Relacije (Diskretne strukture)

Šta je to relacija?Šta je to relacija?Šta je to relacija?

U raznim oblastima se cesto javlja potreba da se izmedu izvesnih ob-

jekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.

Na primer, cesto se javlja potreba

➠ da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,

➠ da se poredaju u skladu sa nekim pravilom,

➠ da se odrede izvesne slicnosti izmedu objekata, i da se oni grupisu

u grupe medusobno slicnih objekata, itd.

U matematici se sve ovo moze uraditi koriscenjem matematickog pojma

relacije, koji definisemo i bavimo se njime u daljem tekstu.

Diskretne strukture – 2 – Relacije - I deoDiskretne strukture – 2 – Relacije - I deoDiskretne strukture – 2 – Relacije - I deo

Binarne relacijeBinarne relacijeBinarne relacije

Binarnu relaciju na nepraznom skupu A definisemo kao bilo koji pod-

skup Dekartovog kvadrata A2:

⊆ A2.

Ako je

(x, y) ∈ ,

onda kazemo

x je u relaciji sa y.

Cesto umesto (x, y) ∈ pisemo x y.


Primeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacija

a) Skup = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} je jedna binarna relacija na skupu

{1, 2, 3}. Umesto (1, 2) ∈ , pise se 1 2.

Kako je to relacija manje za brojeve, uobicajeno oznacavanje je

1 < 2.

b) Na partitivnom skupu proizvoljnog skupa A, inkluzuja ⊆ je jedna

binarna relacija.

c) Skup {(x, x) | x ∈ A} odreduje relaciju jednakosti na nepraznom

skupu A; oznaka relacije je =, odnosno pise se a = a za svaki

element a ∈ A.


Primeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacijaPrimeri binarnih relacija

d) Poznate binarne relacije na skupu prirodnih brojeva N, pored jed-

nakosti, jesu i <, 6, |, a njihove definicije su:

x < y ⇔ (∃z)(x + z = y) manje (strogo manje)

x 6 y ⇔ (x = y ∨ x < y) manje ili jednako

x | y ⇔ (∃z)(x · z = y) deli, je delitelj

Analogno prvim dvema definisu se i relacije

> vece (strogo vece) > vece ili jednako


n-arne relacijen-arne relacijen-arne relacije

Slicno pojmu binarne relacije, za bilo koji prirodan broj n uvodimo

pojam n-arne relacije na nepraznom skupu A koja se definise kao

bilo koji podskup Dekartovog stepena An.

Broj n se naziva arnost ili duzina relacije .

Relacije arnosti 1 nazivamo unarne relacije.

Unarne relacije su zapravo “obicni” podskupovi skupa A.

Relacije arnosti 2 su upravo binarne relacije.

Relacije arnosti 3 nazivamo ternarne relacije.

U matematici se najcesce radi sa binarnim relacijama.

Zato, jednostavnosti radi, umesto binarna relacija mi govorimo krace

samo relacija.


Primeri n-arnih relacijaPrimeri n-arnih relacijaPrimeri n-arnih relacija

a) Ako je A skup tacaka na pravoj, onda se svojstvom

x je izmedu y i z

definise jedna ternarna relacija na A.

b) Skup

{(x, y, z) | x2 + y2 = z2}

je ternarna relacija na skupu R.

c) Skup Np parnih brojeva je unarna relacija na skupu N.


Grafi cko predstavljanje relacijaGrafi cko predstavljanje relacijaGrafi cko predstavljanje relacija

Kao sto smo ranije rekli, Dekatrov kvadrat A2 skupa A se graficki

predstavlja kvadratom cija donja i leva ivica predstavljaju skup A.

Binarne relacije na A se u tom slucaju predstavljaju kao skupovi tacaka

sa odgovarajucim koordinatama u tom kvadratu.

U ovom primeru je (a, b) ∈ , sto pisemo a b, dok (c, d) /∈ .


Grafi cko predstavljanje relacijaGrafi cko predstavljanje relacijaGrafi cko predstavljanje relacija

Ako je skup A konacan, onda kvadrat A2 predstavljamo mrezom hori-

zontalnih i vertikalnih duzi, ciji preseci predstavljaju tacke iz A2.

Relaciju ⊆ A2 predstavljamo tako sto parove tacaka iz u toj mrezi

oznacavamo malim kruzicima.

a b c da

b

c

d

Na primer, za A = {a, b, c, d}, gornja slika predstavlja relaciju

= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)}.


Bulove matriceBulove matriceBulove matrice

Relacija na konacnom skupu A = {a1, a2, . . . , an} moze se pred-

staviti i Bulovom matricom

M =

α1,1 α1,2 . . . α1,n

α2,1 α2,2 . . . α2,n

. . . . . . . . . . . .

αn,1 αn,2 . . . αn,n

gde je

αi,j =

{

1 ako (ai, aj) ∈

0 ako (ai, aj) /∈

Matrica se naziva Bulovom jer se sastoji samo od Bulovih vrednosti –

nula (oznaka za netacno) i jedinica (oznaka za tacno).


Primer Bulove matricePrimer Bulove matricePrimer Bulove matrice

Ranije razmatrana relacija

= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)},

na skupu A = {a, b, c, d}, moze se predstaviti Bulovom matricom:

M =

0 1 1 0

0 1 1 0

0 1 0 1

1 0 0 1

Primetimo da ova matrica veoma lici na kvadratnu mrezu (rotiranu za

−90◦), kojom je ranije bila predstavljena ista ova relacija.


Relacije i grafoviRelacije i grafoviRelacije i grafovi

Jos jedan nacin grafickog predstavljanja relacija je uz pomoc grafova.

Orijentisani graf ili digraf je uredeni par (G, E) za koji vazi:

– G je neprazan skup, koji nazivamo skupom cvorova, a njegove

elemente cvorovima grafa;

– E ⊆ G2 je neprazan skup koji nazivamo skupom grana, a njegove

elemente granama grafa.

Jasno, E je nista drugo do binarna relacija na skupu cvorova G.

Za granu e = (a, b) ∈ E kazemo da pocinje u cvoru a a zavrsava se u

cvoru b, sto graficki predstavljamo na sledeci nacin:

a b


Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.

Neka je graf G = (G, E) zadat sa:

G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.

Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:


Primer grafaPrimer grafaPrimer grafa

Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,

umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.

Neka je graf G = (G, E) zadat sa:

G = {a, b, c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.

Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:

a b

c


Još jedan primer grafaJoš jedan primer grafaJoš jedan primer grafa

Neka je graf (G, E) graficki prikazan sa

a b

c

Tada je G = {a, b, c} i

E = {(a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)}.

Napomenimo da granu oblika (a, a) zovemo petlja.


Malo o terminologijiMalo o terminologijiMalo o terminologiji

Naziv ”graf” potice upravo od grafickog nacina njihovog predstavljanja.

Naziv ”orijentisani graf” istice cinjenicu da kod svake grane razlikujemo

njen pocetni i njen zavrski cvor.

U grafickom predstavljanju grafa, orijentacija je odredena strelicom.

”Digraf” je skracenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku

– ”directed graph”.

U matematici se takode izucavaju i neorijentisani grafovi.

Za razliku od orijentisanih grafova, kod kojih je grana uredeni par

cvorova, kod neorijentisanih grafova grana je neuredeni par cvorova.


Predstavljanje relacija - primeriPredstavljanje relacija - primeriPredstavljanje relacija - primeri

Zadatak 1.1. Neka je A = {2, 4, 5, 8, 9, 10} i neka je relacija na A

definisana sa

a bdef⇔ a deli b u skupu N.

(a) Predstaviti relaciju kao skup uredenih parova.

(b) Predstaviti relaciju grafom.

(c) Predstaviti relaciju Bulovom matricom.

Resenje: a) Imamo da je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}.



(b) Kako je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},

se moze predstaviti grafom na jedan od sledecih nacina:

2

45

8

910

2

45

8

9 10



(c) Kako je

= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),

(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},

se moze predstaviti sledecom Bulovom matricom:

1 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 1



Kako se iz ovog predstavljanja ne vidi bas jasno koja vrsta, odnosno

kolona, odgovara odredenom elementu iz A, to relaciju mozemo

predstaviti i tablicom

2 4 5 8 9 10

2 1 1 0 1 0 1

4 0 1 0 1 0 0

5 0 0 1 0 0 1

8 0 0 0 1 0 0

9 0 0 0 0 1 0

10 0 0 0 0 0 1


Neke važne relacijeNeke važne relacijeNeke važne relacije

Prazna relacija definise se kao prazan podskup od A2.

Puna ili univerzalna relacija definise se kao ceo skup A2.

