Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo Seno ... · Analise as proposições em relação...
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Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo
Seno, Cosseno e Tangente
1. (Ufrn 2013) A escadaria a seguir tem oito batentes no primeiro lance e seis, no segundo lance de escada.
Sabendo que cada batente tem 20 cm de altura e 30 cm de comprimento (profundidade), a
tangente do ângulo ˆCAD mede:
a) 9
10 b)
14
15 c)
29
30 d) 1
2. (G1 - utfpr 2013) Um caminhão, cuja carroceria está a uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina pesada neste caminhão e para isso será colocada uma rampa da carroceria do caminhão até o chão. O comprimento mínimo da rampa para que esta forme com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros, de:
(Considere: 1 3 3
sen 30° , cos 30° e tg 30°2 2 3
)
a) 0,8 3. b) 2,4. c) 1,2 3. d) 0,6 3. e) 0,6.
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3. (Ufg 2013) Um topógrafo deseja calcular a largura de um rio em um trecho onde suas
margens são paralelas e retilíneas. Usando como referência uma árvore, A, que está na margem oposta, ele identificou dois pontos B e C, na margem na qual se encontra, tais que os
ângulos ˆABC e ˆACB medem 135° e 30°, respectivamente. O topógrafo, então, mediu a
distância entre B e C, obtendo 20 metros. Considerando-se o exposto, calcule a largura do rio.
Dado: 3 1,7.
4. (Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de a) 3,8 tan (15°) km. b) 3,8 sen (15°) km. c) 3,8 cos (15°) km. d) 3,8 sec (15°) km. 5. (Ufsj 2013) Uma escada com x metros de comprimento forma um ângulo de 30° com a
horizontal, quando encostada ao edifício de um dos lados da rua, e um ângulo de 45° se for encostada ao prédio do outro lado da rua, apoiada no mesmo ponto do chão.
Sabendo que a distância entre os prédios é igual a 5 3 5 2 metros de largura, assinale a
alternativa que contém a altura da escada, em metros.
a) 5 2 b) 5
c) 10 3 d) 10 6. (Ufpr 2013) Um recipiente, no formato de hemisfério, contém um líquido que tem
profundidade máxima de 5 cm. Sabendo que a medida do diâmetro do recipiente é de 20 cm, qual o maior ângulo, em relação à horizontal, em que ele pode ser inclinado até que o líquido alcance a borda, antes de começar a derramar?
a) 75°. b) 60°. c) 45°. d) 30°. e) 15°.
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7. (Uepg 2013) Num instante 1t , um avião é visto por um observador situado no solo sob um
ângulo de 60° e, no instante 2t , sob um ângulo de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta
horizontal a uma altitude de 5 km, assinale o que for correto.
01) No instante 1t , a distância entre o observador e o avião é 10 3 km.
02) No instante 2t , a distância entre o observador e o avião é 10 km.
04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e 2t é maior que 5 km.
08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes 1t e 2t é menor que 4 km.
8. (Udesc 2013) No site
http://www.denatran.gov.br/publicacoes/download/minuta_contran/Arquivo%206.pdf (acesso em: 23/06/2012), encontra-se o posicionamento adequado da sinalização semafórica, tanto para semáforos de coluna simples como para semáforos projetados sobre a via, conforme mostra a Figura 1.
Para que o motorista de um veículo, ao parar, possa visualizar as luzes do semáforo, o grupo focal deve ser visto sob um ângulo de 20°, conforme mostra a Figura 2.
Considerando tg(20º ) 0,36, determine os valores que faltam para completar a Tabela 1.
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Tipo de Semáforo D H
Coluna simples ? 2,4
Projetado sobre a via 13,1 ?
Tabela 1
Analise as proposições em relação às informações obtidas na Tabela 1, e assinale (V) para
verdadeira e (F) para falsa.
( ) Para o semáforo de coluna simples, D é aproximadamente 4,5 m. ( ) Para o semáforo projetado sobre a via, H é aproximadamente 4,2 m. ( ) A altura H do semáforo projetado sobre a via é aproximadamente 3,1 m maior que a altura
H do semáforo de coluna simples.
