Punim Seminarik -Trekendeshi
-
Upload
elonashatri -
Category
Documents
-
view
2.653 -
download
2
description
Transcript of Punim Seminarik -Trekendeshi
1
Gjimnazi “Gjon Buzuku”
Shkencat natyrore
P r i z r e n
N e n t o r 2 0 1 2
Punoi:Elona Shatri
Mentor:Nimete VRENEZI
Lënda: Matematikë Tema:Trekëndëshi
Gjimnazi “Gjon Buzuku” Shkencat Natyrore
Lënda:Matematikë
Tema:Trekëndëshi
Nxënesja:Elona SHATRI Mentor:prof. Nimete VRENEZI
Abstrakte
Një ndër problemet e zakonshme matematikore është për të gjetur këndet qe mbyllin brinjet e një
trekëndshi ,koordinatat e kulmeve,gjatësitë e brinjëve, siperfaqen e tij, etj. Duke i pasur te njohura
disa të dhëna .
Objektivat
Të zgjedhim trekëndshin duke përdorur formulat e kosinusit
Të zgjedhim trekëndshin duke perdorur formulat e sinusit
Të gjejmë siperfaqen e trekëndshit
Të gjinden gjatësit e brinjëve pikprerjet dhe ekuacionet e tyre
Të gjinden këndet e brendshme dhe ato të jashtme
Të gjinden medianat,ortoqendra dhe ekuacionet e tyre
Të gjinden lartësit pika e rëndimit dhe ekuaconet e tyre
Përmbajtja
1. Njohje me trekendeshin…………………………………………………………………………………..
2. Formulat e kosinusit per trekendesh…………………...............................................
3. Formulat e sinusit per trekendesh…………………………………………………………………….
4. Formulat e Hero’s per syprinen e trekendeshit………………………………………………….
5. Simetralja e brinjes ,kendit ,lartesit, mediana…………………………………………………….
6. Shembuj………………………………………………………………………………………………...………….
Njohja me trekendëshin
Trekendëshi ka tri kulme qe shenohen me A,B dhe C ,tri brinjë që shënohen me a,b dhe c. Ka tri kënde α ,
β dhe δ shuma e këndeve te brendshme eshte 180ᴼ pra α+β+δ=180ᴼ.
Trekendeshat i klasifikojme sipas :
Brinjeve
trekendeshi barabrinjes (kur gjatesia e brinjeve eshte e barabarte dhe secili kend I brendshem eshte 60ᴼ)
trekendesh barakrahesh (dy brinje kane kende te barabarta)
trekendeshi brinjendryshem (te tre kendet dhe brinjet e ndryshme)
Kendeve
trekendeshi kendedrejte (njeri kend eshte 90ᴼ)
trekendeshi kendegjere (me nje kend me te madh se 90
trekendeshi kendengushte (me tri kende me te vogla se 90ᴼ)
2. Formulat e kosinusit per trekendesh
Kur kemi te dhene tri brinjet ,ne mund te gjejme kendet e trekendeshit me formulat e meposhtme:
Ose forma tjeter :
1
Sh.1.0. Gjeni gjatesine e brinjes se trete ,nese jane te dhena:
a) a=1 , b=2 , δ=30ᴼ
b) a=3 , c=4 , β=60ᴼ
c) b=5 , c=10 , α=30ᴼ
Zhvillim I detyres
a) a=1 , b=2 , δ=30ᴼ
1 http://ëëë.mash.dept.shef.ac.uk/Resources/ëeb-sinecostri.pdf
b) a=3 , c=4 , β=60ᴼ
=13
c) b=5 , c=10 , α=30ᴼ
2. Formulat e sinusit per trekendesh
Ne mund te perdorim formulat e sinusit per te gjetur nje brinje, kur jane te dhena dy te tjera dhe kendi mes
brinjes se panjohur dhe njeres brinje te njohur.
Ku R është rrezja e rrethit të jashtashkruar.
