Recta tangente a una circunferencia por un punto, P, de la misma … · 2015-10-18 · Elementos...

Elementos geométricos / Tangencias, Enlaces 91

Leopoldo E. Álvarez Departamento Plástica e Visual – CPR Jorge Juan - Xuvia

Recta tangente a una circunferencia por un

punto, P, de la misma 1º método

Se traza la semirrecta que une el centro, O, de la circunferencia con el punto, P, de dicha circunferencia. Con centro en el punto, P, y radio arbitrario se traza un semicírculo que corta a esta semirrecta en los puntos, A, y, B. Se traza la mediatriz del segmento, AB, la cual es la recta tangente buscada.



Recta tangente a una circunferencia por un punto, P, de la misma

2º método

Se traza el segmento, OP, que une el centro de la circunferencia, O, con el punto, P, de dicha circunferencia. Con centro en el punto, P, y radio arbitrario, se traza un arco que corta al segmento, OP, en el punto, a. Con centro en el punto, a, y el

mismo radio se traza el arco, AP, que corta al anterior en el punto, b. Con centro en el punto, b, y el mismo radio se traza un arco que corta al primero en el punto, c. Con centro en el punto, c, y el mismo radio se traza un arco que sale del punto, b, y que corta al anterior en el punto, d. La recta, Pd, es la perpendicular al segmento, OP, por su extremo, P, y es la recta tangente por dicho punto, P, a la circunferencia dada.



Recta tangente a una circunferencia desde un punto, P, exterior a la misma

Se traza el segmento, OP, que une el centro de la circunferencia, O, con el punto, P, dado. Se traza la mediatriz del segmento, OP, que corta a éste en el punto, M. Con centro en el punto, M, y radio, MO, se traza un arco que corta a la circunferencia en los puntos, T, y, T', que son los puntos de tangencia. Las rectas tangentes se obtienen uniendo el punto, P, con los puntos, T, y, T'.



Recta tangente a un arco de circunferencia en un punto, B, del mismo

Sobre el arco dado se toman tres puntos, A, B, y, C, siendo uno de ellos obligatoriamente el punto, B. Se trazan los segmentos, AB, y, BC. Se trazan las mediatrices de los segmentos, AB, y, BC, las cuales se cortan en el punto, O, que es el centro de la circunferencia que contiene al arco. Se traza la línea, OB, y en el punto, B, se traza la línea perpendicular a ésta, que es la recta tangente al arco en el punto, B.



Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias de radios, R, y, r, distantes

sus centros una longitud, D

Se traza el segmento, OO', que une los centros, O, y, O', respectivamente de las circunferencias de radio, R, y, r, dadas. Se traza la mediatriz del segmento, OO', la cual lo corta en el punto, Q. Con centro en el punto, O, y radio, R-r, se traza una circunferencia. Con centro en el punto, Q, y radio, QO, se traza una circunferencia que

corta a la anterior en los puntos, M, y, N. Se trazan las rectas, OM, y, ON, que cortan a la circunferencia de centro en el punto, O, y radio, R, respectivamente en los puntos, T, y, T', y que son los puntos de tangencia sobre dicha circunferencia. Se trazan rectas paralelas a las anteriores desde el punto, O', centro de la circunferencia de radio, r, que cortan a dicha circunferencia en los puntos, T", y, T''', los cuales son los puntos de tangencia sobre dicha circunferencia. Se trazan las rectas, TT", y, T'T''', que son las rectas tangentes exteriores a las circunferencias.



Rectas tangentes interiores a dos circunferencias de radios, R, y, r, distantes

sus centros una longitud, D

Se traza el segmento, OO', que une los centros, O, y, O', respectivamente de las circunferencias de radio, R, y, r, dadas. Se traza la mediatriz del segmento, OO', la cual lo corta en el punto, Q. Con centro en el punto, O, y radio, R+r, se traza una circunferencia.

Con centro en el punto, Q, y radio, QO, se traza una circunferencia que corta a la anterior en los puntos, M, y, N. Se trazan las rectas, OM, y, ON, que cortan a la circunferencia de centro el punto, O, y radio, R, respectivamente en los puntos, T, y, T', y que son los puntos de tangencia sobre dicha circunferencia. Se trazan rectas paralelas a las anteriores desde el punto, O', centro de la circunferencia de radio, r, que cortan a dicha circunferencia en los puntos, T", y, T''', los cuales son los puntos de tangencia sobre dicha circunferencia. Se trazan las rectas, TT''', y, T'T", que son las rectas tangentes interiores a las circunferencias.



Circunferencia de radio, R, tangente a una recta en el punto, T

Por el punto, T, se traza una recta perpendicular a la recta, r. Se lleva a un lado y otro del punto, T, sobre dicha recta perpendicular una distancia igual al radio, r, de la circunferencia, quedando fijados los puntos, O, y, O', que son los centros de la circunferencia pedida. Con centro en los puntos, O, y, O', respectivamente y radio, r, se trazan las dos circunferencias tangentes a la recta, r, en el punto, T, que son solución del ejercicio.



