Kapitel 48: Mechanische und akustische Wellen 649

Jedenfalls ist klar: Da bedarf es zur Intensitätsmessung eines logarith­mi chen Maßes. Der Schallintensitätspegel LI wird als Zehnerlogarithmus eines Intensitätsverhältnisses definiert, bezogen auf die Referenzintensität 10 = 10-12 W 1m2

•

1 Schallintensitätspegel: L = 10· 19 - in dB

10 (4 .44)

Der so definierte Schallpegel ist eine dimensionslose Größe. Um aber zu vermerken, daß man es bei einer solchen Zahlenangabe mit einer Schallin­tensität zu tun hat, gibt man ihr die Pseudoeinheit "Bel" (bzw. "Dezibel"). Die dem Schallintensitätspegel entsprechende physiologische Größe ist der Lautstärkepegel L s . der genauso wie jener definiert ist und in "Phon" an­gegeben wird. Bei der Referenzfrequenz 1 kHz sind die Dezibel- und die Phonskala identisch. I o = 10-12 W 1m2 entspricht bei dieser Frequenz der Hörschwelle.3 Das Rockkonzert mit 1 W 1m2 hat einen Intensität pegel von

1 L Rock = 10 . 19 10-12 = 120 dB;

die Hörschwelle selbst entspricht Lo = 10 · 19 1 = 0 dB. In Tab. 48.2 findet man einige Schallpegelangaben zum Vergleich.

Tab. 48.2: Beispiele für Schallintensitätspegel.

L in dB

Startender Jet (50 m Entf.) 150

Preßlufthammer (1 m) 90- 120

Rockkonzert 90-120

Verkehrslärm (rush hour) 80

Staubsauger 60

normale Unterhaltung 50

Landung einer Stechmücke 40

Flüstern 30

Hörschwelle 0

48.4.4 Der Doppler-Effekt

challwellen brauchen das Medium Luft zur Ausbreitung. etzt man die challquelle in einen evakuierbaren Behälter und entfernt die LJlft, dringt

kein Schall mehr in die Außenwelt die Schallwellen können nicht mehr er­zeugt und nicht mehr transportiert werden. Bei den bi herigen Darlegungen wurde angenommen, daß sowohl die Schallquelle, als auch der Schallempfän­ger als auch das Medium ruhen: vQ = VE = VM = O. Wenn das mcht der Fall ist, registriert man Frequenzänderungen. Das ist der Doppler-Effekt: Der Hupton eines herannahenden Autos ist höher, der eines wegfahrenden ist niedriger als der eines ruhenden Autos. Wir nehmen zunächst an daß die Luft ruht, VM = 0, und diskutieren mehrere Fälle.

3 Die Hörschwelle ist stark frequenzabhängig und besitzt um 1 kHz ein l\finimum. 4 Christian Doppler 1803- 1853

650 Kapitel 4 : ~fechanische und akustische \\ eJ.len

(a) B

(b)

(c)

Fig. 4 .6: Von einer punktförmigen Schall­quelle Q geht eine Kugelschallwelle aus. (a) Durch die Bewegung der Quelle werden die Berge auf der Vorderseite der Welle zusam­mengedrängt. (b) Bei vQ = CIf türmen ich die 'Yellenberge zur sog. Schallmauer auf. (c) Bei Bewegung der Quelle mit Überschall­geschwincligkeiten uQ > c s , bildet sich der lIachsche Kegel mit dem halben Öffnung win­kel Q aus: In der Zeit t::.t, in der sich clie Quelle von (1) nach (2) bewegt legt der von (1) aus­gehende Wellenberg clie Strecke cst::.t zurück.

Hg. 48.7: Der Beobachter bewegt sich dUl'ch die an ihm vorbeiziehenden Wellen auf die Quelle zu.

(a) Beobachter B ruht die Quelle bewegt sich mit vQ auf den Beobachter zu. Dann haben wir die Situation der Fig. 4 .6a.

