Diskretne strukture, Uvodno predavanjenasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P00-UVOD.pdf ·...
-
Upload
dangnguyet -
Category
Documents
-
view
241 -
download
7
Transcript of Diskretne strukture, Uvodno predavanjenasport.pmf.ni.ac.rs/materijali/2114/DS-P00-UVOD.pdf ·...
Diskretna matematikaDiskretna matematikaDiskretna matematika
DISKRETNE STRUKTURE je jedan od nekoliko predmeta na studijama matematike i
informatike iz oblasti DISKRETNE MATEMATIKE, jedne od najaktuelnijih disciplina
savremene matematike.
DISKRETNA MATEMATIKA je deo matematike koji se bavi izucavanjem diskretnih
kolekcija objekata, pod cime se podrazumevaju kolekcije koje se sastoje od posebnih,
izolovanih ili nepovezanih objekata.
U takve kolekcije spadaju skupovi, relacije, funkcije, grafovi i stabla, celi i racionalni
brojevi, algebarske strukture, i mnogo sta drugo.
Matematicki kursevi zasnovani na materijalu koji se izucava u diskretnoj matematici
ukljucuju logiku, teoriju skupova, teoriju brojeva, linearnu algebru, apstraktnu algebru
(algebarske strukture), kombinatoriku, teoriju grafova, diskretnu verovatnocu, itd.
Osim toga, diskretna matematika predstavlja i ulaz u naprednije kurseve u svim mate-
matickim disciplinama.
DISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 2 – UVODNO PREDAVANJE
Diskretna matematikaDiskretna matematikaDiskretna matematika
Nasuprot matematickoj analizi, koja se bavi kontinualnim procesima, procesima koji se
odlikuju neprekidnim tokom, diskretna matematika se bavi diskretnim procesima, pro-
cesima koji se sastoje od niza individualnih koraka.
Dok su ideje matematicke analize cinile osnovu nauke i tehnologije u doba industrijske
revolucije, ideje diskretne matematike cine osnovu nauke i tehnologije u eri racunara.
Kljucni razlog za to je taj sto se u racunarima informacije predstavljaju, obraduju i
cuvaju u diskretnom obliku.
Diskretna matematika obezbeduje matematicke osnove za mnoge oblasti racunarskih
nauka, kao sto su strukture podataka, dizajn i analiza algoritama, formalni jezici,
automati i izracunljivost, konstrukcija prevodilaca, kriptografija, vestacka inteligencija,
baze podataka, softversko inzinjerstvo, racunarske mreze, itd.
Da bi se razumele tehnike izracunavanja u buducnosti, danasnjim studentima je neop-
hodna jaka osnova u diskretnoj matematici.
Diskretna matematika obezbeduje matematicke osnove i za neke druge nauke, kao sto
su operaciona istrazivanja, hemija, biologija, inzinjerstvo, ekonomija, lingvistika i dr.
DISKRETNE STRUKTURE – 3 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 3 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 3 – UVODNO PREDAVANJE
Diskretne struktureDiskretne struktureDiskretne strukture
DISKRETNE STRUKTURE predstavljaju prvi i osnovni kurs iz diskretne matematike
kako na studijama matematike, tako i na studijama informatike.
Ponegde se materija koju obuhvata ovaj kurs izucava u okviru kurseva sa drugacijim
nazivom, ali sadrzaj svih tih kurseva je najvecim delom isti i obuhvata sledece teme:
❏ osnove logike, odnosno, osnove iskazne i predikatske logike,
❏ tehnike dokazivanja,
❏ skupovi,
❏ relacije,
❏ funkcije,
❏ kardinali i osnove tehnike prebrojavanja, i drugo.
DISKRETNE STRUKTURE – 4 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 4 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 4 – UVODNO PREDAVANJE
Diskretne struktureDiskretne struktureDiskretne strukture
STA JE CILJ PREDMETA DISKRETNE STRUKTURE?
1) MATEMATICKO REZONOVANJE
Verovatno najvazniji cilj ovog predmeta je
❏ da pomogne studentima da razviju sposobnost da razmisljaju apstraktno,
❏ da im pomogne da razumeju i nauce da koriste matematicku argumentaciju.
To znaci da studenti treba da nauce
❏ da koriste logicki ispravne forme zakljucivanja,
❏ da izbegnu opste greske u zakljucivanju,
❏ da koriste osnovne tehnike i strategije dokazivanja,
❏ da sami izvode nove rezultate iz onih za koje je poznato da su tacni,
❏ da rade sa simbolickim izrazima kao sa konkretnim objektima, i drugo.