Assinale a alternativa correta, de cima para baixo. a) F – V – V b) V – F – V c) F – V – F d) V – V – F e) F – F – V 9. (G1 - cftmg 2013) O percurso reto de um rio, cuja correnteza aponta para a direita, encontra-se representado pela figura abaixo. Um nadador deseja determinar a largura do rio nesse trecho e propõe-se a nadar do ponto A ao B, conduzindo uma corda, a qual tem uma de suas extremidades retida no ponto A. Um observador localizado em A verifica que o nadador levou a corda até o ponto C. Dados: α 30° 45° 60°
sen α 1/2 2/2 3/2
cos α 3/2 2/2 1/2
tg α 3/3 1 3
Nessas condições, a largura do rio, no trecho considerado, é expressa por
a) 1
AC.3
b) 1
AC.2
c) 3
AC.2
d) 3 3
AC.3
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10. (G1 - ifsp 2013) Na figura, ABCD é um retângulo em que BD é uma diagonal, AH é
perpendicular a BD, AH 5 3 cm e 30 .θ A área do retângulo ABCD, em centímetros
quadrados, é
a) 100 3.
b) 105 3.
c) 110 3.
d) 150 2.
e) 175 2. 11. (G1 - utfpr 2012) Uma escada rolante de 6 m de comprimento liga dois andares de uma
loja e tem inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre estes dois andares.
Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e tg 30 0,58.
a) 3,48. b) 4,34. c) 5,22. d) 5. e) 3. 12. (Ufsj 2012) O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia.
Com ele, é possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160 metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:
a) 80 3 1,5 b) 80 3 1,5 c) 160 3
1,53
d) 160 3
1,53
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13. (Unesp 2012) Um prédio hospitalar está sendo construído em um terreno declivoso. Para
otimizar a construção, o arquiteto responsável idealizou o estacionamento no subsolo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terreno. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível do estacionamento, sendo necessária a construção de uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com dificuldades de locomoção. A figura representa esquematicamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a qual deve ter uma inclinação α mínima de 30° e máxima de 45°.
Nestas condições e considerando 2 1,4, quais deverão ser os valores máximo e mínimo,
em metros, do comprimento desta rampa de acesso? 14. (Ufjf 2012) A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da
margem em que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual
é a largura do rio?
a) 50 3 m
b) 75 3 m
c) 100 3 m
d) 150 3 m
e) 200 3 m
15. (Uepb 2012) Os lados iguais de um triângulo isósceles têm comprimento 3 cm e os
ângulos congruentes medem 30 . O perímetro deste triângulo em cm é
a) 2 3 3
b) 2 3 2
c) 8 3
d) 3 3
e) 3 3
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16. (G1 - ifpe 2012) Um estudante do Curso de Edificações do IFPE tem que medir a largura
de um rio. Para isso ele toma os pontos A e C que estão em margens opostas do rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante 100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A, determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele determinou a largura do rio e achou, em metros: Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
a) 60 b) 65 c) 70 d) 75 e) 80 17. (G1 - ifal 2012) Considere um triângulo retângulo, cujas medidas dos catetos são 10 cm e
10 3 cm. Assinale a alternativa errada.
Dados: sen 30° = 0,5, cos 45° = 0,707 e sen 60° = 0,866. a) O seno do menor ângulo agudo é 0,707. b) O cosseno do menor ângulo agudo é 0,866. c) O seno do menor ângulo agudo é 0,5. d) O maior ângulo agudo desse triângulo mede 60°. e) O menor ângulo agudo desse triângulo mede 30°. 18. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Uma coruja está pousada em R, ponto mais alto de um poste, a uma altura h do ponto P, no chão. Ela é vista por um rato no ponto A, no solo, sob um ângulo de 30°, conforme mostra figura abaixo.
O rato se desloca em linha reta até o ponto B, de onde vê a coruja, agora sob um ângulo de
45° com o chão e a uma distância BR de medida 6 2 metros.
Com base nessas informações, estando os pontos A, B e P alinhados e desprezando-se a
espessura do poste, pode-se afirmar então que a medida do deslocamento AB do rato, em metros, é um número entre a) 3 e 4 b) 4 e 5 c) 5 e 6 d) 6 e 7
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19. (Pucsp 2012) Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma
praia e, num dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1)
d) 180 ( 3 – 1)
e) 180 ( 3 + 1) TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade entre Engenharia e Matemática. 20. (Pucrs 2012) Em uma aula prática de Topografia, os alunos aprendiam a trabalhar com o
teodolito, instrumento usado para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o observador desloca-se 100 metros na direção do percurso do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em metros, é
a) 100 3
3
b) 100 3
2
c) 100 3
d) 50 3
3
e) 200
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TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO: As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria. Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus Leite de Abreu. A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.