Circunferencia tangente a una recta en el punto, T, y que pasa por el punto, P, exterior a

dicha recta

Se traza el segmento, TP. Se traza la mediatriz del segmento, TP. Se traza la recta perpendicular a la recta, r, por el punto de tangencia, T. Dicha recta perpendicular corta a la mediatriz del segmento, TP, en el punto, O. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza la circunferencia pedida.



Circunferencia de radio, R, tangente a una recta, r, y que pasa por el punto, P, exterior a

dicha recta

Por un punto arbitrario de la recta, r, se traza una recta perpendicular a la misma, y sobre ella se lleva la distancia, R, igual al radio de la circunferencia que se quiere dibujar. Queda así fijado el punto, Q. Se traza por el punto, Q, una recta paralela a la recta, r.

Con centro en el punto, P, y radio, R, se traza una circunferencia que corta a la recta anterior, paralela a la recta, r, en los puntos, O, y, O', que son los centros de las circunferencias solución del problema. Con centro en los puntos, O, y, O', respectivamente y radio, R, se dibujan las dos circunferencias que son solución del ejercicio.



Circunferencia de radio, R, tangente a dos rectas, r, y, r', concurrentes

Se trazan dos rectas paralelas a las rectas, r, y, r', dadas, distantes de ellas el valor, R, del radio de la circunferencia tangente a ellas que se quiere dibujar. La intersección de estas dos rectas así dibujadas determina el centro, O, de la circunferencia tangente a las dos rectas concurrentes buscada. Desde el punto, O, se trazan dos rectas perpendiculares respectivamente a las rectas, r, y, r'.

Estas rectas perpendiculares cortan a las rectas, r, y, r', en los puntos de tangencia, T, y, T', respectivamente. Con centro el punto, O, y radio, OT, se traza la circunferencia pedida.



Circunferencia tangente a dos rectas, r, y, r', conocido un punto de tangencia, T, en una de

ellas

Se traza la bisectriz del ángulo que forman la dos rectas, r, y, r', dadas. Se traza la recta perpendicular por el punto, T, a la recta que contiene a dicho punto. Esta recta perpendicular corta a la bisectriz del ángulo en el punto, 0. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza la circunferencia pedida.



Circunferencia de radio, R, tangente a las semirrectas que constituyen un ángulo

Se traza la bisectriz del ángulo dado, sobre ella estará el centro de la circunferencia tangente al ángulo. En uno de los lados del ángulo se traza una línea perpendicular al mismo, y sobre ésta perpendicular se lleva la longitud del radio, R, de la circunferencia y se obtiene

el punto, P. Por el punto, P, se traza una línea paralela al lado desde el que se trazó la línea perpendicular anterior, la cual corta a la bisectriz del ángulo en el punto, O, que es el centro de la circunferencia pedida. Desde el punto, O, se trazan las líneas perpendiculares a los lados del ángulo que dan lugar a los puntos de tangencia, T, y, T'. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza la circunferencia tangente a los lados del ángulo.



Circunferencia tangente en el punto, T, a una recta, r, y que pasa por los puntos, P, y, Q,

exteriores a dicha recta

Se traza la recta, PQ, que corta a la recta, r, en el punto, M. Se trazan las mediatrices de los segmentos, PQ, y, PM, respectivamente. La mediatriz del segmento, PM, corta a la recta, PQ, en el punto, T. Con centro en el punto, T, y radio, TP, se traza una circunferencia.

Se traza una recta paralela a la mediatriz del segmento, PM, que pase por el punto, Q, la cual corta a la circunferencia anterior en el punto, S. Con centro en el punto, M, y radio, MS, se traza una circunferencia que corta a la recta, r, en los puntos, V, y, W. Se trazan por los puntos, V, y, W, respectivamente rectas perpendiculares a la recta, r, las cuales cortan a la mediatriz del segmento, PQ, en los puntos, O, y, O', que son los centros e las circunferencias tangentes. Con centro respectivamente en los puntos, O, y, O', y con centros, OQ, y, O'Q, se trazan las circunferencias tangentes.



Circunferencia tangente a dos rectas, r, y, r', que pasa por un punto, P, exterior a ellas

Se traza la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas, r,y,r'. Se traza la perpendicular por el punto, P, a la bisectriz. Esta recta perpendicular corta a la recta, r, en el punto, M. Con centro el punto arbitrario, S, de la bisectriz y radio, SP, se traza una circunferencia auxiliar. Se traza el segmento, MS. Se traza la mediatriz del

segmento, MS, que corta a este en el punto, V. Con centro en el punto, V, y radio, VM, se traza una circunferencia que corta a la circunferencia auxiliar de centro el punto, S, y radio, SP, en los puntos, A, y, B. Con centro en el punto, M, y radio, MA, se traza una circunferencia que corta a la recta, r, que contiene al punto, M, en los puntos, F, y, G. Se trazan por los puntos, F, y, G, respectivamente rectas perpendiculares a la recta, r, que los contiene, las cuales cortan a la bisectriz del ángulo que forman las rectas, r, y, r', respectivamente en los puntos, O, y, O', que son el centro de las circunferencias solución del ejercicio.



