Regimi finanziari

• Regimi di capitalizzazione– Regime dell’interesse semplice– Regime dell’interesse composto– Regime dell’interesse anticipato

• Regimi di attualizzazione– Regime dello sconto semplice– Regime dello sconto composto– Regime dello sconto commerciale

REGIMI FINANZIARI

• I regimi finanziari più usati nella prassi si basano su fattori di montante appartenenti a 3 diverse famiglie:

f (t) = 1 + ht, (h > 0) (funzione affine)

)0(,1

1)(

h

httf (funzione iperbolica)

f (t) = eht, (h > 0) (funzione esponenziale)

Ciascuna di queste famiglie, per h prefissato, dà origine ad una particolare legge finanziaria.

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE SEMPLICE

I = Ci tM = C + I = C + Cit = C (1 + it)

• I è proporzionale a:C = Capitale t = tempo i = tasso di interesse

• Secondo questa legge, l'interesse è proporzionale sia al capitale che al tempo, secondo un fattore di proporzionalità costituito dal tasso di interesse.

Grafico di M = C (1+it) e I = Cit

M

C

t

M(t)

I(t)

REGIME DI CAPITALIZZAZIONE A INTERESSE SEMPLICE

FATTORE DI MONTANTE A INTERESSE SEMPLICE

• M = C (1 + it), • se C = 1 allora: • M = f(t) = 1 + it

• Il parametro i è il coefficiente angolare della retta, e finanziariamente caratterizza la velocità di accrescimento di 1 euro impiegato.

f(t)

t

1

ESEMPIO

C = 5 000 euroi = 1.5 % trimestralet0= 0 = 1/1/2006t = 30/6/2006

Il montante al 30/6/2006 è .........• M = C + I• I = Cit = 5 000 0.015 2 = 150 euro• M = 5 000 + 150 = 5 150 euro.

DURATA INTERA E DURATA FRAZIONARIA

I = Cit• Durata Intera

La durata dell'impiego è uguale ad un numero intero di periodi.• Durata Frazionaria

La durata dell'impiego è uguale ad una frazione (propria) di periodo.(ex: tasso bimestrale, durata un mese)

• Durata frazionariaSia i il tasso di interesse annuo, allora Mesi: se il capitale C viene impiegato per m mesi interi (m < 12), si ha:

12

mCiI

365 è il numero di giorni dell'anno civile. Nella pratica si utilizza anche l'anno commerciale fissato convenzionalmente in 360 giorni.

• Considerando una durata t qualsiasi, cioè espressa in (n) anni (m) mesi, (g) giorni, si ha:

• I = Cit M = C(1+it)

Giorni: se il capitale C viene impiegato per g giorni ( g < 30)

365

gCiI

36512

gmnt

DURATA INTERA E DURATA FRAZIONARIA

Esempio

• Calcolare il montante di un capitale di 1000 euro impiegato per 1 anno, 6 mesi e 18 giorni al tasso annuale dl 3% in capitalizzazione semplice

549,1365

18

12

61 t

M = C(1+it) = 1000 (1+0,03*1,549) = 1046,47

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

• Nella pratica accade molto spesso che la capitalizzazione venga regolata, anziché da un unico tasso costante nel tempo, da una sequenza di tassi di interesse diversi, ciascuno applicabile a un determinato lasso temporale.

• Vediamo come si possa adeguare il regime di capitalizzazione a interesse semplice a questa circostanza, nel rispetto della formulazione generale di tale regime.

• Sia i1 il tasso di interesse applicabile nel periodo da 0 a t1, i2 quello da t1 a t2 e così via.

• Nel primo periodo gli interessi prodotti:

I1 =C i1 t1

• gli interessi prodotti nel secondo periodo:

I2 =C i2 (t2–t1)• Pertanto il montante in t2, come somma di capitale e

interessi maturati sarà dato da• M(t2)= C (1+ i1 t1+ i2 (t2–t1))• gli interessi si rendono disponibili solo alla fine della

capitalizzazione, e quindi non producono altri interessi.

