BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Pada pelajaran sebelumnya kita telah mempelajari tentang deret. Pada

makalah ini, kita akan mempelajari tentang Residu dan Teorema residu,

dimana dalam mengerjakan residu dan teorema residu ini sangat

membutuhkan deret yaitu deret Laurent. Seperti yang kita lihat deret Laurent

adalah bentuk umum deret Taylor, yang di dalamnya memuat bentuk (z−z0)

berpangkat bilangan bulat negatif ditambah dengan bentuk (z−z0)

berpangkat bilangan bulat positif (berhingga atau tak berhingga).

Penguraian deret Laurent pada subbab sebelumnya bahwa f z0 pada

dan anulus terbukar<|z−z0|< ρ dinamakan anulus konveregensi deret.

Perhatikan bahwa kita dapat juga menuliskan deret itu dalam bentuk

∑n=−∞

∞

cn( z−z0)n

dengan koefisiennya diberikan oleh rumus :

cn=1

2 πi∮c

f ( z )( z−z0 )

n+1 dz ,

n=0 , ±1 , ±2 ,…,

di mana c adalah sembarang lintasan tertutup sederhana yang berorientasi

positif yang terletak di dalam anulus konvergensi dan memuat pusat

penguraian z0 di bagian dalamnya.

Nilai residu sendiri adalah b1 pada deret Laurent sehinggga

dirumuskan Residu sendiri terbagi menjadi dua yaitu residu pada kutub

1

tunggal dan residu pada kutub1=Re s [ f , z=z0 ] . b ke n. Residu dan Teorem

Residu (Teorema Chaucy Residu) memiliki hubungan dimana pencarian dari

Teorema Chaucy Residu merupakan jumlah dari R es(f ( z ) , zk ).

1.2 Rumusan Masalah.

1.2.1 Apa pengertian residu?

1.2.2 Bagaimana residu pada kutub tunggal?

1.2.3 Bagaimana residu pada kutub n?

1.2.4 Apa isi teorema residu?

1.3 Tujuan

1.3.1 Mahasiswa mengetahui pengertian residu.

1.3.2 Mahasiswa dapat memahami residu pada kutub tunggal.

1.3.3 Mahasiswa dapat memahami residu pada kutub n.

1.3.4 Mahasiswa dapat memahami isi teorema residu.

1.4 Manfaat

Mahasiswa dapat memahami residu dan teorema residu.

2

BAB II

PEMBAHASAN

Diperlukan pemahaman mengenai fungsi analitik, singularitas dan

beberapa deret pada fungsi kompleks khususnya deret laurent untuk memahami

bahasan mengenai residu dan juga teorema residu. Sehingga akan dipaparkan

sekilas mengenai fungsi analitik, singularitas, dan deret-deret pada fungsi

kompleks.

Sebelumnya, ada baiknya untuk mengetahui pengertian residu agar

mengetahui lingkup bahasan dan hubungan-hubungan antara fungsi analitik,

singularitas, dan deret laurent dengan residu.

Residu merupakan bilangan b1 yang merupakan koefisien dari ( z−z0 )−1

pada deret laurent suatu fungsi f(z). Suatu fungsi dapat dinyatakan dalam deret

laurent apabila fungsi tersebut memiliki titik singular terisolasi. Dimana titik

singular sendiri merupakan titik yang menyebabkan fungsi f(z) gagal analitik.

2.1 Fungsi Analitik, Singularitas dan Deret Laurent

2.1.1 Fungsi Analitik

Fungsi f(z) disebut analitik di titik z0 apabila f'( z ) ada di semua

titik pada suatu lingkungan z0. Untuk menguji keanalitikan suatu

fungsi kompleks w = f(z) = u (x,y) + iv (x,y) digunakan persamaan

Cauchy-Riemann. Persamaan Cauchy-Riemann merupakan persamaan

yang sangat penting pada analisis kompleks. Karena persamaan ini

3

digunakan untuk menguji keanalitikan suatu fungsi kompleks w =

f(z) = u (x,y) + iv (x,y).