Circunferencia tangente a dos rectas, r, y, r', que pasa por un punto, P, exterior a ellas

Se traza la bisectriz del ángulo que forman la dos rectas, r, y, r'. Se traza la recta que une el punto, P, y el vértice del ángulo que forman las dos rectas, r, y, r'. Por un punto cualquiera, R, de la bisectriz anterior y radio arbitrario se traza una

circunferencia auxiliar que corta a la recta anterior que pasa por el punto, P, en los puntos, X, e, Y. Se trazan los segmentos, XR, e, YR, respectivamente. Se trazan por el punto, P, un segmento paralelo al segmento, XR, y otro paralelo al segmento, YT, respectivamente. Estos segmentos así dibujados cortan a la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas, r, y, r', en los puntos, O, y, O', que van a ser los centros de la circunferencias solución del ejercicio.



Circunferencia de radio, R, tangente a dos rectas, r, y, r'

Se trazan a cada lado de las rectas, r, y, r', y a una distancia igual al radio, R, rectas paralelas a cada una de ellas.

Estas rectas paralelas se cortan en los puntos, O, O', O", O"', que son los centros de la circunferencias solución del problema. Con centro respectivamente en los puntos, O, O', O", y, O''', y radio, R, se trazan las circunferencias tangentes a las rectas.



Circunferencia tangente a tres rectas, r, r', y, r"

Se trazan las bisectrices de todos los ángulos que forman entre sí las tres rectas, r, r', y, r". Las bisectrices se cortan dos a dos en los puntos, O, O', O", y, O''', respectivamente, los cuales son los centros de las

circunferencias pedidas. Los radios de cada una de estas circunferencias se determinan trazando

por cada uno de esos puntos una recta perpendicular a cada una de las rectas que tiene enfrentada, obteniéndose en el punto de corte de esta perpendicular con el lado el punto de tangencia. Se obtienen así los puntos de tangencia, T, T', T", y, T'''. La longitud del segmento que une cada centro con su punto de tangencia correspondiente es el radio de la circunferencia tangente.



Circunferencias tangentes entre sí de centros los puntos no alineados, A, B, y, C

Se trazan los segmentos, AB, BC, y, AC. Se traza la bisectriz del ángulo que tiene por vértice el punto, A, y por lados los segmentos, AB, y, AC. Se traza la bisectriz del ángulo que tiene por vértice el punto, C, y por lados los segmentos, BC, y, AC. Se traza la bisectriz del ángulo que tiene por vértice el punto,

B, y por lados los segmentos, AB, y, BC. Estas tres bisectrices se cortan en el punto, O. Se trazan desde el punto, 0 , rectas perpendiculares a cada uno de los segmentos, AB, BC, y, AC, las cuales cortan a éstos respectivamente en los puntos, T", T, T', y que van a ser los puntos de tangencia entre las circunferencias solución del problema. Con centro en el punto, A, y radio, AT', se traza una circunferencia que pasa entre otros por los puntos, T', y, T". Con centro en el punto, C, y radio, CT', se traza una circunferencia que pasa entre otros por los puntos, T', y, T. Esta circunferencia es tangente a la anterior en el punto, T'. Con centro en el punto, B, y radio, BT, se traza una circunferencia que pasa entre otros por los puntos, T, y, T". Esta circunferencia es tangente a las anteriores en los puntos, T", y T'.



Circunferencia de radio, R, que pasa por el punto, A, y es tangente a una circunferencia

de centro el punto, P, y radio, r

Se traza una circunferencia de centro el punto, P, y radio, R+r. Se traza una circunferencia con centro en el punto, A, y radio, R, que corta a la circunferencia de centro el punto, P, y radio, R+r, en los puntos, O, y, O', centros respectivamente de las circunferencias solución del problema. Se traza la recta, PO, que corta a la circunferencia de centro el punto, P, y radio, r, en el punto,

T, que va a ser el punto de tangencia de esta circunferencia con una de las que son solución del problema. Se traza la recta, PO', que corta a la circunferencia de centro el punto, P, y radio, r, en el punto, T', que va a ser el otro punto de tangencia de esta circunferencia con la otra circunferencia solución del problema. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se dibuja una de las circunferencias pedidas. Con centro en el punto, O', y radio, OT', se dibuja la otra circunferencia solución del ejercicio.



Inscribir una circunferencia en un triángulo

Dado el triángulo, ABC, se trazan las bisectrices de los vértices, A, B, y, C, que se cortan en el punto, O.

