Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

20
Laboratoire d’Arithmétique, Calcul formel et d’Optimisation UMR - CNRS 6090 Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled by a Slowly Vanishing Term. Applications to Hierarchical Minimization Alexandre Cabot Rapport de recherche n° 2003-06 Déposé le 18 septembre 2003 Université de Limoges, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex Tél. 05 55 45 73 23 - Fax. 05 55 45 73 22 - [email protected] http://www.unilim.fr/laco/

Transcript of Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

Page 1: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

Laboratoire d’Arithmétique,Calcul formel et d’Optimisation

UMR - CNRS 6090

Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled by aSlowly Vanishing Term.

Applications to Hierarchical Minimization

Alexandre Cabot

Rapport de recherche n° 2003-06Déposé le 18 septembre 2003

Université de Limoges, 123 avenue Albert Thomas, 87060 Limoges Cedex

Tél. 05 55 45 73 23 - Fax. 05 55 45 73 22 - [email protected]://www.unilim.fr/laco/

Page 2: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

������������ ����������������������������������� �"!��������� $#������%��&�!'���������� ( (���*)�+,�,�� -��./ 0+,1������2��&���3#,������546������ (�7!�� ���7���3�

���8&����������!�&��7!��� ��������79:� ���2���;"<>=@?";"A"BDCE=GFH;DIEJ"K"L

MONQPSRUTUVXWYR%Z:["\ ]^S_ `Ga$b�\dcdeX^gfihkjmlnaYog^qpnrH^DoSsq_njm\dtn^Sf6ukv-w%`yx{z�|�}Y~����:a�oScdsqjm^St�oSsq_%]^������n_7oSh�\dsq_aY_nt�u"� w�`�x�z�a���_n\ h�^Oogsq_]^������n_no�h�\dsq_�hm�naUh�aYfm^OeXsq�n_nt7^gt'��fmsq��eX^Scds�r:��J"�nf(�qsaYck\dj�hms�en�7\dcdt�aY_aYcd�qsqfm\ h��n��r��n\do�����f�j�hk��\d_n\d��\d�S^Sj�hm�n^"�OaYl�ukv:aY_nt�jm^SoSsq_ntnc ��h��n^D�OaYl�u � s�]^SfHhm�7^Djm^�h���v-w  �aYfm�q��\d_@ukv2�¡ sqfkhm�naUh"ln�7fmlXsqjm^qpnrk^�t7^S�n_n^�hm�n^D��sqcdcds�r�\d_n��lnfmsg�7\d�OaYc ¢�h£�7lX^�aYcd�qsqf�\ hm�n�¤�¥ ��¦ § ¤�¨X©nª �k§ ¨ © ¦i«Y¬ ©�­�®2¯g° ¤ uEv�~'± © u �g¦ ¤�¨X©7ª ��¦�²r��n^Sfm^ ¤ ¬ © ¦ \dj�a�lXsqj�\ hm\ ]^�j�h�^gl�j�^g³%�n^S_noS^qp ¤�´ © ¦ \dj�a�jm�n���OaYe7cd^�^Sf�fmsqf-j�^S³2�n^S_noS^�aY_nt ¤ ± © ¦ \dj$a�oSsq_%h�fmsqcjm^S³%�n^S_noS^�hm^S_ntn\d_7�-hmsgrEaYfmt�µ7¶ ® ¯ tn^S_nsYhm^Sj�hm�n^ ´ § aYlnlnf�s��2\d�OaUhm^�j��neXtn\ ·�^Sfm^S_%h�\¸aYc¹�»º��n^S_ `G\djH�n_n\ hm^�t7\d��^g_2¢jm\dsq_naYc¼aY_7t ¤ ± © ¦ \djHa:j�cds�r�oSsq_%h�fmsqc¹p�½¹¾¸¿Y¾mÀ ª»Á©n v ± ©  �~���pqrk^"lnf�s�]^Ehm�naUh�p7�n_ntn^SfkaYtn^S³%��aUh�^�ogsq_7tn\ hm\dsq_7j�p%hm�n^jm^S³%�n^S_noS^ ¤�¨ © ¦ t7^S�n_n^St e%� ¤�¥ �Y¦ h�^S_ntnjEhmsgrEaYfmt�aY_�^Scd^S��^g_h�sY�0� � w  �aYf��q��\d_@Ã>u � �Ä sqfm^��q^S_n^Sf�aYcdc �p2�q\ ]^g_���_7\ hm^6ogsq_]^������7_no�hm\dsq_nj�uEÅ2pd�d�d�dp uEÆÇw%`Èx�zDp%cd^�hk�njHtn^���_7^"hm�7^"jm^�h�j ¤ ��É ¦ É£ÊXË ��Ì Í Í Í Ì ÆDÎe��h��n^:fm^SoS�nf�jm\ ]^�fm^Sc¸aUh�\dsq_��¼ÉHw  ÏaYf��q��\d_ Ã%ÐÒÑÔÓ ukÉ��@º�^�hm�7^g_�\d_%h�fms%tn�noS^�hm�7^�aYcd�qsqf�\ hm�7� ¤�¥ Æ-¦ pnr��n\dom��h�^g_7tnjh�s$��\d_n\d��\d�S^6�7\d^gfmaYfmo��7\do�aYcdc �O^gaYo������n_7oSh�\dsq_�ukÉ0sq_�hm�n^:j�^Sh"��ÉÒÕ � p7��sqf�Ö ­ }%× ²gØdØdØd²�Ù �%�

Ú�Û%Ü�Ý�Þ TYßQPqZ"jihm^S^SlX^Sj�hktn^Sj�og^S_hEj��2j�h�^S� plnfmsg�7\d�OaYcnlXsq\d_hH��^�h��ns2t¼p2�7\d^gfmaYfmo��7\do�aYc�sql2hm\d��\d�gaUh�\dsq_Ôp%ogsq_]^����\d_n\d��\d�gaUh�\dsq_Ôp%jmcds�rÏogsq_h�fmsqc¹�

MOàâá�PUã>NÔä Û WYROW%åæVXPgPUçdè»WqVnRqç ÞÔé PqZ"êëYA6ìµ7p�ìí Ä êqµ7pXîqïqð-×gµ7�

ñ 4'�%òHó%ô�õEö"÷6ø�ó2ùiõ0ò�4�úEû%ü�ýÿþ@û���������þ@û�gü� �����û�û�������-û�����æü�������������� ���!� "��qü#�$����%�����Uû��&�$�����'� (�� �$��)*�Uû��@û+�qü���,¼û-�'.��Qû-���Xü�û+��þ/.1032'4-265����7�18%2+8:9(úEû%ü<;�=<>¼ý@?BAC�D )D�!�Xü���%���!,�û%EDFG" �7�qü��'�$��ü�����ü��-ûH���� ��ü��D)D�'� ��)D�'I%û���,�û�(ü���ûJ�%���!,�û%EK�ûü�LM9ONC�7���-û-��FG" �P)'ûü�� ����%������'gü�Q���RFG�$�'�'������� (�ü���ûM����þ ��ü�Q��FS��������%�Uûü�ûT�$�U�%���Ôü��'�/"��$"�U��.!���$)����-�$�/�.�SüUû-)�V�� ���@û-FG" �'��.�%���!,�û-��($�'� (�ü����T�$���W��$)'û�û-��û-)'û-�ÔüX��FT����($)D���ZYS;�=[9#\�ü�����%���$� ���-�$��ü��]�$� � �'.Ïü���û^gü�û2û-�0ûgü�Qû+��%û-�Ôü_ .�gü�û-)�ü���ü���ûMFG"����qü������^;�=�`�aY�bcaY���"ü���û��'�������-�Xü��$�dFG" �7�qü��'�$�D�$FSL_e%V�ü��!"�O��û�����'� (ü��

fg bGh ei`kj^;�=�b g bGh e�e�l1monRYQb g bGh e e%4 hqpsr 4����û��ûTn Y b g bth e eQ�'�ü��»ûq� ����)^�$���%����û�ü��<LW�Xü�ü��»ûZ�&�$�'�¼ü g bth eu9d\�üU�����þ0ûT�� ����� ü�����ü6ü�� ��U���:FwvFÒû-�Uû-�Ôü��'�$�7�'���%�'"�������^Ft���'��_�'�¼ü���ü���û�FG�x��)'û�q����yR��Fz($�x�$� ��û�¼ü�v{�����$|Sû�qü������D)�û%ü�� ��� <bt�û%û<}T��ûI-��~ �[� eu9RN��Ôü��'� ��� ~��%� ���$<�'� ��ü�����ü�û+���$� �Xü���û-�X�-�$�Ôü��'�!" �$"�H($�x�$� ��û�¼ü�v{�����$|Sû�qü������� .�gü�û)]Vi����û-�Uûü��»û#�%����Sü����$���ÔüHL���o�'�Ôü�û-(����Xü�û+��ü�� ���$" (��Ïü���ûJ�����$|Sû�qü��������$�0û-�x��ü������UYz9M\����$� �Xü���û-��� ���Uû�%vü��'�$�iVz�T��þ7��ü ~ ��� ���$<�%������'�Qû��û+�����1�K�Uû�%û-�ÔüH���$�@û�Oü���û#FG�����'�����'� (��%���Ôü��'�/"��$"�<��.!����)D���-�$��.!gü�û)bcL_���Xe fg bth ei`�j^;q�/b g bth e ed`�� bGh e�jD; = b g bGh e�eZ��r�4 hTp�r�4����û��û�;q��>�ý�? A��'W���)��!��ü����%�$�!,¼û%E�FG" ���ü��'�$����Xü���3FG.!�'� (�����($)D�'�q;q����L��$�����>_AU��?�AU�*������-�$�Ôü����$�q�����x��)'ûüUû-��ü�û-�7������(3ü��1r�����û-�kh�?�`X��9�\���ü���û�bcLO���Xe�.!gü�û)�V�ü���û]�'��FG�$��)^��ü��'�$���$� ü���û��%�$�7Sü����$���ÔüDL��'D�-�$�Ôü��$����û+���'� ü��»û�FG" �7�qü��'�$��;q�$9��M�»û)^���'�^���: Hû-�Uû-�7�ûo����ü���ü��»ûo� �Uû-,!����"�U)'ûü�� ��� _�'��û+O�'�'ü���û�Ft���qü�ü�����üZ�-ûo���X� ��ü_���[,�û-ü��J����� v����ûD� �$��v��)��!��ü������@û���Xü�����V7�'�'y�û�ü���ûD� ����)^���O�-�$��ûDn Y �$��ü���ûD� ���$|Sû�ü��'�$��� Y 9R�o���-û-,¼û-�+Vü��»ûD� �:¡K�%"��æü3.��-�$)'ûHFG���$)/ü���û^�x� �$���û���F�ü���û^�-�$�Ôü����$�d�����x��)'û%ü�û-�<��9#\¢F�ü���û^)^�$����üUû-��� ü���r�ü��!�£Ft��Sü���.�V�ü���û^�&�Xü�û�Ôü������T; = ���� � ��ü# " ¡^�-��û�Ôü��'.��'��¤�"�û���û'ü���û�ü��x��|Sû+�qü��$��. g b326euVO��L <QaYeXsqf�aUh�sq\dfm^:<>;6FEJ�p�¥6_n\ ]^Sf�jm\ h¦^�tn^:<>\d��sq�q^Sj�p>× §qê�aS]^g_%�n^(;"cdeX^Sf�h6KE�nsq�OaYj�p�¨ëYµqîqµ�<>\d��sq�q^Sj6FH^Stn^��¼p

¡ f�aY_7og^ ¤'©%ªx«x¬%©�­%®u¯%«�°t±�©�²³�´%µ�¶u­�·�ª+·c¸S°�¹%¯ ¦ �×

Page 3: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

º »q¼�½S»U¾z¿dÀ

Á�Â7Ã�Á�Á� Ä#ÅDÆ'Ç Æ'Å�Æ'ÈÃ�Á�Æ'É$ÇWÉ$ÊTË�Ì<Å^Ã[ꣂ É$Á�É�Î-Î-Ï ÐÑ�Ò1ÄJÊGÄÄ-ÓQÁ� Ä#Æ�Ç/Á�ÄÐ�Ä+Ô3ÁHÉ�ÊZÃ�Õ�Ô Ó'É�ÖCÎ-É$Ç/Á�Ð�É$Ó�×Ã�Ç7Ø�Æ�ÁJÆ�ÔJÔ Â�É�Ö�Ç1Æ'Ç�Ù Ú�Û_Á�Â7Ã�ÁXÁ�Â�Ä�Ã$Ø�Ä+Ü/Ï�Ã�Á�ÄDÎ-É$Ç�Ø Æ:Á�Æ�É�Ç1É�Ç1Ý�Æ'ÔRÞOßiàá Ý âGã ä�å�ã�æèçXé�Ñ�êMÂ�ÄÇ É$Á�Æ'É$ÇKÉ$ÊiÔ Ó'É�Ö�Î%É$Ç/Á�Ð�É�Ó Â�Ã$ÔTÃ�Ó'Ð�ÄÃ$Ø Í#ë&Ä-Ä-Ç£ì7É�Æ�Ç/Á�ÄØ^É�Ï�Áqë!Í^Ô Äí$ÄÐ�Ã$Ó�Ã�Ï�Á� É$ÐxÔî�Ä+Ô�Ô�Ä-Ç/Á�Æ�Ã�Ó'Ó'Í#ÊGÉ�ÐÎ%É�Ç/Á�Æ'Ç/Ï�É$Ï�Ô_Ø Í/Ç7Ã�ÅDÆ'ÎÃ�Ó�Ô�Í�Ô3Á�Ä-Å^ÔÑUï!ÄÄMÊGÉ$Ð_Ä-ð Ã�ÅDì Ó'ÄHñqÉ$ÅDÆ�Ç�Ä%Á Á�ÆQÙ ò�ÛSÃ�Ç�ØDóTÁ Á�É$Ï�Îx ô3ñqÉ�Å�Æ'Ç Ä-Á Á�ÆÙ õ�ÛqÖ�Â�Ä-Ð�ÄDÁ� Ä]Ô Ó'É�ÖöÎ-É$Ç/Á�Ð�É$ÓZÆ'ÔRÃ�Æ'Å�Ä+Ø�Ã�ÁRÔ Á�Ã$ë Æ'Ó�Æ'È-Æ'Ç ÷�Ã�Î-É$Ç/Á�Æ'Ç!Ï É$Ï�ÔJ÷$ÐxÃ$Ø�Æ'Ä-Ç/Á ô¢Ó'Æ�ø�ÄDÔ�Í�Ô3Á�Ä-ÅÁ�É�ÖMÃ�ÐxØ�Ã^ì&ÄÎ%Ï�Ó�Æ�Ã�ÐHÄÜ/Ï Æ'Ó�Æ'ë Ð�Æ�Ï Å�Ñ�ù�ÇWÁ� Ä#Ô�Ã�ÅDÄ#Ø�Æ'Ð�ÄÎuÁ�Æ�É�ÇzîSóTÁ Á�É�Ï�ÎxÂ�ô ñqÈÃ$Ð�Ç Ä+Îxø!Æ_Ù ú$Û{îzñTÃ�ë&É�Á�ôñqÈÃ$Ð�Ç�ÄÎxø!ÆdÙ û[ÛzÃ�Ç7Ø]ñTÃ�ë&É�ÁXÙ6ü+ÛzÃ�ì ì�Ó�ÍDÁ� ÄHÇ�É�Á�Æ'É$Ç£É�ÊQÔ�Ó'É�Ö�Î%É$Ç/Á�Ð�É�Ó�Á�É�Ô Á�Ã$ë Æ�Ó'Æ'È-ÄHÔ�ÄÎ-É$Ç�Ø�ô{É�Ð�Ø�ÄÐÆ'Ç£Á�Æ�ÅDÄJÔ�Í�Ô3Á�Ä-Å^Ô-Ñ

ñqÉ$ÅDÆ'Ç ÷Wë�Ã�Îxø�Á�É�Á� Ä�â{ýOþ�ÿXä#Ô Í�Ô Á�Ä-Å Ã�Ç7Ø�ø�Ä-Äì Æ�Ç�÷WÆ�Ç�ÅDÆ'Ç�Ø�Ç!Ï ÅDÄ-Ð�Æ'ÎÃ�ÓZÃ$ì ì Ó'Æ'ÎÃ�Á�Æ�É�Ç�Ô-îdÆ�ÁÆ�Ô^Ç�Ã�Á�Ï ÐxÃ�ÓMÁ�É�Ø�Ä+Ã�ÓoÖ�Æ�Á�Â�Ã�Ø�Æ�Ô�Î-Ð�Ä-Á�Æ'È-Ä+Økí�Ä-ÐxÔ Æ'É$ÇkÉ�ÊDâcýOþ�ÿXä%Ñ�ù�Ç�Á� Æ�Ô^ì�Ã$ì7ÄÐîTÖTÄWÖ�Æ�Ó'Óoë&ÄÄÔ�ì&ÄÎ%Æ�Ã�Ó'Ó'ÍKÆ�Ç/Á�Ä-Ð�ÄÔ Á�ÄØ£Æ'Ç£Á� Ä�ÊGÉ$Ó'Ó'É�Ö�Æ�Ç ÷DÆ'ÅDì Ó�Æ�Î%Æ�Á�Ø�Æ�Ô�Î-Ð�Ä-Á�Æ'ÈÃ�Á�Æ'É$Ç]É�ÊTâ{ýOþ�ÿXä �

� â���� ß Ì � ��� ä����^æ �]â{Ë á ç�Ý���Ë Ì ä-â���� ß Ì ä�� �������Ö� ÄÐ�Ä� � Æ�Ô�Á� ÄKÔ3Á�Ä-ì�Ó'Ä-Ç ÷$Á�Â�Ã�ÁXÆ�Á�Ä-ÐxÃ�Á�Æ�É�Ç��sÃ�Ç7Ø�Ý � Æ'Ô<Á� ÄKí�Ã�Ó'Ï ÄDÉ�ÊTÝ â��6ä�Ã�ÁXÁ�Æ�ÅDÄ^ã � � æ� ��� Ì��� á � ÑDù¢ÊTÁ� Ä^Î%Ó'É�Ô�ÄØ1Î%É�Ç!í$Ä%ðWÊGÏ�Ç�ÎuÁ�Æ�É�Ç�Ô#Ë á Ã�Ç�Ø�Ë Ì Á�Ã$ø$ÄRÁ� ÄÆ�ÐXí�Ã$Ó�Ï Ä+Ô�Æ�Ç! #"!$�çXé&%Ö�Æ�Á� É�Ï�ÁiÐ�Ä-÷$Ï�Ó'Ã$Ð�Æ�Á3Í�Ã$Ô�Ô�Ï ÅDì�Á�Æ'É$Ç�Ôî-É�Ç Ä_Î-Ã$ÇXÄÃ�Ô Æ'Ó�ÍHÃ$Ø Ã$ì�ÁPÁ� ÄZì Ð�Äí!Æ�É�Ï�ÔzÃ�Ó'÷$É�Ð�Æ�Á�Â�Å Ã$ÔSÊGÉ�Ó�Ó'É�ÖoÔ �

