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Lcdo. Eliezer A Montoya Geometria Analítica 1

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL

NÚCLEO BARINAS UNEFA

Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad I

Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Abril 2009

Apreciado estudiante intenta desarrollar los siguientes problemas propuestos, ubicando debidamente los puntos en el plano cartesiano, resolviendo analíticamente cada situación, prepare sus dudas para discutirlas en clases, asista a cada una de ellas es importante su participación En los problemas 1 al 6: a) Dibujar los puntos en el plano Cartesiano b) Calcular la distancia entre los puntos c) Hallar la coordenadas del punto medio del segmento que une los puntos 1) (2,1) (4,5)A y B= = 2) ( 3,2) (3, 2)A y B= − = −

3) 1 3

,1 , 52 2

A y B

= = − −

4) 2 1 5

, ,13 3 6

A y B

= − =

5) ( ) ( )1, 3 1,1A y B= = −

6) ( ) ( )2,0 0, 2A y B= − =

En los problemas 7 al 18 (a) Hallar la distancia entre los dos puntos, (b) Encontrar los puntos de trisección y el punto medio de cada segmento de recta 7) (7,10) (1,2)y

8) ( 1,7) (2,11)y−

9) ( ) ( )7, 1 7,3y−

10) ( ) ( )4,7 0, 8y− −

11) ( ) ( )6,3 3, 5y− −

12) ( ) ( )0, 4 4,0y −

13) ( ) ( )0,0 8, 6y − −

14) ( ) ( ), 4 ,8t y t

15) ( ) ( )3, 5 7, 8y− − − −

16) 1 3 5

, 3,2 2 2

y

− − − −

17) ( ) ( )2, 5,t y t−

18) ( ) ( ), 1 1,a b y a b+ +

En los problemas 19 y 20 calcular la distancia entre los puntos, usar en la respuesta tres cifras significativas.

19) ( ) ( )2.714,7.111 3.135,4.982y−

20) 53 211

, 17,4 5

yπ

−


En los problemas 21 al 27: (a) Use la formula de la distancia entre los puntos y demuestre usando el teorema de Pitágoras que el triangulo ABC es un triángulo rectángulo, y (b) Hallar el área y el perímetro del triángulo ABC.

21) ( ) ( ) ( )1,1 , 5,1 5,7A B y C= = =

22) ( ) ( ) ( )1, 2 , 3, 2 1, 7A B y C= − − = − = − −

23) ( ) ( ) ( )0,0 , 3,3 2,2A B y C= = − =

24) ( ) ( ) ( )2, 2 , 8,4 5,3A B y C= − = − =

25) ( )1 21

2, 5 , 9, 4,2 2

A B y C

= − − = =

26) ( ) ( ) ( )2, 1 , 7, 1 7,3A B y C= − = − =

27) ( ) ( ) ( )1, 2 , 4, 2 4,2A B y C= − = − =

(c) En los problemas anteriores calcule las coordenadas del punto medio de cada segmento, trace las tres medianas y verifique que las misma se cortan en un punto denominado Baricentro o centro de gravedad corresponden a

( ) ( )1 2 3 1 2 31 1,3 3x x x y y y + + + + .

En los problemas 28 al 40: (a) Probar que los puntos son los vértices del polígono indicado, (b) Calcular el área y el perímetro de cada polígono.

Vértices Polígono

28) ( ) ( ) ( )2, 1 , 2,2 5, 2A B y C= − − = = − Triángulo Isósceles

29) ( ) ( ) ( ) ( )2, 3 , 3, 1 , 1,4 4,2A B C y D= − − = − = = − Cuadrado

30) ( ) ( ) ( )5,1 , 6,5 2,4A B y C= − = − = − Triangulo Isósceles

31) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 1,2 , 2,1 3,3A B C y D= = = = Rombo

32) ( ) ( ) ( )5,0 , 0,2 0, 2A B y C= − = = − Triángulo Isósceles

33) ( ) ( ) ( ) ( )0,0 , 3,4 , 8,4 5,0A B C y D= = = = Rombo

34) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 3,7 , 4,4 1, 2A B C y D= = = = − Paralelogramo

35) ( ) ( ) ( ) ( )0,1 , 3,5 , 7,2 4, 2A B C y D= = = = − Cuadrado

36 ) ( ) ( ) ( )2, 1 , 2,5 4,1A B y C= − − = = Triángulo Isósceles

37) ( ) ( ) ( ) ( )0,2 , 3,1 , 1,4 2,5A B C y D= = = − = Paralelogramo

38) ( ) ( ) ( ) ( )3, 2 , 0, 1 , 3,2 0,1A B C y D= − − = − = = Paralelogramo

39) ( ) ( ) ( ) ( )6,1 , 5,6 , 4,3 3, 2A B C y D= = = − = − − Paralelogramo

40) ( ) ( ) ( ) ( )12,9 , 20, 6 , 5, 14 3,1A B C y D= = − = − = − * Cuadrado*


Resumen de fórmulas aplicadas Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano :

Sean ( ) ( )1 1 1 2 2, 2,P x y y P x y puntos del

plano cartesiano la distancia entre ellos viene dada por :

( ) ( )2 2

1 2 2 1 2 1d PP x x y y= = − + −

Coordenadas del punto medio ,P x y

del segmento dirigido, 1 2PP cuyos

extremos dados son los puntos

( ) ( )1 1 1 2 2, 2,P x y y P x y

1 2 1 2, ,2 2

x x y yx y

+ +=

Coordenadas del punto P (x,y) que divide el segmento rectilíneo dirigido

1 2PP con puntos extremos dados

( ) ( )1 1 1 2 2, 2,P x y y P x y , en la razón dada

1 2 1 2: :r PP P P r r= =

1 2

1 2

.

1 1

1

x r xx

rr

y ryy

r

+ = +

≠ −+ =

+

o bien

2 1 1 2

1 21 2

2 1 1 2

1 2

.

: 1 ,

r x r xx

r rsi r r x y

r y r yy

r r

+ = +

= ⇒+ =

+

Pendiente m de una (segmento de recta ) recta que pasa por dos puntos dados

diferentes ( ) ( )1 1 1 2 2, 2,P x y y P x y

2 11 2

2 1

tan

y ym x x

x x

m θ

−= ∴ ≠

−

=

El área formado por tres puntos no colineales (área del

triángulo) ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2, 2 3 3, 3, ,P x y P x y y P x y

1 1

2 2

3 3

11

12

1

x y

A x y

x y

=

***Si a, b , c son los lados de un triángulo el área del triangulo viene dada por (fórmula de Heron):

.( ).( ).( )A s s a s b s c= − − −

donde2

a b cs

+ += es el semi-perímetro

Condición necesaria y suficiente para

que dos rectas 1 2L y L��

a) Sean paralelas b) Sean perpendiculares

a) 1 2 1 2L L m m⇔ =��

b) 1 2 1 2. 1L L m m⊥ ⇔ = −��


Referencias Bibliográficas

[ ]1 L LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría

Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill

[ ]2 LEHMANN, Ch. H (1989) Geometría Analítica (XXIII reimpresión) México:Edit

LIMUSA

[ ]3 MUNEN & FOULIS (1984) Calculus with Analytic Geometry (Second Edition)

U.S.A -New York Edit Worth Publishers, Inc...1048 Pág.





Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-Parte A

Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Abril 2009

LA RECTA EN EL PLANO

Ejercicios propuestos: 1) Determínese la ecuación de la recta que pasa por : (a) (1,5) con pendiente m =3 (b) (-2,3) con pendiente m = -4 (c) (-1,-2) con pendiente m= 0 (d) (-3,5)con inclinación de 45º (e) (2.1) y es paralela al eje y (f) (1,3) con inclinación de 135º

g) (5,4) y tiene pendiente m =2 h) (6,1) y tiene pendiente m =-4 i) (3,2) y tiene pendiente m =1/4 j) (-5,-2) y tiene pendiente m = 0 k) (7,-2) y tiene pendiente m = -3 l) (0,2) y tiene pendiente m = -2/3

2) Determínese la ecuación general de la recta que :

(a) pasa por los puntos (3,1) y (-6,6) (b) pasa por (2,3) y es paralela a 2x-3y =4 (c) pasa por (2,3) y es perpendicular a 2x-3y=4 (d) pasa por (-1,3) y tiene intersección -3 con x . (e) pasa por (3,-2) y tiene intersección 4 con y (f) tiene intersecciones 2( con x) y -3 (con y)

(g) pasa por los puntos (7,11) y (-1,1) (h ) pasa por los puntos (3,2) y (4,8) (i) contiene a los puntos (-3,4) y (-4,4)

j) contiene a (7,2) y es paralela al

segmento AB , donde 1,1

3A

=

y

2 3,

3 5B

− =

.

k) contiene a (-1,2) y es

perpendicular al segmento AB ,

donde 3 2,

5 3A

=

y 2 1

,5 3

B−

=

3) Hallar la pendiente y la intersección con y de cada una de las siguientes recta: (a) y = 2x - 3 (b) 2x + y = 1 (c) 2x - 3y + 5 = 0

(d) 12 3

x y+ = (e) 3x+ y =3 (f) 2y = 3(x-2)

4) Determínese la ecuación de la recta que pasa por (5,6) y es paralela a la recta que une los puntos (-4,0) y (1,-6) 5) Determínese la ecuación de la recta perpendicular bisectriz del segmento rectilíneo de la recta 3x+4y -12=0 que queda entre los dos ejes. *6) Dado el triángulo de vértices A= (-3,1) , B=(6,4) y C(1,-1) determínese las ecuaciones de(a) los lados (b) las medianas (c) las perpendiculares bisectrices de los lados 7 ) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la recta que pasa por A y es paralela a BC . 8) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la recta trazada por los puntos medios de AB y BC


9) Con los datos del problema 6 determínese una ecuación de la altura correspondiente al segmento AB 10) Determínese la ecuación de la recta que pasa por (4,1) y tiene intersecciones iguales con los ejes. 11) Determínese la pendiente y las intersecciones de 6x -3y +1 = 0. 12) Determínese las intersecciones de la recta que es perpendicular a 6 x-5y -7=0 y pasa por (1,3)

Resumen de fórmulas aplicadas Pendiente m de una (segmento de recta ) recta que pasa por dos puntos dados

diferentes ( ) ( )1 1 1 2 2, 2,P x y y P x y

2 11 2

2 1

tan

y ym x x

x x

m θ

−= ∴ ≠

−

=

Ecuación General de la Recta: 0 , ,Ax By C A B C+ + = ∴ ∈�

I )Si B = 0 0Ax C x C A x a⇒ + = ⇒ = − ⇒ = una recta paralela al eje Y , vertical

II) Si A = 0 0By C y C B y b⇒ + = ⇒ = − ⇒ = ;una recta paralela al eje X ,horizontal

III)

� �

, , , , , ,

0

m b

Si A B C con A B C diferentede cero entonces la ecuacion

toma la forma suiguiente

Ax C A CAx By C y x y mx b

B B B

∈

− − − − + + = ⇒ = = + ⇒ = +

�

La ecuación y mx b= + es llamada Ecuación Explicita de la Recta, donde m es la pendiente y b la ordenada en el origen o el corte con el eje Y Condición necesaria y suficiente para que dos rectas

1 2: : ´ ´ ´L Ax By C y L A x B y C+ + + +��

a)Sean paralelas b)Sean perpendiculares

a) 1 2 1 2L L m m⇔ =�� es decir

´´ ´ 0

´ ´ ´

A A A BAB A B

B B A B= → = → − =

b) 1 2 1 2. 1L L m m⊥ ⇔ = −��

es decir

´1 ´ ´ 0

´ ´ ´

A A A BAB A B

B B A B

= − → = − → + =

Ecuación Punto-Pendiente de la Recta: Una ecuación de la recta con pendiente m y

pasa por el punto ( )1 1,x y es ( ) ( )1 1y y m x x− = −

Ecuación Punto-Punto de la Recta: Una ecuación de la recta que pasa por los puntos

( )1 1 1,P x y= y ( )2 2 2,P x y= viene dada por : ( ) ( )2 11 1 2 1

2 1

.

m

y yy y x x x x

x x

−− = − ∴ ≠

− ��

O bien 1 1

2 2

1

1 0

1

x y

x y

x y

=

Ecuación simétrica (o de intersecciones ) de la Recta : La recta cuyas intercepciones

con los ejes X e Y en los puntos ( ),0a y ( )0,b respectivamente, tiene por ecuación:

1 0 0x y

a ba b

+ = ∴ ≠ ∧ ≠


Ángulo formado por dos rectas coincidentes Una ángulo θ formado por dos rectas

1 2L y L��

esta dado por la formula 2 12 1

2 1

tan 11

m mm m

m mθ

−= ∴ ≠ −

+ en donde m1 es la

pendiente inicial y m2 es la pendiente final correspondiente al ángulo θ

Distancia de un punto a una recta dada : Dado un punto exterior ( )1 1 1,P x y y la recta

1 : 0L Ax By C+ + =��

la distancia perpendicular entre el punto y la recta viene dada por:

1 1

1 1

2 2P L

Ax By Cd

A B

+ +=

± +

Rectas y puntos notables formados por un triángulo Las medianas son rectas que parten del vértice hasta la mitad del lado opuesto

La intersección de las tres medianas forman el punto llamado Baricentro o Centro de gravedad

Las Alturas son rectas que parten desde los vértices perpendicularmente a los lados opuesto ( o a su prolongación )

La intersección de las tres alturas forman el punto llamado Ortocentro

Las mediatrices son rectas perpendiculares que parten del punto medio de cada lado

La intersección de las tres mediatrices forman el punto llamado Circuncentro ( centro de la circunferencia circunscrita o exterior al triangulo )

Las bisectrices son rectas que dividen cada ángulo en partes iguales

La intersección de las tres bisectrices forman el punto llamado Incentro (Centro de la Circunferencia inscrita o interior al triangulo )


LA CIRCUNFERENCIA.

