PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Ecuaciones de la recta que pasa por un punto y es par-alela a un vector

Sean un punto P0 = (x0; y0) del plano y un vector ~d = (d1, d2) tal que ~d 6= ~0. Al vector ~dse lo denomina vector director de la recta L. El vector director de una recta no es único,cualquier múltiplo escalar de un vector director es también vector director de la recta .

L : (x; y) = (x0; y0) + λ(d1; d2), siendo λ ∈ R

Ecuación 1 (Paramétrica vectorial de la recta en R2).

Si ~d = (d1, d2) 6= ~0

L :

{x = x0 + λd1y = y0 + λd2

con λ ∈ R

Ecuación 2 (Paramétrica cartesiana de la recta en R2).

Se la denomina también ecuación continua de la recta en R2. Pasa por el puntoP0 = (x0, y0) y cuyo vector director es ~d = (d1, d2) con d1 6= 0 ∧ d2 6= 0

L :x− x0d1

=y − y0d2

Ecuación 3 (Simétrica de la recta en R2).

Nota: 1. Con la ecuación simétrica de la recta, es posible identi�car de inmediato un

punto de la recta y un vector director de la misma.

Ecuación de la recta que pasa por un punto y es perpen-dicular a la dirección de un vector en R2

Donde A y B son coe�cientes distintos de cero.

L : Ax+By + C = 0

Al vector ~n = (A,B) distinto del vector nulo cuya dirección es perpendicular ala recta, se le denomina vector normal de la recta. El vector normal no es único

Ecuación 4 (Implícita o general de la recta en R2).

Página 1

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Casos particulares. Sea L : Ax + By + C = 0 la ecuación implícita o general de la rectaen R2 donde los coe�cientes A y B no son simultáneamente nulos.

• Si A = 0 entonces L : By + C = 0 su vector normal es ~n = (0, B) es una rectaparalela al eje de abscisas (eje x). En el caso que además C = 0 tenemos una rectaque coincide con el eje x.

• Si B = 0 entonces L : Ax + C = 0 su vector normal es ~n = (A, 0) es una rectaparalela al eje de ordenadas (eje y). En el caso que además C = 0 tenemos unarecta que coincide con el eje y, estas rectas se denominan rectas verticales.

• Si C = 0 siendo A 6= 0 y B 6= 0 entonces L : Ax + By = 0 es una recta que pasapor el orígen de coordenadas.

Sea la recta L : Ax+By + C = 0 donde A, B y C son números reales no nulos

L :x

p+y

q= 1

Donde p y q son la abscisa y la ordenada respectivamente.

Ecuación 5 (Segmentaria de la recta).

Nota: 2. Esta ecuación ofrece la ventaja que se puede realizar la grá�ca de la recta sin

efectuar cálculos. No es la más utilizada pues para llevar una recta a la forma segmentaria

A, B y C deben ser números reales no nulos.

Sea la recta L : Ax+By + C = 0 si B 6= 0 podemos obtener la ecuación

L : y = mx+ b

Donde m = −ABes la pendiente y b = −C

Bes la ordenada al origen

Ecuación 6 (Explícita de la recta).

Nota: 3. El término independiente b de la forma explícita de la recta es la ordenada al

orígen de la recta.

Página 2

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Pendiente de la recta

El ángulo de inclinación de una recta, es el ángulo formado entre el eje de abscisasen sentido positivo y la recta cuando ésta se considera dirigida hacia arriba.Si convenimos en llamar θ al ángulo de inclinación de una recta, la medida deesta ángulo será: 0 ≤ θ ≤ π

De�nición 1 (Ángulo de inclinación).

Se llama pendiente de un recta no vertical, que indicaremos con m, a la tangentede su ángulo de inclinación.

m = tg(θ)

De�nición 2.

Pendiente de la recta

Si 0 < θ < 90 (ángulo agudo) entoncesm > 0

Si 90 < θ < 180 (ángulo obtuso) en-tonces m < 0.

Si la recta es horizontal entonces θ = 0y m = tg(0) = 0

Si la recta es vertical entonces θ = π2

como tg(π2

)no está de�nida, el con-

cepto de pendiente no puede aplicarsea rectas verticales.

Página 3

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Si P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1) son dos puntos cualesquiera y diferentes de unarecta no vertical, la pendiente de la recta es m = y1−y0

x1−x0

Teorema 1 (Pendiente de la recta en R2).

Nota: 4. Observemos que la formula anterior, para calcular la pendiente no está de�nida

analíticamente cuando x1 = x0. Si x1 = x0 los puntos considerados son de igual abscisa,

por lo tanto la recta que de�nen es vertical y, como vimos en el cuadro anterior, las rectas

verticales no tienen determinada su pendiente.

La recta que pasa por los puntos P0 = (x0, y0) y P1 = (x1, y1) tiene por ecuación

L :x− x0x1 − x0

=y − y0y1 − y0

Teorema 2 (Pendiente de la recta en R2).

y − y0 = mx− x0

Ecuación 7 (Punto pendiente de la recta).