DISKRETNE STRUKTURE – 5 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 5 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 5 – UVODNO PREDAVANJE
Diskretne struktureDiskretne struktureDiskretne strukture
2) DISKRETNE STRUKTURE
Ovaj predmet takode treba da nauci studente kako raditi sa diskretnim strukturama –
sa apstraktnim matematickim strukturama koje se koriste za predstavljanje diskretnih
objekata i odnosa izmedu njih.
Konkretno, studenti treba da nauce da rade sa skupovima, relacijama, funkcijama,
grafovima, nizovima, matricama i drugim diskretnim matematickim objektima.
3) KOMBINATORNA ANALIZA
Kroz ovaj predmet studenti treba da steknu i jednu od najvaznijih vestina u resavanju
problema, a to je sposobnost da prebroje i numerisu objekte.
Drugim recima, studenti treba da se upoznaju sa osnovnim tehnikama prebrojavanja.
Pri tome, naglasak je ne u primeni gotovih formula, vec u sprovodenju kombinatorne
analize u resavanju problema prebrojavanja.
DISKRETNE STRUKTURE – 6 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 6 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 6 – UVODNO PREDAVANJE
Diskretne struktureDiskretne struktureDiskretne strukture
4) ALGORITAMSKO MISLJENJE
Kroz ovaj, kao i kroz neke druge predmete, studenti matematike, a posebno studenti
informatike, treba da nauce i da algoritamski razmisljaju.
Matematicki deo ove aktivnosti obuhvata konstrukciju algoritma, verifikaciju da on
radi dobro, i eventualno, analizu koliko je memorijskog prostora i vremena potrebno
racunaru da bi ga izvrsio.
5) PRIMENE I MODELIRANJE
Jedan od zadataka ovog predmeta je i da se studenti upoznaju sa primenama konce-
pata i rezultata diskretne matematike u matematickim, racunarskim i drugim naukama,
kao i da se nauce da ih i sami primenjuju.
Znacajnu ulogu u tome treba da igraju i brojni dobri primeri iz istorije matematickih,
racunarskih i drugih nauka.
DISKRETNE STRUKTURE – 7 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 7 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 7 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
OSNOVE LOGIKE je jedna od glavnih oblasti predmeta DISKRETNE STRUKTURE.
Kao sto smo rekli, osnovni zadatak ove oblasti je da studentima pomogne da razumeju
i nauce da koriste matematicku argumentaciju.
Drugim recima, studenti treba da
❏ nauce da koriste logicki ispravne forme zakljucivanja,
❏ nauce da izbegnu opste greske u zakljucivanju,
❏ steknu rutinu u radu sa simbolickim izrazima, i drugo.
Ova oblast obuhvata osnovne elemente
❏ ISKAZNE LOGIKE, i
❏ PREDIKATSKE LOGIKE.
DISKRETNE STRUKTURE – 8 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 8 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 8 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
IZ ISTORIJE LOGIKE
Logika je kao nauka zasnovana u 4. veku p.n.e. u delu
ORGANON grckog filozofa ARISTOTELA.
Aristotel je u tom delu sistematizovao dotadasnja znanja
u ovoj oblasti, i sacinio prvu kolekciju pravila deduktiv-
nog zakljucivanja.
Ta pravila su, po njemu, trebala da budu orude kojim bi
se sluzile druge nauke.
Aristotle
384–322 BC
Inace, i sam naziv “Organon” znaci “orude”.
DISKRETNE STRUKTURE – 9 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 9 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 9 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
Nakon Aristotela, dugo vremena nije bilo nekog znacajnog napretka u razvoju logike.
Stagnacija logike trajala je vise od dve hiljade godina.
Jedan od onih koji su se najvise trudili da se logika izvuce
iz stagnacije bio je poznati nemacki matematicar i filozof
GOTFRID LAJBNIC.
Lajbnic je smatrao da osnovni uzrok stagnacije logike lezi
u jeziku kojim se ona koristi
Gottfried Wilhelm von Leibniz
1596–1650
DISKRETNE STRUKTURE – 10 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 10 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 10 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
Lajbnic je tvrdio da prirodni jezik, kojim se logika do tada sluzila, nije pogodan za
dalji razvoj logike, i da logika treba da se sluzi nekim specijalnim simbolickim jezikom,
slicnim jeziku matematike.
