Puntos, rectas y planos en el espacio Espacio afín Vectores en el espacio Vectores en el espacio...
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Puntos, rectas y planos en el Puntos, rectas y planos en el espacioespacio
Espacio afínEspacio afín
Vectores en el espacioVectores en el espacio Espacio afínEspacio afín Ecuaciones de la rectaEcuaciones de la recta Ecuaciones del planoEcuaciones del plano Posiciones relativas de rectas y planosPosiciones relativas de rectas y planos Haz de rectas y planosHaz de rectas y planos Posiciones relativas de rectas y planos Posiciones relativas de rectas y planos
con esferacon esfera
Vectores en el espacioVectores en el espacio
Dados dos puntos en el espacio A y B, se define vector fijo AB al segmento
orientado de origen el punto A y de extremo B
El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. El módulo de un vector es la distancia entre sus extremos. La dirección de un vector es la recta que lo contiene.La dirección de un vector es la recta que lo contiene. El sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremoEl sentido de un vector es el señalado desde su origen al extremo
Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el Dos vectores son EQUIPOLENTES o EQUIVALENTES, si tienen el
mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores mismo módulo, dirección y sentido. El conjunto de todos los vectores
equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado equipolentes se puede representar por un único vector u, llamado
VECTOR LIBRE.VECTOR LIBRE. El conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por VEl conjunto de los vectores del espacio lo representaremos por V33
Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (Ver VECTORES LIBRES EN EL PLANO (figura de CABRI).figura de CABRI).
SUMA GRÁFICAS DE VECTORESSUMA GRÁFICAS DE VECTORES
VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD. VECTOR SUMA u + v de los VECTOR u= AB y v = CD.
Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.Si el vector BE es EQUIVALENTE al VECTOR CD.
El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.El VECTOR SUMA será el VECTOR AE.
Ver SUMA DE VECTORES en el plano (Ver SUMA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
AA E DE D
B CB C
O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del O si el vector AF es EQUIVALENTE al VECTOR CD. Y E es el punto del
espacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramoespacio, tal que los puntos A, B, F, E, son los vértices de un paralelogramo
El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (El VECTOR SUMA será el VECTOR de la diagonal AE (regla del regla del
PARALELOGRAMOPARALELOGRAMO).).
FFAA E DE D
B CB C
VECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORESVECTOR OPUESTO. DIFERENCIA GRÁFICA DE VECTORES
El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR El VECTOR OPUESTO – u al VECTOR u = AB es el VECTOR
EQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - ABEQUIVALENTE al VECTOR BA. Denominado - u = - AB
Ver RESTA DE VECTORES en el plano (Ver RESTA DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma El VECTOR RESTA de los VECTORES AB y CD, ES EL VECTOR suma
de los VECTORES AB y – CD.de los VECTORES AB y – CD.
A CA C
B DB D
PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.PRODUCTO GRÁFICO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR.
El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el El VECTOR PRODUCTO r u de un número r por el VECTOR u = AB es el
VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos VECTOR AE, donde E es tal que el punto B pertenece al segmento de extremos
A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.A y E, y su longitud es r veces el VECTOR AB.
Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (Ver PRODUCTO DE NÚMERO POR VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
E E
B B A A VECTOR AE = 5. AB = 5.uVECTOR AE = 5. AB = 5.u
Así por ejemplo el vector u , es combinación lineal de uAsí por ejemplo el vector u , es combinación lineal de u11, u, u22 y u y u33, puesto que:, puesto que:
- 2 u- 2 u11 + 3 u + 3 u22 + u + u33 = u = u
Un conjunto de vectores, uUn conjunto de vectores, u11, u, u22 , … , u , … , unn, linealmente independientes, si la única , linealmente independientes, si la única
combinación lineal nula es la trivial, es decir Si kcombinación lineal nula es la trivial, es decir Si k11. u. u11 + k + k22 . u . u22 + … + k + … + knn . u . unn = 0 = 0
implica que kimplica que k11 = k = k22 = … = k = … = k nn = 0. En otro caso decimos que son dependientes = 0. En otro caso decimos que son dependientes
COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.
Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede Un VECTOR es COMBINACIÓN LINEAL de varios VECTORES, si se puede
obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos obtener utilizando la suma, resta o producto de un real por un vector, con dichos
vectores.vectores.
Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (Ver COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.BASES DE LOS VECTORES EN EL ESPACIO. COORDENADAS DE VECTORES.
Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se Dados tres vectores u, v y w no coplanarios ni nulos. Cualquier vector z, se
puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .puede poner como combinación lineal de los tres vectores u, v y w .
Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres Una BASE { u , v, w } de los vectores del espacio está formada por tres
vectores no coplanarias, ni nulos.vectores no coplanarias, ni nulos.
Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números Si { u, v, w } es una BASE. Dado un vector z, si a, b, c son dos números
reales, tales que: reales, tales que: z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las z = a u + b v + c w. Decimos que (a, b, c) son las
coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w } coordenadas de z, respecto de la BASE { u, v, w }
Así por ejemplo el vector u , respecto de la base { uAsí por ejemplo el vector u , respecto de la base { u11, u, u22 y u y u3 3 } tiene de } tiene de
coordenadas: (-2,3,1)coordenadas: (-2,3,1)
Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (Ver COORDENADAS DE UN VECTOR en el plano (figura de CABRI).figura de CABRI).
OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES.
Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (Fijada una BASE ( u, v, w ). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y perpendiculares de y
norma 1norma 1).).
Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q Entonces, si (a, b, c) y (d, e, f) son las coordenadas de los vectores p y q
respectivamente, es decir:respectivamente, es decir:
p = (a ,b, c)p = (a ,b, c) y y q = (d, e, f )q = (d, e, f )
Si r es un número real entonces:Si r es un número real entonces:
p + q = ( a + d , b + e, c + g )p + q = ( a + d , b + e, c + g )
p - q = ( a - d , b - e, c – g )p - q = ( a - d , b - e, c – g )
r. p = ( r.a , r.b, r.c )r. p = ( r.a , r.b, r.c )
r. q = ( r.d , r.e, r.f )r. q = ( r.d , r.e, r.f )
VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (VER OPERACIONES CON COORDENADAS DE VECTORES en el plano (excel)excel)
Operaciones con vectoresVector Coordenadas
u = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )
v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )Operaciones
u + v = ( 1,00 , 1,00 , 0,00 )
u - v = ( 1,00 , -1,00 , 0,00 )
1,00 x v = ( 1,00 , 0,00 , 0,00 )
1,00 x v = ( 0,00 , 1,00 , 0,00 )
HAZ DOBLE CLIC
Espacio AfínEspacio Afín
ESPACIO AFÍN.ESPACIO AFÍN.
ESPACIO AFÍN.ESPACIO AFÍN.
SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.SISTEMA DE REFERENCIA DEL PLANO CARTESIANO.
Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (Fijada una BASE (u, v, w). Supondremos ortonormales (perpendiculares de y perpendiculares de y
norma 1norma 1), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos ), y un punto en el plano O, al conjunto {O, u, v, w}, lo denominamos
SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.SISTEMA DE REFERENCIA CARTESIANO.
Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina Además, para cualquier punto P del plano, el vector r = OP, se denomina
VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c) VECTOR DE POSICIÓN del punto P. Si P = (a, b, c) ) , OP = ( a , b, c)
Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.Para cada punto P y cada vector r, existe un único punto Q, tal que r = PQ.
Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:Si P = (a, b, c) y Q = (d, e, f). Se cumplirá:
PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )PQ = OQ – OP = (d, e, f) – (a, b, c) = (d – a , e – b, f – c) )
VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (VER VECTOR DE POSICIÓN DE UN PUNTO en el plano (figura de CABRI)figura de CABRI)
Coordenadas del Punto P
Coordenadas del Vector OP
SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.SISTEMA DE REFERENCIA DE UN ESPACIO AFÍN.
COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.COORDENADAS DE UN VECTOR FIJO.
Rectas en el espacioRectas en el espacio
Una recta r en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y un
vector no nulo v =(v1,v2,v3) , denominado vector director de la recta r = r(A,v)
,OP OA AP OP OA v ������������������������������������������������������������������������������������
La ecuación vectorial de r es
1 1 1 1 1
1 2 3 1 2 3 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3
, , , , , ,
x a v x a b a
x y z a a a v v v y a v y a b a
z a v z a b a
La ecuación paramétrica de r es
=(x,y,z)Si v = AB, la recta r = r(A,AB) viene determinado
por dos puntos A(a1,a2,a3) y B(a1,a2,a3)
3 31 2 1 2
1 2 3 1 1 2 2 3 3
z a z ax a y a x a y a
v v v b a b a b a
La ecuación continua de r es
2 1 1 2 2 1
3 2 2 3 3 2
0
0
v x v y a v a v
v y v z a v a v
La ecuación general de r es
ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.