Fungsi f dikatakan analitik pada domain D jika dan hanya jika

turunan parsial pertama dari u dan v memenuhi persamaan Cauchy –

Riemann, yaitu

ux=v y uy=−vx

dengan,

ux=∂u∂ x

u y=∂u∂ y

v x=∂v∂ x

v y=∂ v∂ y

Beberapa hal yang perlu diperhatikan :

Jika f(z) analitik pada setiap titik di himpunan S maka f(z) analitik

pada S.

Jika f(z) analitik di seluruh bidang kompleks maka f(z) fungsi

menyeluruh / fungsi utuh (entire function).

Daerah keanalitikan (region of analycity) bagi f adalah keseluruhan

titik pada bidang datar yang membuat f analitik.

2.1.2 Singularitas

Titik z0 dinamakan titik singular bagi f jika dan hanya jika f

gagal menjadi analitik pada z0 tetapi setiap lingkungan z0 memuat

paling sedikit satu titik yang membuat f analitik.

Jika f ( z ) tidak analitik di z0 dan ∀ N r (z0 ) ,∃ z∈N r( z0 )

sehingga f analitik di z maka z0 titik singular f ( z ) . Terdapat dua

macam titik singular, yaitu sebagai berikut.

4

a. Titik Singular Terasing

Titik z0 merupakan titik singular terasing f jika ∃ N r ( z0)

sehingga f analitik ∀ z∈N r( z0 ) kecuali di z0 sendiri. Andaikan

sekarang bahwa z0 merupakan singularitas fungsi f (z). Maka z0

akan dinamakan Singularitas terasing f , asal ada suatu lingkungan

terhapus z0, dimana f analitik. Misalnya, fungsi f ( z )= 4 iz2+1

mempunyai singularitas terasing, suatu pada +i dan satu lagi pada

– i. Ini tidak sulit untuk melihat, karena suatu lingkungan terhapus

dengan jari-jari 1 (atau kurang) dapat dilukis di sekeliling salah

satu dari kedua titik itu dimana f analitik di dalamnya.

Singularitas terasing lebih jauh digolongkan sebagai

berikut. Andaikan bahwa z0 merupakan singularitas terasing fungsi

f (z). Maka f (z) analitik diseluruh suatu lingkungan terhapus.

b. Titik Singular Tidak Terasing

Titik z0 merupakan titik singular tak terasing, bagi fungsi f

jika hanya jika z0 singularitas bagi f dan setiap lingkungan z0

memuat paling sedikit satu singularitas f yang lain dari z0. Misal,

fungsi f ( z )=log z, mempunyai singularitas tak terasing pada setiap

titik di sumbu nyata tak positif.

Secara umum, setiap fungsi yang dikaitkan dengan suatu

potongan cabang memiliki singularitas tak terasing. Karena,

menurut definisi, setiap lingkungan terhapus bagi singularitas tak

5

terasing fungsi f memuat paling sedikit satu singularitas f yang

lain.

Ini bearti bahwa jika suatu fungsi mempunyai satu

singularitas tak terasing, maka mempunyai tak berhingga banyak

singularitas, meskipun tidak perlu tak terasing.

2.1.3 Deret-Deret pada Bilangan Kompleks

A. Deret Pangkat

Deret pangkat dalam z−z0 berbentuk :

∑n=0

∞

an( z−z0 )n=a0+a1( z−z0 )+a2( z−z0 )

2+⋯

dengan dengan z bilangan kompleks, z0 bilangan kompleks

sebarang yang disebut pusat deret, a0 , a1 , a2 , ⋯ konstanta

kompleks yang disebut koefisien deret.

Apabila z0=0 diperoleh bentuk khusus dari suatu deret pangkat

dalam z yaitu

∑n=0

∞

an zn=a0+a1 z+a2 z2+⋯

Untuk setiap deret pangkat ∑n=0

∞

an( z−z0 )n

terdapat

bilangan tunggal ρ dengan 0≤ρ≤∞ yang dinamakan jari-jari

kekonvergenan deret. Sedangkan | z−z0|=ρ disebut lingkaran

kekonvergenan deret.