Relacija jednakosti na skupu A naziva se cesto i dijagonalna relacija ili

dijagonala i oznacava se sa ∆.

Dakle, ∆ = {(x, x) | x ∈ A}


Operacije sa relacijamaOperacije sa relacijamaOperacije sa relacijama

Kako relacije na skupu A predstavljaju podskupove od A2, to se poj-

movi presek relacija, unija relacija i komplement relacije definisu kao

preseci skupova:

∩ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ};

∪ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∨ (x, y) ∈ θ};

= {(x, y) ∈ A2 | (x, y) 6∈ }.


Jednakost i inkluzija relacijaJednakost i inkluzija relacijaJednakost i inkluzija relacija

Jednakost relacija takode definisemo kao jednakost skupova,

= θdef⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇔ (x, y) ∈ θ ),

a inkluziju relacija kao inkluziju skupova:

⊆ θdef⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇒ (x, y) ∈ θ ).


Inverzna relacijaInverzna relacijaInverzna relacija

Inverzna relacija relacije na skupu A, u oznaci −1, je relacija na

skupu A definisana sa:

−1 = {(y, x) ∈ A2 | (x, y) ∈ }.

Na slici se vidi da se inverzna relacija −1 dobija rotacijom relacije

oko dijagonale.


Primeri operacija sa relacijamaPrimeri operacija sa relacijamaPrimeri operacija sa relacijama

Razmatramo relacije na skupu prirodnih brojeva N.

a) Presek relacija 6 i > je relacija jednakosti, a njihova unija je puna

relacija, tj. N2.

b) Komplement relacije < je relacija >, a inverzna relacija za < je

relacija >.

c) Relacija jednakosti je sama sebi inverzna, a njen komplement je

relacija 6=.

d) Relacija deli, |, je podskup relacije 6.


Kompozicija relacijaKompozicija relacijaKompozicija relacija

Kompozicija ili proizvod relacija i θ na skupu A je relacija ◦ θ na

A, definisana na sledeci nacin:

◦ θ = {(x, y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)((x, z) ∈ ∧ (z, y) ∈ θ)}

odnosno

◦ θ = {(x, y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)( x z ∧ z θ y )}

Drugim recima, relacija θ se nastavlja (nadovezuje) na .

To nadovezivanje moze se graficki prikazati na sledeci nacin

x z y

θ


Primer kompozicije relacijaPrimer kompozicije relacijaPrimer kompozicije relacija

Neka je A = {a, b, c, d}, i

= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.

Tada je

◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.


Isti primer – drugi na cinIsti primer – drugi na cinIsti primer – drugi na cin

Neka je ponovo A = {a, b, c, d}, i

= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.

Ove relacije mozemo graficki predstaviti

tako da relaciji odgovaraju plave strelice,

a relaciji θ crvene.

Tada relacijama ◦ θ i θ ◦ odgovaraju

kombinacije strelica:

◦ θ: plava–crvena; θ ◦ : crvena–plavaa b

c d

Dakle,

◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.


Asocijativnost kompozicijeAsocijativnost kompozicijeAsocijativnost kompozicije

Tvrdenje 1: Za proizvoljne relacije , θ i σ na skupu A vazi:

◦ (θ ◦ σ) = ( ◦ θ) ◦ σ,

tj. kompozicija relacija je asocijativna operacija.

Dokaz:

Dokazacemo samo da vazi inkluzija

◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ,

jer se obratna inkluzija dokazuje na potpuno isti nacin.



a b

◦ (θ ◦ σ)

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒

⇒

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A) ∧

⇒

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧

⇒

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A) (a, x) ∈ ∧

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

y

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

∧)

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧)

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)(

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ)

∧ (y, b) ∈ σ

⇒

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)(

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ)

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A) ∧ (y, b) ∈ σ

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)(

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ)

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

( ◦ θ) ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)(

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ)

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ



a b

◦ (θ ◦ σ)

x

θ ◦ σ

yθ σ

◦ θ

( ◦ θ) ◦ σ

(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒

⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ

⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧(

(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ)

⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)(

(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ)

∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ

⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ

Ovim smo dokazali da je ◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ.


Druga svojstva kompozicijeDruga svojstva kompozicijeDruga svojstva kompozicije

Tvrdenje 2: Postoji skup A i relacije i θ na A takve da je

◦ θ 6= θ ◦ .

tj. da kompozicija relacija ne mora biti komutativna operacija.

Dokaz: U primeru kompozicije relacija koji smo dali napred je

◦ θ 6= θ ◦ ,

sto dokazuje nase tvrdenje.



Tvrdenje 3: Za proizvoljnu relaciju na skupu A vazi

◦ ∆ = ∆ ◦ = .

Dokaz: Neka je (x, y) ∈ ◦∆. To znaci da postoji z ∈ A takav da je

(x, z) ∈ i (z, y) ∈ ∆, odnosno (x, z) ∈ i z = y, odakle dobijamo

da je (x, y) ∈ . Prema tome, dokazali smo da je ◦ ∆ ⊆ .

Sa druge strane, ako je (x, y) ∈ , tada imamo da je (x, y) ∈ i

(y, y) ∈ ∆, pa prema definiciji kompozicije relacija dobijamo da je

(x, y) ∈ ◦ ∆. Ovim smo dokazali da je ⊆ ◦ ∆, pa konacno

zakljucujemo da je ◦ ∆ = .

Na isti nacin dokazujemo da je ∆ ◦ = .



Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:

(a) ρ ◦ (θ ∪ σ) = (ρ ◦ θ) ∪ (ρ ◦ σ); (ρ ∪ θ) ◦ σ = (ρ ◦ σ) ∪ (θ ◦ σ);

(b) ρ ◦ (θ ∩ σ) ⊆ (ρ ◦ θ) ∩ (ρ ◦ σ); (ρ ∩ θ) ◦ σ ⊆ (ρ ◦ σ) ∩ (θ ◦ σ);

(c) (ρ ∪ θ)−1 = ρ−1 ∪ θ−1;

(d) (ρ ∩ θ)−1 = ρ−1 ∩ θ−1;

(e) (ρ ◦ θ)−1 = θ−1 ◦ ρ−1;

(f) (ρ−1)−1 = ρ;

(g) (ρ)−1 = (ρ−1).

Dokaz: Ostavlja se za vezbu.



Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:

ρ ⊆ θ ⇒ σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, ρ ⊆ θ ⇒ ρ ◦ σ ⊆ θ ◦ σ.

Dokaz: Neka je ρ ⊆ θ.

Ako (x, y) ∈ σ ◦ ρ, tada postoji z ∈ A takav da je (x, z) ∈ σ i

(z, y) ∈ ρ. Kako je ρ ⊆ θ, to imamo da je (x, z) ∈ σ i (z, y) ∈ θ,

sto znaci da je (x, y) ∈ σ ◦ θ.

Prema tome, dobili smo da je σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, cime je dokazana prva

implikacija.

Druga implikacija se dokazuje analogno.


Refleksivne relacijeRefleksivne relacijeRefleksivne relacije

Relacija na skupu A je refleksivna ako za svaki x ∈ A vazi

(x, x) ∈ .

Drugim recima, relacija je refleksivna ako i samo ako je

∆ ⊆

tj., ako sadrzi dijagonalu.

Prema tome, dijagonala je refleksivna relacija.

Za relaciju na A, relacija ∪ ∆ je najmanja refleksivna relacija na A

koja sadrzi , i zovemo je refleksivno zatvorenje relacije .


Simetri cne relacijeSimetri cne relacijeSimetri cne relacije

Relacija na A je simetricna ako za sve x, y ∈ A vazi

(x, y) ∈ ⇒ (y, x) ∈ .

Drugim recima, je simetricna relacija ako je ⊆ −1, sto je ekviva-

lentno sa = −1.

Naziv ”simetricna” potice iz cinjenice da su to relacije simetricne u

odnosu na dijagonalu, sto je prikazano na sledecoj slici:


Antisimetri cne relacijeAntisimetri cne relacijeAntisimetri cne relacije

Relacija na A je antisimetricna ako za sve x, y ∈ A vazi

(x, y) ∈ ∧ (y, x) ∈ ⇒ x = y,

Ovaj uslov je ekvivalentan sa

∩ −1 ⊆ ∆.

Drugim recima, antisimetricna relacija ne moze sadrzati nijedan par

razlicitih tacaka u A2 simetrican u odnosu na dijagonalu.

Odatle i potice naziv ”antisimetricna” relacija.


Tranzitivne relacijeTranzitivne relacijeTranzitivne relacije

Relacija na A je tranzitivna ako za sve x, y, z ∈ A vazi

(x, y) ∈ ∧ (y, z) ∈ ⇒ (x, z) ∈ .

Ekvivalentna formulacija ovog uslova je ◦ ⊆ .