� â'� � ß Ì � � � ä(�� � �*)Uâ¢Ë á ç�Ý � Ë�Ì-ä%â�� � ß Ìä��Ö� ÄÐ�Ä+)�Ø�ÄÇ É�Á�ÄÔoÁ� ÄDÔ Ï�ë&Ø�Æ-,SÄ-Ð�Ä-Ç/Á�Æ�Ã�ÓdÆ�Ç�Á� Ä�Ô ÄÇ�Ô Ä#É�ÊZÎ%É�Ç!í$Ä%ð�Ã�Ç�Ã$Ó�Í�Ô�Æ'ÔÑ/.�É�Á�Æ�Î%Ä#Á�Â�Ã�Á�Á� Æ'ÔÃ�Ó'÷$É�Ð�Æ�Á�Â�Å ÊtÃ$Ó�Ó�Ô�Æ'Ç/Á�É�Á� Ä�0�Ä-Ó�Ø�É$Ê#ì Ð�É[ð!Æ'Å^Ã�ÓHì7É�Æ�Ç/Á£ÅDÄ-Á� É�Ø Ô]ì Ð�É$ì&É�Ô�ÄØsÆ'Ç Ù-121�î31 º Û�Ã$Ç�ØÆ'Ç�Ô ì�Æ�Ð�ÄØWë!Í�Ù-1õ[Û¢Ñ�ù�Ç�Á�Â�ÄRì Ð�Ä-í!Æ'É$Ï�ÔHÃ�Ó'÷$É�Ð�Æ�Á� Å�î7Á� Ä�Æ�Á�Ä-ÐxÃ�Á�Ä+��� ß Ì Æ'ÔHÏ Ç Æ�Ü/Ï Ä-Ó'Í�Ø�Ä%Á�Ä-Ð�ÅDÆ�Ç Ä+Øë!Í���� ß Ì æ5476789 8 â'����ä�� Ö� ÄÐ�Ä;:<��Æ�ÔMÁ�Â�ÄXÅDÃ�ð�Æ�Å^Ã�ÓPÅDÉ�Ç É�Á�É$Ç Ä�É$ì&Ä-ÐxÃ�Á�É$Ð=)Uâ{Ë á ç�Ý���Ë Ì äMÃ$Ç�Ø4 69 � æ�â?>Hç@A:Hä � Ì �CBEDFB Æ�ÔTÁ�Â�ÄXÐ�Ä+Ô É�Ó�í�Ä-Ç/ÁTÉ$ÊG:�É$Êdì�Ã$Ð�Ã$ÅDÄ%Á�ÄÐA�âtÔ�Ä-Ä<ÊGÉ$Ð�Ä-ð Ã�ÅDì Ó'ÄDÙ H[ÛÊGÉ$ÐMÊGÏ�Ð Á� Ä-ÐoØ�Ä-Á�Ã$Æ�Ó�Ô�É$Ç]Å^Ã�ð�Æ'ÅDÃ$ÓPÅDÉ$Ç É$Á�É$Ç�Ä<É�ì7ÄÐ�Ã�Á�É�Ð�ÔTÃ�Ç�Ø£Á� Ä-Æ'Ð�Ð�Ä+Ô É�Ó�í�Ä-Ç/Á�ÔxäuÑdù�Ç�É$ÐxØ�Ä-ÐTÁ�ÉØ�Ä+Ã�ÓzÖ�Æ�Á�ÂWÇ!Ï ÅDÄ-Ð�Æ�Î-Ã�ÓQÃ�ì ì Ó'Æ�Î-Ã�Á�Æ�É�Ç�Ôî Æ:ÁHÆ'ÔoÎ-É$Ç!í$ÄÇ Æ'Ä-Ç/ÁMÁ�É�Ã$Ï�Á� É�Ð�Æ'È-ÄXÃ�ÁoÄÃ$ÎxÂ�Æ�Á�ÄÐ�Ã�Á�Æ'É$Ç��1Ã$ÇÄ-Ð�Ð�É$Ð/IC�WÆ�Ç�Á�Â�ÄRÄí[Ã$Ó�Ï7Ã�Á�Æ'É$Ç�É�Ê_Á� Ä^Ô Ï ëSØ�Æ-,&ÄÐ�ÄÇ/Á�Æ�Ã�Ó{Ñ;JWÉ$Ð�Ä#ì Ð�ÄÎ-Æ'Ô�Ä-Ó'Í$îPØ�ÄÇ É�Á�Æ�Ç�÷�ë!ÍK)�L^Á�Â�ÄI/ôqÃ�ì�ì Ð�É[ð�Æ'Å^Ã�Á�Ä<Ô Ï�ë&Ø�Æ-,SÄ-Ð�Ä-Ç/Á�Æ�Ã�Ó{î ÖTÄ�Ã$Ð�Ä�Ó'ÄØ£Á�É�Á� Ä�ÊGÉ$Ó'Ó�É�Ö�Æ'Ç ÷^Ã�Ó'÷$É�Ð�Æ�Á�Â�Å �â'M�Ì-ä � â�� � ß Ì � � � ä�� � �N) L 8 â{Ë á ç�Ý � Ë�Ì%ä%â'� � ß Ì-ä��êM Ä#Ô�ÄÜ/Ï ÄÇ�Î%Ä£â�I2��äoÉ�ÊOÄ-Ð�Ð�É$ÐxÔMÆ'Ô<Ã$Ô�Ô Ï�Å�Ä+Ø]Á�ÉKë&ÄRÔ�Ï ÅDÅ^Ã�ë Ó'Ä#Ô�É�Ã$ÔoÁ�ÉKÐ�Ä-Å^Ã$Æ�Ç�Î-Ó�É/Ô Ä�Á�ÉKÁ�Â�ÄÄ%ð Ã�ÎuÁZÔ�Ï ë&Ø ÆO,SÄ-Ð�Ä-Ç/Á�Æ�Ã�Ó{ÑUÒ�ÄHÔ Â É�ÖkÁ�Â7Ã�Áî/Ï Ç�Ø Ä-Ð_Á� Ä�Ô�Ó�É�ÖsÎ%É�Ç/Á�Ð�É$Ó�Î-Ð�Æ�Á�ÄÐ�Æ'É$Çzî�P'QSRTQ � ßià� � á ÝU�^æçXé�î�Á� Ä-Ç�Ä+Ã$ÎxÂ�Ô�ÄÜ/Ï ÄÇ�Î%ÄJ÷�Ä-Ç ÄÐ�Ã�Á�Ä+Ø�ë/Í�â'M�Ì-ä�Á�Ä-Ç7Ø ÔoÁ�É�ÅDÆ'Ç Æ�ÅDÆ'È-Ä^Ë�Ì�É�í$ÄÐ�Ã�Ð�÷$ÅDÆ'ÇqË á Æ'ÇÃDÔ ÄÇ�Ô�ÄHÁ�Â�Ã�ÁoÖ�Æ'Ó'Ózë7ÄXì�Ð�Ä+Î%Æ�Ô Ä+ØKÁ� Ð�É�Ï ÷$Â�É$Ï�ÁMÁ�Â�ÄXì�Ã�ì&Ä-Ð+ÑêMÂ Ä£Ç Ä%ð!Á�Ô Á�Ã$÷$ÄKÎ-É$Ç�Ô�Æ'Ô Á�Ô#Æ�Ç�ë Ï Æ'Ó'Ø�Æ'Ç ÷1Ã�Ç�Ã$Ó�÷�É$Ð�Æ:Á� Å�Ö� Æ�ÎxÂ�Æ�Ô#Ã$ë Ó�Ä�Á�É�ÅDÆ'Ç Æ'Å�Æ'È-Ä] Æ'Ä-ÐxÃ�Ð�ôÎx Æ�Î-Ã$Ó�Ó'ÍWÔ Äí$Ä-ÐxÃ�ÓiÊGÏ Ç�Î%Á�Æ'É$Ç�Ô�É�í�Ä-ÐoÁ� Ä-Æ'ÐXÔ Ï7Î-Î%Ä+Ô�Ô�Æ'í$Ä#Ã$Ð�÷�Å�Æ'Ç�Ô�Ä%ÁxÔ-Ñ;JWÉ�Ð�ÄRì Ð�ÄÎ%Æ�Ô�Ä-Ó'Í$îPÎ%É�Ç�Ô Æ�Ø�ÄÐ0�Ç Æ�Á�Ä<Î%É�Ç/í�Ä%ðJÊGÏ�Ç�ÎuÁ�Æ�É�Ç�ÔTËWV�î�Ñ'Ñ'Ñ�î ËWX âtÖ�Æ:Á�ÂZY\[ º ä_Ã�Ç�Ø^Ø�Ä]0�Ç Ä�Á� Ä-Æ'ÐqÔ�Ï�ÎÎ%ÄÔ�Ô�Æ�í�ÄMÃ$Ð�÷�ÅDÆ�Ç^Ô�Ä%Á�Ôë!Í�ý á � æ�Ã$Ð�÷�Å�Æ'ÇqË á Ã$Ç�Ø�ý7^ � æ�Ã�Ð�÷$ÅDÆ'Ç`_UaSbdc-ËW^ î7ÊGÉ$Ð<e=�f$C1C�]�g�-�g�(Y!%�ÑMÒ�ÄRÆ�Ç/Á�Ð�É�Ø�Ï�Î-Ä#Æ'ÇWÁ�Â�Äì�Ã$ì7ÄÐMÁ� ÄJÃ$Ó�÷�É$Ð�Æ:Á� Å�â'M X ä%î ÷$Æ'í$ÄÇ£ë!Íâ'M+X�ä � â'� � ß Ì � � � ä(�2 � �N) L 8 â¢Ë á ç�Ý � Ë�ÌOç�Ý2hji� ËWVqçk�g�-�+ç�Ý2hml� ËWX�ä%â'� � ß Ì-ä��Ö� ÄÐ�Ä�Á� ÄXÎx É�Æ'Î-Ä�É�ÊiÁ� Ä<Ä%ð�ì&É$Ç ÄÇ�ÁxÔ�n V î'Ñ'Ñ�Ñ'îon X Ô3Á�Ð�É�Ç ÷$Ó'Í^Ø�Ä-ì&Ä-Ç7Ø ÔTÉ$ÇKÁ� Ä<ë7ÄÂ�Ã[í!Æ�É�Ï ÐqÉ$ÊzÁ�Â�ÄÊGÏ Ç�Î%Á�Æ'É$Ç�Ô�Ë á î�Ñ'Ñ'Ñ�î Ë X ÑdÒ1ÄXì Ð�É�í$Ä�Á�Â�Ã�Áî�Ï Ç�Ø Ä-ÐoÃ$Ø ÄÜ/Ï�Ã�Á�Ä<Î-É$Ç�Ø Æ:Á�Æ�É�Ç�ÔTÉ$Ç£Á� ÄXÔ�ÄÜ/Ï Ä-Ç7Î%ÄDâwÝ���äuîÁ�Â�ÄoÃ�Ó'÷$É$Ð�Æ�Á� Å�â?M X äQÁ�ÄÇ�Ø ÔUÁ�ÉXÅ�Æ'Ç Æ'ÅDÆ�ÈÄ� Æ�ÄÐ�Ã$Ð�ÎxÂ�Æ'ÎÃ�Ó'Ó�ÍXÄ+Ã$ÎxÂRÊGÏ Ç�ÎuÁ�Æ�É�Ç£ËW^SÉ$Ç�Á�Â�ÄoÔ Ä-Áqý7^�� Ì îÊGÉ$Ðpep�5$d12�T�-�g�-�Yq%�Ñ�êM ģÆ�Ç/Á�Ð�É�Ø�Ï�Î%Á�Æ'É$Ç�É�ÊMÁ� ģÃ$Ó�÷�É$Ð�Æ:Á� Å^ÔKâ'M;^¢ä ^'rds Ìutwvwvwvwt XAx Ô ÄÄ-Å^Ô�Á�É�ë7Ä£ÃÇ ÄÖCÃ$Ç�Ø�ì�Ð�É�Å�Æ�Ô�Æ�Ç ÷�Á�É/É�ÓPÆ�Ç� Æ'Ä-ÐxÃ�ÐxÎx Æ�Î-Ã$Ó7ÅDÆ'Ç Æ�ÅDÆ'ÈÃ�Á�Æ'É$Ç�ì Ð�É$ë Ó'Ä-Å^ÔÑ

Page 4: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

y�z|{~}����3�G�+y7{G�����N�G�G���T�|����y��7�]�K�G�7����������������{�z~�S�~��� ����������2���T�������2� C�2¡��g¢]�T£#�2��¤��2¥g¥g�U¦A�]§@¨m¡ª©��¬«�­�-�C¡ª®�¯`¦W�°�¬��­u��±�¥g�g�(�@­(���� 2�T¡��]�u��¥W¤��¬�U­(²��(�¬���±��2²�­³­(���Z�2¥- C�2��O­��´¶µ?·p¸]¹�¯�±��2�(�T£��2¡!�T¡��]� 2ºK�¬��­�-´»��­(�T�T§Z¼��Z�2¥g�(�N��­²�£oº�­(���Z«T�2�(����¤=�¤'�2�½­�«]�2¡d­(��2¥GµS¾�¿�¹À�2¡�£�¦��A­(���T¡Z�½���U¦#­���/¦W�T�2Á�«]�2¡�Â2�T�( C�]¡�«]�W�2¤�­(���Ã�½�¬ÄC²��]¡�«]�+µ�Å�¿�¹�­�U¦W�2�£�(�2´��+�T¥-�T´��T¡d­<��¤�Æ7ÇpÈÉ��� 2´��g¡�Ê�Ç2§³©��T«�­(�g�2¡ � ���<£o�TÂ2�2­(�T£N­(��­���p«T�2�(�+�2¤`�Z�(¥-�U¦É«��C¡d­(��2¥Ë§¨m¡N­���;Ì�¡��O­�p£o�g´��]¡��(�-�C¡���¥��(��­½­�-¡� �¯�¦��p���(�UÂC�3­(����­/­���p£o���½­��¡�«��;�2¤�­(���p�O­�]�u�U­(�pÅ�¿*­��­(����(��­�Æ ¸ ÈÍ�2�( C´��-¡`ÎUÏ¬Ê ¸ ­�]¡�£��+­�U¦W�2�£#Ð�§f¼��� 2�gÂ2���½²oÑ�«]�-�T¡C­»«��C¡�£o�-­(�g�2¡����T¡��½²��(�g¡� �­(����­­(�����(�TÄd²��T¡�«��qµ�Å�¿�¹�«��C¡dÂC�]� 2�¬�;­�U¦W�2�£f�(�2´��*�]¥g�]´��]¡d­»��¤³Æ ¸ §ÓÒG�-¡��2¥-¥gºf�g¡ª©o�T«�­�-�C¡@Ô�¯À¦W� 2�T¡��]�u��¥g�g¢]�»­�������(�TÂ��-�C²��;��T�(²�¥-­��±�ºf«��2¡��½��£o�]��g¡� N­(���*�2¥- C�2��O­��´Õµ'·;Ö³¹�¯`¦=���g«u�@�g���(���U¦=¡­(�Z´��g¡��g´��-¢T�+���g�]�u���u«u����«]��¥g¥gº�­(���p�(�¬�½���T«�­(�gÂ2�3¤�²�¡�«�­(�g�2¡��³Ê ¸ ¯g§g§-§g¯wÊWÖ×�UÂ2�T�=­(���+�(�¬�½���T«�­(�gÂ2�;�(��­�Æ�ÇC¯-§g§-§g¯�Æ7Ö<Ø ¸ §�Ò��2�W���¬£��� C�2 C�g«T��¥���T�C�½�C¡��]¯�­(���<Ì��u��­W�����u�� C��2���p�2¤�©��T«�­(�g�2¡�Ô���­u���(­�`¦=�O­��­(���«]�C�½�³ÙÍÈk®�§

Ú|Û�Ü*Ý�ÞGÝdß�à�á�ßUÝ�â¬ã�á'äTâCÛ³åpà�â¬ÝNæ�ç/à�çjà�âTäTá'è#é�à�ÞGê'â¬ë�ê?Þ�ì�ä¬ÝCßUí&ÛÚ|Û'î�Û�ï°á'ì�æ�ßUê�ä¬ë�í · ¸ Û¶Ü*ÝdÞGÝdßUà�á»ßUÝ�âTãGá�ä¬â2Û»ð �]­°ñò±����!óA�g¥g±��T�½­��½���C«��N�T¡�£o�U¦W�T£

¦=�-­(�@�«]�2¥g�2�+����o£o²�«�­��2¡�£f«��C�(��T�(���2¡�£o�g¡� K¡��2�´ô��T�(���T«�­�-ÂC�]¥gº�£��]¡��2­(�T£#±�ºªõ½ö-÷Tö ø��2¡�£ ù�ö�ùú§ð �]­;Ê�ÇZû�ñ¶üÕý@þ�ÿ��������°«�¥g�C�(�T£ «]�2¡�Â2����¤�²�¡�«�­�-�C¡��2¡�£�Ê ¸ û�ñ¶üÕý �ZÌ�¡��-­(�»«]�2¡�Â2���¤�²�¡�«�­(�g�2¡Ó­(���U­������±��C²�¡�£o�¬£f¤���2´ ±��]¥g�U¦³§ª¼��N�2�(�N��¥��(�� C�-ÂC�]¡#¡��2¡�j¡��] d�U­�-ÂC�*�(�TÄd²��T¡�«��¬�µS¾�¿�¹�¯Gµ��¿�¹/��¡�£!µ �2¿�¹�§��/�T¡���­�-¡� °±�º�����­(���������2����������g´»�U­�3�(²�±�£o�����T�(�T¡C­�g�2¥?¯�¦W�+«��C¡��½��£o�T�­(���3¤��2¥g¥-�U¦=�g¡� »��¥g 2�C�(�-­(��´�û

µ'· ¸ ¹ � Å ¿�� ¸���Å ¿�¿ � �����7µËÊ�Ç �!¾�¿�Ê ¸ ¹�µ'Å�¿�� ¸ ¹�ö�����T�(�����p¡��K²�¡���Äd²��]¡��T��;�g¡!­(���*«u���2��«��Z��¤AÅ ¿!� ¸»�2¡�£!¦W��¥-�]­+­���Z��T�C£o�]�+«u���T«uÁ�­(����­+­(����-­(�]�u�U­�3Å�¿�� ¸ �g�=«u���2��C«�­�]��-¢T�T£�±�º»­���3¤��2¥g¥g�U¦=�-¡� ��g¡�«�¥g²��(�-�C¡|û

Å�¿�� ¸ � �2¿��j��� 2´��-¡#" ù�$���Å�¿|ù %®& ¿ � µËÊ�Ç �!¾�¿�Ê ¸ ¹�µ½ö ¹('f÷¦=���T�(�)���j�2�( C´��-¡Ó£o�]¡��2­(�¬��­(�������`�2����������g´»�U­�Ã�(��­A�2¤G��±��½�C¥-²o­�3´��g¡��g´��-¢T�]�u�]§¨m¡K­����¦=���2¥g���������]�¬¯7¦��p¦=�-¥g¥À�2��(²�´��;­(���p¤��C¥-¥g�U¦=�g¡� Z��º����2­(���¬�½�¬�Ã�2¡N­���»�½�¬ÄC²��]¡�«]�T��µS¾�¿�¹�¯µ*�¿�¹�¯~µ+�2¿�¹�ûµ-,/.¬¹ �����;�(�TÄd²��T¡�«��»µ�¾U¿�¹W����¡��C¡�Ë�g¡�«]�(�¬�2�(�-¡� ���¡�£Z¥g�-´�¿10��32#¾�¿�È Ð�§µ-,54�¹ �����]��3�6�o����­7 8ªÐ���¡�£ 98Óл�½²�«u�Z­���U­: ;��¿<; �¯�¤��2�=�]ÂC�]�º/= ��> §µ-,<�C¹ �����³�(�TÄd²��T¡�«���µ �2¿�¹W�g�/�½²�´�´»��±�¥-�C¯@? A-BCAED �32¿�F|Ç �2¿�GH���k§����� �(²�´�´»��±��g¥g�O­�º&«��C¡�£o�-­(�g�2¡ µ+,<�2¹�´��T�2¡��»­���U­°­(������²o­���2��-¢T�T£Ó�]���2�/�2¿Ó�g¡&­(����«��C´I���²o­u�U­�-�C¡&��¤Ã­(��� �(²�±�£o�����T�(�T¡C­�g�2¥/���Z�(´»��¥g¥A�]¡��C²� 2�&�(�f�2��­�!�(�T´»���g¡ª«]¥-�d�½��­�!­(���K�6���2«�­�(²�±�£��J���]��]¡d­(����¥Ë§`�����3¤��C¥-¥g�U¦=�g¡� ����(�C���d�½�-­(�g�2¡��½­�U­�T�W­���;´»���g¡� 2�]¡��]�u��¥�¤��T��­(²���T�A�2±��C²o­=­(�����¥g 2�C�(�-­(��´Íµ'·p¸T¹�§K:LNMPOQMPRCSUT@S+M3VXW@Y Z[Y]\PB�^Añ`_�Bba9c�?-d�_�B6ef^�g*hQa!i�BbB�jlk1m�n&B�konp?-^+qrg�i�a�d�a�eshNetmuk�vQi�^sa�jlki�m�efetB6g�h[m�jlk�?-j�w�jlm�efxyezBfg�hQBzi�^�?-{�B�d}|�k1B6jNm�^~B�k5_�|Zõ�ög÷]öwøIa�jlk*ù�ö�ù�A:\3B�^�Ê Ç ûdñ\ü ýqþ�ÿ����H�Eai�d�m�g�B�k�i�m�jQ{�Bt� ��vjli�^�? m�j�a�jlkÃÊ=¸Ãû2ñEüFý�a&�&jQ?-^~B7i�m�j�{�Bz� ��vjli�^*? m�j<^+q[a�^�a�etB:_�m�vjlk!B�k&��etm�x_�B6d�m�n&A��9B�a�etB�w!?-{�B�jHjlm�j��~jlB�w�a�^�?-{�B5g�B��6vQB�jli�B6gZµS¾ ¿ ¹��;µ� ¿ ¹f�;µ+� ¿ ¹<g�a�^�?Ug+��|�?-j�woetB6g�h[B�i�^*?-{�B�d}|µ-,/.¬¹��Aµ-,54�¹��Aµ+,<�2¹�A�\3B�^�v�gIi�m�j[gf? k!B�e/a5g6B���vQB6jNi�B�µ�Å�¿�¹�w1B�jlB�eta�^~B�k9_6|E^+q[B/a�d w�m�ef?-^+q�x µ?· ¸ ¹a�jNk�g�a�^�?Ug+��|�?-j�w5^+q[Bs?-jQ?-^�? a�d�i�m�jlk�?-^�? m�j*Å�Ç � k1m�x Ê�Ç�A��Nq[B�j[��^+q[B��6m�d-d�m�np?-j�w<qQm�d�k�g��� ? � D �32¿�F|Ç ù Å�¿�� ¸ ��Å�¿�ù % GH����a�jNk�?-j/h[a�ef^*? i�vd�a�e/¥-�g´»¿!0��32@Å�¿!� ¸ �qÅ�¿»ÈkÐlA� ?-? �p¥g�-´»¿!0��32kÊ�ÇCµ'Å�¿�¹��#¾�¿oÊ ¸ µ�Å�¿�¹�Bt�1?Ugf^*gIa�jNk/q[B�jli�B�^+q[B�g�B��6vQB�jli�B�µËÊ�Ç�µ�Å�¿�¹½¹I?Ug�_�m�vjlk1B�k��etm�x#a1_zm�{�BuA� ?-?-? �I��g�gfvx�?-j�w�^+q[a�^�^+q[B�gfvQ_fg�B��6vQB�jli�B+µ�Å�¿1��¹sm��;µ�Å�¿�¹�?Ug�_�m�vjNk!B�k���^+q[B�j�n&B)q[a�{�B¥g�-´/�60��P2kÊ�Çdµ'Å�¿!��¹ÀÈk�g¡o¤�Ê�Ç�A �+��x�m�etB�m�{�B6e=Å�¿!��� �Å¡n&B�aC¢�d}|/?-j*ño��^+q[B�j£�Å � ��� 2´��g¡�Ê�Ç�A

Page 5: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

¤ ¥�¦�§N¥�¨ª©�«¬ ­t®u®(¯�°:±+²-³ ´�µ�²U¶¸·6¹�ºC»!¼ µt½Q»�µ µz½[º�»�¹�¾!¿1¼t²�µt½[ÀÁ±*Â�ÃC³ ²�¶ Ä[ÅQ·�½�»�Å[¾1ºCÆ5Ç�È�¼zº�ÉQ¹�»1·6²�Å[¾�Ê�Ë�± ¼tºu¶�ɪ°Ê¸Ã6³�Ç�È�Ê�Ë�ÌÎÍϱ+¼zºC¶tɪ°ÐʸÃ�ÌÒÑP³fÓ�Ô¸½[ºC¼tºbÍ�Ó¸ÑÏÕXÖ�°Ø×�½[ºC¼tº�Ù+¿!¼zº!Ó Ô¸²Jµz½[¿!ĵ<»!Å�È¡¹�¿1¶z¶�¿�Ù¾!ºCÅ[º�¼�»�¹�²�µ(È!Ó!¿1Å[º:·C»�Å/»1¶t¶tÄ[À�º�µz½Q»�µ ²�ÅÙ@Ê Ë:Ú ²�ÅÙNÊ Ã¸ÚÜÛ °�ÝÞº�ƺ6ß�Å[º7µz½[º:Æ[²�¶z·6¼zº6µzº7º�ÅQº�¼z¾!ÈsÇ�È

à�á Ú Ê Ë ±+âláQ³ªÌäã�áQÊ Ã ±+âláQ³få檺�µ�ÄQ¶¸·6¿1À�É[ĵtº)µz½[º�ç�ÄQ»�Å�µz²Jµ(È<à:èfé Ã�ê à7è�Ólë/Õ9ì °

à7è6é à ê à7è Ú ±�Ê Ë Ìoã!èfé Ã Ê Ã ³6±+âNèfé à ³ ê ±�Ê Ë Ìäã!è�Ê Ã ³�±+âlè1³Ú ±�Ê Ë Ìoã!è!Ê Ã ³6± âlèfé à ³ ê ±�Ê Ë Ìoã!è�Ê Ã ³�±+âNè!³ ê ±-ã!è ê ã!èfé à ³QÊ Ã ±+âNèfé à ³fåí ²�ÅQ·6º:ã!èfé Ã�î ã!è�»�Å�Æ ê ±+âNèfé à ê âlè1³tï!ð�è�ÕEñ�òfó±�Ê Ë Ìbã!è!Ê Ã ³6±+âNèfé à ³fÓ�µz½[º�É[¼tºCô�²�¿1ÄQ¶&ºuç�ÄQ»�¹�²Jµ(Ⱦ!²�ô!ºu¶

