CIOBANU VIRGIL 2105 B

Punctele Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (n italian Giuseppe Lodovico Lagrangia; n. 25 ianuarie 1736 la Torino - d. 10 aprilie 1813 la Paris) a fost un matematician iastronom de origine italian, care a adus numeroase contribuii n matematic i mecanic, fiind considerat cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Napoleon l-a supranumit piramida grandioas a tiinelor matematice. Sunt numite puncte Lagrange cele cinci poziii ntr-o configuraie orbital unde un obiect mic, afectat doar de gravitaie, teoretic poate fi staionar relativ la dou obiecte mai mari (de exemplu, un satelit artificial relativ la Pmnt i Lun). Punctele Lagrange marcheaz poziia pe orbit n care fora de atracie combinata a dou corpuri de mas mare produc fora centripet necesar unui al treilea corp pentru a se roti mpreun cu ele. Aceste puncte sunt asemntoare orbitelor geostaionare n sensul c permit unui obiect s fie ntr-o poziie "fix" n spaiu, fa de o orbit n care poziia lui relativ se schimb continuu. O definiie mai precis, ns mai tehnic, este c punctele Lagrange sunt soluii staionare ale problemei restrnse circulare a celor trei corpuri.[1] De exemplu, fiind date dou corpuri masive n orbite circulare n jurul centrului de mas comun, exist cinci poziii n spaiu unde un al treile corp, de mas comparativ neglijabil, poate fi plasat n aa fel nct s-i menin poziia relativ la cele dou corpuri masive. Vzut dintr-un sistem de referin rotational cu aceeai perioad ca a celor dou corpuri n co-orbitare, forele gravitaionale ale celor dou corpuri masive combinate cu for centrifug sunt n echilibru n punctele Lagrange, permind celui de-al teilea corp s fie staionar faa de primele dou corpuri.

CIOBANU VIRGIL 2105 B

Istorie i conceptePrimele trei puncte Lagrange coliniare au fost descoperite mai nti de Euler n jur de 1750. n 1772, matematicianul Joseph-Louis Lagrange lucra la celebra problem a trei corpuri cnd a descoprit n rezultate o situaie interesant. Iniial i propusese s descopere o modalitate de a calcula uor interaciunea gravitaional ntre un numr arbitrar de corpuri din sistem. Asta deoarece mecanica newtonian concluzioneaz c un astfel de sistem rezult n corpuri orbitnd n mod haotic pn cnd apare o coliziune, sau un corp este aruncat n afar sistemului n aa fel nct echilibrul s poat fi atins. Prin urmare, un sistem cu un singur corp este trivial, pentru c este pur i simplu static relativ la el nsui; un sistem cu dou corpuri este foarte simplu de rezolvat, ntruct corpurile orbiteaza n jurul centrului de mas comun. ns, cnd sunt introduse mai mult de dou corpuri, calculele matematice devin foarte complicate. Apare situaia n care trebuie s calculezi toate interaciunile gravitaionale ntre fiecare pereche de corpuri n orice punct al traiectoriei lor. Lagrange i-a propus s simplifice aceste calcule. A reuit asta cu ajutorul unei ipoteze: Traiectoria unui obiect este determinat de cutare unei ci care minimizeaz aciunea n timp. Aceasta este gsit scznd energia potenial din energia cinetic. Cu acest mod de gndire, Lagrange a reformulat mecanic newtonian clasica pentru a da natere mecanicii lagrangiene. Acest nou sistem de calcul l-a condus pe Lagrange la formularea unei ipoteze despre cum un al treilea corp de mas neglijabil ar oribta n jurul a dou corpuri de mas mai mare care deja sunt ntr-o orbit aproape circular. ntr-un sistem de referin care se rotete n acelai timp cu corpurile mai mari, el a gsit cinci puncte specifice n care al treilea corp este supus unei fore nete egal cu zero pe msur ce urmeaz orbita circular a corpurilor (planetelor) gazd.[4 Aceste puncte au fost numite "puncte Lagrange" n onoarea lui Lagrange. Au trebuit mai mult de o sut de ani pn ca teoria lui matematic s fie confirmat de descoperirea n 1904 a asteroizilor troieni n punctele Lagrange ale sistemului Soare - Jupiter. n cazul mai general al orbitelor eliptice, nu mai exist puncte staionare n acelai sens: ele devin mai mult nite "zone" Lagrange. Punctele Lagrange construite n fiecare moment al timpului formeaz orbite eliptice staionare care sunt similare cu orbitele corpurilor masive. Asta datorit celei de-a dou lege a lui Newton (F = dp/dt), n care p = mv (p este impulsul, m este masa, iar v este viteza) este nevariabil dac fora i poziia se modific proporional cu acelai factor. Un corp aflat ntr-un punct Lagrange, orbiteaz cu aceeai perioad ca a celor dou corpuri masive n cazul circular, ceea ce implic c are acelai raport ntre fora gravitaional i distana radial ca ale corpurilor gazd. Acest fapt este independent de circularitatea orbitei i implic c orbitele eliptice trasate de punctele Lagrange sunt la ecuaia micrii celui de-al treile corp.

