Regime finanziario dell’interesse composto · Avendo ottenuto il montante unitario e...

Prof. Paolo Di Antonio Anno accademico 2015/2016

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Regime finanziario dell’interesse composto

Il regime dell’interesse composto si caratterizza per la capitalizzazione periodica degli interessi che genera ulteriori interessi. La differenza rispetto al regime dell’interesse semplice che non consente capitalizzazione è dunque chiara.

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K M

Regime dell’interesse semplice

t=0 t=1 t=2

Fattore di montante = [1+i(2)]

K M

t=0 t=1 t=2

Regime dell’interesse composto

M(1) = K(1+i)

M = M(1)(1+i) = K(1+i) 2


37


2


38


2


39

Regime finanziario dell’interesse composto: formule inverse

K M

t=0 t=1 t=2

K= M(1)/(1+i)

M

M(1) = M/(1+i)


40


Un semplice esempio può essere d’aiuto. Il capitale disponibile tra due anni (m) è

108,64 €, il tasso di attualizzazione è l’8%, il valore attuale in regime di

capitalizzazione composta (K) è 100 €.

t=0 t1=1 t2=2

M 118,64

M(1) 108=118,64/(1+0,08)

K 100=108/(1+0,08)


41



42



43



44


Se l’incognita è il tasso di interesse, i:

Dati i valori del capital K, del montante M e del tempo t, è possibile stimare il tasso i:

Esempio

Dati: M=130; K=99,92; t=3 anni e 5 mesi; i=?


45

Montante ed Interesse

Avendo ottenuto il montante unitario e l’interesse unitario è semplice definire le leggi di

formazione del montante e dell’interesse.

Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18).

K

M,I

t

M=M(t)

I=I(t)


46

Sconto e Valore attuale

In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti si possono ricavare:

Fattore di attualizzazione (o valore attuale unitario)

Sconto unitario

Valore attuale

Sconto

Inoltre possiamo ottenere:


47


Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime

dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18).

K,D

M

D(t)

K

t


48


0,0 1,0 2,0

t

M 1+i 1

Per durate inferiori all’anno gli interessi prodotti dall’investimenton nel regime dell’interesse semplice sono maggiori di quelli prodotti nel regime dell’interesse composto.

Per durate superiori all’anno gli interessi

prodotti nel regime dell’interesse semplice

sono minori di quelli prodotti nel regime

dell’interesse composto.

Per durate pari ad 1 anno i due regimi

Finanziari producono lo stesso ammontare di

interesse unitario (1+i).


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I TASSI EQUIVALENTI

• Argomenti

• Tassi equivalenti, tasso nominale, tasso istantaneo


50

I Tassi equivalenti

In un assegnato regime finanziario, due tassi di interesse, riferiti ad orizzonti temporali diversi, si dicono equivalenti se i corrispondenti fattori di capitalizzazione

per un’operazione finanziaria della stessa durata t risultano uguali.

i Tasso di interesse annuo i1/m Tasso di interesse periodale (riferito ad 1/m di anno)

Esempio i1/2 Tasso di interesse semestrale i1/4 Tasso di interesse trimestrale i1/12 Tasso di interesse mensile

0

0

1 2 1m m

1 Anni

Periodi


51

Se in corrispondenza del tasso di interesse annuo consideriamo la durata di una

determinata operazione t espressa in anni, allora, in corrispondenza di un tasso

periodale i1/m la durata della medesima operazione sarà pari a m·t, espressa in frazioni

di anno.

