zz eez

2cosh

zz eez

)(cosh

sinhtanh

zz

zz

ee

ee

z

zz

)(sinh

coshcoth

zz

zz

ee

ee

z

zz


zz eezhz

2

cosh

1sec

zz eezhz

2

sinh

1csc

Berdasarkan definisi di atas, sifat-sifat berikut dapat dibutikan

kesamaanya sebagai latihan bagi para pembaca.

1) 1coshsinh 22 zz

2) zhz 22 sectanh1

3) zhz 22 csc1coth

4) zz sinh)sinh(

5) zz cosh)cosh(

6) zz tanh)tanh(

7) 212121 sinhcoshcoshsinh)sinh( zzzzzz

8) 212121 sinhsinhcoshcosh)cosh( zzzzzz

9) 21

221

tantan1

tantanh)tanh(

zz

zzzz i

Antara fungsi trigonometri dengan fungsi hiperbolik terdapat

hubungan, beberapa diantaranya adalah

ziiz

ziiz

sinsinh

sinhsin

ziz

ziz

coscosh

coshcos

ziiz

ziiz

tantanh

tanhtan

Perhatikan uraian berikut ini

a. )sinh()sinh( zz

Karena 2

sinhzz ee

z

maka

222)sinh(

)()( zzzzzz eeeeeez

Sehingga sinh(-z) = -sinh(z)

b. Buktikan bahwa zhz 22 sectanh1

Bukti


Berdasarkan definisi

2sinh

2cosh

zzzz eezdan

eez

Sehingga 22

22

22sinhcosh

zzzz eeeezz

selanjutnya dengan membagi kesamaan

1sinhcosh 22 zz

dengan cosh2z

diperoleh

zhzz

zz 2

22

22

seccosh

1

cosh

sinhcosh

Akhirnya diperoleh kesamaan

zhzz

zz 22

2

22

sectanh1cosh

sinhcosh

c. ziee

iee

i

i

i

ee

i

i

i

ee

i

eeiz

zzzzzzzziziizi

sinh22222

sin2

)()(

d. zeeeeeeee

izzzzzzziziizi

cosh2222

cos)()(

e.

zz

zz

zz

zz

iziizi

iziizi

ee

ee

i

i

ee

ee

ieei

ee

iziz

iz

iziz

2

)()(

)()( 12

2cos

1sin

cos

sintan

ziee

eei

zz

zz

tanh

f. zii

eei

eeeeiz

iziziziziziz

sin222

sinh)()(

g. zi

eeeeeeiz

iziziziziziz

cos222

cosh)()(

h.

)(

2

2cosh

1sinh

cosh

sinhtanh

)()(

)()(

iziz

iziz

izzz

iziz

iziz

iziz

eei

eei

ee

ee

i

i

ee

ee

iziz

iz

iziz

zieei

eei

iziz

iziz

tan(


Bentuk-bentuk kesamaan yang lain dalam fungsi trigonometri

dan fungsi hiperbolik dalam peubah komplek dapat dicoba

oleh para pembaca sebagai latihan dalam menyelesaikan

masalah.

6. Fungsi Logaritma

Jika wez maka dapat ditulis dalam bentuk lain zw ln yang

disebut sebagai bentuk logaritma natural dari z. Dengan demikian

fungsi logaritma natural adalah invers dari funsi eksponensial

dan kita dapat membuat definisi sebagai berikut.

)2(lnlnln kirzw untuk ....3,2,1,0 k

Dimana )2( kirez

Perlu diingat bahwa ln z adalah fungsi bernilai ganda (multiple

valued function). Nilai prinsipal dari ln z didefinisikan sebagai

ir ln dimana .20 Dalam hal lain panjang 2 dapat

diubah menjadi - .

Fungsi logaritma dapat didefinisikan untuk bilangan real

berbilngan pokok selian e. Dengan demikian jika waz maka

zw a log dimana 0a dan .1,0a Dalam hal ini zwez ln

demikian pula a

zz

ln

ln

7. Fungsi Invers Trigonometri

Jika wz sin maka zw arcsin disebut fungsi invers sinus z.

Dengan cara yang sama kita definisikan fungsi invers

trigonometri yang lain yakni zz arctan,arccos dan yang lainnya.