Tranzitivnost se graficki moze predstaviti na sledeci nacin – ako je x

u relaciji sa y, i y je u relaciji sa z, onda se trougao moze zatvoriti

relacijom izmedu x i z:

x y

z


Tranzitivno zatvorenje relacijeTranzitivno zatvorenje relacijeTranzitivno zatvorenje relacije

Neka je relacija na skupu A. Za n ∈ N0, n-ti stepen relacije , u

oznaci n, definisemo sa:

0 def= ∆ 1 def

= n+1 def= n ◦

Takode, relacije + i ∗ definisemo na sledeci nacin:

+ def=

⋃

n∈N

n ∗ def=

⋃

n∈N0

n

a) + je najmanja tranzitivna relacija na A koja sadrzi , i zovemo je

tranzitivno zatvorenje relacije ;

b) ∗ je najmanja refleksivna i tranzitivna relacija na A koja sadrzi ,

i zovemo je refleksivno-tranzitivno zatvorenje relacije .


Putevi u grafuPutevi u grafuPutevi u grafu

Neka je dat graf (G, E), cvorovi a, b ∈ G i neka je

e1 = (a1, b1), e2 = (a2, b2), . . . , en = (an, bn) ∈ E

niz grana za koje vazi

– a = a1 (a je pocetni cvor);

– bn = b (b je zavrsni cvor);

– bk = ak+1 (grana ek+1 se nadovezuje na granu ek), za svaki k,

1 6 k 6 n − 1.

Tada za ovaj niz grana kazemo da je put iz cvora a u cvor b, a broj n

grana u nizu nazivamo duzinom tog puta.

. . .a=a1

b1 =a2 b2 =a3 bn−1 =an bn =b

e1 e2 en


Putevi u grafuPutevi u grafuPutevi u grafu

Tranzitivno zatvorenje relacije na skupu A moze se predstaviti pomocu

puteva u grafu (A, ), na sledeci nacin:

(a, b) ∈ + ako i samo ako postoji put iz a u b.

Takode, za n ∈ N vazi:

(a, b) ∈ n ako i samo ako postoji put duzine n iz a u b.

Na ovaj nacin bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije:

Relacija na skupu A je tranzitivna ako i samo ako svaki put u grafu

(A, ) ima precicu duzine 1, tj., postoji grana koja spaja pocetnu i

krajnju tacku tog puta.


PrimeriPrimeriPrimeri

a) Relacije =, 6, > i | na skupu N prirodnih brojeva su refleksivne.

Sve te relacije su i tranzitivne, = je simetricna a 6, > i | su anti-

simetricne.

Ako relaciju deljenja | posmatramo na skupu celih brojeva, tada

ona nije antisimetricna. Na primer, za svaki ceo broj n 6= 0 vazi:

−n | n i n | −n, pri cemu je n 6= −n.

b) Relacija = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} je refleksivna na skupu {1, 2},

ali nije na skupu {1, 2, 3}, jer ne sadrzi dijagonalu ovog poslednjeg.



c) Relacija = {(x, y) | |x − y| < 1} na skupu realnih brojeva R je

refleksivna i simetricna, ali nije tranzitivna.

d) Relacija paralelnosti za prave u ravni:

p‖qdef⇔ p i q se ne seku ili se poklapaju

je refleksivna, simetricna i tranzitivna.

Relacija ortogonalnosti

p⊥qdef⇔ p i q se seku pod pravim uglom

je samo simetricna.



Zadatak 1.2. Neka je na skupu celih brojeva zadata sledeca relacija

x y ⇔ (∃u ∈ Z) x = yu.

Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:

(a) refleksivna

(b) simetricna

(c) anti-simetricna

(d) tranzitivna

Resenje: Dokazacemo da ova relacija ima svojstva (a) i (d), a nema

ostala svojstva.

(a) Relacija je refleksivna jer za svaki x ∈ Z vazi da je x = x · 1, sto

znaci da je x x.



(b) Relacija nije simetricna jer je, na primer, 6 2, a nije 2 6.

Naime, postoji u ∈ Z tako da je 6 = 2 ·u (u = 3), ali ne postoji v ∈ Z

tako da je 2 = 6 · v.

(c) Relacija nije anti-simetricna, jer su, na primer, 2 i −2 razliciti

elementi iz Z za koje vazi da je 2 −2 i −2 2. Naime, 2 = (−2)·(−1)

i −2 = 2 · (−1).

(d) Relacija je tranzitivna jer ako su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je

x y i y z, odnosno postoje u, v ∈ Z tako da je x = yu i y = zv,

tada je

x = yu = (zv)u = z(vu),

i kako je jasno da je vu ∈ Z, to dobijamo da je x z.



Zadatak 1.3. Neka je S = {1, 2, 3} i neka je relacija R na S zadata

sa

R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}.

Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:

(a) refleksivna

(b) simetricna

(c) anti-simetricna

(d) tranzitivna

Resenje: Dokazacemo da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema (c).



(a) Relacija

R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}

je refleksivna jer sadrzi sve parove (1, 1), (2, 2) i (3, 3) sa dijagonale

Dekartovog kvadrata skupa S.

(b) Relacija R je i simetricna, jer van dijagonale sadrzi samo parove

(1, 2) i (2, 1), koji su medusobno simetricni.

(c) Relacija R nije anti-simetricna, jer sadrzi parove (1, 2) i (2, 1), pri

cemu je 1 6= 2.



(d) Kako su za R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} tacne sledeceimplikacije

(1, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R

(1, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R

(1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R

(1, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R

(2, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R

(2, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R

(2, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R

(2, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R

(3, 3) ∈ R ∧ (3, 3) ∈ R ⇒ (3, 3) ∈ R

to zakljucujemo da je R tranzitivna relacija.



Primetimo da je zadatak bilo moguce uraditi i na drugi nacin.

Naime, mozemo uociti da su svi elementi iz skupa {1, 2} medusobno

u relaciji R, dok je 3 u relaciji samo sa samim sobom.

Prema tome, kolekcija koja se sastoji od skupova {1, 2} i {3} je particija

skupa S, i dva elementa iz S su u relaciji R ako i samo ako su u istom

bloku te particije, odakle zakljucujemo da je R relacija ekvivalencije

koja odgovara toj particiji.

Iz toga potom dalje sledi da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema

svojstvo (c).


Relacije ekvivalencijeRelacije ekvivalencijeRelacije ekvivalencije

Relacija na skupu A je relacija ekvivalencije na A ako je

➊ refleksivna

➋ simetricna

➌ tranzitivna

Umesto ”relacija ekvivalencije” ponekad kazemo samo ”ekvivalencija”.

Glavni primer relacija ekvivalencije je jednakost, tj. dijagonalna relacija.

To je najmanja relacija ekvivalencije na A, u smislu da svaka relacija

ekvivalencije na A mora da je sadrzi, dok nijedan pravi podskup od ∆

nema svojstvo refleksivnosti, pa nije relacija ekvivalencije na A.

I univerzalna relacija je relacija ekvivalencije.


Primeri relacija ekvivalencijePrimeri relacija ekvivalencijePrimeri relacija ekvivalencije

Primer 1.1. Neka je n proizvoljan prirodan broj, i neka je relacija ≡n

na skupu Z svih celih brojeva definisana sa

x ≡n ydef⇔ n | x − y,

ili, ekvivalentno, sa

x ≡n ydef⇔ x i y imaju isti ostatak pri deljenju sa n.

Dokazati da je ≡n relacija ekvivalencije.

Napomena 1.1. Relacija ≡n poznata je pod nazivom kongruencija po

modulu n.

Dokaz: (1) Za svaki x ∈ Z imamo da n | 0 = x − x, odakle je

x ≡n x, sto znaci da je relacija ≡n refleksivna.


Primeri relacija ekvivalencijePrimeri relacija ekvivalencijePrimeri relacija ekvivalencije

(2) Za proizvoljne x, y ∈ Z imamo da je

x ≡n y ⇔ n | x − y ⇔ n | −(x − y) ⇔ n | y − x ⇔ y ≡n x,

i dakle, relacija ≡n je simetricna.

(3) Neka su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je x ≡n y i y ≡n z, tj.

n | x − y i n | y − z. Tada

n | (x − y) + (y − z) = x − z,

pa je x ≡n z, sto znaci da je ≡n tranzitivna relacija.

Prema tome, ≡n je relacija ekvivalencije.

Primer 1.2. Relacija paralelnosti za prave u ravni, paralelnost za ravni

u prostoru, sve su to primeri relacija ekvivalencije.


Klase ekvivalencijeKlase ekvivalencijeKlase ekvivalencije

Neka je relacija ekvivalencije na A i a ∈ A.

