'

&

$

%

Christine Tuveson:J. H. Conway’s Cosmogram

Razvoj matematikein ra cunalnistvaGrcija

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika

Zapiski, Ljubljana, 8. marec 2005

razlicica: 14. marec 2005 / 02 : 12

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 1'

&

$

%

Kazalo1 Sredozemlje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Grcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

5 Tales, 624-548 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

7 Pitagora, 580-500 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

8 Pitagorejci. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

10 Pitagorejci – pravilni petkotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

11 Pitagorejci – sorazmerja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

12 Trije slavni anticni problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

13 Stevila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

15 Anaksagora iz Clazomene, 499-428 pns . . . . . . . . . . . . . 15

16 Hipokrat iz Hiosa, 470-410 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

17 Hipijas iz Elisa,∼460-∼400 pns . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 2'

&

$

%

18 Arhitas iz Tarenta,∼428-∼380 pns . . . . . . . . . . . . . . . . 18

19 Iracionalnost – ne(so)izmerljivost. . . . . . . . . . . . . . . . 19

20 Zenon iz Eleje,∼490-∼445/425 pns . . . . . . . . . . . . . . . 20

21 Demokrit iz Abdere,∼460-∼370 pns . . . . . . . . . . . . . . 21

22 Platon, 427-327pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

24 Evdoks iz Knida, 408-355pns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

25 Menehmus (∼380-∼320 pns) in Dinostrat (∼390-∼320 pns) . . 25

26 Aristotel (384-322 pns) in Aleksandrovo obdobje. . . . . . . . 26

27 Viri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 1'

&

$

%

SredozemljeV zacetku prvega tisocletja pred n.s. se je zacelo tezisce razvoja seliti iz

porecij na obale Sredozemlja (pomorski narodi: Fenicani, Grki). Bronasta

doba prehaja vzelezno. Zato je obdobje med 800 pred n.s. in 800 po n.s.

poimenovano kottalaskoobdobje (morski vek; talasa – morje, val).

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 2'

&

$

%

GrcijaGrki (Heleni) so prisli v Sredozemlje v drugem tisocletju pred n.s. Od

Fenicanov so povzeli abecedo.

Grki so bili pomorsko tr-

govski narod. Kot taki so

prisli tudi v stik z matem-

atiko in drugimi znanji,

jih prevzeli in razdelali po

svoje. Bili so zelo spre-

jemljivi za tuje dosezke in

jih razvijali naprej.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 3'

&

$

%

Grcija

• Minojska kultura: Kreta, Mikene, Troja 3000-1150 pns

• do 700 pns: Homer, prve Olimpijske igre (776 pns)

• kolonizacija 750-550 pns

• denar (Fenicani) 600pns

• grsko-perzijske vojne 550-450 pns

• Periklejevo obdobje, razcvet Aten 500-429 pns

• peloponeska vojna Atene–Sparta 430- 404 pns

• Aleksandrovo obdobje 336-323 pns

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 4'

&

$

%

Grcija

Prva znana starogrska matematika sta:

• Tales –Spoznaj samega sebe. Milet 624-548

• Pitagora –Vse jestevilo. Samos 580-500

Za njima ni ostalo nobenih neposrednih del, niti

dokazov, da bi jih onadva ustvarila. Vendar jima

kasnejsi avtorji pripisujejo celo vrsto pomembnih

odkritij.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 5'

&

$

%

Tales, 624-548 pns

SVG

Tales naj bi potoval po Egiptu in Mezopotamiji,

kjer naj bi bil uveden v skrivnosti geometrije in as-

tronomije. Tradicija ga omenja kot prvega od Sed-

mih modrih moz, ucenca Egipcanov in Kaldejcev.

Velja za prvega filozofa. Napovedal je soncni mrk

leta 585.

Talesov izrek: kot nad premerom je pravi kot. Baje

naj bi ga dokazal – prvi pravi matematik. To last-

nost so poznalize Babilonci.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 6'

&

$

%

Tales

Pripisujejo muse druge izreke:

• premer razpolavlja krog;

• kota pri osnovnici v enakokrakem trikotniku sta enaka;

• nasprotna kota pri preseciscu dveh premic sta enaka;

• ce se trikotnika ujemata v stranici in prileznih kotih, sta enaka.

