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Rauschinduzierter
TransportFeynman‘s Ratsche und Brown‘sche Motoren
Lukas Fischer – Seminar Mechanik
12. Januar 2018
Inhalt
1. Feynman‘s Ratsche:
Prinzip
Detaillierte Betrachtung
2. Rauschinduzierter Transport:
Stochastisches Modell
Fokker-Planck-Gleichung
Teilchenstrom
Ratschen-Typen
Ratschen-Effekt
Anwendungen
3. Zusammenfassung
13.01.2018 2Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport
Feynman‘s Ratsche – Prinzip
13.01.2018 3Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport
Quelle: [6]
Prinzip
13.01.2018 4Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport
Grundbegriffe:
(Feder-)Energie, um Ratsche über nächstes Zahnrad zu heben: ε
Winkel zwischen zwei Zähnen der Ratsche: θ
Drehmoment durch Gewicht der Masse m: L
Modell:
Ungerichtete Stöße der Teilchen mit Flügelrad
Ratsche sperrt jedoch in eine Richtung
nur Stöße in Laufrichtung der Ratsche, die Energie ε+Lθ aufbringen können bewirken Drehung um Winkel θ
Perpetuum mobile zweiter Art
Detaillierte Betrachtung
Korrekturen des Modells:
Alle Bauteile der Maschine unterliegen der Brown‘schen Bewegung
Mit der Wahrscheinlichkeit 𝑒−
𝜀
𝑘𝐵𝑇2 springt Sperrhaken hoch
Ratsche kann sich rückwärts bewegen
Mit der Wahrscheinlichkeit 𝑒−
𝜀+𝐿𝜃
𝑘𝐵𝑇1 bewegt sich Ratsche in Vorwärtsrichtung
D.h.: Für 𝑇1 = 𝑇2 und m=0 resultiert eben keine Netto-Bewegung
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 5
Detaillierte Betrachtung
Für 𝑇1 > 𝑇2 ist wiederum Vorwärtsbewegung möglich.
Allerdings muss man einen Wärmetransport von 𝑇1 nach 𝑇2 berücksichtigen:
Energieerhaltung
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 6
Vorwärtsschritt Rückwärtsschritt
Flügelrad (bei 𝑇1) -(ε+Lθ) +ε+Lθ
Ratsche (bei 𝑇2) +ε -ε
An Masse verrichtete/von
Masse geleistete Arbeit
+Lθ -Lθ
Wahrscheinlichkeit~ 𝑒
−𝜀+𝐿𝜃𝑘𝐵𝑇1 ~ 𝑒
−𝜀
𝑘𝐵𝑇2
Quelle: [3]
Detaillierte Betrachtung
Im Gleichgewichts-Fall gilt:𝜀+𝐿𝜃
𝑇1=
𝜀
𝑇2
Verhältnis zwischen an Flügelrad entnommene (𝑄1) und an der Ratsche
abgegebene (𝑄2) Wärme:𝜀+𝐿𝜃
𝜀=
𝑄1
𝑄2=
𝑇1
𝑇2
Wirkungsgrad: 𝜂 =𝑣𝑒𝑟𝑟𝑖𝑐ℎ𝑡𝑒𝑡𝑒 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡
𝑧𝑢𝑔𝑒𝑓üℎ𝑟𝑡𝑒 𝑊ä𝑟𝑚𝑒=
𝐿𝜃
𝐿𝜃+𝜀= 1 −
𝜀
𝜀+𝐿𝜃= 1 −
𝑇2
𝑇1= 𝜂𝐶𝑎𝑟𝑛𝑜𝑡
Wirkungsgrad stimmt überein dem einer reversibel arbeitenden
Wärmemaschine
Maximaler Wirkungsgrad
Thermodynamisches und mikroskopisches Ergebnis identisch!