Considere que – a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube; – o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube; – o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo; – o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati; – o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari; – o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari;
– a medida do segmento AC é 220 m;
– a medida do segmento BC é 400 m e
– o triângulo ABC é retângulo em C. 21. (G1 - cps 2012) Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo.
26° 29° 41° 48° 62°
sen 0,44 0,48 0,66 0,74 0,88
cos 0,90 0,87 0,75 0,67 0,47
tg 0,49 0,55 0,87 1,11 1,88
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ˆABC é, aproximadamente, a) 0,44. b) 0,48. c) 0,66. d) 0,74. e) 0,88.
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22. (Uel 2011) Um indivíduo em férias na praia observa, a partir da posição 1P , um barco
ancorado no horizonte norte na posição B. Nesta posição 1P , o ângulo de visão do barco, em
relação à praia, é de 90°, como mostrado na figura a seguir.
Ele corre aproximadamente 1000 metros na direção oeste e observa novamente o barco a
partir da posição 2P . Neste novo ponto de observação 2P , o ângulo de visão do barco, em
relação à praia, é de 45°.
Qual a distância 2P B aproximadamente?
a) 1000 metros b) 1014 metros c) 1414 metros d) 1714 metros e) 2414 metros 23. (G1 - cftmg 2011) Um foguete é lançado de uma rampa situada no solo sob um ângulo de
60º , conforme a figura.
Dados: 3
sen 60º2
; 1
cos 60º2
; tg 60º 3 .
A altura em que se encontra o foguete, após ter percorrido 12km , é a) 600 dam b) 12.000 m
c) 6.000 3 dm
d) 600.000 3 cm
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24. (G1 - ifsc 2011) Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte
peruana deixou o Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-do-rioamazonas-
diminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio, teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros percorrida pela embarcação foi de...
Dados: Seno Cosseno Tangente
0º 1
2
3
2
3
3
45º 2
2
2
2 1
60º 3
2
1
2 3
a) 60 3 metros. b) 40 3 metros. c) 120 metros.
d) 20 3 metros. e) 40 metros.
25. (Ufjf 2011) Considere um triângulo ABC retângulo em C e o ângulo ˆBAC. Sendo
AC 1 e 1
sen( ) ,3
quanto vale a medida da hipotenusa desse triângulo?
a) 3 b) 2 2
3 c) 10 d)
3 2
4 e)
3
2
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Gabarito: Resposta da questão 1: [B]
Supondo que A, B e C pertencem a um mesmo plano horizontal, temos
AB 8 30 240cm,
BC 6 30 180cm
e
CD (8 6) 20 280cm.
Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ABC, encontramos
2 2 2 2 2 2AC AB BC AC 240 180
AC 300cm.
Portanto, do triângulo retângulo ACD, vem
CD 280 14tgCAD .
300 15AC
Resposta da questão 2: [B]
No triângulo assinalado, temos:
1,2 1 1,2sen30 x 2,4
x 2 x
Resposta da questão 3:
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.
Como ABC 135 , segue que ABH 180 ABC 45 e, portanto, o triângulo ABH é
retângulo isósceles. Logo, AH HB.
Do triângulo AHC, obtemos
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AH AHtgACB tg30
HB BC AH 20
3 AH
3 AH 20
20 3AH
3 3
AH 10( 3 1)
AH 27 m.
Resposta da questão 4: [A] h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
htan 15 h 3,8 tg 15
3,8
Resposta da questão 5:
[D]
Considerando x a altura da escada, temos:
x cos30 x cos45 5 3 5 2
3 2x 5( 3 2)
2 2
x 10m
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Resposta da questão 6:
[D]
5sen 30
10α α
Resposta da questão 7:
02 + 04 = 06.
[01] Falsa, pois 5 3 5 10 3
sen60 y km.y 2 y 3
[02] Verdadeira, pois 5 1 5
sen30 x 10 km.x 2 x
[04] Verdadeira, pois o triângulo At1t2 é isósceles, logo z = y > 5. [08] Falsa, pois z = y > 5. Resposta da questão 8:
[B] Para o semáforo de coluna simples, temos
H 1 1,25 2,4 0,25tg20 D 1,5
D 1,5 0,36
D 5,97 1,5
D 4,5 m.