Sh1.1. Supozojme se janë dhënë tri brinjët e trekëndëshit si në vijim:
a=5 , b=7 dhe c=10 .Gjeni këndin α
Sh3.Janë dhënë c=8 , b=12 dhe kendi mes brinjës së panjohur dhe njerës brinjë të njohur është δ=30ᴼ ,të
gjinden dy kendet tjera.
Por ketu mund të ndodh një kompliim sepse janë dy këndë qe kanë sinusin 0.75 : 180ᴼ-48.6ᴼ=131.4ᴼ
Në rastin e parë këndet e trekëndëshit janë këto :
δ=30ᴼ , β=48.6ᴼ dhe α=180ᴼ-β-δ=101.4ᴼ
dhe në rastin e dytë kemi:
δ=30ᴼ , β=131.4ᴼ dhe α=180ᴼ-β-δ=18.6ᴼ
4.Formulat e Hero’s per syprinen e trekendeshit
Formula e cila na jep syprinën e trekëndëshit është
Ose
Kur kemi të dhëna dy brinjë dhe këndin të cilin e formojnë mes vete formulat për syprinë janë këto :
Në rastin kur nuk kemi të dhënë asnjërin prej këndeve atëher syprinën e trekëndëshit e njehsojmë me anën e
formulave te Heros:
Sh1.3. Janë dhene brinjet te njehsohet syprina e trekëndëshit:
GJEOMETRI ANALITIKE
Simetralja e brinjës
Simetralja e brinjës së trekëndëshit është drejtëza normale me brinjën e cila kalon nëpër mesin e saj. Është e
njohur se të tre simetralet e brinjëve të trekëndëshit kalojnë nëpër një pikë dhe kjo pikë është qendra e rrethit të
jashtashkruar.
Lartësia
Lartësi e trkëndëshit është drejtëza që kalon nëpër një kulm të trkëndëshit dhe është normale me brinjën
përballe tij, të tre lartësitë trekëndëshit priten në një pikë e cila quhet ortoqendër.
Simetralja e këndit
Simetrale e këndit të brendshëm të trekëndëshit është drejtëza e cila kalon nëpër kulmin e trekëndëshit dhe
këndin e ndan në dy pjesë të barabarta. Tre simetralet e këndeve poashtu priten në një pikë e cila paraqet
qendrën e rrethit të brendashkruar i cili i prek të tre brinjët në një pikë.
Mediana
Medianë ose vijë e rëndimit është drejtëza e cila kalon nëpër kulmin e trekëndëshit dhe mesin e brinjës përballë
tij, vërtetohet se të gjitha medianat priten në një pikë e cila paraqet qendrën e rëndimit të trekëndëshit.
Shembuj
Sh2.1.Të gjendet syprina e trekëndshit nësë janë të dhëna kulmet e trekendëshit:
A(4,2) ,B(-2,5) dhe C(1,-4)
Zhvillim
Sh2.2.Te gjinden ekuacionet e brinjëve të të njejtit trekëndësh:
Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen AB :
A(4,2) ,B(-2,5)
AB:
Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen BC :
B(-2,5) , C(1,-4)
BC:
Dhe ekuacionin e drejtzes qe permban brinjën CA:
C(1,-4) , A(4,2)
CA :
Sh2.3.Te gjendet gjatesia e brinjëve te trekëndëshit :
Zhvillim
Pët të gjetur gjatesin e brinjeve perdorim formulat per percaktimin e distancave mes dy pikave ne kete rast
mes pikave te kulmeve:
A(4,2) dhe B(-2,5)
=
Brinja mes kulmeve C(1,-4) dhe B(-2,5)
=20.22
Dhe brinja mes kulmeve C(1,-4) dhe A(4,2)
Sh2.4.Të gjenden medianat dhe ekuacionet e tyre
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AC dhe kulmin B
Pika e mesit te brinjes AC eshte
Ekuacioni I medianës eshte B :4x+3y-7=0
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AB dhe kalon kulmin C
Pika e mesit te brinjes eshte
Ekuacioni I brinjes sepse ekuacioni I drejtzes qe bart brinjen AB eshte paralele me
boshtin x.