Fungsi-fungsi berikut adalah bernilai ganda yang dapat

diekspresikan dalam bentuk natural sebagaimana terlihat di

bawah ini. Dalam setiap bentuk berikut kita kecualikan

penjumlahan konstanta ,...2,1,0,2 kik

21ln1

arcsin zizi

z


1ln1

arccos 2 zizi

z

iz

iz

iz

1

1ln

2

1arctan

z

z

izarc

11ln

1csc

2

z

z

izarc

211ln

1sec

iz

iz

izarc ln

2

1cot

8. Fungsi Invers Hiperbolik

Jika wz sinh maka hzw arcsin disebut fungsi invers

sinushiperbolik dari z. Dengan cara yang sama kita dapat

mendefiniskan fungsi invers hiperbolik yang lain yakni

hzhz arctan,arccos dan yang lainnya. Fungsi-fungsi berikut

adalah bernilai ganda yang dapat diekspresikan dalam bentuk

natural sebagaimana terlihat di bawah ini. Dalam setiap bentuk

berikut kita kecualikan penjumlahan konstanta

,...2,1,0,2 kik

21ln1

arcsin zzi

hz

1ln1

arccos 2 zzi

hz

z

z

ihz

1

1ln

2

1arctan

z

zihzarc

1lncsc

2

z

zhzarc

211lnsec

1

1ln

2

1coth

z

z

izarc


9. Fungsi z

Fungsi z dimana mungkin bilangan komplek didefinisikan

sebagai .ln ze Dengan cara yang sama jika f(z) dan g(z) diberikan

dua fungsi z, kita dapat mendefinisikan )(ln)()()( zfzgzg ezf

yang secara umum fungsi-fungsi tersebut bernilai ganda.

10. Fungsi Aljabar dan Transenden

Jika w adalah selesaian dari fungsi pangkat banyak

0)()(...)()()( 1

2

2

1

1

zPwzPwzPwzPwzP nn

nn

o

Dimana no PPPP ,...,,,0 21 adalah fungsi pangkat banyak dalam

Peubah z dan n adalah bilangan bulat positip maka w = f(z)

disebut fungsi aljabar dalam z.

Beberapa fungsi yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk

0)()(...)()()( 1

2

2

1

1

zPwzPwzPwzPwzP nn

nn

o

disebut fungsi transenden. Contoh dari fungsi transenden adalah

fungsi logaritma, fungsi trigonometri, fungsi invers trigonometri,

fungsi hiperbolik dan fungsi invers hiperbolik.

4.3 Soal-soal

1. Misal w=f(z)=(2-z)

Carilah nilai w yang berkorespondensi dengan z=1+i dan z=2-2i

dan gambarlah grafik korespondensi nilai di bidang w dan z.

2. Jika z

zzfw

1

1)( , carilah )(if dan f(1-i). Nyatakan

hasilnya secara grafis.

3. Jika 23

12)(

z

zzfw untuk

3

2z . Tentukan nilai dari

)/1( zf dan )}({ zff .

4. Jika 12

2)(

z

zzfw untuk

2

1z

a. Tentukan f(0), f(1), dan f(1+i)

b. Carilah nilai z sedemikian sehingga f(z)=i dan f(z)=2-3i


c. Tunjukkan bahwa z adalah fungsi bernilai tunggal dari fungs

w

d. Carilah nilai z sedemikian sehingga f(z)=z

5. Buktikan bahwa

a. 21

2

1

zz

z

z

ee

e

b. yiz ee

6. Carilah semua nilai z yang memenuhi persamaan

dan ie z 4

7. Buktikan bahwai tidak ada sebarang bilangan bernilai berhingga

sedemikian sehingga 0ze

8. Carilah semua nilai z untuk 13 ze dan ie z 4

9. Buktikan bahwa

a. zzz cossin22sin

b. zzz 22 sincos2cos

c. )cos1(2

12/sin2 z

d. )cos1(2

12/cos2 zz

e. 212121 sincoscossin)(sin zzzzzz

f. izeziz sincos

g. izeziz sincos

h. 212121 sinsincoscos)cos( zzzzzz

10. Jika 2cos z carilah nilai untuk z2cos dan z3cos

11. Buktikan bahwa bahwa pembuat nol (zeros) dari sin z dan cos z

adalah bilangan real dan tentukan pembuat nol tersebut.

