Puntos en el plano cartesiano y distancia entre dos puntos
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6
4 P
y
x
COORDENADAS de un PUNTO
(6,4)
y DISTANCIA entre DOS PUNTOS María Pizarro Aragonés
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eje de las abscisas x
y Eje de las ordenadas
SISTEMA DE COORDENADAS EN ELPLANO
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Los ejes constituyen un sistema de referencia en el plano llamado SISTEMA DE COORDENADAS EN EL PLANO.
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- 2 -1 0 1 2 3 x -1
-2
y 2 1
ORIGEN
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El punto de intersección de los ejes se llama ORIGEN del sistema.
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A cada punto del plano le corresponde le corresponde un
único par ordenado de R² (reales) y viceversa. Ese par ordenado se llama coordenadas del punto. P ( x , y) primero la abscisa y después la ordenada.
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6
4 P
P ( 6, 4) P ( x , y)
y
x
COORDENADAS DEL PUNTO P
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CUADRANTES Y
X
Los ejes coordenados determinan , en el plano, cuatro cuadrantes.
II I
III IV
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- 2 -1 0 1 2 3 x -1
-2
y 2 1
PUNTOS EN LOS EJES
(o,2)
(-2,0) (3,0)
(0,-2)
En general : (0 , y)
(x , 0)
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¿Qué valor debe tomar k para
que A (2 , 3k – 12 ) , esté sobre el eje X?
3k – 12 = 0 3k = 12 k = 4
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COORDENAQDAS DE LOS PUNTOS
(3 , 0)
( 0, - 2) ( -3, -1)
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Este ejercicio se puede resolver de varias maneras.Lo resolveremos representando los puntos en los ejes coordenados.
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-1 0 1 2 3 4 5 6 x
54
3
2
1
y
-1
-2
C (5 , 3)
A(-1, -2) B( 5, -2)
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-1 0 1 2 3 4 5 6 x
54
3
2
1
y
-1
-2
I) AB ⊥ BC V
II) AB // eje X V
III (0,5) ∈ BC FALSO
(5,0)
( 0, 5)
C
A B
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DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
B d
A
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0 1 2 3 4 5 6 x
Y
3
2
1
2 6 – 2 = 4
6
3 1
3 – 1 = 2
d 2
4
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
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Para calcular la distancia d , se aplica el teorema de Pitágoras. d es la hipotenusa del triángulo rectángulo.
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0 1 2 3 4 5 6 x
Y
3
2
1
d 2
4
d² = 4² + 2² = 16 + 4 = 20 d² = 20 d = √20
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0
x
Y
d
y₂
y₁
x₁ x₂
y₂ - y₁
x₂ - x₁
En general
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FÓRMULA DE DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.
d = √(x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)²
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Calcular la distancia entre los puntos A (3, 1) B ( 5, 2) d = √(x₂ – x₁)² + (y₂ - y₁)²d = √(5 – 3)² + (2 - 1)² d = √( 2 )² + ( 1 )² d= √ 4 + 1 d = √ 5
Se puede empezar por cualquier punto A ó B.
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Demuestra que los puntos dados son vértices de un triángulo isósceles. A( - 6 , 2) B ( 4 , -8) C ( 6 , 4)
Se calculan las distancias entre los puntos para determinar las medidas de lo lados.
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d AB = √(- 6 – 4)² + (2 - (- 8) )² d AB = √(- 6 – 4)² + (2 + 8 )²d AB = √(-10)² + (10 )²
d AB = √ 100 + 100 = √200
A(- 6 , 2) B( 4, - 8)
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d AC = √(- 6 – 6)² + (2 - 4 )² d AC = √(-12)² + (- 2 )²
d AC = √ 144 + 4 = √148
A( - 6 , 2) C (6, 4)
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d BC = √(4 - 6)² + ( - 8 - 4 )² d BC = √( -2 )² + (- 12 )²
d BC = √ 4 + 144 = √148
B ( 4 , - 8) C (6 , 4)
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Medidas de los lados del triángulo.
√200 √148 √148
tiene dos lados iguales , luego es isósceles
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( 0, 3)
(4,0) X
Y
d = √(0 – 4)²+(3 – 0)² =√(- 4)²+(3)² = √ 16 + 9 = √25 = 5
d
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FINBibliografía 1) Wikipedia 2) “Geometría Analítica Plana” JulioOrellana y Gladys Bernard Ediciones Pedagógicas Chilenas