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes BC dhe kulmin A
Pika e mesit te brinjes BC eshte
Ekuacioni I drejtzes qe bart medianen eshte :
Qendra e rendimit te trekendeshit eshte pika ku priten medianat (vijat e rendimit) kjo pike gjendet nepermes
sistemit te ekuacioneve te medianave:
4x+3y-7=0
Nga ketu gjejme x=13.14 dhe y=-2.04 pra P(13.14 , -2.04)
Sh.2.5.Të gjinden lartësitë dhe ekuacionet e drejtzave që bartin këto lartësi :
Lartësia gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen BC dhe permban
kulmin A(4,2)
Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AC dhe permban
kulmin B(-2,5)
Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AB dhe permban
kulmin C(1,-4)
Ndërsa ortoqendra është pikprerja e ketyre lartësive pra formohet sistemi I ekuacioneve lineare me dy të
panjohura
Kur e zgjedhim sistemin del qe pika ku priten keto drejtza qe bartin lartesit e trekendeshit eshte Q(4,2)
Sh.2.6.Gjeni këndet që formojnë mes vete brinjët :
AB:
BC:
CA :
ku k-ja paraqet koeficientin kendor k=tg
Këndin mes brinjës AB dhe CA është këndi α:
dhe kendi I jashtem
Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi β:
ndersa keni I jashtem
Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi :
dhe kendi I jashtem
Sh.2.7.Të gjenden simetralet e këndeve që formojne brinjët e trekëndëshit :
a) AB: x+2y-8=0 dhe BC: x+y+1=0
b) BC: x+y+1=0 dhe AC: 2x-y-6=0
c) AB: x+2y-8=0 dhe AC: 2x-y-6=0
Formulat per te gjetur simetralen e kendit eshte :
a)
b)
c)
Shembuj
Sh2.1.Të gjendet syprina e trekëndshit nësë janë të dhëna kulmet e trekendëshit:
A(4,2) ,B(-2,5) dhe C(1,-4)
Zhvillim
Sh2.2.Te gjinden ekuacionet e brinjëve të të njejtit trekëndësh:
Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen AB :
A(4,6) , B(-1,5)
AB:
Gjejme ekuacionin e drejtzes qe permban brinjen BC :
B(-1,5) , C(2,3)
BC:
Dhe ekuacionin e drejtzes qe permban brinjën CA:
C(2,3) , A(4,6)
CA :
Sh2.3.Te gjendet gjatesia e brinjëve te trekëndëshit :
Zhvillim
Pët të gjetur gjatesin e brinjeve perdorim formulat per percaktimin e distancave mes dy pikave ne kete rast
mes pikave te kulmeve:
A(4,6) , B(-1,5)
Brinja mes kulmeve B(-1,5) , C(2,3)
Dhe brinja mes kulmeve C(2,3) , A(4,6)
Sh2.4.Të gjenden medianat dhe ekuacionet e tyre
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AC dhe kulmin B
Pika e mesit te brinjes AC eshte
Ekuacioni I medianës eshte B : x+8y-39=0
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes AB dhe kalon kulmin C
Pika e mesit te brinjes eshte
Ekuacioni I brinjes
Mediana e cila bashkon piken e mesit te brinjes BC dhe kulmin A
Pika e mesit te brinjes BC eshte
Ekuacioni I drejtzes qe bart medianen eshte :
Sh.2.5.Të gjinden lartësitë dhe ekuacionet e drejtzave që bartin këto lartësi :
Lartësia gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen BC dhe permban
kulmin A(4,6)
Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AC dhe permban
kulmin B(-1,5)
Lartësia : gjendet duke gjetur drejtzen e cila eshte normale ne drejtzen AB dhe permban
kulmin C(2,3)
Sh.2.6.Gjeni këndet që formojnë mes vete brinjët :
Këndin mes brinjës AB dhe CA është këndi α:
dhe kendi I jashtem
Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi β:
ndersa keni I jashtem
Këndin mes brinjës AB dhe BC është këndi :
dhe kendi I jashtem
Sh.2.7.Të gjenden simetralet e këndeve që formojne brinjët e trekëndeshit:
AB: dhe BC:
BC: dhe CA :
CA : dhe AB:
Formulat per te gjetur simetralen e kendit eshte :