Se traza por el punto, O, la perpendicular al lado, AB, la cual corta a este lado en el punto, E.

Se traza por el punto, O, la perpendicular al lado, BC, la cual corta a este lado en el punto, H.

Se traza por el punto, O, la perpendicular al lado, AC, la cual corta a este lado en el punto, F. Con centro en el punto, O, y radio, AF, se traza la circunferencia que pasa por los puntos, F, E, y, H, y que es tangente a los lados del triángulo.



Inscribir tres circunferencias tangentes entre sí en un triángulo equilátero

Se traza el triángulo equilátero, ABC. Se trazan las bisectrices de los ángulos, A, B, y, C, que se cortan en el punto, O. La bisectriz del ángulo, B, corta al lado, BC, del triángulo equilátero en el punto, V. Se traza la bisectriz del ángulo, AVB, la cual corta en el punto, D, a la bisectriz del vértice, A, del triángulo equilátero. Con centro en el punto, O, y radio,

OD, se traza una circunferencia que corta respectivamente en los puntos, E, y, F, a la bisectriz del vértice, B, y a la bisectriz del vértice, C, del triángulo equilátero.

Por el punto, D, se trazan perpendiculares a los lados, AB, y, AC, respectivamente, las cuales cortan a estos lados en los puntos, P, y, S.

Por el punto, E, se trazan perpendiculares a los lados, AB, y, BC, respectivamente, las cuales cortan a estos lados en los puntos, H, e, I.

Por el punto, F, se trazan perpendiculares a los lados, BC, y, AC, respectivamente, las cuales cortan a estos lados en los puntos, R, y, T.

Con centro respectivamente en los puntos, D. E, y, F, y radio, DS, se trazan tres circunferencias que son tangentes entre sí y tangentes a los lados del triángulo equilátero.



Inscribir cuatro circunferencias tangentes entre sí en un cuadrado

Se traza el cuadrado, ABCD. Se trazan las diagonales del cuadrado, ABCD, que se cortan en el punto, O. Se traza la mediatriz del lado, AB, y la mediatriz del lado, AC, las cuales se cortan en el punto, O. Se traza la bisectriz del ángulo, OCD, que corta en el punto, 4, a la mediatriz del lado, AB. Con centro en el punto, O, y

radio, O4, se traza una circunferencia que corta en el punto, 2, a la mediatriz del lado, AB, y en los puntos, 1, y, 3, respectivamente a la mediatriz del lado, AC.

Con centro respectivamente en los puntos, 1, 2, 3, y, 4 y radio igual a la distancia desde el punto, 4, al lado, CD, se trazan las cuatro circunferencias que son tangentes entre sí y tangentes a los lados del cuadrado, ABCD.



Inscribir cinco circunferencias tangentes entre sí en un pentágono regular

Se inscribe un pentágono en una circunferencia de centro el punto, O. Se unen todos los vértices del pentágono con el punto, O. Se le llama, a, al vértice inferior izquierdo del pentágono. Se traza por el punto, O, la perpendicular al lado inferior del pentágono, la cual corta a este lado en el punto, b. Se traza la bisectriz del ángulo, Oba, que corta al segmento, Oa, en el punto, 3.

Por el punto, 3, se traza la perpendicular al segmento, ab, la cual corta al segmento, ab, en el punto, c. Con centro en el punto, O, y radio, O3, se traza una circunferencia que corta respectivamente en los puntos, 1, 2, 3, 4, y, 5, a los segmentos que unen los vértices del pentágono con el punto, O.

Con centro respectivamente en los puntos, 1, 2, 3, 4, y, 5, y radio, 3c, se trazan circunferencias que son tangentes entre sí y tangentes a los lados del pentágono.



Inscribir seis circunferencias tangentes entre sí en un hexágono regular

Con centro en el punto, P, se traza una circunferencia y sobre ella se inscribe el hexágono regular de vértices, A, B, C, D, E, y, F. Se traza la apotema o recta perpendicular a uno de los lados, por ejemplo, DE, del hexágono regular. La apotema corta al lado en el punto, Q. Se traza la bisectriz del ángulo, PQD. La bisectriz corta en el punto, O, a la recta, PD. Con centro en el punto, P, y radio,

PO, se traza una circunferencia que corta en los puntos, O, O', O", OIV, OV, a las rectas que unen el punto, P, con cada uno de los vértices que forman el polígono regular y que son el centro de las circunferencias tangentes. El punto de tangencia, T, es el punto de corte de la recta perpendicular desde el punto, O, al lado, DE, del hexágono regular. Con centro respectivamente en los puntos, O, O', O", O''', OIV, OV, y radio, OT, se trazan las circunferencias tangentes entre sí y a los lados del hexágono regular.