V Egiptu je z uporabo sence izmeril visino piramide.

Tales je prvi, ki mu pripisujejo matematicna odkritja. Veliko matematicnega

znanja je bilo znanegaze tisoc let pred njim (Babilonci, Egipcani). Vendar

je med Grki veljalo soglasje, da je naredil pomembne korake naprej (Prokl)

– prispeval je v organizaciji matematicnega znanja (logicna odvisnost

posameznih dejstev). O tem pred tem ni sledi.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 7'

&

$

%

Pitagora, 580-500 pnsNasprotno od Talesa, ki je bil ’poslovnez’, je bil Pitagora prerok in mistik.

Tudi on je popotoval po Egiptu in Mezopotamiji ter morda celo po Indiji.

Poleg matematicnih in astronomskih

znanj se je navzel tudi vzhodnjaskih ver-

skih vplivov (bil je sodobnik Bude, Kon-

fucija in Lao Ceja).

Po vrnitvi s potovanj se je naselil v Kro-

toni na jugovzhodni obali Italije (Magna

Graecia). Tu je ustavil tajno zdruzenje

– nekaksna komuna: znanje in last-

nina je bila skupna, znanje tudi tajno.

Dosezkov niso pripisovali posamezniku

temvec soli – Pitagorejci.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 8'

&

$

%

PitagorejciPitagorejci so imeli strogo dolocena pravila vedenja. Bili so vegeterjanci –

selitev dus. Prepovedano jim je bilo jesti strocnice. Poudarjali so pomen

filozofije in matematike kot vodilozivljenja. Besedi filozofija in matematika

naj bi skoval Pitagora. Baje naj bi imel dve vrsti predavanj: za pripadnike

zdruzenja in zasirse obcinstvo.

Pitagorejci so utrdili pot v matematiko, ki jo je zacrtal Tales. Njihov moto

je bil Vse jestevilo(najbrz babilonski vpliv).

Ta pogled je osnova matematizacije znanosti. Vse je mogoce opisati s

stevili – zakonitosti.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 9'

&

$

%

Pitagorejci

• vsota notranjih kotov trikotnika, veckotnika

• Pitagorov izrek (prevzet od Babiloncev, dokaz?)

• Aritmetika nad geometrijo

• oblike stevil, trikotnastevila

• 10, popolnostevilo, vsota dimenzij

• zlati rez, pentagram

• razmerja, sredine (10 vrst), glasba

• vsaj tri od petih pravilnih teles

• dedukcija, dokazi

• iracionalna razmerja (skoraj gotovo ne Pitagora osebno, verjetno pa

njegovi ucenci, morda Hipas)

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 10'

&

$

%

Pitagorejci – pravilni petkotnik

Zlati rez

neskoncna deljivost v tem razmerju

Zlati rez

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 11'

&

$

%

Pitagorejci – sorazmerjaNaj bodoa, b in c tri koli cine (npr. dolzine) ina < c. Ze Babilonci so

uvedli z razmerji

b− a

c− b=

a

a,

b− a

c− b=

a

b,

b− a

c− b=

a

c

aritmeticno, geometricno in harmonicno sredino.

Z razsiritvijo desne stranise na

b− a

c− b=

c

a,

b− a

c− b=

b

a,

b− a

c− b=

c

b

in novimi razmerji

c− a

b− a=

c

a,

c− a

c− b=

c

a,

c− a

b− a=

b

a,

c− a

c− b=

b

a

so vpeljalise sedem novih ’sredin’.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 12'

&

$

%

Trije slavni anti cni problemiKonstrukcija ssestilom in ravnilom

• kvadratura kroga – dolocitev danemu krogu ploscinsko enakega

kvadrata

• podvojitev kocke

• tretjinjenja (trisekcija) poljubnega kota

Tocna resitev, ne priblizki. Problem sam zase. Prakticne resitve so seveda

obstajale. Dokaz, da niso resljivi, sele v 19. stoletju.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 13'

&

$

%

StevilaDva zapisa.Atiski– podoben rimskemu injonski, abecedni (crkovni) zapis,

znaki za 1, 2, ... 9, 10, 20, ... 90, 100, 200, ... 900: 27crk (24 pravih in 3

stare).