Klasa ekvivalencije elementa a u odnosu na relaciju ekvivalencije

definise se kao skup svih elemenata iz A koji su u relaciji sa a, tj.

[a]def= {x ∈ A | a x}.

Takode govorimo i -klasa elementa a, ili krace samo klasa elementa

a, u slucajevima kada je jasno o kojoj se relaciji ekvivalencije radi.


Osnovna svojstva klasaOsnovna svojstva klasaOsnovna svojstva klasa

Tvrdenje 1.

1) Svaka klasa je neprazna - klasa elementa x sadrzi makar taj element.

Dokaz: Za svaki x ∈ A, zbog refleksivnosti imamo da je x x, pa

je x ∈ [x].

2) Ukoliko su dva elementa x i y u relaciji , tada su njihove klase

jednake, tj. oni odreduju jednu istu klasu: [x] = [y].

Dokaz: Neka je a ∈ [x], tj. a x. Prema pretpostavci, x y, pa

na osnovu tranzitivnosti dobijamo da je a y, tj. a ∈ [y].

Odavde zakljucujemo da je [x] ⊆ [y]. Na isti nacin dokazujemo i

obratnu inkluziju, cime dobijamo da je [x] = [y].



3) Ukoliko x i y nisu u relaciji , tada su njihove klase disjunktne.

Dokaz: Pretpostavimo da postoji a ∈ [x] ∩ [y]. Tada je a x

i a y, pa na osnovu simetricnosti i tranzitivnosti dobijamo da je

x y, sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom.

Odavde zakljucujemo da klase [x] i [y] moraju biti disjunktne.

Iz 2) i 3) sledi da ako dve klase [x] i [y] nisu disjunktne, tj. imaju

neprazan presek, onda moraju da budu jednake.



4) Unija svih -klasa je jednaka celom skupu A.

Dokaz: Kako su sve -klase sadrzane u A, to je i njihova unija

sadrzana u A.

Obratno, kako je svaki element x ∈ A sadrzan u nekoj -klasi, tj.

x ∈ [x], to je jasno da je A sadrzan u uniji svih -klasa.

Prema tome, dokazali smo da je A jednak uniji svih -klasa.

Kada neku -klasu zapisemo u obliku [x], tada kazemo da je x pred-

stavniik te klase.

Kako je [x] = [y], za svaki y ∈ [x] (prema 2) ), to ravnopravno sa x

i y moze predstavljati tu klasu, tj., klasu ekvivalencije moze oznacavati

(predstavljati) svaki njen clan.


Primeri klasaPrimeri klasaPrimeri klasa

a) Neka je relacija na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadata sa

1 2 3 4 5 61

2

3

4

5

6

ili matricom M =

1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 0 0

0 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1

Tada je relacija ekvivalencije sa klasama

[1] = [2] = [4] = {1, 2, 4},

[3] = [6] = {3, 6},

[5] = {5}.


Primeri klasaPrimeri klasaPrimeri klasa

b) Klase ekvivalencije za relaciju ≡3 na N0 su skupovi brojeva sa istim

ostatkom pri deljenju sa 3:

{1, 4, 7, . . . }; {2, 5, 8, . . . }; {0, 3, 6, 9, . . . }.

c) Dijagonala na proizvoljnom skupu A ima jednoclane klase: svaki

element je samo sa sobom u relaciji pa je i sam u klasi.

d) Relacija paralelnosti razbija skup svih pravih u ravni na pravce: u

istoj klasi su sve medusobno paralelne prave.


Razbijanje skupa na klaseRazbijanje skupa na klaseRazbijanje skupa na klase

Kao sto smo videli, relacija ekvivalencije razbija skup na medusobno

disjunktne klase ekvivalencije.

Relacija ekvivalencije grupise, udruzuje u jednu klasu sve one elemente

koje objedinjuje zajednicko svojstvo - ono koje opisuje ta relacija.

Na primer, kod relacije ≡3, to je svojstvo da imaju isti ostatak pri

deljenju sa 3.



Zadatak 1.4. Neka je A = {1, 2, 3}.

Odrediti koje od sledecih relacija definisanih na A su relacije ekvivalencije, i za one

koje su relacije ekvivalencije odrediti njihove klase:

(a) R1 = {(2, 2), (1, 1)}

(b) R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}

(c) R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)}

(d) R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)}

(e) R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

Resenje: Dokazacemo da relacije (b) i (e) jesu relacije ekvivalencije, a ostale nisu.

(a) Relacija R1 = {(2, 2), (1, 1)} ocito nije refleksivna, jer ne sadrzi par (3, 3), zbog

cega nije ni relacija ekvivalencije.



(b) Relacija R2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je ocigledno relacija ekvivalencije cije su

klase jednoelementne: {1}, {2}, {3}.

(c) Relacija R3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)} je ocito reflek-

sivna i simetricna, ali nije tranzitivna, pa nije relacija ekvivalencije.

Naime, imamo da je (2, 1) ∈ R3 i (1, 3) ∈ R3, ali (2, 3) /∈ R3.

(d) Relacija R4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)} nije relacija ekvivalen-

cije, jer nije simetricna. Zaista, (3, 2) ∈ R4, ali (2, 3) /∈ R4.

(e) U slucaju relacije

R5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}

imamo da su svi elementi iz skupa A medusobno u toj relaciji, sto znaci da je to

univerzalna relacija na A, odnosno, R5 je relacija ekvivalencije sa samo jednom

klasom: {1, 2, 3}.


ParticijeParticijeParticije

Dakle, relacija ekvivalencije odreduje jednu particiju (razbijanje) skupa

A na medusobno disjunktne skupove cija je unija ceo skup A.

To nas dovodi do sledece formalne definicije:

Familiju {Ai}i∈I podskupova skupa A zovemo particija ili razbijanje

skupa A ako za tu familiju vazi sledece: sledece uslove:

1) Za svaki i ∈ I je Ai 6= ∅;

2) Za sve i, j ∈ I je ili Ai ∩ Aj = ∅ ili Ai = Aj;

3)⋃

{Ai | i ∈ I} = A.

Skupove Ai nazivamo blokovima particije Π.


ParticijeParticijeParticije

Ako je relacija ekvivalencije na skupu A, tada prema Tvrdenju 2,

familija svih -klasa jeste jedna particija skupa A.

Tu particiju oznacavamo sa Π, tj.

Πdef= {[x] | x ∈ A}.

Obratno, ako je data particija Π = {Ai | i ∈ I} skupa A, tada mozemo

definisati relaciju Π

na A na sledeci nacin:

(x, y) ∈ Π

def⇔ (∃i ∈ I) x, y ∈ Ai,

tj. ako x i y pripadaju istom bloku particije Π.


Relacije ekvivalencije i particijeRelacije ekvivalencije i particijeRelacije ekvivalencije i particije

Tvrdenje 2:

a) Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, Π je particija od A.

b) Za svaku particiju Π skupa A, Π

je relacija ekvivalencije na A.

c) Stavise, vazi i sledece:

(Π)

= i Π(Π) = Π.



Jednakosti iz Tvrdenja 3, pod c), mogu se pojasniti na sledeci nacin:

c1) Ako za relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajucu particiju Π,

a potom za tu particiju formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije

(Π)

, onda dobijamo relaciju ekvivalencije od koje smo krenuli.

Π (Π)

=

c2) Ako za particiju Π formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije

Π, a potom za tu relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajucu par-

ticiju Π(Π), onda dobijamo particiju od koje smo krenuli.

Π Π Π(Π) = Π



Zadatak 1.5. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Odrediti koje od sledecih kolekcija skupova predstavljaju particije skupa A. Za one

koje nisu particije navesti razlog zbog cega to nisu.

(a) {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}}

(b) {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}}

(c) {{1, 7}, {3, 4, 6}}

(d) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}}

(e) {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}

Resenje: Dokazacemo da kolekcije (b) i (e) jesu particije skupa A, dok ostale nisu.

Potseticemo se da kolekcija podskupova od A jeste particija tog skupa ako se sastoji

od nepraznih skupova, koji su po parovima disjunktni i unija im je ceo skup A.



(a) Kolekcija {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}} nije particija skupa A jer se ne sastoji od

nepraznih skupova.

(b) Kolekcija {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}} je particija jer se sastoji od nepraznih, medu-

sobno disjunktnih skupova cija je unija jednaka celom skupu A.

(c) Kolekcija {{1, 7}, {3, 4, 6}} se sastoji od nepraznih, disjunktnih podskupova od

A, ali unija tih podskupova nije ceo skup A (2 i 5 nisu u toj uniji), pa ni to nije

particija skupa A.

(d) Kolekcija {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} nije particija od A jer skupovi {1, 5} i

{3, 4, 5} iz te kolekcije nisu medusobno disjunktni.

