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PUC MINAS Matemática Financeira Aplicada à Calculadora HP 12c

Prof. Antônio Carlos Bertucci [email protected]

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PUC MINAS

Matemática Financeira Aplicada à Calculadora HP 12c

Professor: Antônio Carlos Bertucci

1o Semestre/2012



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INFORMAÇÕES BÁSICAS

Ligando e Desligando a Calculadora:

Para começar a usar a sua HP-12C, pressione a tecla ( ON ). Se você pressionar ( ON ) novamente, a

calculadora será desligada.

Testando a calculadora

Para saber se a máquina está com as funções OK, siga as instruções:

a) Com a máquina desligada:

Segure a tecla ( X ) e ligue a calculadora ( ON ) e solte o ( X ) o resultado deve ser:

-8,8,8,8,8,8,8,8,8,8 USER f g BEGIN GRAD D.MY C PRGM



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b) Com a máquina desligada:

Segure a tecla ( ÷) e em seguida ligue a máquina ( ON ) tecle todas as teclas da máquina, uma a

uma: ( N ), ( i ), ( PV ), ( PMT ), etc. O (ENTER) é digitado 2 vezes na penúltima e última fileira, no

final deve aparecer no visor o nº 12

O Teclado

A maioria das teclas da HP-12C realiza duas ou até mesmo três funções:

• Para usar a função primária, impressa em branco, basta pressioná-la.

• Para usar a função impressa em amarelo, pressione a tecla amarela, de prefixo ( f ) e, em seguida,

pressione a tecla da função desejada.

• Para usar a função impressa em azul, pressione a tecla azul, de prefixo ( g ) e, então, pressione a

tecla da função desejada.

Introduzindo Números

Pressione as teclas dos dígitos em seqüência. A tecla do ponto ( . ) deverá ser pressionada se o número

possuir dígitos na parte decimal; se o número for inteiro, o ponto é irrelevante.

Separando Dígitos

Se, ao ligar sua HP, você perceber que a parte inteira está separada da parte decimal por ponto (0.00),

significa que está preparada para cálculo em US$. Para adaptá-la a cálculos em R$, ou seja, (0,00), basta,

com a calculadora desligada, pressionar ao mesmo tempo as teclas ( ON ) e ( . ) soltando primeiro a tecla

( ON ) e, em seguida a ( . ). Muda o ponto para vírgula ou vice-versa.

x



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Número de Casas Decimais

� Para 0 casa decimal digite ( f ) ( 0 )

� Para 2 casas decimais digite ( f ) ( 2 )



Números Negativos

Digite o nº qualquer e tecle ( CHS )

Obs. A tecla ( CHS), inverte o sinal do número digitado no visor, ou seja de positivo para negativo e

negativo para positivo.

Lógica RPN (Reserve Polish Notation)

A HP 12C usa lógica própria para fazer cálculos. As calculadoras normalmente somam 1+2 = 3,

nessa seqüência. A HP não tem a tecla igual; por isso procede-se da seguinte forma para somar:

1 ( ENTER ) 2 + no visor aparecerá 3. A lógica RPN usa a “Pilha Operacional” para operacionalizar os

registros nas Memórias X, Y, Z e T.

Veja como funciona a pilha no exemplo acima:

Quando digitamos o 1, este aparece no visor e representa o X.. Ao acionarmos o ( ENTER ) o nº 1 é

conduzido para o registro Y e ao digitarmos o 2 que agora é o X o nº 1 se oculta, e quando acionamos a

tecla + o nº 1 volta e soma com o 2 resultando o 3, que agora é o X.



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Rotação da Pilha

A tecla R � ( Roll down = gira para baixo) permite visualizar os valores da pilha.

Execute: 1 ( ENTER ) 2 ( ENTER ) 3 ( ENTER ) 4

A seguir R� R � R� R�

Os números digitados irão aparecer no visor nessa ordem.

Limpar o visor

A tecla ( CLX ) (CLEAR X) limpa o visor, sem alterar o resto da pilha.

Memórias

Para introduzir um nº na memória, digite o nº e ( STO ) de 0 a 9 e para recuperar o mesmo nº

digite, ( RCL ) e nº do registro que armazenou de 0 a 9. A calculadora HP 12c permite também a

utilização de mais 10 memórias. Para tanto na gravação de um número basta digitá-lo e acionar a

tecla ( STO ) de .0 a .9. Para recuperar o número basta digitar ( RCL ) e o número antecedido do

ponto.

Ex:

VISOR

23,5 ( STO ) ( 1 ) 23,5

( CLX ) 0,00

( RCL ) ( 1 ) 23,5

49,5 ( STO ) ( .9 ) 49,5

( CLX ) 0,00

( RCL ) ( .9 ) 49,5



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Tabulando Casas Decimais

Para fixar um número distinto de casas decimais, pressione a tecla ( f ) seguida da tecla de número

correspondente à quantidade desejada de casas decimais (de 0 a 9 casas).

Exemplo: Acionando ( f ) 4, aparecerá no visor: 0,0000.

Nem sempre utilizamos 2 casas decimais (0,00). Para ter um resultado mais preciso será necessário

aumentar o número de casas.

Exemplo: 200 ÷ 17

200 ( ENTER ) 17 ( ÷ ) 11,76

Se pressionarmos ( f ) ( 3 ) a resposta será 11,765



Se pressionarmos ( f ) ( 0 ) a resposta será 12

Qual é a resposta correta?

Todas. Porém, convém observar o número de casas decimais que se deseja a cada caso.

Obs.: Perceba que estando com este resultado no visor (12) se multiplicarmos por 5, a

HP-12C lhe trará como resultado 59, se pressionarmos ( f ) ( 2 ) o resultado será 58,82. Isso quer

dizer que a HP-12C não multiplicou o número arredondado que aparecia no seu visor (12), mas sim,

o resultado da divisão com todas as casas decimais (11,76470588).



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MÓDULO I

CONCEITOS BÁSICOS Observações iniciais: É preciso que sua calculadora já tenha 2 funções ativadas, quais sejam: a função calendário e a função específica para valores futuros. Os motivos serão entendidos ao longo deste texto, mas é importante que elas estejam ativadas todo o tempo. Ademais, não se preocupem em apagá-las, pois as mesmas não interferem com qualquer cálculo que seja efetuado. Para tanto, acione:

• (g) D.MY

• STO EEX

Desta forma, o visor mostrará o seguinte no canto inferior direito:

• D.MY c 1. Pilha operacional

Apesar das dificuldades reveladas por livros sobre a HP-12C, o básico para se entender a lógica da pilha operacional se resume a:

• A mesma suporta 3 entradas de dados, via a tecla ENTER

• Caso se faça uma quarta entrada de dados, o primeiro dado será perdido

• Caso se pressinta que os cálculos envolverão mais de 3 entradas, pode-se apelar para as “memórias”

da máquina.

Exemplo: 1 + 2 + 3 + 4 Se fizer ==> 1 ENTER 2 ENTER 3 ENTER 4 ENTER + + +, teremos 13 como resultado (o que está errado, pois a Resp.osta é 10). No caso, o procedimento deve ser: 1 ENTER 2 + 3 + 4 + 02. Corrigir valor ainda não entrado: CLX

03. Apagar todos os registros: f CLX

04. Apagar apenas os registros financeiros: f CLEAR FIN

05. Número de casas decimais: f No de casas desejadas ----> Ex: f2 ou f4



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06. Operações simples:

Adição ==> 10 + 10 = 20 10 ENTER 10 +

Subtração ==> 20 - 10 = 10 20 ENTER 10 -

Divisão ==> 20 ÷10 = 2 20 ENTER 2 ÷÷÷÷

Multiplicação ==> 10 x 2 = 20 10 ENTER 2 X

Inversão ==> 1/6 = 0,2 6 1/x

Potenciação ==> 43 = 64 4 ENTER 3 Yx

Exemplo: 23,454/5

� 23,45 ENTER

� 4 ENTER 5 (÷÷÷÷)

� (Yx)

07. Raiz Quadrada:

No (g) x

Exemplo: 161/2 = 4

• 16 (g) x = 4

• 251/2 = 5

• 25 (g) x = 5

08. Raiz Enésima:

Exemplo: 813/5 = 13,97 -->

• 81 ENTER

• 3 ENTER 5 ÷÷÷÷

• Yx



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09. Operações seqüenciadas:

(10 + 3) ÷÷÷÷ (20 - 8) - 5 ÷÷÷÷ 8 = 0,46

• 10 ENTER 3 (+)

• 20 ENTER 8 ( - ) (÷÷÷÷ )

• 5 ENTER 8 ( ÷÷÷÷ ) ( - )

Resolva:

• (17 - 3) x (42 ÷ 7) - 12 x 0,25 Resp.: 81,00

• (24 x 1,5) ÷ (36 x 0,2) x (0,8 - 0,3) Resp.: 2,50

• ((1,0412 - 1) ÷ 0,04) x 10-1 Resp.: 1,50

Resolva:

• 1,00524 x 50 Resp.: 56,36

• (1,0112 x 0,01) ÷ (1,0112 -1) x 100 Resp.: 7,97

2 ENTER 20 ENTER 100 (÷÷÷÷) (+) 12 (1/x) (Yx) 0,5 (-) 10 (x) ; ou

2 ENTER 20 ENTER 100 (÷÷÷÷) (+) 1 ENTER 12 (÷÷÷÷) (Yx) 0,5 - 10 (x)

Resolva:

• (8,5 – 4,1)3/7 - (0,8 x 0,5) x 142 Resp.: -54,91

• (3,7 + 4,3)13/5 - (0,7 ÷ 0,2) x 15 Resp.: 170,36

Exemplo: ((2 + 20 ÷÷÷÷ 100)1/12 - 0,5) x 10 Resp.: 5,68



10

Exemplo: ((2 + 37 ÷ 92)23/54 -1) x 100 Resp.: 45,25

2 ENTER 37 ENTER 92 ÷÷÷÷ + 23 ENTER 54 ÷÷÷÷ Yx 1 - 100 X

• (1,47 - 0,07)62/30 - 1,420,5) x 2450 Resp.: 1.991,42

• (0,08 x 1,04)2/10 x (1,81 - 1,31)1/3 x 1230 Resp.: 593,73

Exemplo: ((1 + 43 ÷ 104)32/64 - (0,09 x 1,33)-13/7 Resp.: -50,35

� 1 ENTER 43 ENTER 104 ( ÷÷÷÷ ) ( + )

� 32 ENTER 64 (÷÷÷÷ ) (Yx)

� 0,09 ENTER 1,33 (X)

� 13 (CHS) ENTER 7 (÷÷÷÷) ( Yx) (- )

Resolva:

• (1,32 - 1,012)-12/5 ÷ (2,09 x 0,5-1)-32/100 Resp.: 6,26

• 3,5 x 2,71-2 x 0,04 + (5 x 0,06)-34/30 x 125 Resp.: 492,45

• 2,7 x (31,9 x 3,2 – 22,3 x 3)3x0,4 x 123-1 + 67 Resp.: 68,57

• 12,89 x (112,9 x 7,2 – 22,3 x 3)2 x 1,4 x 23-4 Resp.: 5.093,05

• (212,32 - 101,012)3,67 * (12,09 x 33,5 - 120)-12 / 8 Resp.: 6.736,75



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1. Calcule:

8 2 43 8 22

441 4 33 723 78

+ ×

÷−

( , , )

( , , )/ Resp..: 59,73

( ) ( , )21 3 44 3 3

9 8 4 3 5

× + ÷

÷ × − × Resp..: -7,27

( , , ) ( , )

, ( , )

/34 3 24 5 12 5 5

1850 0 75 0 85 342 30

12 5+ ÷

× − × ÷

x Resp..: 0,385

( ) , ,

, ( , )

19 34 2 5 34 50 13 297 444 133

248 133 150 0 25 3 10 1850 0 01

× × − ÷ + − +

− + × ÷ × − × Resp..: 7,216

2. Calcule: (1 + 85/100)44/360 Resp..: 1,078

(1 + 422/100)63/360 Resp..: 1,335

(1 + 20/100)-44/360 Resp..: 0,978

(1 + 20/100)-360/44 + 1 Resp..: 1,225

20001 110 115

0 10 0 05

5

×− ÷

−

( , , )

, , Resp..: 7.971,68

( , )

,

( , )

,

( , )

,

1 0 06 1

0 06

1 0 09 1

0 09

1 0 085 1

0 085

12 6

12

+ −−

+ −

+ − Resp..: 0,48

0 075

1 0 20 1 0 0936 8

,

, ( , )/

− × + Resp..: 0,106



12

10. Percentagem:

No ENTER X %

Ex.: 20% de 100 = 20 ==> 100 ENTER 20 %

25% de 380 = 95 ==> 380 ENTER 25 %

11. Diferença Percentual entre Dois Números:

Preço do produto A em Jan/1991 ==> $ 500

Preço do produto A em Dez/2008 ==> $1.300

• Variação no preço ==> 500 ENTER 1300 ∆∆∆∆% = 160%

Resolva:

• Valor do Dólar em 26/06 = $1,894

• Valor do Dólar em 26/07 = $1,999

• Qual a variação no valor?

• Salário mínimo em 03/2005 = $410,00

• Salário mínimo em 03/2006 = $480,00

• Qual a variação no salário?

Dados:

• Preço hoje de um ativo: $238

• Preço ontem do ativo: $219 Qual a variação? _____

• Câmbio do dólar ontem: $1,81

• Câmbio do dólar hoje: $1,89 Qual a variação? _____

• Valor de uma ação ontem: $22,00

• Valor da ação hoje: $29,45 Qual a variação? _____



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12. Participação Percentual em Relação ao Total: Custo de um sanduíche: $0,25 do pão; $0,48 do queijo e $0,50 do presunto. Calcular a soma dos itens e participação de cada um no total.

0,25 ENTER 0,48 + 0,50 +

0,25 (%T) = 20,33

(CLX) 0,48 (%T) = 39,02

(CLX) 0,50 (%T) = 40,65

Exemplo:

No mês passado as despesas de uma indústria foram assim distribuídas:

• Salários e encargos R$ 35.000,00

• Conservação e manutenção R$ 5.000,00

• Utilidades (luz, água, telefone etc.) R$ 7.000,00

• Gerais e diversas R$ 3.000,00

• Total das despesas R$ 50.000,00

Qual é o percentual que os salários e encargos representam do total das despesas da fábrica?

50.000,00

35.000,00 ( % T ) = 70 %

Resolva:

• Custo de uma camisa: $8,30 do tecido; $0,45 do aviamento; $3,50 da facção e; $1,55 dos botões. Qual a participação de cada item?

• Tecido =

• Aviamento =

• Facção =

• Botões =



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• Custo de uma pizza: $3,20 dos ingredientes do “disco”; $2,80 da lingüiça calabresa; $4,50 do queijo e; $2,00 pelo trabalho do “pizzaiolo”. Idem, qual a participação de cada item no custo da pizza?

• Ingredientes do “disco” =

• Lingüiça calabresa =

• Queijo =

• Trabalho do pizzaiolo =

• Margem de lucro: Preço de venda da pizza como sendo de $18,50. Calcular a margem de lucro sobre o

custo total. (Obs.: faça --> CLX ∆∆∆∆%)

RESOLVA OS EXERCÍCIOS ABAIXO:

1. Por quanto devo vender um objeto que me custou R$ 150, para ter um lucro de 20% sobre o custo?

2. De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos, sabe–se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual o número de aprovados e reprovados?

3. Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se o seu preço fosse aumentado em 20% Quanto passaria a custar?



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4. O preço de venda de um televisor é de R$ 2.122,00. Quanto passará a custar o se a loja anunciar:

a) Um desconto de 12%

b) Um acréscimo de 5%

5. Um caderno teve seu preço reajustado de R$ 2,60 para R$ 2,90. Qual é a taxa percentual de aumento?

6. Certa mercadoria custava R$ 24,00 e passou a custar R$ 30,00. Qual a taxa percentual de aumento?

7. Da 1ª fase de um concurso participaram 20 mil candidatos, dos quais 74% não foram aprovados para a 2ª fase. Dos participantes da 2ª fase, 64% não conseguiram aprovação.

a) Quantos candidatos foram aprovados nesse concurso?

b) Qual a taxa de reprovados?

8. A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. Um apartamento foi vendido por R$ 62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor.



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9. O preço de um produto é de R$ 50,00 e um comerciante decide reajustá-lo em 20%.Diante da insistência de um cliente , o comerciante concede , então um desconto de 20% sobre o novo preço do produto. Ao final dessas transações, haveria alteração no preço original do produto? Quem levaria vantagem: o comerciante ou o cliente?

10. Uma mistura é formada por 120 ml de leite e 30 ml de água. Qual a taxa percentual de leite na mistura? E de água?

11. Logaritmo Natural (Neperiano):

Exemplo: Calcular o logaritmo natural de 1000 e 2420.

1000 (g) LN = 6,91

2420 (g) LN = 7,79

Resolva:

• Logaritmo neperiano de 1421 =

• Logaritmo neperiano de 23,2 =







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12. Logaritmo na Base 10:

Exemplo: Calcular o logaritmo de 1440 na base 10.

• 1440 (g) LN

• 10 (g) LN ÷

Resolva:

• Logaritmo de 234,56 na base 10 =



• Logaritmo de 10.000 na base 10 =

• Logaritmo de 100.000 na base 10 =

Logaritmo na Base 2:

Exemplo: Calcular o logaritmo de 32 na base 2.

� 32 (g) LN

� 2 (g) LN ÷

CALCULE:






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13. Calendário: (Certifique-se que no canto inferior direito está escrito (D.MY) Caso não esteja, acione (g) (D.MY).

a) Número de dias entre 2 eventos: Exemplo: Número de dias decorridos entre a compra de um CDB, no dia 23/03/2012, e sua venda no dia 30/04/2012

(g) (D.MY) 23.032012 ENTER 30.042012 (g) (∆∆∆∆DYS) = 38 dias

Resolva:

• Quanto tempo decorreu entre 31 de Março de 1964 e 31 de Março de 2012?

• Quantos dias de vida você tem?

• Quantos dias faltam para o Natal?

Observação: caso entre com a data mais recente antes da mais distante, o resultado no visor será

negativo. A leitura, neste caso, deverá desconsiderar o sinal.

b) Data e dia da semana Exemplo: Em que dia da semana ocorreu o dia 01/05/1995?

1.051995 ENTER 0 (g) DATE

==> 1.05.1995 1 (onde o último dígito, 1, indica uma segunda-feira)

1. Segunda–feira

2. Terça–feira

3. Quarta–feira

4. Quinta–feira

5. Sexta–feira

6. Sábado

7. Domingo



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Exemplo: Compra de um CDB em 01/03/2012, com 180 dias de prazo.

