PSAEN_2007 resolvida

Projeto Rumoaoita

Resoluo da Prova Escola Naval 1 fase

PSAEN 2007/08 Primeira Fase - MatemticaResoluo: Caio Guimares, Rodolpho Castro, Victor Faria, Paulo Soares, Iuri Lima Digitao: Caio Guimares, Jlio Sousa.

Comentrio da Prova:A prova de matemtica desse ano veio com um enfoque muito grande em clculo. O nvel de dificuldade das questes no geral se manteve o mesmo, com exceo de algumas questes que notavelmente vieram mais trabalhosas que o usual (como a questo 15 e a 19). Destaque para a questo 19, que em nossa opinio, ser a com o maior ndice de erros (at mesmo entre os alunos mais bem preparados) por ser uma questo que exigia um alto nvel conceitual de aplicaes de derivadas em construo de grficos de funes. Gostaramos de ressaltar a melhora em relao ao ano passado, uma vez que os enunciados (mais claros) no geram algum tipo de dvida nem motivos para anulao (como foi o caso dos ltimos 3 anos de prova). Assuntos Abordados: 1. Nmeros Complexos e Polinmios 2. Clculo: Mximos e Mnimos de funes Reais (derivadas) 3. Fatorao, Trigonometria. Eq. da Circunferncia 4. PG 5. Geometria : reas 6. Analtica no R: Plano e Reta no R 7. Clculo: Integrais imediatas/ Trigonometria 8. Anlise Combinatria: Probabilidade 9. Polinmios e P.A. 10. Geometria espacial: Volumes 11. Trigonometria: Soma de Arcos 12. Logaritmos 13. Sistema linear, Vetores no R (Produto misto) 14. Trigonometria 15. Clculo: Retas tangentes a uma curva. Regra da Cadeia 16. Clculo: Teorema da funo inversa. Reta normal a uma curva 17. Clculo: Derivada e Integral Imediata 18. Determinante (Laplace) e Polinmios. Binmio de Newton 19. Clculo: Anlise grfica de uma funo real. 20. Inequaes do primeiro grau. Logaritmowww.rumoaoita.com

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Questo 1Sejam5

tais que a equao x 4x x ( 2 a b) x ( a b 3) x ( ab 2 ) 0 admite duas e somente duas razes nulas. Se z = a + bi um nmero complexo, ento o argumento4 3 2

a

e

b

nmeros

reais

no

nulos

de

z 1 z

a) arctg 1 b) arccos 1 2 c) arccos 1 2 d) arc sec 2 e) arccos 0 3

Resoluo

x5

4.x 4

x3

2a b .x 2

a b 3 .x

ab

2

Para que o polinmio acima tenha 0 como raiz dupla, devemos ter: 2 a ab 2 b b 3b 2 0 a b 3 0 a b 3 2a b 0 2a b 0 2a b 0

bLogo:

1; a

2

z

2 i

z 1 z z arg 1 z

2 i 3 i

2 i . 3 i

10 1/ 2 Arctg 1/ 2

1 2

i 2

Arctg 1

Resposta: (A) Arctg1

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Questo 2O valor mnimo relativo da funo f, de varivel real x, definida porf(x) a2 sen2 x b2 cos 2 x

, onde a, b

*, vale c) 2|ab| d) (|a| + |b|) e) 2(a + b)

a) (a + 2|b|)

b) a + b

Resoluo

f x

a senx

b cos x

f' x

2.a.cos x senx

2.b.senx cos xx

Analisando os pontos crticos: a.cos x f' x 0 senx

2.b.senx cos xx

tgx

a b

Verificando pelo teste da 2 derivada se tais pontos so pontos de mnimo: f' x 2.a.ctgx.csc x 2.b.tgx.sec x

2a. ctgx . 1 ctgx f "(x) 2a.csc x

2b. tgx . 1 tgx 2.b.sec x 6b.tgx.sec x 0 , x

6a.ctgx.csc x

Como a 2 derivada sempre positiva, ento nos pontos crticos encontrados teremos pontos de mnimo. Com isso: a b 1 a fmin (x) . b senx cos x cos x tgx

tgx 1 . a bLogo:

a tgx b

b a

a b b

1 .