Tassi equivalenti

ESEMPIO: Operazione finanziaria di durata pari ad 1 anno


Tassi equivalenti

Regime dell’interesse semplice

1

1 1

1 1

0

m

m m

i t i m t

ii i m i

m

con m

+ = +

= =

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Anno accademico 2015/2016


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Regime dell’interesse composto

1

1 1

1 1

1 1

(1 ) (1 )

1 (1 ) (1 ) 1

(1 ) 1 (1 ) 1

t m t

m

m m

m m

m m

m m

i i

i i i i

i i i i

+ = +

+ = + = +

+ = + = +

Tassi equivalenti


54

Esercizi

ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse quadrimestrale (i1/3) pari a 4,65%, nel regime dell’interesse

composto, calcolare i tassi di interesse annuo (i) e mensile (i1/12) ad esso corrispondenti.

12 3

1 12 1 3

3 12

1 12 1 3

3 12

1 12 1 3

0,25

1 12

1 3

1 3

3

1 3

3

(1 ) (1 )

1 (1 )

(1 ) 1

(1 0,0465) 1 0,0114 1,14%

(1 ) (1 )

(1 ) 1

(1 0,0465) 1 0,1461 14,61%

i i

i i

i i

i

i i

i i

i

+ = +

+ = +

= +

= + = =

+ = +

= +

= + = =


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Riprendendo i dati dell’esercizio precedente calcoliamo gli stessi tassi incogniti ipotizzando di trovarci nel regime dell’interesse semplice.

1 12 1 3

1 12 1 3 1 12

1 3

1 3

1 12 1 3

30,0465 0,25 1,16%

12

1 1 3

3 0,0465 3 13,95%

i i

i i i

i i

i i i

+ = +

= = =

+ = +

= = =

Esercizi


56

Tasso di interesse nominale

Ipotizziamo di trovarci nel regime dell’interesse composto e che il capitale iniziale (K) sia investito ad un tasso annuo di interesse (i).

L’interesse via via generato viene però corrisposto all’investitore a periodicità prefissate, ad esempio m volte l’anno.

Dopo la prima frazione (1/m) di anno verrà quindi reso disponibile all’investitore l’interesse maturato.

Questo interesse non viene automaticamente capitalizzato, al termine della seconda frazione di anno (2/m) il capitale fruttifero sarà ancora pari a K, di conseguenza anche alla fine di questo periodo l’investitore riceverà una cedola di interesse pari a:


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Graficamente la situazione può essere così rappresentata

M

K

K+Ki1/m

1/m 2/m 3/m 4/m t

Ipotizzando che l’investimento duri un anno, alla fine di questo periodo l’investitore avrà ricevuto per ogni euro investito m “cedole” di pari importo (i1/m).


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TASSO DI INTERESSE NOMINALE

Il tasso nominale annuo di interesse convertibile m volte nell’anno equivalente al tasso di interesse annuo effettivo (i), indicato con j(m), è la somma aritmetica delle cedole corrisposte all’investitore per ogni euro investito.

1/

1/

1/

( ) (1 ) 1

1( )

( )1 1

m

m

m

m

j m mi m i

i j mm

j mi

m

= = +

=

= +

Non ha un significato finanziario diretto, in quanto somma aritmetica di capitali disponibili ad epoche diverse.


ESERCIZIO 1 Dato un tasso di interesse annuo effettivo (i) del 10,25%, nel regime dell’interesse composto, determinare l’equivalente tasso di interesse nominale convertibile 3 volte l’anno (j(3)).

1

1 3

( ) (1 1)

(3) 3 (1 0,1025) 1 0,99185 9,92%

mj m m i

j

= +

= + = =


Esercizi


60

Tasso di interesse istantaneo

Se il tasso di interesse nominale j(m) è convertibile infinite volte nell’anno, ossia è convertibile istante per istante, si può giungere al seguente risultato tramite le proprietà dei limiti notevoli.

1/lim ( ) lim (1 ) 1 ln(1 )m

m mj m m i i

+ + = + = = +

Dove la quantità

ln(1 )i = +

è definita tasso istantaneo di interesse corrispondente al tasso di interesse effettivo annuo (i). Ricavando il tasso di interesse effettivo annuo dalla relazione appena enunciata si avrà:

exp( ) 1i =


61

Confronto tra tassi equivalenti

Il tasso di interesse

nominale annuo è:

i

( )j m

m2 31 ............