On je smatrao da bi se koriscenjem simbola proces deduktivnog zakljucivanja mogao
mehanizovati na slican nacin kao sto je koriscenje algebarske simbolike mehanizovalo
proces racunanja sa brojevima.
Prema njemu, logiku bi, po uzoru na aritmetiku, trebalo organizovati u takav sistem,
sa takvim pravilima, da funkcionise kao racun.
Na zalost, Lajbnic nije uspeo da realizuje te svoje ideje.
Njegovi spisi nisu cak ni publikovani, i otkriveni su tek 1905. godine, kada je problem
vec bio resen, i to upravo na nacin koji je on predlagao.
DISKRETNE STRUKTURE – 11 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 11 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 11 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
Neznajuci za Lajbnicove ideje, do slicnih ideja je, dva veka kasnije, dosao britanski
matematicar DZORDZ BUL.
Bul je pokrenuo logiku iz stagnacije prevevsi je na jezik
MATEMATIKE, odnosno na jezik ALGEBRE.
Na taj nacin je stvorena nova matematicka teorija koju
danas zovemo
MATEMATICKA LOGIKA
ili
SIMBOLICKA LOGIKA.
George Boole
1815–1864
DISKRETNE STRUKTURE – 12 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 12 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 12 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
Od sredine 19. veka pa do danas, matematicka logika se razvijala veoma intenzivno,
i razvila se u veoma znacajnu matematicku disciplinu, koja obezbeduje teoretske
osnove za mnoge oblasti matematickih i racunarskih nauka.
Posebno znacajnu ulogu matematicka logika je odigrala u procesu nastanka i razvoja
digitalnih elektronskih racunara.
Americki matematicar i elektro-inzenjer KLOD SENON
je 1930-tih godina pokazao kako se Bulove logicke ope-
racije i binarna aritmetika mogu upotrebiti u dizajniranju
slozenih prekidackih elektronskih kola.
Tako su nastala tzv. digitalna logicka kola, osnovne kom-
ponente iz kojih se grade savremeni digitalni elektronski
racunari.
Claude Shannon
1916–2001
DISKRETNE STRUKTURE – 13 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 13 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 13 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
U savremenim digitalnim racunarima informacije se predstavljaju dvema ciframa 0 i 1,
koje se nazivaju binarne cifre, ili skraceno bitovi.
Cifre 0 i 1 takode predstavljaju i logicke vrednosti netacno i tacno, tim redom, pa
se sve operacije sa bitovima koje vrse digitalni racunari svode na logicke operacije sa
bitovima.
Osim sto lezi u samoj osnovi racunarskih nauka, matematicka logika ima znacajne
primene i u drugim oblastima racunarskih nauka.
Na primer, matematicka logika predstavlja teoretsku osnovu
❏ relacionih baza podataka,
❏ teorije formalnih jezika, automata i izracunljivosti,
❏ vestacke inteligencije,
i mnogih drugih oblasti.
DISKRETNE STRUKTURE – 14 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 14 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 14 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
U delu ovog predmeta koji se bavi iskaznom logikom bavicemo se
❏ iskazima i logickim veznicima, pomocu kojih iz jednostavnijih formiramo slozenije
iskaze,
❏ iskaznim formulama, pomocu kojih iskaze predstavljamo na simbolicki nacin;
❏ nacinima na koje se iskaznim formulama dodeljuje istinitosna vrednost, kao i
istinitosnim tablicama, pomocu kojih se te istinitosne vrednosti izracunavaju;
❏ tautologijama, iskaznim formulama koje su tacne u svim svojim interpretacijama,
i kontradikcijama, formulama koje su netacne u svim svojim interpretacijama;
❏ logicki ekvivalentnim formulama, formulama koje imaju iste istinitosne vrednosti
u svim svojim interpretacijama;
❏ logickom argumentacijom, tj. postupcima za razlikovanje ispravne i neispravne
argumentacije;
❏ osnovnim pravilima zakljucivanja, i najcescim greskama u zakljucivanju;
i mnogim drugim pitanjima.