A. 1.-Indique la ecuación general de la circunferencia , que satisface las

condiciones siguientes : (a) Centro (0,0) y radio 3 (b) Centro ( 0,0) y radio 7

(c) Centro ( 0,0) y radio 5

(d) Centro ( 2.5) y radio 7 (e) Centro (-2,3) y radio 5 (f) Centro (-3,-4) y radio 5

(g) Centro (5,-2) y radio 3 (h) Centro (0,3) y radio 6

(i) Centro (-4,0) y radio 4 2 (j) Centro ( -3,-8) y radio 10 (k) Centro (a,b) y radio c (l) Centro (a,-b) y radio c

2.-Indique la localización del centro y el radio en cada una de las circunferencias siguientes:

(a) 2 2 1x y+ =

(b) 2 2 49x y+ =

( c) 2 2 81x y+ =

(d) 2 2( 2) 25x y+ − =

(e) 2 2( 3) 36x y+ + =

(f) ( ) ( )2 2

5 4 100x y− + + =

(g) 2 2 20x y+ =

(h) 2 2 17x y+ =

(i) 2 2 50x y+ =

(j) 2 22 2 50x y+ =

(k) ( ) ( )2 2

3 2 3 1 10x y− + + =

(l) 2 2 2( ) ( )x a y b c− + − =

B. 3 Hallar la ecuación general de la circunferencia que satisface las siguientes

condiciones: (a) Centro (0,0) y pasa por el punto (-3,4) (b) Centro ( 2,5 ) y pasa por el punto ( 2,8) (c) Centro ( -3,-2) y pasa por el punto (-3,8) (d) Centro ( 0,5) y pasa por el punto (3,-4) (e) Centro (-3, 0) y pasa por el punto ( 0,-4) (f) Centro (1,6) y pasa contiene el punto (-2,2)

(g)Uno de sus diámetros une los puntos ( 6,-8) y (-2,4). (h) uno de sus diámetros une los puntos (3,1) y (-5,7) (i) Centro (3,2) y es tangente a la recta x-2y = 2 (j) Centro en (-4,1) y es tangente a la recta 2x+3y-7 = 0 (k) Pasa por el punto (-2,4) y es tangente a la recta x-2y =2 (l) Pasa por el punto(-2,4) y es tangente a la recta 3x+2y=5 en el punto (1,1)

4. Hallar la localización del centro y el radio en cada una de las circunferencias siguientes:

(a) 2 2 6 27 0x y x+ + − =

(b) 2 2 4 5 0x y y+ − − =

(c ) 2 2 10 8 16 0x y x y+ − − + =

(d) 2 2 2 2 3 0x y x y+ − − − =

(g) 2 2 5 3 1 2 0x y x y+ + − + =

(h) 2 24 4 8 4 1 0x y x y+ + − + =

(i) 2 23 3 6 9 27x y x y+ − + =

(j) 2 24 4 4 4 1 0x y x y+ + − + =


( e) 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − =

(f) 2 2 10 8 16 0x y x y+ − − + =

(k) 2 24 4 12 20 25 0x y x y+ + + + =

5. Encontrar la ecuación estándar de la circunferencia que pasa por los tres puntos siguientes:

(a) ( ) ( ) ( )3,1 , 7,1 7,5A B y C= − = = −

(b) ( ) ( ) ( )1,7 , 8,6 7, 1A B y C= = = −

(c) ( ) ( ) ( )5,1 , 3,3 1, 5A B y C= = = − −

(d) ( ) ( ) ( )5,3 , 7,1 8,2A B y C= = =

(e) ( ) ( ) ( )4,9 , 5,8 3,2A B y C= = = −

(f) ( ) ( ) ( )6, 6 , 1, 5 7, 5A B y C= − = − − = −

Resumen de fórmulas aplicadas Ecuación estándar de la circunferencia La circunferencia con centro el punto ( ),C h k= y radio r , viene dada por :

2 2 2( ) ( )x h y k r− + − = (A)

Si su centro es el origen de coordenadas ( )0,0C = y radio r la ecuación se reduce a :

2 2 2x y r+ = ( B)

Ecuación General de la Circunferencia : ( 2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F+ + + + + = donde los

coeficientes A y B son iguales y positivos ) ***Si tomamos la ecuación A y desarrollamos los productos notables tenemos

2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) 2 2 0x h y k r x hx h y ky k r− + − = → − + + − + − =

� �2 2 2 2 2 2 22 2 ( ) 0

D EF

x y h x k y h k r x y Dx Ey F= + − − + + − = + + + + =��

Siendo D = -2h , E= -2k y F = h2+k

2-r

2

Es decir, La ecuación general de la circunferencia 2 2 0x y Dx Ey F+ + + + = tiene como

coordenadas del centro al punto ,2 2

D EC

− − =

y el radio 2 214

2r D E F= + −

Ecuación d el circunferencia que pasa por tres puntos la ecuación de la circunferencia

que pasa por tres puntos no colineales ( ) ( ) ( )1 1 1 2 2, 2 3 3, 3, ,P x y P x y y P x y viene dad por el

determinante

2 2

2 21 1 1 1

2 22 2 2 2

2 23 3 3 3

1

10

1

1

x y x y

x y x y

x y x y

x y x y

+

+=

+

+



[ ]1 LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría

Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill.


