RANGKUMAN MATERI KELAS XI SMK · Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum 3. Menentukan titik...

RANGKUMAN MATERI

KELAS XI SMK

Tahun Ajaran 2011 / 2012

Rangkuman Kelas XII 85

MATERI 9

PROGRAM LINEAR

Program Linear adalah suatu cara untuk memecahkan kasalah tertentu dengan

menggunakan model matematika yang terdiri atas pertidakasamaan linear dengan

banyak penyelesaian.

Membuat Grafik Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidakasamaan Linear

Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan 2 peubah, dituliskan sbb :

ax+by ≤ c atau ax+by ≥ c, dengan a, b, c ∈ R

Jika diketahui pertidaksamaan, langkah-langkahnya :

1. Gambar grafik ax+by=c

2. Menentukan daerah HP (Himpunan Penyelesaian)

Contoh soal :

Tunjukan pada diagram cartesius himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x≥0;

y≥0; x+y≤4; dan 3x+8y≤24 dengan x, y ∈ R !

Jawab :

x+y≤4

x+y=4

Dimisalkan x=0 dan y=0

x=0 y=4 (0,4)

y=0 x=4 (4,0)

ambil titik uji yg mudah & terdekat

dengan garis singgung

(0,0) x+y ≤4

x+y-4 ≤0

-4 ≤0 (benar)

Jadi HP terletak di arah titik (0,0)

3x+8y≤24

3x+8y=24

Dimisalkan x=0 dan y=0

x=0 y=3

y=0 x=8

ambil titik uji

(0,0) 3x+8y ≤24

3x+8y-24 ≤0

-24 ≤0

(benar)

Jadi HP terletak di arah titik (0,0)

Gambar diagram cartesius

Jika diketahui daerah HP, tentukan persamaan garisnya terlebih dahulu.

Cara menentukan persamaan garis :

1. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan titik Q(x2,y2)

=

2. Persamaan garis melalui titik P(x1,y1) dan gradien m

y-y1 = m(x-x1)

3. Persamaan garis melalui titik P(a,0) dan titik Q(0,b)

bx+ay = a∙b

Contoh soal :

8

4

3

4

HP

x

y


Tentukan pertidaksamaan linear dari daerah yang diarsir pada digram cartesius

berikut :

Ambil titik (0,y) dan (x,0) pada masing-masing garis.

(0,5),(7,0)

5x+7y = 35 bx+ay = a∙b

Ambil titik uji yg terdapat didalam arsiran

(1,1) 5(1)+7(1) ...35

12 ≤ 35

5x+7y ≤ 35

(0,-4),(3,0)

-4x+3y = -12

(1,1) -4(1)+3(1) ...-12

-1 ≥ -12

-4x+3y ≥ -12

(0,-6),(-2,0)

-6x-2y = 12

(1,1) -6(1)-2(1) ... 12

-8 ≥ 12

-6x-2y ≥ 12

(0,4)

Y=4 konstan

Jadi, pertidaksamaan linearnya adalah 5x+7y ≤ 35 ; -4x+3y ≥ -12 ; -6x-2y ≥ 12 ;

dan Y=4

Menentukan Nilai Optimum Dari Sistem Pertidaksamaan Linear (Masalah

Program Linear)

Langkah-langkahnya :

1. Ubah soal ke model matematika (rumusan matematika dari penafsiran

masalah proglin, biasanya dalam bentuk pertidaksamaan linear)

2. Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum

3. Menentukan titik pojok f(x,y), lalu gambar diagram carteciusnya

4. Menguji titik pojok untuk menentukan nilai max/min pada fungsi

objektif

Contoh soal :

Suatu pesawat udara memiliki tempat duduk tidak lebih dari 72 penumpang.

Penumpang kelas 1 boleh membawa bagasi 40 kg, sedang kelas ekonomi 20 kg.

Karena pesawat hanya mampu memuat bagasi tidak lebih dari 1800 kg. Jika

banyaknya penumpang kelas utama x dan ekonomi y orang, tentukanlah :

a. Model matemtika dari permasalahan tsb :

Jawab :

x≥0 ...(1)

y≥0 ...(2)

x+y ≤ 72 ...(3)

x+y = 72

-4

-6

HP

7 3

(3,0)

(0,-6)

(0,-4)

(7,0)

-2

5 4

(0,5) (0,4)

(-2,0) x

y


x=0 y=72 (0,72)

y=0 x=72 (72,0)

40x+20y ≤ 1800 ...(4)

40x+20y = 1800

2x+y = 90

x=0 y=90 (0,90)

y=0 x=45 (45,0)

x + y = 72

2x + y = 90 –

-x = -18

x = 18

x + y = 72

18 + y = 72

y = 54 (18,54)

b. Banyak penumpang kelas utama dan ekonomi agar diperoleh keuntungan

maksimum, bila harga tiket kelas utama Rp 750.000,00 dan kelas ekonomi Rp

500.000,00 :

Jawab :

Uji titik pojok f(x,y) = 750.000x+500.000y

f(0,72) 750.000(0) + 500.000(72) = 36.000.000

f(18,54) 750.000(18) + 500.000(54) = 40.500.000

f(45,0) 750.000(45) + 500.000(0) = 33.750.000

jadi, keuntungannya akan maksimum pada titik (18,54), maka penumpang kelas

utam 18 orang dan ekonomi 45 orang

Menerapkan Garis Selidik

Langkah-langkah :

1. Tetapkan persamaan garis selidik ax+by = k , dengan k ∈ R

2. Buatlah garis // ax+by=k yang disebut garis selidik

3. Jika ax+by=k1 paling jauh dari titik pangkal, maka bentuk obyektif maksimum

4. Jika ax+by=k2 paling dekat dari titik pangkal, maka bentuk obyektif minimum

Contoh soal :

Gambarkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut :

x+y≤6 ; 2x+y≥3 ; x≥1 ; x≤4 ; y≥0 ; x,y ∈ R gambar garis-garis yang sejajar

dengan garis 4x+y=0 , kemudian tentukan nilai minimum dan maksimum dari

4x+y !

90

72

45 72 0

9

9 90

HP

x

y

x+y ≤ 6

x+y = 6 ...(1)

x=0 y=6 (0,6)

y=0 x=6 (6,0)

2x+y ≥ 3

2x+y = 3 ...(2)

x=0 y=3 (0,3)

y=1 x=1 (1,1)

x≤4

x=4 ...(3)

x+y = 6

4+y = 6

Y = 2 (4,2)

1≤x≤4

y≥0

f(x,y) = 4x+y

(1,1) 4x+y = 4(1)+(1) = 5

4x+y = 8

x=0 y=8 (0,8)

y=0 x=2 (2,0)

(4,2) 4x+y = 4(4)+(2) = 18

Jadi, nilai maksimalnya adalah 18 pada titik (4,2)

nilai minimalnya adalah 5 pada titik (1,1)

1 2

8

4 6

6

3

HP

y

x

4x+y=5

4x+y=18

4x+y=8


MATERI 10

FUNGSI

Produk Kartesius

Pasangan bilangan (x,y) dengan x=urutan dan pertama y=urutan kedua

disebut pasangan terurut.

Jika A dan B merupakan 2 himpunan yg tidak kosong, maka produk kartesius

himpunan A dan B adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dengan x∈A

dan y∈B, dengan notasi :

AxB = {(x,y)|x∈A dan y∈B}

Contoh soal :

Misal A={1,2,3} dan B={a,b}, tentukan AxB, BxB dan banyaknya himpunan

masing-masing !

Jawab :

AxB = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b)}

n(AxB) = 3x2 = 6

BxB = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}

n(BxB) = 2x2 = 4

n(AxB) = n(A) ∙ n(B)

n(AxB) = banyak anggota himpunan (AxB)

n(A) = banyaknya anggota himpuan A

n(B) = banyaknya anggota himpuan B

Relasi

Misalkan AxB adalah produk kartesius himpunan A dan B, maka relasi atau

hubungan R dari A ke B adalah sembarang himpunan bagian dari produk

kartesius AxB, dengan notasi :

R = {(x,y)|x∈A dan y∈B}

Contoh soal :

Relasi dari himpunan A={1,2,3,4} ke himpunan B {0,1,2,3,4} yang ditentukan

oleh F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)} dapat ditulis sebagai berikut :

F={(x,y)|y=x-1, x∈A dan y∈B}

Relasi juga dapat ditulis ke bentuk :

1. Diagram Panah

Contoh soal :

Tulis ke dalam bentuk digram

panah relasi

F={(1,0),(2,1),(3,2),(4,3)}

2. Grafik Kartesius

Contoh soal :

Tuliskan ke dalam bentuk

grafik kartesius relasi P={(4,-

2),(4,2),(1,-1),(1,1),(0,0)} !

1 2 3 4

01 2 3 4

2

1

0

-1

-2

1 2 3 4


Fungsi (Pemetaan)

Relasi dari himpunan x ke himpunan y disebut fungsi / pemetaan jika dan

hanya jika tiap anggota himpunan x berpasangan tepat di anggota himpunan y,

dengan notasi

f: x y atau f(x) = y

ket :

f(x) = rumus / aturan untuk fungsi

x = variabel bebas

y = varibel tak bebas

perhatikan diagram panah :

- Daerah asal (domain) fungsi = himpunan A dilambangkan Df

- Daerah kawan (kodomain) fungsi = himpunan B dilambangkan Kf

- Daerah hasil (range) fungsi = himpunan semua peta A di B dilambangkan

Rf

Contoh soal :

1. Tentukan domain alami untuk fungsi ;

f(x) =

jawab :

syarat domain alami x≠0

x2 – 4x+3 ≠ 0 x≠3 V x≠1

(x-3)(x-1) ≠ 0

Jadi, Df = {x|x∈R dan x≠1 V

x≠3}

f(x) = log(2-10x)

jawab :

2 – 10x> 0

10x < 2

X <

Jadi, Df = { x|x∈R dan x<

}

f(x) = √

4x – 2 ≥ 0

4x ≥ 2

X ≥

jadi, Df = { x|x∈R dan x≥

}

2. Tentukan domain, kodomain, dan range dari grafik berikut :

Df = {x|-2≤x≤4, x∈R}

Rf = {y|-2≤y≤3, y∈R}

Kf = { y|-2≤y≤4, y∈R }

Beberapa Fungsi Khusus

1. Fungsi Konstan

Setiap anggota dalam himpunan

A hanya berkaitan dengan 1 buah

anggota himpunan B.

f : x c, c = konstan dan x∈R

2. Fungsi Identitas

Fungsi yang memetakan setiap

anggota ke dirinya sendiri.

f : x x , x∈R

x

F(x=y) A B

4

3

2

1

0

-1

-2

-2 -1 1 2 3 4

-3 -2 -1 0 1

4

1 2 3

3

2

1

0

3. Fungsi Genap

f(-x) = +f(x)

Contoh soal :

f(x) = x2 – 4

f(-x) = +(-x)2 – 4= x – 4

-f(x) = - (x2 – 4) = - x2 + 4

4. Fungsi Ganjil

f(-x) = -f(x)

Contoh soal :

f(x) = 2x

f(-x) = +(-2x) = -2x

-f(x) = -2x

5. Fungsi Tangga

Fungsi nilai bulat terbesar.

f : x [x]

Contoh soal :

Gambarlah grafik dari

pertidaksamaan berikut :

-2 ≤ x < -1 [x] = -2

-1 ≤ x < 0 [x] = -1

0 ≤ x < 1 [x] = 0

1 ≤ x < 2 [x] = 1

2 ≤ x < 3 [x] = 2, dst.

6. Fungsi Modulus (Harga

Mutlak)

Fungsi yang memasangkan setiap

bilangan real dari daaerah asal ke

unsur harga mutlaknya.

{ ≥

f : x |x|

Contoh soal :

Jika diketahui f(x)=|3-2x|+5=10,

x∈R. Tentukanlah nilai p agar

f(p)=10!

Jawab :

f(p) = |3 – 2p|+5 = 10

-2p = 2

p = -1

f(p) = -|3 – 2p|+5 = 10

-3+2p+5 = 10

2p = 8

P = 4

Jadi, p=4 hasil selalu yg positif

7. Fungsi Surjektif

f : A B, disebut fungsi surjektif

(onto/kepada) jika dan hanya jika

daerah hasil f sama dengan

himpunan B.

himpunan B

terpakai

selurunya

f : A B, disebut fungsi into (ke

dalam) jika dan hanya jika hasil f

merupakan himpunan bagian dari

B.

himpunan B tidak

terpakai

seluruhnya

Contoh soal :

Ditentukan A={1,2,3,4,5} dan

B={a,b,c,d}. Tentukan relasi

berikut termasuk fungsi onto atau

into !