Inscribir tres circunferencias tangentes entre sí y tangentes a una circunferencia de centro

el punto, P, y de radio, R

Con centro en el punto, P, y radio, R se traza una circunferencia. Se dibuja el diámetro, AD, arbitrario de esta circunferencia. Con centro en el punto, A, y radio, R, se obtienen sobre la circunferencia los puntos, B, y, F. Con centro en el punto, D, y radio, R, se obtienen sobre la circunferencia los puntos, C, y, E. Uniendo cada uno de estos puntos, A, B, C, D, E, y, F, con el punto, P, la

circunferencia queda dividida en seis partes iguales. Por el punto, D, se traza la perpendicular al diámetro, AD, la cual es tangente a la circunferencia dada en el punto, D. Se traza la recta, FC, que pasa por el punto, P, y que corta a la recta anterior tangente a la circunferencia por el punto, D, en el punto, N. Se traza la bisectriz del ángulo que tiene por vértice el punto, N, y por lados las rectas, NP, y, ND, la cual corta en el punto, O, al diámetro, AD. Se traza una circunferencia de centro el punto , P, y radio, PO, que corta en los puntos, O’, y, O”, respectivamente a las rectas PB, y, PF, y que van a ser los centros de las circunferencias solución del ejercicio. Con centro respectivamente en los puntos, O, O', y, O", y radio, OD, se trazan las circunferencias tangentes entre sí y tangentes a la circunferencia dada.



Inscribir cuatro circunferencias tangentes entre sí y tangentes a una circunferencia de

centro el punto, P, y de radio, R

Se trazan los ejes, X, e Y, de un sistema de referencia y sus bisectrices, cortándose todos ellos en el punto, P. Queda el plano así dividido en ocho partes. Con centro en el punto, P, y radio, R se traza una circunferencia la cual corta a las rectas anteriores en los puntos, A, B, C, D, E, F, G, y, H. Por el punto, E, se traza la perpendicular al diámetro, AE, la cual es tangente a la circunferencia dada en el punto, E.

Se prolonga la recta, BF, hasta que corte en el punto, N, a la recta anterior tangente a la circunferencia por el punto, E. Se traza la bisectriz del ángulo que tiene por vértice el punto, N, y por lados las rectas, NE, y, NP, la cual corta en el punto, Q, al diámetro, AE. Se traza una circunferencia de centro el punto , P, y radio, PQ, que corta en los puntos, O, O’, O”, y, O’’’, respectivamente a las rectas FP, HP, BP, y, DP, y que van a ser los centros de las circunferencias solución del ejercicio. Con centro respectivamente en los puntos, O, O', O", y, O''', y radio, OF, se trazan las circunferencias tangentes entre sí y tangentes a la circunferencia dada.



Enlazar una recta, r, y un punto, P, exterior a ella por un arco de radio, R

Por un punto arbitrario, Q, de la recta, r, se traza la línea perpendicular a dicha recta. Sobre esta línea se lleva a partir del punto, Q, una distancia igual al radio, R, del arco que se quiere trazar. Se determina así el punto, Q'. Se traza por el punto, Q', una línea, r', paralela a la recta, r. Con centro en el punto, P, y radio, R, se traza un arco que corta a la recta, r', en el punto, O, que es el centro del arco pedido.

Por el punto, O, se traza una línea perpendicular a la recta, r, que corta a ésta en el punto, T, punto de tangencia del arco pedido con la recta, r. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TP.



Enlazar una circunferencia de centro en el punto, A, y radio, R', y un punto, P, exterior a

ella por un arco de radio, R

Con centro en el punto, A, y radio, R+R', se traza un arco. Con centro en el punto, P, y radio, R, se traza un arco que corta al anterior en el punto, O, centro del arco pedido. Se traza la recta, OA, que corta a la circunferencia de centro en el punto, A, y radio, R', en el punto, T, que es el punto de tangencia del arco pedido. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TP.



Enlazar una circunferencia de centro, O, y radio, R, y una recta, r, por un arco de

circunferencia de radio, R', del mismo sentido de giro que la circunferencia

Por un punto arbitrario, P, de la recta, r, se traza una recta perpendicular a la misma y sobre ella y a partir del punto, P, se lleva una distancia igual al radio, R', del arco que se quiere trazar. Se determina así el punto, P'. Se traza por el punto, P', una recta, r', paralela a la recta, r. Con centro en el punto, O, y radio, R-R', se traza un arco que corta a la recta, r', en el punto, O', que es el centro del arco pedido.