LIMUSA

[ ]3 VANCE ,E. P.(1968) Introducción a la matemática Moderna Estados Unidos de

América : Edit. Fondo Educativo Interamericano - Edición Bilingüe


REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

MINISTERIO DE LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA

DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL NÚCLEO BARINAS

UNEFA

Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-B Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Junio 2009

La parábola

En los problemas 1al 18 Hallar las coordenadas del vértice y el foco de la parábola. También encuentra la ecuación de la directriz y la longitud de la cuerda focal o lado recto (latus rectum). Bosqueje la grafica

1. 2 4y x=

2. 2 9y x= −

3. 2 0x y− =

4. 2 4 0x y− =

5. 2 9 0x y+ =

6. 23 4 0x y− =

7. 24y x=

8. 24y x= −

9. 24x y=

10. 24x y= −

11. 2(1 4)y x=

12. 2(1 4)y x= −

13. 2 16 0x y− =

14. 2 16 0x y+ =

15. 2 16 0y x− =

16 2 16 0y x+ =

17. 24 3 0x y− =

18. 24 3 0x y+ =

19.- Hallar el vértice de la parábola 2y Ax Bx C= + + donde A, B y C son constantes y

0A ≠ En los problemas 20 al 30 Hallar las coordenadas del vértice y el foco de la parábola. También encuentra la ecuación de la directriz y la longitud de la cuerda focal o lado recto (latus rectum). Bosqueje la gráfica

20. 2( 2) 8( 3)y x− = +

21. 2( 1) 4( 1)y x+ = − −

22. 2( 4) 12( 7)x y− = +

23. 2( 1) 8x y+ = −

24. 2 8 6 2 0y y x− − − =

25. 22 8 3 4 0x x y+ − + =

26. 2 6 8 1 0x x y− − + =

27. 2 10 21 0y y x+ − + =

28. 2 2 8 3 0y y x+ − − =

29. 2 2 4 7 0x x y+ + − =

30. 2 4 19 5x x y+ + =

En los problemas 31 al 35 . Hallar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 31(a). Foco en (4,2) y directriz 6x = 31(b). Foco en (3,-1) y directriz 5y = 32. Vértice en (-6,-5) y foco en (2,-5) 33. Vértice en (2,-3) y directriz 8x = − 34. Eje paralelo al eje x, vértice (-1/2,-1) y contiene el punto (5/8,2) 35. Eje coincide con el eje y, la parábola contiene los puntos (2,3) y (-1,-2)


En los problemas 36 al 40. Hallar la ecuación de la recta tangente y normal en cada parábola en los puntos indicados:

36. 2 8y x= para (2,-4)

37. 22 9y x= para (2,-3)

38. 2 12x y= − para (-6,-3)

39. 2 8 4 20 0x y x+ + − = para (1, 15/8)

40. 2 2 10 44 0y y x− + − = para (9/2, 1) 41. Hallar la ecuación de la parábola cuyo eje es paralelo al eje X que pasa por los tres puntos:

(a) ( ) ( )3, 1 , 0,5 6, 7

2y

− − −

(b) ( ) ( ) ( )0,0 , 8, 4 3,1y−

(c ) ( ) ( ) ( )1,2 , 5,3 11,4y

Resumen de las formulas Tipo Vértice Apertura-

Concavidad Ecuación estándar ⇒Si el vértice es el origen

V(0,0) (h,k) Hacia arriba

-Upward

2( ) 4 ( )

Foco : ( , )

Directriz:

x h p y k

F h k p

y k p

− = −

+

= −

2 Foco : (0, )

4Directriz: -

F px py

y p

=

=

Verticales

(h,k) Hacia abajo- Downward

2( ) 4 ( )

Foco : ( , )

Directriz:

x h p y k

F h k p

y k p

− = − −

−

= +

2 Foco : (0, )

4Directriz: y

F px py

p

−= −

=

(h,k) A la derecha –to the right

2( ) 4 ( )

Foco : ( , )

Directriz :

y k p x h

h p k

x h p

− = −

+

= −

2 Foco : ( ,0)

4Directriz: x -

F py px

p

=

=

Horizontales

(h,k) A la izquierda – to the left

2( ) 4 ( )

Foco : ( , )

Directriz :

y k p x h

h p k

x h p

− = − −

−

= +

2 Foco : ( ,0)

4Directriz: x

F py px

p

−= −

=



[ ]1 LARSON R. ,HOSTETLER R y EDWARDS B . ( ) Cálculo y Geometría

Analítica, (Sexta Edición -Volumen 1 ) México: Edit Mc Graw Hill.


LIMUSA

[ ]3 VANCE ,E. P.(1968) Introducción a la matemática Moderna Estados Unidos de

América : Edit. Fondo Educativo Interamericano - Edición Bilingüe:





Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad II-B

Secciones A y B .Curso: Geometría Analítica – Paralelo Nocturno Lcdo. Eliezer Montoya -Versión 01-Primera Revisión- Julio 2009

La Elipse y la Hipérbola

A-La elipse En los problemas 1 al 10, hallar las coordenadas de los vértices y los focos de cada elipse (con centro el origen), además su excentricidad y bosqueje su gráfica:

1. 2 2

116 4

x y+ =

2. 2

2 19

xy+ =

3. 2 24 16x y+ =

4. 2 236 9 144x y+ =

5. 2 216 16x y+ =

6. 2 216 25 400x y+ =

7. 2 29 36 4x y+ =

8. 2 24 1x y+ =

9. 2 2

164 100

x y+ =

10. 2 2

1100 36

x y+ =

En los problemas 11 al 24, hallar las coordenadas del centro, los vértices y los focos de cada elipse, además su excentricidad luego bosqueje cada gráfica:

11.2 2( 1) ( 2)

19 4

x y− ++ =

12.2 2( 2) ( 1)

116 4

x y+ −+ =

13. 2 24( 3) 36x y+ + =

14. 2 225( 1) 16( 2) 400x y+ + − =

15. 2 22 6 7 0x y x+ + + =

16. 2 24 8 4 8 0x y x y+ − + − =

17. 2 22 5 20 30 75 0x y x y+ + − + =

18. 2 29 4 18 16 11 0x y x y+ + − − =

19. 2 24 2 8 1 0x y x y+ + − + =

20. 2 29 18 2 9 0x y x y+ + + + =

21. 2 26 9 24 54 51 0x y x y+ − − + =

22. 2 29 4 18 16 11 0x y x y+ − + − =

23. 2 216 9 192 36 468 0x y x y+ − + + =

24. 2 23 4 12 8 4 0x y x y+ − + + =

En los problemas 25 al 35, encontrar la ecuación general de la elipse que satisface cada una de las condiciones siguientes: 25. Focos: F´= (-4,0) y F= (4,0); Vértices: B´= (0,-3) y B = (0,3) 26. Vértices: A´= (-5,0) y A= (5,0), (eje mayor horizontal) y c =3 unidades 27. Focos: F´= (0,-12) y F= (0,12); Vértices: A´= (0,-13) y A = (0,13) 28. Focos: F´= (0,-8) y F= (0,8); semi- eje menor b = 6 unidades. 29* Focos: F´= (-4,1) y F= (4,1); Vértices: A´= (-5,1) y A = (5,1) 30 Focos: F´= (1,-2) y F= (1,2); Vértices: A´= (1,-4) y A = (1,4) 31. Vértices (0,-8) y (0,8), contiene el punto (6, 0) 32. Vértices (0,-3) y (0,3), contiene el punto ( )2 ,2 23