6

B. Deret Taylor dan Deret Maclaurin

Suatu fungsi f ( z ) tidak dapat direpresentasikan dalam

dua deret pangkat dengan pusat deret yang sama. Apabila f ( z )

dapat dinyatakan dalam deret pangkat dengan pusat z0 , maka

deret tersebut tunggal. Setiap fungsi analitik dapat disajikan

dalam deret pangkat. Apabila f ( z ) analitik di dalam lingkaran C

maka f ( z ) dapat disajikan dalam deret Taylor atau deret

MacLaurin bergantung pada pusat deretnya.

Jika f ( z ) analitik di dalam lingkaran C yang berpusat di

z0 dan berjari-jari r0 , maka untuk setiap titik z di dalam C

berlaku

f ( z )=f ( z0 )+∑n=1

∞ f (n )( z0 )n! (z−z0 )n

Persamaaan ini disebut Deret Taylor dari f ( z ) di sekitar

titik z0 .

Jika pada persamaan deret Taylor, z0=0 maka untuk

setiap titik z di dalam C berlaku

f ( z )=f (0 )+∑n=1

∞ f (n )(0 )n !

zn

Persamaan ini disebut Deret MacLaurin dari f ( z ) .

7

C. Deret Laurent

Apabila f ( z ) tidak analitik di z0 , tetapi f ( z ) analitik

untuk setiap z di dalam annulus R2<| z−z0|<R1 , maka f ( z )

dapat diekspansi dalam deret Laurent.

Gambar 1. Annulus R2<| z−z0|<R1

Jika f ( z ) analitik di dalam annulus R1<| z−z0|<R2 ,

dan C sebarang lintasan tertutup sederhana di dalam annulus

R1<| z−z0|<R2 yang mengelilingi z0 , maka untuk setiap z di

dalam R1<| z−z0|<R2 , f ( z ) dapat dinyatakan sebagai

f ( z )=∑n=0

∞an ( z−z0 )

n+∑n=1

∞ bn

( z−z0 )n

dengan

an=1

2 π i ∮C

f ( z )( z−z0)

n+1 dz , n=0 , 1 , 2 , …

bn=1

2π i ∮C

f ( z )( z−z0 )

−n+1 dz , n= 1 , 2 , 3 , …

8

Persamaan f(z) tersebut sering ditulis dalam bentuk

f ( z )= ∑n=−∞

∞

cn ( z−z0 )n

dengan,

cn=1

2 π i ∮C

f ( z )( z−z0 )

n+1 dz , n=0 , ±1 , ±2 , …

Ruas kanan persamaan dua persamaan tersebut disebut

Deret Laurent f ( z ) dalam annulus R1<| z−z0|<R2 . Apabila

f ( z ) analitik untuk | z−z0 |<R2 , maka

an=1

2 π i ∮C

f ( z )( z−z0 )

n+1 dz =f n (z0 )

n !

dan

bn=1

2π i ∮C

f ( z )( z−z0 )

−n+1 dz =0

sehingga persamaan f ( z )=∑

n=0

∞an ( z−z0 )

n+∑n=1

∞ bn

( z−z0 )n

menjadi deret Taylor f ( z )=∑

n=0

∞ f n(z0)n !

( z−z0 )n

. Dengan cara

yang sama dapat diperlihatkan bahwa deret Laurent suatu f (z)

konvergen seragam ke f pada setiap titik dalam sembarang

himpunan tertutup didalam anulus konvergensinya. Sebagai

akibatnya, ialah bahwa, seperti dalam kasus deret Taylor, suatu

deret Laurent dapat didiferensialkan atau diintegralkan suku demi

suku di dalam anulus konvergensinya.

9

Telah diperlihatkan juga bahwa penguraian deret Laurent

suatu fungsi pada anulus yang diberikan ada, maka ia tunggal.

Kenyataan ini menjamin bahwa sekali deret Laurent telah

diperoleh untuk fungsi yang diberikan f (z), maka penguraian itu

pastilah deret Laurent bagi f .

Perhatikan bahwa jika bn=0 maka deret Laurent menjadi

deret Taylor, Jadi deret Taylor merupakan kejadian khusus dari

deret Laurent.