Jawab :

- {(1,a),(2,a),(3,b),(4,c),(5,d)}

fungsi onto, karena kodomain

terpakai seluruhnya

- {(1,a),(2,a),(3,a),(4,b),(5,c)}

fungsi into, karena tidak

seluruh kodomain terpakai

8. Fungsi Injektif (Fungsi Satu-

satu)

Setiap domain

yg berbeda

memiliki hasil

yg berbeda

pula.

-2 -1 1 2 3

2

1

0

-1

-2

1 2 3 4

pqr

A B

1 2 3 4

pqr

A B

1 2 3 4

pqrs t

A B


f : A B , jika dan hanya jika x1,

x2 ∈A dan x1≠x2 berlaku

f(x1)≠f(x2)

9. Fungsi Bijektif

Gabungan fungsi surjektif dan

injektif atau korespondensi satu-

satu. Jadi, seluruh kodomain terpakai

dan masing-masing domain dipasangkan

tepat satu anggota pada kodomain.

Fungsi Linear

persamaan garis lurus

Bentuk umum :

f : x ax+b

f(x) ax+b

y ax+b

f : x mx+c

f(x) mx+c

y mx+c

1. Persamaan garis lurus melalui 2 titik

PGL melalui titik A(x1,y1) dan B(x2,y2)

Contoh soal :

Buatlah persamaan garis lurus melalui titik P(2,2) dan Q(6,8)!

Jawab :

=

=

=

4y – 8 = 6x – 12

6x – 4y – 4 =0

3x – 2y – 2 = 0

PGL melalui titik potong sumbu x(a,0) dan sumbu y(0,b)

bx+ay=a∙b

Contoh soal :

Buatlah persamaan garis lurus melalui titik x(-5,0) dan y(0,2) !

Jawab :

bx+ay = a∙b

2x+(-5)y = -5 ∙ 2

2x-5y = -10

2x – 5y+10 = 0

1 2 3 4

pqrs

A B

α

l y

x 0

a b


2. Persamaan garis lurus melalui sebuah titik dan gradien m

gradien jika diketahui 2 titik

m =

gradien pada bentuk persamaan

ax+by+c=0

m = -

gradien pada garis // (sejajar)

m1 = m2

gradien pada garis ┴ (tegak lurus)

m2 = -

PGL melalui titik (a,b) dan gradien m

y – b = m(x – a)

Contoh soal :

- Tentukan persamaan garis lurus melalui P(4,-3) // 2x – 3y=6 !

2x – 3y=6 a=2 dan b=-3

m = -

= -

=


y – b = m(x – a) (4,-3)

y – (-3) =

(x – 4)

y+3 =

x -

3y+9 = 2x – 8

2x – 3y – 17 = 0

- Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik potong antara garis

2x+y=4 dan garis x – 3y=9 yang tegak lurus x – 2y=4 !

Jawab :

misal k = 2x+y=4

l = x – 3y=9

m= x – 2y=4 menentukan titik potong k dan l

2x+y =4 x1 2x+y =4

x – 3y =9 x2 2x-6y =18 –

7y = -14

y = -2 substitusi nilai y

2x+y =4

2x – 2 =4

2x = 6

x =3

titik potongnya (a,b) = (3,-2)

gradien dari m= x – 2y=4

m1 = -

= -

=

m2 = -

=-

= -2


y – b = m(x – a) (3,-2)

y – (-2) =-2 (x – 3)

y+2 = -2x+6

2x+y-4 =0

PGL melalui (0,0) dan gradien m

y = mx


PGL melalui (0,c) dan gradien m

y = mx+c

cat :

Jika m=0 maka grafik sejajar

sumbu x

Jika m>0 maka grafik condong

ke kanan

Jika m<0 maka grafik condong

ke kiri

Jika m=∞ maka grafik sejajar

sumbu y

3. Invers Fungsi Linear

Invers fungsi merupakan relasi dari himpunan

B ke A yg diperoleh dengan menukarkan tiap

pasangan terurut (a,b)∈f menjadi (b,a)

dengan notasi f-1 :

f-1 : B A diperoleh f-1(y) = x

Contoh soal :

Carilah rumus fungsi invers f jika diketahui f(x) =

!

Jawab :

misal f(x) =y

f(x) = y

= y

3x+5 = 2xy – 4y

4y +5 = x(2y – 3)

x =

jadi, f-1 adalah

Fungsi Kuadrat

f : x ax2+bx+c

f(x) = ax2+bx+c

y = ax2+bx+c

Diskriminan (D) = b2 – 4ac

Langkah-langkah membuat fungsi kuadrat :

1. Titik potong dengan sumbu x y=0

2. Titik potong dengan sumbu y x=0

3. Sumbu simetri : x = -

4. Nilai ekstrim : y = -

atau y = f (

)

y

x

y

x

y

x

y

x

A

x=f(y) y=f(x)

B

f-1

f

O

y

x1 x2

y=f(x)

sumbu simetri

x


5. Titik puncak atau balik P(x,y) P(-

, -

) P(-

, f (

))

6. Titik lain jika diperlukan.

Contoh soal :

Tentukan titik pembuat nol dan titik puncak dari fungsi f(x) = 2x2 – 6x+4, x∈R

dengan domain {x|-3≤x≤3, x∈R} !

Jawab :

Dari bentuk ax2+bx+c a=2, b=-6, dan c=4

menentukan pembuat nol dengan f(x) = y = 0 2x2 – 6x+4 = 0 2x-4 = 0 V x-1 = 0

(2x-4)(x-1) = 0 2x = 4 V x = 1

x = 2 jadi, titik pembuat nol (2,0) dan (1,0)

sumbu simetri : x = -

-

=

= 1

nilai ekstrim y=f(x) dengan x=

y = 2x2 – 6x+4

f(x) = 2x2 – 6x+4

f(

) = 2(

)2 – 6(

)+4

= 2(

) - 9 + 4

=

=-

=-

Titik puncak (x,y) = (1

, -

)

Definit pada pada parabola :

Contoh soal :

Jika diketahui persamaan kuadrat y = px2+(p – 2)x+p adalah definit positif, maka

tentukan interval p !

Jawab :

Dari bentuk ax2+bx+c a=p, b=(p-2), dan c=p

D>0

a>0

D=0

a>0

D<0

a>0

D>0

a<0 D=0

a<0

D<0

a<0


D < 0

b2 – 4ac < 0

(p-2)2 – 4∙p∙p < 0

p2-4p+4-4p2 < 0

-3p2-4p+4 < 0

(-3p+2)(p+2) < 0

-3p+2 = 0 V p+2 =0

-3p = 2 p = -2

p = -

jadi, intervalnya -2<p<-

Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak (xp,yp)

y = a(x – xp)2+yp

Contoh soal :

Tentukan persamaan kuadrat yang memiliki titik puncak (2,-1) dan melalui titik

A(0,3) !

Jawab :

(xp,yp) (2,-1) xp=2 dan yp=-1

y = a(x – xp)2+yp

y = a(x – 2)2 – 1

y = a(x2 – 4x+4) – 1

masukkan nilai titik

3 = a(02 – 4∙0 +4) – 1 (0,3)

3 = 4a - 1

4a = 4

a = 1

substitusi nilai a

y = 1(x2 – 4x+4) – 1

= x2 – 4x+4 – 1

= x2 – 4x+3

Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui titik puncak sumbu x(y=0)

yaitu (x1,0) dan (x2,0)

y = a(x – x1)(x – x2)

Contoh soal :

Tentukan persamaan kuadrat yang melalui titik A(-2,0), B(4,0), dan C(0,-8) !

(-2,0) x1=-2 dan (4,0) x2=-2

y = a(x – x1)(x – x2)

y = a(x+2)(x – 4)

masukkan nilai titik

-8 = a(0+2)(0-4) (0,-8)

-8 = -8a

a = 1

substitusi nilai a

y = a(x+2)(x – 4)

= 1(x2 – 4x+2x – 8)

= x2 –2x – 8

Persamaan fungsi kuadrat jika diketahui bentuk y= ax2+bx+c

Penyebab ekstrim x = -

Nilai ekstrim : y = - –

Contoh soal :

Tinggi (s) dari sebuah bola yang dilempar vertikal ke atas setelah t(s) diberikan

persamaan gerak s = 19,6t – 4,9t2. Tentukan ketinggian maksimumnya !

Jawab :

Parabola vertikal, berarti a<0


Dari s = 19,6t – 4,9t2 a=-4,9 dan b=19,6

menentukan penyebab maksimum

t = -

= -

= 2

substitusi t ke fungsi

s = 19,6t – 4,9t2

= 19,6(2) – 4,9(2)2

= 39,2 – 19,6

= 19,6

jadi, ketinggian maksimumnya adalah 19,6 meter

Fungsi Eksponen

fungsi yang memetakan x terhadap a

f(x) = ax a≠0, a>1 , a∈R

dengan, 0<a<1 monoton turun

a>1 monoton naik

Contoh soal :

Gambarlah dalam satu grafik fungsi f(x) = 2x dan g(x) =

x !

tabel koordinat f(x)

x f(x) = 2x

-1

0 1

1 2

2 4

tabel koordinat g(x)

x f(x) =

x

-1 2

0 1

1

2

sumbu x sebagai asimtot (garis yang

didekati kurva tetapi tidak pernah

memotong)

Penerapan fungsi eksponen :

Peluruhan y = f(x) = k ∙ a-x

Pertumbuhan y = f(x) = k ∙ ax

Contoh soal :

Di laboratorium terdapat 25 bakteri. Setelah 2 jam jumlahnya bertambah

menjadi 100 bakteri. Jika bakteri tersebut terus bertambah secara eksponensial

yang dirumuskan B(x) = kax, berapakah jumlah bakteri setelah 4 jam ?

Jawab :

pertambahan B(x) = kax

jumlah mula-mula = 25 menentukan nilai k

B(0) = 25

ka0 = 25

k∙1 = 25

k = 25

menentukan nilai a

B(x) = kax setelah 2 jam

B(2) = 25 ∙ a2 = 100

a2 = 4

a = 2

4

3

2

1

0 -1 1 2

y

x


rumus fungsi pada t jam

B(x) = kax

B(t) = 25∙2t

jumlah bakteri setelah 4 jam

B(4) = 25∙24

= 25∙16

= 400

jadi, jumlah bakteri setelah 4 jam adalah 400 bakteri

Fungsi Logaritma

merupakan invers dari fungsi eksponen

f(x) = alog x

ket :

1. 1/a log x = dicerminkan terhadap sumbu x

2. alog (x+b) = bergeser ke kanan

3. alog (x-b) = bergeser ke kiri

4. (alog x) + b = bergeser ke atas

5. (alog x) – b = bergeser kebawah

6. - alog x = dicerminkan terhadap sumbu y

Contoh soal :

Gambarlah grafik fungsi logaritma dari f(x) = 4 log x pada intrval 1≤x≤16 !

Jawab :

X 1 4 16

f(x) = 4 log x 0 1 2

Penerapan Fungsi Logaritma

Contoh soal :

Dalam waktu penelitian intensitas I dari sumber sinar semakin berkurang

menjadi I setelah melalui jarak d meter dalam kabut dapat dapat ditentukan

oleh rumus I=Io e0,14d. Pada jarak berapakah intensitas tersebut berkurang

menjadi 0,01 dari intensitas semula ?

jawab :

I = Io ∙ e-0,14d

Io ∙ 0,01 = Io ∙ e-0,14d

log 0,01 = log e-0,14d

log 10-2 = log e-0,14d

-2 = -0,14d ∙ log e e=2,71283...