12. Buktikan bahwa

a. zz sin)sin(

b. zz cos)cos(

c. zz tan)tan(

13 ze


13. Tunjukkan bahwa

a. zz sinsin

b. zz coscos

c. zz tantan

14. Buktikan bahwa

a. zzz 222 sinhcoshcosh

b. ziz coshcos

c. ziiz sinhsin

d. yxiyxiyx sinhcoscoshsin)sin(

e. 1cosh2

1

2cosh2

z

z

c. 21

2

1

zz

z

z

ee

e

15. yiz ee

16. Tunjukkan bahwa 1ln1

cos 21 zzi

z

17. Tunjukkan bahwa 1lnsinh 21 zzz

18. Tunjukkan bahwa

1

1ln

2

1cot 1

z

z

iz

19. Tunjukkan bahwa

1

1ln

2

1coth 1

z

zz

20. Jika wez dimana )sin(cos irz dan w = u +iv tunjukkan

bahwa u=ln r dan ,.....3,2,1,0,2 kku sedemikian

sehingga )2(ln kirw

21. Carilah semua nilai dari

a. i1cosh

b. )1ln(sinh 1

c. 2sin 1

d. i1cos

22. Tentukan nilai dari i1ln


JUMLAH DAN SELISIH

DUA SUDUT

ab V buku ini membahas hal-hal pokok yang berhubungan

dengan jumlah dan selisih dua sudut, antara lain (1) jumlah

dua sudut, (2) selisih dua sudut, (3) rumus sudut kembar dan

sudut pertengahan (4) perubahan jumlah atau selisih menjadi hasil

perkalian sudut, (5) menghitung dua sudut jika diketahui jumlah dan

perbandingan sinus sudutnya, (6) menghitung dua sudut jika

diketahui jumlah dan perbandingan tangen sudutnya, dan (7) soal-

soal.

Standar Kompetensi

Setelah mempelajari pokok bahasan pada Bab V diharapkan

mahasiswa memahami dalil dan rumus dalam jumlah dan selisih

sudut serta dapat mengaplikasikannya pada masalah-masalah

praktis dengan peubah real.

Kompetensi Dasar

1. Mahasiswa dapat menggunakan rumus jumlah dua sudut.

2. Mahasiswa dapat menggunakan rumus selisih dua sudut.

3. Mahasiswa dapat menunjukkan kesamaan rumus sudut kembar.

4. Mahasiswa dapat mengubah rumus jumlah atau selisih menjadi

perkalian.

5. Mahasiswa dapat menghitung dua sudut dengan menggunakan

rumus jumlah dan perbandingan sinus atau tangen.

B


5.1 Jumlah Dua Sudut

Gambar 5.1

Pada gambar 5.1, ABC adalah segitiga yang salah satu

sudutnya adalah dan sudut tersebut siku-siku. Karena

CBA dan misal yBCxAB , , dan rAC , sehingga

berdasarkan ABC diperoleh enam perbandingan panjang sisi

suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.

Perbandingan dimaksud sesuai dengan gambar 5.1 adalah

.,,,,BC

AC

AB

AC

BC

AB

AB

BC

AC

AB

AC

BC

Keenam perbandingan tersebut dinamakan perbandingan

goniometri. Karena yBCxAB , , rAC dan BAC

maka perbandingan goniometri di atas dapat dinyatakan dalam

bentuk yang lain yaitu:

1. sinr

y

AC

BC

2. cosr

x

AC

AB

3.

tan

cos

sin

x

y

r

xr

y

AC

ABAC

BC

AB

BC

x

r

C

BA

y


4. cotsin

cos

x

x

y

x

r

yr

x

AC

BCAC

AB

BC

AB

5.

seccos

111

x

r

r

x

AC

ABAB

AC

6.

cscsin

1

/

11

y

r

ry

AC

BCBC

AC

Menurut teorema Pythagoras jika suatu ABC salah satu sudutnya

siku-siku, maka berlaku: 222 ACBCAB

222 ryx

Selanjutnya secara berurutan persamaan 222 ryx dibagi

222 ,, ryx diperoleh persamaan baru

1. 2

2

2

2

2

2

r

r

r

y

r

x

)1(1sincos

1sincos

1

22

22

22

r

y

r

x

2. 2

2

2

2

2

2

x

r

x

y

x

x

)2(sectan1

)(sectan1

1

22

22

22

x

r

x

y


3. 2

2

2

2

2

2

y

r

y

y

y

x

)3(csc1cot

)(csc1cot

1

22

22

2

2

2

y

r

y

x

Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.