ECUACIONES DE LA RECTA.ECUACIONES DE LA RECTA.
Rectas en el espacioRectas en el espacio
Ejemplo.- Dada la recta (x,y,z) = (-3,1,5) + .(2,-1,0), averigua si A=A(-5,2,5)
y B=B(1,-2,5) son puntos de la recta
(-5,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0) =0
(1,2,5) = (-3,1,5) + .(2,-1,0) no existe
Luego A si es un punto de la recta y B no lo es.
3 3
2 3
x
y
z
Ejemplo.- Dados los puntos A = A(0,3,2) y B = B(-1,0,5), escribir las
ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por dichos puntos
Como un vector director de la recta es AB = (-1,-3,3) y pasa por A(0,3,2)
será
Rectas en el espacioRectas en el espacio
Ejemplo.- Determinar si los puntos A = A(1,1,-1), B = B(0,3,1) y C = C(2,-2,0)
están alineados
Como AB = (-1,2,2) y AC = (1,-3,1) y el rango (AB,AC) es =
1 1 2
2 3 1
x y z
Ejemplo.- Calcular la ecuación continua de la recta que pasa por A(1,-1,2) y
que tiene dirección perpendicular a los vectores u = (0,1,3) y v = (1,1,1)
Dado que un vector perpendicular a u y a v es w = (-2,3,-1), la ecuación
es
1 1
2 3 2
2 1
Rango
Y Los puntos A, B y C no están alineados
El planoEl plano
Una plano en el espacio viene determinada por un punto A(a1,a2,a3) y dos
vectores no nulos e independientes u = (u1,u2,u3) y v =(v1,v2,v3) , denominados
vectores directores del plano = (A, u, v )
=(x,y,z)
Si u = AB, v =AC, el plano = (A,AB,AC) viene determinado por tres puntos A(a1,a2,a3),
B(a1,a2,a3) y C(c1,c2,c3)
El planoEl plano
,OP OA AP OP OA u v ��������������������������������������������������������������������������������������������������
La ecuación vectorial de es
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3 3 3 3 3
, , , , , , , ,
,
x y z a a a u u u v v v
x a u v x a b a c a
y a u v y a b a c a
z a u v z a b a c a
Las ecuaciones paramétrica de son
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0 0, , , ,
x a u v
y a u v A x B y C z D A B C D
z a u v
La ecuación general de es
ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.
ECUACIONES DEL PLANO.ECUACIONES DEL PLANO.
El planoEl plano
31 12 23 3
3 1 3 0 3 02 2
2 2 3
x
y x z
z
Dado un punto A(1/2,3,2) y la recta (x,y,z) = (2+,-,5+) con . Hallar la
ecuación general del plano que contiene a ambos.
Como podemos tomar como puntos del plano A(1/2,3,2) y B(2,0,5), y como vectores
directores u = (1,-1,1) y v = AB = (3/2,-3,3), la ecuación general será
1 5 3
Como R , , R 1 2 4 2 A, B y C son coplanarios
9 2 8
ango OA OB OC ango
������������������������������������������
Ejemplo.- Averiguar si los puntos O(0,0,0), A(1,-1,3), B(5,2,-2) y C(-3.-4,8) son
coplanarios
Tomando 0,0,0 , 1,0,0 , 0,0,1 , La ecuación del plano será
1 0
0 0 0 0 0, 0
0 1
O i j
x
y y y
z
Determinar la ecuación del plano coordenado OXZ
ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES. ECUACIONES CANÓNICAS DEL PLANO. PLANOS ESPECIALES.
DETERMINACIÓN DE UN PLANO. DETERMINACIÓN DE UN PLANO.
PUNTOS COPLANARIOS. PUNTOS COPLANARIOS.