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

Esempio

• Un capitale di Euro 5 000,00 viene impiegato in capitalizzazione a interessi semplici al tasso trimestrale 1,5% per un trimestre, e successivamente per tre trimestri al tasso trimestrale 2%.

• Il montante raggiunto alla fine (dopo un anno) risultaM(4) = Euro 5 000 (1 + 10,015 + 30,02) = Euro 5 375

Regime a sconto semplice o razionale

• V = C0=Valore attuale = Somma scontata• Ct = Capitale disponibile in t • D = Sconto• i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione

tCit )(1C0

it

itCVCD t

t

1

it

CCV t

10

t=0 t

C0 Ct

Fattore di sconto razionale

• g(t) è il valore attuale, in regime di sconto razionale al tasso di interesse i, di un capitale unitario che si renderà disponibile al tempo t.

ittg

1

1)(

esempio

• In data 1/1/2006 sottoscrivo BoT per un valore nominale di Euro 5.200 in scadenza il 30 Giugno 2006, al tasso di interesse 3% trimestrale. Quale è il prezzo di sottoscrizione, calcolato in regime di sconto semplice?

• I dati sono: Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale,

t = 2 trimestri.

66,490503,021

2005

V

Regime di capitalizzazione a interesse composto

• A differenza del regime di capitalizzazione a interesse semplice, il quale prescrive che l’interesse sia sempre direttamente proporzionale al capitale iniziale e al tempo, il regime di capitalizzazione a interesse composto si caratterizza per il fatto che, al termine di ogni periodo, il capitale impiegato incorpora gli interessi maturati, in modo che anche questi ultimi producano interessi nei periodi seguenti.

• In altre parole, l’interesse che si forma in ogni istante è ora proporzionale al montante accumulato a quel tempo.

Esempio

• Consideriamo la capitalizzazione raffigurata schematicamente nel grafico

• tasso di interesse 1,5% trimestrale.

t0 t1 t2|________________|_________________|____

t0 = 1/1/02 t1 = 31/3/02 t2 = 30/6/02C = Euro 5 000 M = ?

Al termine del primo periodo il montante valeM(1) = C + Ci = C (1 + i)

e l’intero importo si considera investimento iniziale per il secondo periodo, cosicché risulta

M(2)= M(1)+ iM(1) = M(1) (1 + i) = C (1 + i) (1 + i) = C(1+ i)2

Esempio (continua)

• In generale, ripetendo il procedimento fino all'n-esimo periodo:M(n) = M(n–1) + iM(n–1) = M(n–1)(1 + i)

M(n) = C(1 + i)n

I(n) = M(n) C = C (1 + i)n – C = C [(1 + i)n 1]

• Si noti dall’ultima espressione che l’interesse è qui ancora direttamente proporzionale al capitale iniziale ma non più direttamente proporzionale al tempo (la relazione non è lineare).

Esempio 2

• t = sei mesi

• C = Euro 5 000,00

• tasso i = 1,5 % trimestrale

in regime di capitalizzazione a interesse composto si ottiene un interesse di:

• I(2) = 5 000 [(1 + 0,015)2 1] = 151,12.

Capitalizzazione composta per tempi non interi

Sia t la durata della capitalizzazione: indichiamo con n la sua parte intera e con f la sua parte frazionaria (0 f < 1), in modo che risulti t=n+f.

• Convenzione lineareIl montante al tempo t=n+f non intero si ottiene aggiungendo al montante calcolato per gli n periodi interi in regime a interesse composto, l'interesse in regime semplice maturato su tale montante per la frazione di periodo residua. Si avrà quindiM(t) = C (1+i)n + if [C (1+i)n] = C (1+i)n (1+if )I(t) = C [(1+i)n(1+if) – 1]

• Convenzione esponenzialeIl montante al tempo t=n+f non intero si calcola mediante la formula M(t) = C(1 + i)t

M(t) = C (1+i)n(1+i)f=C (1+i)t

I(t) = C [(1+i)t – 1]Nei tempi non interi, è verificata la seguente disuguaglianza:C (1 + i)n (1 + if ) > C (1 + i)n (1 + i)f.

• Perciò, a parità di tempo e di tasso, il montante calcolato mediante la convenzione lineare è superiore al montante in convenzione esponenziale per durate non intere.