CIOBANU VIRGIL 2105 B

Punctele LagrangeO diagram care arta cele cinci puncte Lagrange ntr-un sistem de dou corpuri, cu unul dintre corpuri mult mai masiv dect cellalt (e.g. Soarele i Pmntul). ntr-un astfel de sistem, L3L5 par s urmeze orbita secundarei, dei de fapt ele sunt situate puin n afara ei. Cele cinci puncte Lagrange sunt etichetate i definite dup cum urmeaz: L1 Punctul L1 este poziionat pe linia definit de cele dou mase M1 i M2, i este situat ntre acestea. Este cel mai intuitiv de neles dintre punctele Lagrange: cel n care atracia gravitaional a M2 anuleaz parial atracia gravitaional a M1. Exemplu: Un obiect care orbiteaza Soarele mai aproape de acesta dect de Pmnt va avea n mod normal o perioad orbital mai scurt dect ce a Pmntului, dar asta ignor efectul de traciune exercitat de gravitaia Pmntului. Dac obiectul este plasat ntre Pmnt i Soare, atunci efectul gravitaiei Pmntului este de a slbi fora care atrage obiectul ctre Soare i, n consecin, de a mri perioada orbital a obiectului. Cu ct obiectul este mai aproape de Pmnt, cu att acest efect este mai puternic. n punctul L1, perioada orbital a obiectului devine egal cu perioad orbital a Pmntului. Punctul L1 din sistemul Soare - Pmnt este ideal pentru a face observaii asupra Soarelui. Aici obiectele nu sunt niciodat umbrite de Pmnt sau de Lun. Observatorul Solar i Heliosferic(SOHO) staioneaz ntr-o orbit Halo n L1, iar Exploratorul de Compozitie Avansat (ACE) este ntr-o orbit Lissajous, n acelai punct Lagrange. Punctul L1 Pmnt - Lun faciliteaz accesul uor la orbitele lunare i ale Pmntului cu o schimbare minim a vitezei i ar fi ideal pentru o staie spaial destinat a ajuta transporturile cargo i de personal ctre i dinspre Lun. L2 Punctul L2 se afl pe linia definit de cele dou mase mari, dincolo de cel mai mic dntre ele. Aici fora gravitaional a celor dou mase mari egaleaz fora centrifug a masei mici. Exemplu: Pe cealalt a Pmntului fa de Soare perioada orbital a unui obiect va fi n mod normal mai mare dect cea a Pmntului. Fora de atracie exercitat de gravitaia Pmntului