à èfé à ê à è îÐõ(ê ±+â èfé à ê â è ³tï!ð è�ö â èfé à ê â è�÷ Ì£ø èÚ]êsù â èfé à ê â è ù ú ï�ð è Ì£ø è å ±*û[°�ü�³ý È<¶tÄ[À�À�»�µt²�¿!Å�Ù+¼z¿!Àyë Ú�Û µz¿�þ ê ü�¿�ÙPµt½[º�É[¼zº�ô�²�¿!ÄQ¶�²�Å[ºuç1Ä�»�¹�²Jµz²�ºu¶�Ó¿1Å[º)¿!ǵ�»�²�ÅQ¶

à�á ê à Ë�îÎê á�ÿ Ã�è�� Ë ù âlè6é Ã�ê âlè ù ú ï!ð�è�Ìá�ÿ Ã�è�� Ë ø1è�å

í ²�ÅQ·6º�� é��è�� Ë ø è�� Ì� »!ÅQÆEà á� Û ÓÔ º�ƺCÆ[ÄQ·6ºé���è�� Ë ù â èfé à ê â è ù ú ï!ð è î à�Ë Ì

é���è�� Ë ø è�� Ì��å

í ²�ÅQ·6º:±*ðlè�³N²U¶@Ç�¿1Ä[ÅQƺuÆ�Ù+¼t¿1À Çlº�¹�¿�ÔÞÇ�È�»�É�¿�¶�²�µt²�ô!º�·�¿!ÅQ¶�µz»!Å1µuÓ�Ô ºp²�Å[Ù+º�¼ªµz½Q»�µ � é��è�� Ë ù âNèfé øê âNè ù ú �Ì�ÜÓÔ¸½[²�·�½EÉ[¼z¿�ô!ºu¶)±+²-³f°±+²�²-³ �[¼z¿!À ±�û°�üu³6ÓÔ�º�ƺuÆÄQ·6º)µz½Q»�µuÓÙ+¿!¼¸ºCô!ºC¼tÈ<ë Û Ó

± à:èfé Ã�ê à7è�³�é î ø1è öÔ¸½[ºC¼tº�� ��� é ƺ�Å[¿!µtºu¶¸µt½Qº�É�¿�¶�²�µt²�ô!ºsÉQ»�¼tµ7¿�Ù������ ��� é � Ú À�»������ ö Û�� °�´~Å�ô�²�º�Ôп!Ù�µz½[º�Ù+¿1¹�¹�¿�Ô¸²�Å[¾¹�º�À�À�»[Ó[Ô º�·6¿!Å�·6¹�ÄQƺ�µt½Q»�µ�¹�²�À á���é�� à á º���²U¶�µz¶C°

�! #"$"&%('*)+'*)&,.-0/p±21 á ³�34-576�-98�:#-�;=<4-)®(¯&;N®�;?>@;=-�AB5C/ED2F�-�­G-45�HI6&6�5�/JDK6-¯4L�D2;MA7� é.�è0� Ë ±N1 èfé à ê11è�³(é � Ì�PORQ�ST-�;<¹�²�À/áB��é��U1!áV-GWBDK6�/X6�O×�½[º:É[¼t¿�¿!Ùª¿�Ù3檺CÀ�À�»Iû° û)²U¶&²�À�ÀIºuƲU»�µtº)»�Å�Æ�¹�º�Ù-µ�µz¿�µz½[º7¼zºC»1ƺ�¼u°�×�½Qº7¼zºC¶�µ�¿�Ù&± ²�²-³&²�¶�²�À�À�º0YƲU»�µzº!°±+²�²�²U³ Z:¶t¶tÄ[À�º�µt½Q»�µs±+â�á1ó�³�²�¶�Çl¿!Ä[Å�ƺCÆ@°[�[¼z¿!Àصt½Qº�¶�Ä[ÇNƲ]\lºC¼tºCÅ�µt²U»�¹@²�ÅQ·6¹�ÄQ¶t²�¿1Å ±* à ³6ÓÔ�º)½Q»�ô1ºÙ+¿!¼¸ºCô!ºC¼tÈ_^�Õa`äÓ±�Ê�Ë�Ìoã á!ó ʸÃ6³6±X^!³ ±�Ê�Ë�Ìäã á1ó ʸÃ6³�±+â á1ó6é Ã�³3Ì õ ^ ê â á!ó6é à ö ê ± â á!ó�é à ê â á!ó ³zï�ð á!ó�÷ ê ø á!ó

Ê�Ë1±+â á ó é Ã6³3Ì ±+²�ÅÙNʸÃ�³�ã á ó êHù ^ ê â á ó é à ù�ù â á ó é à ê â á ó ù ï�ð á ó ê ø á ó�å檺�µ�롾!¿�µt¿£Ì��»�ÅQÆ£µz»Cb1º/µz½[ºEÄ[É[Élº�¼�¹�²�À�²Jµ�²�Å¡µz½[º�É[¼tºCô�²�¿1ÄQ¶I²�Å[ºuç�ÄQ»�¹�²Jµ(È1°£×P»�b�²�Å[¾Þ²�Å�µz¿»!·C·6¿1Ä[Å�µpµt½[º�Ù »1·fµ�µz½Q»�µ&¹�²�À è���é�� ã á ó Ú ¹�²�À è0�7� ø á ó ÚÜÛ Ó�µz½Q»�µ�¹�²�À è���é�� ù â á ó é à ê â á ó ù!ÚÛ »�ÅQÆ5µz½Q»�µ�±+âlá!ó!³ ²U¶�Çl¿!Ä[ÅQÆ[ºCÆ@Ó[Ô º)¿!ǵ�»�²�Å�Ù+¿!¼¸º�ô1º�¼zÈ_^�Õc`

Ê Ë ±N^!³ ¹�²�ÀH¶tÄ[Éè0��é�� Ê Ë ± â�á!ó�é à ³ ö

Page 6: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

d=egf�h.iNj�kml7d*fmiNn.ockmnmprqsogt=t?d=t*q�oupmt*qwv�t=n.oak.lTxyfze�i2o�{.j |}X~2��~9�]���*�[���P�]�+���G�T�?��������[�B�X�?��� �.�0�0��� �+�#�0�7�G�T���]�#�s� �#¡C�+�]�£¢¤�+�]���+��� �0�¥��� �[� �X�?��� �.�0� ��+�����[�¥¡C�+¦ ¡w¢M�[�T§B�+¨T�s©T¦ª��0§��?�0�+�#¨��«�G�#¡C�&�]�+� �0���� �[�M�N�=��� ��¬ �]�T���[� �­ �9�G�T�R�®�T§�¦¯�G�?¡���� � �±° ²�³¦ª�s¡�´M�]¢µ�]�P¶ �·� �]�?�0�u�9�T�r��§��M¸���¹U�N�T�?���G�+§��º� � �K���+§�¦[�s»�G���R�+��§�� �G�+�M�T§��?�!�N§B»¼�G�#�¦[��¡C´R�G§B�?§B�]§B½�¢B©�¦[���#¡w¸B�

� � ��²� � ¾ �+�+�µ�+��������� � � �N� � � ��¬ �]���=� � ¿¡C�?¨À�9�T��»9�0�N§B»G�Á²�uÂa¡C»9½��R�+�[�[� �

ÃgÄKÃgÄ�Å.ÆTÇ�È�É�Ê=Ë�È�Ì�Ê?ÍÎīżÏXÌ�Ç�È¥ÉBÊ?Ë�Ð=ÑBÌ�Ò=ÑMË.ÉBѤÌ�ÑMÇ�Ó.ÍXÈsÇBÄ$Ô±�T�s�_ÕC� ¬�Ö �N§�»[��¸B��»9¢7×Ø� Ö ©�G�#�Ø�EÙ � � ¡C�+½�§B»G�]�G�T�Ú»9�s¨��?�0�s�¥�G§r�G�T�Á�£�4¡C�#¨#¡C»4¨V�T»9§w¹M�+�_¡C�[�?§B�]� ���R���G�T§�¨U¡��T�T�+�]��¨Û�G§(� � �Ü �T�c�G�s� �T���?�0�Û�N� � � ½B���T�s»9¡C�G��¨VÝM¢��XÙ � � �+���G�#���Þ´M�T§�¦¼�V�G§Û¦ª�s¡�´ �+¢V�0§B� ¸B��»9½����G§�¦ ¡C»4¨V¡�R�]�#�]���T�ߧC�m� ��à �9�T��¡�»G½B�T�R��� �9�y§��*�G�T���T»9§ §��*»G�s�]¢�§��R�9�T��á��T�K¡C�?�]�s�R�R¡¤�X�G���«á��#�+¡��mâ]ã�ä�å ���Ü �T�K�!»9�s�G�T�]�[��¡��_Ý?��½��s�T��»4¡C�+�]æs�s¨�¦¼�T�s�_�G�T�«�Î��� �T���#���7�2Õ � � �G���?¨T���9§7æs��»9§��X¡��Î�[���#§��T½B� � Ü �#�´��s¢���§��#¨��]�G�+§��R�K�[ç ����Cè*� Õ �¤é±êë ¡��#¨R¡C�M¢��G�s� �T�s�#�0�¥�NÕ � � �G¡C�G�K�£�N¢M�+�T½�Î�?�4�R¡��»G�]�G�s»G�+§��R¦¼�+�]�Ý=�»G���N��»9»G��¨_�G§À¡B�¼¡��X¡��Î�$�0§�� �9»G§B�z�X§�»&�G�s� �T�s�#�0� ����ì ���¼�#�¼�T§�¦í�£�4¡��G� à

î�ï�ð.ñ#ð.òsóKô*óNð�õ÷ögø]ù*ø¯úmû=ü �0ýÀþNÿT�Àÿ������Cþ2ÿ#��������� �ªý���������}2þE}�� û�� ~��������������R������ýG�����w��ýþNÿ���þ¡�»G½B���+�[� �! ¬#" � û=ü ç ����Cèg� Õ �·é êë ~%$���þR�N� � �'& �(�)�0��*+�#� û-, � ü ��. û � ü & �UþNÿT���/ 01�Cý�}2þ2ÿ�� �EÙ �s� ~�2�ÿT� û �X�?� � �+�CþE}3�4.[���þ2ÿ#�5���/�/6��7y} û 08�=ý9���T��ý�þJ}X���+:; } < ç ����Cèg� �J�[� �N�=� �>= ���+���[� � é±êë ~; }2} <?2�ÿT��ýG����@B}3��þ��¼� � Âc¡C»9½��R�+�[�[�A��� , ÿcþ2ÿ���þB7DCy�]�+�_� ���� �=� ¬ � � ~�ªý9�E�F � �N� �HG �]¸B���c¡C�M¢JIRÂa¡C»9½��R�+�[�[��©T�+�0�&�#�$¨���K#�#���G�T�¥�G�s� �T�s�#�0�_��L�� � ÝM¢

L � ¬ ãM5N � � = I N O�PQ �s�0§B�R�?§ �Î�+�T½R� � = I_¡�� � � = I ¬ � � = � ���.� ê � ���.� = I?©�¦[��§BÝ��9¡��]�¤�N§�»¼�s¸���»9¢�R¤ÂS

L ��¬ ãM N � �T= � ���m� N O ê L ���.� êVU � �T= � ���.� ¿ � �0�.�W= IYX ¿¡C�?¨��T�s�#�0�

L ���.� ¬ L � = �O N� ���.� = � � N O êZU � ���.� = � � ¿ � ���.� = I[X¾ L � =(\ � U = �X� ���.� = � � ��]�\ � ¿ � ���.� = IYX P

� �+�#�0� = �X� ���m� = � � ��]�\ � Â^[_����J� �ªê Õ � � � � �N� ���.� � ©��9�T��T»9��¸M�+§��#�ª�s� �#¡��]�]�£¢À½B�]¸B�s�L ���.� ¾ L � =(\ �a` � � �X� ���m� � ê Õ � � � �X� ���m� �>= � � �bI �D= Õ � � � �bI �D='c ��d P

­ �$¡���§��#�G�s� �T�s�#�0�B©�¦[���#¡w¸B�L ���.�e= L � ê \ �J�[�M�N� ���.�s�>= �R�+���[� � ¾ \ Õ � �J� � ��I �f= �]���*� �0� ê \HcB� P � M � M �

­ �G�T�R�R¡C�G�+§��¤�N»G§B�gR ¬±Ö �9§_× = ã�§C�m�G�T���Î���+�T�s� �#¡��]�]�G�+�s�¼¢M�+���K¨T�L � = L �ªê \ �[h

�i� è*�

��� � �X� ���.� �>= �R�]��� � �ª¾ \ �J� � ��I �f= �+����� � � �[h�i

� è*�Õ � ê \ �[h �i

� è*�c � P

� �+�#�0� ç ���� è*� Õ � é±êë © ç ���� è*� cB� é±êë ¡��#¨�L��À� Ö ©�¦ª�¥¨��s¨��?�0����i� è*�

���[� �X� ���m�s�f= �R�]���[� � é�êë P

Page 7: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

j kBl�m-k>npofqr4sts�u5vWw�xTy�z�st{Jst{�|~}�x���s6x�{1�B�9����}����~xH��w�x��ex�z~���+�~{[�~x�}9|1x+{��+x�������w�xTs���x+}�z��9xE�5���������ez~}��?���st��9w�x�����stz~���6x�y y z��6�+������5��� ��¡£¢�¤¦¥§¤�¨§©�ªf«­¬�©�®8¯a°�±6¬�©�²�ª5³�´�®1µ�© ®�¶�· r�� � u ® ³+©�¸�¹�©+¶�µ�©a³�¹�µ�º�ª4º�®�ªBª4º�©+²9©8©�»1°3³�ª�³®�¶-¼�¶-©�½ ´�ª�¾ ³+©�ª>¿)À£«ÂÁ�©�²�° Ã�¾�°�¶[ÄÅ ®�Æ�ǧ¼�²8©+Á�©+²�¾8È É�¿eÊ �6sty �~ËÍÌÏÎ!Ð � ��Ñ È Ð ©9»1°3³�ªb³�ÒÅ ¬ÓÆ8Ô�à � �~ÕÍÖ ��Ø× ©�®EÙ�±�¾A°�¶�«ÚÃ�¼�²�® ³�¹�¬�³�©�¸+¹�©�¶-µ�©HÛÏÜÍÝßÞÍàáª4º�©+¶ �� Éâ¿�Òã-º�©+¶�Ê5ª4º�©+²9©�©9»1°3³�ªb³ � Î É�¿ä³�¹�µ�ºª4º�®�ª � �AÖ � Î × ©�®�Ù�±¦¾A°�¶J«å®�³HÛ�ÝßÞÍàæÒç x+�eèé�Hz������tê��9w�x8����s3z��-�tx+y y�z8�Hs6�9w ¿(ë z~}9|1y�st{BìBí~�îvfz��[st{�|a��w�xï�é�Y��s6�9st�~x���z�}9�W���Br�ð��ñð~u�ò�exT�1ó���z~s6{

r4ô Ü Ì§õ Ñ ô Ü uFÌ÷ö øWù Ü r�ìHõ~r È u Ñ st{��-ìHõ+u Þ ø�ú Ü[ûü {Í�[s6x��'�~� ç x+y y�z�ð��ñð�ò��BxB���~{é���tè���x>�9wéz��Ï�ts6y��~ËaÌÏÎ)ô~��x+ý�st�����pz~{��Tw�x+{é��xî�ts6y��~ËaÌÏÎ Ð ��� Ñ È Ðx�ý�s3�F���+�ç x+�Íè��T{����þz1�9�9è�y x8��w�z��Í��� ÕAÖ ��(�ex�z~�Y�tê�st{ « �4�~}Íz���è�óé��xEÿ1è�x+{��+x Û Ü Ý ÞÍà � � }��~y� }��~���1�9s6�9st�~{âð��t�Ar4sts6s�u�ò-�ex8��xE��è���x8�9w�z��J�� É'¿Øë z�}�|~y s6{BìBí1��� �TzA���1{����tè��9s6�1{pò���w�x ����stz~��tx+y y�z�z������tstx��Hz�{é�J��}����[st��x��B�9w�xÍx+ý�st���9x�{���xÍ�~�§� Î É z�}�|~y st{BìBía��è���w��9wéz���� �AÖ � Î �ü �as3�ïs6{Y�9x�}9xE�F��s6{�|J����{����9s3��x���w�xAz�{�z~�6�1|~êó�x��F�ex+x+{?��w�x���st����}�x���x��+z~�9x z�{�� �9w�xA�+�~{Y�9st{[è��~èé��~{�x~� ü {��9w�x8���1{1��s6{[è��1è��H�+z1��x1ò�s6��w�z~�Hó�x+x�{��}9���1x���s6{ � j �p��w�z��H��w�xÍ��}�z��Fx������~}�s6xE�e���Hr ¿�� u�ex�z��[�tê'�+�~{[�~x�}9|1x������ez~}��(z�y st{�sty8è�y ����ìBí�è�{���x�}a�9w�xJ���1{���s6�9st�~{�� ÌÏÎí ù�r� �u��� �� ÞÍà �vWw�s3�A}�x��9è��6�Ast�Jx�ý�z~���9�tê)��w�x ���1{Y�9st{Yè��~è����1x+}���st�~{÷��� � }9�1�é�Y��s6�9st�~{�ð�� �����B�~{[�~x�}��9x+�tê~òes6�Jst��9w����H{(s6{V� j �B�9w�z��8�9w�xJz~����è�y����9st�~{�� ÌÏÎí ù�r� �u��� ë ÞÍà z��t�6�����Í�9�â}�x����+z~�6x����1{[�~x+{�s6x�{1���6ê�9w�x�r ¿�� uî�9ê��F��x+yò~��w�x+{�|~st�[s6{�|Í}�s3��xH���a��w�x y st{�s6y s���z��9st�~{A�~�Ïì õ ���~x�}D�9w�xT��x+�ez~}9|1y�st{BìBí~�vWw�x�9z~y x���w�x+{��1y�x�{��~{Ø���+��è�}���s6{)�9w�x���s3����}�x��9x�+z1��x����9w�st��s3�8��w�x���è�ó��Fx������~���9w�x{�x+ý[��9x�����s6�1{p�

���! �"$#&%('�#*),+.-/#*"103254$)64$25487�9�+:4$#;)<#*= ìHõ #&>;?@- z�}�|~y st{eì í ����$A;��BC#;),>*?@-/D*?&)6'�?�#;=E+.F6?HG64$I.+.9�)6'�?H+:#J+.F6?�I.?@+ z�}�|~y st{LK�ì õ ��M w�x�{þr�ù � uJst�z(��z1�F����~{Y��}9�1�bò � }��~���1�9s6�9st�~{Vð�� � �9w���������w�x �ex�z~�÷�+�~{[�~x�}9|1x+{��+x��~�Í�9w�x?z��t|~�1}9s6�9w�yòWó�è���9w�xA�6sty s�� ���[x��8{�������x+��x+{��(x+ý[���6s3��s6�9�tê(�~{)ì õ ��vWw�xJ�é�~�9x+{Y��stz~�Wì õ ���3z�ê��Í{�� �+}9èé��s3z��î}��~�txó�x��+z~è��9xÍ�9w�x���xEÿ1è�x+{��+xJr�ù � uW��z�{�st�9w�x����9�[����z1�F���6ê1ò��Hw�x�{���xÍ��w�x8s3��xEz����Dst{1��}9����èé��st{�|AzA�9�6������1{Y�9}��~����z��9s3���4êYst{�|ON ÌÏÎ��P í ù � ëVÞÍà �fvWw�xH{�x�ý[�î�9w�x+�~}�x+yþ�F��z��9xE�>�9wéz���ò1è�{���x�}D�9w�x����~{é��s���s6�1{

N ÌÏÎ��P í ù � ëVÞÍà ��w�xaz��t|~�1}9s6�9w�y r8Q õ uB�9x+{é���W�9� y st{�s6y s��+x�ì õ ���1x+}e�9w�xa�9x�� z~}9|1y s6{5ìBíY�RTSp�VUXW����ZYp¤$[�¤HÔ�¶J®~·~·�°�ªb°�¼�¶JªÓ¼Tª�º�©5º[¾�´�¼�ª4º�©�³+©�³ ¼�Ã�\W²9¼�´�¼�³�°�ª�°�¼�¶][Ò_^�Êf®�³�³�¹�½�©W½�¼�²9©�¼�Á�©+²ª4º�®�ªH« °3³a`5¶�°�ªÓ©�·�°�½ ©+¶�³�°�¼�¶�®�±¦Êaª�º�®�ª�¿ � ë z�}�|~y st{BìBí<bëdcØ®�¶�·�¿ õ � ë z~}9|1y�st{eK-ì õ bëdc�Òã-º�©Í³�©�¸+¹�©�¶-µ�© r�ù � u °3³ï®�³�³�¹�½�©�·�ª ¼�³+®�ª�°3³4Ã�¾ N ÌÏÎ��P í ù � ëäÞÍàVÒBÔ4ÃTª�º�©�³+©�¸+¹�©+¶�µ�© r4� � u ·~©8`î¶-©�·¬+¾�ª�º�©�®�± Ä1¼�²�°�ª�º�½ r$Q�õ�u °3³8¬�¼�¹�¶-·~©�·�Ê5ª4º�©+¶r�fFu��6sty��~ËÍÌÏÎg��r4���ih ¿ õ+u ëkj hr�flfFuW�ts6yA�1ËÍÌÏÎr�ì í r4����umh�ìHõ�r��é��u9u ë r�y�st{Tì í h�y s6{ K ìHõ�u Ê× º�©+²9© �ér û h ¿ õ�u ³�ª ®�¶�·�³DÃ�¼�²Íª�º�©�·�°3³�ª ®�¶�µ�©eÃ�¹�¶�µ+ªb°�¼�¶âª ¼Aª�º�©Í³+©+ªf¿ õ Ò\e²9¼E¼Fà ��r4s�uWvWw�xÍ��}��Y�~�§}�x+�ts6xE�W�~{��9w�xa���9èé��êJ�~�§��w�xa��xEÿYè�x+{��+x�r8né��uW��xpo�{�x���ó[ê

n � ë �ð ��r4� � h ¿ õ urq ûs x+{��~�9st{�|�ó[êt K�u ��w�xÍ��}����FxE���9st�~{��~��x+}�z����~}W�~{Y���8��w�xa���1{Y�1x�ý��9x�� ¿ õ�ò��exTwéz��~xn Ü ë õ

q Ð � Ü Ñ tvK u r�� Ü u Ð që õq Ð � Ü Ñ tvK u r�� Ü u Ñ r�� Ü ÌfõWÑ t6K u r4� Ü Ì§õ u�u Ð q Þ õ

q Ð � Ü Ì§õWÑ t6K u r4� Ü Ì§õ u Ð qÞxw � Ü Ñ tvK u r4� Ü u Ñ r�� Ü ÌfõWÑ t6K u r4� Ü Ì§õ u�umh9� Ü ÌfõHÑ t6K u r4� Ü Ì§õ u1yz n Ü Ì§õ ÞZw � Ü Ñ � Ü Ì§õ h�� Ü Ì§õWÑ tvK u r�� Ü Ì§õ u1y ÞZw t6K u r4� Ü Ì§õ u Ñ t6K u r4� Ü umh9� Ü Ì§õHÑ tvK u r4� Ü Ì§õ u{y û