Berdasarkan perbandingan goniometri yang telah

disebutkan di atas dapat dibuat beberapa rumus tentang jumlah dua

sudut. Rumus-rumus jumlah dua sudut dapat dapat dijelaskan

dengan menggunakan gambar berikut ini.

Cara I

Perhatikan gambar berikut ini.

Gambar 5.2

l

k

m

O

U

P Q

S T


Pada gambar 5.2 di atas terdapat 4 segitiga dan masing-

masing adalah siku-siku, yaitu OPUdanOTUTSUQOT ,,,

dan diketahui TOUQOT , . TSUQOT sehingga

SUT

Berdasarkan OPU diperoleh perbandingan panjang sisi

OU

UPPOU sin dengan UP = PS + SU

Karena TSUQOT maka SU = UT cos

Karena PS = QT dan karena OQT siku-siku di TQU maka OQ

= OT cos dan QT = OT sin

Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos dan UT

= OU sin

Karena POU

OU

UPPOUsin

OU

UP )sin(

OU

SUPS

OU

SUQT

OU

UTOT cossin

OU

OUOU cossinsincos

Sehingga diperoleh rumus

cossincossin)sin( ............ (4)

Dengan cara yang sama diperoleh:

OU

OPPOU cos , OP = OQ – PQ

Karena TSUQOT maka SU = UT cos


Karena PQ = ST dan karena UST siku-siku di TSU maka ST =

SU sin

Karena OTU siku-siku di OTU maka OT = OU cos dan UT

= OU sin

Karena OQT siku-siku di TQU maka OQ = OT cos dan QT

= OT sin

Karena POU

OU

UPPOU cos

OU

OP )cos(

OU

PQOQ

OU

STOQ

OU

UTOT sincos

OU

OUOU sinsincoscos

Sehingga diperoleh rumus sinsincoscos)cos( ........(5)

Karena

cos

sintan

Maka )cos(

)(sin)(tan

Sehingga menurut (4) dan (5)

sinsincoscos

sincoscossin)(tan

Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh


coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

)tan(

coscos

cossin1

cos

sin

cos

sin

tantan1

tantan

Sehingga

tantan1

tantan)tan(

.................... (6)

Cara II

Gambar 5.3

Pada gambar 5.3 di atas sudut-sudut , adalah sudut lancip,

sedangkan adalah sudut tumpul.

A

B

O GE

H F

D

X

Y


Selanjutnya pada gambar 5.3 di atas, XOA dan AOB .

Kemudian dilukis garis-garis OXFG dan 'OXDE serta garis-

garis OADF dan .DEFH

Pandang DFO dan FGO , Jika pOD

Pada DFO diperoleh OD

DFsin sehingga sinpDF demikian

pula

OD

OFcos sehingga cospOF

Pandang FGO

Pada FGOOF

FGsin sehingga sincossin pOFFG

Demikian pula OF

OGcos sehingga coscoscos pOFOG

Dengan cara yang sama pada DHF diperoleh

cossinpDH dan sinsinpFH

Sehingga

p

pp

OD

FGDH

OD

DE

sincoscossin)sin(

sincoscossin …………………….(7)

p

pp

OD

FHOG

OD

OE

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos …………………….(8)

Sehingga menurut (7) dan (8)

sinsincoscos

sincoscossin)(tan

Persamaan di atas dibagi dengan cos cos , diperoleh:

coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

)tan(


coscos

cossin1

cos

sin

cos

sin

tantan1

tantan

Sehingga

tantan1

tantan)tan(

.................... (9)

Gambar 5.4

Berdasarkan gambar 5.4 di atas

Sehingga

sin)sin(

Dengan cara yang sama

r

x

r

x )cos(,cos

Sehingga

)cos(cos

Berdasarkan fakta ini dapat ditentukan rumus pengurangan dua

sudut sebagai berikut

))(sin()sin(

Y

y

r

yr

r

y

r

y )sin(,sin

x

'M

P


)(sincos)(cossin

)sin(coscossin

sincoscossin ...........(6)

))(cos()cos(

)(sinsin)(coscos

)sin(sincoscos

sinsincoscos ...........(7)

)cos(

)(sin)(tan

sinsincoscos

sincoscossin


coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

coscos

cossin1

cos

sin

cos

sin

tantan1

tantan

Sehingga

tantan1

tantan)tan(

.................... (8)

)cos(

)(sin)(tan

sinsincoscos

sincoscossin



coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

coscos

cossin1

cos

sin

cos

sin

tantan1

tantan

Sehingga

tantan1

tantan)(tan

.................... (9)

5.2 Selisih Dua Sudut

Gambar 5.5

Perhatikan gambar 5.4 di atas.