Zwischen Q und B rücken wegen der Bewegung der Quelle die Wellenberge näher aneinander, die Wellenlänge ist kleiner als im Ruhezustand: >. < >'0' Wenn mit T = 1///0 die Schwingungsdauer des Schallerzeugers bezeichnet wird. rückt die Quelle in dieser Zeit um vQ . T näher an den Beobachter heran und verkürzt also um die en Betrag die Wellenlänge:

UQ vQ (1}Q) >. = >'0 - 1}Q . T = >'0 - - = >'0 - - . >'0 = >'0' 1 - - . //0 Cs Cs

B registriert jetzt die Frequenz:

//0

/ > //0'

I - 1}Q Cs 1(4 .45)

L-______________________________________ ~

Diese Frequenz ist größer als //0 - wie beboachtet. Wenn die Quelle chHeß­lich Schallgeschwindigkeit erreicht, wird die Wellenlänge 0: Alle Wellenber­ge türmen sich zur sogenannten Schallmauer auf (Fig. 48.6b). Wird endlich auch diese Schallmauer durchbrochen und vQ > Cs bildet sich eine Kopfwel­le aus: Die Schallwellen ind auf den Raumbereich hinter dem Machsehen Kegel 5 beschränkt (Fig. 4 .6c).

Dieser besitzt den halben Öffnungswinkel 0:. der direkt durch das erhältni der beiden beteiligten Geschwindigkeiten gegeben ist (s. Fig. 4 .6c)

sinn = ~ = ~. (4 ,46) VQ M

Die Geschwindigkeiten von Überschallflugzeugen z. B. werden direkt als Vielfache der Schallgeschwindigkeit angegeben (Mach-Zahl NI). Bei 2 Mach fliegt das Flugzeug mit doppelter Schallgeschwindigkeit.

(b) Quelle Q ruht, der Beobachter B bewegt sich mit lJB auf die Quelle zu. Die von Q ausgehenden Wellen sind nun Kugelwellen mit der ~ellenlänge >'0 (Fig. 4 .7). Ruhend würde B die Originalfrequenz //0 = >"0/ Cs messen: bewegt er sich auf die Quelle zu, erhöht sich die registrierte Frequenz - wie bei der B wegung der Quelle. Diese Frequenz muß aber von der im Fall (a) bestimmten Frequenz verschieden sein: Die Wellenbilder (Fig. 4 .7) und (Fig. 48.6a) sind völlig verschieden. Um hier die Frequenzerhöhung herauszubekommen, stellen wir uns vor, wir könnten die Welle einfrieren; B mißt dann nill' noch die Frequenz ~/J. mi der er über die Wellenb rge streicht. Von Berg zu Berg braucht er die Zeit T' = >'O/1}B: er mißt also die Frequenz:

1 Va Va 6.// = - = - = - . //0-

T' >'0 Cs

Wird dann die Welle wieder aufgetaut. kommt die Originalfrequenz va noch

5 Ernst !\'[ach 1 3 1916

Kapitel 48: Mechanische und akustische Wellen 651

hinzu. Man hat al 0 bei bewegtem Beobachter und ruhender Quelle die Frequenz:

'--____ v_=_VO_+_ß_v_=_v_O _. _(_1_+_:_~_)_>_v_0_, ___ --11 (48.47)

(c) Quelle bewegt sich mit vQ auf den Beobachter und dieser sich mit VB auf die Quelle zu.

Nun bedarf es keiner Herleitung mehr. Beide Effekte (a) und (b) kommen zum Tragen:

1 + VB/Cs I L ______ v _=_vo_. ___ . _____ --' (48.48) _ 1 - vQ/c s .

(d) Quelle, Beobachter und Medium bewegen sich. Wenn sich schlußendlich auch noch das Medium bewegt, muß man sich nur daran erinnern, daß die bisher diskutierten Geschwindigkeiten nur sinnvoll relativ zum Medium angegeben werden können. Ein Blick auf Fig. 48.8 zeigt sofort, daß bei den eingezeichneten Geschwindigkeitsrichtungen der Effekt der QueUenbewegung verringert, der der Beobachterbewegung aber verstärkt wird. Offenbar gilt für die gezeichnete Situation:

'--_____ V_=_1/_0_._1_+_( V_B_+_V_M_)_/ C_s_. ____ --.JI (48.49) _ 1 - (vQ - V M ) / Cs .

Wenn eine der Geschwindigkeiten ihre Richtung ändert, ist in dieser Glei­chung nur ihr Vorzeichen zu ändern. Liegen die Geschwindigkeitsvekto­ren schief zueinander, hat man nur die Komponenten bezüglich der QB­Richtung einzusetzen.