DISKRETNE STRUKTURE – 15 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 15 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 15 – UVODNO PREDAVANJE
Osnove logikeOsnove logikeOsnove logike
U delu ovog predmeta koji se bavi predikatskom logikom bavicemo se
❏ predikatima, pomocu kojih izrazavamo svojstva koja mogu imati izvesni objekti,
kao i odnose izmedu objekata;
❏ kvantifikatorima, preciznije univerzalnim i egzistencijalnim kvantifikatorom, pomo-
cu kojih, neformalno govoreci, naznacujemo koliko cesto je neko tvrdenje tacno;
❏ negacijom kvantifikatora i kombinovanjem kvantifikatora;
❏ predikatskim formulama, formulama izgradenim uz pomoc logickih veznika i kvan-
tifikatora, i simbola kojima izrazavamo razne operacije i odnose izmedu objekata,
❏ argumentacijom u predikatskoj logici, kao i osnovnim pravilima zakljucivanja u
predikatskoj logici;
❏ primenama predikatske logike, poput primena u programiranju u logici (skraceno
PROLOG), u vestackoj inteligenciji, itd;
i mnogim drugim pitanjima.
DISKRETNE STRUKTURE – 16 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 16 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 16 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Kao sto smo ranije rekli, TEHNIKE DOKAZIVANJA je oblast predmeta DISKRETNE
STRUKTURE u okviru koje studenti treba da nauce
❏ da koriste osnovne tehnike i strategije dokazivanja, kao
❏ da sami izvode nove rezultate iz onih za koje je poznato da su tacni.
Pored toga, studenti treba da nauce i
❏ kako se, na pravilan nacin, u matematici uvode novi pojmovi, odnosno, kako se
pravilno koriste matematicke definicije;
❏ koji su osnovni principi na kojima se temelji organizacija svih matematickih teorija.
Pravilna upotreba matematickih dokaza je od sustinskog znacaja za bavljenje matema-
tikom, kao i informatikom, koja je iz nje proizisla, jer vise od 2000 godina DOKAZ
predstavlja ”zastitni znak” matematike.
DISKRETNE STRUKTURE – 17 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 17 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 17 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
IZ ISTORIJE DEDUKTIVNOG METODA
Prvi koji je upotrebio deduktivni nacin zakljucivanja bio
je TALES, prvi iz plejade cuvenih grckih filozofa.
Tales je dedukciju upotrebio dokazavsi nekoliko teorema
o podudarnosti trouglova.
Kasnije su njegovu ideju prihvatili i mnogi drugi, pocev
od PITAGORE i drugih pripadnika njegove skole.
Pitagorino ime nosi i najcuvenija teorema u istoriji mate-
matike, koju je on dokazao.
Thales of Miletus
624–547 BC
Inace, Pitagorina teorema je bila poznata i ranije, ali ju je Pitagora prvi dokazao
deduktivnim putem.
DISKRETNE STRUKTURE – 18 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 18 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 18 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Iako se deduktivni metod poceo koristiti sa Talesom, on se nije koristio na organizovan
nacin, kako se to radi danas.
Drugim recima, iako se u matematici tog doba koristila dedukcija, matematika nije
bila organizovana kao DEDUKTIVNA TEORIJA.
Osnovne principe deduktivne organizacije matematic-
kih teorija postavio je u 3. veku p.n.e. grcki matema-
ticar EUKLID.
U svom cuvenom delu ELEMENTI Euklid je izlozio
geometriju kao AKSIOMATSKU TEORIJU.
Ta njegova teorija i danas predstavlja model po kome
se organizuju matematicke teorije.
Euclid of Alexandria
325–265 BC
DISKRETNE STRUKTURE – 19 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 19 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 19 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Inace, osnovni principi deduktivne organizacije matematickih teorija su relativno jed-
nostavni:
❏ U jednoj deduktivnoj teoriji nije moguce sve definisati. Zato postoje termini teo-
rije koji se ne definisu, koje nazivamo OSNOVNI ili PRIMITIVNI TERMINI.
Svi ostali termini date teorije moraju se DEFINISATI, a u definicijama smemo
koristiti samo osnovne termine i one termine koji su prethodno definisani.
❏ U jednoj deduktivnoj teoriji nije moguce sve dokazati. Zato postoje tvrdenja koja
se ne dokazuju, koje nazivamo AKSIOME.
Sva ostala tvrdenja date teorije moraju se DOKAZATI, pri cemu je u dokazima
dozvoljeno koristiti samo aksiome i ona tvrdenja koja su prethodno dokazana.
U ovom predmetu detaljnije cemo se pozabaviti matematickim teorijama, osnovnim
principima njihove deduktivne organizacije, matematickim definicijama i dokazima.