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Rauschinduzierter
Transport
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Stochastisches Modell
Bewegungsgleichung im vereinfachten stochastischen Modell:
Anforderungen an Potential V(x):
Räumlich periodisch: 𝑉 𝑥 + 𝐿 = 𝑉(𝑥)
Anisotrop: ∄∆𝑥 𝑓ü𝑟 𝑑𝑎𝑠 𝑉 −𝑥 = 𝑉(𝑥 + ∆𝑥)
Weißes Rauschen ξ(t):
𝜉(𝑡) = 0
𝜉(𝑡)𝜉(𝑠) = 2𝜂𝑘𝐵𝑇𝛿(𝑡 − 𝑠) (Fluktuations-Dissipations-Relation)
Dynamische Viskosität η: Kopplungsstärke zum Umgebungsmedium
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Stochastisches Modell
Für mikroskopische Systeme:
Thermische Fluktuationen dominant ggü. Trägheitsterm
Überdämpften Fall der DGL: 𝑚 ሷ𝑥 vernachlässigbar
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Stochastisches ModellBeispielhaftes Potential
Quelle: [2]
Fokker-Planck-Gleichung
Einführung einer (normierten) Wahrscheinlichkeitsdichte P(x,t):
Aufstellung der Bewegungsgleichung für P(x,t):
Drift des Teilchens durch Potential-Gradienten 𝑉′(𝑥)
Diffusion durch thermische Umgebung
Superposition beider Terme wegen Linearität in P(x,t)
Fokker-Planck-Gleichung:
Hier: Diffusionskonstante 𝐷 =𝑘𝐵𝑇
𝜂und Driftgeschwindigkeit 𝑣(𝑥) =
𝑉′(𝑥)
𝜂
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Fokker-Planck-GleichungBeispiel: Zeitentwicklung eines Gauß‘schen Wellenpaketes
Diffusions-Term:
Aufweitung des Peaks:
zunehmende Breite
Abnehmende Intensität
Drift-Term:
Bewegung des Schwerpunkts des
Pakets in eine Vorzugsrichtung
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Ort x
Wahrscheinlichkeitsdichte P(x,t)
Fokker-Planck-Gleichung
Für Fall von konstanter Drift-Geschwindigkeit 𝑣 =𝑉′(𝑥)
𝜂:
Lösung der FPG:
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Teilchenstrom: (i) Kraft F = 0
Teilchenstrom: ሶ𝑥 = − ∞−
∞𝑑𝑥
𝑉′(𝑥)
𝜂𝑃 𝑥, 𝑡 (Da 𝜉(𝑡) = 0)
Wahrscheinlichkeitsdichte: 𝑃 𝑥, 𝑡 = 𝛿(𝑥 − 𝑥 𝑡 )
Daraus folgt:
Master-Gleichung: 𝜕𝑡𝑃 𝑥, 𝑡 + 𝜕𝑥 𝐽 𝑥, 𝑡 = 0
Wahrscheinlichkeitsstrom: 𝐽 𝑥, 𝑡 = ሶ𝑥 𝑡 ⋅ 𝛿(𝑥 − 𝑥 𝑡 )
ሶ𝑥 = − ∞−
∞𝑑𝑥 𝐽 𝑥, 𝑡
Alternative Form: ሶ𝑥 =𝑑
𝑑𝑡∞−
∞𝑑𝑥 𝑥 𝑃 𝑥, 𝑡
Lösung der FPG reicht aus um aus um ሶ𝑥 zu berechnen
Ergebnis: ሶ𝑥 = 0 (Analogon zu Feynman-Ratsche mit m=0)
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Teilchenstrom: (ii) Kraft F ≠ 0
(gekippte Smoluchowski-Feynman- Ratsche)
Nun zusätzliche homogene, statische
Kraft F:
𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑡 + 𝐹 + 𝜉 𝑡
Effektives Potential:
𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑥 𝑡 , 𝑡 = 𝑉 𝑥 𝑡 , 𝑡 − 𝑥𝐹
Falls F nicht zu groß:
Ausbildung lokaler Minima in 𝑉𝑒𝑓𝑓
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Teilchenstrom: (ii) Kraft F ≠ 0
(gekippte Smoluchowski-Feynman- Ratsche)
Ergebnis: Teilchenstrom in Kraftrichtung
nicht punktsymmetrisch in F
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Ratschen-Typen
Allgemeine Bewegungsgleichung:
Periodische oder stochastische Modulation von Potential (𝑓 𝑡 ) und Kraft (𝑦(𝑡))
𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑓 𝑡 + 𝐹 + 𝑦 𝑡 + 𝜉 𝑡
Fallunterscheidung:
Pulsierende Ratsche: 𝑦 𝑡 = 0 Moduliertes Potential, konstante Kraft
Kippende Ratsche: 𝑓 𝑡 = 0 Modulierte Kraft, konstantes Potential
Temperatur-Ratschen:
𝑦 𝑡 = 𝑓 𝑡 = 0
Modulierte Temperatur: 𝑇 = 𝑇(𝑡) oder 𝑇 = 𝑇(𝑥)
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Modulierte Kraft
Ratschen-Typen
Pulsierende Ratsche: 𝑦 𝑡 = 0
„fluctuating potential“-Ratsche: 𝑉 𝑥, 𝑓(𝑡 ) = 𝑉 𝑥 1 + 𝑓 𝑡
(für additives symmetrisches 𝑓(𝑡) und asymmetrisches V(x))
(einfachstes Beispiel: „On-Off“-Ratsche)
„travelling potential“-Ratsche: V(𝑥, 𝑓 𝑡 ) = 𝑉 𝑥 − 𝑓 𝑡
V(𝑥, 𝑓 𝑡 ) immer asymmetrisch
Kippende Ratsche: 𝑓 𝑡 = 0
„Rocket“-Ratsche, falls 𝑦 𝑡 periodisch
„fluctuating force“-Ratsche, falls 𝑦 𝑡 stochastisch
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Bewegungsgleichung: 𝜂 ሶ𝑥 𝑡 = −𝑉′ 𝑥 𝑡 , 𝑓 𝑡 + 𝐹 + 𝑦 𝑡 + 𝜉 𝑡
Ratschen-Typen
Temperatur-Ratsche: 𝑇 = 𝑇 𝑡
𝜉 𝑡 → 𝜉 𝑇 𝑡 , 𝑡
Temperatur-Ratsche ist vom Prinzip sehr ähnlich zur „fluctuating potential“-Ratsche
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Ratschen-Effekt
Grundlegendes Prinzip:
Umwandlung von thermischen Fluktuationen in nutzbare Arbeit durch
zeitliche Modulationen äußerer Parameter
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 21
Kein Widerspruch zum 2.Hauptsatz der Thermodynamik!