Se traza una línea perpendicular a la recta, r, que pase por el punto, O', la cual corta a ésta en el punto, T', punto de tangencia entre el arco pedido y la recta, r. Se traza la recta, OO', que corta al arco de centro el punto, O, y radio, R, en el punto, T, que es el punto de tangencia entre el arco pedido y la circunferencia dada. Con centro en el punto, O', y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar dos rectas no paralelas, r, y, s, por un arco de circunferencia

Se traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas, r, y, s. Por un punto arbitrario, A, de la recta, r, se traza una recta perpendicular a dicha recta, r, que corta a la bisectriz de las rectas, r, y, s, en el punto, O, que es el centro del arco pedido. Se traza por el punto, O, la perpendicular a la recta, s, que corta a ésta en el punto de tangencia, B. Con centro en el punto, O, y radio, OA, se traza el arco de enlace, AB.



Enlazar dos rectas concurrentes, r, y, s, por un arco de circunferencia conocido el punto

de tangencia, T, de éste con una de ellas

Se trazan las rectas concurrentes, r, y, s. Se determina la bisectriz del ángulo que forman dichas rectas, r, y, s. Por el punto, T, se traza una recta perpendicular a la recta que lo contiene, que corta a la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas, r, y, s, en el punto, O, que es el centro del arco pedido. El punto de tangencia, T', con la otra recta se obtiene a partir del punto de corte con dicha recta de la recta perpendicular desde el punto, O, a la mencionada recta. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar dos rectas, r, y, s, que forman un ángulo, α< 90º, con un arco de circunferencia

de radio, R

Por un punto arbitrario, P, de la recta, r, se traza una perpendicular a dicha recta, y sobre ella y a partir de dicho punto, P, se lleva una distancia, R, igual al radio del arco que se pretende trazar. Se obtiene así el punto, P'. Se traza por el punto, P', una recta, r', paralela a la recta, r. Por un punto arbitrario, Q, de la recta, s, se traza una perpendicular a dicha recta, y sobre ella y a partir de dicho punto, Q, se lleva una distancia, R, igual al radio del arco que se pretende trazar. Se obtiene así el punto, Q'. Se traza por el punto, Q', una recta, s', paralela a la recta, s. Ambas rectas, r', y, s', se cortan en el punto, O, que es el centro del arco pedido. Se trazan desde el punto, O, rectas perpendiculares a las rectas, r, y, s, que cortan a dichas rectas en los puntos de tangencia, T, y, T', respectivamente.



Enlazar dos rectas perpendiculares, r, y, s, por un arco de circunferencia de radio, R

Por el punto arbitrario, P, de la recta, r, se traza una perpendicular a dicha recta. Sobre ella y a partir del punto, P, se lleva una distancia igual al radio, R, del arco que se quiere trazar. Se obtiene así el punto, P'. Se traza por el punto, P', una recta, r', paralela a la recta, r. Por el punto arbitrario, Q, de la recta, s, se traza una perpendicular a dicha recta. Sobre ella y a partir del punto, Q, se lleva una distancia igual al radio, R, del arco que se quiere

trazar. Se obtiene así el punto, Q'. Se traza por el punto, Q', una recta, s', paralela a la recta, s. Ambas rectas, PP', y, QQ', se cortan en el punto, O, que es el centro del arco pedido. Se traza desde el punto, O, una perpendicular a la recta, r, que corta a ésta en el punto, T, que es el punto de tangencia del arco pedido con la recta, r. Se traza desde el punto, O, una perpendicular a la recta, s, que corta a ésta en el punto, T', que es el punto de tangencia del arco pedido con la recta, s. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar dos rectas, n, y, s, que forman un ángulo, α> 90º, con un arco de circunferencia

de radio, r

Se trazan las rectas, n, y, s, las cuales forman un ángulo mayor de, 90º. Por un punto arbitrario de la recta, n, se traza una perpendicular a dicha recta, y sobre ella y desde el punto de corte con la recta, n, se lleva la distancia, r, igual al radio del arco con el que se quiere unir las rectas, n, y, s. Por este último punto de la perpendicular a la recta, n, se traza una recta paralela a la recta, n. Por un punto arbitrario de la recta, s, se traza una perpendicular a dicha recta, y sobre ella y desde el punto de corte con la recta, s, se lleva la distancia, r, igual al radio del arco con el que se quiere unir las rectas, n, y, s. Por este último punto de la perpendicular a la recta, s, se traza una recta paralela a la recta, s. Ambas rectas paralelas así trazadas se cortan en el punto, O, que es el centro del arco que une las rectas, n, y, s.

Desde el punto, O, se trazan perpendiculares a las rectas, n, y, s, las cuales cortan a estas rectas respectivamente en los puntos, T, y, H.

Con centro en el punto, O, y radio, r, se traza el arco, TH, que enlaza las rectas, n, y, s. Con centro en el punto, O, y radio, R, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar dos rectas, r, y, s, paralelas con un arco e circunferencia tangente a una de ellas

en el punto, T

Se traza por el punto, T, una recta perpendicular a la recta, r, que corta a la recta, s, en el punto, B. Se traza el segmento, TB. Se traza la mediatriz del segmento, TB, que corta a éste en el punto, O, que es el centro del arco pedido. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace.