DISKRETNE STRUKTURE – 20 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 20 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 20 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Dalje, govoricemo i o osnovnim metodima dokazivanja teorema.
Pre svega, govoricemo o
❏ podeli dokaza na direktne i indirektne dokaze, i o tome u kojim slucajevima
koristiti jedne, a u kojim druge;
❏ upotrebi dokaza svodenjem na kontradikciju;
❏ upotrebi dokaza podelom na slucajeve;
❏ dokazima oblika produzene implikacije;
❏ dokazivanju ekvivalencija;
❏ dokazima oblika ciklicne implikacije;
❏ dokazima oblika produzene ekvivalencije;
i drugim metodama dokazivanja.
DISKRETNE STRUKTURE – 21 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 21 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 21 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Posebna paznja bice posvecena teoremama u kojima se koriste kvantifikatori.
Govoricemo o
❏ dokazima egzistencije, gde se dokazuje da postoji objekat sa izvesnim svojstvima,
i o dokazima jedinstvenosti, gde se dokazuje da postoji tacno jedan takav objekat;
❏ dokazivanju teorema sa univerzalnim kvantifikatorom (”za svaki”), i to metodom
iscrpljivanja i metodom generalizacije iz generickog primerka;
❏ opovrgivanju kontraprimerom, koje se koristi za dokazivanje netacnosti tvrdenja
sa univerzalnim kvantifikatorom, kao i o opovrgivanju tvrdenja o egzistenciji;
i drugim metodama dokazivanja teorema sa kvantifikatorima.
Takode, bice reci i o greskama u dokazivanju koje se najcesce prave.
DISKRETNE STRUKTURE – 22 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 22 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 22 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Pored metoda dokazivanja, bice reci i o nekim od osnovnih strategija dokazivanja:
❏ o rezonovanju unapred i unazad;
❏ o ojacavanju dokaza podelom na slucajeve;
❏ o prilagodavanju postojecih dokaza; itd.
Verovatno najsire koriscen metod dokazivanja je dokaz matematickom indukcijom.
Ovde ce biti reci
❏ o principu matematicke indukcije, na kome se ovaj metod dokazivanja temelji;
❏ o razlici izmedu proste indukcije i jake indukcije;
❏ o visestrukoj indukciji; itd.
DISKRETNE STRUKTURE – 23 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 23 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 23 – UVODNO PREDAVANJE
Tehnike dokazivanjaTehnike dokazivanjaTehnike dokazivanja
Na kraju dela koji se bavi tehnikama dokazivanja bice reci o matematickim definicijama,
gde cemo govoriti
❏ o tome kako se pravilno definisu matematicki pojmovi;
❏ o direktnim (eksplicitnim) i indirektnim (implicitnim) definicijama;
❏ o rekurzivnim (induktivnim) definicijama;
❏ kao i o strukturnoj indukciji, vidu matematicke indukcije koji se koristi za dokazi-
vanje tvrdenja koja se ticu rekurzivno definisanih objekata.
DISKRETNE STRUKTURE – 24 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 24 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 24 – UVODNO PREDAVANJE
SkupoviSkupoviSkupovi
Svakako najznacajniju matematicku strukturu cine SKUPOVI, a TEORIJA SKUPOVA,
koja se bavi njihovim izucavanjem, zajedno sa LOGIKOM, i TEORIJAMA RELACIJA
i FUNKCIJA, predstavlja osnovu citave matematike.
U drugoj polovini 19. veka matematicari su se poceli jace
interesovati za apstraktna svojstva skupova.
To interesovanje dovelo je do nastanka nove matema-
ticke discipline – APSTRAKTNE TEORIJE SKUPOVA.
Njen tvorac bio je GEORG KANTOR, nemacki matema-
ticar .
Georg Cantor
1845–1918
DISKRETNE STRUKTURE – 25 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 25 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 25 – UVODNO PREDAVANJE
SkupoviSkupoviSkupovi
Osnovna ideja apstraktne teorije skupova je izucavanje opstih svojstava skupova,
nezavisno od specificnih svojstava elemenata koji ih cine.
To znaci da nekog ko se bavi ovom oblascu ne zanima toliko kakva je priroda eleme-
nata koji cine neki skup, vec ih vise zanima u kakvim su odnosima ti elementi.
Ova ideja dovela je ne samo do nastanka apstraktne teorije skupova, vec i do
izucavanja mnogih drugih novih, znacajnih matematickih struktura, kao sto su
❏ apstraktne algebarske strukture;
❏ apstraktni geometrijski prostori;
❏ apstraktni topoloski prostori;
i druge.