a.a a/b

b.b

b

. ab

Resposta: (D) a

b

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Questo 3 Considere a funo f, de varivel real x, definida por um valor que torna f constante. A equao da circunferncia tangente ao eixo y, cujo centro est no ponto de interseo das retas 2mx 2 y 5 0 e x 4 y 3 0 :f( x) sen6 x cos6 x m( sen4 x cos 4 x ) , onde m

a) c) e)

x2 xx22

y2 yy22

2x 2x2x

2y 02y

1

0

b) d)

x2 x2

y2 y2

2x 2x

2y 0

1

0

1

0

Resoluo Da fatorao bsica, temos as seguintes relaes:senx1

cos x sen x6

sen6 x cos x sen x cos 4 x4 6

cos6 x

3.sen2 x.cos2 x. sen2 x

cos2 x1

1 3.senx.cos x cos 4 x 2.sen2 x.cos2 x

senx1

cos x sen 4 x

1 2.senx.cos x

Assim:

f x

1 3.senx.cos x 1 m

m. 1 2.senx.cos x 3 2m

senx.cos x.

Para f(x) ser constante, basta anular os termos que dependem de x. Para isso, basta que: 3 2m 0 m 3/2

Com isso, temos as retas:

3x x

2y 5 4y 3

0 0

A interseo delas no ponto (1,1). Como a circunferncia tangente ao eixo y, devemos ter r = |Xc| onde Xc = abcissa do centro. Assim, a equao da circunferncia dada por: x 1 y 1 1 Desenvolvendo, chegamos resposta: Resposta: (E) xy 2x 2y 1 0

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Questo 4Sendo a o primeiro termo de uma progresso geomtrica, b o termo de ordem (n+1) e c o termo de ordem (2n + 1), ento a relao entre a, b e c : a) c 2 ab b 2 0 b) b 2 ac 4 0 c) b 2 a 2 4 ab c 2 0 d) b 4 2 a 2 cb b 2 c 0 e) b 4 2 acb 2 a 2 c 2 0

Resoluo Do enunciado, sendo q a razo da PG:

b c

a.qn a.q2n

b a

2

c a

b b b b4

ac ac ac 2.a.c.b0

0 0 0 0

ac

Resposta: (E) b4

2ac.b ac

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Questo 5Na figura abaixo ABC um tringulo eqiltero de lado 2 e PQ(arco), PR(arco) e QR(arco) so os arcos de circunferncia de raio r. Os MN segmentos e CS so perpendiculares ao segmento NS e QRS(arco) uma semicircunferncia de centro em C. Se sen2 2 e a soma das reas hachuradas mede 33 r2 5 ento 9

2

o valor de r ? a) 2-1/2

b) 2-4

c) 21/4

d)

21/21

e) 2

4.3 1 9 3 A rea interna hachurada no tringulo equivale rea total do tringulo menos a rea de 3 setores circulares de 60 cada um. Assim, como o lado do tringulo 2.r, temos:

Resoluo til calcular o cosseno do ngulo alfa: cos

2r . 3 4

3.

.r 6

r.

3

2

Como sabemos a soma das reas hachuradas, nos restar que o trapzio ter 5/9 como rea

r r.cos 2

r

.r.sen

Com isso:

5 9

r. 2 cos 2

.sen

r

5. 2 924

r

1 2

2

4

Resposta: (B) r

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Questo 6Considerex2x y z

oz2 6x 2y

plano4z 13

que0

y22 1 3 t

contem o centro da esfera e a reta de equaes paramtricas e pelos planos

t ,t 2t

. O volume do tetraedro limitado pelo plano

coordenados , em unidades de volume: a)50 3

b)

50 9

c)

100 9

d)

200 9

e)

100 3

Resoluo Completando quadrados na equao da esfera, teremos:x 3 y 1 z 2 1

Seja P o centro. P = (3,-1,2). A=(2,1,3) um ponto da reta que tem como vetor diretor u = (1,-1,2). Os vetores AP = P-A = (1,-2,1) e u definem o plano. O vetor normal ao plano dado por: i j k AP u 1 2 1 5.i 3.j k // 5,3, 1 1 1 2 Tendo o ponto A = (2,1,3) temos a equao do plano:(2,1,3)

5x 3y z c

0

10 3 3 c: 5x 3y z 10 0

0

c

10

O plano define segmentos de comprimentos 2, 10 e 10/3 com os eixos coordenados (basta fazer x = y=0, x = z = 0 e y = z = 0). O volume do tetraedro tri-retngulo dado por: 2.10.(10 / 3) 100 V 6 9 Resposta: (C) 100 / 9www.rumoaoita.com

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Questo 7O valor de a) c) e)cos 2 x 2

4sen 2x .cosx.dxcos 4 x 4 C

b) d)

cos 2 x

sen2 2x 2

C

4 cos 3 x 3cos 2 x

Ccos 4x 4 C

3 cos 2 x 2

C

Resoluo 4.sen 2x .cos x.dx8. 2.