Page 8: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

|;}�~��X�����6�O|i~6���X�E�6�6���.���;�*|;�i�����6�i���,�;�X���X����~v}��_���X� ��&���V�p�T�v�����$�;���¡ �¢�£/¤�¥L���p¦¨§�©ª©{���.§�¦�¦¬«®­V§�¯��C°$�v�������;�p±X£:��²��6���/���;���m³{�;�m±X£L²��6�������,�m±X£.�1´¶µ¸·§��*¹!ºV�*§�¦�¦¬«

» �m±X£ ² » �C¼ °�� �m±X£ ²�� � ³1� �m±X£ ²½� � �/�$� �m±X£ �{´m¾ �$¿VÀ¬Á��Â�êÄ�ÅÇÆ ­���È$§�� ÆÉÆ ­*§ Æ ²3��� �m±X£ ²Ê� � �{Ë�Ì �  �Í@Îm϶�lÐLÑ¡Ò½Ó � Ð £ ����� �m±X£ �m¤�¥¡�T����È�� ðr²3�$�;�m±6£�²É�,�/�{Ë�Ì*�&³{�;�m±6£�²��v�����$�;�m±6£.�{´¡µÔÐ Ñ ���,�m±X£:�m² Å ���ÕÐ Ñ ÒaÓ��¡�ÖÐÉ£/�$�;�m±6£.�p² Å �¬�� ÐÉ£��m²É×��&¾

�$¿VÀ Ø��Ù «� Ä�ÅOÚ ��������ÛE�$¿VÀ¬Á��¶§��V¹Ê�$¿VÀ Ø��m¤�¥¡�3§ à �Õ¦��.¹ Æ{Ä

» �m±6£¡² » �ÉÒ�Ì �ÖÐ Ñ ���,�m±X£:�v² Å ���ÕÐ Ñ �XÒÇÌ;�XÓ��&�lÐÉ£��$�;�m±6£��v² Å �¬�� ÐÉ£.� ¼ ÌÉ×��§��*¹ Æ ­�� à �pÈ Ä�à �

» �m±6£¡² » ��ÒÜÌ;�6Ó��&�ÖÐÉ£����,�m±X£.�v² Å ���� ÐÉ£p� ¼ Ì�×@�&¾ �$¿VÀ ¿@�Ý �T� Ä ¥Þ¹��¨© Æ ����Û�ß��¨©{­ Æ ­���È Ä ¦�¦ Ä ¥É�¬��Û®��§�©1�:©�à�$§@� á�âiÑT ä㡳 å;â�µæâiÑ�³ Ð £ ���;çV�¡è Å ��� � Ð £ À� Ú � å,â Ñ  ä㡳 á&âʵ�â Ñ ³ ÐÉ£���� ç � ¼ Å ���;�éÐÉ£�Àê�ë�ì�í3�8§��pÀ Ý �3§�©{©{ß Å � Æ ­V§ ÆÉÆ ­�� à �T��î&�¨© Æ ©¶â Ñ  EãÞ©{ßV�ï­ Æ ­V§ Æ ¤�È Ä�à ��¯�� à «!â�µ¸â Ñ ¤,ÐÉ£/��� ç �¡èÅ �¬�;�ÕÐÉ£�À ÂVÃ{Ä�Å �$¿VÀ ¿@�m¤&¥L�T¹��:¹�ßV��� Æ ­V§ Æ ¤&È Ä�à ��¯�� à «�ðñµ¸â Ñ ¤ » �m±X£e² » � ¼ Ì�×@�&À�ò¶­�� à �pÈ Ä�à ��¤¥¡�é­*§�¯���� » �m±X£¡² » ���r± ¼ Ì�×��&¤�¥É­V���ï­����ñ¯&����¥ Ä È6ó�� ŮŠ§!Ø�ÀôØ3� Å®õ ¦��¬�:© Æ ­V§ Æ

¦¬� Åç�ö ±�÷ » ç ��î���© Æ ©.À �$¿VÀ ø&�ò¶­����.�V¹ Ä È Æ ­V� õ�êÄ@Ä Èé� Ä �V©{��© Æ ©!�¬�k©{­ Ä ¥É����Û Æ ­V§ Æ!Æ ­��¨©!¦�� Å � Æ �:ù�ß*§�¦¨©�ú�� Ã{Ä ÀZó�� Æ ßV©!§�¹�¹�����.ù@ßV§�¦¬� Æ ���.©T�8¿�À ¿��LÈ ÃªÄ�Å ð�ûgâiÑ ÆªÄ âñ²¸Á�ü�¥¡�éºV�V¹

»Vç ² »Vç�ý ÒÇÌç&þ £ÿ��� ç ý

Ó��¡�ÖÐÉ£����,�m±X£.�v² Å ���� ÐÉ£p� ¼ Ìç&þ £ÿ��� ç ý

×���¾

�&���V�p� » çñµ¸·®§��*¹�� ±�÷��� ç ý × ��� Ò��k¤�¥L�T¹��:¹�ßV��� Æ ­V§ Ʊ�÷ÿ��� ç ý

Ó��¡�lÐÉ£��$�;�m±X£.�v² Å �¬�� ÐÉ£.� � Ò��k¾ �$¿VÀ ���

Â�êÄ�Å �$¿VÀ ���m¤�� Æ �¨©ñ� ŮŠ�.¹��¨§ Æ � Æ ­V§ Æ ¦¬� Å ����È ç�ö ±�÷ÔÐÉ£���� ç � û Å ���*�ÕÐÉ£5�����V¹��.�.¹i¤ Æ ­��ʧ�©©{ß Å®õ�Æ � Ä �ñ¦¬� Å ����È ç�ö ±�÷kÐÉ£���� ç �¡è Å ���*�ÕÐÉ£a¥ Ä ß�¦¨¹�¦��.§�¹ Æ{Ä §O� Ä � Æ{à §�¹��¨� Æ � Ä �!¥É� Æ ­ Æ ­��ÕÈ$§�� ÆÆ ­*§ Æ�� ±�÷��� Ñ Ó��®ûJÒ��æ�mÀ�� Ä �V©{�¨¹�� à §©{ß Ú ©{�.ù@ß��.�V�p� Ä ÈÕ�$� ç �p¤�© Æ �¬¦�¦�¹���� Ä�Æ �:¹5��� ç �a©{ßV�ï­ Æ ­V§ Ʀ�� Å ç�ö ±X÷kÐÉ£/��� ç �Õû Å ���*�ÕÐÉ£/Àx�&���V�p� Æ ­��x©{�.ù@ß��.�V�p����� ç �Õ��© Ú;Ä ßV�V¹��.¹�¤i¥L����§�� ��î ƪà §�� Æ §� Ä �&¯�� à Û�����Û�©{ß Ú ©{�.ù@ß��.�V�p�����;ç�Ï�� Ä ÈX�$�*çV�pà Æ ­�� à �¡�pî��¨© Æ ©� �  ��d©1ßV�ï­ Æ ­V§ Æ ¦�� Å � ö ±�÷ �*ç�Ï�û� �XÀ� �ʯ@����¥ Ä È�� êÄ�õ;Ä ©{� Æ � Ä ��Ø�À�ÁE�����¬�_�m¤X¥L�®­V§�¯��� �¸ �§ Ã Û Å ���LÐLÑ!ûÜ¢¶À®ò¶­��!� Ä � Æ �¬�&ß�� Æ « Ä È Æ ­V�ºV��� Æ �3� Ä �&¯���î�È�ß��V� Æ � Ä � Ð £ � Å®õ ¦����.© Æ ­V§ Æ

Ð £ �� �i��û ¦¬� Å� ö ±�÷ Ð £ ���*ç�Ï��eû ¦�� Åç�ö ±�÷ Ð £ ���*ç*��û Å ���� Ð £ ³§��*¹­��.�V�p�� �  ä§ Ã Û Å ���e�,ÐÉ£ÉûZ¢�£/À��Õ� Æ ­�� Ä�Æ ­�� à ­*§��V¹i¤V¥L��­V§�¯��

¦¬� Å� ö ±�÷ » ç�Ïéû ¦�� Å� ö ±X÷ÁØ�� ���*ç�Ï�³ª¢ £ ���aû

ÁØ�� �� �6³ª¢ £ ���Õûk·�³

Page 9: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

� ��� �!�#"%$'&

(*),+.-/)1032547698�:;)<4 :>=?+.8�4A@B+C03+D:>EGFH+C6I:JFHKMLON9P,QSR3TU+C69-V2�:W),2X825YIZ,2V69-V2�LON9P,QM+.8J-SF[6I\[2V]W^H2_6[:5`(a2J-VFH69-V@BZ<bc2J:;)947:*@B+C0dPHe�fhgiN<P3jk=,RlnmpoVq Lsr<QSR�tu2�4H8W8;Z,032J:;)947:*KsFH]v2_\H2V]Ww?x�y�z|{�`}:;)92V]W2�2S~c+C8:W8vx���x�y�8Z9-/)�:W)94 :M�*�HLs� P Q��03+B6G���*�7R#�h2S:vZ98�-SFH6<8+.bc2V]a:W),2>825YIZ,2V69-V2XLs� P Q�b,2S�96,25b�rIw!�

� P j�0347~<� �Az�{a���A��x 476<b �*� L��G�[Qa��03+C6� �*�5�[�� ]WFH0�:W),2X47rGF \H2�4H8W8Z,03Ec:W+BF[6%`�+B:J+.8M+B03032_b,+C47:;2�:;)947:dLs�VP,Q�+.8�bc2S�9692_b�KsF[]Jx�@.47]W^H2�2_6,FHZ9^H)476<b�:;)947:�@C+B0dP[e�fhg��VP�j�����RMTUZ,E9E<FI82�6,F (�:;)947:��VP1�kx��i [R � ]WFH0¡:W),2�b,2S�96,+B:;+CFH6�F7K�VP�4769bAKsF[];0�Z,@C4�L�¢9R ¢IQ�`,(a2J)94p\H2

£ �?z1�5�VP!�x��� 7�[�¤N � f � ��N � � ¥v¦ � �§ w?4Hb9bc+B69^�:W),2_8;2dLsx��u�VP,Qa+C6,2_YIZ94H@B+B:;+C2_8_`c(�2�F[rc:W4H+B6

N P �¨N<©�ªA� ¥PU« �¬�S­%©�ª

¦[�

476<bd:W),2V]W2SKsF[];2

N P �®N<©�ªJ� ¥f}g¬��­h©�ª

¦[�U� L�¢9R ¯IQ

° FH:;+.-S2M:;)<4 :_`c+BK}�_PXj®x±`U:;),2_6�(�2M)94p\H2JN © ª3jkN9PA8F�:;)947:*];2_@C47:;+CFH61L²¢,R ¯[Q�+.8a4H@B(�4pwc8n:W];Z92HR±³´K(a2J4H];2�4Hr,@B2M:WFXE,];F \[2�:W)94 :v@C+C03P[e�fhg®N © ª�jk=,`U:W),2V6�+C6,2_YIZ94H@B+B:�w1L²¢,R ¯[Qa-SF[0�r,+C6,2_bA(*+B:;)�:;)92K�4H-S:*:;)947:v@B+C0XPHe�fhg®µ fhg��­%©�ª ¦ � jk=,`c(*+C@B@h+B03032_bc+.4 :W2V@Cw?+C03E,@Bwd:;)947:v@B+C0dPHe�fhgiN<P3jk=,R�%2V:�Z<8?6,F (¶8),F (¡:W)94 :�@B+C0dPHe�f}g�N © ª·j¸=,Rº¹�FH6<8+.bc2V]�4�-SFH6U\[2V]W^H2V6I:?8;Z,r98;2_YIZ,2_69-S21F7K:;)92ArGFHZ,6<bc2_b�825YIZ,2V69-V21L�� © ª,QS`�8:;+C@B@*bc2_6,F7:W2_b»rUw�L�� © ª,QS�d:;)92V]W2A2V~U+.8:W81¼�½z¿¾À8;Z9-/)�:;)947:@C+B0 PHe�f}g �<©�ªdjÁ¼�hR�Â�),2�8;2S:�ÃÄ�*�J�®03+C6<���*�/Å}+.8v-S@CF[8;2_b�4[8v4d8;Z,r,@C2V\H2_@h8;2S:vF7K#:W),2�-SF[6I:;+C6IZ,ÆFHZ<8vKsZ,6<-�:;+CFH6¨�*�pR � ]WFH0Ç:;),23bc2S�<6,+D:W+BF[6|F7Kn� P `!(�2>)<4p\H2>�G©�ª|zià �*���¿0�+C6<�M�*�/Å'KsFH]�2V\H2_];wx»zu{�`#:W)UZ98�+C03E,@CwI+C6,^�¼�¨z�à �*����03+C6G���*�/ÅORJÈ�6�:;),2�F7:W),2V]�)94769b%`9Ks]WFH0ÊÉn]WFHEGF[8;+B:;+CFH6|ËcRC Ls+C+C+.QS`c(�2M)94p\H2?¼�|z�Ì�jk47]W^H03+C6���yHR#t12J+C030�25bc+.4 :;2_@Bwdb,2_bcZ9-V2�:W)94 :�¼�|z�Ìh�*jk47]W^H03+B6Í�!�*�p`(*),+.-/)¨0�2547698M:W)94 :>2_\H2_];w|@C+C0�+B:�EGFH+C6I:>F7Ka:;),2d8;2_YIZ,2_69-S2�Ls�G©�ª,QJrG2V@CFH6,^I8M:;F�Ìh� Rd³´:>+.8J:;),2_6-S@C2_4H]n:W)94 :*=>+.8n:W),2MZ,6,+.Y[Z92�@C+B03+B:aEGFH+C6I:aFHK�:;),2MrGFHZ,69b,2_b?8;2_YIZ,2_69-S2�L�ÎGLs�G©�ª!�WÌh�VQQSR±t12M2_4[8+C@Bw-SF[69-S@CZ9bc2M:W)94 :v@C+B0 P[e�fhg N9©ª�j�@B+C0 PHe�fhg �Ï ÎGLs�G©�ª��/Ìh�SQ Ï j�=9RLs+C+ÐQ�Â�)92�K�4[-�:M:;)947:�@B+C0 PHe�fhg ��yILs� P Q�j�03+B6���y3+.8M4�bc+C];25-�:>-SF[698;2_YIZ,2V6<-S2�FHKaÉÍ];F[E<FI8+B:;+CFH6ËcRC XLs+C+B+ÐQ�R��%2S:vZ<8�6,F (kE,]WF \H2�:;)<4 :v@C+B0dPHe>fhg®� � Ls�GP9QÍj®0�+C6 � � � RnÂ�),2>8;2_YIZ,2_69-S2XL´� � Ls�GP9QQ+.8X:;)92�+C034H^H2�FHKM:W),2�rGFHZ969bc2_b®8;2_YIZ,2_69-S2�Ls�<P<Q3rUw�:W),21-VFH6I:;+C6UZ,FHZ98XKsZ,69-�:W+BF[6Ñ� � `*)92V69-V2LO� � Ls�GP9QQv+C8*rGFHZ969bc2_b%Ra�h2S:�L´� � L��<PHÒ7Q;Q�rG2�4X-SF[6I\[2V]W^H+C6,^38Z,r<825Y[Z92V69-V2�F7KvLO� � Ls�<P<QQ�RvTU+C69-V2Ls�GPHÒ7Qv+C8�r<F[Z,69bc25b�`G:;),2_];2�+C8M4d8;Z,r98;2_YIZ,2_69-S2�F7K�Ls�GPHÒ7QS`!8:;+C@C@'bc2_6,F7:W2_b�rUw¨Ls�GPHÒHQv(*),+C-/)1-SFH6,Æ\H2_];^[2_8�:;FѼ�Óz·¾�R � ]WFH0ÀL�+.QS`�(�2�)94p\[2A@C+B0 � e�fhgiÎGLs�<P[ÒU�WÌ � QAj¶=�476<b�),2_69-S2i¼�Óz�Ì � R� ]WFH0Ô:W),2¨-SFH6I:W+B6UZ,+B:�w®F7K3�*�7`�(a2¨bc2_bcZ<-S2u:;)947:�@C+C0?� e�fhg �*�7Ls� P Ò7QujÕ03+C6G�M�*�pRÇTU+C69-V203+B6G���*��+C8M:W),23@B+C03+D:�FHK�2V\[2V]Ww�-SFH6U\[2V]W^H+C6,^?8;Z,r98;2_YIZ,2V6<-S2�F7KML´�*� L�� P Q;Q�`%(a2�-VFH69-V@BZ<bc2�:;)947:@C+B0 PHe�f}g �*� Ls� P Qnj�0�+C6<�M�*�pR

Ö>×,Ø�ÙhÚ�Û½Ü�Ý�Þ9Ý Â'47ß[23�*��jÇà��pà Ïpá Ë?+B6uÂ�),2VF[];2_0â¢,RC H��47:M254H-/)|+B:;2_]W47:;+CFH61x±`!:;),2X47@C^HFHÆ]W+D:W),0ãL²ä��_Q*-SF[698+.8:W8�+C6|43E,];Fp~c+C0X47@%EGFH+C6I:v0�2V:;),Fcb�4HE,E,@C+B25b�:;F3:;)92�å P Æ´Â�+CßU),FH6,F \?];2_^HZ,@.47];Æ+Cæ_4 :W+BF[6»F7KM��y¨L�8;2V2uÃD pç5Å�KsFH]3bc2S:/47+C@C8�FH6�Â�+BßU),F[6,F \1]W2V^[Z,@.47]W+Bæ54 :;+CFH6GQ�R|³è6�8;Z9-/)�-VFH69b,+D:W+BF[698V`

Page 10: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

éGê%ëhì}ísîJï'ð�é�ë'ísñ}ò�ï'ñ'ó1ô_ò%õGõ<éGõ�ôVò|ó'õ�ôpö!õGñ}ò�ï}ð,÷±ë#êhíÐòhø}î ùú�û,ü_ýHþWüVÿ��������;û,ý����;û� ���;û,ü��;ü����,ü����Sü����������[ü��,ü_þ !�;ü#"%$'&(�*)�+����Sý,�'-[üVþ �Hü���;ý�. 7þ/"��;û9üü�0CüVÿ3ü��1�Mý!2±ÿ435�63Bÿ� !07�,ý[þ;ÿÇý!298;:< Hþ=�[ÿ435�9>9?1��ú�û�3@�vþWü��=��0A��B,þ;ü#�ü���� �C3����;üVþWü��D�=3����E�=3CÿF3�0@ 7þ=G35�=3Cü���C35�;û��Wû,üH�VýHþWþ;ü#�DBGý,�6"�35���3þWü��=��05� �*ý,2JIK�=�;ý1�6�/ûLGDM�ýHÿ435�9üN�D� 3PO �Q7 ,�6"�IK�D�Wý,�6�/ûLGDM9R� Hþ=�9ü��/S'3O T!QU3��V�Wû,üW�Sý1���=3����9ý,�6�C�� ,�;ü,�XY��ú�û,üVý[þ;ü_ÿZ�6�5�1['�;û,üH�;ü����,ü��6�Sü��*� � �.3@��=��B�BGý1�;ü�"V�;ý�$GüW 4B,þ 3Bý[þ=3\$Gý,�6�6"cü�"U�P]uüW�,ý�^�135-[ü 4�D��_���3Bü������Sý,��"L3A� 3Bý1�V3Cÿ4B�0�&�3����4�Wû,ü`$<ý1���6"cü#"L�,ü#�=��ý,2.�*� � �N�

a�bdcfe6cfg�h@i\h�ckjml\n5oUnVpfqsr1tNuCv�w�tyxz z|{L}�~sv��*�q6z�D���dw�t/�u tN}����������5tNv���� � ���/tyxyz�t/��{6tNqd� t� tNqdtNu=x!v�t/rV�N��v�w�tFx� � �u|��v�w'}���) + ���.���`v�w�tP�N����5�!�J��q � �/�qdr��v��*�q%w����r�z��J�N�uHt��tNu|������������k� �dw6t`z�t�vP�#�%�¡ %¢£> ? �*�s�C¤¥�§¦©¨ª���%�� %¢«> + ���d�.¤�ÿ43��¬ > + ¦ �@zH�/�{Lqdr,t/r,¢

v�w�t�q�v�w�t9z�t/�N{6t�qs�/t9���s�6�9�@z9� �!{Lqsr1t ryx!qsrCw�t�qs�/tN�d��qF�#�*tN�­�®���dw6t �!u=t�}¯�1����'0�3Cÿ°�,±`²k³�´s�����U¢ 8k+��P:µ�s�¶·�u=t/�!��t�u/�.�/�qdr��v��*�qm���k�`�@zyz�xv��@z�¸9t/r���q­t x1� w¹�®�Wv�w6tº�N�������J��q � � xz�t|z�*»L��>9?E�@zH�/��t�u=������tN�P�*��t#�E0�3Cÿ½¼ ¾1¼ ±`²f³ >9?����s�9:À¿`ÁÀ���Â���>C+4�@zH�/�#tNu=�����t|�P�*��t#�V053Cÿ%¼ ¾1¼ ±W²k³ >C+���d�P:ÿ`Á^�

ÄKu=�#�®�/��]1üH�6�üH�;û,üF�= Hÿ3ü`�,ý!�/ �=3Cý,���� ,��35�½�;û,üWB9þ;ýUý!2±ý,2Íú�û,üVý[þ;ü_ÿZ�����,�Å9þ;ý[ÿÇÆÍþ;ý1B<ý,G�=3A� 3Bý1��È��5����3�3@�N[L�;û,ü_þ;üJü�É'3@�D� ��� ? �%ÊÃ�D�6�/ûV�;û� ��[�2sýHþ*ü�-[üVþ &�˹��ÌK[�> ? ��� � �.¤�� ? [U�*��t#�

�#���d¢JËm��Ì9¦°Í<O >9?`¤Î�­?�Q�Ï �*�6�ÑÐ,�ú�û,ü.�ü��.OÑ>9?W¤¥�­?NQD¨`OÑ>C+�¤�ÿ43�� ¬ >C+/Q�3��7$Gý,����"cü�"H35�F-'3Bü��»ý!2��Vý,�6"�3A� 3Bý1�V���k�f !�6"H��ü."cü��,ý!�Wü$'&½Ò%35� �`"L3@ 7ÿ3üN�WüVþ#��ú�û9ü4�;üN�H8k+H3@�`�N0Cü� Hþ=0�&%$<ý1���6"cü#"¹ 1�y ¡�=��$6�;üN��ý,2�OÑ>9?V¤¯�­?�Q6¨(OÑ>C+4¤ÿ435� ¬ > + Q���]uü`�,ý�À"L3@�D�=3����,��3@�;ûE�Wû,üW�= Hÿ3üy�� ,�;ü��y�*»L�. ,�6"¹��ÂN�. ,�K3��¡�;û,ü`B,þWýUý!2'ý!2'ú�û9üVýHþWüVÿ�����,�Ó x�z�t¹�* 1�N�ÔÅ,þWýHÿÕ�*�6� T'�|[C0�3Bÿ �,±W²k³ ´��*� � ¢/8 + �düNÉL3��D� ��[C�*û�3@�/ûÎ3Bÿ4B�0�3Cü����Wû6 �V�;û,üm�ü#���,ü��6�Vü�*´s��� � ¢ 8 + �D�3���$<ý1���6"cü#"½ !��"%�D3��6�SüF8 + 3@�$Gý,���6",ü�"\[s��ü��Sý,���N0��6"cü`�Wû6 ���;û,üH�;ü����,ü��6�SüV��� � �3@�.$<ý1���6"cü#"E�WýUý6�Ó x�z�t���$��N��Ö*ü��� !0�0U�Wû6 �#[62sþWýHÿÇ35�9ü����6 !0�35�®&¹�*�6� ×��|[s��ü�û6 �-HüHØ � ¤^Ø�Ù®ÚW¿ Û¹Ü ²k³

Ý|Þ Ù ÚKß Ý �Å,þWýHÿ�;û9üy",üNà6��35�=3Cý,��ý!27á � ['�;û9ü�BGý,3����C��Ù®ÚE$<ü�0Bý1���1�9�;ý%OÑ> + ¤�ÿ43�� ¬ > + Qk !�6"V3��V-'3Cü���ý,2K�*�6�ÑÐ,�|['�aü !0@�;ý�û� �-Hü���Ù®ÚV�mOÑ> ? ¤¥� ? Q�[6�;ý��Wû6 �

��ÙDÚE�­O > ? ¤�� ? Q'¨¹O > + ¤�ÿ435�¬ > + Q�Ïú�û�3@��[º�VýHÿ�$�35�9ü�"­�C35�;û©�Wû,ü°2* 1�|�H�Wû6 ��8k+�Í�OÑ>9?·¤��­?�Qs¨�O >C+%¤�ÿ435� ¬ >C+ Q.3Bÿ4B�0�3Cü��H�;û6 !�´s��� Ù Úd¢ 8k+���¤ÀÒ�[7�*��t#�mØ Ù Ú%¤^Ò�â�ã!ÈL��Åf3��6 ,050�&,[s$'&V�/ !S'3����°3��1�WýE ,���Sý1������35�9ü����6 !0�35�®&m����� ×1�|[s�aü�Sý1�6�N0��6"cü��Wû6 �#[L2sýHþ*ü�-HüVþ &°Ëm�¡ÌK[

Ø � ¤�Ò â ã!È¿ Û²f³äÝ|Þ ?