-2 = -0,14d ∙ log 2,71283

-2 = -0,14d ∙ 0,43 daftar 1

-2 = -0,0602d

d = 33,2 meter

jadi, agar berkurang menjadi 0,01 jarak intensitas adalah 33,2 meter

2

1

0 4 8 12 16

f(x)

x


Fungsi Trigonometri

1. Fungsi Sinus

Bentuk umum

f(x) = a sin bx

f(x) = a sin bx + k

nilai maksimum = y = a+k

nilai minimum = y = -a+k

amplitudo = a

periode = |

| = |

|

fungsi baku adalah berbentuk f(x) = sinx dengan interval -1 ≤ sin x≤ 1

gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o

Contoh soal :

Tentukan nilai maksimum, minimum, periode, dan amplitudo fungsi

trigonometri sin 2x + 5 !

jawab :

a=1, b=2, k=5

nilai maksimum = a+k = 1+5 = 6

nilai minimum = -a+k = -1+5 = 4

periode =

=

= 180o

amplitudo = 1

Translasi Fungsi Sinus

untuk f(x) = a sin bx+k

bergeser k satuan ke atas

bergeser

satuan ke kiri

untuk f(x) = a sin bx – k

bergeser k satuan ke bawah

bergeser

satuan ke kanan

Contoh soal :

Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=sin2x – 1 ditranslasikan sejauh

π ke kiri !

jawab :

f(x) = sin2x – 1

= sin 2(x+

) – 1 positif karena ke kiri

= sin (2x + π) – 1


2. Fungsi Cosinus

Bentuk umum

f(x) = a cos bx

f(x) = a cos bx + k

nilai maksimum = y = a+k

nilai minimum = y = -a+k

amplitudo = a

periode = |

| = |

|

fungsi baku adalah berbentuk f(x) = cosx dengan interval -1 ≤ cos x≤ 1

gambar grafik baku f(x) = cosx untuk 0o ≤ x ≤ 360o

Contoh soal :


trigonometri f(x)=cos x – 4 !

jawab :

a=1, b=1, k=-4

nilai maksimum = a+k = 1-4 = -3

nilai minimum = -a+k = -1-4 = -5

periode =

=

= 360o

amplitudo = 1

Translasi Fungsi Cosinus

untuk f(x) = a cos bx+k


bergeser

satuan ke kiri

untuk f(x) = a cos bx – k


bergeser

satuan ke kanan

Contoh soal :

Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=3 cos

x – 2 ditranslasikan

sejauh 1 satuan ke bawah !

jawab :

f(x) = 3 cos

x – 2

= 3 cos

x – 2 – 1 minus karena ke bawah

= 3 cos

x –3


3. Fungsi Tangen

Bentuk umum

f(x) = a tan bx

f(x) = a tan bx + k

periode = |

| = |

|

fungsi baku adalah berbentuk f(x) = tanx dengan interval -~ < x < ~

tan tdk memiliki nilai maksimum dan minimum, karena intervalnya -~ < x < ~

gambar grafik baku f(x) = sinx untuk 0o ≤ x ≤ 360o

Contoh soal :


trigonometri f(x)=3 tan x – 4 !

jawab :

a=3, b=1, k=-4

nilai maksimum dan minimum = ~

periode =

=

= 180o

amplitudo = ~

Translasi Fungsi Tangen

untuk f(x) = a tan bx+k


bergeser

satuan ke kiri

untuk f(x) = a tann bx – k


bergeser

satuan ke kanan

Contoh soal :

Tentukan persamaan grafik jika diketahui f(x)=

tan(x –

) ditranslasikan

sejauh π ke kiri !

jawab :

f(x) =

tan(x –

)

=

tan(x –

+π)

=

tan(x +

)


MATERI 11

PELUANG

Kaidah Pencacahan

1. Kaidah Penjumlahan

adalah menjumlahkan banyaknya kemungkinan (cara) yang dapat dilakukan.

Banyak cara yang dapat dilakukan adalah

n1+ n2+ n3+...+nk

Contoh soal :

Pejalan kaki menuju ke suatu tempat. Dihadapannya ada 2 jalan beraspal, 1 jalan

berbatu, dan 2 jembatan gantung. Berapa banyak jalurkah yang dapat dipilih

pejalan tersebut?

Jawab:

2 (jalan beraspal) + 1 (jalan berbatu) + 2 (jembatan gantung) = 5 jalur

2. Kaidah Perkalian

Aturan pengisian tempat yang tersedia. Secara umum, pengisian tempat yang

tersedia adalah

k1 xk2xk3x...xkn

Dengan : k1 : banyak cara mengisi tempat pertama

k2 : banyak cara mengisi tempat kedua

kn : banyak cara mengisi tempat ke-n

contoh soal :

Berapa banyak susunan yang dapat dibentuk dari huruf P,E,L,A,N,G,I jika:

a. Huruf pertama vokal

Banyaknya huruf vokal : 3

3 6 5 4 3 2 1

3x6x5x4x3x2x1 = 2160 cara

b. Huruf pertama konsonan

Banyaknya huruf konsonan : 4

4 6 5 4 3 2 1

4x6x5x4x3x2x1 = 2880 cara

Dari angka 0,1,2,3,4,5 akan disusun bilangan yang terdiri dari 4 angka. Berapa

bilangan yang dapat disusun jika:

a. Angka boleh berulang

5 6 6 3

5x6x6x3 = 540 susunan bilangan

b. Angka tidak berulang

5 4 3 3


c. Angka nol sebagai satuan

5 4 3 1

tempat pertama diisi 3 huruf vokal

tempat kedua diisi 6 huruf yang tersisa

Jumlah kolom ada 7 sesuai dengan jumlah total huruf soal

selanjutnya diisi 5 huruf yang tersisa, dst.

Jumlah kolom ada 4 sesuai dengan soal

tempat pertama diisi 5 angka, karena 0 tidak dapat menduduki nilai tempat puluhan,

ratusan, ribuan, dst.

Jumlah seluruh bilangan

Jumlah bilangan yang tersisa

Jumlah bilangan 0 cuma 1



d. Angka nol tidak sebagai satuan

4 4 3 2


3. Faktorial

Untuk tiap n bilangan asli didefinisikan :

n! = nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x ... x3x2x1 atau

n! = 1x2x3x ... x(n-3)x(n-2)x(n-1)xn

n! dibaca n faktorial

contoh soal :

a.

=

= 9∙7 = 63

b.

=

= n(n-1) = n2-n

Nyatakan dalam notasi faktorial!

c.

=

d. (n+2)(n+1)n(n-1) =

e. Tentukan harga n yang memenuhi persamaan :

4!(n+2)! = 3!(n+3)!

4∙3!(n+2)! = 3!(n+3)(n+2)!

4 = n+3

n = 1

Permutasi

Adalah penyusunan unsur-unsur dengan memperhatikan urutannya.

1. Permutasi dari unsur-unsur yang berbeda

Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia adalah

nPr =

dimana r≤n

dan banyaknya permutasi n unsur adalah

nPn = n!

Contoh soal :

Tersedia 3 huruf yang disusun 2 huruf, maka permutasi 2 unsur dari 3 unsur

adalah...

3P2 =

=

=6

5P5 = 5! = 5x4x3x2x1 = 120

2. Permutasi yang memuat unsur-unsur yang sama

Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama,

dst. Ditentukan

=

Contoh soal :

1. Berapa huruf yang dapat dibentuk dari huruf T,E,R,C,E,C,E,R ?

n (jumlah semua huruf) =8, T=1, E=3, R=2, C=2

=

=

= 8x7x6x5 = 1680

2. Ada 6 bendera berwarna, keenam bendera itu akan disusun secara

berdampingan. Berapa banyaknya urutan warna yang dapat terbentuk, jika

6 bendera itu terdiri dari 3 berwarna hijau, 2 berwarna merah dan 1

berwarna biru.


=

=

= 60

3. Permutasi siklis

Banyaknya permutasi siklis (berputar) dari n unsur adalah

P(s) = (n-1)!

Contoh soal :

Dalam suatu pertemuan yang diahdiri 3 orang Cina, 2 orang Arab, dan 4 orang

Belanda. n=1 , A(Arab)=2, B(Belanda)=4, C(Cina)=3

Tentukan :

1. Apabila duduk mengelilingi meja bundar, berapa cara untuk

menempati tempat duduk tersebut?

P(s) = (9-1)! = 8! = 40.320 cara

2. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Belanda harus selalu

berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut?

P(s) = 4P4 ∙ (6-1)!

= 4! ∙ 5!

= 24 ∙ 120

= 2880 susunan

3. Apabila duduk mengelilingi meja bundar dan orang Cina harus selalu

berdampingan, berapa cara untuk menempati tempat duduk tersebut?

P(s) = 3P3 ∙ (7-1)!

= 3! ∙ 5!

= 6 ∙ 720

= 4320 susunan

Kombinasi

Adalah pemilihan satu atau lebih elemen-elemen dari suatu himpunan yang

diberikan tanpa memperhatikan urutannya. Banyaknya kombinasi r unsur yang

diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan

nCr =

dimana r≤n

Contoh soal :

1. Dalam pelatnas bulu tangkis terdapat 10 orang pemain putra dan 8 pemain

putri. Berapa banyak pasangan ganda yang dapat dipilih untuk :

- Ganda putra

10C2 =

=

= 45

- Ganda putri

8C2 =

=

= 28

- Ganda campuran

10C1 ∙ 8C1 =

∙

=

∙

=

∙

= 80

2. n+1C4 = nC3

=

B

B

B

B

A

A

C C

C

Dianggap 1 unsur Permutasi

Belanda

Permutasi

Cina


=

= 1

n+1 = 4

n = 3

Peluang

- Peluang Suatu Kejadian

Titik sampel : hasil dari melakukan percobaan n(A)

Ruang sampel : semua kejadian yang mungkin terjadi dalam percobaan n(S)

Jika A adalah suatu kejadian dengan A ⊂ S, maka peluang kejadian A adalah

P(A) =

Peluang terbatas pada kisaran 0≤P(A)≤1 dan

Jika P(A) = 1 kepastian

Jika P(A) = 0 mustahil

Contoh soal :

Dua dadu (hijau dan ungu) dilempar secara bersama sebanyak satu kali.

Berapa prosen peluang keluarnya mata dadu yang sama dengan 7?

Jawab :

1 2 3 4 5 6

1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

2 (1,2) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

3 (1,3) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

4 (1,4) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

5 (1,5) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

6 (1,6) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

n(S) = (1,1)(1,2)...(6,6) = 36

n(A) = (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6

P(A) =

=

=

x 100% = 67%

jadi, peluang munculnya dadu sama dengan 67%

Sebuah kotak berisi 4 kuning dan 5 biru. Tentukan peluang terambil 2 biru dan

1 kuning jika diambil 3!

A = kejadian terambil 2 biru dan 1 kuning

n(S) = 9C3

=

=

=

= 84

n(A) = 5C2 ∙ 4C1

=

∙

=

∙

= 10 ∙ 4 = 40

P(A) =

=

=

- Frekuensi Harapan Suatu Kejadian

Misal suatu percobaan dilakukan sebanyak N kali dengan peluang kejadian A

adalah P(A), maka frekuensi harapan kejadian A adalah

Fh(A) = N∙P(A)

Contoh soal :


Tiga keping mata uang logam dilempar bersama sebanyak 32 kali. Tentukan

frekuensi harapan munculnya :

1. 3 gambar

P(3 gambar) =

Fh(3 gambar) = 32 ∙

= 4

2. 2 angka 1 gambar

P(2 angka 1 gambar) =

Fh(2 angka 1 gambar) = 32 ∙

= 12

- Peluang Komplemen Suatu Kejadian

Contoh soal :

Dua buah dadu dilempar bersama, tentukan peluang munculnya jumlah mata

dadu yang bukan 7!

A = kejadian jumlah kedua dadu bukan 7

Ac = kejadian jumlah kedua dadu 7

P(Ac) =

P(A) = 1 - P(Ac)

= 1 -

=

- Peluang Gabungan Dua Kejadian

Jika A dan B adalah dua kejadian sembarang, maka peluangnya :

P(A∪B) = P(A)+P(b)-P(A∩B)

Contoh soal :

Dua buah dadu (putih dan merah) dilempar bersama. Berapa peluang

munculnya mata dadu putih ≤ 3 dan mata dadu merah ≤ 2?