Capitalizzazione composta per tempi non interi

Capitalizzazione composta per tempi non interi

Esempio

C = Euro 5 000; i= 1,5 % trimestraleData iniziale:1/1/2006 ; Data finale: 31/5/2006 ; t = 1 +2/3 di periodo

• Nella convenzione lineare: M = C(1+i)n (1 + if )M = Euro 5000 (1 + 0,015) (1 + 0,015 2/3 ) = Euro 5125,75

• Nella convenzione esponenziale: M = C(1+i)n+f M = Euro 5000 (1 + 0,015)5/3 = Euro 5125,62

Tabella

t = n + f M=(1+i)n (1 + if) M = C(1+i)n+f

2 mesi: n=0, f=2/3

5050 5049,87

3 mesi: n=1, f=0

5075 5075

5 mesi: n=1, f=2/3

5125,75 5125,462

1 anno: n=4, f=0

5306,81 5306,81

1 anno, 3 mesi: n=5, f=0 5386,42 5386,42

Montante e interesse nel regime a interesse composto

Fattore di montante a interesse composto

• Dalla relazione M(t) = C (1 + i)t, ponendo C=1, si ottiene l’espressione del fattore di montante del regime di capitalizzazione a interesse composto

• f(t) = (1 + i)t

• parte di curva esponenziale di intercetta 1

Fattore di montante a interesse composto

Confronto tra i montanti nei regimi a interesse semplice e composto

• C = Euro 5000, • i = 1,5 % trimestrale.

Tempo Capit. semplice Capit. Composta

2 mesi 5050 5049,87

3 mesi 5075 5075

6 mesi 5150 5151,12

Per durate maggiori di un periodo, il montante in capitalizzazione composta supera il montante in capitalizzazione semplice.

L’opposto accade per durate di capitalizzazione inferiori a un periodo.

Capitalizzazione a tassi variabili nel tempo

• Siano ancora i1 e i2 i tassi di interesse applicabili rispettivamente tra i tempi 0 e t1 e fra t1 e t2.

• Al tempo t1 sarà costituito un montante pari aM(t1)=C(1+i1)t1

• e poiché il regime a interesse composto prevede che l’intero montante sia fruttifero di interessi, alla fine della capitalizzazione sarà accumulato il montanteM(t2)=C(1+i1)t1(1+i2)(t2-t1)

e così via se il tasso dovesse assumere altri valori successivi.

Esempio

• Un capitale di Euro 5 000,00 viene impiegato in capitalizzazione a interessi composti al tasso trimestrale 1,5% per un trimestre, e successivamente per tre trimestri al tasso trimestrale 2%.

• Il montante raggiunto alla fine (dopo un anno) risulta

M(4) = Euro 5 000 (1 + 0,015)(1+ 0,02)3 = Euro 5 385

Regime a interesse composto con notazione esponenziale

• Ponendo 1 + i = e, cioè =ln(1+i),

• la relazione M(t) = C(1 + i)t si scrive

tCetM )(

La quantità =ln(1 + i) è detta intensità istantanea di interesse o forza di interesse

Tassi equivalenti

• Due tassi d’interesse si dicono equivalenti se producono, ad una data futura t e a parità di capitale impiegato, lo stesso montante, ovvero gli stessi interessi

• la definizione può essere applicata sia per trovare corrispondenze tra tassi in regimi finanziari diversi,

• oppure, nell’ambito dello stesso regime, tra tassi che si riferiscono a periodi di durata diversa.

Relazione tra tassi equivalenti in regimi differenti

• due tassi unitari i e y relativi rispettivamente al regime a interesse semplice e a quello composto:

M(t) = C(1+it) = C(1+y)t

]1)1[(1

tyt

i

11 t ity

Ipotizziamo che venga impiegato denaro per un trimestre (3 mesi). Si potrà avere, nella frazione di periodo e se i è il tasso di interesse annuale:I = C i t = C i 3/12…e nel periodo intero e se i è il tasso di interesse trimestraleI = C i t = C i…e in più periodi e se i è il tasso di interesse mensileI = C i t = C i 3.

