PROYECTO FINAL (CIRCUITO LC) CENTRO DE CIENCIAS BÁSICASDEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA ...
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PROYECTO FINAL (CIRCUITO LC)CENTRO DE CIENCIAS BÁSICASDEPARTAMENTO
DE MATEMÁTICAS Y FÍSICA
Victor Eduardo Rodríguez Hernández Ingeniería en Sistemas
Computacionales
ECUANCIONES DIFERENCIALES
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PROBLEMA:Considera el circuito LC en el que se tienen conectados en serie un capacitor de C=3 faradios, un inductor de L=3 henrios y una fuente de voltaje alterno v (t)= 18*Cos (b*t). Suponiendo que el voltaje inicial en el capacitor v (0)=0 y la derivada del voltaje v’ (0)=0 son cero, encuentre el voltaje presente en el capacitor en t>0.
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VL + VC – V (t) = 0
Luego como VL=Li’ (t) y V (t) =18Cos (bt):
Li’ (t) + VC = 18Cos (bt)
Ahora como i = q’ (t) entonces i’ (t) =q’’ (t), y q = CVC entonces (XD) resulta ser:
LCVC‘’ (t) + VC = 18Cos (bt)
Sustituyendo L=3 y C=3 se tiene que:
9VC‘’ (t) + VC = 18Cos (bt) VC‘’ (t) + VC/9 = 2Cos (bt).
Aplicando la Ley de Kirchhoff a Voltajes se tiene que:
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SACAMOS LA ED HOMOGENEA Y RESOLVEMOS:
...
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Se propone la siguiente solución ya que la segunda derivada es un cos también:
Siempre y cuando b
AHORA ENCONTRAMOS LA SOLUCION PARTICULAR DE LA ED NO HOMOGENEA:
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PARA DARNOS CUENTA SI ES SOLUCIÓN SUSTITUIMOS:
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LA SOLUCIÓN GENRAL DE LA ED ES:
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A Y :
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POR LO TANTO LA SOLUCIÓN PARA EL PVI ES:
Siempre y cuando b
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SU GRAFICA ES:
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AHORA RESOLVEMOS CUANDO b= :
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SUSTITUIMOS EN LA ED NO HOMOGENEA:
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SE RESUELVE EL PVI:
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LA SOLUCION DEL PVI ES:Siempre y cuando b
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SU GRAFICA ES:
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Podemos concluir que b es la frecuencia de la fuente de alimentación alterna. Y se puede decir que es el valor sobre el que la ecuación gira ya que en caso de ser cero tendríamos una indeterminación en la ecuación y siendo esto, es el valor que controla la resonancia, por lo tanto hay que estar muy conciéntes de este valor.
CONCLUSION