Jawab :

A = {(1,1),(1,2),...,(3,6)} dadu putih

n(A) = 18

P(A) =

B = {(1,1),(1,2),...,(6,2)} dadu merah

n(B) = 12

P(B) =

A∩B = {(1,2),(1,2),(2,1),(3,1),(3,2)}

n(A∩B) = 6

P(A∩B) =

P(A∪B) = P(A)+P(b)-P(A∩B)

=

+

-

=

=

- Peluang Gabungan Dua Kejadian Yang Saling Lepas

Jika A dan B adalah 2 kejadian yang saling lepas, maka peluang kejadian :

P(A∪B) = P(A)+P(B)

BAGAN 3 KEPING UANG LOGAM

A

A A

G

G A

G

G

A A

G

G A

G

AAA

AAG

AGA

AGG GAA

GAG

GGA

GGG

A

Ac

S Ac adalaha kejadian yang terjadi jika dan hanya jika A

tidak terjadi, maka

P(A)+P(Ac)=P(s)

P(A)+P(Ac)= 1

P(Ac) = 1-P(A)


Contoh soal :

Sebuah dadu memiliki 6 mata dilempar sekali. Berapa peluang munculnya

mata dadu ≤ 2 atau ≥ 5 ?

n(S) = 6

A = {1,2} ≤ 2

n(A) = 2

P(A) =

B = {5,6} ≥ 5

n(B) = 2

P(B) =

P(A∪B) = P(A)+P(B)

=

+

=

=

- Peluang Dua Kejadian Yang Saling Bebas

Kejadian A dan B disebut saling bebas jika dan hanya jika

P(A∩B) = P(A)∙P(B)

Contoh soal :

Jika dua buah dadu (merah dan putih) dilempar, maka tentukanlah peluang

munculnya mata dadu merah ≤ 2 dan dadu putih >3!

n(S) = 6 dadu merah

A = {1,2} dadu merah ≤ 2

n(A) = 2

P(A) =

n(S) = 6 dadu putih

B = {4,5,6} dadu putih > 3

n(B) = 3

P(B) =

P(A∩B) = P(A)∙P(B)

=

∙

=

- Peluang Dua Kejadian Yang Bersyarat

Kejadian A dan B disebut bersyarat jika kejadian B dapat terjadi setelah

kejadian A terjadi.

P(

) = P(A)∙P(B)

Contoh soal :

Dalam sebuah kantong berisi 6 butir kelereng merah dan 4 butir kelereng

putih. Diambil 2 kelereng dengan cara mengambil 1 per 1 tanpa pengembalian.

Tentukanlah peluang terambilnya kelereng pertama merah dan kedua putih!

n(S) = 10 jumlah seluruh kelereng

A = kelereng merah

n(A) = 6

P(A) =

n(S) = 9 jumlah seluruh kelereng -1 setelah pengambilan pertama

B = kelerang putih

n(B) = 4

P(B) =

P(

) = P(A)∙P(B)

=

∙

=


MATERI 12

DIMENSI 3 (BANGUN RUANG)

Unsur-Unsur Bangun Ruang

1. Sisi = bidang batas dari bangun ruang, ada 3 jenis sisi : alas, atas, dan tegak.

2. Rusuk = perpotongan garis dari 2 sisi.

3. Titik sudut = titik perpotongan beberapa rusuk / perpotongan 3 sisi.

4. Diagonal Sisi/Bidang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang

berhadapan pada sisi.

5. Diagonal Ruang = ruas garis yang menghubungkan 2 titik sudut yang

berhadapan pada bangun ruang.

6. Bidang Diagonal = bidang yang dibentuk oleh 2 diagonal sisi / 2 diagonal

ruang / 2 sisi yang berhadapan pada bangun ruang.

Rumus Umum Luas dan Volume Bangun Ruang

1. Kubus

Rusuk yg sejajar

AB//CD//GF//GH

AE//BF//CG//DH

AD//BC//FG//EH

Bidang yg sejajar

ABCD // EFGH ; ABFE // CDHG ; BCFG // ADHE

Garis Frontal (garis pada bangun

yg dilukis dengan ukuran yg

sebenarnya)

Horisontal = AB, CD, EF, GH

Vertikal = AE, DH, BF, CG

Garis Ortogonal (garis yg dilkis

tidak dengan ukuran sebenarnya,

tapi menggunak perbandingan

proyeksi)

AD , BC , EH , FG

Bidang Frontal

ABFE , CDHG

s = sisi kubus

Bidang ortogonal

ABCD , EFGH , ADHE , BCGF

Diagonal Sisi

AC, BD, AF, BE, BG, CF, CH, DG, AH,

DE, EG, FH

Ds = s√

Diagonal Ruang

AG, BH, CE, DE

Dr = s√

Bidang Diagonal

ABGH, BCHE, CDFH, ADFG, DBFH,

ACGE

L bd. diagonal = s2√

L tertutup = 6 ∙ s2

Volume = s3

s

s s


2. Balok

Diagonal Sisi

ac = √

bg = √

be = √

Diagonal Ruang

bh = √

Luas Bidang Diagonal

abgh = p ∙ √

bche = l ∙ √

acge = t ∙ √

p = panjang

l = lebar

t = tinggi

L tertutup = 2 (pl+pt+tl)

Volume = p ∙ l ∙ t

3. Prisma

jika L alas ∆ :

1. L ∆ =

2. L ∆ =

∙ a ∙ b ∙ sin C

=

∙ a ∙ c ∙ sin B

=

∙ b∙ c ∙ sin A

3. L ∆ = √

4. L ∆ = 2R2 ∙ sin A ∙ sinB ∙ sinC

ket.

a = alas ∆

t = tinggi ∆

s =

∙ kell ∆

L selimut = kell alas ∙ t prisma

L tertutup = 2 (L alas) + L selimut

Volume = L alas ∙ t prisma

4. Tabung

L O = π ∙ r2

L selimut = kell O ∙ t

= 2 ∙ π r ∙ t

r = jari-jari tabung dan t = tinggi tabung

L tertutup = 2 L O + L selimut

= 2 (π ∙ r2) + (2 ∙ π r ∙ t)

Volume = L O ∙ t

= π ∙ r2 ∙ t

p

l

t

t


5. Kerucut

L selimut = π ∙ r ∙ a

a = apotema

= √

L tertutup = L O + L selimut

= (π ∙ r2 )+ (π ∙ r ∙ a)

Volume =

∙ L O ∙ t

=

∙ π ∙ r2 ∙ t

Kerucut terpancung

L selimut = π ∙ a (r1+r2)

a = √

L alas = D = π ∙ r22

L tutup = A = π ∙ r12

r1 = jari-jari O atas

r2 = jari-jari O bawah

L tertutup = L alas + L tutup + L selimut

Volume =

∙ π ∙ t ∙ (r1

2 + r2 2 + r1 r2)

6. Limas

L alas = jika = p ∙ l

= jika = s2

= jika ∆ =

L selimut = jml L sisi tegak

L tertutup = L alas + L jml sisi tegak

Volume =

∙ L alas ∙ t prisma

Limas terpancung

L dasar = D

L atas = A

L selimut = jml L sisi tegak

L tertutup = D + A + L selimut

Volume =

∙ t (D+A+√ )

7. Bola

r = jari-jari bola

L bola pejal/padat = 4 π r2

Volume =

π r2

a

r2

r1

a t

A

D


8. Euler

adalah sebuah rumus yg menyatakan relasi antara banyaknya :

S = sisi

T = titik sudut

R = rusuk

S+T = R+2

Contoh soal :

1. Perbandingan panjang rusuk ABCD.EFGH dengan kubus KLMN.PQRS adalah

1:3, jumlah luas permukaan kedua kubus adalah 240 cm2 . Hitunglah

perbandingan panjang diagonal ruang dan perbandingan volumenya!

jawab :

=

s2 = 3s1

L1 + L2 = 6 ∙ s12 + 6 ∙ s2

2

240 = 6 ∙ s12 + 6 ∙ (3s1)

2

240 = 6s12 + 54s1

2

240 = 60s12

s12 = 4

s1 = √

= 2 cm

s2 = 3s1

= 3∙2cm

= 6cm

diagonal ruang1 = s1√

= 2√ cm

diagonal ruang2 = s2√

= 6√ cm

d1 : d2 = 2√ : 6√

= 1 : 3

v1 = s13 = 23 = 8 cm3

v2 = s23 = 63 = 216 cm3

v1 : v2 = 8 : 216

= 1 : 27

2. Luas bidang diagonal sebuah balok yg memuat 2 buah rusuk tegak = √ cm3,

jika panjang balok 5cm dan tingginya 3 cm, tentukan lebar, luas, dan volume

balok !

jawab :

L bidang = t √

(√ )2 = (3 √ )2

369 = 9 (52 + l2) :9

25 + l2 =41

l2 = 16

l = √

= 4 cm

Luas balok = 2 (pl+pt+tl)

= 2 (5∙4 + 5∙3 + 3∙4)

= 2 (20+15+12)

= 2 ∙ 47

= 94 cm2

volume balok = p ∙ l ∙ t

= 5 ∙ 4 ∙ 3

= 60 cm3

3. Prisma segi-6 beraturan seperti gambar dengan rusuk alas 3 m dan rusuk

tegak 4 m. Tentukan :

a. Panjang diagonal sisi alas yg melalui pusat alas

t

l p


b. Panjang diagonal sisi tegak

c. Luas prisma tsb

d. volume prisma tsb

jawab :

a. diagonal alas = 3m+ 3m=6m

b. diagonal sisi tegak = √

= √

= √

= 5m

L AOB =

∙ AO ∙ BO sin 60°

=

∙ 3 ∙ 3 ∙

√

=

√

L alas = 6 ∙ L AOB

= 6 ∙

√

=

√

L selimut = kell alas ∙ t

= 6 ∙ 3 ∙ 4

= 72

c. L prisma = 2 L alas + L selimut

= 2 ∙

√ + 72

= (27√ +72)cm2

d. volume = L alas ∙ t

=

√ ∙ 4

= 54√ cm3

4. Bidang 4 siku-siku dititik sudut B. Jika AB=BC=6 dan TA=8. Tentukan :

a. Gambar bidang 4

b. Luas bidang 4

jawab :

L ∆ABC =

∙ AB ∙ BC

=

∙ 6 ∙ 6

= 18 cm2

TB = √

= √

= √

= √

= 2√

L ∆TAB =

∙ AB ∙ TB

=

∙ 6 ∙ 2√

= 6√ cm2

AC = √

= √

= 6√

AE = EC = 3√

4

3

O F

E D

C

B A

T

C

A

B 6

8

E


TE = √

= √ √

= √

= √

L ∆TAC =

∙ AC ∙ TE

=

∙ 6√ ∙ √

= 3 ∙ √ ∙ √ ∙ √

= 6√ cm2

L limas = L ∆ABC + L ∆TAC + 2 ∙ L ∆TAB

= 18 cm2 + 6√ cm2 + 2 ∙ 6√ cm2

= (12√ +6√ +18) cm2

Hubungan Titik, Garis, dan Bidang

1. Jarak titik ke titik

panjang garis lurus terpendek

contoh (perhatikan kubus) :

Jarak titik A ke B = a

Jarak titik C ke F = a√

Jarak titik D ke F = a√

Jarak titik H ke O =

√

Jarak titik O ke L = a

Jarak titik dari H ke L =

HL2 = OL2 + OH2

HL = √

√

= √

= √

= √

= a√

= a√

√ x

√

√

= √

=

a √

2. Jarak titik ke garis

dari titik tegak lurus ke garis


Jarak titik A ke BC = AB = a

Jarak titik C ke BD = CL =

a√

Jarak titik B ke HF = BF = a

P

O

K

L A

E

D C

B

G

F

H


3. Jarak titik ke bidang

dari titik tegak lurus ke bidang


Jarak titik D ke EFGH = DH =

a

Jarak pertengahan CG (p) ke

BDHF = KP =

a√

Jarak K ke ADHE =

a

4. Jarak antara 2 garis

Garis k ┴ g dan k ┴ l, garis k

memotong g di A dan memotong l

di B maka jarak antara garis g

dan l adalah panjang AB


Jarak AB ke FH = BF = a

Jarak DH ke BF = BD = FH =

a√

5. Jarak garis ke bidang

Garis l ┴ k dan memotong di P,

garis l ┴ bidang U , dan

memotong di Q maka jarak garis

k ke bidang U adalah panjang PQ


Jarak AB ke EFGH = AE = BF

= a

Jarak EG ke ABCD = AE = CG

= OL = a

Contoh soal :

Diketahui bidang 4 beraturan dengan rusuk 4 satuan, tentukan tinggi bidang 4 tsb !