1.032012 ENTER 180 (g) DATE

==> 28/08/2012 (onde o último dígito, 5, indica uma sexta-feira)

RESOLVA:

• Em que data e dia da semana se darão o vencimento de uma aplicação feita no dia 23/06/2012, com prazo de 32 dias?

• Em que data e dia da semana “cairão” o vencimento de um título negociado no dia 02/06/2012, com prazo de 62 dias?

• Em que data e dia da semana irá vencer uma duplicata a ser emitida hoje com prazo de pagamento de 90 dias?

• Qual o dia da semana cairá o Natal deste ano?

• E do ano que vem? LEVANTE:

a. Quantos dias decorreram entre 30/05/2008 e 18/07/2012?

b. E entre 25/03/2012 e 28/03/2010?



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c. Quantos dias faltam para o Natal? d. E para o início das provas finais do segundo semestre, previsto para 14/11? e. Qual a data de vencimento de um título emitido no dia 22/03/2012, com prazo de aplicação de 64

dias? f. E se a emissão tivesse sido feita no dia 17/04/2012, com prazo de aplicação de 32 dias? g. Em que dias da semana “cairão” os feriados de “Natal” (25/12/2012) e “Dia dos Mortos”?

(02/11/2012) 14. Round:

Em cálculos financeiros, é extremamente comum a exigência de se usar apenas um número limitado

de casas decimais. No caso da HP-12C, este problema pode ser resolvido como nos exemplos a

seguir:

Exemplo: 0,10877692 com 5 casas decimais ==> 0,10877692 (f) 5 (f) (RND) = 0,10878 Exemplo: 1,365792374 x 0,893482782 (ambos com 5 casas decimais)

1,365792374 f 5 (f) (RND) 0,893482782 f 5 (f) (RND) X = 1,22031



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15. Depreciação (critério linear):

O critério linear é o empregado no Brasil para fins de depreciação (razão pela qual deixamos de considerar as teclas SOYD e DB, que levam em conta as particularidades dos EUA para depreciação de itens do ativo fixo).

Exemplo: Uma máquina é adquirida por $300.000 e será depreciada por 8 anos. Calcular a parcela de depreciação de cada período e valor que ainda falta depreciar após 5 anos.

• 300000 (PV)

• 8 (n)

• 5 (f) (SL) = 37.500 (valor da parcela de depreciação)

• (X≥≥≥≥Y) = 112.500 (valor ainda por depreciar)



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MÓDULO II

FUNÇÕES ESTATÍSTICAS

1. Média e Desvio-Padrão - Dados Simples:

Exemplo: Os 10 alunos do quinto período obtiveram as seguintes notas em Matemática Financeira:

18, 15, 10, 7, 20, 13, 15, 12, 14 e 6. Calcule a média o desvio-padrão das notas:

• f CLEAR RE(G)

• 18 ∑+

• 15 ∑+

• 10 ∑+

• 7 ∑+

• 20 ∑+

• 13 ∑+

• 15 ∑+

• 12 ∑+

• 14 ∑+

• 6 ∑+

• (g) X = 13 pontos (média)

• (g) S = 4,45 (desvio-padrão da amostra)

Caso você desejar calcular o desvio padrão populacional (δ) você deverá acrescentar a média como o

elemento número 11. A seguir deverá calcular novamente o desvio padrão.

• (g) X ∑+

• (g) S = 4,22



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2. Média e Desvio-Padrão (Dados emparelhados):

Semanas Gastos com Propaganda

($milhão)

Volume de Vendas

(1.000 unidades)

1 10,3 310,2

2 11,5 265,5

3 11,7 433,3

4 19,2 389,5

5 10,5 420,8

6 12,5 470,4

7 12,7 333,4

8 11,2 444,5

Calcular a média de gastos com propaganda e do volume de vendas:

f CLEAR RE(G) 10,3 ENTER 310,2 ∑∑∑∑+

11,5 ENTER 265,5 ∑∑∑∑+

11,7 ENTER 433,3 ∑∑∑∑+

19,2 ENTER 389,5 ∑∑∑∑+

10,5 ENTER 420,8 ∑∑∑∑+

12,5 ENTER 470,4 ∑∑∑∑+

12,7 ENTER 333,4 ∑∑∑∑+

11,2 ENTER 444,5 ∑∑∑∑+

• (g) (X) = 383,45 (média do volume de vendas)

• (X≥Y) = 12,45 (média dos gastos com propaganda)

• (g) (S) = 72,69 (desvio padrão sobre a média de vendas)

• (X≥Y) = 2,86 (desvio padrão sobre a média de gastos com propaganda)



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3. Média Ponderada:

Exemplo: Um comerciante leva 10 duplicatas para serem descontadas. Pergunta-se qual o prazo médio das mesmas, sobre o qual o banco procederá ao cálculo do desconto correspondente.

Itens Prazo da duplicata (dias) Valor de cada duplicata ($)

01 20 3.500,00

02 25 2.800,00

03 32 3.400,00

04 40 1.250,00

05 27 1.850,00

06 32 1.920,00

07 45 3.280,00

08 12 3.400,00

09 54 2.200,00

10 36 4.100,00

Calcular o prazo médio das duplicatas descontadas:

f CLEAR RE(G) 20 ENTER 3500 ∑∑∑∑+

25 ENTER 2800 ∑∑∑∑+

32 ENTER 3400 ∑∑∑∑+

40 ENTER 1250 ∑∑∑∑+

27 ENTER 1850 ∑∑∑∑+

32 ENTER 1920 ∑∑∑∑+

45 ENTER 3.280 ∑∑∑∑+

12 ENTER 3.400 ∑∑∑∑+

54 ENTER 2.200 ∑∑∑∑+

36 ENTER 4.100 ∑∑∑∑+

(g) XW = 31,23 dias



25

Exemplo: Um comerciante leva 4 duplicatas para serem descontadas. Pergunta-se qual o prazo médio das mesmas, sobre o qual o banco procederá ao cálculo do desconto correspondente.

Itens Prazo da duplicata (dias) Valor de cada duplicata ( $ )

1 20 3.500,00

2 25 2.800,00

3 32 3.400,00

4 40 1.250,00


( f ) ( CLX )

• 20 ( ENTER ) 3500 ( ∑+ )

• 25 ( ENTER ) 2800 ( ∑+ )

• 32 ( ENTER ) 3400 ( ∑+ )

• 40 ( ENTER ) 1250 ( ∑+ )

( g ) ( XW ) 27,29 revelando o prazo médio de vencimento das duplicatas.

Resolva: Um comerciante leva 10 duplicatas para serem descontadas. Pergunta-se qual o prazo médio das mesmas, sobre o qual o banco procederá ao cálculo do desconto correspondente.

Itens Prazo da duplicata (dias) Valor de cada duplicata ( $ )

1 14 4.000,00

2 32 3.590,00

3 37 4.890,00

4 11 4.250,00

5 54 2.890,00

6 25 1.890,00

7 43 6.890,00

8 30 4.670,00

9 21 7.907,00

10 19 6.900,00


Resposta = 27,892 dias



26

Resolva: O Sr. Mathias tem R$ 12.000,00 para investir pelo prazo de um ano. Ele pretende investir parte numa aplicação A que tem um rendimento esperado de 15% ao ano sobre o valor investido, e o restante numa outra aplicação B, que dá um rendimento de 20% sobre o valor investido. Qual o rendimento anual esperado se ele aplicar R$ 7.000,00 em A e R$ 5.000,00 em B?

� 15,00 (enter) 7.000,00 ( ∑+ )

� 20,00 (enter) 5.000 ( ∑+ )

( g ) ( XW ) 17,083 revelando o rendimento anual esperado.



27

4. Análise de Regressão:

Ano População (Milhões) Vendas da Indústria Automobilística (1.000 unidades)

2000 98,5 470

2001 104,2 550

2002 112,5 640

2003 126,8 790

2004 134,7 830

2005 141,9 950

2006 152,4 1.050

2007 160,3 1.140

2008 165,8 1.190

2012 172,0 1.250

Em primeiro lugar, é necessário estabelecer a variável dependente (Y) e a independente (X). Nesse caso,

as vendas (Y) variam em função da população (X), assumindo com esta uma relação de dependência.

f CLEAR RE(G) 470 ENTER 98,5 (∑∑∑∑+)

550 ENTER 104,2 (∑∑∑∑+)

640 ENTER 112,5 (∑∑∑∑+)

790 ENTER 126,8 (∑∑∑∑+)

830 ENTER 134,7 (∑∑∑∑+)

950 ENTER 141,9 (∑∑∑∑+)

1.050 ENTER 152,4 (∑∑∑∑+)

1.140 ENTER 160,3 (∑∑∑∑+)

1.190 ENTER 165,8 (∑∑∑∑+)

1.250 ENTER 172,0 (∑∑∑∑+)

(g) (Y,r) ( X≥≥≥≥Y) 2 (Yx) = 0,9975 (Coeficiente de determinação, r2)

0 (g) (Y,r) = -553,800 (Coeficiente linear, a)

(STO) 0

0 (g) (X,r) (CHS)

(RCL) 0 (X≥≥≥≥Y) (÷÷÷÷) = 10,516 (Coeficiente angular, b)

Portanto, a reta estimada será ===> Y = -553,800 + 10,516 * X OBS.: PARA SE SABER O VALOR ESPERADO DE Y, DADO UM VALOR DADO DE X, BASTA FAZER:

� Valor de X (g) (Y,r)



28

Exemplo: Qual o valor esperado de vendas para uma população de 150 milhões de habitantes?