33. Vértices: ( )2 3,0± y ( )0, 4±

34. Vértices: ( ) ( )2, 3 , 2,5 , ( 7,1) y (3,1)− − − −

35. Focos F´= (1,3) y F= (5,3); eje mayor 10 unidades de longitud B_ La Hipérbola En los problemas 1 al 10, hallar las coordenadas de los vértices y los focos de cada Hipérbola (con centro el origen), además su excentricidad, las ecuaciones de las asintotas y bosqueje su gráfica:

1. 2 2

19 4

x y− =

2. 2 2

11 9

x y− =

3. 2 2

116 4

y x− =

4. 2 2

14 1

y x− =

5. 2 24 16 64x y− =

6. 2 249 16 196x y− =

7. 2 236 10 360y x− =

8. 2 24 1y x− =

9. 2 2

14 12

x y− =

10. 2 2

120 5

x y− =

En los problemas 11 al 18, hallar las coordenadas del centro, los vértices y los focos de cada hipérbola, además de su excentricidad, sus asintotas, luego bosqueje cada gráfica:

11.2 2( 1) ( 2)

19 4

x y− +− =

12.2 2( 3) ( 1)

11 9

x y+ −− =

13. 2 2( 1) ( 2)

116 25

y x+ +− =

14. 2 24 8 2 7 0x y x y− − + + =

15. 2 24 4 8 4 0x y x y− − − − =

16. 2 216 9 180 612 0x y y− + − =

17. 2 29 25 72 100 269 0x y x y− + − + =

18. 2 29 16 90 256 223x y x y− − − =

En los problemas 19 al 25, encontrar la ecuación general de la hipérbola que satisface cada una de las condiciones siguientes: 19. Vértices (-4,0) y (4,0); focos: (-6,0) y (6,0) 20. Vértices (0, -½) y (0, ½), focos (0,-1) y (0,1)

21. Vértices (-4,0) y (4,0), las ecuaciones de las asintotas 5

4y x= ±

22. Un vértice en (5,0) y un foco en (6,0) 23. Un vértice n (-3,0), excentricidad 1.5 24. Un foco en (-3,0), excentricidad 5/4 25. Eje mayor 10 unidades, excentricidad 2





Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad III


Coordenadas Polares y graficas polares

Las coordenadas cartesianas están formadas por un par de números, la abcisa y la ordenada, que representa la distancia dirigida de dos rectas fijas. Las coordenadas polares consisten de una distancia dirigida y la medida de un ángulo en relación a un punto fijo se denomina polo (u origen) y se puede representar mediante la letra O. El rayo fijo recibe l nombre de eje polar (o recta polar) la denotaremos como OA. El rayo OA usualmente se dibuja horizontalmente y se prolonga indefinidamente.( ver Figura 1)

En trigonometría vimos que :

1)cateto opuesto

sin sin .sinhipotenusa

yy r

rθ θ θ= ⇒ = ∴ =

2)cateto adyacente

cos cos .coshipotenusa

xx r

rθ θ θ= ⇒ = ∴ =

3)sin cateto opuesto

tan tan 0cos cateto adyacente

yx

x

θθ θ

θ= = ⇒ = ∴ ≠

Por el teorema de Pitágoras :

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

1

2 2 2

( .cos ) ( .sin )

cos sin

(cos sin )

x y r r

r r

r

x y r

θ θ

θ θ

θ θ

+ = +

= +

= +

+ =

��


Por tanto: 2 2r x y⇒ = ± +

Ejemplo 1:

Veamos la grafica de 6

1r θπ

= + para 0 2θ π≤ ≤

La tabla de valores seria: Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π

Grados sexagesimales

0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

La grafica de 6

1r tπ

= + hecha en el software graphmática es

-15 -10 -5 0 5 10 15

-10

-5

0

5

10

La grafica anterior de la ecuación polar ( )r f θ= es un una curva en forma de espiral .

I. ESPIRAL DE ARQUÍMEDES Podemos concluir que si 0a > ( a es una constate positiva) la grafica de

para 0r aθ θ= ≥

Es llamada Espiral de Arquímedes y la gráfica de

ar e θ= Es llamada espiral logarítmica


Ejemplo 2

Veamos la grafica de (0.3 )tr e= para 0 2θ π≤ ≤ La tabla de valores seria: Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 1 1.17 1.37 1.60 1.87 2.19 2.57 3.00 3.51 4.11 4.81 5.63 6.59

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

II .- EL Cardiode: Si a es una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones

( )1 cosr a θ= ± ( )1 sinr a θ= ±

Es una CARDIODE (o tiene forma de CORAZÓN) Ejemplo 3 Veamos la grafica de 2(1 cos )r θ= − La tabla de valores es: Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 0 0.27 0.59 1 2 3 3.73 4 3.73 3 2 1 0.27 0


La grafica polar de 2(1 cos )r θ= − es

-4 -2 0 2

-2

0

2

Ejemplo 4 Veamos la grafica de 4(1 cos ) 4 4cosr θ θ= + = +

-2 0 2 4 6 8 10

-4

-2

0

2

4

La tabla de valores de 4(1 cos )r θ= + queda como ejercicio para el estudiante Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ=


Ejemplo 5 Veamos la grafica de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = +

-2 -1 0 1 2 3 4

-1

0

1

2

3

4

La tabla de valores de 2(1 sin ) 2 2sinr θ θ= + = + Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 2 3 3.41 3.73 4 3.73 3 2 1 0.26 0 0.26 1 2

Ejemplo 6 Veamos la grafica de 3(1 sin ) 3 3sinr θ θ= − = −

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1


La tabla de valores de la grafica polar 3(1 sin )r θ= − queda como ejercicio para el estudiante: Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ=

III. Limaçon Si ya b son una constante positiva, la grafica polar de cada una de las cuatro ecuaciones

cosr a b θ= ± sinr a b θ= ±

Es un LIMAÇON (palabra francesa que proviene del latín limax que significa CARACOL).

Existen cuatro tipos de caracoles que dependen de la razón ab.

1. Si 0 1a

b< < es decir, 0 a b< < ⇒ caracol con Lazo (interno) –Figura a

2. Si 1a

b= es decir, a b= ⇒ El limaçon es un Cardiode

3. Si 1 2a

b< < es decir, 0

2

ab a< < < ⇒ Caracol con hendidura o muesca -Figura b

4. Si 2a

b≤ es decir, 0

2

ab< < ⇒ Caracol convexo (sin hendidura) –Forma un

circulo levemente torcido- Figura c


Ejemplo 7

Grafiquemos 1 2cosr θ= + vemos que ( ) 1ab

< , entonces se trata de un caracol o

limaçon con lazo.