(e) Kolekcija {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} je particija skupa A sa samo jednim blokom - celim

tim skupom A.


Faktor skupFaktor skupFaktor skup

Particiju koja odgovara relaciji ekvivalencije na skupu A nazivamo

takode i faktor skupom skupa A u odnosu na .

Drugim recima, faktor skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije

je skup svih klasa ekvivalencije skupa A u odnosu na .

Taj faktor skup oznacavamo sa A/.

Kao sto se vidi sa slike desno, faktor

skup se zapravo dobija tako sto se svaka

-klasa sazme u jedan element.


Relacije poretka – ure denjaRelacije poretka – ure denjaRelacije poretka – ure denja

Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je

➀ refleksivna

➁ antisimetricna

➂ tranzitivna

Umesto ”relacija poretka” cesto kazemo i parcijalno uredenje ili samo

uredenje.

Za skup A se kaze da je A ureden relacijom , a par (A, ) se zove

parcijalno uredeni skup, ili samo uredeni skup.

Za oznacavanje uredenja na skupovima najcesce koristimo oznaku 6,

koju koristimo i za standardna uredenja brojeva.

Matemati cka logika – 2 – Relacije - II deoMatemati cka logika – 2 – Relacije - II deoMatemati cka logika – 2 – Relacije - II deo


Relacije poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrasireniji tip relacija u

matematici.

One sluze da pomocu njih ”uporedujemo” ili ”uredujemo” elemente

skupa A, tj. da formiramo neki ”poredak” u skupu A, odakle poticu i

nazivi za te relacije.

Prefiks ”parcijalno” sluzi da se ukaze na to da u uredenom skupu

mogu da postoje i elementi koji se ne mogu medusobno uporediti, tj.,

medusobno su neuporedivi, kao sto cemo videti u primerima koji slede.



a) Osnovne relacije poretka na skupu prirodnih brojeva N su relacije

6 (manje ili jednako), | (deli).

Analogno definisana, relacija 6 je relacija poretka i na drugim

skupovima brojeva:

Z (celi brojevi), Q (racionalni brojevi) i R (realni brojevi).

Dakle, (N, 6), (N, |), (Z, 6), (Q, 6) i (R, 6) su uredeni skupovi.

b) Iako je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, analogno defini-

sana relacija ”deli” na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jer

nije antisimetricna.

Kao sto smo vec rekli, za svaki celi broj n 6= 0 je −n | n i n | −n,

i pri tome je −n 6= n.



c) Na partitivnom skupu P(A) proizvoljnog skupa A, inkluzija ⊆ je

relacija poretka.

Uredeni skup (P(A), ⊆) je primer uredenog skupa u kome ima

neuporedivih elemenata.

Na primer, bilo koja dva disjunktna podskupa od A su medusobno

neuporedivi.

Naravno, lako je naci primer i skupova koji imaju neprazan presek,

a neuporedivi su, tj., nijedan od njih nije podskup onog drugog.

d) Relacija < (strogo manje) nije uredenje ni na jednom od skupova

N, Z, Q i R, jer nije refleksivna.


Zatvorenja relacijaZatvorenja relacijaZatvorenja relacija

Zadatak 1.1. Data je relacija = {(2, 2), (2, 3), (5, 3)} na skupu

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

(a) Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na A koja sadrzi relaciju .

(b) Odrediti najmanju relaciju poretka na A koja sadrzi relaciju .

Resenje:

Relacija se moze zadati

sledecim grafom:

1

2

3

4

5



(a) Prvi korak u konstrukciji najmanje relacije ekvivalencije koja sadrzi

je refleksivno zatvorenje: relacija se dopunjuje do refleksivne relacije

dodavanjem svih parova oblika (x, x), za svaki x ∈ A za koji taj par

nije vec bio u toj relaciji.

1

2

3

4

5

Relacija

1

2

3

4

5

Refleksivno zatvorenje relacije



Sledeci korak je simetricno zatvorenje: relacija dobijena u prvom koraku

se dopunjuje do simetricne relacije tako sto se za svaki par (x, y) ∈

relaciji dodaje i obratni par (y, x), ukoliko nije vec bio u toj relaciji.

1

2

3

4

5

Refleksivno zatvorenje relacije

1

2

3

4

5

Refleksivno-simetricno zatvorenje

relacije



Konacno, trazena relacija ekvivalencije se dobija primenom tranzitivnog

zatvorenja: relacija dobijena u prethodnom koraku se dopunjuje do

tranzitivne relacije zatvaranjem svih trouglova u grafu te relacije, tj.,

ukoliko su (x, y) i (y, z) u toj relaciji, onda dodajemo i par (x, y).

1

2

3

4

5

Refleksivno-simetricno zatvorenjerelacije

1

2

3

4

5

Najmanja relacija ekvivalencijekoja sadrzi



Dakle, najmanja relacija ekvivalencije koja sadrzi je

{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5),

(4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 5)},

tj., to je relacija ekvivalencije sa klasama

{2, 3, 5}, {1}, {4}.



(b) Relacija je antisimetricna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, x),

i tranzitivna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, z), pa se najmanja

relacija poretka koja sadrzi dobija samo refleksivnim zatvorenjem.

1

2

3

4

5

Relacija

1

2

3

4

5

Najmanja relacija poretka

koja sadrzi


Dualno ure denjeDualno ure denjeDualno ure denje

Ako je uredenje na skupu A, onda je i inverzna relacija −1 takode

uredenje na A (proveriti za vezbu).

U tom slucaju −1 zovemo dualno uredenje ili dualni poredak za .

a) Dualno uredenje uredenja 6 (manje ili jednako), na bilo kom od

skupova brojeva N, Z, Q ili R, je uredenje > (vece ili jednako).

b) Dualno uredenje uredenja ⊆ na partitivnom skupu P(A) je uredenje

⊇ (nadskup).


Restrikcija ure denjaRestrikcija ure denjaRestrikcija ure denja

Neka je relacija na skupu A i B ⊆ A.

Definisimo relaciju |B na B sa:

|Bdef= {(x, y) ∈ B × B | (x, y) ∈ } = ∩ B × B.

Ovako definisanu relaciju |B nazivamo restrikcija relacije na B.

Neka je uredenje na skupu A, tada njegova restrikcija |B jeste

uredenje na skupu B.

Bez opasnosti od zabune, umesto |B mi cesto pisemo samo , tj.

polazno uredenje i njegovu restrikciju oznacavamo istim simbolom.

Na primer, uobicajeno uredenje prirodnih brojeva je restrikcija uobica-

jenog uredenja celih brojeva na skup prirodnih brojeva.


Linearno (totalno) ure denjeLinearno (totalno) ure denjeLinearno (totalno) ure denje

Uredenje na skupu A je linearno ili totalno uredenje ako pored uslova

koji definisu uredenje ispunjava i uslov linearnosti:

➃ za sve x, y ∈ A vazi

x y ∨ y x.

U tom slucaju, par (A, ) se naziva linearno ureden skup, totalno

ureden skup ili lanac.

Drugim recima, uredeni skup je linearno ureden ako su svaka dva nje-

gova elementa uporediva.

Kao sto smo vec videli, u opstem slucaju ne moraju svi elementi uredenog

skupa biti uporedivi.


Primeri linearno ure denih skupovaPrimeri linearno ure denih skupovaPrimeri linearno ure denih skupova

a) Uredeni skupovi (N, 6), (Z, 6), (Q, 6) i (R, 6) su linearno uredeni.

b) Uredeni skupovi (N, |) i (P(A), ⊆) nisu linearno uredeni:

➠ u (N, |), elementi 2 i 3 su neuporedivi,

➠ u (P(A), ⊆), za a, b ∈ A takve da je a 6= b, {a} i {b} su

neuporedivi elementi iz P(A).


Predstavljanje ure denih skupovaPredstavljanje ure denih skupovaPredstavljanje ure denih skupova

Neki uredeni skupovi, pre svega oni konacni, mogu se predstavljati

Haseovim dijagramima:

Elementi skupa predstavljaju se kao tacke u ravni i to tako da se x y

obelezava spojnicom od x ka y, pri cemu je x na crtezu nize od y.

Ne oznacava se x x, niti x z, ako postoje spojnice za x y i y z .

1

2

3

4

linearno uredeni skup

({1, 2, 3, 4}, 6)


Primeri Haseovih dijagramaPrimeri Haseovih dijagramaPrimeri Haseovih dijagrama

{a} {b}

{a, b, c} {a, b, d}

kolekcija od cetiri podskupa skupa

{a, b, c, d} uredena inkluzijom

skup {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ureden relacijom ”deli”

1

2

3

4

5

6

∅

{a} {b}

{a, b}

partitivni skup dvoclanog skupa

ureden inkluzijom


Minimalni i maksimalni elementiMinimalni i maksimalni elementiMinimalni i maksimalni elementi

Neka je (A, 6) uredeni skup.