4. 2.senx.cos x.cos x.dx 8. cos4 x 4 C1 2. cos x2

senx .cos x.dx 1 cos 2x 22

C1 C1 C1

C1 C1

1 . 1 2.cos 2x 2 1 cos 2x 2

cos 2x 1 cos 4x 4

cos 2x 1 cos 2x 2 2 cos 4x cos 2x C 4

Resposta: (E)

cos 2x

cos 4x 4

C

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Questo 8A secretria de uma empresa tem a tarefa de enviar 5 cartas de cobrana, com diferentes textos e valores, para 5 diferentes clientes. Uma vez preparadas as cartas e os respectivos envelopes, a secretria pede sua auxiliar que coloque as cartas nos envelopes e as remeta pela empresa de Correios. Supondo que a auxiliar no tenha percebido que os textos so diferentes e tenha colocado as cartas nos envelopes de forma casual ou aleatria, a probabilidade das cartas terem sido enviadas corretamente para cada destinatrio : a) 0,15% b) 0,24% c) 0,25% d) 0,83% e) 0,92%

Resoluo Casos favorveis: H um nico caso favorvel (o que todas as cartas vo para o lugar certo). Casos totais: Basta organizar 5 cartas distintas em um fileira de 5 elementos. 5! = 120 casos.

A probabilidade pedida ser dada por P = (casos favorveis)/(casos totais) . Portanto, a probabilidade de 1/120 = 0,008333...

Resposta: (D) 0,83%

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Questo 9O resto da diviso do polinmio M( x ) N(x) = x + 2, x a) b) c) d) e) 120 80 60 40 0 , igual a80

( 3 j )(x

1) 80

j

pelo polinmio

j 1

Resoluo Pelo teorema do resto de DAlembert, o resto de M(x) por (x+2) dado por M(-2).80

M

2i 1

3i .

1

80 i

3 6 9 12 15 18 ... 3.79 3.80 6 12 18 ... 3.80PA de razao 6

3 9 15 ... 3.79PA de razao 6

6 3.80 .40 2

3 3.79 .40 2

120

Resposta: (A) 120

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Questo 10

O trapzio retngulo ABCDA, representado na figura abaixo, faz uma rotao completa em torno do eixo l, gerando um slido s. Sabendo que os segmentos AB e BC e o ngulo tm por medida 8cm, 8cm e 30, respectivamente, e que o volume de S vale o dobro do volume de uma esfera de raio R, pode-se concluir que o comprimento de R, em cm, : a) 2( 3 1) 1 / 3 b) 4( 3 3) 1 / 3 c) 2( 3 3) 1 / 3 d)8( 3 1) 1 / 3

e) 4( 3

1) 1 / 3

Resoluo

O volume a soma de um cone e um cilindro, que somam o volume de 2 esferas de raio R.Vcilindro Vcone 2. 4 .R 3 .r.h .8.8 R 43 3 .r.H 3 2. 4 .R 3 8 .R 3

.8.8. 3 3 3

Resposta: (B) R

43 3

3

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Questo 11Os ngulos reta r y = x a) b) c) d) e)22 3 2 3 2 2 3 3

e

na figura abaixo so tais que) vale:

12

, e a equao da

2. Ento tg(

3

Resoluo Do coeficiente angular da reta r, temos que /3. Portanto:tg tg tg 1 tg .tg 1 1 3 3 2

=1

/4. De onde segue que3 2 32

=

2

3

Resposta: (C)

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Questo 12No sistema cartesiano abaixo est esboada uma poro do grfico de uma funo y ( x ) log2 ( x a) restrita ao intervalo [2,8], a *+. Se y(2) = 2, ento o valor da rea hachurada :

a) d)

