Propiedades de Numeros Reales

Cálculo Diferencial. Propiedades de Los Números Reales. Adolfo chapuz Benítez.

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1.3 Propiedades de los números reales.

Imaginemos sólo un momento…

Pensemos al conjunto de los números reales como una cuidad, un país,

un planeta, no sé… un lugar donde habitan seres u objetos que están bien

establecidos con un orden y que se gobiernan por ciertas leyes que se

deben cumplir. Es todo un sistema organizado de “objetos” inanimados,

pero que precisamente sus leyes son las que le dan vida.

Esta ciudad es infinita y tiene dimensión 1, es una recta y sus seres son

de dimensión CERO, es decir son puntos sobre esta recta y sólo se

pueden mover hacia la izquierda y a la derecha.

Estos seres viven sobre la recta (cada quien tiene su propio hogar), unos viven a la

derecha, otros a la izquierda, se relacionan entre ellos, están bien ordenados,

obedecen (no como otros…jeje) ciertas leyes, miden sus distancias, se divierten,

juegan, saltan, etc.…es otro mundo…

Vamos a conocer este otro mundo, el mundo de los números reales, el Sistema o

Campo De Los Números Reales R.

Vamos a estudiar lo siguiente:

1.3.1 Las Propiedades de Campo.

1.3.2 Las Propiedades De Orden.

1.3.3 Propiedad de Densidad

1.3.4 El Axioma Del Supremo.

0

¡Hola!


2

1.3.1 Las Propiedades De Campo.

También conocidas como Leyes o Axiomas De Campo. Estas propiedades nos

permiten definir el álgebra de los números reales.

Sobre R se definen dos operaciones Fundamentales: La suma + y el

producto .

Estos seres “numéricos” no son estáticos, ni aislados, ya que se relacionan u

operan unos a otros a través de estas 2 operaciones…

Estas operaciones y sus propiedades son conocidas desde la educación

primaria, así que no es difícil entenderlas.

Existen otras operaciones como la resta, la división, las potencias y las raíces

enésimas pero estas son consecuencia de la suma y producto.

Propiedades Respecto a la Suma:

1. Propiedad de Cerradura.

Si a y b son números reales entonces a+b también es un número real.

En símbolos:

Explicación:

La idea de la propiedad de cerradura consiste en que cuando se suman 2

números reales el resultado obtenido sigue siendo un número real, es decir el

resultado es del mismo tipo, no se sale del espacio donde viven.

2. Propiedad Conmutativa.

. RbaentoncesRbyRaSi

abbaentoncesRbyRaSi


3

“El orden de los sumandos no altera la suma”.

3. Propiedad Asociativa.

Para realizar la suma de 3 números, podemos asociar 2 de ellos y el

resultado sumarlo con el tercero.

Esta propiedad siempre la aplicamos en la vida diaria de manera

inconsciente, siempre buscamos hacer las cosas en el menor tiempo posible

y lo más fácil que podamos.

¿Cuál es el resultado de la siguiente suma?

¿6+8+5=? es obvio que el resultado es 19, personalmente asocie (6+8)=14 y

luego sume el 5, es decir, (6+8)+5=14+5=19

Muy posiblemente tú hiciste (6+5)+8=11+8=19…

…otra posibilidad es (8+5)+6=13+6=19…en fin.

4. Existencia Del Neutro Aditivo.

“Si a un número le sumamos el cero, el resultado es el mismo

número”

“El cero deja neutro a todo número real, lo deja igual”

cbacbacba

entoncesRbyRcRaSi

)()(

,

: que cumple se real número todopara que tal, 0 CERO el Ren aExiste

aa 0


4

5. Existencia Del Inverso Aditivo.

El inverso aditivo “anula” al número original. Cuando a “opera” con a , bajo

la suma, el resultado es el NEUTRO (0).

Propiedades Respecto al Producto:

6. Propiedad de Cerradura.

Si a y b son números reales entonces el producto ba también es un número

real.

En símbolos:

7. Propiedad Conmutativa.

Si a y b son números reales entonces podemos conmutar (cambiar el orden)

de los factores y el resultado siempre será el mismo.

“El orden de los factores NO ALTERA el producto”.

0)(

: talque, existe real número todo

aa

aaPara

. RabentoncesRbyRaSi

. baabentoncesRbyRaSi


5

8. Propiedad Asociativa.

Al igual que en la suma, podemos realizar el producto de 3 números,

asociando 2 de ellos y el resultado multiplicarlo con el tercero.

9. Existencia Del Neutro Multiplicativo.

“Todo número multiplicado por 1 da como resultado el mismo

número”.