Penting untuk diperhatikan bahwa, jika diketahui suatu

fungsi f ( z )dan suatu titik z0 pada bidang datar, adalah mungkin

bahwa f dapat mempunyai lebih dari suatu deret Laurent dengan

pusat z0 , tergantung pada anulus konveregensi dimana derel

Laurent itu menyatakan f .

2.2 Pengertian Residu

Residu adalah nilai dari b1 dari deret Laurent. Jika z0 titik singular

terasing fungsi f maka ∃ r>0 sehingga f analitik di dalam daerah

D= {z | 0<|z−z0|<r } . Selanjutnya, fungsi f dapat dinyatakan dalam deret

Laurent di dalam D, yaitu

f ( z )=∑

n=0

∞an ( z−z0 )

n+∑n=1

∞ bn

( z−z0 )n

= ∑n=0

∞an( z−z0 )

n+b1

( z−z0 )+

b2

( z−z0 )2 +⋯

10

dengan bn=

12 πi∮C

f ( z )( z−z0 )

−n+1 dz , n=1, 2 , … dan C adalah sebarang

lintasan tertutup berarah positif di dalam D yang mengelilingi z0 .

Khusus untuk n = 1 diperoleh,

b1=1

2 πi∫Cf ( z )

( z−z0)−1+1 dz= 1

2 πi∫Cf ( z ) dz

Bilangan kompleks b1 yaitu koefisien dari ( z−z0 )−1

pada deret

Laurent fungsi f di sekitar titik singular terasing z0 disebut residu f di titik

singular terasing z0 , ditulis

b1=Re s [ f , z=z0 ] .

Setiap fungsi mempunyai residu di titik singularnya.

Contoh :

Diketahui f ( z )= e− z

( z−2 )3. f ( z ) mempunyai titik singular terasing z0=2 ,

sehingga f analitik di dalam daerah D= {z | 0<|z−2|<∞ } . Deret Laurent

fungsi f di dalam D yaitu

e−z

( z−2 )3 =e−2e−( z−2)

( z−2 )3 =e−2

( z−2)3 e−( z−2)

=e−2

( z−2)3 [1+(−( z−2))+(−( z−2) )2

2 !+⋯]

=e−2

( z−2 )3 [1−( z−2 )+( z−2 )2

2!+⋯]

=e−2 [1( z−2 )3 −1( z−2 )2 +1

2( z−2 )+⋯]

11

Diperoleh b1=Re s [ f , z=2 ]= e−2

2= 1

2 e2.

2.3 Residu pada Kutub Tunggal

Jika bagian utama f di titik singular terasing z0 memuat paling sedikit

satu suku tak nol dan jumlah suku tak nol tersebut berhingga, maka terdapat

bilangan asli m sehingga bm≠0 , sedangkan bm+1=bm+2=⋯=0 . Deret

Laurent fungsi f menjadi

f ( z )=∑n=0

∞an ( z−z0 )

n+b1

( z−z0 )+

b2

(z−z0 )2+⋯+

bm

( z−z0 )m

Selanjutnya z0 disebut kutub (pole) tingkat m. Jika m = 1 maka z0 disebut

kutub tunggal (simple pole).

Jika f memiliki tiang sederhana di z = z0, maka

Res ( f (z ) , z0 )=limz → z0

( z−z0 ) f (z)

Bukti :

Karena f memiliki kutub tunggal di z = z0, yang konvergen ekspansi Laurent

pada batas 0 <| z - z0 | <R memiliki bentuk :

f ( z )=a−1

z−zn+a0+a1 ( z−z0 )+a2 ( z−z0 )+…

Ketika a−1≠ 0. Dengan mengalikan kedua kedua sisi deret ini oleh z - z0.

Kemudian mengambil batas sebagai z → z0 kita peroleh

12

limz → z0

( z−z0 ) f ( z )=¿ limz→ z0

[ a−1+a0 ( z−z0 )+a1 ( z−z0 )2+…]¿

¿a−1=Res ( f ( z ) , z0)

contoh :

Fungsi f ( z )= 1( z−1 )2(z−3)

memiliki kutub tunggal di z=3. Gunakan

Teorema untuk menemukan residu.