� 150 (g) (Y,r) = 1.023,660 (em mil unidades)

Responda:

a) Qual o valor esperado de vendas para uma população de 60 milhões de habitantes?

b) Qual o valor esperado de vendas para uma população de 140 milhões de habitantes?

c) Para um valor esperado de vendas 1.000.000 de carros qual seria a população?

d) Para um valor esperado de vendas 1.500.000 de carros qual seria a população?

PROCEDA AOS CÁLCULOS ESTATÍSTICOS ABAIXO:

1) Levantar a média e o desvio-padrão dos seguintes valores:

a) 241,67

b) 311,10

c) 452,73

d) 999,05

e) 541,74

f) 631,83

g) 299,82



29

2) Levantar a média ponderada de preços para os valores abaixo:

Preço ($) 8,20 4,36 9,75 12,21 15,79 5,26 6,29 11

Quantidade (unidades) 17 25 32 54 37 29 36 41

3) Ajuste uma reta de regressão aos pares de pontos a seguir, bem como determine o coeficiente de determinação da mesma. (Consumo em função da renda).

Período 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Renda ($1.000) 40 30 30 25 50 60 65 10 15 20 55

Consumo ($1.000) 13,33 11,54 11,98 10,56 15,78 17,45 19,38 7,93 8,56 9,76 17,50

• E qual seria o consumo esperado para uma renda de $53.000?

• E qual seria a renda necessária para o consumo esperado de $17.000,00?



30

4) Quando da realização do orçamento anual, a empresa Americana de Tecidos levantou os seguintes custos de materiais indiretos face às horas de máquinas empregadas na produção ao longo do ano:

Mês Horas de Uso

Direto de Máquinas

Custo de Materiais

Indiretos ($)

Jan 44.000 875

Fev 41.000 850

Mar 45.000 875

Abr 43.000 850

Mai 36.000 750

Jun 22.000 550

Jul 23.000 500

Ago 15.000 450

Set 30.000 600

Out 38.000 700

Nov 41.000 800

Dez 44.000 850

i. Levante o coeficiente de determinação.

ii. Qual é a equação que representa a relação entre as duas variáveis?

iii. Qual seria o custo variável total dos materiais indiretos esperado no caso de 28.500

horas de trabalho de máquina?



31

MÓDULO III

FUNÇÕES FINANCEIRAS

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou

financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a

operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital

O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal,

Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas

calculadoras financeiras).

Juros

Remuneração do Capital, podendo ser definido como o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Os juros

representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser

capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.

JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital

inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no

início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é

incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.



32

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o

consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar

até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta

quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e

risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para

empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos?

A maioria das operações envolvendo dinheiro utilizamos juros compostos. Estão incluídas: compras a

médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras

usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos

uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto

simples de duplicatas.

Taxa de juros

É a razão entre os juros recebidos (ou pagos) no fim de um período de tempo e o capital inicialmente

empregado. A taxa de juros está sempre relacionada com uma unidade de tempo: dia, mês, ano etc.. A

taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período.

Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a

que se refere:

� 8,80 % a.a. - (a.a. significa ao ano).

� 2,40 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre)

� 6,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100,

sem o símbolo %:

� 2,15 a.m. – 0,0215



33

TAXAS PROPORCIONAIS (Juros Simples)

Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos as elas referidos, reduzidos à mesma unidade.

Para resolvermos qualquer problema é necessária que tempo e taxa estejam na mesma unidade, por exemplo, taxa ao mês e tempo em meses, taxa ao ano e tempo também ao ano, taxa ao bimestre e tempo ao bimestre.

Exemplos:

1) Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano.

Resolução

� Em um ano temos 12 meses então: 30/12 = 2,5% ao mês

� 30% ao ano é proporcional a 2,5% ao mês.

2) Calcule a taxa mensal proporcional a 0,08% ao dia.

Resolução

� Em um mês temos 30 dias logo:

� 0,08 x 30 = 2,4 % ao mês.

3) Calcule a taxa anual proporcional a 8 % ao trimestre.

Resolução

� Em um ano temos quatro trimestres – JAN/FEV/MAR; ABR/MAI/JUN; JUL/AGO/SET; OUT/NOV/DEZ.

� 8 x 4 = 32% ao ano

RESOLVA OS EXERCÍCIOS ABAIXO:



34

1) Calcule a taxa mensal proporcional a:

a) 9 % a.t. (ao trimestre)

b) 8,4 % a.s.(ao semestre)

c) 0,04% a.d. (ao dia)

2) Calcule a taxa anual proporcional a:

a) 1,5% a.m. (ao mês)

b) 8% a.t. (ao trimestre)

c) 21% a.s.(ao semestre)

d) 0,05% a.d. (ao dia)

JUROS SIMPLES

O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidi apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:

J = C . i . t

Onde:

� J = Juros

� C = Capital

� i = Taxa de juros

� t = Prazo

Define-se capitalização simples como aquela em que os juros de aplicações incidem apenas sobre o

capital inicial, ou seja, sem a ocorrência de juros sobre juros relativos a períodos anteriores. Por sua vez, as possibilidades abertas pela HP para o tratamento deste tópico são algo superficial e se resumem ao cálculo de juros e montante final de aplicações. No que se segue, veremos a lógica deste tipo de capitalização para, em seguida, entendermos sua operacionalização na HP.



35

Temos a seguinte linha de tempo, a qual retrata a situação de uma aplicação de $1.000, pelo prazo de 3 meses e à taxa de 4% ao mês. A par destes valores, qual será o montante ao final deste período e qual o juro ganho?

0 1 2 3

C = 1.000 M = ?

Conforme a definição já colocada, pela qual a capitalização simples calcula juros (J) apenas sobre o capital

inicial, temos:

J = C x i x t (1)

Além disso, é intuitivo o entendimento de que o valor total ao final do período será a soma dos juros ganhos na operação mais o capital inicial aplicado, ou seja:

M = C + J (2)

Juntando (1) com (2), teremos:

M = C + C x i x t

Dado que o capital (C) repete-se na fórmula acima, podemos então colocá-lo em evidência, gerando:

M = C ( 1 + i. t ) (3)

Que é a fórmula fundamental da capitalização simples. Perfazendo os cálculos:

• J = 1000 x 0,04 x 3 = $120

• M = 1000 + 120 = $1.120

Ou, de forma diferente,

• M = 1000 x ( 1 + 0,04 x 3 ) = $1.120



36

Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 4,8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:

J = 1.000 x 0.048 x 2 = 96

Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.

� Montante = Capital + Juros

� Montante = Capital + ( Capital x Taxa de juros x Número de períodos )

M = C . ( 1 + i . t )

Aí teríamos:

� M = 1000 + 96 = 1096

Ou:

� � � �. �� , � �� . ��, ��

INT:

Esta tecla possibilita o cálculo de rendimentos (juros) e montantes, em regime de capitalização

simples. Para tanto, é preciso que a taxa de juros seja anual (ano de 360 dias) e o prazo referenciado

em dias.

Na HP, os passos necessários são:

• 1000 ( CHS ) ( PV )

• 4 ( ENTER ) 12 ( X ) ( i )

• 3 ( ENTER ) 30 ( X ) ( n )

• ( f ) ( INT ) 120,00

• ( + ) 1.120,00



37

Dois pontos ficam logo evidentes: os tratamentos prévios da taxa de juros e do prazo. Assim é que a taxa de juros deve ser obrigatoriamente expressa em termos anuais (razão pela qual a taxa de juros que é mensal é multiplicada por 12), ao passo que o prazo deve ser convertido em dias (este o motivo da multiplicação de prazo de 3 por 30).

Exemplo:

Calcular o valor dos juros e o montante final de um capital de $8.420, aplicado a 2,50% ao mês e pelo prazo de 27 dias.

• 8420 ( CHS ) ( PV )

• 2,5 ( ENTER ) 12 ( X ) ( i )

• 27 ( n )

• ( f ) ( INT ) 189,45

• ( + ) 8.609,45

Duas observações se fazem necessárias:

a) O prazo já está definido em dias e por esta razão seu registro foi feito de forma direta;

b) O acionamento da tecla CHS para mudar valores positivos em negativos (e vice-versa) serve

para que os resultados finais fiquem positivos.

Caso não tivéssemos acionado esta tecla, os valores de juros e montante se mostrariam negativos no visor. Isto pode ser verificado rapidamente fazendo:

• 8420 ( PV )

• ( f ) ( INT ) - 189,45

• ( + ) - 8.609,45

Exemplo: Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $1.000 aplicado a 2,5% ao mês, por 45 dias.

1000 CHS PV

2,5 ENTER 12 x i

45 n

f INT = $37,50 (juros)

+ = $1.037,5 (montante)



38

EXERCÍCIOS SOBRE JUROS SIMPLES:

1) Tomou-se emprestada a importância de R$ 1.200 pelo prazo de 2 anos, à taxa de 30% ao ano. Qual será o valor do juro a ser pago?

2) Aplicou-se a importância de R$ 3.000,00 , pelo prazo de 3 meses,à taxa de 1,2% ao mês . Qual o valor do juro a receber?.

3) Calcule o juro a ser pago por um empréstimo de R$ 9.200, à taxa de 5% ao trimestre , durante 3 trimestres?

4) Um capital de R$ 56.800 foi empregado , à taxa de 0,75% ao mês , durante 2,5 meses.Calcule o juro produzido.

5) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200,00 por um prazo de 8 meses no regime de juro simples à taxa de 1,5% ao mês.

6) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 ,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês?



39

7) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $123.000 aplicado a 1,5% ao mês, por 73 dias.

8) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $89.000 aplicado a 4,5% ao mês, por 120 dias.

9) Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de $1.451.000 aplicado a 1,95% ao mês, por 90 dias.

10) Um capital de R$ 2.400 é aplicado durante 10 meses, à taxa de 25% ao ano. Determine o juro obtido.

11) Calcule o correspondente a um capital de R$ 18.500 , aplicado durante 2 anos, 4 meses e 10 dias, à taxa de 36% ao ano. OBS: Transformar a taxa e o tempo ambos em dias. – Considerar o ano comercial que é de 360 dias)

12) Calcule o juro resultante de uma aplicação de R$ 32.500, à taxa de 18% ao ano , durante 3 meses.

13) Calcule o juro de um capital de R$ 5.000 , em regime de juro simples, durante 2 anos 4 meses,à taxa de 24% ao ano.



40

14) Que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 28.000 durante 15 meses à taxa de 3% ao mês.

15) Qual o capital inicial necessário para se ter um montante de R$ 14.800 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples.

16) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 5.000 , à taxa de 2,5 % ao mês, durante 2 anos.

17) Uma pessoa aplicou R$ 90.000 no mercado financeiro e, após 5 anos, recebeu o montante de R$ 180.000. Qual foi a taxa anual?



41

JUROS COMPOSTOS - FUNÇÕES PRINCIPAIS

A calculadora HP-12C oferece soluções imediatas a questões que envolvam capitalização composta, tanto no que se refere a problemas financeiros de único pagamento como de séries de pagamentos iguaise consecutivos. Para tanto, há de se atentar para a convenção do sinal “+” para as entradas e “-” para as saídas.

Ademais, as teclas “n”, “i”, “PV”, “PMT” e “FV” serão básicas na solução de questões financeiras, as quais são detalhadas a seguir em 3 módulos distintos.

1A PARTE - VALOR ÚNICO, DE ENTRADA OU SAÍDA

OBS. Cerfitique-se que a letra c está presente no canto inferior direito do visor. Se não estiver, acione STO EEX.

Neste caso, a formulação algébrica do problema se resume à fórmula:

FV = PV x (1 + i)n Onde,

• FV = valor futuro

• PV = valor presente

• n = número de períodos

• i = taxa de juros

Enfim, veremos adiante que sempre se fornecera 3 itens e a HP-12C calculará o 4o item, não importando qual seja.

Exemplo a:

Quanto deverá receber uma empresa que aplique $850.000 por 8 meses, à taxa de 2,10% ao mês?

f CLEAR FIN (O comando f CLEAR FIN limpa apenas os registradores financeiros, enquanto f CLEAR RE(G) o faz para todos aqueles presentes na calculadora).

• f CLEAR RE(G)

• 850.000 CHS PV

• 8 n

• 2,1 i

• FV = $1.003.748,39

• Se o problema acima se referisse a um investidor que estivesse tomando recursos emprestados, o valor de PV

entraria como positivo e o resultado para FV, negativo.



42

Exemplo b: Outro investidor aplicou $2.500 à taxa de 1,75% ao mês, pelo prazo de 2,5 meses. Qual o valor de resgate?

• f CLEAR RE(G)

• STO EEX

• 2500 CHS PV

• 1,75 i

• 2,5 n

• FV = $2.610,81

Obs.: para se operar com período fracionário de tempo, é necessário que a HP-12C esteja “avisada” disto. Neste sentido é que,

no exemplo acima, acionamos as teclas STO EEX, fazendo aparecer a letra c no canto direito do visor. Recomendamos que tal

comando esteja permanentemente acionado.

Exemplo c: Qual terá sido o prazo de aplicação de um CDB emitido por $100.000 e resgatado por $200.000, à taxa de 12 % ao ano?

Obs.: apesar de aparentemente simples, este problema envolve uma dificuldade para sua solução. Vejam que se aplicarmos os dados acima na HP-12C, o resultado será:

• f CLEAR FIN

• 100.000 CHS (PV)

• 200.000 (FV)

• 20 (i) (n) = 7,00 (Prazo da aplicação, em anos)

Isto está evidentemente errado. Tal título aplicado por 7 anos resultaria em valor de resgate de

$221.068,00. Assim é que a máquina só apresentará valores inteiros para o prazo (arredondando

para mais) e a solução correta exigirá que se trabalhe com taxas de juros para períodos menores,

calculados em regime de capitalização composta. Vejamos como, através do exemplo seguinte:

Taxa de juros anual = 12%

Taxa de juros diária = ((1 + 12/100)1/360 – 1) x 100

Taxa de juros diária = 0,031485146



43

Na HP-12C, seria:

• 12 ENTER 100 ÷

• 1 (+)

• 360 (1/x)

• (Yx)

• 1 (–)

• 100 (X)

• (i)

Após isto, passe para a seqüência abaixo:

• 100.000 CHS PV

• 200.000 FV

• n (= 2.202 dias ou 6,116 anos).

Utilizando a fórmula de cálculo de n temos:

n = ��

n = �� .��.�� ,� � � �, ��



44

TAXAS DE JUROS EQUIVALENTES

Já fizemos a observação de que as taxas de juros devem se compatibilizar com os prazos relativos a

aplicações financeiras. Assim é que, se pagamentos de empréstimos forem feitos em bases mensais, a taxa

de juros deverá ser expressa também em bases mensais. Assim sendo, coloquemo-nos na posição de um

gerente de banco que tem como dada a taxa de juros de 2,50% ao mês para empréstimos a seus clientes

da área rural e que se vê na situação de analisar um empréstimo a ser pago em prestações bimestrais.

Naturalmente, isso exigirá a determinação da taxa bimestral de juros para atender este novo período para

os pagamentos, e a fórmula geral abaixo resume esse tipo de situação enfrentada pelo gerente.

�� !"#$�%&� � ' � 1 � !)**�

+,-, ./01,./01, ,/232+04 - 1] x 100

Exemplo 1:

Qual a taxa de juros anual equivalente a 1,5% ao mês?

�� !"#$�%&� � ' � 1 � ),5)**�

676 - 1] x 100 = 19,5618% a.a.

� 1,5 ( ENTER )

� 100 ( ÷)

� 1 ( + )

� 12 ( yx )

� 100 ( X ) 19,56181710 % a.m.

Exemplo 2:

Qual a taxa de juros bimestral equivalente a 1,25% ao mês?

�� !"#$�%&� � ' � 1 � ),85)**�

76 - 1] x 100 = 2,515625% ao bimestre

� 1,25 ( ENTER )

� 100 ( ÷ )

� 1 ( + )

� 2 ( y x )

� 1 ( − )

� 100 ( X ) 2,515625 % a.b.



45

Exemplo 3:

Qual a taxa de juros diária equivalente a 1,15% ao mês?

�� !"#$�%&� � ' � 1 � ),5)**�

69: - 1] x 100 = 0,0381219

� 1,15 ( ENTER )

� 100 ( ÷ )

� 1 ( + )

� 30 ( 1/x ) ( y x )

� 1 ( − )

� 100 ( X ) 0,0381219 % a.d.

A observação crítica a ser feita sobre o exemplo acima é a de que o prazo ‘’novo’’ e o prazo “original”

devem ser colocados na fórmula nas mesmas unidades de tempo. Vejamos que o mês foi à unidade de

tempo empregada no primeiro exemplo e que o valor de 12 foi necessário para expressar o ano. Já no

terceiro exemplo empregamos o dia como unidade de tempo, dado que tínhamos a taxa em termos

mensais (para 30 dias) e desejávamos a taxa diária (para apenas 1 dia).

Exemplo:

�� !"#$�%&� � ' � 1 � ),;8)**�

69<: - 1] x 100 = 0,0771497% ao dia

� 1,32 (ENTER)

� 100 (÷)

� 1 (+)

� 360 (1/x) (y x)

� 1 (−)

� 100 (X) 0,0771497



46

2A PARTE - PAGAMENTOS IGUAIS E PERIÓDICOS, COMPOSTOS OU NÃO POR UMA ENTRADA, ALÉM DE

DIVERSAS SAÍDAS, TODAS DE MESMO VALOR

• Os pagamentos de tais séries podem acontecer ao final de cada um dos períodos (termos

vencidos) ou no início (termos antecipados). A propósito, se os pagamentos forem

antecipados, devem-se pressionar as teclas (g) BEG, fazendo com que apareça a expressão

BEGIN no visor.

• Caso os pagamentos se façam em termos vencidos, tenha certeza de que expressão BEGIN

não esteja no visor. Se estiver, pressione (g) END para apagá-la.

Exemplo a:

Qual o montante gerado pela aplicação de 5 parcelas mensais de $2.500 cada, à taxa de 1,9% ao mês,

sabendo-se que as aplicações se darão ao final de cada período (termos vencidos).

� (f) (CLEAR) (FIN)

� 2500 (CHS) (PMT)

� 1,9 (i)

� 5 (n)

� FV = $12.984,11

Exemplo b: E se o problema anterior se referisse a pagamentos antecipados, ou seja, com o primeiro deles se dando lo(g)o no início do período? (termos antecipados)

� (g) (BEG) (FV) $13.230,81

• Obs.: lembrem-se de que todos os valores para cálculos já estão nos registradores

financeiros, não necessitando, portanto, de novas entradas dos dados.



