Coeficientes Indeterminados - Superposição
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Equações Diferenciais
Aula 10
Prof. Onézimo Cardoso
Coeficientes IndeterminadosSuperposição
• Para obtermos a solução geral para uma equação diferencial linear não-homogênea temos que realizar dois procedimentos:
1. Encontrar a função complementar
2. Encontrar qualquer solução particular da equação não-homogênea;
• Consideremos a equação:
• Em que são constantes;
• O método que abordaremos para a solução de (1) requer que:
– Os coeficientes de (1) sejam constantes;
– é uma constantes, uma função polinomial, uma função exponencial , , , ou somas e produtos dessas funções;
(1)
Exemplo• Resolva
• Resolvendo a equação homogênea associada ;
• Pela fórmula quadrática, deduzimos que as raízes da equação
auxiliar são:
• Desse modo, a função complementar é expressa por:
• Agora, já que a função aplicada é um polinômio quadrático,
vamos supor uma solução particular que tenha também a forma
de um polinômio quadrático:
• Devemos determinar coeficientes específicos para os quais seja
uma solução particular para EDO em questão;
• Substituindo então a função e suas derivadas na EDO:
• A partir da última equação temos:
• Ou seja,
• Resolvendo o sistema de equações anterior, concluímos que ;
• Logo, uma solução particular é:
• Temos portanto que a solução geral para a equação dada é:
Exemplo• Encontre uma solução particular para
• Note que a equação é da forma ;
• Mas como derivações sucessivas de produzem e , devemos
buscar uma solução particular da forma:
• Derivando e substituindo os resultados na EDO, temos:
• Temos então que:
• Do sistema resultante de equações, temos:
• Concluímos então que e . Uma solução particular para a equação
é:
Exemplo• Resolva
• Solucionando inicialmente a equação homogênea associada ,
concluímos:
• Para o cálculo da solução particular, perceba que a presença de
indica que deve conter as parcelas ;
• Perceba também que a derivada do produto produz derivadas
da forma e , portanto também deve conter parcelas da forma ;
• Portanto, a equação particular para EDO em questão é da forma:
• Substituindo e suas respectivas derivadas na EDO, concluímos
que:
• Da igualdade acima, decorre que:
• Concluímos então que , , e
• Desse modo, a solução particular é expressa por:
• A solução geral para EDO é então da forma:
Solução Alternativa• Podemos aplicar o princípio da superposição das soluções
particulares visto anteriormente e dividir o problema em
questão em dois mais simples:
–
• Aplicando o método dos coeficientes indeterminados nas duas
equações acima, concluímos que:
• Uma solução particular para a EDO em questão pode ser expressa
então por:
Exemplo• Determine uma solução particular para
• Para esse caso, escolheríamos a solução particular ;
• Porém, pelo fato desse tipo de solução estar presente na
equação complementar:
• Encontraremos a informação contraditória
• Ao substituirmos na EDO;
• Para esse caso, aplicaremos o fato visto anteriormente que se é
solução da EDO então também será;
• Desse modo, para esse caso, aplicaremos a solução particular:
• Então,
• Substituindo as equações acima na EDO obtemos:
• Nesse caso então, a solução particular será expressa por:
Formulação Geral• Podemos então dividir o método dos Coeficientes
Indeterminados por Superposição em dois casos:
CASO 1: Nenhuma função da suposta solução particular é uma
solução para a equação diferencial homogênea associada;
• Nesse caso, aplicamos diretamente a forma da solução
particular na EDO e determinamos
CASO 2: Uma função na solução particular escolhida é também
uma solução para a equação diferencial homogênea associada;
• Nesse caso, suponha que:
• Seja uma superposição de soluções particulares da EDO;
• Se alguma contém termos que duplicam termos em , então esta
tem que ser multiplicada por , em que é o menor inteiro
positivo que elimina essa duplicação;
Exemplo• Encontre uma solução particular para ;
• A função complementar para EDO acima é expressa por:
• Nesse caso, a escolha não funciona, pois ela está presente na
solução complementar;
• Note que a multiplicação de por resulta em que ainda está
presente na solução complementar;
• Devemos portanto considerar:
• Substituindo então e suas respectivas derivadas na EDO, obtemos:
• Logo, uma solução particular é:
Exemplo• Resolva o problema de valor inicial
• A solução da equação homogênea associada é:
• Agora, como é a soma de uma função linear e uma função seno,
nossa escolha normal para seria a soma de e ;
• Há uma clara duplicação dos termos e , desse modo, devemos
multiplicar por :
• Substituindo e suas derivadas na EDO obtemos:
• Resultando em
• Portanto, obtemos:
• A solução da EDO então é expressa por:
• Aplicando as condições iniciais na equação encontrada, obtemos
Equações de Ordem Superior• O método dos coeficientes indeterminados não é restrito a
equações de segunda ordem;
• Pode ser utilizado em equações de ordem superior
• Contanto que consista nos tipos próprios de funções discutidas
anteriormente;
Exemplo• Resolva
• As raízes da equação característica são e ;
• Então, a solução complementar para a equação é:
• Note que , desse modo, devemos ter:
• Perceba que não há nenhuma solução de que coincida com
funções da solução complementar;
• Visto isso, procederemos com a descrita anteriormente;
• Substituindo e suas respectivas derivadas na EDO, obtemos:
• Portanto a solução particular é expressa por:
• Desse modo a solução geral é da forma:
Exemplo• Determine a forma de uma solução particular para
• A função complementar da EDO acima é expressa por:
• A solução particular para esse caso, deveria ser da forma:
• Note que as duplicações entre e são eliminadas quando é
multiplicada por e é multiplicada por ;
• Logo, a escolha correta para uma solução particular é:
Exercícios 4.4• Resolva 4 exercícios dentre as questões 1 à 26;
• Resolva 4 exercícios dentre as questões 29 à 43;