(e) Doppler-Effekt bei Lichtwellen. Auch bei Lichtwellen gibt es einen Doppler-Effekt. Er wurde an anderer Stelle behandelt (s. Relativistik). Licht stellt als elektromagnetische Welle etwas Besonderes dar. Hier fehlt das materielle Medium' Licht kann sich im Vakuum ausbreiten. Beim Doppler-Effekt von Lichtwellen kommt es aus­schließlich auf die Relativgeschwindigkeit zwischen Quelle und Beobachter an. Gleichgültig, ob sich die Quelle auf den Beobachter oder der Beobachter auf die Quelle hinbewegt , stets gilt die symmetrische Formel

1/ = 1/0 . l+ v/c . 1 - v/c'

"aufeinander zu"

1/ = 1/0 . 1- v/c

1 + v/c'

"voneinander weg"

( 48.50)

Bewegen sich Quelle und Beobachter aufeinander zu ist die registrierte Frequenz größer als 1/0, bewegen sie sich voneinander weg, ist sie kleiner als 1/0'

Q e_

M

B -0

VB

Fig. 48.8: Skizze der Geschwindigkeiten: Q: Schallquelle, B: Schallempfänger (Beobach­ter), M: Medium (z. B. Luft). Den Formeln im Text sind die eingezeichneten Richtungen der Geschwindigkeiten zugrundegelegt.

Teil E: Sch'wingungen und Wellen

652 Kapitel 48: Mechanische und akustische Wellen

Fig. 48.9: Ca) Form eine Wasserwelle. (b) Die Wasserteilchen bewegen sich auf vertikalen Kreisen.

Teil E: Schwingungen und Wellen

48.5 Wasserwellen Wasserwellen gehören zu den faszinierendsten Wellenerscheinungen über­haupt. Da gibt es einerseits die riesigen Wellen auf dem freien Meer mit Wellenlängen von vielen 10 Metern andererseits die winzigen Kräuselwel­len, die ein Windhauch auf einem spiegelglatten Landsee erzeugt. Da gibt es die Brecher, die durch einen Hurrikan oder einen Taifun erzeugt über Inseln und Küstenstreifen gejagt werden, und die Wellen, die anscheinend unermüdlich immer wieder an den Strand laufen, sich überschlagen und sich wieder zurückziehen. Es ist fast unvorstellbar, daß man diese Bewegungen überhaupt mathematisch beschreiben kann - es gelingt in einfachen Fällen.

48 .5. 1 Schwerewellen

Bei allen Wasser-Oberflächenwellen sind die Teilchen aus einer Gleichge­wichtslage ausgelenkt, abgesenkt oder hochgehoben; die Wellen sind trans­versal. Bei großen Wellenlängen sorgt die Schwerkraft für den Rücktrieb der Teilchen in die Ausgangslage: Man spricht dann von Schwerewellen. Die Teilchen an der Oberfläche bewegen sich aber nicht einfach auf und ab. Sie haben sicher schon einmal die eigenartig schaukelnde Bewegung von Schmutzteilchen auf der Wasseroberfläche beobachtet: Wasserwellen haben auch longitudinalen Charakter. Die Wasserteilchen bewegen sich in Wirk­lichkeit auf vertikalen Kreisen, oben in Richtung der Wellengeschwindigkeit Cw = VPh, unten gegen diese Richtung. 6 Das gibt der Welle ihre charakteri­stische Form (Fig. 48.9): breite Täler und schmale Berge. Das ist aber auch für das Überschlagen der an den Strand laufenden Wellen verantwortlich, wenn bei dieser kreisenden Bewegung die Wasserteilchen unten vom Boden gebremst und dann von denen auf den Wellenbergen überholt werden.

(a) (b)

Allein aus dieser Beobachtung der Wellenform kann man durch Anwendung des Energiesatzes die Dispersionsrelation von Schwerewellen herleiten. Das Ergebnis ist:

Dispersionsrelation von Schwerewellen:

w(k) = .;-g:k. (48.51)

Die Funktion w(k) ist nicht linear: Schwerewellen zeigen eine Dispersion. Dies gilt genau genommen nur für Tiefwasser (Wassertiefe h » A).

6 Bei der Herleitung von Wellenfunktion und Wellengleichung in Abschn. 47.2 wur­de d ie Bewegung von Korkteilchen auf einer Wasseroberftäche betrachtet. Dort konnten die an einem Faden aufgereihten Teilchen nur auf- und abschwingen.