Minore di quello effettivo annuo se m>1;

Maggiore di quello effettivo annuo se m<1

Uguale a quello effettivo annuo se m=1

Al crescere di m tende al valore del tasso di interesse istantaneo

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Confronto tra tassi equivalenti

L’andamento dei tassi equivalenti rappresentato graficamente è validato dalla seguente tabella dove sono evidenziati i valori dei tassi equivalenti a determinati tassi di interesse effettivi annui per diversi valori di m, nonché i relativi tassi istantanei di interesse.


63

Alcune relazioni notevoli

ln(1 )

ln(1 )

1

(1 ) ( )

( ) (1 )

i

t t

t t

i

e e

e i

e i r t

r t i e

+

= +

=

= +

= + =

= + =


64

Tasso istantaneo di interesse -Capitalizzazione-

Dalle relazioni precedenti risulta evidente che, nell’operazione di capitalizzazione, utilizzare il tasso effettivo annuo (i) o il corrispondente tasso istantaneo (δ) conduce agli stessi risultati.

ESEMPIO Dato un capitale iniziale di € 100 investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse effettivo annuo del 20% determinare il montante generato alla fine del terzo anno di investimento.

ln(1 ) ln(1,20) 0,1823i = + = =


65

Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione-

Ricordando che:

1( )

( )v t

r t=

Allora possiamo esprimere anche il fattore di attualizzazione tramite il tasso istantaneo di interesse:

( ) (1 ) exp( )tv t i t= + =

Si può di conseguenza affermare che anche per quanto riguarda l’operazione di attualizzazione è indifferente che essa venga svolta per mezzo del tasso effettivo di interesse annuale o tramite il tasso di interesse istantaneo corrispondente.


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ln(1 ) ln(1,15) 0,1398i = + = =

ESEMPIO Dato un tasso di interesse effettivo annuo del 15% determinare il valore attuale di un capitale finale di € 100 disponibile tra due anni.

2

(1 )

100 (1,15)

75,61

tC M i

= +

=

=

exp( )

100 exp( 0,1398 2)

75,61

C M t=

=

=

Tasso istantaneo di interesse -Attualizzazione-

K K


67

ESERCIZIO 1 Determinare il valore attuale di un capitale di € 3000 disponibile tra un anno e mezzo investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso nominale convertibile semestralmente (j(2)) pari al 15%.

2

1,5

( )1 1

0,151 1 0,155625

2

(1 )

3000 (1 0,155625) 2414,88

m

t

j mi

m

i

C M i

C

= +

= + =

= +

= + =

Esercizi

K

K


68

Esercizi

ESERCIZIO 2 Determinare il valore attuale di un capitale di € 5000 disponibile tra due anni e nove mesi investito nel regime dell’interesse composto ad un tasso di interesse istantaneo (δ) pari al 12,5%.

exp( )

5000 exp( 0,125 33 12) 3545,53

C M t

C

=

= =

K

K


69

ESERCIZIO 3 Determinare il tasso di interesse istantaneo (δ) in base al quale un capitale di € 2400 genera un montante di € 3000 dopo un anno e mezzo.

exp( ) exp( )

ln ln exp( )

1ln ln

1 3000ln 0,1488 14,88%

1,5 2400

MM C t t

C

Mt

C

M Mt

C t C

= =

=

= =

= = =

Esercizi

K K

K

K K


70

ESERCIZIO 4 Dato un tasso istantaneo di interesse (δ) pari al 10% calcolare il tasso semestrale di interesse equivalente (i1/2).

1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

exp( ) 1

exp

exp( ) 1

(1 ) 1

(1 ) 1

exp( 2) 1 exp(0,10 2

(

) 1 0,051

) 1

3

i i

i i

i

i

= + =

= +

= +

= = =

Esercizi


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