CIOBANU VIRGIL 2105 B

micoreaz perioada orbital a obiectului, iar n punctul L2 perioada orbital devine egal cu cea a Pmntului. Punctul L2 Soare - Pmnt este un bun loc pentru observatoare astronomice n spaiu. Pentru c un obiect n L2 va menine aceeai orientare faa de Soare i Pmnt, ecranarea i calibrarea sunt mult mai simple. Este, totui, puin dincolo de ntinderea umbrei Pmntului, astfel c radiaia solar nu este complet blocat. Sonda pentru Anizotropia Microundelor Wilkinson i Observatorul Spaial Plank sunt deja pe orbit n jurul L2. Observatorul Spaial Herschel, Sonda Gaia, i Telescopul Spaial James Webb vor fi plasate n L2Soare - Pmnt. L2 Pmnt - Lun ar fi o bun locaie pentru un satelit de comunicaie care s acopere partea ndeprtat a Lunii. Dac masa obiectului mai mic (M2) este cu mult mai mic dect masa obiectului mai mare (M1), atunci L1 i L2 sunt la o dintanta r aproximativ egal de obiectul mai mic, egal cu raza sferei Hill, dat de relaia:

unde R este distana dntre cele dou corpuri. Exemple Soarele] i Pmntul: 1,500,000 km de Pmnt Pmntul i Luna: 61,500 km de Lun L3 Punctul L3 se afl pe linia definit de cele dou mase mari, dincolo de cel mai mare dintre ele. L4 i L5 Punctele L4 i L5 se afl n cel de-al treilea colt al celor dou triunghiuri echilaterale n planul orbitei, a cror baz comun este linia dintre centrele celor dou mase, astfel nct punctele se situeaz naintea (L5) i dup (L4) masa mai mic relativ la orbita ei n jurul masei mai mari. Motivul pentru care aceste puncte sunt n echilibru este c n L4 i L5 distana fa de cele dou mase sunt egale. Astfel, forele gravitaionale ale celor dou corpuri masive sunt n acelai raport ca i masele celor dou corpuri, astfel fora

CIOBANU VIRGIL 2105 B

rezultant actionant ca baricentru al sistemului; mai mult, geomtria de triunghi asigur c rezultanta acceleraiei este la o distana de baricentru n acelai raport ca cele dou corpuri masive. Baricentrul fiind att centrul de mas ct i centrul de rotaie al sistemului, fora rezultant este exact aceea necesar pentru a ine un corp n punctul Lagrange n echilibru orbital cu restul sistemului. Punctele L4 i L5 sunt uneori numite puncte Lagrange triangulare sau puncte troiene. Numele de puncte troiene vine de la asteroizii troieni de la punctele L4i L5 Soare - Jupiter, care la rndul lor sunt numii dup personajele din Iliada lui Homer (legendara asediere a Troiei). Asteroizii din punctul L4, care conduc planeta Jupiter, sunt numii 'tabra greac', oar cei din punctul L5 poart numele de 'tabra troian'. Aceti asteroizi sunt (mare parte) denumii dup caracterele din taberele respective ale Rzboiului Troian.

