Proses Stokastik
-
Upload
chaim-freeman -
Category
Documents
-
view
70 -
download
0
description
Transcript of Proses Stokastik
![Page 1: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Proses Stokastik
Semester Ganjil 2011
![Page 2: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/2.jpg)
Solusi dari Birth and Death Process yang Tergantung Waktu
Peluang bahwa proses berada pada state i pada waktu t:
Pada waktu (t+∆t) proses dapat mengalami transisi ke state j dengan peluang: πj(t +∆t)
Kemungkinan state j yang dituju adalah: i+1 or i-1
πi(t +∆t) didefinisikan dengan menjumlah aliran masuk dan keluar dari state i
tti
ti
ti 1
ti 1
Sebagian tetap di i, sisanya keluar dengan laju ∆t λi dan ∆t µi
Laju aliran masuk dari state sebelumnya ∆t λi-1
Laju aliran masuk dari state sesudahnya ∆t µi+1
titX iPr
![Page 3: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/3.jpg)
11111 iiiiiiii ttttttttt
1111 iiiiiiiii tttttttttt
11110
lim
iiiiiii
ii
t
tttt
ttt
,3,2,1 ,1111 itttt iiiiiiii
11000 ttt
![Page 4: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/4.jpg)
Pure Birth Process Proses di mana hanya terdapat kelahiran (birth)
tanpa kematian (death) Laju kematian nol Laju kelahiran sama untuk setiap state
![Page 5: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/5.jpg)
Solusi dari Pure Birth Process Turunan pertama dari peluang pada saat t
1111 iiiiiiii tttt
Dengan substitusi laju kelahiran λi = λ untuk semua i dan laju kematian μi = 0 untuk semua i, berawal dari state 0
tttt 0100 0
11000 ttt
00 11 tttt iiii 0,1 itt ii
![Page 6: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/6.jpg)
tt 00 tet 0
ttt iii 1
Dengan definisi baru untuk menyelesaikan persamaan diferensial
0, itetQ it
i
u v
tetetQ it
it
i
ttetetQ iit
it
i 1 te it
1
![Page 7: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/7.jpg)
Secara rekursif:
tetedt
dtQ i
ti
ti 1
t
ivt
i dvveet0
1
tet 0
t
vt dvveet0
01 t
vvt dveee0
te t
t
vt dvveet0
12 t
vvt dvveee0
t
t vdve0
2 22
1 222 tete tt
dst ,...3,2,1,0,
! i
i
tet
it
i
![Page 8: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/8.jpg)
Contoh: Suatu proses kelahiran murni dengan parameter
kelahiran λ=2 individu/hari Berapa peluang bahwa pada hari ke dua tidak
terdapat individu di dalam sistem?
,...3,2,1,0,
!Pr i
i
tetitX
it
i
!0
22202Pr
022
0 eX 4e
Berapa peluang bahwa pada hari ke dua terdapat paling banyak 1 individu?
2212Pr 10 X !1
22
!0
22 122
022 ee
444 54 eee
![Page 9: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/9.jpg)
Solusi dari Pure Death Process Proses di mana terdapat kematian tanpa kelahiran
Laju kelahiran λ=0
Laju kematian tergantung dari jumlah individu i yang ada, dan setiap individu mempunyai laju kematian μi = μ untuk setiap i
![Page 10: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/10.jpg)
Turunan pertama peluang pada waktu t
1111 iiiiiiii tttt
Dengan substitusi laju kelahiran dan kematian yang sesuai, dimulai dari state ke n
tntntt nnnn 00 1
100 11 ittitt iiii titi ii 11
Solusi untuk state ke n:
tnt nn tnn et
![Page 11: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/11.jpg)
titit iii 11
tnn et
Digunakan Q untuk menyelesaikan persamaan diferensial:
1,...,1,0, nitetQ iti
i
vu
teteitQ iti
iti
i
titietei iiti
iti 11 tie i
ti11
tietedt
dtQ i
tii
tii 11
t
iviti
i dvveeit0
11
![Page 12: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/12.jpg)
Solusinya diperoleh secara rekursi dimulai dari state ke – n.
tnn et
t
iviti
i dvveeit0
11
Solusi untu state ke (n – 1)
t
nvntn
n dvvenet0
111
tvnvntn dveene
0
11
tvtnt
vtn enedvene0
1
0
1 1
ttnn enet 11
1
![Page 13: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/13.jpg)
Solusi untuk state ke (n-2)
t
nvntn
n dvveent0
122
2 1
t
vvnvntn dveneeen0
122 11
ttnn enet 11
1
t
iviti
i dvveeit0
11
t
vvtn dveeenn0
2 11
tttn eeenn
22 21
1
2
1
221
2tnt ee
n
n
![Page 14: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/14.jpg)
Secara umum, solusi yang diperoleh adalah sistem mempunyai sebaran Binomial dengan peluang survival pada waktu t adalah e-µt
tnn et
ttnn enet 11
1
22
2 12
tntn ee
n
nt
010
tnt een
111
1tnt ee
n
nieei
nt
intiti ,,1,0,1
![Page 15: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh: Suatu populasi diawali dengan 10 individu, dan
mengikuti proses kematian murni dengan parameter kematian µ=1 individu/hari.
Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada populasi tersebut pada suatu hari ke t?
nieei
nt
intiti ,,1,0,1
100
0 10
10 tt eet
10
1 te
Berapa peluang kepunahan dari suatu individu pada hari ke 10?
10
0 1 tet 9995.01101010
0 e
![Page 16: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/16.jpg)
Single Server System, Kasus Khusus Birth and Death Process Suatu sistem dengan laju kelahiran dan laju kematian konstan Suatu kelahiran: kedatangan seorang pelanggan Suatu kematian: seorang pelanggan menyelesaikan
layanannya. Hanya terdapat dua state 0 and 1
![Page 17: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/17.jpg)
Solusi dari Single Server System Dari persamaan turunan pertama bagi peluang pada waktu t
1111 iiiiiiii tttt
Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 0
ttt 100
Substitusi nilai laju kelahiran dan kematian pada state 1
ttt 011
![Page 18: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/18.jpg)
Penjumlahan dari kedua persamaan
ttt 100
ttt 011
01010 ttdt
dtt
+
1constant10 tt tt 01 -1
Penggunaan Q untuk menyelesaikan perseamaan differensial
tetQ t0
tetetQ tt00
ttete tt100 tte t
10
![Page 19: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/19.jpg)
Solusi bagi persamaan diferensial
tt ettetQ 10
CdttQtQ
dt
tdQtQ
CdtetQ t
Pada t = 0, sistem berada pada state 0 secara pasti dan mengarah pada kondisi awal untuk Q:
Ce t
11100 00 eQ
![Page 20: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/20.jpg)
Menyelesaikan C untuk kondisi awal
CetQ t
10 0
CeQ
10 Q
1C
(*)
tetQ
Definisi awal bagi Q:
(**) 0 tetQ t
![Page 21: Proses Stokastik](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022081506/5681303b550346895d95d4b1/html5/thumbnails/21.jpg)
Menyamakan (*) dan (**), menyelesaikannya untuk π0
(*)
tetQ (**) 0 tetQ t
tee tt
0
tt eet0
tet
0
tett
01 1