Fluktuationen finden nicht im Gleichgewicht statt
Modell: System im Kontakt mit mehreren Wärmebädern primitive Wärmemaschine
Umsetzung:
Wechsel zwischen Diffusionsphasen und Lokalisierungsphasen
Die Asymmetrie des Potentials lokalisiert die Teilchendichte mit jedem
Durchlauf weiter in Transportrichtung (entgegen Kraftrichtung!)
Ratschen-Effekt
„On-Off“-Ratsche
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 22
V≠0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑛
P(x) lokalisiert im
Potentialminimum
V=0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑓𝑓
freie Diffusion mit konstantem Drift
V≠0 für die Dauer 𝑡𝑜𝑛
P(x) wieder lokalisiert in Minima,
jedoch mit verschobenem
“Schwerpunkt”
Quelle: [4]
Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche Sägezahn-Potential
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 23
Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 24
Quelle: [1]
𝑉𝑒𝑓𝑓 𝑥 = 𝑉 𝑥 − 𝑥 ⋅ 𝐹𝑒𝑥𝑡
Drift: 𝑣 =𝐹𝑒𝑥𝑡
𝜂für V = 0
𝑡𝑜𝑛 >𝜂𝐿2
∆𝑉
(nötige Zeit, damit Teilchen
wieder in Minimum liegen)
𝑡𝑜𝑓𝑓 <𝜂𝐿
𝐹𝑒𝑥𝑡
1
2− 𝛼
(damit Teilchen nicht zu lange
durch 𝐹𝑒𝑥𝑡 nach links driftet)
Ratschen-Effekt„On-Off“-Ratsche
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Quelle: [1]
Ratschen-Effekt
„On-Off“-Ratsche
Anwendungsbeispiel: Sortiermaschine
Genaue Einstellung der äußeren
(Gravitations-)Kraft
Teilchen unterschiedlicher Masse
haben verschiedene Drift-
Geschwindigkeiten
𝑡𝑜𝑓𝑓-Einstellung ermöglicht, dass:
𝑡𝑜𝑓𝑓 > 𝑡𝑜𝑓𝑓𝑚𝑎𝑥
Abdriften d. Teilchens
in Kraftrichtung
𝑡𝑜𝑓𝑓 < 𝑡𝑜𝑓𝑓𝑚𝑎𝑥
Rauschinduzierter
Transport
Sortierung nach Masse13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 26
Quelle: [1]
Ratschen-EffektStromumkehr
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Stromumkehr auch durch Variation weiterer Parameter: 𝜂, 𝜏
Quelle: [2]
Ratschen-
Effekt
„On-Off“-
Ratsche
Helicase (Enzym) stark an DNA gebunden
Anlagerung eines Nukleotids ATP
(Adenosintriphosphat) an DNA
Nur noch schwachgebundene Helicase Diffusionsprozess
ATP → ADP + Pi wirdabgestoßen
13.01.2018 Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 28
Vorkommen in der Natur
Ratschen-Effekt
Temperatur-Ratsche Sehr ähnlich zu manchen pulsierenden
Ratschen
z.B.: 𝑇 𝑡 = ത𝑇[1 + 𝐴 ⋅ sgn sin2𝜋𝑡
𝜏]
(quasi äquivalent zu “On-Off”-Ratsche)
Für 𝑇 𝑡 = ത𝑇 1 − 𝐴 ≪∆𝑉
𝑘𝐵
Lokalisierung der Partikel bei lokalenMinima
Für 𝑇 𝑡 = ത𝑇 1 + 𝐴 ≫∆𝑉
𝑘𝐵
Diffusionsprozess mit Drift
Netto-Strom entgegen Kraftrichtung
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Quelle: [2]
Ratschen-Effekt
Temperatur-Ratsche
T(t)-Variation schwer durch Wärmezufuhr und -abfuhr zu realisieren
Aber: Ratschen-Effekt sehr robust (funktioniert auch für weniger ausgeprägtes
V(x) und langsame oder sogar stochastische Änderungen T(t))
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Ratschen-EffektTemperatur-Ratsche
Vorkommen in der Natur:
Feste Bindung von Kinesin an
Microtubulus
ATP-Hydrolyse: ATP → ADP + Pi
wird thermische Energie
abgegeben
kurzzeitige Erhöhung d.