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse semplice

• Sia i il tasso annuo e ik il tasso espresso in ragione di 1/k di anno (per un tasso semestrale sarà k = 2).

• Osserviamo che una durata di capitalizzazione pari a t anni corrisponderà a kt periodi (ad es. 3 anni = 6 semestri).

M(t)= C(1+ i t) = C(1+ik tk)

i = k ikEsempio: Il tasso annuo 6% equivale al tasso trimestrale 1,5% (i4) tasso mensile i12 = 0,5%, al tasso semestrale i2 = 3%

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto

M(t) = C(1+i)t = C(1+ik)kt

1+i = (1+ik)k

11 kk ii

Es1: Il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale i4 = 1,5% è i = (1 + 0,015)4 1 = 0,06136 = 6,136%.Es2: Il tasso semestrale equivalente al tasso annuo i=2% è i2=0,995%

i = (1+ik)k -1

Relazione tra tassi equivalenti nel regime a interesse composto

• Es: il tasso trimestrale equivalente al tasso quadrimestrale i3=3% è i4=2,24%

(1+ih)h = (1+ik)k

(1+i3)3 = (1+i4)4

114 334 ii

Tasso annuo nominale convertibile k volte all'anno (jk)

• Talvolta si preferisce, per comodità, enunciare il tasso annuo nominale convertibile k volte l’anno, così definito:

jk= k ikdove ik è il tasso di periodo.

• jk è un tasso annuo fittizio, poiché è definito come se fosse equivalente a ik nel regime a interesse semplice. Non ha, quindi, alcun significato finanziario e perciò nei calcoli occorre sempre riferirsi a ik.

Esempio

• j4 = 6% (tasso annuo nominale convertibile quattro volte l'anno) corrisponde a un tasso trimestrale

• i4 =j4/4= 1,5%

• ma il tasso annuo equivalente, come abbiamo visto, è 6,136%.Il tasso annuo i, detto anche tasso effettivo, è maggiore del tasso annuo nominale convertibile jk, ossia i > jk .

TAN e TAEG

• In un’operazione di finanziamento il T.A.N. (Tasso Annuo Nominale), espresso in percentuale e su base annua, corrisponde al tasso interno di rendimento dell’operazione finanziaria:

• considerando gli esborsi richiesti per la restituzione (quote capitale) e remunerazione del capitale (quote interesse)

• non considerando le spese né altri oneri accessori.

• Pertanto il TAN fornisce una valutazione “ottimistica” del costo reale del finanziamento.

• il TAEG (Tasso Annuo Effettivo Globale) prende invece in considerazione tutti gli oneri accessori (spese di istruttoria o spese di apertura pratica, commissioni) che il debitore deve corrispondere.

• Il TAEG è il tasso annuo che rende la somma dei valori attuali di tutti gli importi erogati verso il cliente (al netto delle spese) uguale alla somma dei valori attuali di tutte le rate di rimborso, ossia corrisponde al reale T.I.R. dell’operazione finanziaria complessiva.

• La normativa relativa consente di escludere (a determinate condizioni) dal calcolo del TAEG alcune spese, quelle assicurative e quelle di incasso della rata

TAN e TAEG

Es:finanziamento a tasso zero

• TAN nullo

• TAEG positivo: il cliente deve corrispondere al finanziatore, alle scadenze e secondo le modalità concordate, il capitale iniziale e le spese accessorie

• Pertanto l’apparente convenienza di tali operazioni può venire spesso a cessare

esempio

3655461

12001000

i 2,11 365546 i

Il 1° gennaio 2002 si contrae un prestito di 1000 Euro da rimborsare con una sola rata di 1200 Euro da pagare il 1° luglio 2003. Il creditore trattiene 50 Euro per le spese di istruttoria della pratica di credito. Determinare il TAN e il TAEG del finanziamento (usare l’anno civile e il regime di capitalizzazione composta).Tenendo conto che dal 1/1/02 al 1/7/03 intercorrono 546 giorni, per la determinazione del TAN si risolve la seguente equazione:

i = 0,1296204. Perciò il Tasso annuo nominale (TAN) dell’operazione di prestito è, arrotondato, i = 12,96%.

esempio

• Per trovare il taeg risolviamo:

263,11 365546 i

3655461

1200950

i

i = 0,169026. Perciò il Tasso annuo effettivo globale (TAEG) dell’operazione di prestito è, arrotondato, i = 16,90%.