ß Ý ¢

�*û�3@�/û�B,þ;ý-[ü��P�;û6 !�C�;û,üW�;ü����,ü��6�Sü��*� � �K3@�C$Gý,���6",ü�"\�

åkæ@çUæ�è�ésêdë�ì�íî�ì'ê7ï,ìmé�ð�ñ�ò7ì½ó�ì'ô\õ7ì'êfï1ì ��� � � æ Å9þ;ý[ÿÇú�û,ü_ýHþWüVÿZ�6�5�1[L�;û9üH"L3@�®�/ !�6�Vü�ý!2�;û9üy�;ü����,ü��6�SüF��� � �����Hü��,üVþ/ �Wü�"�$'&½��) + �=�º�WýH�Wû,ü`�ü��C8 + �Wü��6"��K�WýF�6��XY�EB6 HþD� 3�����0� Hþ�[�352�8 + 3��þWü�"L�6�Vü�"¡�WýE °�=35���10Bü��;ý1�U[6�Wû,ü����Wû,ü��;ü����,ü��6�SüV��� � ��Sý1�'-HüVþ �Hü#���Kövý�aü�-[üVþ#[�35�½�;û,üF�D0Cý�Ã�� ,�;ü�aüW"cý��,ý!��û6 �-Hü` !�'&V�Hü��9üVþ/ !0�þWü��=��0A�vý,2º�Sý,�'-[üVþ �Hü����Sü�2sýHþH�*� � �K0�35S[üWÆnþWý,BGý1�=3A� 3Bý1��È�� �43����;û9ü2* ,�D�9�� ,�;ü,�}ú�û9ü��Sý1��-[üVþ �Hü��6�Süaý!2d�;û9ü��ü#���,ü��6�VüW��� � �J�� ,��$<ü�ý,$L�/ !3��,ü�"F$'&F�D�;þWü��6�!�;û9ü���3����y�;û9ü ,� �=�,ÿ4BL�=3Cý,�6��ý1�%> ? [s> + !��"¹��÷ � �. ,�.�û9ý��K�;û,üy2sý1050Cý�C35�6��B,þWý,BGý1�=35�=3Cý,�U�

a�bdcfe6cfg�h@i\h�ckjÎl\n�l\nW�Nq­x1r,r��v��*�q©vY�Ev�w6tWw'� ~6�v�w�tNzNtNzF�D�¡�dw�t/�u tN}ø�������x�z/z|{L}4t�}��u=t�ù��t�uWv�w6xv9v�w6tNu=tFt ú,�@z|v�û©ü¥�·xqdrCý%�Ã��z|{6� w%v�w6xv��6�N�u.÷�z|}4x!���ftNqd�{ � w��þ + � > ?�ÿ ÿ43���> ? ¿ ÷C��> +Kÿ ÿ435�¬ > + �.ü ÿ ûW÷ � Ï

Page 11: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

��� �������� ����������������������! #"%$�&(')�*�+�-,.,�/0����1324/5��627')�#8�9

:<;=$%>@? "$BADC(E 6�1 F :<;=$.>@? "-G $IH C(EKJL 'M2#�N2#���B��/%��O���P2Q'R/%� �3S ETA �PU �������VW2M���X���Y�����������Z #[ $ &]\^������_`624��1ba�9c2#���B6%d \^/_+'M2#�fe RgZh�&X�Y/%��O��_7\i���(2j/B��/%e5�3k[mlNn<h Uop_`/-/q8�rps]tvuiw�xmy%xfz3{Blmn<h0|�}vw�~�������w��Px�w*~`��w!�`w��^��w�x���wB #� $ &p�^z

� $ A ���� [ $Z� { � ���W��w!�Yy%�5w(���i�Z����~Yy%~`t��.x�y.�Wt�xI~Y��w(���Y�f�%���.�����`�i�P�^��tv~`t��.x � r �Z�`�������~`�Py~

�i� : h � �i�WC ���!¡-¢ ? #[� : h�& � �Zt�x£¢ ? C¤"%�p j¢�h% R[�� : h�& � �5tvx¥ ¢�h�&q¦¨§ ��©i� ��W��t)��})y.��~Wt�x�w-�i�Py%}�tª~qzc���.�X��tvx�w��I��tª~Y�����.x���tª~Ytv�ix« #¬Xh�&pt��Z��}vt�w��

� � : h � � � § �� #© � C­F(" G � & ���y%®ftvx�¯*~`��w£�P�^��tv~`t�u.w���y.��~��%�~`��w°���`w�uftv�i���±t�x�w��^��y.}vtv~qzZy.x��Z���`tvx�¯!~`��w��Ryi�+~�~`��y%~W² :�;� >@? ©i� HC(E³y%xP�IF ² :<;� >@? " G � H C(E´|��pw*�.��~�y%t�xIt�x�uftvw��D�%��µ�w��Z�By � r � ~`��y%~�}vt��B$.¶ :<; �.$cw�·�t���~Y�y%xP�c��w�x���w

}�tv�$i¶ :<; � [ $Z� { � w�·�t)�q~��W�#�.��y.xfz3{Bl�n�h � R��r ¸^&¹�w�x���wi|�t�x¨��y.��~Yt�����})y%�]~`��wB�`w��^��w�x���w� #[�$�&£t��*���.��xP��w��ºy%x��¨�pw5��y%x¨w�·f~`��y.��~*y����ixfu.w��Y¯.t�x�¯�`�����`w��^��w�xP��w.»�~Y��w��Yw*w�·�t)�q~Bk[Nlm¼½y%xP�¨ R[P$.¾%&��������I~`�Py~�}�tv� � ¶ :<; [P$.¾(A¿k[<r�À�tvx���w3 #[�$�&pt�����.��x���w��@|��W��w��.�Yw��Á��r � y%����}�t�w��Wy%x��c��w]��y0uiw3k[Nlmn h rÂ��y%®ft�x�¯X{ZAÃk[�tvx« R��r ¸^&+|f�pw]��w-������w~`�Py~!}�tv�B$.¶ :�; � [�$ � k[ � w�·�t)�q~���|<����t����Ä���.����tvx�w-�Å��tv~`�«}�tv� � ¶ :<; � [P$.¾ � k[ � A � |@��xPy%}�}vzzftvw�}����W}vt�� $.¶ :<; � [ $Z� k[ � A � �

Æ!Ç�È°É<Ê@Ë Ì�ÍvÎ@ÍWÏ´��w�xc���`tv~`w��`t��.xN #¬�h�&±t)���`w-y%}�tvÐ�w��5��tv~`�cF¨A � |i~`��w°�Yw��^��t��`w-�B���.xP��tª~Ytv�ix�.x« M" $ &��Yw����P��w��p~Y� ² :<;$%>�? " $ AÑC(E´rÆ!Ç�È°É<Ê@ËÁÌ@Í�Ì@ÍÒµ<w�~3���5x���Óy.�Y�`���5wI~Y��y~cFÓÔ � y%x��Õ��w�x��%~`wm�fz­ÖQ׫ #ØÚÙ � &X~`��w�`w�~!�%�Wx��ixÄx�w�¯^y~`t�u.wB�`w��^��w�x���w-�B RÛ $ &(�Yy~`t)���#z^t�x�¯ ² :<;$%>@? Ûf×$ H C(EKrc�W��wcyi�`�`���5��~`t��.xP�*�%��Â�Y�.���i�`tv~`t��.xÅ��r �I�`w�}�y%~`t�u.wX~`�Ä M" $ &]��y.x¨��w5�`w����`tv~�~Yw�x«y.�5 M" $ &�l­Ö G*Ü Ö h r5�W��t)�*�5w�y%xP�]~`��y%~ M"%$�&�t)��yX�`}v��Ñ���.x^~Y�`�i}P����t)���bt��W����pw�uiw��p����Ý3��tvw�xi~Y}vz3�Ry.��~��`�5y.��~`�Zw�x��`���YwB M"%$�&plmÖ G rÂ�W��w�^��w���~`t��.xI�%��~`��w(���ixfu.w��Y¯.w�x���w£t��p�i�Pw�xIt�xc~Y��w!��yi��w£�%��y¨Þ`u.w��`zB�`}v���ßX���.x^~Y�`�i}Qràµ<w�~����Wx�����~`����zc~`��w(�5w-y%x�t�x�¯5�%�����.xP��tª~Ytv�ixÄ M¬ h &�rá£Êâ�ã�â�ä�å)æ@å#â<çèÌ@Íêé�ÍÅë<��2�¼ìa��c6!íÂ��'M24�31%'Me5�����+'R/�6d�î('Mdva���_+2��7,�6i���+VW¢�?b»¼³ïñð òó C(E´ô¨6N��dv/0����1º�Y/%��O�`õX8�������27'R/� 6%��1c¢ h »@¼öï÷ðø6(íÂ�P'M2j�I��/��O�Yõ�8������27'R/� UIù ���+��eB�2#��62�¢ ? 6%��13¢�hb6_`�Ba�/%����1.��1]8�_`/%eúa���dv/ L 6%��1I2#��62�2#���X����2R�*nK»êAûy%�Y¯.�5t�xp¢ ? 6�1Zn�h!»êAy%�Y¯.�5t�x ¥ ¢�hc6_`����/%��ü���e�,2Q9 U �������Vp��/%��1'M27'R/�º M¬Xh�&(')�*��627')�Míp��15'M�º��6.���N/�8(2#����8�/dMdv/ L 'M�^\��60������ýþ 6�ÿ!y%�Y¯.�5t�x�¢ ?�� y%�Y¯.�5t�x�¢�h��A�� Uþ a4ÿ¨�����_`�Z�`õi')�+2�Û3Ô � V��£Ô � 6%��1!ØXÙ � �+���Y��2M��62þ ' ÿ«¢ ?�� �5tvx£¢ ? ÙÚÛ��� � JYn�&q×Vþ 'M' ÿ«¢�h � �5tvx ¥ ¢�h£Ù � ��� � J� ¢�h£Ù­�5t�x ¥ ¢�h �#& �

Page 12: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

������������������������������ "!���#�#$��#�!%�& �#�!('#����)���+*,�-���.��/�� 010243657598;:=<?>1@BADCFE6GIHKJLE MN>OE�E6M+JP>1Q6Q6R+SLTUE GVC1WX>ZY6[1SLGVW�\�]D^_>FY [ZSLGVW�\a`_bced GfSgTNhVGfJ�QiE6MN>FE>FY [ZSLGfWkj�\a` c >FY [ZSLGfW�\�]k^l>FY [ZSLGVW�\a`m>ZWNnoSgGfW�jm\a` c SLGfWp\a`(:rqpQs>LHKCZW$QtJ7u1RNJ%WNH%JZv\ ]Dw SLGfWp\ ]4xzy <{\ `�w SLGVWj \ ` @ c \ ]aw SLGVW�\ ]�xzy <{\ `4w SLGVWp\ ` @4|~}

>FW$noH%CZWNnUGVE6GfCZW=<�� ` @4GfQDQ6>FE6GIQ9�NJ7nP�aGVE6M�� c }+:<���@4�UGVWNH%JmE6M+JBQ6JKEs�=GIQ�GVWNH%hVR$nUJ�noGVWPE6M+JBQ6JKEi��\ ` |�SLGfW j \ `;� vU�4JpM$>(�ZJ��$<t�V�;�r@4|~��<9�f����\ ` |SLGVW�jp\a` � @4�aM+GIH;M)HKCZS��+GfW+J�no�aG�E MlE6M+Ji>1Q6Q6R+SLTUE6GfCZW)C1W�\a`Ov+GVSLT+hfGfJ�Q\a` w SLGfWj \a`p| wD� ��<9�f� �k@����>F��GVWN[�GfW�E6CL>ZH%H%CZR+W�Ea>ZQ QtRNSgT+E6GfCZW"<�GI@Kv+�4JmnUJ7nURNH%Jp��Y CZS�E M+JBT+Y J%��GfCZRNQ�GVWNJ�u�RN>FhfGVE9�LE6MN>FE�vU��C1YJ%�1J%Y ���&�)�=v\ ] <��@ w SgGfWp\ ]4x�y <�\ ` <��@ w SgGfWj \ ` @4|~ 4�$<����;�r@9¡ w=�$y �$<���� �k@��¢�GVY;QtEa>1Q6Q6R+SLJmE6MN>FEs£ c 0 :-¤�EsGIQ�E6MNJ%W)GVSLSLJ�n+Gf>FE6J�E6M$>OEa��JBM$>(�ZJZv���C1Y y Q6SL>ZhVh�J�W+CZRN[ZM\�]1<���@ w SLGVWp\�] x�y <�\a`O<���@ w SLGVWj \a`%@4|~}N�>FW$n&HKC1WNnUGVE6GfCZW¥<�� ` @sGIQmQ6>FE6GIQ9�NJ7n��aGVE6M_� c }+:mAsCO�¦>ZQ Q6R+SLJBE6MN>FEp£l§ 0 :�qsW_J%hfJ%SLJ%W�E >ZY6�HKC1SLT+RUE >FE6GfCZWoE6M+J�W�QtM+CO�sQ4E MN>OE

 ���<���� �r@ ¡aw=�$y ��<���� �r@4| wD�_¨ �£, �©«ª¬6­ ª ¨ £ w 0£®© y ¬¬6­ ª �Q6C�E MN>OEDH%CZWNn+G�E GVC1W¯<���`�@4GIQaQ6>FE6GIQ9�NJ7nP�aGVE6M�� c �o°�±¡+²+³ ª¬6­ ª ° ¡%´`¡�³ >FW$n�µ c ¡¡K´ ` :¶i·+¸D¹�º�»½¼�¾À¿�¾���M+J�Á�GfTNQ H;M+GVE6ÂKÃ{E9��T$J�HKCZW$nUG�E GVC1WÄ<�GfGI@sCZW"\a`BGfQD�ZJ%Y GV�NJ�nlGfW&S�>FW��lQ6GVE6RN>FÃE6GfCZW$Q%:�¤ÅWNnUJ%J7n�vZQ6GVW$HKJ��ÆGfQ��NW+GVE6JanUGfSLJ%WNQ6GVC1WN>Fh{v7E6M+J��NW+GVE6J�HKC1W��ZJKÇm��R+WNHKE6GfCZW�\ ` GIQ�H%CZW�E6GfW�R+CZR$QCZW��È>FWNnlJ��ZJ%W)Á�GfTNQ H;M+GVE6ÂiHKC1W�E6GfW�RNCZRNQ�C1WPE M+Ji��CZR+WNn+J�n)QtRN�NQtJ%E Q�CZ�-�=:�qDQ QtR+SLGfW+[g��CZYsJ%Ç�Ã>FSLT+hfJLE6M$>OEBE6MNJÉQtJ%E���\ `PÊ SLGVW j \ `;� GfQ���CZRNWNnUJ�n�v�C1W+J�H%>FW¯J�>1QtGfhf�&T+Y CO�ZJ�E6MN>FE�HKCZW$nUG�E GVC1W<�GfG.@4GfQsQ >OE GfQt�NJ7n�:Ë�ÌÉÍlÎ�Ï�Î�Ð(ÑNÒ�Ó�Ô1ÑUÕ�Ó?Ö$Ï�×�Õ�Ö�Ø�Ñ+Ð(Ù�Ú�Ó?Î1ÐOÑUÐOÛ(Ú�Ó�ÛZÑNÒaÜÄÓ�Ï�Ó�ÜÄÓ?ÔZÑUÕ7Ó�Ö�ÏkÌË�Ì�Ý�ÌgÞoÒ�ß�ÖNÐOÓ�Õ7Ú�Ü <�à�á7@ ×âÜ¥Ó�Ï�Ó�ÜÄÓ?ÔZÑUÕ7Ó�Ö�ÏãÖ�ä \4á Ö�å$Î�Ð >FY [ZSLGfW�j�\a` ÌÉæ GV�1J%W~E6MNY6J�JHKC1W��ZJKÇp��R+WNHKE6GfCZWNQr\�]ZvZ\a`r>FWNn�\4áZvOG�E�GfQ�WN>FE6R+Y;>Fh1GVWi��GfJ%�=CZ�U��MNJ%CZY J%SèçN: 0 E CaE6Y �mE6CpSgGfW+GfSLGVÂ�J\4á�CO�ZJ�Y4E6M+JiQ6JKEs>FY [ZSLGfWkj�\a`O:r¢+C1Y�E6MN>FEsT+R+Y T$C�QtJ1vU��JinUJ%�NW+JmE6MNJi>Fhf[ZCZY GVE6M+Sé<?àiá(@�ê

<�à á @ w ��ëFì `4w �$ëí ë ��î�ï ð�<�\ ]4x=y ëN\ `,x=yZñë \ á @%<��$ëZì ` @���aM+J�Y6J�E6M+JLH;M+CZGIHKJ�CF�rE M+JgJKÇUT$C1W+J%W�E�ò�MN>ZQDE6Cl��J�T+Y J�H%GfQ6J�n�:mópJ%W+CZE6GfW+[l����µ_E6M+JgJKÇUT�CZW+J�W�E>FY GIQtGfW+[lGVWÄH%CZWNnUGVE6GfCZWô<.� ` @�v�E6M+J�W+J%Ç�EBE6M+J�CZY J%SéGfWNnUGIH%>FE6J7QmE6C)E >Z�ZJ�òoGVW¯E6MNJ�GVW�E6J�Y6�O>Zh � 0 ��µ��>FW$no>�Q6J�u�R+J�WNHKJ�< y ë+@�Q >OE GfQt����GVW+[�< y ë+@4��õ.ös÷�õ ñ :øBù�·Nú�º�·+¸è¿�¾�û+¾Dü�ý%þ�� ÿ;ý ������� þ�ý� �� ý � ��� 5 ����������� ÿ;ýK3�þ ������� ý���\ ] ê1����� �"! x#%$�&�'� 5 � ý(� � 5 ��) ý+*i8(, �-� þ � 5 �.�/� �P\ ` �k\ á ê$�0�1� ����� þ�ý � 5 ��) ý2*�8(, ��� þ � 5 � �'3546�(� , ýgþ87 � þþ87+ýs8(, �-� þ � 5 ��� \ ] �4\ ` �4\ á � 3 ýPÿ;5�, � �Zý(�B8;365 ÿ;ý � 5�9 ��� �)þ�7 � þsþ87+ý � ýKþ � � ê c >FY [ZSLGVW�\ ] �� ` ê c >ZY6[1SLGVW j \ ` �a� á ê c >FY [ZSLGfW j

ª\ á � 36ý � 5 ��: ý ;� þ=< 3?> , ��� 5 � ý 5F36ý;5 ) ýK3Pþ�7 � þmþ�7NýK36ýý+* �@� þ��Ä|ô} ��� �aµ�§ 0 � , � 7lþ87 � þA��8K5O3 y ��B�/��� ý � 5�,�CD7<.� ` @ \ ]Dw SLGfWp\ ]�xzy <{\ `4w SLGVWj \ ` @�| w � y ö �

Page 13: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

EGF HJI�K-HMLONQPR�S�TDU'VXW'Y/ZBU\[ ]-^ E`_Aacbed�f U5g+Y/V W�SAh�U'ikj"W�U(l'm�U�V-g(U�n�o/p qW�j/r=S@W8s(t�S�Vvuwn8x"yzqkj/V�h