Enlazar dos rectas paralelas, r, y, s, con dos arcos de circunferencia de radio, R, y sentido

opuesto tangentes en los puntos, T, y, T' respectivamente a dichas rectas

Se traza el segmento, TT'. Se traza la mediatriz del segmento, TT', que corta a éste en el punto, D. Se trazan las mediatrices de los segmentos, TD, y,

DT', respectivamente. Se traza por el

punto, T, de la recta, r, la perpendicular dicha recta, r. Esta perpendicular corta a la mediatriz del segmento, DT, en el punto, O, que es el centro de un arco. Se traza por el punto, T', de la recta, s, la perpendicular a dicha recta, s. Esta perpendicular corta a la mediatriz del segmento, DT', en el punto, O', que es el centro de un arco. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco, TD. Con centro en el punto, O', y centro, O'T', se traza el arco de enlace, T'D.



Enlazar dos rectas paralelas, RS, y, MN, por un arco de circunferencia tangente en el punto, A, a la recta, RS, y que pasa por el

punto, M de la recta, MN

En el punto, A, de la recta, RS, se traza una perpendicular a dicha recta, RS. Se traza el segmento, AM. Se traza la mediatriz del segmento, AM, que corta a la recta perpendicular por el punto, A, a la recta, RS, en el punto, O, que es el centro del arco de enlace. Con centro en el punto, O, y radio, OA, se traza el arco de enlace, AM.



Enlazar tres rectas, AB, BC, y, CD, que se cortan dos a dos por un arco de

circunferencia

Se trazan las rectas, AB, BC, y, CD, que se cortan respectivamente en los puntos, B, y, C. Se traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas, AB, y, BC, cuyo vértice es el punto, B. Se traza la bisectriz del ángulo que forman las rectas, BC, y, CD, cuyo vértice es el punto, C. Ambas bisectrices se cortan

en el punto, O, que es el centro del arco de enlace de las tres rectas.

Desde el punto, O, se trazan perpendiculares a las rectas, AB, y, CD, las cuales cortan respectivamente a dichas rectas en los puntos, s, y, t, que son los puntos de tangencia de la circunferencia de enlace con dichas rectas.

Con centro en el punto, O, y radio, Ot, se traza el arco de circunferencia, ts, que enlaza las tres rectas.



Enlazar una recta, AB, y una circunferencia de radio, R, con un arco de circunferencia que es tangente a la recta en el punto, S, y que gira en el mismo sentido que la circunferencia

Se traza por el punto de tangencia, S, situado sobre la recta, AB, una perpendicular a la recta, AB. Se lleva desde el punto, S, sobre la perpendicular por ese punto, S, a la recta, AB, una distancia igual al radio, R, de la circunferencia de centro en el punto, O, obteniéndose así el punto, M.

Se traza el segmento, OM. Se traza la mediatriz del segmento, OM, que corta a la recta perpendicular por el punto, S, a la recta, AB, en el punto, O', que es el centro del arco de enlace. El punto de tangencia, T, del arco de enlace con la circunferencia de centro en el punto, O, y radio, R, es el punto en el que la recta, O'O, corta a la circunferencia de centro en el punto, O, y radio, R. Con centro en el punto, O', y radio, OS, se traza el arco de enlace, TS.



Enlazar un arco de circunferencia de radio, R, y una recta, r, con un arco de circunferencia

de radio, R', de sentido contrario al dado

Por un punto arbitrario, P, de la recta, r, se traza una recta perpendicular a la misma, y sobre ella y a partir del punto, P, se lleva una distancia igual al radio, R', del arco de enlace. Se obtiene así el punto, P'. Se traza por el punto, P', una recta, r', paralela a la recta, r. Con centro en el punto, O, y radio, R+R', se traza un arco que corta a la recta, r', en el punto, O', que es el centro del arco de enlace.

Se traza por el punto, O', una perpendicular a la recta, r, que corta a ésta en el punto de tangencia, T, entre el arco de enlace y la recta dada. Con centro en el punto, O', y radio, OT, se traza el arco de enlace.



Enlazar de forma que giren en el mismo sentido dos arcos de radios, R, y, R' con un

arco de radio, R"

Con centro en el punto, B, que es el centro del arco dado da mayor radio, R", se traza un arco de radio, R"-R, la diferencia entre el radio, R", de dicho arco y el radio, R, del arco de enlace. Con centro en el punto, A, que es el centro del arco dado de menor radio, R', se traza un arco de radio, R'-R, la diferencia entre el radio, R', de dicho arco y el radio, R, del arco de enlace. Ambos arcos así trazados se cortan en el punto, O, centro del

arco de enlace. Se traza la recta, AO, que corta al arco de centro el punto, A, y radio, R', en el punto, T, que es un punto de tangencia del arco de enlace. Se traza la recta, BO, que corta al arco de centro en el punto, B, y radio, R", en el punto, T', que es un punto de tangencia del arco de enlace. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar de forma que giren en sentido opuesto dos arcos de radios, R, y, R' con un

arco de radio, R"

Con centro en el punto, B, que es el centro del arco dado de mayor radio, R", se traza un arco de radio, R"-R, que es la diferencia entre su radio, R", y el radio, R, del arco de enlace. Con centro en el punto, A, que es el centro del arco dado de menor radio, R', se traza un arco de radio, R'+R, que es la suma entre su radio, R', y el radio, R, del arco de enlace.