Tassi medi

• Sono una particolare tipologia di tassi equivalenti • Nelle capitalizzazioni a tassi di interesse non costanti nel

tempo, vi è l’esigenza di sintetizzare con un unico numero il risultato economico raggiunto.

• A questo scopo risponde il tasso medio, che è quel tasso costante “equivalente” alla sequenza dei tassi variabili nel senso che consente di ottenere lo stesso montante.

• capitalizzazione a interesse semplice:M(t2)= C (1+ i1 t1+ i2 (t2 t1))= C (1+it2)

2

122

2

11 t

tti

t

tii

media aritmetica dei tassi che intervengono nella capitalizzazione, ponderata con le durate di applicabilità dei tassi stessi.

• capitalizzazione a interesse composto:

M(t2)=C(1+i1)t1(1+i2)(t2–t1) = C(1+i)t2

media geometrica dei fattori di montante che intervengono nella capitalizzazione

Tassi medi

Regime a sconto composto

D = Ct – C0 =

tt

iC

1

11

tt Ci )(1C0 t

t

i

CCV

)(10

t=0 t

C0 Ct

• V = C0=Valore attuale = Somma scontata• Ct = Capitale disponibile in t • D = Sconto• i = tasso di interesse della legge coniugata di capitalizzazione

esempio

• Ct = Euro 5.200, i = 3% trimestrale, t = 2 trimestri.

• quale è il prezzo oggi del BoT se la valutazione avviene in regime di sconto composto?

• Applicando la formula ora vista si ottiene:

50,4901)03.01(

20052

V

Fattore di sconto composto.

= ln(1+i).

• è il valore attuale, con sconto composto al tasso d’interesse i, di un capitale unitario che si renderà disponibile al tempo t.

tt

i

CCV

)(10 ti

tg)(1

1)(

te

Regime di capitalizzazione a interesse anticipato

• Il regime finanziario di capitalizzazione a interesse anticipato prevede che:- l’interesse sia direttamente proporzionale al montante - l’interesse venga corrisposto al creditore all’inizio dell’operazione.

• l' interesse è chiamato più propriamente sconto.

• Esempio:acquisto (all’emissione) di BOT semestrali per un valore nominale di Euro 5000, al prezzo di Euro 95,40 per ogni Euro 100 di valore nominale. Euro 5000 è il montante finale. L’importo realmente investito è il prezzo che viene pagato, cioè Euro 4770.Lo sconto, Euro 230, è corrisposto, invece che alla fine, all’inizio di questa operazione, sotto forma di riduzione del prezzo di acquisto.

• Dalla definizione si ricava la formula per valutare lo sconto D:

D(t) = M(t) d tdove d è il tasso unitario di sconto.

• Inoltre, ricordando che in questo caso si haC0 = M(t) – D(t) = M(t) M(t)dt = M(t)(1 dt)si ottiene l’espressione del montante:

dtCtM

11

)(

Regime di capitalizzazione a interesse anticipato

Tasso unitario di interesse e sconto

• Per quanto riguarda la determinazione del tasso unitario di sconto d, vale anche in questo caso la definizione

)1(

)1(

M

CMd

Ad esso è associato un tasso unitario di interesse pari a

d

d

C

Md

C

CMi

1

)1()1(

Esempio• Nell’esempio illustrato in precedenza, sull’acquisto di

BOT, il tasso di sconto risulta il 4,6% semestrale:d = 230 / 5000 = 0,046

• Per calcolare il tasso unitario d’interesse corrispondente si può applicare la nota relazione appena ricavata ,

d

di

1

da cui i=4,8%, oppure esso può essere calcolato direttamente in base al capitale effettivamente investito nell’operazione, che è Euro 4770. Si ha quindi:

i = 230 / 4770 = 0,048

Fattore di montante e interesse nel regime a interesse anticipato

dtCtM

11

)(

dttf

1

1)(

dt

dt

dttfti

11

1

11)()(

dt

dtCtI

1)(

D = Ct – C0 = dtCt

tCdt

1

C0 )1(0 dtCCV t

t=0 t

C0 Ct

• V = C0=Valore attuale = Somma scontata• Ct = Capitale disponibile in t • D = Sconto

Regime di attualizzazione a interesse anticipato

Lo sconto calcolato secondo il regime dello sconto commerciale è direttamente proporzionale sia alla durata che al capitale finale.