Misal XOA , AOB , sehingga )( XOB

X

B

A

O E F

C

D G


Misal C adalah titik pada OB Selanjutnya dibuat garis dengan

ketentuan

OXDEOXCFOACD ,, dan FCDG sehingga DCG

Jika `pOC maka dalam CDO diperoleh

p

CD

OC

CDsin atau sinpCD

p

OD

OC

ODcos atau sinpOD

Demikian pula dalam DEO

OD

DEsin atau sinODDE

sinsinp

OD

OEcos atau cosODOE

cossinp

Dalam CDG

DC

DGsin atau sinDCDG

DC

CGcos atau cosCG

Dengan demikian diperoleh

sinsinpDG sincospCG

Sehingga

OC

CDDE

OC

CGFG

OC

CFBOX

sin

Atau

sincoscossinsincoscossin

)sin(

p

pp

OC

DGOE

OC

EFOE

OC

OFBOX

cos


Atau

sinsincoscossinsincoscos

)cos(

p

pp

Berdasarkan kesamaan di atas, diperoleh

)cos(

)(sin)(tan

sinsincoscos

sincoscossin


coscos

sinsin

coscos

coscos

coscos

sincos

coscos

cossin

)tan(

coscos

cossin1

cos

sin

cos

sin

tantan1

tantan

Sehingga

tantan1

tantan)(tan

..................

Contoh soal

1) Buktikan dengan menggunakan rumus yang sesuai

a) sin)90cos( 0

Bukti

Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut diperoleh

sinsincoscos)cos(

Sehingga

sin90sincos90cos)90cos( 0 oo

sin.1cos0

sin


b) cos)90sin(

Bukti

Menurut rumus sinus jumlah dua sudut diperoleh

sincossin)sin( osc

Sehingga

sin90coscos90sin)90sin( 0 oo

sin.0cos.1

cos

2) Diketahui dan adalah sudut lancip dengan ,

12

5cos

dan ,5

3sin Hitunglah )sin( dan )cos(

Jawab

Menurut rumus sinus jumlah diperoleh

sincoscossin)sin(

Karena ,12

5cos maka 22 cos1sin

atau 11912

1

12

51cos1sin

2

2

Demikian pula, karena ,5

3sin

maka 5

4

5

31sin1cos

2

2

sehingga

sincoscossin)sin(

4

1119

15

1

5

3

12

5

5

4119

12

1)sin(

Dengan cara yang sama diperoleh

cossincoscos)cos(

sehingga

sinsincoscos)cos(


119120

1

3

1

5

3119

12

1

5

4

12

5)cos(

Latihan soal

1) Mudahkanlah dengan cara yang sesuai

a) )90sin( o )180sin() of )270sin() ok

b) )90cos( o )180sin() og )180tan() ol

c) )90tan( o )270sin() 0 h )270cos() om

d) )270tan( o )180cos() oi )270sin() on

e) )270sin( )270cos() oj )270cos() o

2) Tunjukkan bahwa cot)90tan( o

3) Diketahui dan adalah sudut lancip dengan ,

12

5cos

dan ,5

3sin

Hitunglah

a) )sin(

b) )cos(

c) )sin(

d) )cos(

4) Buktikan

1)

cotcot

1cotcot)cot(

2)

coscos

)sin(tantan

3)

sinsin

)sin(cotcot


5) Buktikan kesamaan berikut ini

a)

sin

sincos)45tan( 0

sos

b) cossin2)sin()sin(

c) coscos2)cos()cos(

d) sin)180cos()150cos( 0

e) )sin(

)sin(

tantan

tantan

f) 0sinsin

)sin(

sinsin

)sin(

sinsin

)sin(

6) Uraikanlah dan sederhanakan!