DISKRETNE STRUKTURE – 26 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 26 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 26 – UVODNO PREDAVANJE
SkupoviSkupoviSkupovi
Da bi sa uspehom savladao ostale predmete na studijama, jedan student matematike
ili informatike mora da stekne osnovna znanja
❏ o zadavanju i predstavljanju skupova;
❏ o jednakosti skupova i inkluziji skupova;
❏ o osnovnim skupovnim operacijama: razlici skupova, preseku skupova, uniji
skupova i komplementu skupa, kao i o medusobnim odnosima ovih operacija;
❏ o partitivnom skupu datog skupa;
❏ o pojmu uredenog para, uredene n-torke i Dekartovog proizvoda skupova;
❏ o pojmovima familije skupova, preseka familije skupova i unije familije skupova,
i drugim konceptima teorije skupova.
Sve ovo bice obradivano u okviru ovog predmeta.
DISKRETNE STRUKTURE – 27 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 27 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 27 – UVODNO PREDAVANJE
RelacijeRelacijeRelacije
U raznim oblastima se cesto javlja potreba da se izmedu izvesnih objekata uspostave
izvesne veze ili odnosi.
Na primer, cesto se javlja potreba
❏ da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,
❏ da se poredaju u skladu sa nekim pravilom,
❏ da se odrede izvesne slicnosti izmedu objekata, i da se oni grupisu u grupe
medusobno slicnih objekata, itd.
U matematici se sve ovo moze uraditi koriscenjem matematickog pojma RELACIJE,
kome je posvecen i znacajan deo predmeta DISKRETNE STRUKTURE.
DISKRETNE STRUKTURE – 28 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 28 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 28 – UVODNO PREDAVANJE
RelacijeRelacijeRelacije
U okviru ovog predmeta, studenti treba da steknu znanja
❏ o raznim nacinima predstavljanja relacija, kao sto su graficko predstavljanje i
predstavljanje Bulovim matricama;
❏ o grafovima, i njihovom odnosu sa relacijama;
❏ o nekim vaznim relacijama, kao sto su prazna relacija, univerzalna relacija i
identicka relacija (jednakost, dijagonala);
❏ o jednakosti relacija i inkluziji relacija;
❏ o osnovnim operacijama sa relacijama - uniji relacija, preseku relacija,
komplementu relacije i inverznoj relaciji;
❏ o kompoziciji relacija i njenoj asocijativnosti;
❏ o osnovnim svojstvima koja mogu imati relacije: refleksivnosti, simetricnosti,
antisimetricnosti i tranzitivnosti;
❏ o tranzitivnom zatvorenju relacije, i njegovim vezama sa putevima u grafu; itd.
DISKRETNE STRUKTURE – 29 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 29 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 29 – UVODNO PREDAVANJE
RelacijeRelacijeRelacije
Centralno mesto u izucavanju relacija, kao i njihovoj primeni, zauzimaju dva specijalna
tipa relacija: RELACIJE EKVIVALENCIJE i RELACIJE PORETKA ili UREDJENJA.
Uloga RELACIJA EKVIVALENCIJE je da se pomocu njih izraze odredene slicnosti
izmedu nekih objekata, i da se ti objekti grupisu u grupe medusobno slicnih objekata.
Istorijski gledano, prva relacija ekvivalencije koja je kao
takva izucavana bila je relacija na skupu celih brojeva po-
znata kao kongruencija po modulu prirodnog broja n.
Uveo ju je cuveni nemacki matematicar KARL FRIDRIH
GAUS, 1801. godine.
Carl Friedrich Gauss
1777–1855
DISKRETNE STRUKTURE – 30 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 30 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 30 – UVODNO PREDAVANJE
RelacijeRelacijeRelacije
Vezano za relacije ekvivalencije, studenti treba da se upoznaju
❏ sa osnovnim primerima relacija ekvivalencije, ukljucujuci i napred pomenutu
kongruenciju po modulu prirodnog broja n;
❏ sa pojmom klase ekvivalencije, sa razbijanjem skupa na klase medusobno ekvi-
valentnih elemenata, i pojmom particije skupa;
❏ sa prirodnom vezom koja postoji izmedu relacija ekvivalencije i particija skupa;
❏ sa pojmom faktor skupa, i da shvate njegov prakticni znacaj; itd.