Za element a ∈ A kazemo da je minimalan u A ako ne postoji x ∈ A

tako da je x 6= a i x 6 a.

Drugim recima, a je minimalan ako u A ne postoji strogo manji element

od njega.

Analogno, za element a ∈ A kazemo da je maksimalan u A ako ne

postoji x ∈ A tako da je x 6= a i a 6 x.

Dakle, a je maksimalan ako u A ne postoji strogo veci element od

njega.


Najmanji i najve ci elementNajmanji i najve ci elementNajmanji i najve ci element

Za element a ∈ A kazemo da je najmanji u A ako je a 6 x, za svaki

x ∈ A.

Drugim recima, a je najmanji element u A ako je manji od svakog

drugog elementa iz A.

Slicno, za element a ∈ A kazemo da je najveci u A ako je x 6 a, za

svaki x ∈ A.

Prema tome, a je najveci element u A ako je veci od svakog drugog

elementa iz A.


Odnos minimalnog i najmanjeg elementaOdnos minimalnog i najmanjeg elementaOdnos minimalnog i najmanjeg elementa

Ukoliko uredeni skup A ima najmanji element, tada je on jedinstven.

Pri tome taj element jeste i jedini minimalni element u A.

Uredeni skup moze imati vise minimalnih elemenata (i u tom slucaju

ne moze imati najmanji element).

Minimalni elementi Najmanji element

Isto vazi i za maksimalne elemente i najveci element.



a) U uredenim skupovima (N, 6) i (N, |) broj 1 je najmanji element,

dakle i jedini minimalan, dok nema maksimalnih elemenata niti naj-

veceg.

b) U (Z, 6) nema ni minimalnih ni maksimalnih elemenata, pa, prema

tome, ni najmanjeg ni najveceg.

c) U (P(A), ⊆) prazan skup ∅ je najmanji, a skup A je najveci element.

d) U uredenom skupu (P ′(A), ⊆) svih nepraznih podskupova skupa

A, svi jednoelementni podskupovi su minimalni.

Ukoliko A ima bar dva elementa, onda P ′(A) ima vise minimalnih

elemenata, pa nema najmanji element.



Uredeni skup na slici ima dva minimalna i

dva maksimalna elementa, ali nema naj-

manji ni najveci element.

{a} {b}

{a, b, c} {a, b, d}

Uredeni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |) ima tri

maksimalna elementa: 4, 5 i 6, i najmanji

element 1.

1

2

3

4

5

6


Svojstvo kona cnih ure denih skupovaSvojstvo kona cnih ure denih skupovaSvojstvo kona cnih ure denih skupova

Tvrdenje 3: U svakom konacnom uredenom skupu postoji bar jedan

minimalan i bar jedan maksimalan element.

Dokaz: Neka je (A, 6) konacan uredeni skup i a ∈ A.

Ako je a minimalan element, dokaz je gotov; ako nije, postoji elementa1 6= a, tako da je a1 6 a.

Ako je a1 minimalan, tvrdenje je dokazano, a ako nije, postoji element

a2 6= a1, takav da je a2 6 a1. Jasno je da mora biti i a2 6= a, jer bismo u suprotnom dobili a1 = a2 = a.

Na ovaj nacin dolazi se do minimalnog elementa, jer u protivnom skupA ne bi bio konacan – sadrzao bi lanac a, a1, a2, . . . medusobno ra-

zlicitih elemenata.

Dokaz da postoji maksimalan element je analogan.


Dobro ure deni skupoviDobro ure deni skupoviDobro ure deni skupovi

Za uredeni skup (A, 6) kazemo da je dobro ureden ako je

➠ linearno ureden, i

➠ svaki njegov neprazan podskup ima najmanji elemenat.

a) Glavni primer dobro uredenih skupova je (N, 6).

b) Primer linearno uredenog skupa koji nije dobro ureden je skup svih

nenegativnih racionalnih brojeva Q+0 = {x ∈ Q | 0 6 x} ureden restrik-

cijom uobicajenog uredenja racionalnih brojeva na Q+0 .

Na primer, u ovom uredenom skupu podskup { 1n

| n ∈ N} nema najma-

nji element.


Donja i gornja granica skupaDonja i gornja granica skupaDonja i gornja granica skupa

Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A, 6).

Element a ∈ A nazivamo donja granica ili donje ogranicenje skupa B

ako je

a 6 x, za svaki element x ∈ B,

tj. ako je a manji od svih elemenata skupa B.

Analogno, element a ∈ A nazivamo gornja granica ili gornje ogranicenje

skupa B ako je

x 6 a, za svaki element x ∈ B,

tj. ako je a veci od svih elemenata skupa B.


Donja i gornja granica skupaDonja i gornja granica skupaDonja i gornja granica skupa

Sa Bd oznacavacemo skup svih donjih, a sa Bg skup svih gornjih granica

skupa B, tj.

Bd = {a ∈ A | a 6 x, za svaki x ∈ B},

Bg = {a ∈ A | x 6 a, za svaki x ∈ B}.

Skupovi Bd i Bg mogu biti i prazni.

Na primer, kod uredenog skupa na slici,

za skup B = {a, b}, skup Bd je prazan,

dok je Bg = {c, d}.

a b

c d


Infimum i supremum skupaInfimum i supremum skupaInfimum i supremum skupa

Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A, 6).

Najveca donja granica skupa B, tj. najveci element skupa Bd, ukoliko

takav postoji, naziva se infimum skupa B.

Analogno, najmanja gornja granica skupa B, tj. najmanji element

skupa Bg, ukoliko takav postoji, naziva se supremum skupa B.

Ukoliko postoji infimum skupa B, onda je on jedinstven, zbog jedin-

stvenosti najveceg elementa skupa Bd.

Isto vazi i za supremum.


Primeri infimuma i supremumaPrimeri infimuma i supremumaPrimeri infimuma i supremuma

a) U uredenom skupu (N, 6), svaki konacan podskup ima supremum

– to je najveci element podskupa.

U (N, 6) infimum postoji za svaki podskup – to je najmanji element

u podskupu.

b) U uredenom skupu (N, |) infimum konacnog podskupa je najveci

zajednicki delilac, a supremum je najmanji zajednicki sadrzalac ele-

menata tog podskupa.

c) U partitivnom skupu nekog skupa, uredenom inkluzijom, infimum

kolekcije podskupova je njihov presek, a supremum je njihova unija.



d) U uredenom skupu na slici, skup B = {a, b} nema infimum, jer

uopste nema donjih granica.

Ovaj skup nema ni supremum, jer skup njegovih gornjih granica

Bg = {c, d} nema najmanji element.

a b

c d



Zadatak 1.2. Neka je dat parcijalno uredeni skup

a

b

c

d

ef

(a) Odrediti elemente neuporedive sa a:

(b) Odrediti minimalne elemente:

(c) Odrediti maksimalne elemente:

(d) Odrediti najmanji element:

(e) Odrediti najveci element:

(f) Infimum skupa {a, b, d}:

(g) Supremum skupa {a, b, d}:



Resenje: Imamo sledece:

a

b

c

d

ef




(a) Elementi neuporedivi sa a su:

a

b

c

d

ef




(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e

a

b

c

d

ef





(b) Minimalni elementi su:

a

b

c

d

ef





(b) Minimalni elementi su: a, f , e

a

b

c

d

ef






(c) Maksimalni element je: a

b

c

d

ef






(c) Maksimalni element je: c a

b

c

d

ef






(c) Maksimalni element je: c

(d) Najmanji element:

a

b

c

d

ef







(d) Najmanji element: ne postoji

a

b

c

d

ef








(e) Najveci element je:

a

b

c

d

ef








(e) Najveci element je: c

a

b

c

d

ef









a

b

c

d

ef

(f) Infimum skupa {a, b, d}:









a

b

c

d

ef

(f) Infimum skupa {a, b, d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu)









a

b

c

d

ef


(g) Supremum skupa {a, b, d} je:









a

b

c

d

ef


(g) Supremum skupa {a, b, d} je: c (jer je to i jedina gornja granica tog skupa,

pa je i najmanja gornja granica, tj. supremum).


Reci (stringovi)Reci (stringovi)Reci (stringovi)

Neka je A neprazan skup, koji nazivamo alfabetom, a njegove elemente

slovima.

Rec nad alfabetom A definisemo kao konacan niz

x1x2 · · · xn

elemenata iz A.