10. Existencia Del Inverso Multiplicativo.

Nota: El inverso multiplicativo es en realidad la fracción obtenida con la expresión

conocida del álgebra a

a11 , por ejemplo:

cabbcaabc

entoncesRbyRcRaSi

)()(

,

: que cumple se real número todopara talque, 1 UNOel Ren aExiste

aa 1

1

: talque, existe ,0 real número todo

1

1

aa

aaPara


6

3

13 1 ,

5

15 1 ,

10

110 1 …

2

3

3

2

1

3

21

,…etc.

El único número que no tiene inverso multiplicativo es el CERO., porque si

existiera entonces tendríamos DIVISIÓN ENTRE CERO, lo cual sabemos que es

una operación no válida en las matemáticas, de hecho:

0

10 1

¡NO ES EXISTE!

11. Propiedades Distributivas.

Estas propiedades son las usamos a cada instante en el álgebra elemental

para hacer desarrollos de multiplicaciones.

Un ejemplo rápido:

57

2343243

1512

)5)(3()4)(3()54(3

xx

xxxxxxx

bcaccba

acabcba

)(

)(


7

1.3.2 Propiedades De Orden.

El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, esto significa

que existen ciertas propiedades que establecen como comparar sus

magnitudes. Geométricamente podemos decir que un numero a es mayor

que b , lo cual representamos por ba otro si a está a la derecha de b .

Estas propiedades o leyes se definen usando los símbolos ,,, .

Recordatorio:

<: Es el símbolo “Menor que…”

>: “Mayor que…”

“Menor o igual que…”

“Mayor o igual que…”

Propiedad de Tricotomía:

Si a y b son cualesquiera números reales, entonces una y sólo una de las

siguientes propiedades es válida:

Propiedad Transitiva:

Propiedad de No Negatividad.

bababa o ,

cacbba entonces y Si

0

: que cumple se real número todoPara

2 x

x


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Propiedad Aditiva.

“Si sumamos a una desigualdad cualquier número real, entonces la desigualdad no

cambia”.

Propiedades Multiplicativas.

a). “Si multiplicamos una desigualdad por número POSITIVO, entonces el sentido

de la desigualdad no cambia”.

b). “Si multiplicamos una desigualdad por número NEGATIVO, entonces el sentido

de la desigualdad cambia”.

cbcaba entonces R,cy Si

cbcaa entonces 0cy b Si

cbcaa entonces 0cy b Si


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Dos Propiedades Importantes para Resolver Algunas Desigualdades

Cuadráticas del tipo 0782 xx o 01522 xx

Estas propiedades están basadas en las leyes de los signos para la multiplicación.

La propiedad 1 se sustenta en el hecho de que para que un producto de dos

cantidades sea positivo las cantidades deben tener el mismo signo (las dos positivas

o las dos negativas).

Por ejemplo 18 se puede factorizar de las siguientes formas:

)3)(6(

)3)(6(18

Esto nos lleva a considerar 2 casos que deben usarse al resolver una desigualdad

cuadrática.

Propiedad 1.

Propiedad 2.

La propiedad 2 se sustenta en el hecho de que para que un producto de dos

cantidades sea negativo las cantidades deben tener diferentes signos (una positiva y

la otra negativa y recíprocamente).

0y 0 :II caso

0y 0 : I caso

:entonces ,0

ba

ba

baSi


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Por ejemplo -18 se puede factorizar de las siguientes 2 formas:

)3)(6(

)3)(6(18

Un factor negativo y uno positivo.

Más adelante, veremos que para aplicar estas propiedades y resolver desigualdades

cuadráticas, es necesario factorizar la ecuación en la forma 0ba o 0ba e

identificar a y b por ejemplo…

)7)(1(782 xxxx y )3)(5(1522 xxxx

0y 0 :II caso

0y 0 : I caso

:entonces ,0

ba

ba

baSi

a a b b


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1.3.3 Propiedad de Densidad de Los Números Racionales

en los Reales

Cuando hablamos de “densidad” por lo general nos referimos a “concentración” o

“acumulación” .Esta propiedad de los números racionales es muy importante para

imaginar que la recta numérica geométricamente está llena de números racionales

(e irracionales) que es continua y que por lo tanto no tiene “huecos”.

En palabras, nos dice que si tenemos cualesquiera 2 números reales yx, siempre

podemos encontrar un racional q ubicado entre ellos.

En símbolos:

Esto es claro, ya que estamos familiarizados con el orden de los números reales, por

ejemplo si 72 existe la fracción (el punto medio) 5.42

9

2

72

q que está en

medio de ellos.