Entonces, la grafica polar de 1 2cosr θ= +

0 1 2 3 4

-2

-1

0

1

IV. LEMNISCATE Si a es una constante positiva, la grafica polar de:

2 2 cos 2r a θ= o 2 2 sin 2r a θ= es llamada LEMNISCATE


Ejemplo 9: Graficar: 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ =

Viendo la grafica 2 4sin 2 2 sin(2 )r rθ θ= ⇒ = en el software graphmatica tenemos:

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Ejemplo 10: Graficar 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =


-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-3

-2

-1

0

1

2

3

Completa la tabla de 2 9cos 2 3 cos(2 )r rθ θ= ⇒ =

Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ=

V. N-PETALOS DE ROSA Si a es una constante positiva, la grafica polar de:

cosr a kθ= o sinr a kθ=

Obtenemos una rosa con N- pétalos, donde:

si es un entero impar

2 si es un entero par

k kN

k k

=

*Si k = 1 entonces las ecuaciones para una rosa tomarían la forma cosr a θ=

sinr a θ= las cuales son ecuaciones de una CIRCUNFERENCIA Ejemplo 11: Graficar: 3sin 3r θ= (rosa de 3 pétalos) y 5sin 4r θ= (rosa de ocho pétalos) Completa la tabla de 3sin 3r θ= (usa más intervalos para que logres ver mejor la grafica-no nos dice mucho la tabla por lo tanto necesitamos dividirla en pequeños partes


Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

5

6

π

π 7

6

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

11

6

π

2π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º

( )r f θ= 0 3 2.12 0 -3 0 3 0 -3 0 3 0 -3 0

Si usamos los ángulos opuestos Grados radianes

( )t thetaθ = 0

6

π−

4

π−

3

π−

2

π−

( )r f θ= 0 -3 -2.12 0 3

La grafica polar de 3sin 3r θ= :

-3 -2 -1 0 1 2 3

-3

-2

-1

0

1

2


La grafica de 5sin 4r θ=

-6 -4 -2 0 2 4 6

-4

-2

0

2

4

Su tabla de valores Grados radianes

( )t thetaθ =

0

12

π

6

π

4

π

3

π

5

12

π

2

π

7

12

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

11

12

π

π


0º 15º 30º 45º 60º 75º 90º 105 120º 135 150º 165 180º

( )r f θ= 0 4.3 4.3 0 4.3 4.33 0 4.3 4.3 0 -4.3 -4.3 0

Teorema Si m es la pendiente de la recta tangente a la grafica ( )r f θ= en el punto

( ),r θ entonces:

( ) ( )

( ) ( )

sin .cos ´ sin .cos

´ cos .( sin )cos .sin

dr dyr f fd dm

dr dx f fr

d d

θ θ θ θ θ θθ θθ θ θ θθ θ

θ θ

+ += = =

+ −−

Como ( )r f θ= esta definida en ecuaciones paramétricas ( ) cosx f θ θ= y

( )siny f θ θ=


RESUMEN DE ECUACIONES POLARES DE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS:

Aquí , yC a b Son constantes

Cθ = Recta que contiene al polo ; forma un ángulo de C radianes con el eje polar

sinr bθ = Recta paralela al eje polar ; arriba del eje polar si 0b > , debajo del eje polar si 0b <

cosr aθ = Recta paralela al eje

2

π , a la derecha del eje

2

π si 0a > ; a la

izquierda del eje2

π si 0a < .

r C= Circunferencia ; centro en el polo; radio igual a C unidades 2 .cosr a θ=

Circunferencia ; radio a tangente al eje 2

π, centro en el eje polar o

en su prolongación 2 .sinr a θ=

Circunferencia; radio b tangente al eje polar ; centro en el eje 2

π

o en su prolongación Con una tabla como estas puedes construir las graficas de las ecuaciones polares antes mencionadas construye la tuya en tu cuaderno para discutir luego en clases Grados radianes

( )t thetaθ =

0

6

π

4

π

3

π

2

π

2

3

π

3

4

π

5

6

π

π


0º 30º 45º 60º 90º 120º 135º 150º 180º

( )r f θ=

Grados radianes

( )t thetaθ =

7

6

π

5

4

π

4

3

π

3

2

π

5

3

π

7

4

π

11

6

π

2π


210º 225º 240º 270º 300º 315º 330º 360º

( )r f θ=

Los problemas propuestos siguientes son tomadas del capitulo 9.3 se encuentran en Louis Leithold (1998) El Cálculo 7. Séptima edición Edit. University Oxford pagina 764





Problemas Propuestos para de Evaluar la Unidad IV


El espacio R3 (Geometría Analítica en el espacio-tridimensional)

1.-Ubicar las coordenadas de cada punto, luego halla la distancia entre los puntos y las coordenadas del punto medio de los siguientes pares de puntos: (a) A(3,5,7) y B(4,8,10) (b) C(0,0,5) y D(0,12,0) (c) E(-3,-5,4) y F(5,-7,8) (d) G(0,9,12) y H(8,9,12) (e) I(5,5,5) y J(6,7,8) (f) K(3.-5,-4) y L(4,-5,4) (g)M(5,0,-3) y N ( 6,-5,4) (h) Ñ(1/2,3/2,-1/2) y O (-3,5,-6)

La Distancia entre dos puntos en el plano espacio:

Sean ( ) ( )1 1 1 1 2 2, 2 2, , ,P x y z y P x y z puntos cualquiera del

espacio, entonces la distancia entre ellos viene dada por :

( ) ( ) ( )2 2 2

1 2 2 1 2 1 2 1d PP x x y y z z= = − + − + −

Las Coordenadas del punto medio , ,P x y z del

segmento dirigido, 1 2PP cuyos extremos dados son los

puntos ( ) ( )1 1 1 1 2 2, 2 2, , ,P x y z y P x y z viene dada por:

1 2 1 2 1 2, , , ,2 2 2

x x y y z zx y z

+ + +=

2(a).Probar que el triangulo formado por los vértices A(2,-1,2) , B(1,2,0) y C (4,0,-1) son los vértices de un triangulo Isósceles. 2(b) Probar que el triangulo formado por los vértices A(-2,3,2) , B(-2,9,-4) y C (4,3,-4) son los vértices de un triangulo Equilátero.