Ambos arcos así trazados se cortan en el punto, O, centro del arco de enlace. Se traza la recta, AO, que corta al arco de centro en el punto, A, y radio, R', en el punto, T, que es un punto de tangencia del arco de enlace. Se traza la recta, BO, que corta al arco de centro en el punto, B, y radio, R", en el punto, T', que es un punto de tangencia del arco de enlace. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar una circunferencia de centro, A, y

radio, R, y una circunferencia de centro, A', y radio, r, por un arco de circunferencia

conocido el punto de tangencia, T, en una de ellas

Se traza la recta, u, que une el centro, A, de la circunferencia sobre la que está el punto de tangencia conocido, T, con dicho punto, T. A partir del punto, T, y alejándose del centro de la circunferencia que lo contiene se lleva una distancia igual al radio, r, de la otra circunferencia, obteniéndose el punto, S. Se traza el segmento, SA'. Se traza la mediatriz de este segmento el cual corta a la recta,

u, en el punto, O, que es el centro del arco pedido. El punto de tangencia, T', sobre la segunda circunferencia es el punto de corte de dicha circunferencia con la recta, A'O. Con centro en el punto, O, y radio, OT, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar una circunferencia de centro, O, y radio, R', y una circunferencia de centro, O', y

radio, R", por un arco exterior de radio, R

Se traza la recta, OO', que corta a la circunferencia de centro el punto, O, y radio, R', en el punto, A, y a la circunferencia de centro el punto, O', y radio, R", en el punto, B. Desde el punto, A, se lleva sobre la recta, OO', una distancia igual al radio, R, del arco pedido, obteniéndose el punto, C.

Desde el punto, B, se lleva sobre la recta, OO', una distancia igual al radio, R, del arco pedido, obteniéndose el punto, D. Con centro en el punto, O, y radio, OC, se traza un arco. Con centro en el punto, O', y radio, O'D, se traza un arco. Ambos arcos se cortan en el punto, O", que es el centro del arco pedido. Se traza la recta, O"O, que corta en el punto, T, a la circunferencia de centro el punto, O, y que es el punto de tangencia del arco pedido con esta circunferencia. Se traza la recta, O"O', que corta en el punto, T', a la circunferencia de centro el punto, O', y que es el punto de tangencia del arco pedido con esta circunferencia. Con centro en el punto, O", y radio, O"T, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar una circunferencia de centro, O, y radio, R', y una circunferencia de centro, O', y

radio, R", por un arco interior de radio, R

Con centro en el punto, O, y radio, R'+R, se traza un arco de circunferencia. Con centro en el punto, O', y radio, R"+R, se traza un arco de circunferencia. Ambos arcos se cortan en el punto, O", que es el centro del arco pedido. Se traza la recta, O"O, que corta en el punto, T, a la circunferencia de centro el punto, O, y que es el punto de tangencia del arco pedido con esta circunferencia. Se traza la recta, O"O', que corta en el punto, T', a la circunferencia de centro el punto, O', y que es el punto de tangencia del arco pedido con esta circunferencia.

Con centro en el punto, O", y radio, O"T, se traza el arco de enlace, TT'.



Enlazar por el extremo de un segmento, AB, varios arcos de distintos radios

Se toma sobre la recta, r, un segmento, AB, arbitrario. Se divide el segmento, AB, en tantas partes iguales como arcos queramos enlazar. Se numeran dichas partes con, 1, 2, 3,...que son el centro de cada uno de los arcos. Con centro en el punto, 1, y radio, 1B, se traza un arco. Con centro en el punto, 2, y radio, 2B, se traza un arco. Con centro en el punto, 3, y radio, 3B, se traza un arco. Así sucesivamente.



Enlazar arcos de distintos radios que tienen sus centros sobre una recta, r

Se traza la recta, r, y sobre ella se colocan los centros, A, B, C,... de los distintos arcos. Se sitúan sobre dicha recta, r, los puntos de tangencia, R, S, ... de estos arcos. Con centro en el punto, A, y radio, AR, se traza la primera semicircunferencia. Con centro en el punto, B, y radio, BR, se traza la semicircunferencia, RS. Con centro en el punto, C, y radio, CS, se traza la semicircunferencia, ST. Y así sucesivamente.

Recta tangente a una circunferencia por un punto, P, de la misma … · 2015-10-18 · Elementos...

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