a) )(sin

b) )(cos

c) )(cos

d) )(sin

5.3 Rumus Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan

Sebagaimana telah dijelaskan dalam rumus sinus jumlah dua

sudut yang telah dijelaskan dalam pasal 5.1

sincoscossin)(sin

Jika

maka rumus di atas menjadi

cossin2sincoscossin2sin)(sin


2cos

2sin2

2sin

2cos

2cos

2sin

22sinsin

2

3cos

2

3sin2

2

3sin

2

3cos

2

3cos

2

3sin

2

3

2

3sin3sin

2cos2sin22sin2cos2cos2sin)22sin(4sin


Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk umum:

2cos

2sin2sin

nnn

Selanjutnya menurut rumus cosinus jumlah dua sudut yang

telah dijelaskan pada pasal 5.1

sinsincoscos)(cos

Jika


22 sincossinsincoscos2cos)(cos

Karena

1sincos 22

Maka

1cos2cos1cos2cos 222

Atau

222 sin21sinsin12cos


2sin21cos1

2cos2cos 22

atau

2

3sin213cos1

2

3cos23cos 22

atau

2sin214cos12cos24cos 22 atau

Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk:

2sin21cos1

2cos2cos 22

n

nataun

n

dan seterusnya.

Demikian pula untuk rumus tangen jumlah dua sudut, diperoleh

tantan1

tantantan

Jika



2tan1

tan2

tantan1

tantan2tan)tan(


2tan1

2tan2

2tan1

2tan

2tan

22tantan

22

2

3tan1

2

3tan2

2

3tan1

2

3tan

2

3tan

2

3

2

3tan3tan

22

2tan1

2tan2tan22tan4tan

2

dan seterusnya

Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, selanjutnya dapat

ditentukan rumus setengah sudut jika cosinusnya sudut tersebut

diketahui, misalnya:

2sin21cos 2

cos12

sin2 2

2

cos1

2sin 2

2

cos1

2sin


12

cos2cos 2

cos12

cos2 2


2

cos1

2cos2

2

cos1

2cos

Selanjutnya dapat dibuktikan beberapa rumus berikut.

2tan1sec

2tan1

1cos

2tan1

tansin

2tan1

tan22sin

2

2

tan1

tan12cos

Soal-soal

1) Diketahui

22

145cos 0

Hitunglah perbandingan-perbandingan goniometri sudut

tersebut dan sudut 220 3’

2) Diketahui

p2

tan

Tentukan nilai dari

cos

3) Hitunglah

cos


Jika diketahui t

1

2tan

4) Hitunglah

sin

Jika diketahui t

1

2tan

Jawab

Menurut rumus identitas

22 sectan1

Sehingga

2sec

2tan1 22

2sec11 22

t

22

2

22

1

2cos

211

1

2cos

ttatau

tt

Menurut rumus identitas yang lain

12

sin2

cos 22

5) Buktikan bahwa

cot2

tancot

2cos1

2cos

6) Buktikan bahwa

sin

cos1

cos1

sin

2tan

7) Hitunglah

cos

Jika diketahui

p22

tan


5.4 Perubahan Jumlah atau Selisih Menjadi Hasil Perkalian

Sudut

1) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih

sudut diperoleh:

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

coscos2)cos()cos(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

+

Atau

)cos()cos(2

1coscos yxyxyx

Jika

Ayx )( dan Byx )( maka diperoleh BAx 2

1

dan BAy 2

1

sehingga diperoleh

BABABA 2

1cos

2

1cos2coscos

2) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih

sudut diperoleh:

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

sinsin2)cos()cos(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(

-

Atau

)cos()cos(2

1sinsin yxyxyx

Jika


1 dan

BAy 2

1


sehingga diperoleh

BABABA 2

1sin

2

1sin2coscos

3) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih

sudut diperoleh:

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

cossin2)sin()sin(

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

+

Atau

)sin()sin(2

1cossin yxyxyx

Jika


1 dan

BAy 2

1

sehingga diperoleh

BABABA 2

1cos

2

1sin2sinsin

4) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan sinus selisih sudut

diperoleh:

yxyxyx

yxyxyx

yxyxyx

sincos2)sin()sin(

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

-

Atau

)sin()sin(2

1sincos yxyxyx


Jika


1

dan BAy 2

1

sehingga diperoleh

BABABA 2

1sin

2

1cos2sinsin

Berdasarkan rumus-rumus perkalian yang dapat diubah

menjadi rumus penjumlahan tersebut dapat ditentukan ukuran dua

sudut, misalnya x dan y jika hasil perkalian dua sudut tersebut

diketahui.

