Vectores en el espacioEn muchas ocasiones, cuando se habla de las dimensiones de una habitación, por ejemplo, hay una referencia a las medidas que tiene: anchura, longitud y altura.

Para conocer su tamaño, es necesario conocer las tres medidas; se dice por eso que la habitación es un objeto tridimensional, como lo es una mesa, un balón de fútbol, una flor o casi cualquier objeto del mundo físico que nos rodea. Volviendo al espacio de tres

dimensiones, puede representarse gráficamente un sistema de coordenadas adecuado para registrar las tres dimensiones de una figura geométrica, añadiendo un eje más al sistema de coordenadas rectangulares del plano cartesiano, que sea perpendicular a sus dos ejes:

Ejemplo:

a) Todo vector con la tercera coordenada igual a cero, está contenido en el plano :b) Si la segunda coordenada de es igual a cero, estará en el plano :

Sistema de ecuaciones lineales

Las ecuaciones lineales o de primer grado son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otra ecuación en la que al operar, trasponer términos y simplificar adopten esa expresión.

Ejemplos de ecuaciones l inealesa) Despejamos la incógnita:

b) Agrupamos los términos semejantes y los independientes, y sumamos:

Sistemas HomogéneosUn sistema de ecuaciones es homogéneo si todos sus términos independientes son iguales a cero. Por ejemplo, el sistema siguiente es homogéneo:

Cuando las filas de la matriz asociada son linealmente independientes, es decir, ninguna es múltiplo es de la otra, la solución al sistema es una recta en R3 que pasa por el origen. Es el caso del ejemplo anterior. Las dos filas de la matriz:

Son linealmente independientes. Geométricamente, eso significa que cada ecuación del sistema representa un plano distinto y la solución del sistema es el conjunto de todos los puntos de la recta $ l$ donde se intersectan los dos planos.Para encontrar la solución al sistema, se busca la manera de expresar dos de las incógnitas en función de una tercera.

Por ejemplo, una manera puede ser la siguiente: Sustituyendo a X en la segunda ecuación:

Ahora, se sustituye en la ecuación (1) y se obtiene.

Se tienen, así, las incógnitas, expresadas en función de , y el conjunto solución es el formado por todos los vectores

en que tienen la forma: y puede tomar el valor de cualquier número real.

DESIGUALDADES

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados. La notación a < b significa a es menor que b; La notación a > b significa a es mayor que b;estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que". La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b; La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas). La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b; La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud. La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son

comparables.

FUNCION CUADRATICA

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse como una ecuación de la forma: f(x) = ax2 + bx + cdonde a, b y c (llamados términos) son números reales cualesquiera y a es distinto de cero (puede ser mayor o menor que cero, pero no igual que cero). El valor de b y de c sí puede ser cero. En la ecuación cuadrática cada uno de sus términos tiene un nombre.Así, ax2 es el término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término independiente.

Ejemplo 1 Graficar la siguiente función cuadrática: y = x2 – 4x + 3.

SECCIONES CONICASSe denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas.

La generatriz es una cualquiera de las rectas oblicuas. El vértice es el punto central donde se cortan las generatrices. Las hojas son las dos partes en las que el vértice divide a la superficie cónica de revolución.

La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y generatriz. α < β <90º La elipse es una curva cerrada .

La parábola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.

α = β La parábola es una curva abierta que se prolonga hasta el infinito.

La hipérbola es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, formando con él un ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que incide en las dos hojas de la superficie cónica.

α > β La hipérbola es una curva abierta que se prolonga indefinidamente y consta de dos ramas separadas.