47

Exemplo c:

Um investidor em Caderneta de Poupança aplicou $1.500 por mês e resgatou $84.802,79 ao final de 48

meses. Determinar a taxa média de rendimentos, sabendo-se que nesta modalidade os créditos em conta

se dão ao final do período (termos vencidos)

� (g) (END)

� (CHS) (PMT)

� 84.802,79 (FV)

� 48 (n)

� (i) 0,6800 % a.m.

Obs.: o comando (g) END se fez necessário visto que a HP-12C estava programada para pagamentos

antecipados, com o visor apontando a palavra BEGIN.

Exemplo d: Um empréstimo de $1.800.000 deverá ser pago em 12 prestações mensais, iguais e

consecutivas. Dada a taxa cobrada de 2,55% ao mês e o fato da 1a prestação ser paga após um mês da data

da operação, qual será o valor das prestações mensais?

� (CHS) (PV)

� 2,55 (i)

� 12 (n)

� (PMT) $176.008,49

Exemplo e: Um televisor está sendo oferecido por $2.440,00 à vista ou em 5 prestações mensais de $540,41 sendo a 1a paga no dia da compra. Qual a taxa implicitamente cobrada pela loja?

• (g) BEG

• 540,41 PMT

• 2.440 CHS PV

• 5 n

• i 5,3773 % ao mês

Exemplo f: E se o televisor fosse vendido nas 5 prestações, com a 1a sendo cobrada apenas ao final de um mês?

� (g) (END) (i) 4,41% ao mês



48

3A PARTE - SÉRIE DE PAGAMENTOS IGUAIS, ACOMPANHADOS DE UM PAGAMENTO DIFERENTE AO FINAL OU NO INÍCIO DO PERÍODO

Como primeira observação, quando do cálculo de valor futuro, “FV”, o pagamento diferente tem de ser necessariamente o

primeiro. Por outro lado, quando cálculo de valor atual, “PV”, o valor diferente será o último.

Exemplo a: Aplicando-se hoje a quantia de $22.000,00 e, a partir do próximo mês se fizesse 24 aplicações mensais e consecutivas de $3.000,00 à taxa de 1,5% ao mês, qual o valor futuro esperado?

� (CHS) (PMT)

� 1,5 (i)

� 24 (n)

� 22.000 (CHS) (PV)

� (FV) $117.349,62

Exemplo b: Uma empresa estuda um plano de leasing, pelo qual pagaria $5.000 por mês, ao longo de 2 anos, com a 1a prestação mensal paga no ato da assinatura do contrato (pagamentos antecipados). O valor residual do bem “leasado” é de $6.200 ao final do contrato. Se a taxa cobrada for de 5,5% ao mês, calcular o valor do ativo-objeto.

� (g) BE(G)

� CHS PMT

� 24 n 5,5 i

� 6.200 CHS FV

� PV $71.090,48

Obs.: o fato de PMT e FV serem precedidos de mudança de sinal (CHS) se deve ao fato de que ambos representam pagamentos (ou saídas de caixa).

Exemplo c: Proceda aos cálculos do exemplo anterior, assumindo que os pagamentos sejam feitos em

termos vencidos, ou seja, que não haja pagamento na assinatura do contrato.

� (g) END PV = $67.473,77



49

Exemplo d: Admita-se que no problema anterior, o valor residual não fosse conhecido e, sim, o valor do

equipamento (os $67.473,77). Qual será este valor residual?

� PV FV = $6.200,00

Obs.: Não houve necessidade de entrada de PV, pois o mesmo já estava no visor. (Ademais, o sinal negativo de 6.200 no visor indica um pagamento a ser feito).

Exemplo e: Um título com renda mensal de $150,00 prazo de aplicação de 6 meses e valor de resgate de

$1.000,00 foi negociado por $1.540,00. Calcular a taxa líquida do rendimento do aplicador.

� 150 (PMT)

� 1000 (FV)

� 1540 (CHS) (PV)

� 6 (n)

� i 4,52% a.m.



50

4a PARTE - AMORTIZAÇÃO: Esta função pode ser usada para o cálculo das parcelas de juros e de amortização presentes numa

prestação, operada dentro do que se convenciona chamar de Crédito Direto ao Consumidor. Além disto, e

mais importante, esta função possibilita conhecer o “estado da dívida”, ou seja, o valor atual da mesma

após certo número de prestações pagas. Vejamos o exemplo a seguir:

Exemplo: Um equipamento é vendido por $1.348, em 10 parcelas, à taxa de 2% ao mês. Levantar a parcela

de juros e de amortização presentes na primeira prestação, assim como o valor atual da dívida após este

pagamento:

1348 CHS PV 10 n 2 i PMT = 150,07 (valor da prestação)

1 f AMORT = 26,96 (valor dos juros)

X≥≥≥≥Y = 123,11 (valor da amortização)

RCL PV = -1.224,89 (valor restante da dívida)

Exemplo: Quais as respostas após o pagamento da 5a prestação? Neste caso, estamos diante de uma limitação da HP-12C. Como já fizemos o cálculo para a primeira prestação e desejamos saber os valores após 5 pagamentos, devemos posicionar a calculadora no 4o período e, após, proceder aos cálculos pedidos:

3 (f) AMORT = 65,91 (soma dos juros das parcelas 2 a 4)

1 (f) AMORT = 16,81 (valor dos juros na 5a prestação)

(X≥≥≥≥Y) = 133,26 (valor da amortização)

(RCL) (PV) = - 707,34 (valor restante da dívida)

• Observação: caso não tivesse feito os cálculos para a primeira prestação, bastaria teclar 4 (f) (AMORT),

e a HP-12C já estaria posicionada para os cálculos da 5a prestação.



51

Resolva: � Um empréstimo concedido de $2.100,00 deverá ser pago em 6 prestações mensais, iguais e consecutivas,

com a 1a vencendo daí a 30 dias. Sendo a taxa de juros de 2,9% ao mês, calcular o valor das prestações e o valor da dívida quando do pagamento da 3a prestação. Resp..: $386,37 e $1.095,00

� A compra de um veículo no valor de $38.500,00 foi financiada pelo prazo de 36 meses iguais e consecutivos). Sabendo-se que a 1a prestação será paga em 30 dias e que a taxa de juros alcança 2,4% ao mês, calcular o valor das prestações e o saldo da dívida no pagamento da 16a prestação. Resp..: $ 1.609,17 e $ 25.324,53

� Uma geladeira no valor de $3.200,00 será vendida em 18 prestações e mais uma entrada de $230,00. Qual o valor da prestação a ser cobrada pelo lojista, se o mesmo deseja um rendimento mensal de 3,27%? E qual o saldo da dívida quando do pagamento da 10a prestação? Resp..: $220,90 e $ 1.533,21

� Um automóvel é comprado em 48 prestações fixas de R$ 650,00. O valor financiado é R$ 23.200,00. Qual foi a taxa de juros cobrada no financiamento e qual o valor do saldo devedor após o pagamento da parcela número 30? Resp..: 1,2806 e $ 10.390,40

� Uma pessoa comprou um apartamento no valor de $70.000,00, com vista a pagá-lo em 60 prestações mensais, sendo a 1a a 30 dias da assinatura do contrato, à taxa de 1,15% ao mês. Imediatamente após o pagamento da 20a parcela ele constata que não conseguiria pagar a prestação seguinte e, por isto, busca e consegue refinanciar sua dívida junto ao banco financiador, nas seguintes condições: juros mensais de 1,28% ao mês e um novo prazo de 120 meses. Determine o valor dessa nova prestação. Resp..: $846,45



52

5a PARTE - FLUXO DE CAIXA DESCONTADO

Passamos agora aos métodos usuais de avaliação sobre fluxos de caixa. Como se verá, a característica

especial destes fluxos é a de que seus valores não se apresentam uniformes como mostrados até aqui.

Portanto, os cálculos envolverão novas sistemáticas e as teclas “PV”, “FV” e “PMT” serão de pouca

utilidade. Os métodos a terem explicitado suas resoluções na HP-12C serão a Taxa Interna de Retorno, o

Valor Presente Líquido e a Taxa Interna de Retorno Modificada. As teclas básicas necessárias aos cálculos

serão:

� CFo = Fluxo de caixa do período “zero”

� CFj = Fluxo de caixa do período “j”

� Nj = Número de vezes que um valor qualquer de fluxo de caixa se repete por períodos subseqüentes

� IRR = A taxa interna de retorno

� NPV = O valor presente líquido

• Adicionalmente, a tecla (g) deve ser usada para acionar as teclas (CFo), (CFj ) e (Nj) .

• A tecla (f) será usada para acionar (IRR) e (NPV).



53

1O MÉTODO: VALOR PRESENTE LÍQUIDO (NPV)

Este método consiste em “trazer” todos os valores de um fluxo de caixa para o momento zero, descontando-os à uma taxa de juros conhecida, e procedendo à soma algébrica destes valores descontados. Algebricamente, temos:

NPVCFj

iCFo

nj

n

=+

−

=

∑( )11

Onde CFj e CFo são os fluxos de caixa líquidos nos períodos “j” e “zero”, Respectivamente. Por fim, “i” é a

taxa de desconto.