3. Calcular los cósenos directores de los segmentos de rectas dirigidosOP��

sabiendo que su punto extremo viene dado por los puntos del ejerció anterior

, , , , ,AB CD EF GH IJ KL��

.(Recuerde que las componentes vectoriales de AB B A= −��

)

Los Cósenos Directores

Sean ( ) ( )1 1 1 1 2 2, 2 2, , ,P x y z y P x y z puntos cualesquiera del espacio, entonces los cósenos

directores del segmento de recta 1OP��

y 2OP��

viene dado por:

11

1

cosx

OPα = , 2

1

1

cosy

OPβ = , 2 2 21

1 1 1 1 1

1

cosz

OP x y zOP

γ = ∴ = + + y


22

2

cosx

OPα = , 2

2

2

cosy

OPβ = y 2 2 22

2 2 2 2 2

2

cosz

OP x y zOP

γ = ∴ = + + respectivamente

De esta manera el ángulo (thetha)θ entre los radios vectores 1OP��

y 2OP��

viene dado por:

1 2 1 2 1 2cos cos cos cos cos cos cosθ α α β β γ γ= + +

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 21 21 1 1 2 2 2

cos.

x x y y z z x x y y z z

OP OPx y z x y zθ

+ + + += =

+ + + +

4. Hallar la ecuación de la esfera cuyo centro y radio son: (a) C(0,0,0) , r = 5 (b) C(0,3,0) , r = 3 (c) C(5,1,1) , r = 6 (d) C(-2,-3,-4), r = 5 (e) C(3,3,3), r = 3 (f) C(5-4,2) , r =1 (g) C(-2,0,5) , r = 7 (h) C(3,-2,4), r= 4

Ecuación estándar de la Esfera La esfera con centro el punto ( ), ,C h k l= y radio r ,

viene dada por : 2 2 2 2( ) ( ) ( )x h y k z l r− + − + − = (A)

Si su centro es el origen de coordenadas ( )0,0,0C = y

radio r la ecuación se reduce a : 2 2 2 2x y z r+ + = ( B)

5. Hallar el centro y el radio del las siguientes esferas:

(a) 2 2 2 49x y z+ + =

(b) 2 2 2 100x y z+ + =

(c) 2 2 2( 2) ( 3) 16x y z− + − + =

(d) 2 2 2( 3) ( 5) ( 1) 36x y z+ + − + + =

(e) 2 2 2 8 10 4 29 0x y z x y z+ + − + + + = (Ayuda: use completación de cuadrados)

(f) 2 2 2 12 4 6 0x y z x y z+ + + + + =


Ecuaciones del Plano y la recta en el espacio

Planos en R3

La ecuación 0( ) 0N R R− =i (Producto

Interno o Producto Punto-Producto escalar de vectores) es fácilmente convertirla a la forma escalar cartesiana del plano poniendo

0 0 0 0

i j k

R i j k

R i j k

N a b c

x y z

x y z

= + +

= + + = + +

Tenemos entonces:

[ ] [ ]0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

0 0 0

( )i ( ) j ( )k

( ) i j k ( )i ( ) j ( )k

0 ( )i.i ( ) j.j ( )k.k

0 ( ) ( ) ( )

R R x x y y z z

N R R a b c x x y y z z

a x x b y y c z z

a x x b y y c z z

− = − + − + −

− = + + − + − + −⇒

= − + − + − = − + − + −

i i

La ecuación del plano obtenida tiene la forma 0 0 00 ( ) ( ) ( )a x x b y y c z z= − + − + − (A)

Si desarrollamos tenemos

0 0 0

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0

( ) 0

a x x b y y c z z

ax by cz ax by cz

ax by cz D

− + − + − =

+ + − + + =

+ + =

Haciendo 0 0 0( )D ax by cz= − + + (es un valor constante) para llegar ala ecuación del

plano cartesiana ax by cz D+ + = en el espacio, con coeficientes , ya b c no todos ceros

y el vector Normal i j kN a b c= + + Ahora bien si dividimos todo por D tenemos

1

ax by cz D

x y z

D a D b D c

+ + =

+ + =

La ecuación anterior se denomina ecuación simétrica del plano

1x y z

D a D b D c+ + = (B)

O intereceptos del plano


**Si conocemos tres puntos del espacio no colineales, A, B y C, Podemos hallar el

vector normal N AB AC= ×��

(a través del producto cruz o vectorial de cada segmento de recta orientado) y así determinar el plano que los contiene

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad de dos planos

Dados los planos 0 : Ax By Cz Dπ + + + y 1 : ´ ´ Á x B y C z Dπ + + + con vectores

normales 0 1, , y ,́ ,́ Ń A B C N A B C= entonces:

a.) Dos planos son paralelos si y solo si ´ ´ ´

A B C

A B C= =

b.) Dos planos son perpendiculares si y solo si : 0 1 0

. ´ . ´ . ´ 0

N N

A A B B C C

=

+ + =

i

c.) El ángulo (thetha)θ formado por dos planos cualquiera viene dado por :

0 1

2 2 2 2 2 20 1

´ ´ ćos

. . ´ ´ ´

N N AA BB CC

N N A B C A B Cθ

+ += =

+ + + +

i de donde :

0 11

0 1

cos.

N N

N Nθ −

=

i


Ejercicios propuestos sobre el plano en R3 En los problemas 6 al 9, Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que contiene los puntos P0 y posee como vector Normal N: 6. P0 =(1, -1, 2) y N= i + 2j + 3k 7. P0 =(1, 3, -1) y N= 2i + j – k 8. P0 =(0, 0, 0) y N= 5i -2 j +10 k 9. P0 =(0, 0, 1) y N= j + k En los problemas 10 al 12, Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que contiene los puntos A, B y C: 10. A = ( 2, -1, 0) , B= (-3, -4, -5) y C =(0, 8, 0) 11. A = (2, 2, -2) , B= (4, 6, 4) y C =(8, -1, 2) 12. A= (1, 1, -1), B= (3, 3, 2) y C = ( 3,-1,-2) En los problemas 13 al 18, Hallar (a) El vector Normal unitario del plano ( b) Los interceptos del plano con cada uno de los ejes (c) Graficar la porción del plano 13. 2 3 6 12x y z+ + =

14. 4 8 8x y z+ − − =

15. 0( ) 0N R R− =i , donde N = 12j -5 k y R0=5j

16. 0( ) 0N R R− =i , donde N = k y R0=i + j + 3k

17. 5 3 4x y z= +

18. 3 4 12x z= + En los problemas 19 al 22, (a) Determinar si los planos son paralelos (b) Determina la

distancia d entre dos planos paralelos a través de la formula 1 2

2 2 2

D Dd

a b c

−=

+ +

(c)En caso de no ser paralelos determine el ángulo que se forman entre ellos 19. 3 2 5x y z− + = y 6 2 4 10x y z− + = 20 3 4x y z− + + = y 5 5 15 21x y z+ + = 21 2 3x y z+ − = y 4 3 3x y z+ − = 22 2 2 3x y z+ − = y 2 2 3x y z− − + =

