Questão 1 Questão 1: O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma...
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Questão 1Questão 1: O gráfico abaixo representa um polinômio P(x) de grau 4. Determine a soma dos coeficientes desse polinômio.
Representação gráfica das raízes de uma Função Polinomial
As raízes são as abscissas dos pontos de interseção da curva com o eixo x.
Uma raiz simples corta o eixo x sem sofrer nenhuma deformação.
x
Uma raiz com multiplicidade par é tangente ao eixo x.
x
Uma raiz com multiplicidade ímpar intersecta o eixo x com
alguma deformação.x
Raízes:Raízes: 1, 2 e –1; observe que – 1 é dupla, pois o grau é 4.
Termo independente:Termo independente: P(0) = – 4
Forma Fatorada de um Polinômio
P(x) = a.(x – r1 ).(x – r2 ). ... .(x – rn )
P(x) = a.(x + 1)2.(x – 1).(x – 2) P(x) = a.(x4 – x3 – 3x2 + x + 2)
Soma = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = ZEROa = – 2 P(x) = – 2x4 + 2 x3 + 6x2 – 2 x – 4
Lembrete: A soma dos coeficientes também pode ser calculada por P(1) = – 2 + 2 + 6 – 2 – 4 = 0.
(Nesse caso, 1 é uma raiz simples.)
P(0) = a.2 = – 4
Questão 2Questão 2: Determinar a equação da reta tangente à circunferência x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0 no ponto P = (3; 4).
Equação da Circunferência
C = (xC , yC )
R
ReduzidaReduzida(x – xC)2 + (y – yC)2 = R2
NormalNormalx2 + y2 + m.x + n.y + p = 0
Completando os quadrados...
C
m2
x C
n2
y
C C
2 2R x py
Equação da reta ...
A = (xA , yA)
B = (xB , yB)
... que passa por 2 pontos.
A B
A B
x x 1
y y 1 0
x y 1
.x .yB C 0A
Equação da reta ... ... a partir de um ponto e do coeficiente angular.
A B
A B
yyx x
my
x
A Amy y . x x
y m n.x
Retas Paralelasr
ssrm m
Retas Concorrentes
srm m sr
P
Retas Perpendiculares
srm
m1
s
r
P
900
Sobre a equação reduzida y = m.x + n, lembre-se!Interseção com o Eixo y
n
y
x0
r
Propriedades importantes que envolvem circunferências e retas
B
A
P PA BP
tr t
Na equação x2 + y2 + 2x – 2y – 23 = 0, temos:
C1
22x
C
21
2y
2 25R 231 1
C 1 1,
C
R
(x – (– 1))2 + (y – 1)2 = 52
(x + 1)2 + (y – 1)2 = 25
Essa equação é tangente à reta (t) no ponto P = (3, 4).
t
CP tC PCP
C P
my y 1 4 3x x 1 3 4
t 3
4
m1 4
3
P
C
R
t
Agora, como conhecemos as coordenadas do ponto P e o coe-ficiente angular da reta (t), podemos escrever sua equação.
P 3, 4
tm43
P t Py y m . x x
4y 4 . x 3
3
4x 3y 24 0 4
y x 83
P
Questão 3Questão 3: Resolva a equação |x2 – 4x| = 2x.
Normalmente, esse tipo de questão aparece logo no início da prova.
Algumas vezes, há uma orientação explícita para a construção dos gráficos num mesmo sistema de referência cartesiano.
As soluções dessa equação correspondem às abscissas dos pontos de interseção entre os gráficos.
A parábola tem a concavidade voltada para cima (a > 0).
Suas raízes são 0 e 4.
Seu vértice é o ponto (2, 4).
' "
V V
V V
b x xx ou x
2a 2
y f x4a
Como o módulo está aplicado apenas sobre f(x), basta refletir a porção negativa do gráfico em relação ao eixo horizontal.
2f x x 4x 2f x x 4x
2
2
x 4x, x 0f x .
x 4x, x<0
Poderíamos, inclusive, reescrever a função |f(x)|:
É uma função quadrática.
2f x x 4x 2f x x 4x
A exponencial é crescente (base > 1).
Passa pelo ponto (0; 1).
Não intersecta o eixo das abscissas.
xg x 2
Sua imagem são os reais positivos.
É uma função exponencial “clássica”.
A solução da equação |x2 – 4x| = 2x é representada pelas abscissas dos pontos de intersecção entre os dois gráficos.
Assim, a equação admite 3 soluções.
Questão 4Questão 4: Na figura abaixo, o triângulo ABC é equilátero de lado 8. Os segmentos AD, DE, EF, FB, BG, GH, HI, IC, CJ, JK, KL e LA são congruentes. Determine o valor da área sombreada.
TRIÂNGULO EQUILÁTERO
L
LL
60o
60o
60o
h
L 3h =2
2L 3A =
4
ÁREA DE UM TRIÂNGULO QUALQUER
b
h
b b
b
a
h h
x xBASE ALTURA b hÁREA = =2 2
a b sen. .ÁREA =2
a
ha =3
ÁREA DE UM TRIÂNGULO
A BABCA A 2 A A
A A 2
4
2
4
B 6
2
2
ABC
8 . 3A 16 3
4
Assim, podemos afirmar que .A 16 3 2 2 3 3 9 33
A
4 2 sen60A 2 3
2
B
6 2 sen60A 3 3
2