Misal pyx dan pyx sin.sin

Berdasarkan pemisalan di atas

pyx 2sin.sin2

Karena )cos()cos(sinsin2 yxyxyx maka

pyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(

Sehingga )( yx dapat dihitung, Karena )( yx diketahui.

Dengan cara yang sama dapat ditentukan besarnya dua sudut x dan

y jika perkalian cosinusnya diketahui, demikian pula yang diketahui

perkalin sinus dan cosinus, serta diketahui perkalian cosinus dan

sinusnya.

Contoh

1) Hitunglah sudut-sudut )180( 0xx dan )180( 0yy ,jika

060 yx dan 2,0sinsin yx

Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui `060 dan 2,0sinsin yx

Sehingga

pyxyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(sinsin2

060cos)cos()2,0(2 yx


500,0400,0)cos( yx

900,0)cos( yx

900,0)( yx

Karena 060 yx dan ... yx

Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh ....x dan ....y


010 yx dan 4,0coscos yx

Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui `010 yx dan

4,0coscos yx

Sehingga

pyxyxyxyx 2cos)cos()cos()cos(coscos2 010cos)cos()4,0(2 yx

010cos800,0)cos( yx

......)cos( yx

.....)( yx



Soal-soal

1) Ubahlah jumlah atau selisih berikut ini menjadi suatu

perkalian dan jika mungkin mudahkan

00 23sin33sin

00 23cos33cos

00 23sin33sin

00 23cos33cos


2. Buktikan kesamaan-kesamaan berikut ini.

a) )(2

1tan

)(2

1tan

sinsin

sinsin

b) )(2

1tan

)cot(

coscos

coscos

c) )(

2

1tan

coscos

sinsin

d) )(

2

1cot

coscos

sinsin

e) )sin()sin()sin)(sinsin(sin

f) )sin()sin()cos)(coscos(cos

g)

2cos2sin4)3sin2sin2(sin 2

5.5 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan

Perbandingan Sinus Sudutnya

Misal dalam suatu segitiga diketahui

yxdanq

p

y

x

sin

sin

Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru

1

1

1sin

sin

1sin

sin

q

p

q

p

y

x

y

x


q

qp

q

qp

y

yx

y

yx

sin

sinsin

sin

sinsin

qp

qp

yx

yx

sinsin

sinsin

qp

qp

yxyx

yxyx

2

1sin

2

1cos2

2

1cos

2

1sin2

Jika ruas kiri dibagi dengan

yxyx 2

1cos

2

1cos2

Diperoleh

qp

qp

yx

yx

2

1tan

2

1tan

yxqp

qpyx

yxqp

qpyx

tan)(2

1tan

2

1tan

2

1tan

Sehingga yx dapat dihitung jika yx diketahui, demikian pula

x dan y dapat diketahui.

Contoh soal

1) Hitunglah x dan y dengan )180,180( 00 yx jika diketahui

a. 060 yx , 2:1sin:sin yx

Jawab

Berdasarkan soal tersebut di atas dapat diketahui 060 yx


,2

1

sin

sin

y

x sehingga diperoleh 2,1 qp

Sehingga

2tan

2

1tan

qp

qpyx

2

60tan

21

21

2

1tan

0

yx

030tan3

1

2

1tan

yx

3

30tan

2

1tan

0 yx

6

1

3

2

1

2

1tan

yx


Perbandingan Tangen Sudutnya.


yxdanq

p

y

x

tan

tan


1

1

1tan

tan

1tan

tan

q

p

q

p

y

x

y

x

q

qp

q

qp

y

yx

y

yx

tan

tantan

tan

tantan

qp

qp

yx

yx

tantan

tantan


qp

qp

xyyx

yyyx

cossincossin

cossincossin

qp

qp

yxyx

yx

)sin(

sin

)sin(

)sin(




Perbandingan Cosinus Sudutnya.