Iz ovakve definicije je jasno da se jednakost reci definise kao jednakost

nizova, tj., dve reci

u = x1x2 · · · xn i v = y1y2 · · · ym

jednake ako i samo ako je m = n i xi = yi, za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n}.


KonkatenacijaKonkatenacijaKonkatenacija

Skup svih reci nad alfabetom A oznacavamo sa A+.

Na skupu A+ definisemo operaciju spajanja, dopisivanja ili konkate-

nacije reci na sledeci nacin:

Proizvod reci x1x2 · · · xn i y1y2 · · · yn, gde su x1, . . . , xn, y1, . . . , ym

slova iz A, je rec

x1x2 · · · xny1y2 · · · ym.

Lako se proverava da je ova operacija asocijativna.

Neka je ε element takav da ε /∈ A+, koji nazivamo prazna rec.

Tada pisemo A∗ = A+ ∪{ε}, i dodefinisemo operaciju spajanja reci sa:

uε = u i εu = u, tj., spajanjem bilo koje reci sa praznom reci dobija

se ista ta rec.


Dužina re ciDužina re ciDužina re ci

Neka je data rec u = x1x2 · · · xn, koju cine slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.

Broj n, tj. broj elemenata u nizu x1x2 · · · xn, oznacavamo sa |u|, i

nazivamo ga duzinom reci u. Za praznu rec kazemo da je duzine 0.

Ako x jeste i-to slovo reci u, onda i zovemo pozicijom slova x u reci u.

Neka je A = {x, y}. Reci nad tim alfabetom su

x, y, xy, yx, xyx, xy2, yx2, yxy, xyx2, (xy)2, xy2x, xy3, . . . ,

Na primer, rec xyx2 je duzine 4.

Za prirodan broj k, slovo x i rec u, xk i uk su skraceni zapisi reci

xx · · · x︸︷︷︸

k puta

i uu · · · u︸︷︷︸

k puta


Prefiks, sufiks, infiksPrefiks, sufiks, infiksPrefiks, sufiks, infiks

Za rec u ∈ A∗ kazemo da je

❏ prefiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = uw, tj. ako

je v rec koja pocinje sa u;

❏ sufiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = wu, tj. ako

je v rec koja se zavrsava sa u;

❏ infiks reci v ako postoje reci p, q ∈ A∗ takve da je v = puq, tj.

ako je v rec koja sadrzi rec u.

Infiks reci v nazivamo jos i faktor reci v.

Jasno, prema ovim definicijama, prazna rec je prefiks, sufiks i faktor

bilo koje reci.


Prefiks (sufiks, faktor) ure denjePrefiks (sufiks, faktor) ure denjePrefiks (sufiks, faktor) ure denje

Zadatak 1.3. Definisimo na skupu A∗ sledece relacije:

u 6p vdef⇔ u je prefiks od v,

u 6s vdef⇔ u je sufiks od v,

u 6f vdef⇔ u je faktor od v.

Dokazati da su sve one relacije poretka na A∗.

Napomena 1.1. Za ova uredenja koristimo sledece nazive

❏ 6p – prefiks uredenje;

❏ 6s – sufiks uredenje;

❏ 6f – faktor uredenje.



Resenje: Dokazujemo samo tvrdenje za relaciju 6p. Ostalo se ostavlja

za samostalan rad.

(a) Refleksivnost sledi iz cinjenice da je u = uε, za svaku rec u ∈ A∗.

(b) Antisimetricnost: Neka je u 6p v i v 6p u.

To znaci da je v = up i u = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, pa je

u = vq = upq.

Na osnovu svojstva jednakosti reci, iz u = upq sledi da mora biti

pq = ε, sto dalje povlaci da je p = q = ε, odakle je u = v.

(c) Tranzitivnost: Neka je u 6p v i v 6p w.

To znaci da je v = up i w = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, odakle je

w = vq = upq. Prema tome, u 6p w.



U daljem radu, koristicemo i sledece oznake:

u <p vdef⇔ u 6p v i u 6= v,

u <s vdef⇔ u 6s v i u 6= v,

u <f vdef⇔ u 6f v i u 6= v.

i ako je u <p v (odnosno u <s v, u <f v), govoricemo da je u pravi

prefiks (odnosno pravi sufiks, pravi faktor) reci v.



Zadatak 1.4. Dokazati da za proizvoljne reci u, v, w ∈ A∗ vazi

u 6p w ∧ v 6p w ⇒ u 6p v ∨ v 6p u .

Resenje: Napisimo rec w u obliku

w = x1x2 . . . xn,

za neki n ∈ N i slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.

Tada u 6p w i v 6p w znaci da je

u = x1 . . . xi i v = x1 . . . xj,

za neke i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.

Prema tome, ako je i 6 j, onda imamo da je u 6p v, a ako je j 6 i,

onda je v 6p u.


Leksikografsko ure denjeLeksikografsko ure denjeLeksikografsko ure denje

Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem 6.

Tada se to uredenje moze prosiriti do linearnog uredenja 6l na A∗, koje

nazivamo leksikografsko uredenje, na sledeci nacin:

u 6l vdef⇔ u 6p v ili

u = pxq, v = pyr, sa x < y u A,

gde su p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A

Drugim recima, u 6l v ako je u 6p v ili za prvo slovo x u u koje se

razlikuje od odgovarajuceg slova y u v vazi da je x < y u A.

Kada kazemo da je y odgovarajuce slovo za x, pod time podrazumevamo

da y u v ima istu poziciju kao x u u.

Takode, p u gornjoj formuli je najduzi zajednicki prefiks reci u i v.



Zadatak 1.5. Dokazati da je 6l linearno uredenje na A∗.

Resenje:

(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u 6l u, jer je u 6p u.

(2) Antisimetricnost: Za reci u, v ∈ A∗ neka je u 6l v i v 6l u.

(2.1) Ako je u 6p v i v 6p u, tada je u = v, zbog antisimetricnosti

prefiks uredenja.

(2.2) Neka je u 6p v i v = pxq, u = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.

Kako je p najduzi zajednicki prefiks za u i v i u 6p v, to je p = u, sto

je u suprotnosti sa u = pyr i y ∈ A.

Dakle, zakljucujemo da slucaj (2.2) nije moguc.



(2.3) Neka je v 6p u i u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.

Na isti nacin dokazujemo da ni ovaj slucaj nije moguc.

(2.4) Neka je x1 < y1, gde je x1, y1 prvi par razlicitih slova na istoj

poziciji u u i v, i neka je y2 < x2, gde je y2, x2 prvi par razlicitih slova

na istoj poziciji u v i u.

Tada je x1 = x2 i y1 = y2, sto znaci da je x1 < y1 i y1 < x1, sto nije

moguce.

Prema tome, ni slucaj (2.4) nije moguc.



(3) Tranzitivnost: Neka su u, v, w ∈ A∗ reci takve da je u 6l v i

v 6l w.

(3.1) Neka je u 6p v i v 6p w. Tada je u 6p w, zbog tranzitivnosti

prefiks uredenja, pa je u 6l w.

(3.2) Neka je u 6p v i v = pxq, w = pyr, pri cemu je x < y, za neke

p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.

Kako u ovom slucaju vazi da je u 6p v i p 6p v, to dobijamo da je

u 6p v ili p 6p u.

Ako je u 6p p, tada, s obzirom da je p 6p w, imamo da je u 6p w, pa

je, dakle, u 6l w, sto je i trebalo dokazati.



Neka je sada p 6p u. Kako je slucaj p = u obuhvacen prethodnim

slucajem u 6p p, to mozemo uzeti da je p <p u, tj. da je p pravi

prefiks od u.

U tom slucaju imamo da je u = pxq′, za neku rec q ∈ A∗, sto zajedno

sa w = pyr i x < y povlaci da vazi u 6l w.

(3.3) Neka je u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke p, q, r ∈

A∗ i x, y ∈ A, i v 6p w.

Tada, na potpuno isti nacin kao u (3.2) dokazujemo da je u 6l w.



(3.4) Neka je u = p1x1q1, v = p1y1r1, pri cemu je x1 < y1, za neke

p1, q1, r1 ∈ A∗ i x1, y1 ∈ A, i neka je v = p2x2q2, w = p2y2r2, pri

cemu je x2 < y2, za neke p2, q2, r2 ∈ A∗ i x2, y2 ∈ A.

Kako je p1 6p v i p2 6p v, to imamo da je p1 6p p2 ili p2 6p p1.

Kako se oba slucaja razmatraju na slican nacin, to mozemo uzeti da

je, na primer, p1 6p p2.

Pretpostavimo najpre da je p1 = p2.

Tada je y1 = x2, i x1 < y1 = x2 < y2 povlaci da je x1 < y2, pa iz

u = p1x1q1, w = p1y2r2 i x1 < y2 zakljucujemo da je u 6l w.