jawab :

CD2 = BC2 – BD2

CD2 = a2 – (

a) 2

CD = √

= √

= √

TE2 = CD2 – DT2

TE2 = CD2 –

CD2

TE2 = (√

)2 – (

√

)2

TE2 =

a2 -

∙

a2

TE2 =

a2 -

a2

TE2 =

a2

TE = √

=

a

k

A

B l

g

k

p

u

l

T

B

A

C

a

E

a a D


Sudut-Sudut Dalam Ruang

1. Sudut antara 2 garis

ambil sudut terkecil

∠ (k,l) = ∠ (k’,l)


a. ∠ (AB, CG) = ∠(AB,BF)

= ∠(AB,AE)

= 90o

b. ∠ (AC,DH) = ∠(AC,AE)

= ∠(AC,CG)

= 90o

c. tan ∠ (AG,AC) =

=

√

=

√

=

√

d. ∠ (BG,EG) = 60o (∆BEG sama sisi)

e. cos ∠ (BO,FH) = cos ∠ BOF

=

=

√

√

= √

√ √

=

√

2. Sudut antara garis dan bidang

∠ (k, bidang V) = sudut antara k dengan proyeksi ke bidang V

contoh (perhatikan kubus):

a. ∠ (AH, ABCD) = ∠ (AH,AD)

= 45o

b. sin ∠ (DF,EFGH) = ∠ (DF,FH)

=

=

√

=

√

3. Sudut antara 2 bidang

bidang U dan V berpotongan dengan garis potongnya (U,V) garis k ┴ (U,V)

pada bidang U dan garis l ┴ (U,V) pada bidang V, maka ∠ (U,V) = ∠ (k,l)


a. ∠ (ADHE,EFGH) = ∠ (AE,EF)

= 90o

b. ∠ (BAH,ABCD) = ∠ (AH,AD)

= 45o

l

k’ k

OB2 = BF2 + OF2

OB2 = a2 + (

√ )2

OB2 = a2 +

a2

OB = √

= a√

√ x

√

√

=

a√

V

Q

k’

k

k

l

U (U,V)

V

A

E

D C

B

G

F

H

A

E

D C

B

G

F

H O

A

E

D C

B

G

F

H


Contoh soal :

Tentukan besar sudut-sudut berikut dari kubus dibawah ini !

a. ∠ (BE,GE) = 60 °

b. ∠ (ED,DC) = 90 °

c. ∠ (AH,HC) = 60 °

d. ∠ (HF,EA) = 90 °

e. cos P =

=

√

√

= 1

f. sin Q =

=

√ =

√

g. tan ∠ DHB =

=

√

= √

h. tan ∠ ECA =

=

√ =

√

i. sin ∠ DHB =

=

√

√ =

√

√ x

√

√ =

√

j. sin ∠ (HF,CD) =

=

√ =

√

A

E

D C

B

G

F

H

P


MATERI 13

VEKTOR

Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Seperti : kecepatan, gaya,

geseran, dsb.

A titik pangkal

B titik terminal (ujung)

Notasi “vektor dengan pangkal A dan ujung B diwakili a = = ”

Vektor yang sama, berlawanan, dan nol

1. Vektor yang sama jika kedua vektor memiliki besar dan arah sama.

2. Vektor yang berlawanan jika kedua vektor memiliki besar sama, tapi

berbeda arah.

3. Vektor nol vektor yang besarnya nol dan arahnya boleh kemana saja dan

dilambangkan 0.

Contoh soal :

Tentukan vektor manakah yang keduanya sama !

a.

b.

c.

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Ada 2 metode :

1. Metode Grafis

1. Metode Jajaran Genjang

Cara = 2 buah vektor yang akan dijumlahkan disatukan pangkalnya.

Kemudian dibuat jajaran genjang. Hasil penjumlahan vektornya

adalah diagonal jajaran genjang tsb.

a + b = b + a dan a - b ≠ b - a

2. Metode Segitiga

Cara = satukan kedua ujung vektor, buat vektor dengan pangkalnya di A

dan ujungnya di ujung B. Hasil penjumlahan adalah vektor yang baru

dibuat tsb.

A

B a

a a

a -a

a. Vektor p ≠ q (tidak sama)

b. Vektor a = b (sama)

c. Vektor r = -s (berlawanan)

p

q a b

r s

a

b


3. Metode Poligon

Untuk menjumlahkan 3 vektor / lebih

Cara = satukan semua vektor dari ujung ke pangkal satu sama lain.

Kemudian buat vektor baru dengan pangkal di pangkal vektor

pertama dan ujung diujung vektor terakhir.

Contoh soal :

Sederhanakan bentuk berikut :

a. a + c + b = f

b. k + d + (-a) = 0

c. d + b + c = e

d. k + e =f

2. Metode Analitis

|a| baca besar a , |a+b| baca besar a+b

Contoh soal :

1. Diketahui besar vektor a adalah 3 dan besar vektor b adalah 4 yang

membentuk sudut 120°. Tentukan besar a – b !

Jawab :

|a|=3 , |b|=4 , dan α = 120°

|a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α

= 32 + 42 – 2 ∙ 3 ∙ 4 cos 120°

= 9 + 16 – 24 ∙ -

= 25 + 12

|a–b|2 = 37

|a–b| = √

Jadi besar a – b adalah √

2. Diketahui vektor r dan s , |r|=5 dan |r+s|=10, kedua vektor membentuk

sudut 60°, tentukan |s| !

|r+s|2 = |r|2+|s|2 +2|r||s| cos α

102 = 52 +|s|2 + 2∙5∙|s| cos 60o

100 = 25 +|s|2 + 10∙

|s|

75 = |s|2 + 5|s|

0 = |s|2 + 5|s| - 75

|s| = √

𝐅 = a + b

𝐅 = a + b + c + d

|a+b|2 = |a|2+|b|2+2|a||b| cos α

|a–b|2 = |a|2+|b|2 –2|a||b| cos α

a

b a+b

a

d c b

f

k d

e

a b

c

a a a

-b b

α α


= √

= √

= √

= √

= √

|s| = √

gunakan yang positif

Perkalian Vektor Dengan Skalar

Jika suatu vektor ditulis dalam bentuk

koordinat kartesius :

a = (x1,y1) = (

) maka,

k∙a = k (

) = (

) , k ∈ R

contoh soal :

1. Diketahui r = ( ), s = (

), u = ( ), dan v = (

). Hitunglah 3(r-s)+2(u-v)!

Jawab :

3(r-s)+2(u-v) = 3[( )-(

)]+2[( )-(

)]

= 3( ) + 2(

)

= (

) + ( )

= (

)

2. Diketahui a ( ) dan b (

) yang berimpit. Tentukan nilai x !

Jawab :

a = m ∙ b

a = m ∙ b

( ) = m ∙ (

)

( ) = (

)

16 ∙ m = 2

m =

x = 72 m

= 72 ∙

= 9

Vektor Posisi, Besar Vektor, dan Vektor Satuan

1. Vektor Posisi

Adalah vektor yang pangkalnya di titik O(0,0)

Vektor dan vektor posisinya adalah

vektor a dan b

= + (- )

= -

= b – a

Jika A(x1,y1) dan B(x2,y2)

a

2a

-2a

a

b

A

B

0 x

y


Maka = b – a

= (

) - (

)

= (

)

2. Besar Vektor

Besar vektor a dilambangkan |a|

|a| = √

|b| = √

| | = √

3. Vektor Satuan

Vektor satuan dilambangkan e. Vektor satuan dari vektor a adalah ea

ea =

=

(

)

√ ( )

=

=

(

)

√ ( )

Contoh soal :

Dikethui titik A(2,-1) dan B(5,3), tentukanlah :

1. Vektor posisi dan yang diwakili a dan b!

2. Vektor dan !

3. | | dan | |

4. ea > eb dan !

jawab :

1. = a = (

)

= b = ( )

2. = b – a

= ( ) - (

)

= ( )

= a – b

= (

) ( ) -

= (

)

3. | | = √

= √

= √

= √

= 5

| | = √

= √

= √

= √

= 5

4. ea =

= (

)

√

= (

)

√

= (

√

√

)

= (

√

√

)

eb =

= ( )

√

= ( )

√

= (

√

√

)


= (

√

√

)

=

= ( )

= (

)

Vektor di Bangun Ruang (R3)

Vektor a di R3 dinyatakan dengan

a = (x1, y1, z1) i = ( )

= (

) = (

) (bentuk komponen) j = ( )

= x1i + y1j + z1k (bentuk linear) k = ( )

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor di R3

a+b+c = (

)

berlaku sifat :

komutatif a+b=b+a

assosiatif (a+b)+c = a+(b+c)

unsur identitas dari vektor 0 a+0=0+a=a

invers tambah a+b=0

contoh soal :

tentukan vektor invers tambah dari b=(

)!

Misalkan a=(

)

a+b = 0

= (

) + (

)=( )

= (

) =( )

a1+4 = 0

a1 = -4

a2-5 = 0

a2 = 5

a3+6 = 0

a3 = -6

jadi, invers tambahnya a=(

)

a-b = a+(-b) = (

)

Perkalian Vektor di R3

k∙a = k (

) = (

) , k ∈ R

y

x

z

-y

-x

-z

k

j

i


Vektor Posisi

Jika A(x1, y1, z1) dan B(x2, y2, z2)

Maka = b – a

= (

)

= (x2 - x1)i + (y2 - y1)j + (z2 - z1)k

Besar Vektor

|a| = √

|b| = √

| | = √

Vektor Satuan

ea =

=

(

)

√ ( )

=

=

(

)

√ ( )

Contoh soal :

1. Diketahui koordinat A(5, -2, 3), B(-2, 1, 5) dan C(0, 6, -3). Tentukan vektor

posisi dan vektor linear dari , , !

Jawab :

Ubah koordinat ke vektor

a=(

) b=(

) c=(

)

Vektor posisi

= b-a = (

) - (

) = (

) -7i+3j+2k

= c-b = (

) - (

) = (

) 2i+5j-8k

= a-c = (

) - (

) = (

) 5i-8j+6k

2. Jika a=3i+4j-2k, b=3i+4k, c=4j+8k, mak tentukan masing-masing panjang

vektornya!

|a| = √ = √ = √

|b| = √ = √ = 5

|c| = √ = √ = √ = 4√

3. Diketahui ∆ABC dengan A(3, 5, -2), B(1, -3, 4), dan C(-3, 4, 1). Hitunglah

kelilingnya ! Menghitung panjang sisi ∆ dengan mengubah koordinat menjadi vektor posisi

= b-a = (

) - (

) = (

)

| | = √

= √

= 2√


= c-b = (

) - (

) = (

)

| | = √

= √

= a-c = (

) - (

) = (

)

| | = √

= √

Kell ∆ = | | + | | + | |

= 2√ + √ + √

Pembagian Ruas Garis di R3 Dalam Vektor

1.

2.

3.

Contoh soal :

1. Diketahui titik A(3, 0, 6) dan B(0, 3, -3). Titik P membagi AB di dalam

dengan perbandingan AP:AB=1:2. Tentukan koordinat titik P!

Jawab :

A( ) dan B(

)

=

P =

=

( ) (

)

=

( ) (

)

=

( )

= ( ) jadi, koordinat P(1, 2, 0)

2. Diketahui titik P (1, -2, -8) dan Q(3, -4, 0). Titik R membagi PQ di luar

dengan perbandingan 3:1. Jika r adalah vektorposisi dari titik R, tentukanlah

koordinat R!

P(

) dan Q(

)

=

c =𝐧𝐚 𝐦𝐛

𝐦 𝐧

𝒎

𝒏

c =𝐧𝐚 𝐦𝐛

𝐧 𝐦 -

𝒎

𝒏

c =𝐦𝐛 𝐧𝐚

𝐦 𝐧 -

𝒎

𝒏

A B

n m

C

n m

B C A

n m

C B A


R =

=

(

) (

)

=

(

) (

)

=

(

)

= (

) jadi, koordinat R(4, -5, 4)

3. Titik A(2, 3, 4), B(9, -11, 18) dan C(x, y, -10) segaris. Tentukanlah nilai x

dan y!