Posiciones relativas de dos rectas Dos rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + . (v1,v2,v3);
en el espacio pueden ser:
COPLANARIAS PARALELAS ( o coincidentes)
COPLANARIAS SECANTES
NO COPLANARIAS (se cruzan)
Posiciones relativas de dos rectas Si las rectas
r : (x,y,z) = (a1,a2,a3) + . (u1,u2,u3)
s : (x,y,z) = (b1,b2,b3) + . (v1,v2,v3);
tienen vectores u y v no proporcionales (es decir no paralelos), entonces,
dependiendo de que r y s, sean coplanarios o no, serán coincidentes en un punto
o se cruzarán. Para ello, podemos tomar dos puntos cualesquiera Pr de la recta r
y Ps de la recta s, y se cumplirá
Si Rango (u,v,PrPs) = 3, las rectas r y s se cruzan
Si Rango (u,v,PrPs) = 2, las rectas r y s se cortan en un punto
Ejemplo.- Determinar la posición relativa de las rectas 2 4 5:
3 2 14 5
:2 4 1
x y zr
x y zs
Como u y v no son proporcionales, tomando
PrPs = (0-2,4-(-4),(-5)-5) = (-2,8,-10)
3 2 1
2 4 1 78 0
1 4 5
Los vectores no son coplanarios, y por tanto
se cruzan
Posiciones relativas de dos rectas. Dadas dos rectas r y s, determinada por la intersección de planos, es decir
: A x + B y + C z + D = 0 ’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
r : s :
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0 ’’’ : A’’’ x + B’’’ y + C’’’ z + D’’’ =
0
Denominando
*' ' ' ' ' ' ';
'' '' '' '' '' '' ''
''' ''' ''' ''' ''' ''' '''
A B C A B C D
A B C A B C DM M
A B C A B C D
A B C A B C D
Pueden representarse las siguientes posibilidades que se recogen en la
siguiente tabla
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3 Rango (M*) = 4
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible determinado:RECTAS COINCIDENTES
Incompatible:RECTAS PARALELAS
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIRNO SE PUEDE CUMPLIR Compatible determinado:
RECTAS SECANTES
Incompatible:LAS RECTAS SE
CRUZAN
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Ran
go
(M
) =
1R
ang
o (
M)
= 2
Ran
go
(M
) =
3R
ang
o (
M)
= 4
Posiciones relativas de dos rectas. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de las siguientes rectas
3 2 4 3 4 3 5 3 0: :
5 1 2 3 5 9
x y z x y zr s
x y z x y z
Las rectas r y s son coincidentes.
Como se cumple
3 2 4 3 2 4 3
1 1 1 1 1 1 62
4 3 5 4 3 5 3
2 1 3 2 1 3 9
Rango Rango
Posiciones relativas de recta y plano Dada un plano y una recta r
: A x + B y + C z = D
A’ x + B’ y + C’ z = D’
r :
A’’ x + B’’ y + C’’ z = D’’
Pueden ser
SECANTES
PARALELOS
LA RECTA CONTENIDA EN EL PLANO
Posiciones relativas de una recta y un plano
Para estudiar las soluciones del sistema de un plano y una recta
: A x + B y + C z + D = 0
r : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
: A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
*' ' ' y ' ' ' '
'' '' '' '' '' '' ''
A B C A B C D
M A B C M A B C D
A B C A B C D
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible indeterminado;RECTA CONTENIDA EN EL
PLANO
Incompatible:RECTA PARALELA AL PLANO
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible determinado:
RECTA Y PLANO INCIDENTES
Ran
go
(M
) =
1R
ang
o (
M)
= 2
Ran
go
(M
) =
3
Posiciones relativas una recta y un plano. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de la recta y el plano
r : 3 x + 2 y – 7 z – 6 = 0
: x + y – z – 4 = 0
: 3 x – y + z – 8 = 0
Como se cumple
3 2 7 3 2 7 6
1 1 1 3 1 1 1 4
3 1 1 3 1 1 8
Rango Rango
El sistema es compatible, y la recta y el plano son incidentes.
Resolviendo el sistema, se obtiene el punto de corte P(3,2,1)
Posiciones relativas de una recta y un plano. Si la recta viene dada en forma paramétrica o continua, se puede expresar
previamente como dos planos o bien puede procederse sustituyendo.
Es decir, sea la recta y el plano
1 1
2 2
3 3
: : 0
x a u
r y a u Ax By Cz D
z a u
Se sustituye 1 1 2 2 3 3 0A a u B a u C a u D
Si de la ecuación, se obtiene un valor , son incidentes y el punto de
intersección se obtiene sustituyendo el valor en las ecuaciones
paramétricas de la recta.