Exemplo A:

A empresa está interessada em investir $ 600.000 num projeto que apresenta os retornos após os impostos registrados na figura seguinte. Considerando que a taxa de juros mínima requerida pela empresa é igual a 12% ao ano, pede-se verificar se esse projeto deve ser aceito aplicando o método do VPL:

Anos Capitais

0 1 2 3 4 5 6 7

($ 600.000) $ 120.000 $ 150.000 $ 200.000 $ 220.000 $ 150.000 $ 180.000 $ 80.000

Resposta: VPL = $ 121.387,53. Como o VPL > 0, o projeto deve ser aceito. Para aumentar a compreensão do significado do valor do VPL, vamos analisar o mesmo exemplo

considerando dois outros valores da taxa de juros, conhecida também como custo de capital da empresa.

Se a taxa de juros for igual a 15% ao invés de 12% ao ano, o valor do VPL será igual a $ 57.528,78; isto é, o

lucro extra, após devolver o capital investido remunerado na taxa de juros igual a 15% diminuiu, quando

comparado com o resultado com a taxa de juros igual a 12%.



54

Se a taxa de juros for igual a 20% ao ano, obteremos VPL = - $ 31.107,11. Como o valor do lucro extra é

menor que zero, podemos entender que:

� O capital investido será devolvido integralmente, porém, remunerado numa taxa de juros menor que 20% ao ano; ou

� Será devolvida, apenas, uma parte do capital investido, porém, remunerada na taxa de juros igual a 20% ao ano.

EXEMPLO B: Um apartamento pode ser adquirido por $60.000 à vista, ou em 2 anos de prazo, sendo $16.000 de

entrada, mais 12 prestações de $3.600 e 12 de $5.637,20. Se você tivesse interesse em adquiri-lo até

mesmo à vista e se, ao mesmo tempo, pensasse em comprá-lo a prazo, aplicando seu dinheiro em títulos

que pudessem render 6%, 8% ou 10% ao mês, qual seria sua decisão? Comprá-lo à vista ou a prazo?

Para a taxa de 6% ao mês:

• 16000 (g) (CFo )

• 3600 (g) (CFj ) 12 (g) (Nj)

• 5637,2 (g) CFj 12 (g) (Nj)

• 6 (i)

• (f) (NPV) = $69.669,31

� Visto que o valor presente dos pagamentos supera o valor do apartamento, este

deverá ser pago à vista.

Para a taxa de 8% ao mês:

8 (i) (f) (NPV) = $60.000,22 (A esta taxa, torna-se indiferente a compra à vista ou a prazo) Para a taxa de 10% ao mês:

10 (i) (f) (NPV) = $52.767,95 (A esta taxa, a melhor opção é a da compra a prazo) Exemplo b:



55

EXEMPLO C: Uma empresa tem a possibilidade de obter um empréstimo para capital de giro, da ordem de $34.880,00 a

ser liquidado em 4 meses, com prestações de $5.000, $8.000, $10.000 e $15.000. Considerando uma taxa

de juros de 1,20% ao mês (que é a expressão do retorno esperado pela empresa sobre este recurso), qual

deve ser a decisão da empresa: aceitar ou recusar o empréstimo?

• 34.880 (g) (CFo)

• 5.000 (CHS) (g) (CFj )

• 8.000 (CHS) (g) (CFj )

• 10.000 (CHS) (g) (CFj )

• 15.000 (CHS) (g) (CFj )

• 1,2 (i)

• f (NPV) ($1.821,68)

Não, a empresa deve recusar o empréstimo, pois que o rendimento esperado sobre os $34.880,00 não será suficiente para o pagamento das parcelas.



56

2O MÉTODO: TAXA INTERNA DE RETORNO (IRR) Para desenvolver o estudo do método da taxa interna de retorno, usaremos o exemplo seguinte: Um projeto de investimento tem o fluxo de caixa anual após os impostos apresentado na tabela seguinte. Se o custo de capital é igual a 15 % a.a., pede-se:

1. Verificar se este projeto de investimento deve ser recomendado aplicando o método do Valor Presente Líquido VPL.

2. Calcular a Taxa Interna de Retorno (TIR)

Anos Capitais ($)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

(1.200.000) 140.000 300.000 310.000 380.000 410.000 450.000 410.000 410.000 410.000 410.000

O cálculo com o auxílio da calculadora HP 12c:

o 1.200.000 (CHS) (g) (CF0)

o 140.000 (g) (CFj )

o 300.000 (g) (CFj )

o 380.000 (g) (CFj )

o 410.000 (g) (CFj )

o 450.000 (g) (CFj )

o 410.000 (g) (CFj ) 4 (g) (Nj)

o 15 (i)

o (f) (NPV) » $ 438.552,58

o (f) (IRR) » 23,28 % a.a.



57

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS UTILIZANDO OS MÉTODOS DA TIR E DO VPL Com os resultados obtidos no exemplo anterior confirmamos a análise qualitativa realizada com fluxos de caixa de projetos de investimento: Para uma TRR (taxa requerida de retorno) igual a 10% temos o seguinte cálculo:

1.200.000 (CHS) (g) CF0

140.000 (g) (CFj )

300.000 (g) (CFj )

380.000 (g) (CFj )

410.000 (g) (CFj )

450.000 (g) (CFj )

410.000 (g) (CFj ) 4 (g) (Nj)

10 (i)

(f) NPV » $ 827.133,54

Para uma TRR (taxa requerida de retorno) igual a 20 % temos o seguinte cálculo:

• 20 (i)

• (f) NPV » $ 150.021,37

Para uma TRR (taxa requerida de retorno) igual a 25 % temos o seguinte cálculo:

• 25 (i)

• (f) NPV » $ (68.769,87)

Assim sendo, podemos afirmar que:

� O VPL diminui quando o valor da taxa de juros aumenta; e

� O VPL aumenta quando o valor da taxa de juros diminui.



58

Portanto, existe um valor de taxa de juros na qual VPL = 0. Outras importantes conclusões:

• Durante o prazo de análise do projeto, todos os retornos gerados pelo projeto serão reinvestidos na taxa de juros que define o custo de capital – portanto, no valor da taxa interna de retorno.

• Quando calculados com a taxa interna de retorno, o valor presente de todas as saídas é igual ao valor presente de todas as entradas do fluxo de caixa do projeto de investimento.

Tal taxa é a que leva a “zero” o valor presente de uma série de pagamentos e entradas. Algebricamente, temos:

NPVCFj

iCFo

n

j

n

= =+

−

=

∑011 ( )

• Onde falta definir “i” como a própria Taxa Interna de Retorno.

• 1.200.000 (CHS) (g) CF0

• 140.000 (g) (CFj )

• 300.000 (g) (CFj )

• 380.000 (g) (CFj )

• 410.000 (g) (CFj )

• 450.000 (g) (CFj )

• 410.000 (g) (CFj ) 4 (g) (Nj)

(f) (IRR) » 23,28 %



59

Exemplo a:

Qual a taxa de juros implícita em um empréstimo de $400.000 a ser liquidado em 4 pagamentos mensais de $50.000, $90.000, $130.000 e $170.000?

0 1 2 3 4

(400.000) 50.000 90.000 130.000 170.000

A equação de cálculo será:

0 � >400.000 � 500.000�1 � ��) � 900.000�1 � ��8 �

130.000�1 � ��; �

170.000�1 � ��D

E o cálculo na HP:

• 400000 ( CHS ) ( g ) ( CFo )

• 50000 ( g ) ( CFj )

• 90000( g ) ( CFj )

• 130000 ( g ) ( CFj )

• 170000 ( g ) ( CFj )

• ( f ) ( IRR ) 3, 30 %

Portanto, é de 3,30% ao mês a taxa de juros cobrada pelo financiador.



60

Exemplo b: Qual a TIR implícita de um empréstimo de $450.000,00 a ser liquidado em 4 pagamentos mensais de $80.000,00, $100.000,00, $140.000,00 e $150.000,00?

• 450.000 (CHS) (g) (CFo)

• 80.000 (g) (CFj )

• 100.000 (g) (CFj )

• 140.000 (g) (CFj )

• 150.000 (g) (CFj )

• (f) (IRR) = 1,59 % ao mês

EXEMPLO c: Um empréstimo de $105.000 deverá ser pago em 8 parcelas mensais, sendo as 3 primeiras de $30.000, as 3 seguintes de $40.000, a 7a de $20.000 e a 8a de $25.000. Qual a TIR dessa operação (ou por outra, a taxa de juros empregada na operação)?

• 105.000 (CHS) (g) (CFo)

• 30.000 (g) (CFj ) 3 (g) Nj

• 40.000 (g) (CFj ) 3 (g) Nj

• 20.000 (g) (CFj )

• 25.000 (g) (CFj )

• (f) (IRR) 3,991 % ao mês

Exemplo d: Um Trator é adquirido em 6 prestações mensais de $14.500,00 sendo a 1a prestação paga ao final de idênticos 6 meses. Qual a taxa de juros cobrada pela vendedora, sabendo-se que o valor do ativo alcança $70.600,00?

• 70.600 (CHS) (g) (CFo)

• 0 ((g)) (CFj ) 5 (g) Nj

• 14.500 (g) (CFj ) 6 (g) (Nj)

• (f) (IRR) 2,499 % ao mês



61

Exemplo e:

Um computador pode ser adquirido em 6 prestações mensais de $1.545, sendo a 1ª prestação paga ao final de 30 dias. Qual a taxa de juros cobrada pela loja, sabendo-se que o valor à vista do equipamento é de $8.400?

