Proporcionalidade 19032013
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Grandezas
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Grandeza
É uma relação numérica estabelecida com um objeto. Assim, a altura de uma árvore, o
volume de um tanque, o peso de um corpo, a quantidade pães, entre outros, são grandezas.
Grandeza é tudo que você pode contar, medir, pesar, enfim, enumerar.
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1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P)
500 1 000 1 500 2 000 3 000
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
Duas grandezas são diretamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra também
aumenta na mesma proporção.
x 2X 3 x 4 x 6
x 2X 3 x 4
x 6
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1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇ (P)
500 1 000 1 500 2 000 3 000
500
3 000
2 500
1 000
1 500
2 000
1 65432
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se ao representa-las graficamente obtemos uma linha
reta que passa pela origem.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
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1 2 3 4 6Nº MAÇÃS (N)
PREÇO (P)
500 1 000 1 500 2 000 3 000
P
N=
500
1=
1 000
2=
1 500
3=
2 000
4=
3 000
6= 500 = k
P
N= k P = k N
Duas grandezas são diretamente proporcionais, se estão ligadas por um
quociente constante.
GRANDEZAS DIRETAMENTE PROPORCIONAIS
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120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
Duas grandezas são inversamente proporcionais, quando ao aumentar uma, a outra diminui na
mesma proporção, e vice-versa.
÷ 2 ÷ 3 ÷ 4 ÷ 6
x 2X 3 x 4
x 6
X = 120 km
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
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20
120
100
40
60
80
1 65432
Duas grandezas são inversamente proporcionais, se ao representar-as graficamente obtemos uma
curva chamada hipérbola.
120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
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= k
k
t=VV · t = k
Duas grandezas são inversamente proporcionais, se estiverem ligadas por um produto constante.
120 60 40 30 20VELOCIDAD (V)
TIEMPO (t)
1 2 3 4 6
V · t = (120)(1) = (60)(2) = (40)(3) = (30)(4) = (20)(6) = 120
GRANDEZAS INVERSAMENTE PROPORCIONAIS
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Grandezas diretamente
proporcionais
Grandezas inversamente proporcionais
kQ
P = kQP =⋅
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Compondo Proporções
Trabalhamos com proporções fixas, que simplesmente ditavam que uma fração deveria permanecer constante. Mas o que acontece se uma grandeza é proporcional a várias grandezas ao mesmo tempo?
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Podemos trabalhar cada proporcionalidade individualmente, mas há um método para resolvê-las com uma única equação.
Começaremos com o clássico problema:
Sr. José precisava consertar
uma cerca quebrada
em sua fazenda.
Pesquisa google(23/06/2008)
501 x 375 - 68k - jpgbloglog.globo.com
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Como a boiada voltaria das pastagens novas em uma semana, precisava decidir quantos trabalhadores contratar para terminar a cerca a tempo.
Na construção original da cerca, ele empregou 24 homens que ergueram os 100 metros de cerca em duas semanas.
Sabendo que o buraco se extende por apenas 25 metros, quantos homens serão nescessários?
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• O número de homens é inversamente proporcional ao tempo
• O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao tempo
• O tamanho da cerca é diretamente proporcional ao número de homens
• Para facilitar o trabalho, escrevemos uma tabela:
Homens Tempo Tamanho
24 2 semanas 100m
X 1 semana 25m
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Exercícios1) Em cada um dos casos abaixo, verifique se há ou não proporcionalidade. Se existir, expresse tal fato algebricamente, indicando o valor da constante de proporcionalidade.
a) A altura a de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?
b) A massa m de uma pessoa é diretamente proporcional a sua idade t?
c) O perímetro p de um quadrado é diretamente proporcional a seu lado a?
d) A diagonal d de um quadrado é diretamente proporcional ao seu lado a?
e) O comprimento c de uma circunferência é diretamente proporcional a seu diâmetro d?
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2) Um prêmio P da loteria deve ser dividido em partes iguais, cabendo um valor x a cada um dos n ganhadores. Considere P = 400.000 reais e preencha a tabela abaixo.
n 1 2 3 4 5 8 10 20
x
3) A tabela abaixo relaciona os valores de três grandezas x, y, e z, que variam de modo inter-relacionado.
x 1 3 4 5 10 15 40 50 60 75 120 150
y 7 21 28 35 70 105 280 350 420 525 840 1050
z 300 100 75 60 30 20 7,5 6 5 4 2,5 2
Verifique se os diversos pares de grandezas ( x e y, x e z, y e z) são direta ou inversamente proporcionais. Justifique sua resposta.