Neka je sada p1 <p p2.

Iz v = p1y1r1, v = p2x2q2 i p1 <p p2 zakljucujemo da je p2 = p1y1s,

za neku rec s ∈ A∗, odakle sledi da je w = p1y1t, za neku rec t ∈ A∗.

Prema tome, imamo da je u = p1x1q1, w = p1y1t i x1 < y1, odakle

sledi da je u 6l w.

Ovim je dokazana tranzitivnost relacije 6l.



(4) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.

Ako u i v nemaju zajednicki prefiks, to znaci da im se razlikuju vec

prva slova. Neka je x prvo slovo od u i y je prvo slovo od v.

Kako je, prema pretpostavci, alfabet A linearno ureden, to je x < y,

u kom slucaju je u <l v, ili je y < x, u kom slucaju je v <l u.

Dalje, uzmimo da u i v imaju zajednicki prefiks. U tom slucaju postoji

najduzi zajednicki prefiks od u i v, koji cemo oznaciti sa p.

Sada imamo da je u = pxq i v = pyr, za neke q, r ∈ A∗ i slova

x, y ∈ A takva da je x 6= y, pa opet na osnovu linearnosti uredenja

na alfabetu A zakljucujemo da je x < y, u kom slucaju je u <l v, ili

je y < x, u kom slucaju je v <l u.



Zadatak 1.6. Uporediti leksikografski sledece binarne reci:

u = 01000001, v = 00110111, w = 00111111 .

Resenje: Prva pozicija na kojoj se rec u razlikuje od v i w je pozicija 2.

Pri tome, na poziciji 2 rec u ima slovo 1, a reci v i w slovo 0, pa kako

je 0 < 1, to dobijamo da je v <l u i w <l u.

Dalje, prva pozicija na kojoj se razlikuju od reci v i w je pozicija 5.

Na poziciji 5 rec v ima slovo 0, a rec w slovo 1, odakle je v <l w.

Napomena 1.2. Binarne reci iz prethodnog zadatka su ASCII kodovi

alfanumerickih simbola A, 7 i ?, tim redom.



Zadatak 1.7. Urediti leksikografski sve binarne reci duzine 4.

Resenje:

Sve binarne reci duzine 4 su leksikografski uredene na sledeci nacin:

0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111

1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111


Alfabetsko ure denjeAlfabetsko ure denjeAlfabetsko ure denje

Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem 6.

Tada se uredenje 6a na A∗, koje nazivamo alfabetsko uredenje, definise

na sledeci nacin:

u 6a vdef⇔ |u| < |v| ili

(

|u| = |v| i u 6l v)

Zadatak 1.8. Dokazati da je 6a linearno uredenje na A∗.

Resenje:

(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u 6a u, jer je |u| = |u|

i u 6l u.



(2) Antisimetricnost: Neka je u 6a v i v 6a u, za neke reci u, v ∈ A∗.

Ako je |u| = |v|, tada imamo da je u 6l v i v 6l u, odakle je u = v,

zbog antisimetricnosti leksikografskog uredenja.

Sa druge strane, slucaj |u| 6= |v| nije moguc, jer bi u suprotnom dobili

da je |u| < |v| i |v| < |u|.

Prema tome, zakljucujemo da je 6a antisimetricna relacija.

(3) Tranzitivnost: Neka je u 6a v i v 6a w, za neke reci u, v, w ∈ A∗.

(3.1) Ako je |u| < |v| i |v| < |w|, tada je |u| < |w|, pa je u 6a w.

(3.2) Ako je |u| < |v|, |v| = |w| i v 6l w, tada je |u| < |w|, odakle

sledi da je u 6a w.

(3.3) Ako je |u| = |v|, u 6l v, |v| < |w|, tada je opet |u| < |w|,

odakle je u 6a w.



(3.4) Neka je |u| = |v|, u 6l v, |v| = |w| i v 6l w.

Tada dobijamo da je |u| = |w| i u 6l w, zbog tranzitivnosti leksiko-

grafskog uredenja, odakle sledi da je u 6a w.

Ovim smo dokazali tranzitivnost relacije 6a.

(3) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.

Ako je |u| 6= |v|, tada je |u| < |v|, u kom slucaju je u 6a v, ili je

|v| < |u|, u kom slucaju je v 6a u.

Ako je |u| = |v|, tada iz linearnosti leksikografskog uredenja sledi da je

u 6l v ili v 6l u, sto zajedno sa |u| = |v| daje u 6a v ili v 6a u.



Zadatak 1.9. Urediti leksikografski i alfabetski sve binarne reci duzine

manje ili jednake 3.

Resenje: Leksikografski poredak:

0 00 000 001 01 010 011

1 10 100 101 11 110 111

Alfabetski poredak:

0 1 00 01 10 11

000 001 010 011 100 101 110 111



Zadatak 1.10. Pocev od najmanjeg, pa do najveceg, leksikografski urediti sledece

binarne reci:

A = 01001011, B = 00101010, C = 01100100, D = 01101111, E = 01000101.

Resenje: Kako sve ove reci imaju isto prvo slovo, to razmatramo drugo slovo.

Jedino rec B ima drigo slovo 0, dok sve ostale imaju drugo slovo 1. Prema tome, B

je najmanji element u ovom skupu.

Od preostalih reci, A i E imaju trece slovo 0, pa su manje od C i D, koje kao trece

slovo imaju 1. Ako dalje uporedimo A i E, videcemo da se prvo slovo po kome se

razlikuju na petoj poziciji, gde kod A stoji 1, a kod E stoji 0. Dakle, rec E je druga,

a A treca po velicini.

Konacno, prvo slovo po kome se razlikuju C i D je na petoj poziciji, gde kod C stoji

0, a kod D stoji 1. Prema tome, rec C je cetvrta a D peta po velicini.

Dakle, resenje je BEACD.



Zadatak 1.11. Neka je 4 uredenje na skupu binarnih nizova

X = {0, 1, 10, 01, 11, 101, 011, 1011}

zadato sledecim Haseovim dijagramom.

0 1

10 01 11

101 011

1011

Koje od sledecih uredenja ima 4 kao svoju restrikciju na skupu X:

(a) prefiks uredenje

(b) leksikografsko uredenje

(c) faktor uredenje

(d) alfabetsko uredenje

(e) sufiks uredenje



Resenje: Primetimo najpre da uredenje 4 nije linearno, jer, na primer, elementi 0

i 1 nisu uporedivi. Kako znamo da leksikografsko i alfabetsko uredenje jesu linearna

uredenja, to zakljucujemo da 4 nije jedno od njih.

0 1

10 01 11

101 011

1011

Ako bi 4 bilo prefiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 0 4 10, a ako bi to bilo

sufiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 1 4 01. Odavde zakljucijemo da 4 ne

moze biti ni jedno od ta dva uredenja.

Dakle, ostaje samo mogucnost da 4 jeste faktor uredenje. To zaista vazi, jer se sa

slike vidi da je bilo koja rec iz datog skupa manja od neke druge ako i samo ako je

njen faktor.

Dakle, 4 je faktor uredenje.



Zadatak 1.12. U odnosu na koje uredenje su poredani sledeci nizovi:

11, 101, 011, 01, 0.

(a) prefiks uredenje

(b) leksikografsko uredenje

(c) faktor uredenje

(d) alfabetsko uredenje

(e) simetricno uredenje

Resenje: U zavisnosti od toga da li su ove reci date u rastucem poretku (od na-

jmanjeg ka najvecem) ili opadajucem poretku (od najveceg ka najmanjem), imamo

da je ili 011 6 101 ili 101 6 011.

Odatle zakljucujemo da se ne radi o prefiks uredenju, jer nijedna od te dve reci nije

prefiks one druge.

Na isti nacin zakljucujemo i da se ne radi o faktor uredenju, jer nijedna od te dve

reci nije faktor druge.



Simetricno uredenje ne postoji, pa i tu mogucnost iskljucujemo.

Prema tome, preostaju mogucnosti da je 6 alfabetsko ili leksikografsko uredenje.

Kako se kod alfabetskog uredenja reci ureduju najpre po duzini, a potom se reci iste

duzine ureduju leksikografski, to zakljucujemo da 6 nije ni alfabetsko uredenje, jer

dati poredak ne uvazava duzinu reci.

Preostaje, dakle, da 6 jeste leksikografsko uredenje. Ako date nizove poredamo po

leksikografskom poretku, od najveceg ka najmanjem, videcemo da je to upravo dati

poredak.

To znaci da je resenje (b) - leksikografsko uredenje.


Relacije (Diskretne strukture)

Documents

Transcript of Relacije (Diskretne strukture)