Jawab :

a=( ) b=(

) c=(

)

= k ∙ jika vektor segaris

(b-a) = k ∙ (c-b)

(

)-( ) = k ∙ [(

) (

)]

(

) = k ∙ (

)

menentukan nilai k

14 = -28 ∙ k

k = -

menentukan nilai x

7 = k (x-9)

7 = -

(x-9)

7 = -

+

=

X = -5

menentukan nilai y

-14 = k (y+11)

-14 = -

(y+11)

-14 = -

-

=

Y = 17 jadi nilai x adalah -5 dan y adalah 17

Perkalian Skalar 2 Vektor

a=(

) = a1i + a2j + a3k

b=(

) = b1i + b2j + b3k

a∙b = |a| |b| cos α

= a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3

α

a

b

Cos α =

| || |

=

| || |

Contoh soal :

Tentukan nilai p agar vektor a=i+2j dan b=4i-pj+k saling tegak lurus !

Jawab :

a∙b = a1∙b1 + a2∙b2 + a3∙b3

= 1∙4 + 2(-p) + 0∙1

= 4-2p

a ┴ b pada a∙b = 0

a∙b = 0

4-2p = 0

-2p = 4

p = -2

jadi yang memenuhi adalah p=-2

Jika A(4, 3, 5), B(1, 1, 1), dan C(-1, 10, -2), tunjukan bahwa ∆ABC segitiga

siku-siku!

a=( ), b=(

) , c=(

)

= b-a = ( ) - (

) = (

) p

= c-b = (

) - ( )= (

) q

p∙q = (-3)(-2) + (-2)9 + (-4)(-3)

= 6-18+12

= 0

Cos α =

| || |

Cos α =

Cos α = 0

α = arc cos 0

α = 90° jadi ∆ABC adalah siku-siku

Diketahui jajaran genjang ABCD dengan |AB|=8, |AD|=6 dan ∠ABC=120°.

Jika u adalah vektor AB dan v adalah vektor AD, berapakah nilai u∙(u-v)?

|AB| = |u| = 8

|AD| = |v| = 6

u∙(u-v) = u∙u – u∙v

= |u| |u| cos 120° - |u| |v| cos 60°

= 8∙8∙-

– 8∙6∙

= -32 – 24

= -56

Perkalian Vektor 2 Vektor

a= a1i + a2j + a3k

b= b1i + b2j + b3k

s= vektor satuan yg tegak lurus dengan vektor a & b

A

C

B

A B

D C

60° 6

8

α

a b

s


axb = |a||b| sin α ∙ s

= |

|

= (a2b3 – a3b2)i + (a3b1 – a1b3)j + (a1b2 – a2b1)k

Contoh soal :

Diketahui a=( ) dan b=(

). Tentukan axb dan bxa !

axb = |

| i|

| , j|

| , k|

|

= i|

| - j|

| + k|

|

= (2∙2 – 0∙4)i – (1∙2 – (-1)∙4)j + (1∙0 – (-1)∙2)k

= (4-0)i – (2+4)j + (0+2)k

= 4i – 6j + 2k

bxa = -4i + 6j - 2k dibalik (+) dan (-)

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks merupakan gabungan bilangan real (nyata) dan imajiner

(khayal) yang dihubungkan dengan tanda penjumlahan atau pengurangan.

Notasinya : z = a+bi dengan

a, b ∈ R dan i= bilangan imajiner, dengan i=-1 i2 = -1

Bentuk bilangan kompleks ada 2 :

1. Bentuk Siku

Z = a+bi , dengan

a = r ∙ cos θ

b = r ∙ sin θ

2. Bentuk Polar

Z = a+bi

= r

Z = r ∠ θ , dengan

r = √

θ = arc tan

contoh soal :

Ubah z = 3 – 3i ke bentuk polar

a = 3 dan b = -3

r = √

= √

= √

= 3√

θ = arc tan

= arc tan

= arc tan -1

= 45°

= (360° - 45°) kuadran IV karna a

dan -b

= 315°

Jadi, z = 3√ ∠ 315°

Ubah z = 4 ∠ 135° ke bentuk siku

r = 4 dan θ = 135°

a = r ∙ cos θ

= 4 ∙ cos 135°

= 4 ∙ -cos 45°

= 4 ∙ -

√

= -2√

b

a

I

R

r

θ

b

a

Z=a+bi

0 Sumbu nyata

Sumbu imajiner


b = r ∙ sin θ

= 4 ∙ sin 135°

= 4 ∙ sin 45°

= 4 ∙

√

= 2√

Jadi, z = -2√ + 2√ i

Operasi Hitung Bilangan Kompleks

Penjumlahan Bilangan Kompleks

- Jika keduanya bentuk siku

(a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i

Contoh soal :

2(4+2i)+(6-2i) = 8+4i+6-2i

= 14+2i

- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku, maupun keduanya bentuk polar

Bentuk polar diubah dahulu ke bentuk siku, baru dihitung menggunakan operasi

hitung bilangan kompleks.

Contoh soal :

(4+6i) + 8 ∠ 30°

r = 8 dan θ = 30°

a = r ∙ cos θ

= 8 ∙ cos 30°

√

= 4√

b = r ∙ sin θ

= 8 ∙ sin 30°

= 4

(4+6i)+( 4√ +4i) = 4+4√ +10i

Pengurangan Bilangan Kompleks


(a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i

Contoh soal :

(4+2i) – 5(6-2i) = 4+2i-30+10i

= -26+12i



hitung bilangan kompleks.

Perkalian Bilangan Kompleks


(a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2

Contoh soal :

6(6-2i)(4+2i) = 6(24+12i-8i-4i2) i2 = -1

= 6(24+12i-8i-4∙-1)

= 6(24+4i+4)

= 6(28+4i)

= 168+24i

- Jika keduanya bentuk polar

(r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2)

Contoh soal :

6 ∠ 60° ∙ 3 ∠ 30° = (6∙3) ∠ (60°+30°)

= 18 ∠ 90°


- Jika 1 bentuk polar dan 1 bentuk siku


hitung bilangan kompleks atau sebaliknya.

Pembagian Bilangan Kompleks


=

x

perkalian sekawan

=

Contoh soal :

=

x

=

=

=

=

= 1 - i


∠

∠ =

∠ (θ1- θ2)

Contoh soal : ∠

∠ =

∠ (90° - 60°)

= 3 ∠ 30°




Phasor

Phasor adalah kedudukan sesaat vektor yang berputar pada pangkalnya.

Notasi phasor P=r ∠ θ, dengan r = panjang phasor dan θ = sudut yang

dibentuk phasor dengan sumbu R positif.

Bentuk penulisan phasor ada 2, seperti

bilangan kompleks :

1. Bentuk Polar

P = r ∠ θ , dengan

r = √ θ = arc tan

2. Bentuk Siku

P = a+bi , dengan

a = r ∙ cos θ b = r ∙ sin θ

contoh soal :

Nyatakan phasor P=4 ∠ 60° ke bentuk siku!

r=4 dan θ=60°

a = r ∙ cos θ

= 4 ∙ cos 60°

= 4 ∙

= 2

b = r ∙ sin θ

= 4 ∙ sin 60°

= 4 ∙

√

= 2√

Jadi, P=2+2√ i

θ

r

R

I

r ∠θ

Nyatakan phasor P=4+3i dalam bentuk polar !

a=4 dan b=3

r = √

= √

= √

= 5

θ = arc tan

= arc tan

= arc tan 0,75 daftar III

= 36,87°

Jadi, P= 5 ∠ 36,87°

Operasi Hitung Pada Phasor

Penjumlahan dan Pengurangan Phasor


Penjumlahan (a1+b1i)+(a2+b2i) = (a1+a2)+(b1+b2)i

Pengurangan (a1+b1i)-(a2+b2i) = (a1-a2)+(b1-b2)i



hitung bilangan kompleks, dan diubah menjadi bentuk polar kembali.

Contoh soal :

Tentukan hasil dari 12,73 ∠ 225° + 5,2 ∠ -30° !

Jawab :

Diubah ke bentuk siku

12,73 ∠ 225°

a = r ∙ cos θ

= 12,73 ∙ cos 225°

= 12,73 ∙ -cos 45° daftar III

= 12,73 ∙ -0,7071

= -9

b = r ∙ sin θ

= 12,73 ∙ sin 225°

= 12,73 ∙ -sin 45°

= 12,73 ∙ -0,7071

= -9

P1 = -9-9i

5,2 ∠ -30°

a = r ∙ cos θ

= 5,2 ∙ cos -30°

= 5,2 ∙ cos 30° daftar III

= 5,2 ∙ 0,8660

= 4,5

b = r ∙ sin θ

= 5,2 ∙ sin -30°

= 5,2 ∙ -sin 30°

= 5,2 ∙ -0,5

= -2,6

P2 = 4,5-2,6i

P1+P2 = -9-9i+4,5-2,6i

= -4,5-11,6i

Diubah ke polar lagi

r = √

= √

= √

= √

= 12,44

θ = arc tan

= arc tan

= arc tan 2,5778

= 248,8°

Jadi, hasilnya adalah 12,44 ∠

248,8°


Perkalian dan Pembagian Phasor


Perkalian (a1+b1i)(a2+b2i) = a1a2 + (a1a2 + b1b2)i + (b1b2)2

Pembagian

=

x

perkalian sekawan

=


Perkalian (r1 ∠ θ1) ∙ (r2 ∠ θ2) = r1 ∙ r2 ∠ (θ1+θ2)

Pembagian ∠

∠ =

∠ (θ1- θ2)

Contoh soal :

6 ∠ 40° ∙ 2 ∙ 10° = 6 ∙ 2 ∠ (40°+10°)

= 12 ∠ 50°

12 ∠ 50° : 2 ∙ 10° = 12 : 2 ∠ (50°-10°)

= 6 ∠ 40°





MATERI 14

IRISAN KERUCUT

Lingkaran

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang memiliki jarak sama

terhadap titik tertentu.

Bagian-Bagian Lingkaran

OA = OB = OC = jari-jari (r)

AB = diameter (d) = 2r

PQ = tali busur ∩ PQ (garis lengkung)

Daerah I = tembereng

Daerah II = juring

OT = apotema (garis tinggi)

Berlaku :

∠

∠ =

∩

∩ =

Contoh soal :

1. Sebuah busur lingkaran panjangnya 121 cm, jika jari-jari lingkaran 35 cm,

tentukan besar sudut pusat busur tsb!

Jawab :

∩=121 cm dan r=35 cm ∠

∠ =

∩

∠

=

∠

=

220∙∠pusat = 242π

∠ pusat = 1,1 ∙ 180°

= 198°

2. Tentukan keliling plat tsb ! ∠

∠ =

∩

=

∩

=

∩

6 ∙ ∩AB = 88

∩ AB =

= 14

∩ CD = ∩ AB = 14

Kell plat = AD + CD + BC + AB

= 15+14

+15+14

= 59

cm

P Q

O

I

II

C

A B

T

60° 60°

r=14 cm

r=14 cm


Persamaan Lingkaran

1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r

x2 + y2 = r2

Contoh soal :

1. Diketahui persamaan lingkaran 2x2+2y2-32=0, tentukan pusat dan jari-jarinya!

Jawab :

2x2+2y2 = 32

x2+y2 = 16

Jadi, lingkaran di pusat (0,0) dan

jari-jari 4

r2 = x2+y2

r2 = 16

r = √

= 4

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (0,0) yang melalui titk (0,-5) !

Jawab :

(0,-5) x2 + y2 = r2

02 + (-5)2 = r2

r = √

= 5 jadi, persamaan garis x2 + y2=5

2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

Contoh soal :

1. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran

(x+2)2 +

(y-1)2 – 9 =0 !

Jawab :

(x+2)2 +

(y-1)2 = 9

(x+2)2 + (y-1)2 = 27

[x-(-2)]2 + [y-1]2 = 27

Pusat (a,b) (-2,1)

r2 = 27

r = √

= 3√

2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat (1,-2) melalui titik (4,0) !

Jawab :

(a,b) (1,-2)

(x-a)2 + (y-b)2 = r2

(x-1)2 + (y-(-2))2 = r2

: 2

x3

b a

P(x,y)

x

y

r

(0,0)

x a

b r P(a,b)

y


(4,0) (x-1)2 + (y+2)2 = r2

(4-1)2 + (0+2)2 = r2

9 + 4 = r2

r2 = 13

persamaan garis :

(x-1)2 + (y+2)2 = 13

3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum

Merupakan penjabaran dari (x-a)2 + (y-b)2 = r2 , menjadi :

x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

ket :

A = -2a a = -

A

B = -2b b = -

B

C = a2 + b2 – r2

Pusat (a,b) (-

A, -

B)

r = √

Contoh soal :

Diketahui persamaan lingkaran x2+y2-4x+8y-29=0. Tentukan pusat dan jari-

jarinya!