{}|~p/���

o/�p����� j�V-h � {}|~p����

oG� pw���� _

f S�r8��r8� U5g+Y/V�T�U�V�r=SAY/Vw�5� ��� ���"�&Ukj/i2U5j���W'Y5u/S�T�U�V?V�Y/V���V�U�u�j�r�S�TDU�W'U(l�m�U'V�g(U�W6n�� p q d n8� p qT�U�i�S s(t�S�Vvuki+U�W���U+g'r�S�TDU'��tkn8xw�`q�j�V�hkn�x ��qz���&U¡r8� U'Vwh�U=¢�V-U�j6W�U(l'm�U�V-g(U;n8£ p q�u�U�V-U�i+j�r�U+h ¤�tr8� Uj�� u`Y/i�S�r��¥Z¦nA§�¨Dq5j�V�h W'j�r�S@W8s(t�S�V�u�r8� U S�V�S�r=SAj/�©g(Y/V�h�S�r�SAY�V�£ � ]�h�Y�Z«ª � �\¬8s n8£ p q�S@WB¤+Y/m¥V�h`U+h dr8� U'V�­n8®¯q;°²±´³ p�µ {}|�¶ n8£ p _+· ¨Gq � � _n8®�®¯q�°´±²³ p`µ {}| n�ª � n8£ p q _ ª¡¸�nA£ p q _ ª¹¨�nA£ p q2q � n8³B±²º�ª � _ ³B±²º�»�ª¡¸ _ ³5±´º�»`¼�ª¹¨zq'�½ i2YGY¯s(¾�n8±�q-¿ÁÀÃÂ¥ÀGÄ�Å�³BÆ�Å`Ç2ÀMÈ2É À©Æ�Ê2ÅvÅ/Ëv±´º`È+Å�È2É Ê+À'À�ÇÌÈ2ÀzÆ�ÇzÍ�Î�Ê(ǯÈOϹÀ©Æ Ê+Å�Ð�ÀcÈ2É�Ñ/È}°²±´³�p�µ {}| ¶ n8£�p _+· q �� ÒvÈ+É À'ºÓÈ+É�Ñ�È;°´±²³"p`µ {}| ¶ nA£�p _(· ¸ q � �BÑ/º�ÂwÎ�º�Ñ/°´°²Ô�È+É�Ñ�È;°´±´³Bp`µ {}| ¶ n8£�p _+· ¨ q � ��¾Õ�r�U�� E ¾×Ö�É À?Ê2ÀGÇÌØ�°eÈ(Ç Å�Ë Ù�Ê+Å�Æ�Å`Ç2±eÈ+±²Å`º F ¾ E Ë8Å�ÊÚnA§ ¸ qwÄ'Ñ�ºÜÛ�ÀÁ±´³5³BÀGÂ¥±´Ñ/È2Àz°²Ô�À�ÝvÈ+À'º�Â¥ÀGÂ%È+ÅnA§ ¨ q�ÛvÔÓÊ2ÀzÆ °@Ñ�Ä�±´º ÞBÈ+É ÀkÂ¥±@Ç2Ä'Ê2À'È2À�Àzº À'Ê+Þ�Ôwß;p � ªJ�vn8£�p q � o�p;ª ¸ n8£�p�q�ÛvÔÓßBà ¨2áp � ªJ��n8£�p�q �o/p;ª ¸ n8£�p�q � o �p ª ¨ n8£�p�qM±²ºBÈ+É À;Æ Ê+ÅvÅ/Ë-Å/ËOÙ�Ê+Å�Æ�Å`Ç2±²È2±´Å�º F ¾ E ¾}â�ÈJ±´Ç�È2É Àzº�ÀzÑ�Ç2Ô�È+ÅÀzÇÌÈ+Ñ�Û °²±@Ç2ÉBÈ2É�Ñ/È°´±²³�p�µ {c| ªJ�`n8£�p�q � ³5±´º�ªJ��n2g=s��ãÙ�Ê+Å�Æ�Å`Ç2±²È2±´Å�º F ¾ E nA±²±´±�qÌq�¾k䥱²º�Ä'À5å0±´ÇæÎ�º ±²È2À�Â¥±´³BÀ'º�Ç2±´Å�º�Ñ�°Ñ/º�Â?nA£�p�q¹±@Ç¡Û�Å�Ø º� ÀzÂ�Ò Ï¹À6±²³B³BÀz ±´Ñ/È2À'°´Ôw ÀzÂ¥Ø�Ä'À6È2É�Ñ/È¡°²±´³"p�µ {}| ¶ n8£�p _+· q � � ¾Õ�r�U�� F ¾¡ävÀ�È2È2±´º ÞÓç p � ¸¨ ¶ nA£ p _(· ¸�q ¨ Ò�È2É ÀkÇ+Ñ/³BÀ�Ä'Å�³BÆ Ø¥È(Ñ�È2±´Å�ºXÑ`Ç¡±´º�È2É À Æ Ê2ÅvÅ�ËQÅ�Ë©Ö�É�À'Å�Ê+À'³è ¾ E n8±�q�ÇÌÉ�Å�Ï;ǹÈ2É�Ñ/Èç�é { ¸�ê ç�é � ��éco�é¹n�ª ¸ n8£-é { ¸ q ê ³5±´º» ª ¸ q � ��éQo �é n�ª ¨ nA£�é { ¸ q ê ª ¨ nAë » ¼�nA£�é { ¸ q2qÌq¹ì �¡�`évíäv±´º�Ä�À È2É�À5Ç2Àzî�Ø Àzº�Ä�ÀÓn8£ p q;±@ÇæÛ�Å�Ø�º�Â¥ÀzÂOÒ-È2É ÀBÇÌÀGî�Ø À'º�Ä'ÀzÇ5n�ª¹¨`n8£ p { ¸'q2qæÑ�º�Â.n�ª¹¨�n=ëQ»�¼/n8£ p { ¸zqÌqÌqÑ/Ê+ÀÑ/°@ÇÌÅ5Û�Å�Ø º� ÀzÂ�Ò�Ç2Å5È2É�Ñ/È¡È2É ÀzÊ2À6À'Ýv±@ÇÌÈ+Çæïð]�ñ { ÇÌØ�Ä(ÉwÈ+É�Ñ�ÈGÒ¥Ë8Å�Ê¡ÀzÐ�ÀzÊ2Ô òwó�� Ò

ª¹¨�n8£ é { ¸zq ê ª¹¨`nAëM»�¼�nA£ é { ¸zq2q¹ó ê ïôíÖ�É ±@Ç¡±´º Àzî�Ø�Ñ�°²±²È¯Ô Ä�Å`³kÛ ±´º ÀG ϡ±²È2ÉÓÈ2É�ÀÆ Ê2ÀzÐv±²Å`Ø�Ç�Å�º À6Ôv±´À'°@ Ç

ç é { ¸ ê ç é � � é o é n�ª¡¸/nA£ é { ¸Gq ê ³B±²º» ª¡¸ ê ï¦o �(õ ¸é q¹ì �;� é íÖ�É ÀÊ+ÀzÇÌÈ¡Å/Ë}È+É ÀÆ Ê+ÅvÅ/ËQÄ'Å�º�Ç2±@ǯÈ(Ç�±²º&Â¥±@ǯÈ+±²º�Þ�Ø ±@ÇÌÉ�±²º Þ5È+É À6Ë8Å�°´°²Å�Ï¡±´º Þ�Ä'Ñ`ÇÌÀGÇ'ÍnAÑv¸�q öv÷ � ]&ø _ ù ÷úóû÷ � _ ª¡¸�nA£ p { ¸'q¹üû³B±²º�»\ª¡¸ � ï�o �(õ ¸p ¾n8Û-¸'q ù ÷ � ]�ø _ ö¥÷?óû÷ � _ ª¡¸�nA£ p { ¸'q¹ìû³B±²º�»\ª¡¸ � ï�o �(õ ¸p ¾Ö�É À¡Ñ/Ê+Þ�Ø�³5Àzº�È+ÇQÅ/Ë�È2É À�Æ Ê+ÅvÅ/Ë�Å�Ë�Ö�É ÀzÅ�Ê+À'³ è ¾ E n8±�qMǯÈ+±²°´° Ñ/Æ�Æ °²ÔkÉ À'Ê+À�±²ºBÇÌÅ�ËAÑ/Ê�Ñ`ÇcÈ2É À;î�Ø�Ñ�º`È+±eȯÔo �(õ ¸p È2Àzº� Ç-È+Åæ��Ï¡É À'º6÷Xý �� ¾cþæÇ}Ñ¡Ä�Å�º�ÇÌÀGî`Ø�À'º�Ä'À�Ò'ϹÀ©Å�Û È+Ñ/±´º\È2É�Ñ/È}°´±²³ p�µ {c|�¶ nA£ p _(· ¸�q �� ¾©Ö�É À� À�È+Ñ�±²°@Ç¡Ñ/Ê+À6°²À'Ë�È¡È2ÅBÈ+É ÀÊ2ÀGÑ�Â¥ÀzÊz¾Õ�r�U�� è ¾©ÿOÀ'È;Ø�Ç¡Â¥À�Î�º À6È2É À�Ç2Àzî�Ø Àzº�Ä�À�n�ç�à ¨+áp q¹ÛvÔ

ç à ¨2áp � EF ¶ nA£ p _(· ¨zq¨ í

Ö�É À�Ç+Ñ/³BÀÄ�Å`³5Æ�Ø¥È+Ñ/È2±´Å�º�Ñ�Ç�±´ºwÈ+É ÀÆ Ê+ÅvÅ/ËcÅ�ËQÖ�É ÀzÅ�Ê+À'³ è ¾ E nA±@q¹°´ÀzÑ` ǹÈ2ÅçOà ¨2áé { ¸ ê ç�à

¨+áé � ��é�n�ªJ�`nA£�é { ¸ q ê ³5±´º�ªJ�Gq � ��éco�é¥n�ª ¸ n8£-é { ¸ q ê ³B±´º» ª ¸ q � ��éco �é n�ª ¨ n8£-é { ¸ q ê ³B±´º»�¼ ª ¨ q¹ì �¡�`évíÖ�É ±@Ç¡°@Ñ�ÇÌÈ�±´º ÀGî`Ø�Ñ/°´±eȯԠÄ'Å�³ Û ±²º�ÀzÂwÏ¡±eÈ+É�Ä'Å�º� ±eÈ+±²Å`ºÚn � ¸ q¹±´³5Æ�°²±´ÀzÇ

ç à ¨+áé { ¸ ê ç à¨+áé � � é o �é n�ª¹¨�nA£ é { ¸Gq ê ³B±²º» ¼ ª¹¨Gq¹ì �kn8� é � �o � é q�í n���¾ E q

Page 14: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

�������� ������������������������������������������ �!�����"���$#%�&��'�(� )+*,.-0/213-546-�798;:<7$=6>?8;=6@$ACBD=6>;E983E$-�F�:C4646:HGI=J@$ALK�/C>;-�>�MN /PO�Q RTS�UWV�XZY [!S]\^S�UCY _ZO Na`�b QZc^de=J@�fCg�_ZO2hN�i O Q [�S U V"XjY RkS�\^S U Y _ O Na` b QZl^de=J@ f g�_ O hmn8o>?B$pLK�-�>Z@$:HGq83:r13-�sD1;:k7kBDK�-o83E$-W/213ACB$de-�@t8u>v:CF�wxE$-�:P1;-�d * h ) N =yQ iTz 83/C{t=6@$Ar=J@t83:r/PK�K|:PB$@t88;ED-WFa/CK|8o8;ED/28~}�������� U��� �r���W� /2@D7"46=Jd bC� ��q� Na` b Yu��|QZ��� N >;-�-��T8;-�s]�PQ�hZ,�-�4J-�8o8;ED-13-�/C7$-�1IKuE$-�Ku{<8;ED/28xGZ-�ED/ �C-�46=Jd bC� ��^� Na` b Yu� O Qv���e=J@ i :28;E�K�/C>;-�> N / O Qx/2@�7 Nai O Q|�$GIE$=yKuEK|:P@DK|46BD7k-+>Z8;E$-WsD1;:T:2F�:2F N ='Q�hN =6='Qv=y>x/2@�=Jdede-�7k=y/H83-5K�:C@D>;-��tB$-�@DK|-~:2F N =yQ|h��$:P1jF�BD1?83E$-�1x7k-|8u/2=646>��kGZ-�13-|F�-�1Z83E$-~13-�/P7k-�1j8;:�8;ED-s$13:T:2F�:CF&wxED-�:C13-�d * h ) N =J='Q�h

�0 $¡�¢£�¤¦¥§©¨$§�,ªE$-�@«K|13=¬83-�13=J:P@ N'­ ��Q5=6>�13-�/C4J=6®�-+7]GI=J8;E«}��¯�$��8;E$-L-�°Ts�:C@D-�@t80±9K�/C@83/C{C-�/C@ z �H/246B$-o=6@L8;ED-�=6@P83-�13�H/24$² ) Y �W��³ /2@D7r83E$-~K�:C@D7k=J8;=6:C@L:P@ N � b Q&13-�7$BDK|-+>%8;: N � b Q5´V"µ©¶ h·�=6{C-5F�:P1j83E$-0/246AC:P1;=J8;EDd Na¸ ��Q��k83E$-0K|:P@T�C-�13AC-�@DK|-�:2F�8;E$-W>;-��tB$-�@�K|- N�` b QZAC-�@$-�1u/H83-�7 iTz]N©¸ O QK�/C@ i -I: i 83/C=J@$-+7 itz >¹831;-�@$A283E$-�@D=J@$A583E$-o/C>3>?BDdrs$8;=6:C@D>%:P@L_jUt�T_ � /C@D7<_ZO2h�mº@e8;E$-xF�:P4J46:HGI=6@$As$13:Cs�:P>;=¬83=J:P@���Gj-0=6@t8;13:k7kBDK|-�8;E$-r/C7k-+�tBD/H83-�K|:P@D7k=J8;=6:C@ N�­ O QIGIED=6KuE�=y>~dr:P1;-�>¹831;=6@$AC-�@t8o8;ED/C@N'­ � Q�h»~£!¼�½D¼�¾�¿yÀ�¿�¼Á^¥§6Â�§0Ã|ÄÆÅPÇCÇHÈ'ÉÊÈaËHīɺË9É'ÌDÍ0ÌTÎ3ÏDËHÉ�Ì$Í|Ð|Í|ÐrË?ÑÓÒ!Ì$ÍuËHÔ3Í|Õ×Ö�Ø'Ù ÚoÅ ÐuÐ�ÛkÕeÍ�ÕLËHÔ;Í�ÜËHÝHÍ�Ô0É'ÌDÅHÉjÉ'ÌDÍ|Ô;ÍrÍ3ÞCÈyÐ�É&}«\q�kÚkß�c ) ÅHÄ�Ç�±�V!² ) Y©ß ³ Ð�ÛDà3Ì�É'ÌDÅHÉ©ÚDÑ|ËHÔ � Ð�ÕeÅ2á'á�Í|Ä!ËHÛCâ ÌN'­ O Q ã _ UIä de=6@~_ U � � N _I� ä de=J@ f _I�|QZ\ ä } � � ÅHÄ!Ç_ UIä de=6@~_ U � � N _I� ä de=J@ f _I�|Q � � ¶ N _ OIä de=J@ f g�_ O Qx\ ä } � �kåÒ!Ì$Í�Ä$ÚvÉ�Ì$Í0Ð�Íuæ|ÛDÍ�Ä�àuÍ Na` b Q~âPÍ�Ä�Í�Ô;Å2ÉnÍuÇ9ç�ÎLÉ�Ì$ÍrÅHá âtËHÔ�È'É�ÌTÕ N©¸ O Q�à3Ë2ÄDÝHÍ|ÔÊâPÍ|Ð0ÉnËeÐ|Ë2ÕeÍ9è` V�� O ØéZÔ;Ë+˹Ñuhoê5=6�C-�@"/C@ z�ë V]� O �D46-|8�B�>o7k-|ì�@$-W8;ED-�>?-+�tB$-�@DK�- N'í b Q iTz9í b � �O!î ` b ä ë î O å�ï @-�46-�de-�@P8u/21 z K|:Pdes$Bk83/28;=6:C@">?ED:HGo>v83ED/H8í � � � ä í � ��ð ��ñ _ U N�` � � �+Q ä de=6@~_ U � � � N _I� Na` � � �+Q ä dr=6@f _I�|Q � � ¶� N _ O Na` � � ��Q ä de=6@f g _ O Q?ò]l ðIó � åwxE$=y>I4y/C>?8x=6@$-+�PB�/246=¬8 z K�:Cd i =J@D-�7�GI=¬83E�83E$-0>;-�K|:P@D7�=J@$-+�tBD/246=¬8 z :2F%K|:C@�7k=¬83=J:P@ N�­ O+QZ=6des$4J=6-�>

í � � � ä í � l ð N ó � � } �+� � Q åwxE$-�>;-��tB$-�4I:2F�83E$-�s$13:T:2F~=y><>;=Jde=646/C1e8;:.8;ED-�:C@$-":2FWô�13:Cs�:P>;=J8;=6:C@ * h * /C@D7õ83E$-�13-�/C7$-�1e=6>13-|F�-�1313-�7L83:L=¬8+h·�-�8oBD>x@$:HG�-|°kE$= i =¬8�>;Bkp<K|=6-�@t8�K�:C@D7k=J8;=6:C@�>xB$@D7k-�1oGIE$=yKuEÓ/P>;>;B$desk8;=6:C@ N'­ O QZ=6>I>3/H83=6>?ìD-+7�h»~£!¼�½D¼�¾�¿yÀ�¿�¼Á×¥§Jö�§ø÷�Í|É�ùúçuÍõÅ"ûvÄDÈ'ɺÍõÇHÈ'ÕLÍ|ÄDÐ�ÈaËHÄ�Å2á~üWÈ'á6ç3Í�Ô�ÉLÐÊÏDÅCàuÍ�Ú<_ U M0ùþýÿ���� �W��� ÅÆà�áJË Ð�ÍuÇõàuËHÄ�Ý Í3ÞLÑuÛkÄ�à�ÉÊÈaËHÄ�ÅHÄ!Ç�_I�+Ú~_ O M�ù ý ÿ ûvÄDÈ'ɺÍ"à3Ë2ÄDÝHÍ;Þ9ÑuÛkÄ�à�É©ÈaË2Ä$Ð�Ø� ÐuÐ�ÛkÕLÍ.É'ÌDÅHÉ<É�Ì$ÍLÑuÛkÄ!à|ÉÊÈaËHÄDÐ"_ U Ú<_I�+Úe_ O Å2Ô;ÍõçuËHÛkÄ!ÇCÍuÇ�ÑuÔ;Ë2Õ çuÍ|á6Ë�� ÅHÄ�ǪÉ'ÌDÅHÉLÉ�Ì$Í.Ð�Í�ÉaÐ��M �¦/C1;APde=J@Z_ U Ú%���0M � /C1;APde=J@ f _I�+Ú�� O M � /213ACde=6@ f g|_ O ÅHÔ;ÍLÄ�ËHÄ�Ü?Í|Õ�Ï�ÉÊÎCØ�Ò!Ì$Í�Ä$ÚoàuËHÄ�Ç2È'ÜÉÊÈaËHÄ N�­ O QWÈyÐWÐ�Å2É©ÈyÐ�ûjÍuÇ<È'Ä�ÍuÅCàuÌ]Ë?ÑWÉ'ÌDÍvÑ|Ë2á'áJË��%È'ÄTâ�àuÅ Ð�Í�Ð� Å��0/213ACde=6@j_ U� /213ACde=6@j_I� /C1;APde=J@j_ O ´���DØ ç���Ò!Ì$Í�Ô;ÍrÍ;ÞPÈyÐ�É��PUCÚ�� � Ú�� � Ú���OHÚ��5V"ÿ��� ÅHÄ!Ç���UPÚ�� � V ³ ) Y �W��³ ÐuÛDàuÌ"É�Ì$Å2É���� ��

N"! Q _jU ä de=6@~_jU \ �PU � N å Yu��Q$#$%CYN"!&! Q _ � ä de=6@�f~_ � \ � � � N å Y ³ _ � l�de=J@!f~_ � ²�Q$# g ä � � � N å Y ³ _ � \�de=J@!f~_ � ²�Q�YN"!&!&! Q _ZO ä de=6@�fCg�_ZOþ\ ä �|O � N å Y ³ _ZO0\ de=J@!fCg�_ZO�²�Q�YN"!&' Q � N å Y3� � Q l � N � N å Y ³ _ � l de=J@!f~_ � ²'Q � � N å Yu��Q?Q å

Page 15: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

() *�+�,-*�.�/102436575$8�9;:=<?>�@BADC6EGFIHJCLKM<�CNC6KOHP<DQLQSROTVUWCLEXAZY[<]\L^DTVE_Y�`�acbd<D\6^ZTVEXYe`gfgbd<]\L^DTVE_Y�`4hjikmlE_TnUMoXE_HpQqCLKM<�CBTVE_Ysrt`gf k TVEXYt`gfu<DYMvwTnE_YxrZyz`4h k TVE_Yt`4h]9�{cQc<nFADYMQ6Hp|?ROHpYMFIHZ}

` ag~ TVE_Yt` a4��� :�` f�~ TVEXYr ` f > ���D� :&` hg~ TnE_Yr y ` h >4���<]YsvwFADYMvWEXC6E_ADY�:"��h7>4E_QcQ6<]C6EGQ$�MH7v��gEXC6K�� k �O9:"�x>q��HICBRsQq�M\�Q$CgTVEXYMAD\LEX�pHtCLKOH�|?RM<]Y?CLE�C$�

�B� :=�x>q� k `�a�:"�-> ~ TVE_Yt`�a ��� :�`gf]:"�-> ~ TVE_Yr `gfI>I�� E_YMFIHP���m� `gfw��TVEXYsru`gfL &}��4H¡KM<£¢ZHV¤x:$�_¥L�e>V��¤x:$�_¥p�¦`gfw��TVE_Ysrt`gf� §>��gKOE_F�K�FADTN�MEXYOH7v�gEXC6K�:"E_EG>4E_TVUOo_EXH7Q

` f :=�x> ~ TVEXYr ` f �;¨ f ¤s:=��¥7� ` f�© TVEXYr ` f  ">$ª y ~�«f ¤x:"��¥L��>I� : ) 9 ¬Z>­�YJ¢�E_H��A]®4:"E§>¯}���HuvWHpvORMFIHcC6KM<]C � � :"�->q�°¨ a ¤x:"��¥L��> ª$± ~²«fM� ¤s:=��¥L�e>¯9�³qKOHuQ6<DTnHuFIAZTnUMRWCL<]´C6E_ADY²<ZQgE_YµC6KOH�UM\6A�A]®�A]®·¶�\LADUxAZQ6EXC6E_ADYµ¸O9 ) :"�s>gQ6KOA��BQqCLKM<�CcC6KOHp\6H�H¹�EGQSCcº f �»�¡<]YMvn¼ a¾½ (Q6RMF�K�CLKM<�C7}W®"AD\ � QST¡<DoXozHpYOADRO^ZK�}

¨?a�¤x:"��¥L��>Sª ± ~�« f � ¤s:=��¥���>4� ~ º²f �7¿ ± �À�AZ\6HnUO\LHpFIEGQ6Ho_�D}�EX®4Á aµ½ ( AZYOH¡F<DYÂC�<]ÃDHļ a k Á a�Å :"Á aÄ~ ( >u<]YMvdE�®qÁ a k ( }zC6KOH¡UM\6Hp¢?E_ADRsQE_YOHp|?RM<DoXEXC$�JEGQBQ6<]C6EGQ$�sHpvw�gE�CLKPº f k �O9·³qKOEGQgoXH7<DvOQ4CLAnC6KOHÄ®"AZoXo_A��gEXYM^nTVE_YOAD\LE_�p<�CLEXAZY�AD® � � �

�c� :"�->g� ~ º²f �7¿ ± � : ) 9 ¸?>��HCBRMQqYOA��Æ�MYMvµ<noXA��4H\q�xADROYMvw®"AZ\gC6KOH�|?RM<DY?C6EXC$�

Ç � :=�x>q� k `�a?:"�-> ~ TnE_Yt`�a �È� :&`gf�:"�-> ~ TnE_Yr `gfp> ���D� :�`4h?:"�-> ~ TVE_Yr y `4hp>I�³qKOHµE_YMFIo_RMQ6EXAZY;� f �É� ` h �ÊTVE_Y r yz` h  qE_TVUOo_EXH7Q¡¤s:S�X¥�� f >P�ˤx:$�_¥p�¦` h �ÊTVE_Y r y�` h  §>I}�<DYMvKOHpYMFIH�E_Yw¢�E_H�ÌA]®q:"E_EXE§>g<]Ysvd:=EX¢O>¯}