Fattore di sconto commerciale

• Essendo V = C (1 dt), quando C = 1 si ha:

• g (t) = 1 dt.

• g(t) è il valore attuale, con sconto commerciale al tasso di sconto d, di un capitale unitario che si renderà disponibile al tempo t.

esempio

• Lo sconto di una cambiale avviene normalmente in regime di attualizzazione a sconto commerciale, e di solito si enuncia esplicitamente il tasso di sconto, e non quello di interesse corrispondente.

• Pertanto, volendo trovare il valore attuale di una cambiale di Euro 5200 in scadenza tra 6 mesi, valutato al tasso di sconto d = 3% trimestrale, esso si calcola direttamente:V = Euro 5200 (1 0,032) = Euro 4888.

Confronto tra i fattori di montante dei diversi regimi

• Le tre curve si intersecano in due soli punti di coordinate rispettivamente (0, 1) e (1, 1 + i).

• Si noti che a parità di tasso d'interesse i, per 0 < t < 1, il montante ad interesse semplice risulta maggiore del montante a interesse composto, che a sua volta è maggiore di quello ad interesse anticipato, mentre le diseguaglianze si invertono per t > 1.

•(Per quanto riguarda il regime di capitalizzazione a interesse anticipato, il confronto viene fatto sulla base del tasso di sconto d corrispondente al tasso di interesse i utilizzato negli altri regimi.)

Confronto tra i fattori di montante dei diversi regimi

La forza d'interesse

• I regimi finanziari posso anche essere descritti analizzando in che modo si manifesta l’accrescimento del montante nel tempo, ovvero il processo di formazione dell’interesse.

• Si consideri infatti l'interesse I(t, t + t) prodotto dalla capitalizzazione nell'intervallo di tempo (t, t + t), cioè:

I(t, t + t) = M(t + t) – M(t).

)(

)(

)(

)() t i(t,

tf

tft t f

tM

tMt t M

Definiamo intensità d'interesse il rapporto:

t

tt, ti

) (

)(

1)(

tft

tft t f

=

Se f(t) è differenziabile, calcolando il limite per t 0 dell'intensità d'interesse, si ottiene:

)(

)('),(lim

0 tf

tf

t

ttti

t

La forza d'interesse

)(

)(')(

tf

tft

• La forza d'interesse nei regimi precedentemente considerati vale:

• semplice:

• composto:

• anticipato:

La forza d'interesse

it

it

1)(

)1ln()( it

dt

dt

1)(

• La forza d'interesse individua in modo univoco la legge di

capitalizzazione corrispondente.

La forza d'interesse

)(

)(')(

tf

tft

integrando ambo i membri sull’intervallo [0, t] segue:

dssf

sfdss

t t 0 0 )(

)(')(

)(ln)0(

)(ln)(ln)(

00tf

f

tfsfdss

tt

tdss

etf 0)(

)(

CAPITALIZZAZIONE ESPONENZIALE COME LIMITE DELLA CAPITALIZZAZIONE FRAZIONATA

• la forza di interesse è interpretabile come tasso nominale convertibile infinite volte.

kkk

ji

11

*1lim jn

n en

j

n

j* = ln(1+i) = .

Scindibilità

• Consideriamo ora la possibilità di interrompere anticipatamente l’operazione di investimento e immediatamente riprenderla, e valutiamo gli effetti finanziari di questa strategia, confrontandone il montante finale con quello che si potrebbe conseguire procedendo senza interruzioni

• Le alternative sono schematizzabili ad esempio nel modo seguente, considerando come al solito il tasso trimestrale 1,5%:

• investire Euro 5000 al tempo t0 = 1/1/2002 e incassare M2 al tempo t = 30/6/2002.