6

6

3 log 4 3 2 8 log 1 32

b) 12 e) 12

log2 3log2

c) 83

2 log2 3

Resoluo Do enunciado: y 2

2

log2 2 a

2

2 a

4

a

2

A soma das reas dada por: 2.y 2 2.y 4 2.y 6

2. log2 4 log2 6 log2 8 2. 2 log2 2.3 12 2.log2 3 3 2. 5 log2 2 log2 3 12 log32

3

Resposta: (E) 12 log

2

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Questo 13Considere x, y,z e vetores nox y

que satisfazem ao sistemaz 2, 1, 2 5, 2, 8 15, 6, 24

x 2y 3z x 4y 9z

,

o produto x (y z) valea) b) c) d) e) -1 0 1/2 1 2

Do sistema:x y z 2, 1, 2 5, 2, 8 15, 6, 24 I II III x 2y 3z x 4y 9z

Fazendo (II

I) e (III

II):y 2z y 3z 3, 1, 6 5, 2, 8 IV V

Fazendo (V- IV) e resolvendo, acharemos:x y z 1, 1,2 1,1,2 2, 1, 2

O produto misto pedido nulo, uma vez que x e y so vetores paralelos (os 3 vetores no formam volume!) Resposta: (B) 0.www.rumoaoita.com

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Questo 14Sejam f e g funes reais definidas porg( x ) k cos 2 x , kf(x) 2 sen2 x 6 cos x

e

, se f

3

g

7 4

19 , ento a soma das solues da 2

equao f(x) = g(x) no intervalo13 6 13 3 7 3 25 6 16 3

21 16 , 11 5

a) b) c) d) e)

Resoluof 3 9/2 g 7 4 5 cos 7 20

k

5

k

5

Da igualdade, f(x) = g(x), teremos: 5 cos 2x 2.senx 6.cos x

5 2cos x 1 2 2.cos x 6.cos x 2.cos x 3.cos x 1 0 cos x 1 ou cos x 1/ 2

As solues no intervalo estipulado so: x

2

e x

7 13 cuja soma 3 3

Resposta: (B)

13 . 3

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Questo 15Sejam L1 a reta tangente ao grfico da funo real f ( x ) e P(-1,f(-1)) e L2 a reta tangente ao grfico da funo y = f Q( 1, f ( 1)) . A abscissa do ponto de interseo de L1 e L2 a)1 9x2 3x

no ponto (x) no ponto

b)

1 3

c)

1 9

d)

1 3

e) 1

Resoluo Utilizando a regra da cadeia: 2x 3 f' x .e 2. x 3x Derivando mais uma vez:1 2 2. x 3x

x 3x

f '( 1)

5e 4

2x 3 . 2x 3 2. x 3x x 3x .ex 3x

f" x

2x 3 x 3x

.

2x 3 e

x 3x

2 x 3x

f "( 1)

41e 32

Achando as equaes de L1 e L2:L1 : 1 L2 : y e y 5.e 4 5e . x 1 4 41.e . x 1 32

L1 : L2 :

y f( 1) y f' 1

f '( 1). x f" 1. x

1

Resolvendo quanto abcissa: Resposta: (A)1 9

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Questo 16

A funo real f, de varivel real definida por f(x) = ln(x5 + x3 + x). Podemos afirmar que a equao da reta normal ao grfico da funo inversa f -1 no ponto (ln3, f -1(ln3)) a) y 3 x d) 3 y x3 ln 3 ln 3 1 3

b) 3 y x e) y 3 x

ln 3 ln 3

3 3

c) y

3x

ln 27

1

Resoluo Sabemos que f(1) = ln3 e a derivada da funo inversa de f : ' 1 f 1 x f' f 1 x Sabemos tambm que:ln x'

5.x 4 x5

3.x 1 x3 x

f '(x)

f' 1

3

Da segue que: f

1

'

ln3

1 3

mnormal

1 1/ 3

3

A equao desta reta ser:y f1

ln3

3. x ln3

y 1

3. x ln3

Resposta: (C) y 3x ln27

1

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Questo 17

Considere y = f(x) uma funo real, de varivel real, derivvel at a 2a ordem e tal que f (x) + f (x) = 0, x . Se g(x) = f (x)senx f(x)cosx + cosx, ento: a) d)g( x ) g( x ) sen2 x 2 2f( x) C cos 2 x 2 C

b) g( x ) e) g( x )

Csenx

c) g( x )cos 2 x

cos 2 x 2

C

C

Resoluo Derivando g(x):g'(x) f "(x).senx f '(x).cos x f '(x).cos x f(x).senx 2.cos x.senxsen 2x

senx. f "(x) f '(x)0

sen 2x

sen 2x

Integrando, teremos g(x): g x

g'(x).dx

sen 2x .dx

cos 2x 2

C

Resposta: (C) g x

cos 2x 2

C

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Questo 18Considere a matriz1 52