Jawab :

x2+y2-4x+8y-29=0

A = -4 , B=8, C=-29

Pusat (a,b) (-

A, -

B)

(-

∙ -4, -

∙ 8)

(2, -4)

r = √

= √

= √

= √

= √

= 7

Garis Singgung Lingkaran

1. Di pusat (0,0) dan jari-jari r

Dari persamaan x2 + y2 = r2 menjadi

x1 ∙ x + y1 ∙ y = r2

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=20 dititik (4,2)!

Jawab :

(4,2) x1∙x + y1∙y = r2

4x + 2y = 20

P(x,y)

x

y

r

(0,0)

l


2y = 20 – 4x

y = 10 – 2x

2x+y-10 = 0

2. Di pusat (a,b) dan jari-jari r

Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 menjadi

(x1-a)(x-a)+(y1-b)(y-b) = r2

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x+2)2+(y-4)2=45 dititik

(4,1)!

Jawab :

(x+2)2+(y-4)2 = 45

(x1+2)(x+2) + (y1-4)(y-4) = 45 (4,1)

(4+2)(x+2) + (1-4)(y-4) = 45

6x+12 +-3y+12 = 45

6x-3y = 21

2x – y = 7

2x – y – 7 = 0

3. Di pusat (a,b) dan jari-jari r dalam bentuk umum

Dari persamaan x2 + y2 + Ax + By + C = 0 menjadi

x1∙x + y1∙y +

A(x1+x) +

B(y1+y) + C = 0

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2+4x+2y-8=0 dititik

(-5,-3)!

Jawab :

x2+y2+4x+2y-8=0 A=4, B=2, dan C=-8

x1∙x + y1∙y +

A(x1+x) +

B(y1+y) + C = 0 (-5,-3)

(-5)∙x + (-3)∙y +

∙ 4[(-5)+x] +

∙ 2[(-3)+y] – 8 = 0

-5x-3y-10+2x-3+y-8 = 0

-3x-2y-21 = 0

3x+2y+21 = 0

4. Di pusat (0,0) , jari-jari r , dan gradien m

Dari persamaan x2 + y2 = r2 , gradien m dari y=mx+n, dan syarat D=0

y = mx ± r√

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari x2+y2=4 dan bergradien 2!

Jawab :

x2+y2 =4 , m=2

r2 = 4

r = √

= 2

y = mx ± r√

y = 2x ± 2√

y = 2x ± 2√

2x-y+2√ =0 V 2x-y-2√

5. Di pusat (a,b) , jari-jari r , dan gradien m

Dari persamaan (x-a)2 + (y-b)2 = r2 dan gradien m dari y=mx+n

y-b = m (x-a) ± r√

:3


Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dari (x-2)2+(y+3)2 = 25 dan

bergradien -1 !

Jawab :

(x-2)2+(y-(-3))2 = 25 a=2 dan b=-3

r2 = 25 m=-1

r = √

= 5

y-b = m (x-a) ± r√

y – (-3) = -1 (x-2) ± 5√

y+3 = -x+2 ± 5√

y = -x – 1 ± 5√

x+y+1+5√ V x+y+1-5√

6. Garis Singgung Persekutuan Luar

|AB| = √

Contoh soal :

Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran

adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar !

Jawab :

GSPL = √ r r

= √

= √

= √

7. Garis Singgung Persekutuan Dalam

|AB| = √

Contoh soal :

Dua lingkaran berjari-jari 5 cm dan 3 cm. Jarak kedua kedua pusat lingkaran

adalah 17 cm. Tentukan garis singgung persekutuan luar !

Jawab :

GSPL = √ r r

= √

= √

= √

= 15

Parabola

Parabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang jaraknya ke suatu titik

tertentu (fokus) sama dengan jaraknya ke garis tertentu.

P Q

A

B

P Q

A

B


Persamaan Parabola

1. Di puncak (0,0)

y2 = 4px

Komponen parabola :

Puncak (0,0)

Fokus (p,0)

Garis Direktrik x=-p

Sumbu simetris sumbu x atau y=0

Latus Rectum = 2 ∙ y

Kurva membuka ke kanan/kiri

- y2 = 4px kanan

- y2 = -4px kiri

Latus Rectum garis yang melalui fokus dan tegak lurus sumbu simetri

x2 = 4py

Komponen parabola :

Puncak (0,0)

Fokus (0,p)

Garis Direktrik y=-p

Sumbu simetris sumbu y atau x=0

Latus Rectum = 2 ∙ x

Kurva membuka ke atas/bawah

- x2 = 4py atas

- x2 = -4py bawah

Contoh soal :

1. Tentukan titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan latus rectum

dari :

- y2 = 12x membuka kanan

y2 = 4px

4p = 12

p = 3

Puncak (0,0)

Fokus (p,0) (3,0)

Garis Direktrik x=-p x=3

Sumbu simetris sumbu x atau y=0

Fokus (3,0) y2 = 12x

y2 = 12 ∙ 3

y = √

= 6

Latus Rectum = 2 ∙ y = 2 ∙ 6 =

12 satuan

- x2 = -8y membuka bawah

x2 = 4py

4p = -8

p = -2

Puncak (0,0)

Fokus (0,p) (0,-2)

Garis Direktrik y=-p y=2

Sumbu simetris sumbu y atau x=0

Fokus (0,-2) x2 = -8y

x2 = -8 ∙ -2

x = √

= 4

Latus Rectum = 2 ∙ x = 2 ∙ 4 =

8 satuan

2. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan fokus :

- (3,0) y2 = 4px

y2 = 4 ∙ 3x

y2 = 12x

\

- (0,-3) x2 = 4py

x2 = 4 ∙ -3 y

x2 = -12y

O

X

F(p,0)

Y

X=-p

y2=4px

O

X

F(0,p)

Y

y=-p

x2=4py


3. Tentukan persamaan parabola di puncak (0,0) dengan garis direktrik :

- x = -4

x = -p

p = 4

fokus (4,0) y2 = 4px

y2 = 4 ∙ 4x

y2 = 16x

- y =5

y = -p

p =-5

fokus (0,-5) x2 = 4py

x2 = 4 ∙ -5y

x2 = -20y

2. Di puncak (a,b)

(y-b)2 = 4p(x-a)

Komponen parabola :

Puncak (a,b)

Fokus (a+p, b)

Garis Direktris x = a-p

Sumbu simetris y=b

Kurva membuka ke kanan/kiri

- (y-b)2 = 4p(x-a) kanan

- (y-b)2 = -4p(x-a) kiri

Latus Rectum = antara y1 hingga y2

(x-a)2 = 4p(y-b)

Komponen parabola :

Puncak (a,b)

Fokus (a, b+p)

Garis Direktris y = b-p

Sumbu simetris x=a

Kurva membuka ke atas/bawah

- (x-a)2 = 4p(y-b) atas

- (x-a)2 = -4p(y-b) bawah

Latus Rectum = antara x1 hingga x2

Contoh soal :

1. Tentukan titik puncak, titik fokus, persamaan sumbu simetri, garis direktrik, dan

latus rectum dari :

- y2 + 6y – 6x – 9 = 0

y2 + 6y + 32 = 6x +9 + 32 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya

(y+3)2 = 6x+18

(y+3)2 = 6(x+3)

(y-b)2 = 4p(x-a)

a =-3 titik puncak (a,b)(-3,-3)

b =-3

4p = 6

p =

=

titik fokus (a+p, b) (-3+

, -3)

(-

, -3)

Persamaan sumbu simetri y=b y=-3

Garis direktrik x = a-p = -3 -

= -

Fokus (-

, -3) (y+3)2 = 6(x+3)

(y+3)2 = 6(-

+3) cuma pake x-nya

(y+3)2 = -9+18

y+3 = ±√

y = ±3 – 3 y1 = 0 V y2 = -6

Latus rectum = 6 satuan

O

X

F(a+p,b)

Y

X=a-p

(y-b)2=4p(x-a)

a

b


- x2 – 8x – 4y + 4 = 0

x2 – 8x +(-4)2 = 4y - 4+(-4)2 ditambah bilangan kuadrat untuk mengetahui faktornya

(x-4)2 = 4y +12

(x-4)2 = 4(y+3)

(x-a)2 = 4p(y-b)

a = 4 titik puncak (a,b)(4,-3)

b =-3

4p = 4

p = 1 titik fokus (a, b+p) (4,-3+1) = (4, -2)

Persamaan sumbu simetri x=a x=4

Garis direktrik y = b-p = -3-1 = -4

Fokus (4, -2) (x-4)2 = 4(y+3)

(x-4)2 = 4(-2+3) cuma pake y-nya

(x-4)2 = 4

x-4 =±√

x =±2 +4 x1 = 6 V y2 = 2

Latus rectum = 4 satuan

2. Tentukan persamaan parabola dari :

- Puncak (4,6) dan fokus (6,6)

M (4,6) a=4 dan b=6

F (a+p, 6)

F (4+p, 6) F(6,6)

4+p = 6

p = 2

(y-b)2 = 4p(x-a)

(y-6)2 = 4 ∙ 2(x-4)

y2-12y+36 = 8x – 32

y2-12y-8x+68 = 0

- Puncak (-4,5) dan fokus(-4,2)

M (-4,5) a=-4 dan b=5

F (-4, b+p)

F (-4, 5+p) F(-4,2)

5+p = 2

p = -3

(x-a)2 = 4p(y-b)

(x+4)2 = 4 ∙ -3(y-5)

x2 +4x+16 = -12y+60

x2 +4x+12y-44=0

Garis Singgung Parabola

1. Di puncak (x1, y1)

Dari persamaan y2 = 4px menjadi

y1y = 2p(x+x1)

Dari persamaan x2 = 4py menjadi

x1x = 2p(y+y1)

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung parabola dari :

- y2 = 4x yang melalui titik (4,4)

y2 = 4px

4p = 4

p = 1

y1y = 2p(x+x1) (4,4)

4y = 2 ∙ 1 (x+4)

4y = 2x + 8

2x-4y +8 = 0

x-2y+4 = 0

- x2 = 3y yang melalui titik(-3,3)

x2 = 4py

4p = 3

p =


x1x = 2p(y+y1) (-3,3)

-3x = 2 ∙

(y+3)

-3x =

y +

-6x = 3y + 9

6x+3y+9 =0

2x+y+3=0

2. Di puncak (a,b)

Dari (y-b)2 = 4p(x-a) menjadi

(y1-b)(y-b) = 2p(x+x1 – 2a)

Dari (x-a)2 = 4p(y-b)

(x1-a)(x-a) = 2p(y+y1 – 2b)

Contoh soal :


- (y+1)2 = 2(x-4) melalui titik

(6,1)

(y-b)2 = 4p(x-a)

a=4, b=-1, dan 4p = 2

p =

(y1-b)(y-b) = 2p(x+x1 – 2a)

(6,1)

(1+1)(y+1) = 2 ∙

(x+6 – 2

∙ 4)

2y + 2 = x – 2

X – 2y – 4 = 0

- (x-2)2 = 4(y+1) melalui titik

(6,3)

(x-a)2 = 4p(y-b)

a=2, b=-1, dan 4p = 4

p = 1

(x1-a)(x-a) = 2p(y+y1 – 2b)

(6,3)

(6-2)(x-2) = 2 ∙ 1(y+3 – 2

∙ -1)

4x – 8 = 2y + 10

4x – 2y – 18 = 0

3. Di puncak (0,0) dan gradien m

Dari persamaan y2 = 4px dan gradien m dari y=mx+n

y = mx +

Dari persamaan x2 = 4py dan gradien m dari y=mx+n

y = mx – pm2

Contoh soal :


- y2 = -8x bergradien 3

y2 = 4px

4p = -8

P = -2

y = mx +

m=3

y = 3x +

3y = 9x – 2

9x – 3y – 2 =0

- x2 = 2y bergradien 4

x2 = 4py

4p = 2

P =

y = mx – pm2 m=4

y = 4x -

∙ 42

y = 4x – 8

4x – y – 8 =0

4. Di puncak (a,b) dan gradien m

Dari persamaan (y-b)2 = 4p(x-a) dan gradien m dari y=mx+n

y-b = m(x-a) +

Dari persamaan (x-a)2 = 4p(y-b) dan gradien m dari y=mx+n

y-b = m(x-a) – pm2


Contoh soal :


- (y+3)2 = -6(x-1) bergradien 4

(y-b)2 = 4p(x-a)

a=1, b=-3

4p = -6

P = -

y-b = m(x-a) +

m=4

y+3 = 4(x-1) +

y+3 = 4x – 4 -

y = 4x -

32x – 8y – 59 = 0

- (x-2)2 = 8(y+3) bergradien -2

(x-a)2 = 4p(y-b)

a=2, b=-3

4p = 8

P = 2

y-b = m(x-a) – pm2 m=-2

y+3 = -2(x-2) – 2 ∙ (-2)2

y+3 = -2x+4 – 8

y = -2x – 7

2x+y+7 = 0

Ellips

Ellips adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya terhadap titik tertentu

(fokus) adalah tetap.