Greek Numbers and Numerals

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 14'

&

$

%

Abecedni (crkovni) zapis stevil

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 15'

&

$

%

Anaksagora iz Clazomene, 499-428 pnsClazomena v blizini Smirne

• filozof: nous (ideja) uredi svet, ki je nastal iz vrtinca;

• zaprt zaradi nespostovanja soncnega bozanstva (velik

razzarjen kamen)

• prvic omenjen problem kvadrature kroga

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 16'

&

$

%

Hipokrat iz Hiosa, 470-410 pns

• ni Hipokrat iz Kosa, ki je zdravnik

• Izrek: ploscina podobnih kroznih odsekov je v so-

razmerju kvadratov njihovih osnov. Dokaz ni znan,

baje pa je imel dokaz. Prvi izrek o ”krivih” objektih.

• Prva stroga trditev o ploscinah krivo omejenih likov:

kvadratura polmeseca.

• Dvogeometrijska sredina:

– geometrijska:a : x = x : b

– dvogeometrijska:a : x = x : y = y : b (problem

podvojitve kockeb = 2a)

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 17'

&

$

%

Hipijas iz Elisa, ∼460-∼400 pns

SVG

• Sofist, komercialni ucitelj (drugace kot

pitagorejci)

• krivulja trisektrisa (tretjincnica) ali

kvadratrisa

π ·R · sinϕ = 2 · a · ϕ

je ”resitev” tretjinjenja kota

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 18'

&

$

%

Arhitas iz Tarenta, ∼428-∼380 pns

• Arhitas je bil Filolajev ucenec; ta je bil

Pitagorejec

• po unicenjusole sta prva smela zapiso-

vati

• 3D resitev podvojitve kocke: presek

stozca, valja in svitka (torusa)

• Verjetno je Arhitas vir vecine vsebine 8.

knjige Elementov

• matematicni kvadrivij: aritmetika, ge-

ometrija, glasba in astronomija

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 19'

&

$

%

Iracionalnost – ne(so)izmerljivostIracionalna razmerja

• npr. stranica in diagonala kvadrata, zlati rez

• odkritje: pozna pitagorejskasola, mordaHipas iz Metaponta (ali

Krotona)

• odkritje morda z neskoncnimi podobnostmi (npr. pentagram)

• zacetek konca pitagorejske doktrine, da jestevilo vse (numericni

atomizem)√

2 = pq , kjer stap in q tuji stevili. Tedaj jep2 = 2q2. Torej mora bitip

sodostevilo,p = 2u, in daljeq2 = 2u2. Tudi q mora biti sod,q = 2v –

protislovje!

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 20'

&

$

%

Zenon iz Eleje,∼490-∼445/425 pnsParadoksi (zveznost in diskretnost prostora incasa)

• Dihotomija: preden se premaknem doa, se

moram premakniti doa/2, preden ...; dotakniti se

moram neskoncnegastevila tock v koncnemcasu

• Ahil: Ahil lovi zelvo s prednostjo, ko pretece

prednost, se jezelvaze malo premaknila, ko ...

• Puscica: objekt v letu vedno zaseda prostor enak

njegovi obliki; tisto, kar vedno zaseda prostor

enak svoji obliki, se ne premika

• Stanje: Kvantcasa, Aji stojijo, Bji desno, Cji levo.

V enem kvantu se premaknejo Bji in Cji za ena

glede na A. Toda Bji in Cji se med samo pre-

maknejo za dva, torej kvant ni najmanjsi mogoc.

Trivij: slovnica, govornistvo in dialektika. Trivij +

kvadrivij = sedem svobodnih ved.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 21'

&

$

%

Demokrit iz Abdere, ∼460-∼370 pns

• atomizem

• baje dokaz prostornine piramide in

stozca

• zacetki infinitezimalnega (?)