Scindibilità

Euro 5.000 ===================>M(2) |________________________________|_

t0 =1/1/02 t = 30/6/02

interrompere l’operazione in t1 = 31/5/2002 e sempre in t1 reimpiegare il montante allora disponibile fino all’epoca t = 30/6/2002

Euro 5.000 =======> M’ ===========> M’(2) |____________________|____________________|_____

t0=1/1/02 t1 = 31/5/02 t = 30/6/02

• Una legge si dice scindibile se il montante di un capitale C, impiegato fino a t ad un tasso assegnato i, non varia se l’impiego viene interrotto in t1, con 0< t1< t e il montante ottenuto in t1 viene immediatamente reimpiegato alle stesse condizioni per il tempo rimanente t – t1.

• Matematicamente, una legge di capitalizzazione è scindibile se il corrispondente fattore di montante f(t) soddisfa la seguente relazione:

f(t) = f(t1) f(t – t1) con 0< t1< t

Scindibilità

Legge di capitalizzazione semplice: non scindibile

• t = 6 mesi = 2 trimestri : M(2) = 5000*(1+0,015*2)= Euro 5150

• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre : M’ (5/3)= Euro 5125;

• reimpiegando immediatamente questo importo, il montante in t = 2 è M’(2) = M’ [1+i(t–t1)] = Euro 5150,62.

• non si ottiene lo stesso montante: infatti, in caso di reimpiego si ottiene un montante maggiore.

Legge di capitalizzazione a interesse anticipato: non scindibile

• t = 6 mesi = 2 trimestri : M(2) = Euro 5.152,28.• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre : M’(5/3) = Euro 5126,45;• reimpiegando immediatamente M’, il montante in t è

M’(2) = Euro 5151,87.

dt

CtM

1)(

etrimestrali

id 48.1

1

Legge di capitalizzazione composta: scindibile

M = C (1+i)t

• t = 6 mesi = 2 trimestri :

M(2) = Euro 5151,12.

• t1 = 5 mesi = 5/3 di trimestre :

M’ = C(1+i )t1 = Euro 5125,62;

• reimpiegandolo immediatamente, il montante in t è

M’(2) = M’(1+i )1/3 = Euro 5151,12.

Esercizio 1• Calcolare interesse e montante di un capitale di

100.000,00 Euro impiegato al tasso semestrale del 3% per 2 anni e 5 mesi in regime di capitalizzazione semplice e composta

CAP. SEMPLICE: I=Cit=100000*0,03*(4+5/6)=14500

M=100000+14500=114500

CAP COMPOSTA: Convenzione lineare:

M(t) = 100000 (1+0,03)4 (1+0,03(5/6))= 115364,65

I(t) = 115364,65-100000=15364,6

Convenzione esponenziale:

M(t) =100000 (1+0,03)4+(5/6) = 115357,70

I(t) =115357,70-100000=15357,70

Esercizio 2

• Calcolare il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale del 3,20% e al tasso semestrale del 3,75% in capitalizzazione semplice e composta

CAP. SEMPLICE: i=0,032*4 = 12,80%

i=0,0375*2 = 7,5%

CAP COMPOSTA:

i=(1+0,032)4 -1= 13,42%

i=(1+0,0375)2 -1 = 7,64%

Esercizio 3

• Si determini il tasso annuo equivalente al tasso nominale annuo convertibile mensilmente del 5%

J12=0,05

I12=0,05/12=0,0041

(1+i)=(1+i12)12

i=(1+0,0041)12-1=0,0511

Esercizio 4

• Una cambiale del valore di 100000 Euro, che scade tra 3 mesi, viene scontata al tasso di sconto del 4% annuo, calcolare lo sconto e la somma scontata.

• Quale è il tasso di interesse corrispondente?

S=100000*0,04*3/12=1000

V=100000(1-0,04*3/12)=99000

i=d/(1-d)=0,04/(1-0,04)=0,0417

Esercizi per casa

• ACD: Capitolo 3

• BC: Cap. 1 es. 6 e 8