Aunque los números estén “muy juntos” o concentrados, siempre habrá un racional

entre ellos.

Esta propiedad de densidad igual se satisface por los números

irracionales.

Sean Rx , y Ry tales que yx , entonces EXISTE un número Qq talque:

yqx


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1.3.4. Axioma Del Supremo.

El axioma del supremo o de completitud hace referencia a que todo subconjunto de

números reales, no vacío y acotado superiormente admite un SUPREMO.

Es una axioma que teóricamente es usado para probar muchos teoremas

relacionados con los números naturales, enteros y en general con los números

reales, por ejemplo se puede usar, entre otras cosas, para demostrar la propiedad

arquimediana de los números reales y por lo tanto que el conjunto de los

naturales N no es acotado superiormente (no tiene fin).

Axioma Del Supremo.

Una cota superior de A es un número ,Rs que es mayor que todos los

elementos de A, es decir, es tal que ,xs para todo .Ax

De todas las cotas superiores, el supremo es la más pequeña.

Sea ,RA un subconjunto de números reales

Hagamos las siguientes suposiciones:

1.-No vacío: A

2.- A es Acotado Superiormente (todos sus elementos son menores

que algún otro valor numérico) es decir, EXISTE ,Rc tal que

,xc para todo .Ax

Entonces:

A Tiene un supremo, lo que se representa por Asup .

El supremo de A es un número y se define como la MÍNIMA

COTA SUPERIOR.


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¿Qué es el supremo?

El supremo de un conjunto es “algo así” como calcular el MAXIMO del conjunto,

pero no es exactamente eso.

Ejemplo 1:

Sea )5,0(A : el intervalo abierto de 0 a 5, es decir 50 x .

¿Cuál es valor máximo de A?

Este intervalo de números no tiene máximo, el 5 sólo aparece como referencia y no

pertenece al conjunto ya que es una desigualdad estricta x<5, por lo que no es el

máximo (el máximo debe pertenecer al conjunto).

El mayor entero dentro del intervalo es 4, pero si consideramos números con

decimales en realidad no sabemos cuál es su máximo.

Podemos acercarnos tanto como queramos al 5 pero nunca vamos a poder “tocarlo”

ya que por ejemplo 4.9999999 está cerca de 5 pero no alcanza a tocarlo…

…podemos incluso agregar miles de millones de 9’s sin llegar al 5.

4.99999999999999…9

¿Cuál es el supremo de A?

Es obvio que el intervalo es no vacío (por lo menos están los enteros 1, 2,3 y 4).

Además es acotado superiormente (es un intervalo que no se va a ), por lo que el

intervalo cumple con las 2 condiciones para que tenga supremo.

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5

Millones de 9´s


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Todos los números mayores o iguales a 5 son cotas superiores del intervalo, es

decir, el conjunto tiene una infinidad de cotas superiores incluyendo los enteros

5,6,7,8,9… y los números con decimales que se ubican entre ellos, pero de todos

ellos el menor es 5.

El )sup(A = LA MÍNIMA COTA AUPERIOR.

Por lo tanto: 5)sup( A .

Conclusión: El intervalo )5,0( no tiene máximo, pero si tiene supremo.

En este caso el supremo de A no pertenece al conjunto A.

Ejemplo 2:

Sea ]5,0(A : el intervalo semi cerrado por la derecha de 0 a 5, es decir 50 x .

¿Cuál es valor máximo de A?

Este intervalo de números tiene como máximo al 5, ya que en este caso si pertenece

al conjunto, ya que la desigualdad es del tipo 5x .

¿Cuál es el supremo de A?

Es obvio que el intervalo es no vacío (por lo menos están los enteros 1, 2,3 y 4).

Además es acotado superiormente (es un intervalo que no se va a ).

Todos los números mayores o iguales a 5 son cotas superiores del intervalo, es

decir, el conjunto tiene una infinidad de cotas superiores incluyendo los enteros

5,6,7,8,9… y los números con decimales que se ubican entre ellos, pero de todos

ellos el menor es 5.

El )sup(A = LA MÍNIMA COTA AUPERIOR.

Por lo tanto: 5)sup( A .

0 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5


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Conclusión: El intervalo ]5,0( el máximo y el supremo coinciden y son iguales a 5.

En este caso es supremo es el mismo que el intervalo abierto visto en el ejemplo

anterior.

De manera similar podemos definir el ÍNFIMO DE UN CONJUNTO.

Existen muchas propiedades más que se deducen de los axiomas de campo y de

orden, pero no es el objetivo de este documento escribirlas todas. Con las que

hemos resumido ya tenemos una idea de la estructura algebraica del sistema de los

números reales.

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