• nekateri trdijo, da zaradi atomizma ni

zmogel infinitezimalnega

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 22'

&

$

%

Platon, 427-327pns

• Sokratov ucenec (Sokrat sicer boljskodljiv kot koristen za

matematiko)

• Platonovasola v Atenah - center matematikecetrtega sto-

letja 400pns - 322pns

• sam Platon v tehnicnem smislu ni prispeval k matematiki

• navdusen nad matematiko (verjetno ga je navdusil Arhitas

na Siciliji)

• pomemben zaradi spodbujanja in vodenja

• platonskastevila604, 7! (prebivalci idealne drzave)

• cista matematika (modeli v geometriji so umazani)

• svet idej

• analiticna metoda (pedagosko primernejsa), formalizacija,

imenovanje

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 23'

&

$

%

Platonska telesa

Pet popolnih (Platonskih) teles

• vsaj tri poznalize pitagorejci

• osmerec in dvajseterec, dokaz: Theaeteus (Platonov prijatelj, zgodaj

umrl)

• nesoizmerljivost v dolzini in v ploscini

• Platon jih je gledal kot sestavljene iz trikotnikov

Mathworld: Platonic Solids

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 24'

&

$

%

Evdoks iz Knida, 408-355pns• astronom, postavil osnove Ptolomejevega sistema – Zemlja v sredini

• enakost razmerij:

– samo razmerja enakih stvari (dolzin, ploscin, ...)

– a/b = c/d↔ za poljubne celem, n velja

1. m · a < n · b ⇒ m · c < n · d ali

2. m · a = n · b ⇒ m · c = n · d ali

3. m · a > n · b ⇒ m · c > n · dv 19. stoletju uporabil Dedekind za realnastevila

– kriznega mnozenja ne moremo delati zaradi potencialno razlicnih enot (a,b) in (c,d)

• Arhimedov aksiom o zveznosti:ce imamo dve kolicini z razmerjem (torej6= 0), potem

lahko eno celostevilsko pomnozimo tolikokrat, da dobimo vec od druge. Posledica: z

razpolavljanjem neke kolicine lahko pridemo pod katerokoli kolicino.

• dokaz, da sta ploscini krogov v razmerju kvadartov njunih premerov; metodaizcrpavanja.

• Aristotel (planeti), 5. knjiga Elementov, Arhimed, Dedekind, Weierstrass, ...

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 25'

&

$

%

Menehmus (∼380-∼320 pns) in Dinostrat

(∼390-∼320 pns)Menehmus in Dinostrat iz Alopekoneza sta bila brata in Eudoksova ucenca

Menehmus:

• Odkritje stoznic kot krivulj v zvezi s podvojitvijo kocke

• Skoraj koordinatni sistem

• Grki niso poznali/uporabljali enacb krivulj

• Ucil Aleksandara (”ni kraljevske poti v matematiko”)

Dinostratus

• geometrijski dokaz, da trisektrisa konvergira k2aπ ko ϕ → 0

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 26'

&

$

%

Aristotel (384-322 pns) in Aleksandrovo obdobjeAristotel (Platonov ucenec, Aleksandrov ucitelj)

• predvsem filozof in biolog

• najbolj sirok ucenjak vsehcasov

• na tekocem z matematiko

• aksiomatski sistem, definicije, aksiomi in pos-

tulati (Organon)

Po Aleksandrovi smrti (323 pns) se center matem-

atike preseli v Aleksandrijo.

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖

V. Batagelj: Razvoj matematike in racunalnistva / Grcija 27'

&

$

%

Viri1. Pythagorean Theorem and its many proofs

2. Pythagoras and the Pythagoreans

3. Thales, Fragments and Commentary

4. Henrietta Midonick: The treasury of mathematics. Pelican Book.

Penguin Books, Harmondsworth, 1968.

5. Zenon

6. Nuremberg chronicle

Ljubljana, 8. marec 2005 ▲ ▲ ❙ ▲ ● ▲ ❙ ▲▲ ☛ ✖