Solusi :

Karena z=3 adalah kutub sederhana, kita menggunakan :

Res ( f ( z ) ,3 )= limz →3

( z−3 ) f ( z )= limz →3

1(z−1)2 =

14

2.4 Residu pada Kutub n

Jika f memiliki kutub order ke n pada z=z0, maka

Res ( f (z ) , z0 )= 1(n−1 )!

limz→ z0

dn−1

dzn−1 ( z−z0 )n f (z )

Bukti:

Karena f diasumsikan untuk memiliki kutub order ke n pada z=z0, itu adalah

Laurent Ekspansi konvergen pada batas 0<¿ z−z0∨¿ R memiliki bentuk

f ( z )=a−n

(z−z0)n +…+

a−2

( z−z0 )2+

a−1

( z− z0 )1 +a0+a1 ( z−z0 )+…

Dimana a−n ≠ 0. Kita kalikan rumus terakhir oleh (z−z0)n,

(z−z0)n f ( z )=a−n+…+a−2(z−z0)

n−2+a−1(z−z0)n−1+a0(z−z0)

n+a1(z−z0)n+1+…

dan kemudian membedakan kedua sisi persamaan n−1 kali :

13

dn−1

dzn−1 ( z−z0 )n f ( z )=(n−1 )!+n !a0 ( z−z0 )+…

Karena semua persyaratan di sisi kanan setelah yang pertama melibatkan

pangkat bilangan bulat positif z - z0, limit z → z0 dari persamaan sebelumnya

adalah

limz → z0

dn−1

dzn−1 ( z−z0 )n f ( z )=(n−1 )! a−1

Dengan menyelesaikan persamaan terakhir untuk a−1 memberikan persamaan

Res ( f (z ) , z0 )= 1(n−1 )!

limz→ z0

dn−1

dzn−1 ( z−z0 )n f (z )

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berkurang menjadi

Res ( f (z ) , z0 )=limz → z0

( z−z0 ) f (z) bila n = 1.

Contoh :

Fungsi f ( z )= 1( z−1 )2(z−3)

memiliki kutub order ke 2 di z=1. Gunakan

Teorema residu pada kutub ke n untuk menemukan residu.

Solusi : Karena z=1 adalah kutub ke n, kita gunakan :

Res ( f ( z ) ,1 )= 11!

limz → 1

dn−1

dzn−1 ( z−1 )2 f (z )

= limz → 1

dn−1

dzn−11

z−3

= limz → 1

−1(z−3)2

= −14

14

2.5 Teorema Residu

Sekarang kita akan mengetahui alasan mengapa teorema residu

sangalah penting. Teorema berikut menyatakan bahwa dalam kondisi tertentu

kita dapat mengevaluasi integral kompleks ∮c

❑

f (z ) dz dengan menjumlahkan

residu di singularitas terisolasi dari f dalam kontur tertutup C.

Andaikan bahwa f (z) analitik pada dan di dalam lintasan tertutup

sederhana C yang berorientasi positif, kecuali pada bidang berhingga

banyaknya titik z1 , z2 ,…, zn yang masing-masing merupakan singularitas

terasing f . Maka

∫c

❑

f ( z )dz=2πi (¿ R es [ f , z1 ]+…+R es [ f , zn])¿

Bukti :

Karena setiap zk merupakan singularitas terasing f , maka kita

mungkin untuk menemukan lingkaran ck , k=1 , 2 ,…,n, sedemikian hingga

masing-masing terletak dalam lingkaran-lingkaran yang berpusat pada z0

yang bersangkutan, tidak mengandung singularitas yang lain dibagian

dalamnya, kecuali zk yang menjadi pusatnya, dan tidak melewati suatu

15

singularitas f yang lain, maka untuk setiap ck yang berorientasi positif kita

mempunyai

∫c k

❑

f ( z )dz=2 πi R es [ z , zk¿]¿

Akhirnya, berdasarkan teorema anulus berganda, kita mempunyai

∫c

❑

f ( z )dz=∫c1

❑

f ( z )dz+∫c2

❑

f ( z) dz+…+∫cn

❑

f ( z )dz

¿2πi ¿

2.5.1 Cauchy Residu Teorema

Misalkan D menjadi domain terhubung dan C kontur tertutup sederhana

didalam D. Jika fungsi f adalah analitik dan dalam C, kecuali pada

jumlah terbatas tunggal poin terisolasi z1,z2 ,. . . , zn dalam C, maka

∮c

❑

f (z ) dz=2 πi∑k=1

n

Res( f ( z ) , zk)