`4hZ:=�x> ~ TVEXYr y `4h�� ~c« hzÍ·:=¤x:"��¥p�¦`gf © TnE_Yr `gf� §> � ¤s:=��¥L�e>S>¯� : ) 9 ) >Î ADT¾�OE_YOEXYM^µ:=EG>I}�: ) 9 ¬Z>q<]YMvÏ: ) 9 ) >¯}O�4HÄAD�WC�<]E_Y

Ç � :"�->q�;¨?a�¤x:"��¥L��> ª ± ~�« f � ¤s:=��¥L�e> ~j« hzÍ � � ¤x:"��¥L��>� ¨Of � ¤x:"��¥p�¦`gf © TnE_Ysru`gfL "> ª y ~�« h�Í � � ¤x:"��¥7� `gf © TVE_Ysrt`gf� §>I� : ) 9 ÐZ>� E_YMFIHtC6KMHÄ|?RM<DY?C6EXC$� � � EGQ�YMH^Do_E_^DE_�OoXHt�gE�CLKw\LHpQ6UxHpF¯C4C6A � �gKOHpY ��Ñ �O}?C6KMHÄQL<]TVHu<]\L^DROTVHY?C�Q<DQg<D�sA�¢ZHuQ6KOA��ÆC6KM<]CgC6KOHp\6HÄHI¹WEGQ$C�Qqº h �°�VQSRsF�KwCLKM<�C

¨ a ¤x:"��¥���>$ªS± ~j«fx� ¤x:"��¥L��> ~�«¯h Í �D� ¤x:"��¥L��>q� ~ º hz�p¿ ±�� : ) 9 Ò?>:"­&®�Á a k ( C6KOHpYPE_YOH7|ZRs<]o_E�C$�²: ) 9 ÒZ>�E_QqQL<�CLE_QS�MHpvw�gEXC6KPº h k �Z>I9·­�Y�CLKOH�Q6<DTnHu�q<£�D}���HÄo_HICqC6KMH\LHp<DvOH\gF�KOHpF�ÃJC6KM<]CgC6KOHp\6HÄHI¹WEGQ$CBºµÓÄ�°�¡<DYMv¾¼ ft½ ( Q6RMF�KwC6KM<]C

¨ fs� ¤s:=��¥p�¦` fu© TnE_Yr ` f  §> ª y ~j«Ih Í � � ¤s:=��¥p�¦` fu© TnE_Yr ` f  §>4� ~ ºPÓ � ¿ y � : ) 9¦ÔD>

Page 16: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

ÕxÖ�×�Ø�Ù"ÚÄÛ1ÜNÕz×1Ù"Ý�Þ�Û1Ý1ßdàpÞ�áxásÕxázàÞ²ß1ázà£â-áxÝ�ÞµÛ�ÜOã·×�Ö�Ù§Þ�ä�Ú å£æç"è&é4ê£ë¡ì å¾í6îMïðÏñDðOïVòóDð²íLóDôDïuõ ë�öÊçø÷�ù å7úJû�ü6ýü ý�þ ëDÿ�� åVó]ð���� é4ê£ë¾ö å¾í6îMïð��XðOï��Mó�� ��í��ç������ ú�� ���Ló�í�� ���Mï������Xí6î � ! ö#" ú �·è ð%$�_ï&�Ìñ éqç���� æZú(' ç)��� * ú4ó]ð�� ç)���+� ú(',�4ï-�Wï.�/MòIïÄíLîMó�í021 ç)3 ú54 ù � 687�9;: ù � !87�9pý=< ç���� > ú? ïí���qðOñ@�ÌòIñDðsò;� ��Wï-AB���,�C�$í��Xð�DE/�C�Sî��Xð/DníLîOï é ñE� �Xñ@���_ð/D¡òóF�Sï��&GH è&é1ê.I�ì åÄóDð�� ê ë ì åE'Oò�îOñ�ñ�Sïtí6îOï-$�óE�JOï ÷ �SñníLîMó�í

õ ë ö�çø÷uù å£ú�K ê ëê£ë4ù å�L � åM4dõ IENñEO�ï��/�J$�óE�XïpðZí��J�F' ÷�PRQXç õ I ù å£ú û ü ýLþ ëü6ý ÿ � å N õ I QJ�wè ðS$B�_ï&��ñ é�ç���� T úÄó]ð�� ç���� > ú('1òIñDð��,��í��XñZðçVU 6£úW� �4íLîOïð�ò&�Xï7ó�O��J�XOLïpóE�J� Yï��XAB�Jí�ó]ôB�_ð/DÄõ%G ö õ I �H è&é1ê I ì åÄóDð�� ê£ëBö åE'OòñDð��,�XíZ�_ñDð çVU 6£ú4îOñE�C�/�góF���Sñ�ñDðµóE� ÷[P8\ å N õ I Q óDð��nõ]G ö õ I �H è&é�ê I ö ånó]ð�� ê�ë¾ì åF'^�_ðOï��Fsó�� ��í��Xï�� ç)��� T úBóDð�� ç)��� > úgóE_/_/� �Xï��`���Xí6î`� ë�ö � 6 öa" �6îOñ@�í6îsó�ícòIñZð��,�XíZ�_ñDð çVU 6£úW� ���Ló�í�� ���Mï.� é ñEOtó]ðB� ÷Nì å�ó]ð��nõ DE� $Dïpð�AB��õ]G ö õ ëtì°÷B�H è&éeê I ö ê£ë�ö åE'^��ï¾îMó=$Dï-� ë�ö � 6 ö �%! öR" ó]ð���òñDð��/��í��XñZð çVU 6£úqíZO�� $�Gó�� � �wîOñF� ��� é ñFOb öc" ó]ð�� é ñEOBóDðB��òIñF/_/�_ï çø÷BN õ-ú5�6ó]íZ�C� é �B�_ð/D ÷dP8\ å N õ QJ�? ïíe��cðOñ@� òIñFfgfVïpðZíe��íLï&fh� ç �J�§ú(' ç �J� �Gúcó]ð�� ç � $WúBñ éji OLñE_xñF�Z�XíZ�_ñDð ��� T²ç Axú�AB��fVï7ó]ð��cñ é í6îMïé ñE� �_ñ@���Xð/DkOLï&f¡ó�OLô,� �lnm/o2prqtsaurv wtvSx ���Z/fk_WíZ�_ñDð ç � �§úÄñ é�i OLñE_xñF�Z�XíZ�_ñDð ��� T�ç AsúM�C��ó DDïpðOï&O��GònòñDð��/��í��XñZðÏñZðy ë '��gî/�Gò�î%�C���Ló�í�� ���Mï.�%�_ð fVóDðB�wòóF�Sï�� �eè ð��Wïï��t',��Oz�SícóE����/fVïÄíLîMó�í�fk�_ð^{ y ë ö fk�_ð y ë ��è í�C�gò;�GóE�����GòóE�-í6ñh���_/_sñ�SïuíLîMó�ígíLîOï�òIñZð$Zï;| é Oðsò¯íZ�_ñDð y ë $Zï&O��}�Mï��y ë�ù fg�_ð y ë 4�~ ë8�sç < N�Q y ëe� fk�Xð y ëz\ úSü ý N�gî/�Gò�îX�C��ï;|OóZò¯íZ� � ç � �Gú�����íLî�� ëgö#"/��� ñDðB$Dï.O��6ï&� �NóF�Z�Z/fVïgí6îsó�í�fk�_ð { y ëÄì fk�Xð y ë ó]ð��¡í6îMó]íy ë �C�-�,�}�-ï&OLïð?í��_óEA/�Xï �Vè ðS�ZMò�îjòIñZð��,�XíZ�_ñDð��.'��4ïnîsó=$Dï]� � y ë�ç)3 ú.�W�ö�"wé ñEO�ï&$Zï&O�� 3�PcQ y ënöfk�Xð { y ë(\�� ? ïIí�����WïpðOñ]íLïMA��� ç OLï.�Z_ ��� úeí6îOïn�MóDð?íZ�Xí����G ö �_ð é�E�,� � ý��t��� ��� � ý�� � � y ë]ç)3 ú.� ç OLï.�Z_ � � G ö ���_�E�,� � ý �t��� � � � ý � � � y ë]ç)3 ú.� ú;<x ���Z/fk�Xð/DníLîMó�í�� ì�" ó]ð�� ��� �-� ',��ïM�_ïIígíLîOï-O6ï7óE�Wï.Ogò�îOïpò�ô¡íLîMó�íy ë ù fg�_ð{ y ë 4�� �xç < N.Q y ë � fk�_ð{ y ë \ ú ù����xç < N.Q y ë 4 fg�_ð{ y ë \ ú N�gî/�Gò�î � �qï&|WóZò¯í��J� ç �J�§úW���Xí6î ê£ëBö åE'/~ ëgö � ó]ð��]� ëgöc���lnm/o2prqts urv ¡tvWx ����/fk�_ð/DgíLîMó�í y 6j� ���/�}�-ï&OLïð?íZ�Gó�A��XïF'.�_ïIír��r�WïpðOñ]íLïjAB� �R¢ íLîOï��MóDðZí���í��� ¢ G ö ��/_���,� ��£ �t��� ��� ý ��£ � � � y 6 ç�3 ú&�}<¤ /_�_sñ���_ð/DkfVñEOLïñ@$Dï.OeíLîMó�í �R¢�� �-� ',��í��C�gï7óE�Z�Ví6ñJò�îOï7ò�ôVí6îMó]íy 6 ù fk�Xð{ ý y 6 4 ù2� ¢ �xç < N.Q y 6 4�fk�_ð{ ý y 6 \ ú N�gî/�Gò�îJòIñFOZOLï.�Z_sñZð��/�1íLñNóE�����fg_OíZ�_ñDð ç � �J�§ú·ñ é�i OLñE_xñF�Z��í��XñZð ��� T¡ç Asú('B���Xí6î��(6 ö¥�R¢)�§¦ ñFOeñDí6îOï.OòIñFfkfnïpð?í��5OLï&�Gó�íZ� $DïuíLñVóF�Z�Z/fk_Wí��XñZð ç �J� �Gú;'��4ïMO6ï é ï&Oqí6îMï-O6ï7óE�Wï.O�íLñh¨gï&f¡ó�OLô T�� ���lnm/o2prqts urv+u©v�x ���Z/fk_WíZ�_ñDð ç � $Oú4ñ éªi O6ñF_sñ���XíZ�_ñDð ��� Twç AsúW� �gò&�Xñ�Sï.�J�JòñDðOðMïpò¯íLï.��í6ñní6îMïé óDòIí�í6îsó�í�í6îMï��Sïíg« ë ï��Mó��C�uí6îOï��Xð?í6ï.O��6ïpòIíZ�_ñDð Q y ë � fk�_ð�{ y ë \^¬ « �%­ ïX�Xïí�í6îMïXO6ï7óE�Wï.Oò�îOï7ò�ô¡í6îMó]ícóE�����fg_OíZ�_ñDð ç � $Wúqòpó]ð%Asï-OLï&_��_óZòIï.��AB�¡í6îMï é ñE� �Xñ@���_ð/Dk�Xï��Z���SíZO��_ð/DDïpðZígñZðOïEG1í6îMï&OLïï;|,�C�$í ê 6 ' ê ! P8\V"/N å \ ��sò�î�íLîMó�í

ç�®°¯Nù � ®�± ú �xç < N « ë ú ��² û �xç < N.Q y ë³� fk�_ð{ y ë�\ ú$ü £ � �sç < N «�ú$ü�´ÿ[<µ î/�C���GóE�SígóF�Z�Z/fk_Wí��XñZðPóE�J�_ñ@���qó[�Gó�O�DDï�ò&�_óF�Z�4ñ é �_ðZíLï&Oz�Sï7ò¯í��Xð/Dk�6ïIí��e«�óDð�� Q y ëe� fk�Xð { y ë�\°�

Page 17: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

¶.· ¸�¹@º8¸§»�¼ª½¾©¿CÀ�¿gÁ�Â)Ã^Ä�Å@Æ�Ç�È©ÉËÊ)ÌnÍ-ÎkÏ/ЪÑÒȪÆ)ÓÅ@Ï,Å@Ô=È©ÆÕÔEÏ/ÂdÉÖÆ)ЪÆ)ÉÖÆÕ×EÏ,Ç�Æ)Ä^Ð�¿MØ�Ù&ÚgÛ�Ü]Ý�Þàßâá�ãä@å-æèç³é[ê;ë ìFí Ù.î ê&ìEïBð Ù&ñkò�ó ï�ê Ú�ô ìFï�éEï î%Û�õ@ö^÷ ÷ ÷Jö+ÛWÍaÝFÞøßùá�ú ï ô}Ú�Ù ê;ìEïBð Ù;ñgò�ó ï�ê Ú�ô ìFï�í Ê)ûýü¶ Î;÷©þ íZí ó/ÿkÙjÚ�� é Ú�Û Ü öFÛ õ öJ÷ ÷J÷ ö+Û Í é�� Ù�� ì ó ï î,Ù.înò �Zì ÿ��^Ù ë ì��Öé�ï înî,Ù;ú ï ÙjÚ��/Ù í Ù;Ú í Ê��ÕÎ� õ�� � �^ÍéEí ò ìEë ëJì���í Ý�� õ Ý��RÞ éEï î%ò ì������Öä������������ û ç ö ���Ý!� é"��# ÿkô ï%$�&('*) Û��Z÷�þ ê � é�ë ë Ù ï+# ô ï+# Ú éFí-,ê;ìFï�í ô í Ú í ô ï ÿkô ï ô ÿkô�..ô ï�# Ù éFê ��ò�ó ï�ê Ú�ô ìFï Û�� ìEï Ú/��Ù í Ù&Ú0��1 õ ö5ò ì��2�3� ä4�+�5������� û ç ÷�6��/ô í

7 ó/Ù í ÚZô ìEï�ì ò8�/ôJÙ ��é���ê ��ô ê.é�ë ÿkô ï ôJÿkô�. é Ú�ô ìFï � éEí ��Ù.Ù ï é î/î � Ù í�í Ù�î9�;:�ÿ éEï : é ó,Ú/� ì<��í Ê í Ù&Ùhò ì<�Ù;ñ é ÿ>= ë Ù-þWÚ�Ú ì ó ê �@? A�B°öDC ì ÿkô ï Ù;ÚZÚZô�EFC ì ó � î/ó � ô Ù � ? ¶ � B�Î(÷þ ê.ê;ì<� î,ô ï+# Ú ì Ú��/Ù8= � Ù ð ô ì ó íG� Ù í ó ë Ú í�ì ò^Ú/��Ù8= é =^Ù � ö@Ú/��Ù é�ë�#Eì�� ôJÚ/�/ÿ ÊÕÌ õ Î5Ê � Ù í =�÷WÊÕÌIH=Î�Î é�ë ë ì���íÚ ìJ# Ù ï Ù ��é ÚZÙ éhí Ù 7 ó/Ù ï�ê ÙhÊLK M�Î � �/ô ê � ÿkô ï ôJÿkô�.&Ù í Ú/�/ÙMò�ó ï�ê Ú�ô ìFï Û õ Ê � Ù í =�÷�Û�H�Î ì@ð Ù � Ú/��Ù í Ù&Ú¥Ê � Ù í =�÷% õ Î;÷ON°Ú�ô í Ú/�/Ù ï%ï�é ÚZó ��éEë Ú ì î,Ù;ú ï ÙMÚ/�/Ù éEë�#Fì�� ô}Ú��/ÿ�Ê)Ì Í Î��;:8ÝÊ)ÌdÍMÎ P K M�Q õ PRK M

S M �0T;UWV Ê�Û�Ü åYX M Û�õ å@X�Z\[M Û H å]�����=å@X�Z_^M ÛWÍMÎ;ÊLK M"Q õ.Î �� �/Ù � Ù³Ú/��Ù-Ù;ñ`= ìFï Ù ï Ú í8a H öJ÷ ÷J÷ ö a Íb� é=ð Ù³Ú ì �^Ù ê&é�� Ù&ò�ó ëJë : ê � ìí Ù ï ÷�N ï Ú/�/ÙMò ìFëJë ì�� ô ï�# Ú��/Ù ì<� Ù.ÿ öÚ/��Ù[ò�ó ï�ê Ú�ô ìFï�í Û�ÜEö ÷J÷ ÷ ö§ÛWÍ õ é"� Ù éFíZí ó/ÿkÙ.î`Ú ì]í�é ÚZô í òL: ê;ìEï î,ô}Ú�ô ìFï ÊLcnÍ õ;Î � �/ô ê ��ô íMé0# Ù ï EÙ �zé�ë ô�. é Ú�ô ìFï é Ú ì�� î,Ù � ûdP ¶ ì ò[Ê(c[õ.Î(÷e6��/Ù ê � ì ô ê Ù ì ò2Ú/�/Ù%Ù;ñ`= ìEï Ù ï Ú ífa H ö ÷ ÷J÷ ö a Í ô í Ú/�/Ù ïô ï Ú�ôJÿ é ÚZÙ ë : ê&ìEï/ï Ù ê Ú�Ù.î � ô}Ú��%Ú/�/Ùg= ��ì =^Ù � ÚF: ÊLc Í õ Î í�é ÚZô í ú�Ù.îh�;:%Û Ü ö ÷ ÷J÷ ö^Û Í õ ÷

igjlk�mon�k+prqos!qtsvuow�x Þzy wg{�|�} ~(x\wg�"~(�fw�}+��~1�"}D{����I~(� y w���x����{��Ww�� Û Ü ÝFÞøß á[ã ä@å-æèç{I�����4��wW���W�"}���w/�%�W�`}D��x�~1�"}h{�}�� Û õ �o�(�(��� Û Í ÝEÞ�ßùá |�} ~(x\w��W�"}���w/���W�`}D��x�~1�"}+���%�������`�Jw�xL�+{�xÛ Ü � Û õ ���(�(��� Û Í {���w y ���`}���wW�g�W�/�"� y w�������{�}D��x(��{�x�x(��wJ��w�x1� Ê����Î Ü5� � �^Í ��w�|�}�w��9{4��{ y �"�4w{���w�}D��} �-w��v�Dx����� �������4��w��J���/wW�"�4w���xL�+{"xOx(��w���wgw/�<~���xl  ü � �<¡3¢ ¶ {�}D� Ê a �°ÎFH � � �^Í õ �����W�xL�+{�x ¶�£ a H £ ����� £ a Í õ�£ ¡¤{�}�������� X ���J{��(�Gw�}D�"��¥��

Ê(cnÍ õ&Î ¦ ��� ä ¶ �5������� û§P ¶ ç*� �¨©/ª Ü X�Z« Ê�Û © PÖÿkô ï$ « '*) Û © Î5ü�P   X�¬;�

�O~(xL�3xL�+wf�W��} �4w�}�x~1��}�� a Ü � � � a õ � ¶ {�}�� G õ � Þ �f­�~(��w�}9�����Jw a Í � B a Í õ � ¡ ? �%��w�x��;��W��}��W~1�<w��>{f��wW®���w�}D�Ww Ê X M/Î ��{�x~��L�W��~(}*¥ Ê(¯2°�Î {�}��

Qo±¨M ª Ü X�Z_^M � å-æ {"}D�  

Qo±¨M ª Ü X�¬ M £ å-æ]�

�O~(xL�²xL�+w>���"}���w�} x�~1�"} �>³`æ � � �2´3w�{"�/w>{������>¥"~(��w�}9}D�"}��_}Dw\¥*{�x~(�4wI��wW®���w�}D�Ww�� Ê S M Î � ÊLµ M Î��w���~ �W��~(};¥���w����w���x~(�4w��!� ÊL¯h¶FÎ {�}D� Ê(¯ U Î �J´3w8xL�+w�}h��w�|�}�w�{���wW®���w�}��Ww ÊLK M Î ¥*w�}�w���{�x_w�� y �gxL�+w{�� ¥<�"��~(x(�`� ÊÕÌnÍ-Î {"}D�f��{"x�~��L�W��~(}*¥hxL�+w�~(}�~(x~1{������"}D�"~(x�~1�"} K�Ü � �<��� Û�Ü ��·L� Ê1K M Î ~�� y �"�`}D�<w����xL�+w�}¸�%w��+{���w�¹Ê � Î ë ô ÿJM�ºgQt±¼»^ÊLKDM � Í Î%� ���Ê �\� Î�¦ ����ä��+�5������� û ç � ë ôJÿJM�ºIQt±#Û���Ê1K M�Î%�èÿkô ï�$�&('*) Û�� �

½��/���F� ÷¥Ê�ôVÎdØrÙ;Úkó íké"��# ó/Ù2�;: � Ù ê ó �/� Ù ï�ê Ù éEï î ë Ù;Úkó í î,Ù ï/ì ÚZÙ0�;:#Ê(¾��°Î-Ú��/Ù�ò ìFëJë ì�� ô ï+#� Ù ê ó �/� Ù ï�ê Ù éFíZí ó/ÿf=,Ú�ô ìFï ÝÊ(¾��°Î ë ô ÿM�ºgQt± »^ÊLKDM � ��°Î�� �+�Ø�Ù&Ú³ó í ú �zí Ú�= ��ì@ð ÙnÚ/� é ÚkÊL¾ Ü Î2ô í³í�é ÚZô í ú�Ù.ît÷g6��/Ù � Ù í ó ë Ú í2ì ò�¿ ��ì = ìFí ôJÚZô ìEï A,÷ ¶ ò ì<� ÊÕÌ õ Î ê&éEï�^ÙhôJÿkÿkÙ.î,ô é Ú�Ù ë : Ù&ñÚ�Ù ï î/Ù.î�Ú ì ÊÕÌ Í Î��*: � Ù5= ëCéEê ô ï+# Ú/��ÙXî,ô í�ê�� Ù;Ú�ÙkÙ ï Ù �/# :¸À�MR� Û Ü Ê1K M�Î åX M�Û õ ÊLKDM�Î��*:]ÀJÁ Í�ÂM � Û Ü Ê1K M�Î åbX M�Û õ ÊLK M�Î åÃX Z [M Û�HEÊ1K M�Î åÄ������åÃX Z ^M Û Í Ê1K M�Î�ô ï Ú/��Ù= ��ìBì ò ì òO¿ ��ì = ìFí ô}Ú�ô ìFï A,÷ ¶ ÷%N°Ú2ô í Ú/�/Ù ï Ù éEí :XÚ ì Ù í Ú é � ë ô í ��Ú/� é Ú ë ôJÿJM�ºIQt±#Û Ü Ê1K M�Î%�cÿkô ï Û ÜÊ ����� ¿ �Zì = ìí ôJÚZô ìEï A/÷ ¶ Ê)ôJô ôVÎ�Î(÷ÆÅ,ô ï�ê Ù%Þ ô í ú ï ôJÚZÙ î,ô ÿkÙ ï�í ô ìFï�é�ë5é�ï î#ÊLKDM�Înô í � ì ó ï î,Ù�îtö � Ùô ÿgÿkÙ�î,ô é ÚZÙ ë :%î,Ù.î,ó ê ÙMÚ/� é Ú ë ô ÿ2M�ºgQo±¤»^ÊLKDM � �Î�� � ö ~1�(w5� Ê(¾ Ü ÎWô í�í�é Ú�ô í ú�Ù�ît÷