Bagian-Bagian Ellips

F1(c,0) dan F2(-c,0) adalah fokus ellips

dengan pusat (0,0)

2a = panjang sumbu mayor (panjang)

2b = panjang sumbu minor (pendek)

2c = jarak fokus

Persamaan Ellips

1. Di pusat (0,0)

+

= 1 , dengan a>b

Komponen ellips

Pusat ellips (0,0)

Fokus ellips F1(-c,0) dan F2(c,0) dengan b2=a2 – c2

2a = panjang sumbu mayor

2b = panjang sumbu minor

Puncak ellips (a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b)

Sumbu simetri = sumbu x dan y

Nilai eksentrisitet e =

Persamaan Direktrik x = -

dan x =

x

y

(0,b)

(0,-b)

0

F1(c,0) F2(-c,0)

(-a,0) (a,0)


+

= 1 , dengan a>b

Komponen ellips

Pusat ellips (0,0)

Fokus ellips F1(0,-c) dan F2(0,c) dengan b2=a2 – c2

2a = sumbu mayor

2b = sumbu minor

Puncak ellips (0,a), (0,-a), (b,0), dan (-b,0)

Sumbu simetri = sumbu x dan y


Persamaan Direktrik x = -

dan x =

Contoh soal :

Diketahui ellips dengan persamaan

+

= 1, tentukan :

a. Titik puncak

b. Titik fokus

c. Panjang sumbu mayor dan minor

d. Nilai eksentrisitet

e. Persamaan direktrik

Jawab :

Bentuk ellips

+

= 1 , dengan a>b 25>16

a2 =25

a = √

= 5

b2 = 16

b = √

= 4

c2 = a2 – b2

c2 = 25 – 16

c2 = 9

c = √

= 3

a. Titik puncak (a,0), (-a,0), (0,b), dan (0,-b)

(5,0), (-5,0), (0,4), dan (0,-4)

b. Titik fokus F1(-c,0) dan F2(c,0)

F1(-3,0) dan F2(3,0)

c. Sumbu mayor = 2a = 2 ∙ 5 = 10

Sumbu minor = 2b = 2∙ 4 = 8

d. Nilai eksentrisitet e =

=

= 0,6

e. Persamaan direktrik x = -

dan x =

x = -

dan x =

X = -

dan x =

2. Di pusat (p,q)

+

= 1 , dengan a>b

Komponen ellips

Pusat ellips (p,q)

2a = sumbu mayor

2b = sumbu minor

Fokus ellips F1(p+c,q) dan F2(p-c,q)

Puncak ellips (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b)

Persamaan Direktrik x = p±


+

= 1 , dengan a>b

Komponen ellips

Pusat ellips (p,q)

2a = sumbu mayor

2b = sumbu minor

Fokus ellips F1(p, q+c) dan F2(p, q-c)

Puncak ellips (p, q+a), (p, q-a), (p+b, q), dan (p-b, q)

Persamaan Direktrik x = q±


Contoh soal :

Diketahui ellips dengan persamaan

+

= 1, tentukanlah :

a. Titik pusat, titik puncak, dan titik fokus ellips

b. Panjang sumbu mayor dan minor

c. Nilai eksentrisitet

d. Persamaan direktrik

Jawab :

Bentuk ellips

+

= 1 , dengan a>b 36>25

P=2 dan q=-1

a2 = 36 b2 = 25 c2 = a2-b2

a = 6 b = 5 c = √

= √

a. Titik pusat (p,q)

(2,-1)

Titik fokus F1(p+c,q) dan F2(p-c,q)

F1(2+√ , -1) dan F2(2-√ , -1)

Titik puncak (p+a, q), (p-a, q), (p, q+b), dan (p, q-b)

(2+6, -1), (2-6, -1), (2, -1+5), dan (2, -1-5)

(8, -1), (-4, -1), (2, 4), (2,-6)

b. Sumbu mayor 2a = 2 ∙ 6 = 12

Sumbu minor 2b = 2 ∙ 5 = 10


c. Nilai eksentriset e =

e =

√

=

√

d. Persamaan direktrik x = p±

x = 2 +

√ = 2 +

√

x = 2 –

√ = 2 -

√

Garis Singgung Ellips

1. Di pusat (0,0)

Dari

+

= 1 di titik (x1,y1) menjadi

+

= 1

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung ellips pada ellips

+

= 1 di titik (2,1)!

Jawab :

a2 = 8, b2 = 2

+

= 1 (2,1)

+

= 1

2x+4y = 8

x+2y-4 = 0

2. Di pusat (p,q)

Dari

+

= 1 di titik (x1,y1) menjadi

+

= 1

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung pada ellips

+

= 1 dititik (-3,1) !

Jawab :

a2 = 6, b2 = 3, p = -1, q=2

+

= 1 (-3,1)

+

= 1

+

= 1

+

= 1

-2x-2-2y+4 = 6

2x+2y+4 = 0

X+y+2 = 0

3. Di pusat (0,0) dan gradien m

Dari

+

= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n

y = mx ± √


Dari

+

= 1 dengan a>b dan gradien m dari y=mx+n

y = mx ± √

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis isnggung pada ellips

+

= 1 yang bergradien

!

Jawab :

Bentuk ellips

+

= 1 dengan a>b 25>16

a2=25, b2=16, dan m=

y = mx ± √

y =

∙ x ± √ (

)

y =

x ± √

y =

x ± √

y =

x ± 5

5y = 3x ± 5

3x-5y±5 = 0

Jadi, persamaan garis singgung 3x-5y+5=0 dan 3x-5y-5=0

4. Di pusat (p,q) dan gradien m

Dari

+

= 1 dan gradien m

(y-q) = m(x-p)± √

Dari

+

= 1 dan gradien m

(y-q) = m(x-p) ± √

Contoh soal :

Tentukan persamaan gais singgung pada ellips

+

= 1 bergradien 1 !

Jawab :

Bentuk ellips

+

= 1

a2=16, b2=9, p=-2, q=3, m=1

(y-q) = m(x-p)± √

(y-3) = 1(x+2)±√

(y-3) = x+2 ± √

y-3 = x+7

y = x+10

y-3 = x-3

y = x

jadi, persamaan garis singgung x-y+10=0 dan x-y=0

Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua

titik tertentu (fokus) adalah tetap.

Persamaan Hiperbola

y B1(0,b)

B2(0,-b)

0 F1(c,0) F2(-c,0) A2(-a,0) A1(a,0) x


1. Di pusat (0,0)

-

= 1, dengan a>b

Komponen hiperbola :

Pusat O(0,0)

Puncak (a,0) dan (-a,0)

Fokus (c,0) dan (-c,0) dengan b2 = c2 – a2

Eksentrisitet e =

Persamaan direktrik x = ±

Asimtot y = ±

x

Sumbu utama (nyata) = sumbu x

Sumbu sekawan (imaginer) = sumbu y

-

= 1, dengan a>b


Pusat O(0,0)

Puncak (0,a) dan (0,-a)

Fokus (0,c) dan (0,-c) dengan b2 = c2 – a2

Eksentrisitet e =

Persamaan direktrik y = ±

Asimtot y = ±

x

Sumbu utama (nyata) = sumbu x

Sumbu sekawan (imaginer) = sumbu y

Contoh soal :

Diketahui hiperbola dengan persamaan

-

= 1, tentukan koordinat titik

puncak, titik fokus, persamaan direktrik, dan persamaan asimtotnya !

Jawab :

Bentuk

-

= 1 dengan a>b 16>9

a2 = 16 b2 = 9 c2 = b2+a2

a = 4 b = 3 c2 = 16+9

c = 5

koordinat titik puncak (a,0) dan (-a,0)

(4,0) dan (-4,0)

Titik fokus (c,0) dan (-c,0)

(5,0) dan (-5,0)

Persamaan direktrik x = ±

x =

dan x = -

Persamaan asimtot y = ±

x y =

x dan y = -

x

2. Di pusat (p,q)

-

= 1, dengan a>b



Pusat O(0p,q)

Puncak (p+a, q) dan (p-a, q)

Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) dengan b2 = c2 – a2

Eksentrisitet e =

Persamaan direktrik x = p±

Asimtot y-q = ±

(x-p)

-

= 1, dengan a>b


Pusat O(0p,q)

Puncak (p, q+a) dan (p, q-a)

Fokus (p, q+c) dan (p, q-c) dengan b2 = c2 – a2

Eksentrisitet e =

Persamaan direktrik y = p±

Asimtot y-q = ±

(x-p)

Contoh soal :

Diketahui hiperbola

-

= 1 tentukan koordinat pusat, puncak,

fokus, persamaan direktrik, dan asimtotnya !

Jawab :

Bentuk hiperbola

-

= 1 dengan a>b 16>9

a2 = 16 b2 = 9 c2 = b2 + a2 p=2, dan q=-1

a = 4 b = 3 c2 = 9+16

c = 5

koordinat pusat (p,q) (2,-1)

Puncak (p+a, q) dan (p-a, q) (2+4, -1) dan (2-4, -1)

(6,-1) dan (-2, -1)

Fokus (p+c, q) dan (p-c, q) (2+5, -1) dan (2-5, -1)

(7,-1) dan (-3,-1)

Persamaan direktrik x = p±

x = 2+

=

x = 2-

= -

Asimtot y-q = ±

(x-p)

y+1 =

(x-2)

Y+1 =

x -

4y+4 = 3x – 6

3x – 4y – 10 = 0

y+1 = -

(x-2)

y+1 = -

x +

4y+4 = -3x + 6

3x+4y – 2 = 0

Garis Singgung Hiperbola

1. Di pusat (0,0) melalui (x1, y1)

Dari

-

= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi

-

= 1


Contoh soal :

Tentuksn persamaan garis simggung pada hoperbola

-

= 1 di titik (3,

) !

Jawab :

Bentuk

-

= 1

a2 = 8, b2 = 2

-

= 1 (3,

)

-

= 1

3x – 2y = 8

3x – 2y – 8 =0

2. Di pusat (p,q) melalui (x1,y1)

Dari

-

= 1 melalui titik (x1,y1) menjadi

= 1

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis singgung hiperbola

-

= 1 di titik (2,-3) !

Jawab :

a2 = 12, b2 = 48, p=-2, dan q=1

= 1 (2,-3)

= 1

= 1

16x+32-(-4y+4) = 48

16x+32+4y-4 = 48

16x + 4y-20 = 0

4x + y – 5 = 0

3. Dengan gradien

Dari

-

= 1 dan gradien m

y = mx ± √

Dari

-

= 1 dan gradien m

y = mx ± √

Contoh soal :

Tentukan persamaan garis isnggung hiperbola

-

= 1 yang bergradien 4 !

Jawab :

Bentuk

-

= 1

a2 = 16, b2 = 6, dan m=4

y = mx ± √

y = 4x ± √

= 4x ± √

= 4x ± √

= 4x ± 5√

Jadi, persamaan garis singgungnya 4x-y+5√ dan 4x-y-5√

RANGKUMAN MATERI KELAS XI SMK · Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum 3. Menentukan titik...

Documents

Transcript of RANGKUMAN MATERI KELAS XI SMK · Menentukan fungsi objektif maksimum/minimum 3. Menentukan titik...