Bukti:

Misalkan C1, C2,. . . , Cn adalah lingkaran berpusat di z1,z2 ,. . . ,

zn respectively. Misalkan masing-masing lingkaran C k memiliki radius

rk cukup kecil sehingga C1, C2,. . . , Cn saling beririsan dan didalam

kurva tertutup C. kita melihat bahwa ∮Ck

❑

f (z ) dz=2 πi Res¿¿ dan menurut

Teorema kita harus :

∮c

❑

f (z ) dz=∑k=1

n

∮Ck

❑

f ( z )dz=2 πi∑k=1

n

Res (f ( z ) , zk )

Contoh :

16

Evaluasi ∮c

❑ 1( z−1 )2(z−3)

dz dimana kontur C adalah persegi panjang

yang didefinisikan oleh x=0 , x=4 , y=−1 , y=1 , dan lingkaran

¿ z∨¿2.

Solusi :

Karena kedua z=1 dan z=3 adalah tiang dalam persegi panjang yang

kita miliki dari teorema Chaucy Residu :

∮c

❑ 1( z−1 )2 ( z−3 )

dz=2 πi [ Res (f ( z ) ,1)+Res (f ( z ) ,3 ) ]

Kita mengetahui nilai resedu dari contoh kutub tunggal.

∮c

❑ 1( z−1 )2 ( z−3 )

dz=2πi [(−14 )+ 1

4 ]=0

Karena hanya z1 tiang terletak dalam lingkaran ¿ z∨¿2 , kita memiliki

∮c

❑ 1( z−1 )2(z−3)

dz=2 πi Res ( f ( z ) ,1 )=2 πi(−14 )=−π

2i

17

BAB III

PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Berdasarkan pembahsan yang telah dipaparkan, maka dapat disimpulkan :

Bilangan kompleks b1 yaitu koefisien dari ( z−z0 )−1

pada deret Laurent

fungsi f di sekitar titik singular terasing z0 disebut residu f di titik

singular terasing z0 , ditulis

b1=Re s [ f , z=z0 ] .

Residu pada kutub tunggal dapat didefinisikan jika f adalah sebuah kutub

tunggal pada z=z0 maka rumus dari residu kutub tunggal adalah

Res ( f (z ) , z0 )=limz→ z0

( z−z0 ) f (z )

Residu pada kutub ke n dapat didefinisikan jika f sebuah kutub ke n pada

z=z0 maka rumus residu pada kutub ke n dapat didefinisikan sebagai

berikut.

Res ( f (z ) , z0 )= 1(n−1 )!

limz → z0

dn−1

dzn−1 ( z−z0 )n f (z )

Teorema Residu dapat didefinisikan sebagai teorema Residu Chaucy,

misalkan D menjadi domain terhubung dan C kontur tertutup sederhana

didalam D. Jika fungsi f analitik dan dalam C, kecuali pada jumlah

terbatas tunggal poin terisolasi z1,z2 ,. . . , zn dalam C, maka

∮c

❑

f (z ) dz=2 πi∑k=1

n

Res( f ( z ) , zk )

18

DAFTAR PUSTAKA

Chen, WWL. 2008. Introduction to Complex Analysis. University of London.

J.W., Brown and R.V., Churchill. 2009. Complex Variabbles and Applications.

Mc Graw. Hill.

Knill, Oliver. 1996. The Residue Theorem and Its Applications. Caltech.

Paliouras, John D. 1975. Complex Variables For Scientists And Engineers.

Rochester Institute of Technology.

Pyrih, Pavel. 2012. Complex Variable solved Problems. Jones and Bartlett

Learning, LLC.

Schroder, Bernd. 2005. The Residue Theorem. Lousiana Tech University.

T.W., Gamelin. 2001. Complex Analysis. Springer.

Zill, Dennis and friends. 2003. A First course in complex analysis with

applications . Loyola Marymount University.

19