DISKRETNE STRUKTURE – 31 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 31 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 31 – UVODNO PREDAVANJE
RelacijeRelacijeRelacije
Drugi vazan specijalan tip relacija su RELACIJE PORETKA ili UREDJENJA.
Njihova uloga je
❏ da se pomocu njih izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu;
❏ da se pomocu njih izvesni objekti poredaju u skladu sa nekim pravilom; itd.
Vezano za relacije poretka, studenti treba da steknu osnovna znanja
❏ o parcijalno uredenim skupovima i nacinima za njihovo predstavljanje;
❏ o linearno (totalno) uredenim skupovima;
❏ o minimalnim elementima i najmanjim elementima uredenih skupova, i da nauce
da prave razliku izmedu njih, kao i o maksimalnim i najvecim elementima;
❏ o donjim i gornjim granicama skupa, i o infimumu i supremumu skupa;
❏ o nekim vaznim uredenjima na recima (stringovima), kao sto su prefiks, sufiks,
faktor, leksikografsko i alfabetsko uredenje; itd.
DISKRETNE STRUKTURE – 32 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 32 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 32 – UVODNO PREDAVANJE
FunkcijeFunkcijeFunkcije
FUNKCIJE ili PRESLIKAVANJA predstavljaju jos jedan vazan pojam koji se koristi u
svim oblastima matematike i racunarskih nauka, kao i u drugim naukama.
Pojam funkcije vodi poreklo od pojma funkcionalne zavisnosti, pod cime se podrazu-
meva zavisnost jedne promenljive velicine od druge.
Takav oblik zavisnosti srecemo jos u najranijim stadijumima razvoja matematike, pre
svega u vidu tablica kojima se od pamtiveka izrazavala zavisnost dveju velicina.
Medutim, jasna predstava o pojmu funkcionalne zavisnosti stvorena je tek radom mate-
maticara 17. veka, kada je zapocelo intenzivno izucavanje FUNKCIJA kao sredstva
za izrazavanje te funkcionalne zavisnosti.
Sa pojavom apstraktne teorije skupova, FUNKCIJE ili PRESLIKAVANJA, kako ih jos
nazivamo, dobile su takode svoju apstraktnu interpretaciju.
Naime, tada je funkcija izmedu dva skupa definisana kao pridruzivanje koje svakom
elementu prvog skupa dodeljuje tacno jedan element drugog skupa.
DISKRETNE STRUKTURE – 33 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 33 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 33 – UVODNO PREDAVANJE
FunkcijeFunkcijeFunkcije
Takode, funkcije se mogu shvatiti i kao transformacije, koje jedan skup transformisu
u drugi.
Tako shvacene, funkcije su dobile i veoma znacajne primene u
❏ geometriji i topologiji, gde se izucavaju razne transformacije geometrijskih i
topoloskih prostora;
❏ fizici, gde se razni fizicki procesi u prirodi mogu predstaviti preko transformacija.
U okviru ovog predmeta, izucavanje funkcija zapocinje se izucavanjem opstijeg pojma
KORESPONDENCIJE – relacije izmedju elemenata dva skupa.
Potom se funkcije definisu kao korespondencije sa izvesnim specijalnim svojstvima.
DISKRETNE STRUKTURE – 34 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 34 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 34 – UVODNO PREDAVANJE
FunkcijeFunkcijeFunkcije
Ono sto studenti u okviru predmeta DISKRETNE STRUKTURE treba da nauce o
FUNKCIJAMA je sledece:
❏ sta su funkcije, i kako razlikovati one korespondencije koje jesu i one koje nisu
funkcije;
❏ kako se funkcije oznacavaju i predstavljaju, kada su dve funkcije jednake, sta su
restrikcija i prosirenje funkcije;
❏ kako se funkcije mogu nadovezati jedna na drugu, tj. formirati kompozicija funkcija,
i koja su osnovna svojstva kompozicije;
❏ kako se kompozicija funkcija moze interpretirati i prakticno primenjivati;
❏ sta je to identicka funkcija, i koja su njena osnovna svojstva;
❏ sta su to injektivne, surjektivne i bijektivne funkcije, i kako ustanoviti da li data
funkcija ima jedno od tih svojstava;
❏ sta je to inverzna funkcija, pod kojim uslovima ona postoji i kako se izracunava;
❏ sta je to jezgro funkcije, i koji je prakticni znacaj tog pojma.