1 3x mx2 2

1 1 2 2x2

A=

2x 5 0

3 4 1

2x 2 3x 0 54x 4

nx 0

e o polinmio p(x) = x - 2x -3, onde x, m e n pertencem ao conjunto . Se o determinante da matriz A divisvel pelo polinmio p(x) podemos afirmar que o termo de ordem (m+n) do binmiox2y 57

5z 3

: a)

7x 8 y 4 z9

b) 14x 8 y 4 z 9

c)

7x 6 y 4 z 6

d)

14x 6 y 4 z 9

e) 14x 6 y 4 z 6 Resoluo Para haver divisibilidade, as razes -1 e 3 (do polinmio divisor) devem ser razes do polinmio dividendo. Dessa forma:1 2 5 0 5 1 3 3 4 m n 2 1 0 1 3 6 0 1 1 2 3 5 m n 2 1 3 6

Laplace

det A

1

Para que o determinante seja nulo, basta que as colunas 2 e 3 sejam proporcionais, o que nos d: m + n = 4. Utilizando o desenvolvimento do binmio de Newton para o 4 termo.T4 C3 . 7 x.y 54

.

5.z

3

7.x8 .y 4 .z9

Resposta: (A)

7.x 8 .y 4 .z9

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Questo 19Seja f a funo real de varivel real, definida por f(x) = afirmar que:a) b) f derivvel f crescente xx3

x3

x 2 . Podemos

*

c) f positiva x e (1, f(1)) o ponto de inflexo d) a reta 3y - 3x + 1 = 0 uma assntota do grfico da f e (0, f(0)) o ponto de mximo local. e) f derivvel x*

- {1} e 3y

3x

1 = 0 uma assntota do grfico da f.

Resoluo Achando a derivada nos pontos em que f derivvel: 1 3x 2x f '(x) . 3 x x 2 / 3 O que nos sugere que a derivada no existir para x = 0 ou x = 1. De fato: 3 f(x) f(0) x x lim lim x 0 x 0 x 0 xx

lim

f(x) f(1) 1 x 1

3 x

lim

0

x x x 1

Como os limites no existem, a funo no derivvel em x = 0 nem em x = 1. (Letra A falsa!). A primeira derivada assume valores negativos entre 0 e 2/3, logo f no estritamente crescente em todo R*. (Letra B falsa). A funo f negativa para x = -1, por exemplo, o que torna a Letra C falsa. Achando a assntota y = mx+h ao grfico: 3 f(x) x x m lim lim lim 3 1 1/ x x x x x xhx

131

lim f x

m.x

x

lim

3

x

x

x

x

lim x.

1/ x0

12/3

31 x

1/ x 1/ x

1

lim

1 1 L 'Hospital 3 limx

1/ x

. 1/ x

1/ x

1 3

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Logo, a equao da assntota dada por: y x 1/ 3 3y 3x 1 0 A afirmao acima torna a Letra E falsa. Basta provarmos que (0,f(0)) mximo local. 1 3x 2x lim f '(x) lim . 0 x 0 x 0 3 x x 2 / 3lim f '(x)x 0

limx 0

1 3x 2x . 3 x x 2 / 3

0

O que significa que f decresce direita de 0 e cresce esquerda. Logo, apesar de haver um ponto de no derivabilidade (um bico ), este ponto um ponto de mximo local! Resposta: (D)

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Resoluo da Prova Escola Naval 1 fasex / x 2 2x 3 4

Questo 20 Considere os conjuntos A =x / log9 ( x 2 5x 7)

e B =

0 . Pode-se afirmar que A

B :

a) b) c) d) e)

,,

3 210 9

26 , 72, 2, 10 9

, 3

,

10 9

3,26 , 7

, 3

Resoluo O conjunto A gera a seguinte condio de existncia. x 2 4 0 x 2 2x 3 4 4 x 2 2x 3 4 0 2x 3x x A 3 / 2 ou x 10 / 9 ou x x tal que x 2 3/2

9x 10 0 2x 3 x 2 7. 2x 3

0

10 / 9 ou x

2

O conjunto B gera a condio: x 5x 7 1 x 5x 6 x 5x 7 0 A interseo de A com B, nos d: Resposta: (D) x

0

x

2 ou x

3

10 ou x 9

3

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