Explicaie intuitivPunctele Lagrange pot fi explicate intuitiv folosind sistemul Pmnt - Lun.[5] Punctele Lagarange L2 pn la L5 exist doar n sitsteme care se rotesc, cum este i orbita Lunii n jurul Pmntului. n aceste puncte, accelerarea centrifug spre exterior este echilibrat de atracia forelor gravitaionale combinate ale Lunii i ale Pmntului. Imagineaz-i o persoan care nvrte o piatr legat de o sfoar. Sfoara produce o for (tensiune) care acceleraza piatra ctre centru. ns, o furnic care st pe piatr, va percepe o for n direcia opus i care ncearc s o arunce mai departe fa de centrul de rotatie. Aceast for aparent (sau "pseudo-for", sau "for inerial") este numit for centrifug. Acelai efect este prezent n punctele Lagrange ale sistemului Pmnt - Lun, unde analogul sforii este atracia adunat (sau net) a celor dou mase, iar piatra este un asteroid sau o nav spaial. Sistemul Pmnt - Lun i nava spaial se rotesc mpreun n jurul centrului comun de mas, numit baricentru. Pentru c Pmntul este mult mai greu dect Luna, baricentrul este localizat n interiorul Pmntului (la o adncime de aprox. 1,700 km de la suprafa). Orice obiect inut gravitaional de sistemul rotational Pmnt - Lun va percepe o for centrifug orientat n afar baricentrului, similar cu fora perceput de furnica de pe piatr. Spre deosebire de alte puncte Lagrange, L1 poate exista i ntr-un sistem care nu se rotete (static sau inerial). ntr-un sistem rotational, L1 este puin mai departe de (corpul mai puin masiv) Lun i mai aproape de (corpul mai masiv) Pmnt dect ar fi ntr-un sistem ne-rotational. L1 este puin instabil pentru c deplasarea ctre Lun sau ctre Pmnt mrete atracia gravitaional a unuia i o slbete pe a celuilalt, cauznd o deplasare i mai mare. Schimbarea rezultat n for centrifug este mai mic dect schimbarea n acceleraia gravitaional.

CIOBANU VIRGIL 2105 B

n punctele Lagrange L2, L3, L4 i L5, o nav spaial este supus unei fore centrifuge nspre exterior care echilibreaz atracia gravitaiei ctre baricentru. L2 i L3 sunt puin instabile pentru c mici schimbri n poziie pot nclina balan mai mult n favoarea gravitaiei dect n a forei centrifuge. Stabilitatea n L4 i L5 este explicat prin efectul Coriolis: cnd gravitaia trage un obiect ntr-o orbit mai strns, acesta va orbita mai rapid, mrind fora centrifug care se opune gravitaiei. Cnd obiectul se mut ntr-o orbit mai larg, gravitaia nvinge fora centrifug aparent, trgnd obiectul napoi. Rezultatul net este acela c obiectul pare s planeze sau s orbiteze mereu n jurul punctelor L4 i L5. Cel mai uor mod de a nelege stabilitatea rezultat este s spui c poziiile L1, L2, L3 sunt la fel de stabile ca o bil n echilibru pe vrful unui ac: orice perturbare o va scoate din echilibru. Poziiile L4 i L5 sunt la fel de stabile ca o bil ntr-o cup: micile perturbri o vor muta din loc, ns se va rostogoli napoi n centrul cupei.

Exemple naturalen sistemul Soare - Jupiter cteva mii de asteroizi, cunoscui sub numele colectiv de asteroizi troieni, sunt n orbit in jurul punctelor L4 si L5 Soare - Jupiter. Observaii recente sugereaz c punctele L4 si L5 Soare - Neptun, ale cror obiecte sunt denumite troieni ai lui Neptun, ar putea fi foarte populate, coninnd corpuri de dimensiuni mari, cu un ordin de magnitudine mai numeroi dect troienii lui Jupiter. Alte obiecte de acest tip pot fi gsite n sistemul Soare - Marte i n sistemul Saturn - satelii saturnieni. Nu se cunosc corpuri de dimensiuni mari n punctele troiene ale sistemului Pmnt - Soare, ns au fost descoperii nori de praf interplanetar n jurul punctelor L4 si L5. Nori de praf, denumiti nori Kordylewskz, mai rarefiai decat chiar gegenschein, ar putea exista in L4 i L4 al sistemului Pmnt - Lun. Satelitul saturnian Tethys are la rndul lui doi satelii n punctele L4 i L5, Telesto i Calypso. Satelitul saturnian Dione are i el doi co-orbitali Lagrange, Helene n punctul L4 i Polydeuces n L5. Tethys i Dione sunt de sute de ori mai masivi dect "escortele" lor, iar Saturn este de multe ori mai masiv dect acetia, ceea ce face ca ntregul sistem s fie stabil.