DISKRETNE STRUKTURE – 35 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 35 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 35 – UVODNO PREDAVANJE
FunkcijeFunkcijeFunkcije
Posebna paznja posvecena je bijektivnim funkcijama, ili ekvivalentno, funkcijama koje
poseduju inverznu funkciju, pre svega zbog izuzetno znacajnih primena koje one imaju
u raznim oblastima, kao sto su:
❏ fizika, gde se koriste za opisivanje povratnih procesa;
❏ geometrija, gde se koriste za opisivanje vecine geometrijskih transformacija;
❏ kriptografija i kodiranje, gde se informacije sifruju, odnosno kodiraju, bijektivnom
funkcijom, da bi se inverznom funkcijom mogle desifrovati, odnosno dekodirati;
❏ kombinatorika, gde se prebrojavanje objekata vrsi bijektivnim funkcijama, i gde
se permutacije definisu kao bijekcije konacnih skupova.
Konacno, u okviru ovog predmeta studenti ce biti upoznati i sa nekim fundamentalnim
matematickim pojmovima koji se definisu kao posebne vrste funkcija, kao sto su:
❏ algebarske operacije;
❏ konacni, beskonacni i visedimenzionalni nizovi, i matrice;
❏ Dekartov proizvod familije skupova.
DISKRETNE STRUKTURE – 36 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 36 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 36 – UVODNO PREDAVANJE
Kardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanje
Istorijski, pojam KARDINALNOG BROJA je uveden da bi se pomocu njega mogla opi-
sati velicina skupova, odnosno da bi se skupovi mogli uporedivati po velicini.
Pocev od najprimitivnijih tehnika predstavljanja brojeva prstima ili urezanim znacima,
prebrojavanje elemenata skupa, odnosno uporedivanje skupova po broju elemenata,
vrsi se uz pomoc bijektivnih funkcija.
Do punog izrazaja, bijektivne funkcije dosle su u radu sa beskonacnim skupovima.
Jos u 17. veku, cuveni italijanski fizicar i matematicar Galileo
Galilej je primetio da kod beskonacnog skupa, njegov pravi
podskup moze biti iste velicine kao i ceo skup.
Kasnije, u 19. veku, primeceno je i da svi beskonacni skupovi
nisu iste velicine, da neki beskonacni skupovi mogu biti veci
od drugih.
Galileo Galilei
1564–1642
DISKRETNE STRUKTURE – 37 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 37 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 37 – UVODNO PREDAVANJE
Kardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanje
Naime, Georg Kantor je dokazao cuvenu teoremu koja kaze da skup prirodnih brojeva
i skup realnih brojeva nemaju istu velicinu, da je realnih brojeva ”vise” nego prirodnih.
To je dovelo do intenzivnog razvoja teorije kardinalnih brojeva u drugoj polovini 19.
veka i u 20. veku, i u ovom predmetu bice obradeni i osnovni elementi te teorije.
Vezano za KARDINALE, studenti ovde treba da saznaju:
❏ sta znaci da su dva skupa ekvipotentna (iste moci);
❏ kako se formalno definisu pojmovi konacnog i beskonacnog skupa, prebrojivog i
neprebrojivog skupa;
❏ kako se dokazuje neprebrojivost skupa realnih brojeva;
❏ kako se formalno definise kardinalni broj skupa, i kako se kardinalni brojevi ureduju;
❏ kako se vrse operacije sabiranja, mnozenja i stepenovanja kardinalnih brojeva;
❏ koji su najznacajniji beskonacni kardinalni brojevi, i kakav je njihov medusobni
odnos.
DISKRETNE STRUKTURE – 38 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 38 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 38 – UVODNO PREDAVANJE
Kardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanjeKardinali i prebrojavanje
U okviru predmeta DISKRETNE STRUKTURE govorice se i o osnovnim principima
PREBROJAVANJA konacnih skupova.
Vezano za PRINCIPE PREBROJAVANJA, studenti ovde treba da saznaju:
❏ kako se formalno, matematicki definise pojam prebrojavanja;
❏ o osnovnim principima prebrojavanja
➠ principu jednakosti;
➠ principu zbira;
➠ principu proizvoda;
➠ Dirihleovom principu, odnosno principu postanskog sanduceta;
➠ principu ukljucenja-iskljucenja;
i drugo.
DISKRETNE STRUKTURE – 39 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 39 – UVODNO PREDAVANJEDISKRETNE STRUKTURE – 39 – UVODNO PREDAVANJE