0 1 2 3 4 5 6

(8.400) 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545 1.545

Cálculo na HP:

� 8.400 ( CHS ) ( g ) ( CFo )

� 1.545 ( g ) n( CFj )

� 6 ( g ) ( Nj )

� ( f ) ( IRR ) 2, 89

Sendo, portanto, de 2,89% ao mês a taxa de juros cobrada no financiamento. Além disso, é interessante notar que como o fluxo de caixa da operação é constante ao longo do tempo, ou seja, a valor da prestação se repete do 1º ao último mês, podemos usar os comandos de séries de pagamentos em termos vencidos para chegar ao mesmo resultado com os comandos abaixo:

� 8400 ( CHS ) ( PV )

� 1545 ( PMT )

� 6 ( n )

� ( i ) 2, 89

Notamos que a mesma taxa de 2,89% é obtida e isto nos leva a concluir que, em cálculos de IRR, as funções

de fluxo de caixa (CFo), ( CFj ), ( Nj ), ( NPV ) e (IRR) podem ser usadas em quaisquer situações, ao passo

que as funções de séries de pagamentos ( PV ), ( PMT ), ( n ) e ( FV ) podem ser usadas apenas quando

fluxos de caixa constantes ao longo do tempo.

Antes de finalizarmos esta seção é muito importante assinalar uma série restrição do método da taxa

interna de retorno, que é a possibilidade de ocorrência de “taxas múltiplas de retorno” para um único



62

projeto. Esta situação é de tal forma anônima que nos leva a rejeitar as conclusões baseadas no método

quando desses casos e o exemplo a seguir nos levar a um melhor entendimento acerca do problema.

Exemplo:

Um projeto de investimento teve projetado o seguinte fluxo de caixa, onde se observa a ocorrência de dois valores negativos.

0 1 2 3

(1.000) 6.000 (11.000) 6.000

Sabemos que a resolução do problema é dada pela equação:

EFG � 0 � >1.000 � 6.000�1 � ��) > 11.000�1 � ��8 �

6.000�1 � ��;

Veremos adiante que as taxas de 0%, 100% e de 200% levam o valor presente líquido (NPV) a zero.

Entretanto, isto não deveria ocorrer na realidade dos negócios, pois um investimento ou produto

financeiro teria apenas uma rentabilidade implícita e, portanto, a prática em casos como estes é a de

abandono do método. Antes de passarmos à operacionalização doa cálculos na HP, é importante salientar

que estas situações de taxas múltiplas somente “podem” (e realçamos a palavra “podem”) ocorrer caso

tenhamos dois ou mais valores de sinais opostos aos demais.

Já na HP, os registros seriam:

� 1000 ( CHS ) ( g ) ( CFo )

� 6000 ( g ) ( CFj )

� 11000 ( CHS ) ( g ) ( CFj )

� 6000 ( g ) ( CFj )

� ( f ) ( IRR ) ERROR 3



63

A mensagem ERROR 3 é a forma de a HP apontar a ocorrência de taxas de 0%, 100% e de 200% levariam ao NPV de zero e isto pode ser constatado com os registros a seguir:

� 0 ( i )

� ( f ) ( NPV ) 0, 00

� 100 ( i )

� ( f ) ( NPV ) 0, 00

� 200 ( i )

� ( f ) ( NPV ) 0, 00

Vejamos que em todos os 3 casos o NPV foi “zerado”, indicando que, de fato, aquelas taxas compõem o que se

denomina de taxas múltiplas de retorno.



64

EXERCÍCIOS SUPLEMENTARES

1A PARTE - VALOR ÚNICO, DE ENTRADA OU SAÍDA

2A PARTE - PAGAMENTOS IGUAISE PERIÓDICOS (COM OU SEM PAGAMENTOS DIFERENTES)

01) Uma empresa obtém um empréstimo de $6 milhões para ser liquidado em 24 prestações mensais. Sabendo-se que o Banco Itaú cobra taxa fixa de 1,5% ao mês, pergunta-se o valor da prestação a ser paga pela PUC. Resp..: $299.544,61

02) Qual a taxa de uma operação de empréstimo de $1.000,00 pelo prazo de 12 meses, paga através de

prestações de $104,48 no final de cada mês? Resp..: 3,66 % a.m. 03) Um consumidor adquiriu uma lancha em 5 prestações mensais de $6.200,00 pagando a primeira no ato

da compra. Qual o valor à vista do bem, se a loja cobra taxa de 3,5% ao mês. Resp..: $28.973,09

04) Na questão anterior, qual o valor à vista se o primeiro pagamento é feito daí a 30 dias? Resp..:

$27.993,32



65

05) Determinar a que taxa de juros a aplicação de $5.000,00 por mês gera um montante de $800.000,00 no final de 4 anos e meio, sabendo-se que a primeira parcela é aplicada no final do 1o mês. (Resp..: 3,604% ao mês)

06) Supondo termos antecipados, quanto um investidor deverá poupar por 12 meses, com seus saldos

sendo remunerados a 3% ao mês, para ter $5.000 ao final de 20 meses? Resp..: $270,02

07) Um estudante de odontologia acaba de entrar para a PUC/M(G) (curso de 5 anos) e seu pai resolve

fazer aplicações mensais de $390,00 a partir de hoje, para que o rapaz possa comprar seu consultório 2 meses após a formatura. Sabendo-se que a taxa de juros a ser obtida sobre estas aplicações é de 0,89 % ao mês, pergunta-se se o montante acumulado ao longo dos 62 meses seria suficiente para a compra do consultório, cujo preço é de $35.000. Resp..: Não, pois faltariam $2.631,82

08) Uma empresa adquire um aparelho a ser pago em 8 prestações iguais e mensais de $35.000,00.

Sabendo-se que a primeira vence 30 dias da data do contrato e que a taxa cobrada pelo vendedor é de 3% ao mês, calcular o valor financiado. Resp..: $245.689,23

09) Determinar o valor de 10 pagamentos mensais que à taxa de 3% ao mês, liquidariam uma dívida de

$5.600.000,00, se o primeiro pagamento é feito ao final de 1 mês. Resp..: $656.490,84



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10) O veículo “Honda Civic” pode ser comprado numa concessionária em 48 prestações mensais de $1.380,15 sendo a 1a com 30 dias. Sabendo-se que a taxa usada é de 1,15% ao mês, pergunta-se qual deverá ser o valor a vista do veiculo e qual o saldo devedor após o pagamento da 24a parcela? Resp..: $50.691,66 e $28.802.09

11) A quantia de $750.000 é financiada em 10 meses à taxa de 4% ao mês, da seguinte forma: 50% do

saldo devedor são pagos na entrada e o restante mensalmente em parcelas iguais, durante os 6 meses seguintes. Calcule o valor de cada prestação. Resp..: $83.686,67

12) Os alunos do 6o período de Administração da PUC/MG estão planejando sua festa de formatura. O saldo disponível no banco é de $24.500,00 e, sobre este valor, aplicado em um fundo de fenda fixa, deverão ganhar 1,0 % ao mês pelos 18 meses que faltam até a formatura. Sabendo-se que a previsão de gastos atinge o montante de $45.000,00, quanto deverão depositar mensalmente no tal fundo de renda fixa (durante os 18 meses restantes) para garantir a realização da festa? Resp..: $800,13

13) Uma geladeira possui preço a vista igual a $ 800,00, podendo ser paga em três parcelas mensais iguais

sem entrada. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é iguala 5% a.m., calcule o valor da prestação a ser cobrada pela loja. Resp..: 293,77.



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14) Marcela completou hoje 24 anos e gostaria de analisar a possibilidade de contribuir para um plano de aposentadoria privada. Pensa em aposentar-se ao completar 55 anos, quando gostaria de contar, a partir de seu aniversário, com uma renda mensal ad eternum iguala $ 3.700,00. Sabendo que a taxa de juros em vigor no mercado para planos de aposentadoria do tipo desejado é iguala 1% ao mês, quanto ela deveria começar a depositar hoje de forma a atingir o que deseja? Resp..: 93,65

15) Uma betoneira cujo valor a vista é de $ 30.000,00 será financiada em 20 prestações mensais e

sucessivas, além de uma entrada de $ 7.500,00, por ocasião da compra. Determine o valor das 20 prestações mensais, sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 15 % ao ano, capitalizados mensalmente, considerando que a 1ª prestação vencerá a 30 dias após a data da compra; Resp..: $ 1.268,48

16) Juliana gostaria de trocar de carro daqui a um ano e meio. Estima que gastará na troca do veículo cerca

de $22.000,00. Quanto ela deve depositar mensalmente a partir de hoje em uma caderneta de poupança que rende 0,75% ao mês para poder dispor da quantia desejada? Resp..: $ 1.137,62



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2. FLUXO DE CAIXA DESCONTADO

01) Determine o VPL e a TIR do fluxo de caixa abaixo, sabendo-se que a taxa requerida de retorno é de

20% ao ano e a taxa de juros do mercado financeiro alcança 18% ao ano.

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6

($12.000) $5.660 ($1.120) $6.380 $6.380 $6.380 $8.640

VPL = $4.165,29

TIR = 31,12% ao ano

02) Determine o VPL e a TIR do fluxo de caixa abaixo, sabendo-se que a taxa requerida de retorno é de


Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10

($4640) ($2755) ($709) $682 $3.598 $5.502 $5.767 $4.773 $3.608 $3.814 $4.891

VPL = $6.137,79 TIR = 26,45% ao ano 03) Determine o VPL e a TIR do fluxo de caixa abaixo, sabendo-se que a taxa requerida de retorno é de


Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Ano 6 Ano 7 Ano 8 Ano 9 Ano 10

(16000) (5.460) (1.470) 1.370 7.090 10.100 10.890 12.350 9.500 9.500 9.500

VPL = ($621,31) TIR = 19,42% ao ano

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