En los problemas 23 al Hallar la ecuación escalar cartesiana del plano que satisface las siguientes condiciones: 23. Contiene al punto (-1, 3, 5) y es paralela al plano6 3 2 9 0x y z− − + =

24. Contiene al punto (4, -1, 3) y es paralela al plano 2 5 4x y z− − =

25. Contiene el origen y es paralelo al plano 3 7 4x y z− + =


La recta en R3

Visualiza las figuras adjuntas:

Recordemos que dos vectores son paralelos si y solo si el producto cruz de ellos es igual al vector cero (vector nulo). Se R es el vector posición de P y R0 es el vector

posición de P0 entonces 0 0P P R R= −��

, de esta manera la condición para que M (el

vector director de la recta) sea paralela a 0P P��

la podemos escribir:

0( ) 0M R R× − =

Este es un vector de la ecuación no paramétrica de la recta con dirección M y contiene el punto cuyo vector posición es R0 Para convertir la ecuación vectorial 0( ) 0M R R× − = a la forma escalar cartesiana,

vemos que:

0 0 0 0

i j k

R i j k

R i j k

M a b c

x y z

x y z

= + +

= + + = + +

Entonces: 0( ) 0M R R× − = la podemos reescribir:

0 0 0

i j k

0i + 0 j + 0ka b c

x x y y z z

=

− − −

Esto es:

[ ] [ ] [ ]0 0 0 0 0 0.( ) .( ) i ( ) .( ) j + .( ) ( ) k 0b z z c y y a z z c x x a y y b x x− − − − − − − − − − =�

Igualando las tres componentes escalares, obtenemos ecuaciones tres ecuaciones escalares

[ ]

[ ]

[ ]

0 0

0 0

0 0

.( ) .( ) 0

( ) .( ) 0

.( ) ( ) 0

b z z c y y

a z z c x x

a y y b x x

− − − =

− − − =

− − − =

del mismo modo 0 0

0 0

0 0

.( ) .( )

( ) .( )

.( ) ( )

b z z c y y

a z z c x x

a y y b x x

− = −

− = −

− = −

Estas tres ecuaciones simultaneas nos dan la forma de la recta escalar no paramétrica.


Si los coeficientes a, b y c de la ecuación son diferentes de cero, podemos escribir las ecuaciones de la forma siguiente

0 0 0 0 0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,

z z y y z z x x y y x x

c b c a b a

− − − − − −= = =

O

0 0 0( ) ( ) ( )x x y y z z

a b c

− − −= = (A)

La ecuación anterior corresponde a la Ecuación Simétrica de la Recta en el espacio. (Conocidos un punto que lo contiene(X0, Y0, Z0 ) y las componentes escalares del vector M paralelo a la recta)

Si por un instante 0 00

( ) ( )0, 0, 0 ( ) 0,

y y z za b c x x

b c

− −= ≠ ≠ ⇒ − = =

Si ( ) ( )0 0 0 1, 1 1= , , = ,A x y z y B x y z son dos puntos distintos en el espacio tridimensional,

entonces existe una recta que contiene a dichos puntos.

( )1 0 1 0 1 0 0

0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 1 0

( - )i ( - )j ( - )k 0

R i j k - - -R i j k - - -

M A B x x y y z z A B R R

x y z x x y y z z

x y z x x y y z z

= = + + × − =

= + + ⇒ = = = + +

��

En conclusión, la ecuación de la recta (forma simétrica escalar) que pasa por dos puntos

del espacio ( ) ( )0 0 0 1, 1 1= , , = ,A x y z y B x y z es

0 0 0

1 0 1 0 1 0

- - -

- - -

x x y y z z

x x y y z z= = (B)

Hemos visto que la ecuación: 0( ) 0M R R× − = expresa la condición para que dos rectas

sean paralelas. Esta condición puede expresarse a través de la ecuación:

0 0R-R M R Mt R t= ⇒ = +

Donde t es un parámetro (variable escalar), resolviendo obtenemos una ecuación vectorial paramétrica de la recta

0

00

0 0

0 0

R M

x xx x

y y y y

z z z z

R t

ata

t b bt

c ct

= +

= + = + ⇒ = + = +

Obtenemos así la ecuación escalar paramétrica de la recta en el espacio 0

0

0

x x

y y

z z

at

bt

ct

= +

= + = +


Problemas propuestos de la recta en R3 En los problemas siguientes hallar la recta que contiene los puntos siguientes: (26) A(3,5,7) y B(4,8,10) (27) C(0,0,5) y D(0,12,0) (28) E(-3,-5,4) y F(5,-7,8) (29) G(0,9,12) y H(8,9,12)

(30) I(5,5,5) y J(6,7,8) (31) K(3.-5,-4) y L(4,-5,4) (32)M(5,0,-3) y N ( 6,-5,4) (33) Ñ(1/2,3/2,-1/2) y O (-3,5,-6)

( b) Calcular el menor ángulo formado entre las rectas formadas por en los ejercicios

anteriores use : 0 11

0 1

cos.

M M

M Mθ −

=

iPara evaluar el ángulo entre las rectas:

, ,AB y CD EF y GH IJ y KL��

En los problemas 34 al 38 , Hallar una ecuación o ecuaciones de la recta que satisfacen las siguientes condiciones Un (a) vector no parametrito (b) su forma simétrica, (d) vector paramétrico ( d) su forma escalar paramétrica 34.-Contiene al punto (-1, 1, 4) y es paralelo al vector M = i + j-2k 35.- Contiene al punto (5, 7,-1) y es paralelo al vector M = 3i -2j 36.- Contiene al punto (3, 1,-4) y es paralelo al vector M = 2j+5k 37.- Contiene al punto (1,3,-2 )y es perpendicular al plano 2 2 5x y z− + =

38.- Contiene al punto (1,-1,2) y es perpendicular al plano5 3 7x y z− + = En los problemas Determinar si las rectas son paralelas o perpendiculares:

39.-( 3) ( 1) ( 7)

4 2 3

x y z− + += =

− y

( 1) ( 1) ( 1)

3 3 2

x y z+ − += =

−

40.- ( 1) ( 1) ( 2)

3 2 5

x y z+ − += =

−y

( 4) ( 2) ( 1)

6 4 10

x y z− − += =

−

41. ( 3) ( 1)

2 4 3

x y z+ −= = y

( 7) ( 3) ( 4)

6 12 9

x y z+ + += =

− −

42( 3) ( 3) ( 5)

2 1 1

x y z+ − += = y

( 4) ( 3)2,

1 1

y zx

− += =

−

Recuerde: Dos rectas en el espacio son perpendiculares si = 2πθ del mismo modo son

paralelas si =0θ

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