Por outro lado, considerando o semáforo projetado sobre a via, vem
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H 1 1,25 H 0,25tg20 0,36
D 1,5 13,1 1,5
H 0,25 5,26
H 5,5 m.
Por conseguinte, como 5,5 2,4 3,1m, segue-se que a altura H do semáforo projetado sobre
a via é aproximadamente 3,1m maior do que a altura H do semáforo de coluna simples.
Resposta da questão 9: [C]
No triângulo ABC, assinalado na figura, temos:
AB 3 ACsen60 AB AC sen60 AB
AC 2
Resposta da questão 10:
[A]
5. 3no AHD sen30 AD 10. 3
AD
5. 3no AHB cos30 AB 10
AB
Δ
Δ
Portanto a área do retângulo ABCD será dada por:
A 10. 3.10 100 3
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Resposta da questão 11:
[E]
h = altura entre os dois andares.
hsen30
6
h0,5
6
h 3 m
Resposta da questão 12:
[A]
H é a altura do morro em metros. O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m. No triângulo assinalado, temos:
H 1,5 3 H 1,5sen60 H 80 3 1,5 m
160 2 160
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Resposta da questão 13:
Portanto, o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o valor máximo será 10 m. Resposta da questão 14: [A]
Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.
Queremos calcular AH.
Temos que CAB BAH 30 . Logo, do triângulo AHB, vem
HB 3tgBAH HB AH.
3AH
Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
HB BC 3tgCAH 3 AH AH 100
3AH
2 3AH 100
3
150 3AH 50 3 m.
3 3
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Resposta da questão 15:
[A]
Considere o triângulo isósceles ABC de base BC. Assim, AB AC 3 cm e
ABC ACB 30 . Sendo M o ponto médio de BC, do triângulo AMC, vem
BCMC 2cos ACB cos30
3AC
BC 3cm.
Portanto, o resultado é
AB AC BC 3 3 3
(2 3 3)cm.
Resposta da questão 16:
[D] tg (37°) = 0,75
AC0,75
100
AC 75m
Resposta da questão 17:
[A]
22 2a 10 10 3 a 20
10 1sen 30
20 2
10 3 3sen 60
20 2
α α
β β
Logo, a alternativa errada é a [A], “O seno do menor ângulo agudo é 0,707”.
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Resposta da questão 18:
[B] O triângulo BPR é retângulo e isósceles, logo BP = PR = h.
Utilizando o teorema de Pitágoras, podemos escrever que 2 2 2h h (6 2) , logo h = 6.
No triângulo APR, podemos escrever:
htg30
h AB
3 6
3 AB 6
18 6 3AB
3
18 3 18AB
3
AB 4,2
e 4 < 4,2 < 5. Resposta da questão 19:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
Como PGQ 45 , segue que PQ QG. Desse modo, AQ 240 QG 240 PQ.
Portanto, do triângulo APQ, vem
PQ 3 PQtgQAP
3AQ 240 PQ
(3 3)PQ 240 3
240 3PQ
3 3
240 3 3 3PQ 120( 3 1) m.
3 3 3 3
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Resposta da questão 20:
[C]
O resultado pedido é dado por y
tg60 y 100 3 m.100
Resposta da questão 21: [B] Pelo Teorema de Pitágoras, segue que
2 2 2 2 2 2
2
AB AC BC AB 220 400
AB 208400
AB 208400
AB 456,5 m.
Portanto,
AC 220senABC senABC
456,5AB
senABC 0,48.
Resposta da questão 22: [C]
1000cos 45º
x
2 1000
2 x
2x 2000
2000x
2
x 1,414 m
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Resposta da questão 23:
[D] h = altura.
o hsen60
12
3 h
2 12
h 6. 3km = 600.000 3cm
Resposta da questão 24:
[B]
o 60sen60
AB
3 60
2 AB
120AB
3
AB 40 3m
Resposta da questão 25:
[D]
Sabendo que AC 1 e 1
sen ,3
vem
BC 1 BC AB
sen BC .3 3AB AB
Aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:
22 2 2 2 2
2
ABAB AC BC AB 1
3
8 AB1
9
3 3 2AB .
42 2