Si de la ecuación se obtiene una identidad falsa, la recta y el plano son
paralelas.
si de la ecuación se obtiene la identidad trivial (0. =0), la recta está
contenida en el plano
Posiciones relativas de una recta y un plano.
Ejemplo.- Sea la recta y el plano.
1
2
3
2 7
: 4 2 : 3 3 5 12 0
3 3
x u
r y u x y z
z u
Sustituyendo
3 2 7 3 4 2 5 5 3 12 0 0 15
Luego la recta y el plano son paralelos
Posición relativa de una recta y un planoPosición relativa de una recta y un plano
Posición relativa de una recta y un planoPosición relativa de una recta y un plano
Posiciones relativas de dos planos
Dos planos
: A x + B y + C z + D = 0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
en el espacio pueden ser PARALELOS, SECANTES o COINCIDENTES.
Posiciones relativas de dos planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos
: A x + B y + C z + D = 0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
* y ' ' ' ' ' ' '
A B C A B C DM M
A B C A B C D
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2
Sistema compatible indeterminado:
PLANOS COINCIDENTES
Sistema incompatible:PLANOS PARALELOS
NO SE PUEDE CUMPLIRSistema compatible determinado:
PLANOS SECANTES(se cortan en una recta)
Ran
go
(M
) =
1R
ang
o (
M)
= 2
Posiciones relativas de dos planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
: 3 x - 2 y + 4 z - 1 = 0
’ : - 6 x + 4 y -8 z + 7 = 0
Como se cumple
3 2 4 3 2 4 11 2
6 4 8 6 4 8 7Rango Rango
Los planos son paralelos
Posiciones relativas de tres planos Tres planos
: A x + B y + C z + D = 0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
en el espacio pueden ser:
Los tres PARALELOS (o coincidentes)
Dos PARALELOS y el tercero COINCIDENTE a ambos (en dos
rectas paralelas)
COINCIDENTES dos a dos (en tres rectas)
COINCIDENTES en una recta.
COINCIDENTES en un punto
Posiciones relativas de tres planos
Para estudiar las soluciones del sistema de planos
: A x + B y + C z + D = 0
’ : A’ x + B’ y + C’ z + D’ = 0
’’ : A’’ x + B’’ y + C’’ z + D’’ = 0
Denominando:
Si aplicamos el teorema de Rouche, y podemos interpretar los resultados de
acuerdo con la siguiente tabla resumen
*' ' ' y ' ' ' '
'' '' '' '' '' '' ''
A B C A B C D
M A B C M A B C D
A B C A B C D
Rango (M*) = 1 Rango (M*) = 2 Rango (M*) = 3
Sistema compatible indeterminado:
PLANOS COINCIDENTES
Incompatible:PLANOS PARALELOS DISTINTOS ó PLANOS PARALELOS CON DOS
COINCIDENTES
NO SE PUEDE CUMPLIR
NO SE PUEDE CUMPLIRCompatible indeterminado;
PLANOS COINCIDENTES EN UNA RECTA
Incompatible:PANOS SECANTES DOS A DOS
ó DOS PARALELOS Y EL TERCERO SECANTE
NO SE PUEDE CUMPLIR NO SE PUEDE CUMPLIR
Sistema compatible determinado:
PLANOS SECANTES EN UN PUNTO
Ran
go
(M
) =
1R
ang
o (
M)
= 2
Ran
go
(M
) =
3
Posiciones relativas de tres planos. Ejemplo.
Ejemplo.- Estudiar la posición relativa de los siguientes planos
: x + y + z = 2
’ : 3 x + 2 y – z = 2
’’ : 4 x + 3 y = 2
Como se cumple
1 1 1 1 1 1 2
3 2 1 2 3 2 1 2 3
4 3 0 4 3 0 2
Rango Rango
El sistema es incompatible, y los planos pueden ser dos paralelos y el
tercero secante o coincidentes dos a dos (forma prismática). Que
observando, que no son proporcionales los coeficientes de los planos, se
deduce que se cortan en forma prismática.
Haz de rectas en el planoHaz de rectas en el plano
Haz de rectas en el planoHaz de rectas en el plano
EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO. EJEMPLO DE HACES DE RECTAS EN UN PLANO.
Radiación de tres rectasRadiación de tres rectas
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Posiciones relativas de rectas y planos con la esferaPosiciones relativas de rectas y planos con la esfera
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Educación y cienciaEducación y ciencia
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