yxdanq

p

y

x

cos

cos


1

1

1cos

cos

1cos

cos

q

p

q

p

y

x

y

x

q

qp

q

qp

y

yx

y

yx

cos

coscos

cos

coscos

qp

qp

yy

yx

coscos

coscos

qp

qp

yxyx

yxyx

)(2

1sin)(

2

1sin2

)(2

1cos)(

2

1cos2

qp

qp

yxyx

yxyx

)(2

1sin)(

2

1sin

)(2

1cos)(

2

1cos


qp

qp

yxyx

yxyx

)(2

1sin)(

2

1sin

)(2

1cos)(

2

1cos

qp

qpyxyx )(

2

1cot)(

2

1cot

pq

qpyxyx )(

2

1tan)(

2

1cot



Contoh


050 yx dan 11:5tan:tan yx

Jawab

Berdasarkan soal diatas diketahui `050 dan 11

5

q

p

Sehingga

115

115

tantan

tantan

yx

yx

6

16

cossincossin

cossincossin

xyyx

yyyx

6

16

)sin(

50sin

)sin(

)sin( 0

yxyx

yx

050sin6

16)sin( yx

....)( yx




5.8 Soal-soal

1) Buktikan kesamaan

a) .sin)sin(cos)cos(sin

b) xx 2tan)1)(sec1(sec

c) x

xx2sec

1)sin1)(sin1(

d) xxxx coscossinsec

e) xx

x 2

2

2

sinsec

1sec

f) 1sec

1sin

2

2 x

x

g) yyy cos3cos43cos 3

h) sssss cossin4cossin84sin 3

i) xxx 2sin)cos1)(cos1(

j) 1sec

cos

cos

sin

p

p

p

p

k) 1)cot1)(cos1( 22 xx

l) tttt 2cos)sin(cscsin

m) ty

y22

2

sec

1

csc

csc1

2) Diketahui ntan , hitunglah perbandingan goniometri

sudut

yang lainnya.

3) Diketahui psec , hitunglah perbandingan goniometri

sudut

yang lainnya.

4) Buktikan bahwa:

a)

2tansintansintan

b) ttttt 4cos2coscossin88sin


c)

2tan1

tan22sin

d) )(2

1sin)(

2

1sin)(

2

1sin4)sin()sin()sin( xzzyyxxzzyyx

5) Jika0180 srqp

buktikan bahwa rqqprqqp sinsinsinsincoscoscoscos


070 yx , 3:5sin:sin yx


0150 yx , 2:1sin:sin yx


0

20 yx , 1111:1044cos:cos yx


0100 yx , 7:3cos:cos yx


050 yx , 11:5tan:tan yx


60 yx , 2:1tan:tan yx


0100 yx dan 6,0cossin yx


015 yx dan 36,0sincos yx


070 yx dan 25,0tantan yx


050 yx dan 5,1tantan yx


C.H Edwards, Jr and David Penney. 1982. Calculus and Analytic

Geometry. New Jersey, USA: Prentice-Hall Inc Englewood.

Edwin J. Purcell., Dale Varberg., Steven E. Rigdon., I Nyoman Susila

(Ed.). 2007. Kalkulus. Jilid I Edisi IX. Jakarta: Erlangga.

John B. Reade. 2003. Calculus with Complex Numbers. London, New

York: Taylor and Francis Inc.

Louis Leithold, 1988. Kalkulus dan Ilmu Ukur Analitik, Jidil I Edisi V

(alih bahasa S.M Nababan dkk). Jakarta: Erlangga.

Marvin Marcus and Henryk Minc. 1971. College Trigonometry. Boston,

USA: Houghton Miflin Company.

Mega Teguh W. 2004. Trigonometri. Jakarta: Bagian Proyek

Pengembangan Kurikulum Direktorat Pendidikan Menengah

Kejuruan, Direktorat Jendral Pendidikan Dasar dan

Menengah. Departemen Pendidikan Nasional.

Murray R Spiegel. 1984. Transformasi Laplace, Seri Buku Schaum teori

dan soal-soal. (terjemahan Pantur Silaban dan Hans Wospakrik).

Jakarta: Erlangga.

Murray R. Spiegel, 1981. Theory and Problems of Complex Variables with

an Introduction to Comformal Mapping. Singapore: Mc Graw-Hill

International Company,

Mustofa Usman, 1988. Kumpulan Kuliah Trigonometri untuk Program

Sarjana dan Diploma Jurusan MIPA. Fakultas Keguruan dan

Ilmu Pendidikan Universitas Lampung.

REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK

Documents

Transcript of REPRESENTASI PEUBAH KOMPLEK