Page 18: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

ÇDÈlÉtÊoËLÌ�ÍGÎ�Ç�ÉGËLÏoÐ3ÍGÏGÑ9Ò5ÐlÓDÓ ÇDÓ�Ò�Ð�ÑGÓ�Ò4Ô�ÓDÏoвÍoÎ+ÕOÉ�ÈtË(ÐtÖoÌ ×�ØÙlÚ�Û8Ü�Ý8Þ+ß�à]á�â/ß�ã<ÚvÛ�ä+Úgå�æfá+ç�å�è�é�Û�å�ß<ÞRêLë�ìLílî�ïJðlñòêLë�ìï�ó`ôLß�â8Ú5ã�Ú5â/õJö�÷¸ø ×�ù�ú�ú�ú�ù�ûYü<ý�þ ß<â�Û/ä�é"Ûá+Ü+â�áDß<Ý/Ú�ó`à�Ú�ÿ+Ú���Þ+Ú�Û�ä+ÚIÝ/Ú��*Ü+Ú�Þ è�Ú���� ì��� õ

� � ì � ð ×��� ê�� ù�� ì\ï�� ú�RÚgç�Ú�Û8Û/ä+Úgâ�Ú5é<ÿ`Ú�â8èWä+Ú�è��JÛ/ä�é"Û

� � ì ���� î�� � � ì �� �"! �#$%'&�(�)+*-,�

ê-. % ê/� ��� î ï � . % ê103254�ê/� ��� î ï/ï-ï76 !98 � ú:�ß�Û/å�è�Ú�Û�ä�é�Û�ó�Ý-å�Þ�è�Ú�0 2 4�ê/� ��� î�ï�÷ � ì-ó+à�Ú�ä�é4ã<Ú

;=< ÷9ø?> ù5ú�ú�ú�ù ö ü<ù . % ê/0 2 4�ê/� ��� î�ï/ï%ðÃæfå�Þ2,�@BA. % ù

Ý/ß Û�ä�é�Û8Û�ä+Úgá+â�Ú�ã;å�ß�Ü�Ý�å�Þ+Ú��*Ü�é�ç�å�ÛFõ�è�é�Þ � Úgâ�Ú�à8â�å Û/Û/Ú5Þ0é<ÝDC�E� ì���� îF� ��� ì ��G�H! �

ì$%'&�( )+* ,�

ê-. % ê�� ��� î�ï � æfå�Þ2,I@BA. % ï �J! �

#$%'& ì � î )+* ,�

êK. % ê�� ��� î�ï � . % ê/0 2 4�ê/� ��� î�ï/ï-ï76 !L8 � úê�M ý N ïO å�Þ�è�Ú>Û�ä+ÚJÝ-Ú?�<Ü�Ú�Þ�è�Ú0ê/� ï�å�Ý � ß�Ü�Þ�ÿ`Ú5ÿló�Û/ä+ÚJÝ/Ú��*Ü+Ú5Þ�è�Ú�Ý>êK. % ê�� � î ï-ï�é"Þ ÿÆê-. % ê1032F4�ê�� � î ï-ï-ïé"â�Ú�é�ç�Ý/ß � ß<Ü+Þ�ÿ`Ú�ÿ²ôLß�â < ÷eø�ö � ×�ù5ú�ú�ú�ù/ûYü ó Ý/ßJÛ/ä�é"ÛvÛ�ä+Ú�â�ÚIÚ�P`å�ÝFÛWÝRQ ÷TS � Ý-Ü èWä²Û/ä�é"ÛvôLß�â�U

ç�é"â�V�Ú�Ú�Þ+ß<Ü=V�äló#$%'& ì � î )+*-,�

ê-. % ê/� ��� î ï � . % ê/0W254�ê/� ��� î ï/ï-ï7X � Q ) *4YA� ú ê�M ý�× >*ï

Z ÞhÛ/ä+Úgß�Û/ä+Ú5â8ä�é"Þ�ÿló`ôLâ/ß<æÄÛ/ä�Ú2êLö �¤× ïI[/\>å�Þ+Ú��*Ü�é�ç�å�ÛFõ2ß"ô8ê^] # í�î ï�ó+à�Ú�ä�é4ã�ÚìLílî$%'&�( ) * ,

êK. % � æ>å�Þ2,I@BA. % ï7X �`_ )?a ú

ê�M ý�×�× ïb�õ�è�ß<æ � å�Þ+å�Þ=V3ê�M ý N ï�ótê/M ý�× ><ï�é�Þ�ÿ9ê/M ý�×�× ï�ó`à�Ú�ÿ+Ú5ÿ`Ü�è�Ú

� � ì ���� î�� � � ì��c�d! � ) *4� êK. ì ê/� ��� î ï � æfå�Þ254

@BA. ì � Q ) *

4 YAí*4� ï�6 ! ê 8 � � _ ) a �

ï úe�ä+Úgâ�Ú5Ý-Û8ß"ôtÛ�ä+Úgá+â�ß;ß"ôGè�ß�Þ�Ý/å�ÝFÛWÝ�å�Þ3ÿ`å�ÝFÛ�å�ÞfV�Ü+å�Ý-ä�å�Þ=V>Û�ä+Ú�ôLß�ç�ç�ß�à8å�Þ=VJè�é<Ý-Ú�ÝDCê1é<ì�ï gih ( ÷kj ù ; hTXdh ( ù .�ì�ê�� � î�ï�l æfå�Þ 2 4

@BA.�ì � Q ) *

4YAí*4 ý

ê � ìï ; h ( ÷`j ù gmhJXnh ( ù .�ì�ê�� � î�ï76¤æfå�Þ 2 4@BA.�ì � Q ) *

4YAí*4 ýe�ä+Úeé�â'V<Ü+æfÚ�Þ*Û�Ý0ß"ô Û/ä+Ú@á�â/ß;ß"ô>ß"ôoe�ä+Ú�ß<â/Ú5æqp ý�× ê1å�ï�ÝFÛ�å�ç�çIé"á+á�ç�õ]ä�Ú�â�ÚRå�ÞrÝ-ß ô1é�â�é�Ý0Û/ä�Ú�*Ü�é"Þ*Û�å ÛFõ

) *4YAí*4 Û/Ú5Þ�ÿ+ÝhÛ/ßn>eà8ä+Ú5Þrhts �vu ýxw Ýhé¤è�ß<Þ�Ý-Ú?�*Ü+Ú�Þ�è�Ú�ó�à�Ú¸ß � Û�é�å�Þ]Û/ä�é"Û

ç�å�æ +y �{z ��� ì � ðrç�å�æ +y �|z î� � ê/� ù�� ìï � ð}>�é�Þ�ÿÆêLë�ì\ïvå�Ý�Ý�é�Û�å�Ý~��Ú�ÿ ý e�ä+Úfÿ`Ú�ÛWé"å�ç�Ý�é"â�Ú�ç�Ú�ô(ÛÛ/ß>Û�ä+Úgâ/Ú�é�ÿ`Ú5â ýêLå�å(ï%å�Ý�é"Þhå�æfæfÚ5ÿ`å�é�Û�Ú�è�ß�Þ�Ý/Ú��*Ü+Ú5Þ�è�Ú�ß"ô�ê1å�ï ý�þ ß<â�ôLÜ�â-Û�ä+Ú�â�ÿ`Ú�ÛWé"å�ç�Ý5ó`à�Úvâ�Ú�ôLÚ�â�Û�ä+Ú�â�Ú5é<ÿ`Ú�â�Û/ß Û/ä�Úá+â�ß;ß"ôoß�ôWe�ä�Ú�ß�â�Ú�æ"p ý�× ê1å�å(ï ý���=���|�����|��E��� ä�Ú�ÞYè�â�å Û�Ú�â�å�ß<Þ¤ê^] # í�î ï�å�Ý�â�Ú5é"ç�å ��Ú5ÿ¸à8å Û�ä _ ð}>+ó�Û�ä+ÚfÚ�P`áDß�Þ+Ú5Þ<Ûv� #è�é�Þ�ÛWéF��Úfé"Þ;õ3ã�é"ç�Ü+Úfå�Þ¸Û�ä+Úfå�Þ*Û/Ú5â/ã�é�çW��� # ílî ù �vu�� é"Þ ÿ�Û�ä+ÚJè�ß�Þ ÿ`å Û�å�ß<Þ¸ß<Þ ê

) ï�â�Ú5ÿ`Ü è�Ú5Ý�Û�ß

ê) ïR�÷k�*I�ý

Page 19: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

��� ���5���W�E�3��E�  +¡£¢�¤+¥§¦'¨f¡o©+ª«¬¤+¥��­¦�¨=®°¯²±1³£´DµR©+¶f·¸±1³�¹�µ�º�¦'¨=¡o»�¤¬¶i¼+¡D¥�«+¡�¶f»�¡²¤F¢½¦�¨=¡¾¯'¡�¿BÀ=¡�¶f»�¡k±�ÁÃÂfµ�«+¡D¶f¡D¥'Ä©5¦�¡�·HÅiƸ±/³²Ç�µ�»�©F¶ÈÅá°¤+Åm¦�©F� ¶=¡�·HÅiÆT¯~¦'¥�¡D¶=«+¦'¨=¡�¶=�¶f«É¦�¨=¡�©¬¯'¯'À=®oÊm¦'� ¤+¶Ë¯�¤+¶ÍÌ�άº ÏÏ Ï ºWÌ�Ç£ÏÑÐI¶¦'¨f¡£¢�¤¬ªª ¤5Ò9� ¶=«ÉÊf¥'¤¬ÊˤB¯~�¦'� ¤+¶Eº|Ò�¡¾�¶B¦�¥'¤m·mÀf»D¡¾¦'¨=¡°©+·=¡�¿BÀf©5¦�¡°»�¤+¶Ë·m�­¦��¤¬¶d±�Ó Ç µ§Ò9¨=��»�¨J��¯�®o¤+¥�¡¯~¦'¥��¶=«¬¡D¶B¦7¦'¨f©+¶G±^Ó Ç§Ô�´ µ�ÏÕ§Ö�×{Øf×{Ù�Ú�Û�Ú�×|ÜkÝ{Þß�Þ7à�áãâ+ä+äFå^æ1å/çFá�æIç�æ�è=é�èmê�ë=çFæ^èfé�ìDé�ì�â5áÃä²í�çFáfî5é�áËæ1å/çFá=ìLç�ï²ð�è=é�çFñ'é�ò�óËô ó=õâöì�ì�÷mò°é²æ�è=âFæ9æ^èfé�ñ�é°é'ø¬å�ì�æúùüûrýmõÃþJÿ � â5á�äã±����Kµ ¹�� � �ÃÇ ì�÷fí�èTæ^èfâ5æ ��� � ¹ ������� � Ç � þâ5á�äLï�çFñ �Éì�ò°â����Wé�á�ç5÷��öè��±^Ó Ç µ ������� ����������! "�

�#$�% Î

��&('+±KÌ $*) ®o�¶+ '-,".Ì $ µ�û ) ù/��0 �

ð�è=éDá=õWæ^èfé�ì�é21D÷fé�á�í�é�±/Á  µ3�¬éDáÃéDñ'âFæKé�ä54�ê£æ^èféRâ6� �Bç5ñ�å^æ�èiò"±/³ Ç µ�í�ç5áËîöéDñ7�Bé�ìLæIçvìDçFòoé98Á:�<; Ç ô=�ñ'ç?ç�ï�Ï3>R�¼¬¡D¶k©F¶iÆ@?A�:; Ç ºmª ¡�¦LÀ˯9·m¡CBf¶f¡§¦�¨=¡�¯'¡�¿BÀ=¡D¶Ë»�¡o±�D  µ�ÅiÆAD ÂAE ´¹�F Á  ) ? F ¹ �HG ¶¡Dª ¡D®o¡�¶¬¦�©F¥�Æ�»�¤¬®oÊ=Àm¦�©F¦'� ¤+¶k¯~¨f¤5ÒL¯ ¦�¨f©5¦

DJILK{´ ) DJI*MONPIÇ#$�% Î

� &('I ±-Ì $ ) ®o�¶+ 'Q,".Ì $ µ3R N SJI �

T7¨=��¯9ª�©+¯~¦7� ¶=¡?¿¬ÀË©Fª �­¦�Æ�»D¤+®£Å=�¶f¡�·ÉÒ9�­¦�¨É¦�¨=¡ �:U�V � ¶=¡?¿¬ÀË©Fª �­¦�ÆѤ+¢W»D¤+¶f·=�­¦��¤¬¶H±�Ó Ç µ�� ®¾Êfª� ¡�¯D ILK{´ ) D I R N²±WS I M¸ùX� 0 I µ �

T7¨=¡ ¯'¡�¿BÀ=¡�ª9¤F¢�¦�¨=¡`Ê=¥�¤i¤F¢§��¯Ñ¯'�®o� ª ©+¥o¦'¤H¦'¨f¡`¤+¶=¡k¤F¢XY½¥�¤+Ê䬯'�¦'� ¤+¶[ZfÏ ZÈ©+¶f·Í¦�¨=¡`¥�¡�©+·=¡D¥o� ¯¥�¡�¢�¡D¥�¥�¡�·°¦�¤°�­¦?Ï

\^]`_�]�\^]�a � ]�bc d-egf3h i"h6fkj6lnmpo�mpjrq6s/tu�twv3t x�yLz{t|Lu/|(}�~�|Lu��2���k}���u6~�zt|Lu���|Lu9~�|Lu��2�����-��z{�����3v*��yLu���|7}��Lt ��������u�ztyL���(���nyL�zt|Lu���q��k� ���Q�(�Q���7���2� ]P��  �¡�7�p¢L�n£�q6¤L¥g¦�d�§L§2¨�©-q6ªnª � d�¤L«L¬¡­�d�¤C®2¬ �c ¯¡eg°3h�fHlnl�±6²�³�´rq¶µrt��~�|L��tz�·��|C� ��z{t|Lu��*|7}�v¸tu�twv3t x�yLz{t|Cug¹6�7|��Q� ��v¸��q b�º �¶»�¼ö�¬� ª��7�p½ �p¾��¡�7�p¢L�X«�¦�d�§L§L«C©-qª�ª � ®2«L§¡­W¿L¥L« �c ¤¡eg°3hJfPlnl�±6²�³�´5À6j6ÁÃÂ�hrÄ�±�Å�mpj�Æ�lnlnm{q"Ç[�L�Lu6yLv3t~�yL�Hy-¹�¹6��|�y�~-È�z�|�~�|Lu��¡�-�gv3twu�twv3t x�yLz{t|Lu5~�|L�¡¹6� twu�ÉÊyQ¹6�¹6��|��Ctwv*yLz{t|LuÌËHtwzÈ9zÈ�� ��z�����¹�����z¶�C����~���u�zÍv*��zÈ�|��Lq ¼5� �k� ���Q�(�Q�C�(���2� ]`��  �¡�7�p¢L�n£�qPd�¯L¿9¦�d�§L§L«C©-q�ªnª �¬�d�§¡­�¬2¨C¥ �c ¨2eg°3h�fHlnl�±6²�³�´ÃÀ6j6Á@ÎÃh Ï7Ð3hHÄ�Ñ�À6Ò�j6Æ�³�ÓJm{q"Ç����Lvk¹6z�|Lz{t~�~�|Lu�z{��|C�PyLu6�Ê��z�y���tw� t x�yLz{t|LuÃ|7}¸u6|Lu�� twu6��yL� |L�-~�tw� �� yLz�|L�-��ËHtwzÈÊu6|Lu/tw�-|L� yLz����g������t� t{�Q�-tyLq ¼5� �k� ���Q�(�Q���7���2� ]P��  �¡�7�p¢L�n£�d�®2§�¦{¯L¥L¥L¯C©�q6ªnª � ¯C®2¿�Ô�¤�d�¥ �c ¬¡eg°3h/Õ�Ò�ÖÆ�Ñ�m�סqÙØr¹�Ú����yLz������-�!v*y��Ltv3yC�L�Ûv3|Lu6|Cz{|Cu6���Ù�CyLu��Ü� ���!���{¹�yC~����!�C�!Ý�tw�p�(���-zÞ��zßÚ������yCzt|Lu���"à(Ú���¡|L� ��zt|Lu�q6á��Qâ-�   �(� a ¢2�7�Q£¶¬�q a ¢L�7�7ãÊäÍ¢L�p���2�nå"q"d�§C®2¯ �c «¡egf3h�Ä�À6æ�±6l"q�ç"Èn�Ê�(z����7¹����(z¸�C���-~���u�z��L�Lu6yLv3t~�yL�^���L��z���vèËPtwzÈA~�|Lu�z{��|C� é�Ç^¹C¹6� t~�yLz{t|Lu��gz�|�~�|Lu���z{��yLtu6�(�v¸tu�twv3t x�yLz{t|Lu�q��(¢ �2ª�ª����2�Í�p� � ¢L�C�7�(¢L�{q � ª��(�p½ �p¾��¡�7�p¢L�Ê�2�nå � �2�pâ   �   £�¢2êrë`�2�(���¡�7�p¢L�n£ �c ®�egf3h�Ä�À6æ�±6l"qJì-u6���-z{tyC�JÉL��y��Lt��u�z{�W� t�íL� �C�Lu6yLv¸t~�yL�����L��z{��vî~�|Lu�z{��|L�� ���/���·y��(z�y���tw� t x�tu�É�z����-v¸q��(¢·�2ªnª6���2��p� ¼ ¢   �(���2�"¢2ê � ª��(�p½ �p¾��¡�7�p¢L� �ö� ãn�Q¢L��ï��2��å � ª�ªn�p�pâ��¡�(�p¢L�n£ �c ¿¡egf3h¶Ä�À6æ�±6l:À6j�ÁÜÎÃh Ï7Ð*h¶Ä�Ñ�À6Ò�j6Æ�³�Ó�m{q�Ç����Lvk¹6z�|Lz{t~5~(|Cu�z�7|L��|7}·¹�yLt�-�9|7}9|L�-~�t�w� yLz�|L�-�9~�|L�¡¹6� �(�ð���Ìy����¹���� ��t|Lu�ñ¸ËPtwzÈ�u6|LuÌtw�-|L� yLz��(�5������tw� t���-tyCq b�º �¶»ò¼ ¢   �7���2��¢L� � ¢L�C�(�7¢L���2�nå � ª��(�p½ �p¾��¡�7�p¢L�"qr¨nd¦¯L¥L¥L¯C©�qJª�ª � d�¯L¬2¨2­�d�¯L¿L¥ �c §¡eg¸h¶Ä^±�Å�mpj6Æ�l�lnm{q�Ç����Lvk¹6z�|Lz{t~5~�|Lu��¡���É���u6~��A|7}/zÈ��5��z{���7¹�����z��C���-~���u�z v3��zÈ�|��X}-|L�9zwÈn�5�-�Q¹�|Lu6��u�z{tyL�¹���u6yL� z{�gtwuX� twu6��yL�^¹6�7|(ÉC��yLv3v¸tu�ÉLq ¼ ¢   �(���2�"¢2ê � ¢L�CóC�-ô � ���2� ï�£(�p£�q�¯g¦�d�§L§L¬C©-q6ª�ª � dQ¨C¬¡­�d�¬L¯ �c d�¥¡e�¸hnÄ^±�Å�mpj6Æ�l�lnm6À�j6Á�ÎÃh�Ä�±�²6Ò�Á6²6Ò�mpÆ�Ò�qrõH|L�¡¹6� tu�É�ÉC��u6����yL�L¹���u6yL� z{���-~-Èn��v*����}-|L�k~(|Cu��¡�-��¹6��|�ÉCyLv3v3twu�ÉËHtwzȸzÈ��^�(z����7¹����(z��C���-~(��u�z�yLu6��zÈ��r¹6�7|��Ltv3yC�¡¹�|Ltwu�zryL� É�|L�-twzÈ�v3q b�º �k»ö¼ ¢   �7���2��¢L� � ª��(�p½ �p¾��¡�7�p¢L�"qd�¤�¦¯L¥L¥L¯C©�q6ªnª � ®¡¨C¬¡­W®2«L¬ �c dLd-e�Õ�h¶ÎÊÀ6ÒClnmpj6Æ�l"q¶÷5Ú�-ÉL��� yC�-tw�-yLz{t|Lu!�"à twu�Ú�����nyLz{t|Lu����¡yL�-tyLz{t|Lu�u6���w� ��� ¹�yL�5y-¹C¹6��|¡�Ltv3yLz{t|Lu������n~�~(������tw�2����q

\ �-ó   � _ �(�2��øâ��2�p£(��å"ù º ��ê¢L�7½��¡�(� ��  �¶�-� \ �Qâ�ãn�Q�7â�ãn� � ª�ú�Q���¡�7�p¢L�n�n�Q�p�p�Lq�¨�¦�d�§C®2¥C©-q6ª�ª � d�¬2¨2­�d�¬L§ �c d�¯¡e�Õ�h�ÎÊÀ6Ò�l�mpj�Æ�l"q�ûAÚ��z����-v3twu6yCzt|LuÊy-¹C¹6��|�~-È�Ú�¡�3�"à ��u¸¹�|Ltwu�z6ür�����"à ��u6��y-¹C¹6� t~�yLz{t|Lu ¹6�-���n�C|L�7~(|Cu�z�7yC~�z�yLu�z���q�3� \ �ö� â��2å � b âQ� � qnýH�2�(�p£�qn¯C®¡¨Ê¦�d�§C®2¯C©�q6ªnª � d�«L¤¡­(d�«L¬ �

Page 20: Proximest Point and Steepest Descent Algorithm Controlled ...

þ`ÿ����������9þ����� ����� ����������Pþ����������������� ���������¶ÿ����� �� !#"

$ %'&)(*,+ *,+-/.,021�3246587�9;:)<>=@?A=@B#CDED BGF>H�I>J =KB�CD FLILM2NOH#M D NQP#ILR DTS =@J U D 9VBQ= D M25XW�Y�Z[Z[\V]_^[`ba�\�Zdc ��e�f ^hg\V]�g\� c)]ji�g\lkmc)]j^[n�Y�\oa�\�p2q_cr` f \>5ts>&vu;%'s>w>xLyV5tz�z|{t}L~r&)��}>s>s#{

$ %l�r(/��+������[3t�#5�� D I)��Rh:>M2� D 9Q� D MtR D :j��B S#D N Dh� H D MtR D :j��NhH�R_R D NhN_=@� D IlPLPt9;:�<L=K?�I>B�=@:LM2No�l:>9�Mt:LM D <lP�I>M2Nh=@� D?�IVP�Pt=KM��LNh5,W�Y#Z[Z�{ er� ]ji�\ � k�\lq_^ f cr` � c)]_i|{ ��e�f ^[\V]��,5,~r&vu;%'s>wL~>yV5,z�z|{2x>s#%V��x>sL~�{

$ %'x)(���+��A+2���[�,�,.,�,.��3t�t����+� �3�+2��0t¡h1��t�[�t1,5�¢£CD B S :�F D N�F D 9¤CD NV:>J H�B�=@:LM¥F D Pt9;:�UlJh¦D ? D N§?�I>J�P#:>N¨CD Nh5 ��Wÿ 5�e>©jfle�ª 5¤%'sL~rw#{