Posiciones relativas de rectas en el plano

Sean dos rectas en el plano L1 y L2, tal que

L1 :

{x = x0 + λ1a1y = y0 + λ1a2

con λ1 ∈ R, donde ~a = (a1, a2)//L1 y ~a 6= ~0

L2 :

{x = x1 + λ2b1y = y1 + λ2b2

con λ2 ∈ R, donde ~b = (b1, b2)//L2 y ~b 6= ~0

Sus ecuaciones implícitas: L1 : Ax + By + C = 0 y L2 : A′x + B′y + C ′ = 0 Susecuaciones explícitas: L1 : y = m1x+ b1 y L2 : y = m2x+ b2

Página 4

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Se dice que L1//L2 si, y sólo si:

• Sus vectores directores son paralelos, es decir:

∃λ ∈ R : ~a = λ ·~b⇒ (a1, a2) = λ(b1, b2)⇒

a1 = λ · b1∧

a2 = λ · b2Equivalente a: λ = a1

b1= a2

b2siempre que los cocientes tengan sentido.

• Sus vectores normales sean paralelos, es decir:

∃λ ∈ R : ~n1 = λ · ~n2 ⇒ (A,B) = λ(A′, B′)⇒

A = λ · A′∧

B = λ ·B′Equivalente a: λ = A

A′ =BB′ siempre que los cocientes tengan sentido.

De�nición 3 (Rectas Paralelas).

Nota: 5. Si sucede que alguna de las coordenadas de los vectores directores o vectores

normales es nula, esto implica que las rectas pueden ser verticales u horizontales.

Diremos que L1 y L2 son coincidentes si veri�can que son paralelas y tienen unpunto en común.

De�nición 4 (Rectas Coincidentes).

Diremos que L1 y L2 son perpendiculares si,

• Sus vectores directores son perpendiculares, es decirSi ~a = (a1, a2)//L1 y ~b = (b1, b2)//L2, es L1⊥L2 ⇐⇒ ~a⊥~bEntonces, si ~a⊥~b =⇒ ~a ·~b = 0 =⇒ a1 · b1 + a2 · b2 = 0Por lo tanto L1⊥L2 ⇐⇒ a1 · b1 + a2 · b2 = 0

• Sus vectores normales son perpendiculares , es decirSi ~n1 = (A,B)⊥L1 y ~n2 = (A′, B′)⊥L2, es L1⊥L2 ⇐⇒ ~n1⊥ ~n2

Entonces, si ~n1⊥ ~n2 =⇒ ~n1 · ~n2 = 0 =⇒ A · A′ +B ·B′ = 0Por lo tanto L1⊥L2 ⇐⇒ A · A′ +B ·B′ = 0

• Si sus pendientes veri�can la relación m1 ·m2 = −1 siendo m1 la pendientede la recta L1 y m2 la pendiente de la recta L2.Esta condición excluye a los casos de rectas de pendiente nulas, recordemosque una recta de pendiente nula es una recta horizontal, la cual siempre esperpendicular a un recta vertical.

De�nición 5 (Rectas Perpendiculares).

Página 5

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Ángulo entre dos rectas

• El ángulo entre dos rectas L1 y L2 es el ángulo que forman sus vectoresdirectores.

Es decir: α = Ang(L1, L2) = Ang(~a,~b) = arccos|~a ·~b|‖~a‖ · ‖~b‖

• El ángulo entre dos rectas L1 y L2 es el ángulo que forman sus vectoresnormales.

Es decir: α = Ang(L1, L2) = Ang( ~n1, ~n2) = arccos| ~n1 · ~n2|‖ ~n1‖ · ‖ ~n2‖

De�nición 6 (ángulo entre dos rectas).

Nota: 6. Se considera el angulo entre dos rectas a α tal que 0 < α < π2

Distancia entre punto y recta

Algunos conceptos previos

• El segmento que representa la distancia entre una recta y un punto, es perpendiculara la recta.

• Si el punto P pertenece a la recta, la distancia entre el punto y la recta es cero

La distancia del punto P1 = (x1, y1) a la recta L1 : Ax + By + C = 0 está dadapor la formula.

dist (P1, L1) =|Ax1 +By1 + C|√

A2 +B2

De�nición 7 (Distancia de un punto a una recta).

Familia o Haz de rectas

La totalidad de las rectas del plano que satisfacen una única condición geométricase llama familia o haz de rectas

De�nición 8.

Página 6

PARTICULAR UNIVERSIDADPropiedades de las rectas en R2

Sean las rectas L1 : Ax + By + C = 0 y L2 : A′x + B′y + C ′ = 0 tales queL1 ∩ L2 = P0(x0, y0) y sean los números reales h y k no nulos simultáneamente.El haz de rectas que pasan por el punto P=(x0, y0) queda representada por.

H : h · (Ax+By + C) + k · (A′x+B′y + C ′) = 0

Teorema 3.

En general no interesan las rectas que de�nen el haz de rectas, pues son datos, sino laposibilidad de encontrar alguna de las otras rectas que pasan por el punto de intersecciónde las rectas que de�nen dicho haz. En función de esto se trabaja con la ecuación del hazde rectas reducido, el cual se obtiene dividiendo miembro a miembro, por h 6= 0, o pork 6= 0.

H : (Ax+By + C) +k

h· (A′x+B′y + C ′) = 0

LLamemos λ =k

h, λ 6= 0,∈ R

H : (Ax+By + C) + λ · (A′x+B′y + C ′) = 0

Distancia entre dos rectas

Algunos conceptos previos

• Si las rectas son intersecantes la distancia es cero

• Si las rectas son coincidentes la distancia es cero

• Si las rectas son paralelas la distancia es distinta de cero

Sean las rectas ya descriptas al principio de este documento L1 y L2 y sea Q ∈ L2

tal que Q = (x2, y2), la distancia entre las rectas es la misma que la distanciaentre L1 y Q. Es decir:

dist (L1, L2) = dist (L1, Q) =|Ax2 +By2 + C|√

A2 +B2

De�nición 9.

Página 7