Temperatur
Diffusion über
Potentialbarriere
Temperaturabnahme
Erneut feste Bindung
…
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 31
Quelle: [5]
Kinesin: Motorprotein
Mikrotubulus: Filament aus Proteinen
Bewegung von Kinesin auf einem Mikrotubulus
Ratschen-Effekt
„Rocket“-Ratsche
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 32
Periodischer Wechsel zwischen:𝐹 ∈ {−𝐹𝑚𝑎𝑥; + 𝐹𝑚𝑎𝑥}
Für ∆𝑉
1−𝛼 𝐿< 𝐹𝑚𝑎𝑥 <
∆𝑉
𝛼𝐿
𝐹 = +𝐹𝑚𝑎𝑥 : monoton nach links
abnehmendes 𝑉𝑒𝑓𝑓(𝑥)
𝐹 = −𝐹𝑚𝑎𝑥 : lokale Minima in
𝑉𝑒𝑓𝑓(𝑥)
Falls 𝑡+ nicht zu klein
Netto-Strom nach links
Quelle: [1]
Ratschen-
Effekt
„Rocket“-
Ratsche
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Quelle: [1]
Ratschen-Effekt„fluctuating potential“-Ratsche
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 34
Quelle: [4]
Anwendungen
Molekularer Motor: in lebenden Zellen
Sortieralgorithmus
Ionenpumpe: Ionentransport durch Proteine entgegen des elektro-chemischen Potentials
Quantenratsche:
Bose-Einstein-Kondensat (aus Rubidium-Atomen) in Sägezahnpotential aus Lichtwellen
„travelling potential“-Ratsche
Auftreten von quantenmechanischen Effekten
Tunnelprozesse durchs Potential bei niedrigen Temperaturen bewirkt Stromumkehr als Funktion der Temperatur
SQUID- oder Josephson-Vortex-Ratschen
Gleichrichtung von (elektrischem) Rauschen bis zu 100 GHz durch Bewegung von Flusswirbeln, die wiederum Gleichspannung induzieren
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 35
Zusammenfassung
Feynman´s Ratsche:
Temperaturgefälle notwendig für Verrichtung von Arbeit
Maximaler Wirkungsgrad nach Carnot
Sehr einfaches mikroskopisches Modell erzielt gleiches Ergebnis wie
Thermodynamik
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 36
Zusammenfassung
Rauschinduzierter Transport:
Wichtig:
Anisotropie des Potentials
Weißes Rauschen
Einführung der Wahrscheinlichkeitsdichte, die die Fokker-Planck-Gleichung erfüllt
Zeitliche Modulation von Potential, Kraft, Temperatur möglich
Pulsierende, Kippende Ratschen und Temperaturratsche
Stromumkehr durch Parameter-Variation möglich: 𝑉, 𝜂, 𝜏,…
Vorkommen in der Natur als Brownsche Motoren in lebenden Zellen
Zahlreiche Anwendungsmöglichkeiten
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 37
13.01.2018 38Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport
Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!
13.01.2018Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport 39
Literatur
[1] R.D. Astumian; Thermodynamics and Kinematics of a Brownian Motor; Science 276, 917 (1997)
[2] P. Reimann; Brownian motors: noisy transport far from equilibrium; Physics Report 361, 57-265 (2002)
[3] R.P. Feynman, R.B. Leighton, M. Sands; The Feynman Lectures on Physics; Addison Wesley (2007)
[4] R.D. Astumian, P. Hänggi; Brownian Motors; Physics Today 55 (2002), Nr.11, 33
[5] M. Tomic, D. v. Treeck; Brownsche Motoren, Institut für Theoretische Physik; TU Berlin
[6] Z C Tu; Efficiency at maximum power of Feynman‘s ratchet as a heat engine; Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 41 312003 (2008)
[7] R.D. Astumian; Molekulare Motoren; Spektrum d. Wissenschaft 1 / 2002, Seite 36
13.01.2018 40Seminar Mechanik - Feynman‘s Ratsche & Rauschinduzierter Transport